Tikimybė yra 1, tai reiškia. Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklė

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis Dėl

Kas yra tikimybė?

Kai pirmą kartą susidūriau su šiuo terminu, nebūčiau supratusi, kas tai yra. Todėl pabandysiu paaiškinti aiškiai.

Tikimybė yra tikimybė, kad įvyks mūsų norimas įvykis.

Pavyzdžiui, nusprendėte eiti į draugo namus, prisimenate įėjimą ir net grindis, ant kurių jis gyvena. Bet pamiršau buto numerį ir vietą. O dabar tu stovi ant laiptinės, o priešais tave – durys, iš kurių galima rinktis.

Kokia tikimybė (tikimybė), kad paskambinus pirmuoju durų skambučiu už jus duris atvers jūsų draugas? Yra tik butai, o draugas gyvena tik už vieno iš jų. SU vienodas šansas galime pasirinkti bet kokias duris.

Bet kokia yra ši galimybė?

Durys, dešinės durys. Tikimybė atspėti paskambinus pirmuoju durų skambučiu: . Tai yra, vieną kartą iš trijų jūs tiksliai atspėsite.

Norime kartą paskambinę sužinoti, kaip dažnai spėsime duris? Pažvelkime į visas parinktis:

1. Tu skambinai 1-oji duris
2. Tu skambinai 2-oji duris
3. Tu skambinai 3 duris

Dabar pažvelkime į visas galimybes, kuriose galėtų būti draugas:

A. Už nugaros 1-oji durys
b. Už nugaros 2-oji durys
V. Už nugaros 3 durys

Palyginkime visas parinktis lentelės formoje. Varnelė žymi parinktis, kai tavo pasirinkimas sutampa su draugo vieta, kryželis – kai nesutampa.

Kaip tu viską matai Gal būt galimybės jūsų draugo buvimo vieta ir jūsų pasirinkimas, į kurias duris skambinti.

A viskam palankios pasekmės . Tai yra, atspėsite vieną kartą paskambinę durų skambučiu, t.y. .

Tai yra tikimybė – palankaus rezultato (kai jūsų pasirinkimas sutampa su draugo buvimo vieta) ir skaičiaus santykis galimi įvykiai.

Apibrėžimas yra formulė. Tikimybė paprastai žymima p, todėl:

Rašyti tokią formulę nėra labai patogu, todėl imkime - palankių rezultatų skaičių ir - viso rezultatus.

Tikimybę galima parašyti procentais, gautą rezultatą reikia padauginti iš:

Žodis „rezultatai“ tikriausiai patraukė jūsų dėmesį. Kadangi matematikai įvairius veiksmus (mūsų atveju toks veiksmas yra durų skambutis) vadina eksperimentais, tai tokių eksperimentų rezultatas dažniausiai vadinamas rezultatu.

Na, yra ir palankių, ir nepalankių rezultatų.

Grįžkime prie mūsų pavyzdžio. Tarkime, paskambinome į vieną iš durų, bet jos mums buvo atidarytos svetimas. Mes neatspėjome teisingai. Kokia tikimybė, kad jei paskambinsime į vieną iš likusių durų, mūsų draugas jas mums atidarys?

Jei taip manai, vadinasi, tai klaida. Išsiaiškinkime.

Mums liko dvejos durys. Taigi turime galimų žingsnių:

1) Skambinti 1-oji duris
2) Skambinti 2-oji duris

Draugas, nepaisant viso to, neabejotinai stovi už vieno iš jų (juk jis neatsiliko nuo to, kuriam paskambinome):

a) draugas už 1-oji durys
b) draugas už 2-oji durys

Dar kartą nubraižome lentelę:

Kaip matote, yra tik galimybės, kurios yra palankios. Tai yra, tikimybė yra lygi.

Kodėl gi ne?

Situacija, kurią svarstėme, yra priklausomų įvykių pavyzdys. Pirmasis įvykis yra pirmasis durų skambutis, antrasis įvykis yra antrasis durų skambutis.

Ir jie vadinami priklausomais, nes įtakoja šiuos veiksmus. Juk jei po pirmo skambučio į durų skambutį atsilieptų draugas, kokia būtų tikimybė, kad jis atsiliko už vieno iš kitų dviejų? Teisingai,.

Bet jei yra priklausomi įvykiai, tada turi būti nepriklausomas? Teisingai, jų pasitaiko.

Vadovėlio pavyzdys – monetos metimas.

1. Vieną kartą mesti monetą. Kokia, pavyzdžiui, tikimybė gauti galvas? Teisingai – kadangi yra visi variantai (arba galvos, arba uodegos, nepaisysime tikimybės, kad moneta nusileis ant jos krašto), bet tai tinka tik mums.
2. Bet tai išėjo į galvą. Gerai, meskime dar kartą. Kokia tikimybė gauti galvas dabar? Niekas nepasikeitė, viskas taip pat. Kiek variantų? Du. Kiek mes esame patenkinti? Vienas.

Ir tegul tai iškyla bent tūkstantį kartų iš eilės. Tikimybė gauti galvas iš karto bus tokia pati. Visada yra variantų, ir palankių.

Nesunku atskirti priklausomus įvykius nuo nepriklausomų:

1. Jei eksperimentas atliekamas vieną kartą (kartą meta monetą, vieną kartą skambina durų skambučiu ir pan.), tada įvykiai visada yra nepriklausomi.
2. Jei eksperimentas atliekamas kelis kartus (kartą įmetama moneta, kelis kartus skambinama durų skambučiu), tada pirmasis įvykis visada yra nepriklausomas. Ir tada, jei keičiasi palankių ar visų baigčių skaičius, įvykiai yra priklausomi, o jei ne, jie yra nepriklausomi.

Šiek tiek pasitreniruokime nustatydami tikimybę.

1 pavyzdys.

Moneta metama du kartus. Kokia tikimybė gauti galvas du kartus iš eilės?

Sprendimas:

Apsvarstykime viską galimi variantai:

1. Erelis-erelis
2. Galvos-uodegos
3. Uodegos-Galvos
4. Uodegos-uodegos

Kaip matote, yra tik galimybės. Iš jų esame tik patenkinti. Tai yra tikimybė:

Jei sąlyga prašo paprasčiausiai rasti tikimybę, tada atsakymas turi būti pateiktas formoje dešimtainis. Jei būtų nurodyta, kad atsakymas turi būti pateikiamas procentais, tada daugintume iš.

Atsakymas:

2 pavyzdys.

Šokoladų dėžutėje visi šokoladai supakuoti į tą patį popierių. Tačiau iš saldumynų – su riešutais, su konjaku, su vyšniomis, su karamele ir su nuga.

Kokia tikimybė paimti vieną saldainį ir gauti saldainį su riešutais? Pateikite savo atsakymą procentais.

Sprendimas:

Kiek yra galimų rezultatų? .

Tai yra, jei paimsite vieną saldainį, jis bus vienas iš tų, kurie yra dėžutėje.

Kiek palankių rezultatų?

Nes dėžutėje yra tik šokoladukai su riešutais.

Atsakymas:

3 pavyzdys.

Balionų dėžutėje. iš kurių yra baltos ir juodos spalvos.

1. Kokia tikimybė išeiti baltas rutulys?
2. Į dėžutę pridėjome daugiau juodų kamuoliukų. Kokia dabar tikimybė nupiešti baltą rutulį?

Sprendimas:

a) Dėžutėje yra tik kamuoliukai. Iš jų baltos spalvos.

Tikimybė yra tokia:

b) Dabar dėžėje yra daugiau kamuoliukų. O baltųjų liko tiek pat – .

Atsakymas:

Bendra tikimybė

Tarkime, dėžutėje yra raudoni ir žali rutuliai. Kokia tikimybė nupiešti raudoną rutulį? Žalias rutulys? Raudonas ar žalias rutulys?

Tikimybė nupiešti raudoną rutulį

Žalias rutulys:

Raudonas arba žalias rutulys:

Kaip matote, visų galimų įvykių suma yra lygi (). Šio punkto supratimas padės išspręsti daugybę problemų.

4 pavyzdys.

Dėžutėje yra žymekliai: žalia, raudona, mėlyna, geltona, juoda.

Kokia tikimybė nupiešti NE raudoną žymeklį?

Sprendimas:

Suskaičiuokime skaičių palankių rezultatų.

NĖRA raudonas žymeklis, tai reiškia žalią, mėlyną, geltoną arba juodą.

Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklė

Jūs jau žinote, kas yra nepriklausomi renginiai.

Ką daryti, jei reikia rasti tikimybę, kad du (ar daugiau) nepriklausomi įvykiai įvyks iš eilės?

Tarkime, norime sužinoti, kokia yra tikimybė, kad vieną kartą išmetę monetą pamatysime galvas du kartus?

Mes jau svarstėme - .

O kas, jei vieną kartą mestume monetą? Kokia tikimybė pamatyti erelį du kartus iš eilės?

Iš viso galimų variantų:

1. Erelis-erelis-erelis
2. Galvos-galvos-uodegos
3. Galvos-uodegos-galvos
4. Galvos-uodegos-uodegos
5. Uodegos-galvos-galvos
6. Uodegos-galvos-uodegos
7. Uodegos-uodegos-galvos
8. Uodegos-uodegos-uodegos

Nežinau kaip jūs, bet sudarydamas šį sąrašą kelis kartus padariau klaidų. Oho! Ir mums tinka vienintelis variantas (pirmas).

5 metimams galite patys sudaryti galimų rezultatų sąrašą. Tačiau matematikai nėra tokie darbštūs kaip jūs.

Todėl jie pirmiausia pastebėjo, o paskui įrodė, kad tam tikros sekos tikimybė nepriklausomi renginiai kiekvieną kartą jis sumažėja vieno įvykio tikimybe.

Kitaip tariant,

Pažvelkime į tos pačios nelemtos monetos pavyzdį.

Tikimybė susidurti su iššūkiu? . Dabar vieną kartą apverčiame monetą.

Kokia tikimybė gauti galvas iš eilės?

Ši taisyklė veikia ne tik tada, kai mūsų prašoma rasti tikimybę, kad tas pats įvykis įvyks kelis kartus iš eilės.

Jei norėtume rasti seką TAILS-HEADS-TAILS metimams iš eilės, darytume tą patį.

Tikimybė gauti uodegas yra , galvos - .

Tikimybė gauti seką TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Tai galite patikrinti patys, padarę lentelę.

Nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimo taisyklė.

Taigi sustok! Naujas apibrėžimas.

Išsiaiškinkime. Paimkime savo susidėvėjusią monetą ir vieną kartą išmeskime.
Galimi variantai:

1. Erelis-erelis-erelis
2. Galvos-galvos-uodegos
3. Galvos-uodegos-galvos
4. Galvos-uodegos-uodegos
5. Uodegos-galvos-galvos
6. Uodegos-galvos-uodegos
7. Uodegos-uodegos-galvos
8. Uodegos-uodegos-uodegos

Taigi nesuderinami įvykiai yra tam tikra, duota įvykių seka. – tai nesuderinami įvykiai.

Jei norime nustatyti, kokia yra dviejų (ar daugiau) nesuderinamų įvykių tikimybė, tada pridedame šių įvykių tikimybes.

Turite suprasti, kad galvos arba uodegos yra du nepriklausomi įvykiai.

Jei norime nustatyti sekos (ar bet kurios kitos) atsiradimo tikimybę, tada naudojame tikimybių dauginimo taisyklę.
Kokia tikimybė gauti galvą pirmą kartą metant, o uodegas – antrą ir trečią metimą?

Bet jei norime sužinoti, kokia yra tikimybė gauti vieną iš kelių sekų, pavyzdžiui, kai galvutės iškyla lygiai vieną kartą, t.y. parinktys ir tada turime pridėti šių sekų tikimybes.

Visi variantai mums tinka.

Tą patį galime gauti sudėję kiekvienos sekos atsiradimo tikimybes:

Taigi, kai norime nustatyti tam tikrų nenuoseklių įvykių sekų tikimybę, pridedame tikimybes.

Yra puiki taisyklė, kuri padės nesusipainioti, kada reikia dauginti, o kada pridėti:

Grįžkime prie pavyzdžio, kai vieną kartą metėme monetą ir norėjome sužinoti tikimybę vieną kartą pamatyti galvas.
Kas atsitiks?

Turėtų iškristi:
(galvos IR uodegos IR uodegos) ARBA (uodegos IR uodegos IR uodegos) ARBA (uodegos IR uodegos IR galvos).
Štai kaip paaiškėja:

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

5 pavyzdys.

Dėžutėje yra pieštukai. raudona, žalia, oranžinė ir geltona bei juoda. Kokia tikimybė piešti raudonus arba žalius pieštukus?

Sprendimas:

6 pavyzdys.

Kauliukai mesti du kartus, kokia tikimybė iš viso gauti 8 taškus?

Sprendimas.

Kaip galime gauti taškų?

(ir) arba (ir) arba (ir) arba (ir) arba (ir).

Tikimybė gauti vieną (bet kurį) veidą yra .

Apskaičiuojame tikimybę:

Treniruotės.

Manau, dabar jūs suprantate, kada reikia skaičiuoti tikimybes, kada jas pridėti, o kada padauginti. Ar ne taip? Truputį pasitreniruokime.

Užduotys:

Paimkime kortų kaladę, kurioje yra kortos, įskaitant kastuvus, širdeles, 13 lazdų ir 13 deimantų. Nuo iki kiekvieno kostiumo tūzo.

1. Kokia tikimybė ištraukti lazdas iš eilės (pirmą ištrauktą kortą dedame atgal į kaladę ir sumaišome)?
2. Kokia tikimybė ištraukti juodą kortą (kastuvus ar lazdas)?
3. Kokia tikimybė nupiešti paveikslą (domkas, dama, karalius ar tūzas)?
4. Kokia tikimybė nupiešti du paveikslėlius iš eilės (iš kaladės išimame pirmą ištrauktą kortą)?
5. Kokia tikimybė, paėmus dvi kortas, surinkti derinį – (domkas, dama ar karalius) ir tūzas Kortų ištraukimo seka neturi reikšmės?

Atsakymai:

Jei visas problemas sugebėjote išspręsti patys, tuomet esate puikūs! Dabar vieningo valstybinio egzamino tikimybių teorijos uždavinius sprausite kaip riešutus!

TIKIMUMU TEORIJA. VIDUTINIS LYGIS

Pažiūrėkime į pavyzdį. Tarkime, mesti kauliuką. Koks čia kaulas, ar žinai? Taip jie vadina kubą su skaičiais ant veido. Kiek veidų, tiek skaičių: nuo iki kiek? Prieš.

Taigi metame kauliuką ir norime, kad jis atsirastų arba. Ir mes tai gauname.

Tikimybių teorijoje jie sako, kas atsitiko palankus įvykis(nepainioti su klestinčiais).

Jei taip atsitiktų, įvykis taip pat būtų palankus. Iš viso gali įvykti tik du palankūs įvykiai.

Kiek yra nepalankių? Kadangi yra visi galimi įvykiai, tai reiškia, kad nepalankūs yra įvykiai (tai yra jei arba iškrenta).

Apibrėžimas:

Tikimybė yra palankių įvykių skaičiaus ir visų galimų įvykių skaičiaus santykis. Tai yra, tikimybė parodo, kokia visų galimų įvykių dalis yra palanki.

Nurodo tikimybę Lotyniška raidė(matyt iš Angliškas žodis tikimybė – tikimybė).

Įprasta tikimybę matuoti procentais (žr. temą,). Norėdami tai padaryti, tikimybės reikšmę reikia padauginti iš. Pavyzdyje su kauliukai tikimybė.

Ir procentais: .

Pavyzdžiai (spręskite patys):

1. Kokia tikimybė gauti galvą metant monetą? Kokia yra galvų nusileidimo tikimybė?
2. Kai mesti kauliuką, kokia tikimybė gauti lyginis skaičius? Kuris iš jų yra nelyginis?
3. Paprastų, mėlynų ir raudonų pieštukų dėžutėje. Atsitiktinai piešiame vieną pieštuką. Kokia tikimybė gauti paprastą?

Sprendimai:

1. Kiek yra variantų? Galvos ir uodegos – tik dvi. Kiek iš jų yra palankių? Tik vienas yra erelis. Taigi tikimybė

   Tas pats ir su uodegomis: .

2. Iš viso parinkčių: (kiek pusių turi kubas, tiek įvairių variantų). Palankūs: (visi tai lyginiai skaičiai:).
   Tikimybė. Žinoma, taip yra ir su nelyginiais skaičiais.
3. Iš viso: . Palanku:. Tikimybė:.

Bendra tikimybė

Visi dėžutėje esantys pieštukai yra žali. Kokia tikimybė nupiešti raudoną pieštuką? Nėra jokių šansų: tikimybė (juk palankūs įvykiai -).

Toks įvykis vadinamas neįmanomu.

Kokia tikimybė nupiešti žalią pieštuką? Palankių įvykių yra lygiai tiek pat, kiek yra visų įvykių (visi įvykiai yra palankūs). Taigi tikimybė yra lygi arba.

Toks įvykis vadinamas patikimu.

Jei dėžutėje yra žalios ir raudonos spalvos pieštukai, kokia tikimybė nupiešti žalią arba raudoną? Ir vėl. Atkreipkite dėmesį į tai: tikimybė ištraukti žalią yra lygi, o raudona - lygi.

Apibendrinant, šios tikimybės yra lygiai lygios. Tai yra, visų galimų įvykių tikimybių suma lygi arba.

Pavyzdys:

Pieštukų dėžutėje yra mėlynos, raudonos, žalios, paprastos, geltonos, o likusios - oranžinės spalvos. Kokia tikimybė nenupiešti žaliai?

Sprendimas:

Prisimename, kad visos tikimybės sumuojasi. Ir tikimybė sužaliuoti yra lygi. Tai reiškia, kad tikimybė nenupiešti žalios spalvos yra lygi.

Prisiminkite šį triuką: Tikimybė, kad įvykis neįvyks, yra lygi minus tikimybei, kad įvykis įvyks.

Nepriklausomi įvykiai ir daugybos taisyklė

Vieną kartą išverčiate monetą ir norite, kad ji iškiltų į galvą abu kartus. Kokia to tikimybė?

Peržiūrėkime visas galimas parinktis ir nustatykime, kiek jų yra:

Galvos-Galvos, Uodegos-Galvos, Galvos-Uodegos, Uodegos-Uodegos. Kas dar?

Iš viso parinkčių. Iš jų mums tinka tik vienas: Erelis-Erelis. Iš viso tikimybė yra lygi.

gerai. Dabar vieną kartą išmeskime monetą. Suskaičiuok pats. Įvyko? (atsakymas).

Galbūt pastebėjote, kad pridėjus kiekvieną paskesnį metimą tikimybė sumažėja perpus. Pagrindinė taisyklė paskambino daugybos taisyklė:

Nepriklausomų įvykių tikimybės kinta.

Kas yra nepriklausomi renginiai? Viskas logiška: tai tie, kurie nepriklauso vienas nuo kito. Pavyzdžiui, kai mes metame monetą kelis kartus, kiekvieną kartą daromas naujas metimas, kurio rezultatas nepriklauso nuo visų ankstesnių metimų. Lygiai taip pat lengvai galime išmesti dvi skirtingas monetas vienu metu.

Daugiau pavyzdžių:

1. Kauliukai metami du kartus. Kokia tikimybė jį gauti abu kartus?
2. Moneta metama vieną kartą. Kokia tikimybė, kad jis pirmą kartą iškils galva, o paskui du kartus?
3. Žaidėjas meta du kauliukus. Kokia tikimybė, kad ant jų esančių skaičių suma bus lygi?

Atsakymai:

1. Įvykiai yra nepriklausomi, vadinasi, veikia daugybos taisyklė: .
2. Galvų tikimybė yra lygi. Uodegų tikimybė yra tokia pati. Padauginti:
3. 12 galima gauti tik išmetus du -ki: .

Nesuderinami įvykiai ir pridėjimo taisyklė

Įvykiai, kurie papildo vienas kitą, vadinami nesuderinamais. visa tikimybe. Kaip rodo pavadinimas, jie negali vykti vienu metu. Pavyzdžiui, jei mes išverčiame monetą, ji gali pasirodyti galva arba uodega.

Pavyzdys.

Pieštukų dėžutėje yra mėlynos, raudonos, žalios, paprastos, geltonos, o likusios - oranžinės spalvos. Kokia tikimybė nupiešti žalią arba raudoną?

Sprendimas.

Tikimybė nupiešti žalią pieštuką yra lygi. Raudona -.

Palankūs įvykiai iš viso: žalia + raudona. Tai reiškia, kad tikimybė nupiešti žalią arba raudoną yra lygi.

Tą pačią tikimybę galima pavaizduoti tokia forma: .

Tai yra papildymo taisyklė: nesuderinamų įvykių tikimybės sumuojasi.

Mišraus tipo problemos

Pavyzdys.

Moneta metama du kartus. Kokia tikimybė, kad ritinių rezultatai skirsis?

Sprendimas.

Tai reiškia, kad jei pirmasis rezultatas yra galvos, antrasis turi būti uodegos ir atvirkščiai. Pasirodo, yra dvi nepriklausomų įvykių poros, ir šios poros yra nesuderinamos viena su kita. Kaip nesusipainioti, kur dauginti ir kur pridėti.

Tokioms situacijoms galioja paprasta taisyklė. Pabandykite apibūdinti, kas nutiks, naudodami jungtukus „IR“ arba „ARBA“. Pavyzdžiui, į tokiu atveju:

Jis turėtų iškilti (galvos ir uodegos) arba (uodegos ir galvos).

Ten, kur yra jungtukas „ir“, bus daugyba, o kur „arba“ – pridėjimas:

Išbandykite patys:

1. Kokia tikimybė, kad monetą išmetus du kartus, moneta abu kartus atsidurs toje pačioje pusėje?
2. Kauliukai metami du kartus. Kokia tikimybė gauti iš viso taškų?

Sprendimai:

Kitas pavyzdys:

Vieną kartą mesti monetą. Kokia tikimybė, kad galvos atsiras bent kartą?

Sprendimas:

TIKIMUMU TEORIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Tikimybė yra palankių įvykių skaičiaus ir visų galimų įvykių skaičiaus santykis.

Nepriklausomi renginiai

Du įvykiai yra nepriklausomi, jei vieno įvykis nekeičia kito įvykimo tikimybės.

Bendra tikimybė

Visų galimų įvykių tikimybė yra lygi ().

Tikimybė, kad įvykis neįvyks, yra lygi minus tikimybei, kad įvykis įvyks.

Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklė

Tam tikros nepriklausomų įvykių sekos tikimybė yra lygi kiekvieno įvykio tikimybių sandaugai

Nesuderinami įvykiai

Nesuderinami įvykiai yra tie, kurie negali įvykti vienu metu dėl eksperimento. Susidaro nesuderinamų įvykių serija pilna grupėįvykius.

Sumuojasi nesuderinamų įvykių tikimybė.

Aprašę, kas turėtų įvykti, naudodami jungtukus „IR“ arba „ARBA“, vietoje „IR“ dedame daugybos ženklą, o vietoje „ARBA“ dedame pridėjimo ženklą.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Dėl sėkmingas užbaigimas Vieningas valstybinis egzaminas, skirtas stojant į koledžą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos yra daug daugiau atvirumo daugiau galimybių ir gyvenimas taps šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Tikimybėįvykis vadinamas skaičių santykiu elementarius rezultatus, palankus Šis įvykis, į visų vienodai galimų patirties, kurioje gali atsirasti šis įvykis, baigčių skaičių. Įvykio A tikimybė žymima P(A) (čia P yra pirmoji raidė prancūziškas žodis tikimybė – tikimybė). Pagal apibrėžimą
(1.2.1)
kur yra elementarių rezultatų, palankių įvykiui A, skaičius; - visų vienodai galimų elementarių eksperimento baigčių skaičius, sudarantis visą įvykių grupę.
Šis tikimybės apibrėžimas vadinamas klasikiniu. Tai kilo ant Pradinis etapas tikimybių teorijos kūrimas.

Įvykio tikimybė turi šias savybes:
1. Tikimybė patikimas įvykis lygus vienam. Patikimą įvykį pažymėkime raide . Todėl tam tikram įvykiui
(1.2.2)
2. Neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui. Neįmanomą įvykį pažymėkime raide . Todėl neįmanomam įvykiui
(1.2.3)
3. Tikimybė atsitiktinis įvykis yra išreikštas teigiamas skaičius, mažiau nei vienas. Kadangi atsitiktinio įvykio nelygybės , arba , yra patenkinti, tada
(1.2.4)
4. Bet kokio įvykio tikimybė tenkina nelygybes
(1.2.5)
Tai išplaukia iš santykių (1.2.2) – (1.2.4).

1 pavyzdys. Urnoje yra 10 vienodo dydžio ir svorio kamuoliukų, iš kurių 4 raudoni ir 6 mėlyni. Iš urnos ištraukiamas vienas rutulys. Kokia tikimybė, kad ištrauktas rutulys bus mėlynas?

Sprendimas. Įvykį „ištrauktas rutulys pasirodė mėlynas“ žymime raide A. Šis testas turi 10 vienodai galimų elementarių rezultatų, iš kurių 6 palankūs įvykiui A. Pagal (1.2.1) formulę gauname

2 pavyzdys. Visi natūralūs skaičiai nuo 1 iki 30 užrašomi ant identiškų kortelių ir dedami į urną. Kruopščiai sumaišius kortas, viena kortelė išimama iš urnos. Kokia tikimybė, kad paimtoje kortelėje esantis skaičius yra 5 kartotinis?

Sprendimas. Pažymėkime A įvykį „paimtoje kortelėje esantis skaičius yra 5 kartotinis“. Šiame teste yra 30 vienodai galimų elementarių baigčių, iš kurių įvykiui A palankios 6 baigtys (skaičiai 5, 10, 15, 20, 25, 30). Vadinasi,

3 pavyzdys. Mesti du kauliukai ir apskaičiuojamas bendras taškų skaičius. viršutiniai veidai. Raskite įvykio B tikimybę, kad kauliukų viršutinės pusės turėtų iš viso 9 taškus.

Sprendimas.Šiame teste yra tik 6 2 = 36 vienodai galimi pagrindiniai rezultatai. B įvykiui palankios 4 baigtys: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), todėl

4 pavyzdys. Pasirinkta atsitiktinai natūralusis skaičius, neviršijant 10. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra pirminis?

Sprendimas. Raide C pažymėkime įvykį „pasirinktas skaičius pirminis“. Šiuo atveju n = 10, m = 4 ( pirminiai skaičiai 2, 3, 5, 7). Todėl reikiama tikimybė

5 pavyzdys. Metamos dvi simetriškos monetos. Kokia tikimybė, kad abiejų monetų viršutinėse pusėse yra skaičiai?

Sprendimas. D raide pažymėkime įvykį „kiekvienos monetos viršuje yra skaičius“. Šiame teste yra 4 vienodai galimos elementarios baigtys: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Žymėjimas (G, C) reiškia, kad pirmoji moneta turi herbą, antroji – skaičių). D įvykiui palankus vienas elementarus rezultatas (C, C). Kadangi m = 1, n = 4, tada

6 pavyzdys. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai parinktas dviženklis skaičius turi tuos pačius skaitmenis?

Sprendimas. Dviženkliai skaičiai yra skaičiai nuo 10 iki 99; Iš viso yra 90 tokių skaičių, 9 skaičiai turi vienodus skaitmenis (tai skaičiai 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Kadangi šiuo atveju m = 9, n = 90, tada
,
kur A yra „skaičius su vienodais skaitmenimis“ įvykis.

7 pavyzdys. Iš žodžio raidžių diferencialas Viena raidė parenkama atsitiktinai. Kokia tikimybė, kad ši raidė bus: a) balsė, b) priebalsė, c) raidė h?

Sprendimas. Žodis diferencialas turi 12 raidžių, iš kurių 5 balsės ir 7 priebalsiai. Laiškai hšiame žodyje nėra. Pažymime įvykius: A - „balsio raidė“, B - „priebalsio raidė“, C - „raidė h". Palankių elementarių baigčių skaičius: - įvykiui A, - įvykiui B, - įvykiui C. Kadangi n = 12, tada
, Ir.

8 pavyzdys. Mesti du kauliukai ir pažymimas taškų skaičius kiekvieno kauliuko viršuje. Raskite tikimybę, kad abu kauliukai ridens tas pats numeris taškų.

Sprendimas.Šį įvykį pažymėkime raide A. Įvykį A palankiai vertina 6 elementarios baigtys: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Bendras vienodai galimų elementarių baigčių, kurios sudaro visą įvykių grupę, skaičius, šiuo atveju n=6 2 =36. Tai reiškia, kad reikiama tikimybė

9 pavyzdys. Knygoje 300 puslapių. Kokia tikimybė, kad atsidarys atsitiktinai atidarytas puslapis serijos numeris, kartotinis iš 5?

Sprendimas. Iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad visi vienodai galimi elementarūs rezultatai, sudarantys visą įvykių grupę, bus n = 300. Iš jų m = 60 palankūs nurodyto įvykio įvykimui. Iš tiesų, skaičius, kuris yra 5 kartotinis, turi formą 5k, kur k yra natūralusis skaičius ir iš kur . Vadinasi,
, kur A – „puslapio“ įvykio eilės numeris yra 5 kartotinis.

10 pavyzdys. Mesti du kauliukus ir apskaičiuojama taškų suma viršutinėse pusėse. Kas labiau tikėtina – gauti 7 ar 8?

Sprendimas. Pažymėkime įvykius: A – „Išmeta 7 taškai“, B – „Išmeta 8 taškai“. Įvykiui A palankios 6 pagrindinės baigtys: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), o įvykis B yra palankesnis. pagal 5 baigtis: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Visi vienodai galimi elementari rezultatai yra n = 6 2 = 36. Taigi, Ir .

Taigi, P(A)>P(B), ty gauti iš viso 7 taškus yra labiau tikėtinas įvykis nei gauti iš viso 8 taškus.

Užduotys

1. Atsitiktinai parenkamas natūralusis skaičius, neviršijantis 30. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra 3 kartotinis?
2. Urnoje a raudona ir b mėlyni rutuliai, vienodo dydžio ir svorio. Kokia tikimybė, kad iš šios urnos atsitiktinai ištrauktas rutulys bus mėlynas?
3. Atsitiktinai parenkamas skaičius, ne didesnis kaip 30. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra 30 daliklis?
4. Urnoje A mėlyna ir b raudoni rutuliai, vienodo dydžio ir svorio. Iš šios urnos paimamas vienas rutulys ir atidėtas. Šis kamuolys pasirodė raudonas. Po to iš urnos ištraukiamas kitas rutulys. Raskite tikimybę, kad antrasis rutulys taip pat yra raudonas.
5. Atsitiktinai parenkamas nacionalinis skaičius, ne didesnis kaip 50. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra pirminis?
6. Mesti trys kauliukai ir apskaičiuojama taškų suma ant viršutinių veidelių. Kas didesnė tikimybė – surinkti 9 ar 10 balų?
7. Metami trys kauliukai ir apskaičiuojama išmesta taškų suma. Kas didesnė tikimybė – iš viso surinkti 11 (įvykis A) ar 12 taškų (įvykis B)?

Atsakymai

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 – tikimybė iš viso gauti 9 balus; p 2 = 27/216 – tikimybė iš viso gauti 10 balų; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Klausimai

1. Kaip vadinama įvykio tikimybė?
2. Kokia patikimo įvykio tikimybė?
3. Kokia yra neįmanomo įvykio tikimybė?
4. Kokios yra atsitiktinio įvykio tikimybės ribos?
5. Kokios yra bet kokio įvykio tikimybės ribos?
6. Koks tikimybės apibrėžimas vadinamas klasikiniu?

Atsakymai į bandomasis darbas pagal tikimybių teoriją padės pirmakursiams, studijuojantiems matematines disciplinas. Užduotys apima daug teorinė medžiaga, o jų sprendimo motyvas bus naudingas kiekvienam mokiniui.

Užduotis 1. Kubas su visomis nudažytomis briaunomis supjaustomas į 1000 tokio pat dydžio kubelių. Nustatykite tikimybę, kad atsitiktinai nupieštas kubas turės:

• a) vienas nudažytas kraštas;
• b) du nuspalvinti veidai.

Skaičiavimai: Jei kubas supjaustomas kubeliais tokio pat dydžio tada visi veidai bus padalinti į 100 kvadratų. (Apytiksliai kaip nuotraukoje)
Be to, atsižvelgiant į sąlygą, kubas turi turėti vieną nuspalvintą kraštą - tai reiškia, kad kubeliai turi priklausyti išorinis paviršius bet negulėkite ant kubo kraštų (2 tamsinti paviršiai), o ne ant kampų - jie turi tris šešėlinius paviršius.
Todėl reikalingas kiekis lygus 6 veidų sandaugai ir kubelių skaičiui 8*8 dydžio kvadrate.
6*8*8=384 – kubeliai su 1 dažytu paviršiumi.
Tikimybė lygi palankių įvykių skaičiui bendram jų skaičiui P=384/1000=0,384.
b) Dviejų nuspalvintų veidų išilgai kraštų yra kubeliai be pačių kubo viršūnių. Viename krašte bus 8 tokie kubeliai. Iš viso kube yra 12 kraštų, todėl turi du tamsesnius paviršius
8*12=96 kubeliai.
Ir tikimybė juos ištraukti tarp visų 1000 yra lygi
P=96/1000=0,096.
Ši užduotis išspręsta ir pereiname prie kitos.

Užduotis 2. Ant vienodų kortelių užrašomos raidės A, A, A, N, N, C. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai sudėję korteles iš eilės gausime žodį ANANONAS?
Skaičiavimai: Jūs visada turite samprotauti iš to, kas žinoma. Duotos 3 raidės A, 2-H ir 1 - C, iš viso yra 6 raidės Pradėkime rinktis žodžiui „ananasas“. Pirmoji raidė yra A, kurią galime pasirinkti 3 būdais iš 6, nes tarp 6 žinomų yra 3 raidės A. Todėl tikimybė, kad pirmiausia bus nubrėžta A, yra
P 1 = 3/6 = 1/2.
Antroji raidė yra H, tačiau nereikia pamiršti, kad ištraukus A, belieka rinktis iš 5 raidžių. Todėl tikimybė nubrėžti skaičių 2 H yra lygi
P 2 = 2/5.
Kita A tikimybė traukiama tarp 4 likusių
P 3 = 2/4.
Toliau iš tikimybės galima išskirti H
P 4 = 1/3.
Kuo arčiau pabaigos labiau tikėtina, o A jau galime išgauti su
P 5 = 1/2.
Po to lieka tik viena kortelė C, todėl tikimybė ją ištraukti yra 100 procentų arba
P 6 =1.
Tikimybė sudaryti žodį ANANASAS yra lygi tikimybių sandaugai
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
Tuo jie remiasi panašias užduotis pagal tikimybių teoriją.

Užduotis 3. Pardavėjas atsitiktine tvarka parenka pavyzdžius iš produktų partijos. Tikimybė, kad atsitiktinai paimtas produktas bus aukščiausios klasės, yra 0,8. Raskite tikimybę, kad tarp 3 pasirinktų produktų bus du aukščiausios klasės gaminiai?
Skaičiavimai: Šis pavyzdys dėl Bernulio formulės taikymo.
p=0,8; q = 1-0,8 = 0,2.
Tikimybę apskaičiuojame pagal formulę

Jei to nepaaiškinsi formulių kalba, tuomet reikia sudaryti trijų įvykių kombinacijas, iš kurių du yra palankūs, o vienas ne. Tai galima parašyti kaip produktų sumą

Abu variantai yra lygiaverčiai, tik pirmasis gali būti taikomas visose užduotyse, o antrasis – panašiose į svarstomą.

4 uždavinys. Iš penkių šaulių du pataikė į taikinį su tikimybe 0,6 ir trys su tikimybe 0,4. Kas labiau tikėtina: atsitiktinai pasirinktas šaulys pataiko į taikinį ar ne?
Skaičiavimai: naudodamiesi bendrosios tikimybės formule nustatome tikimybę, kad šaulys pataikys.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Tikimybė mažesnė nei P<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
Tikimybė nepataikyti yra

arba
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.

5 uždavinys. Iš 20 į egzaminą atėjusių mokinių 10 buvo puikiai pasiruošę (žinojo visus klausimus), 7 – gerai (žinojo po 35 klausimus), 3 – prastai (10 klausimų). Programą sudaro 40 klausimų. Atsitiktinai paskambinęs studentas atsakė į tris bilieto klausimus. Kokia tikimybė, kad jis bus pasiruošęs

• a) puikus;
• b) blogai.

Skaičiavimai: Problemos esmė ta, kad mokinys atsakė į tris biliete pateiktus klausimus, tai yra į viską, kas buvo užduota, bet dabar paskaičiuosime kokia tikimybė juos gauti.
Raskime tikimybę, kad mokinys teisingai atsakė į tris klausimus. Tai bus mokinių skaičiaus ir visos grupės santykis, padaugintas iš tikimybės ištraukti bilietus, kuriuos jie žino iš visų galimų

Dabar suraskime tikimybę, kad studentas priklauso grupei, kuri yra „puikiai“ paruošta. Tai atitinka preliminarios tikimybės pirmojo nario santykį su pačia tikimybe

Tikimybė, kad mokinys priklauso grupei, kuri buvo prastai pasiruošusi, yra gana maža ir lygi 0,00216.

Ši užduotis atlikta. Gerai supraskite ir atsiminkite, kaip jį apskaičiuoti, nes tai įprasta viktorinose ir testuose.

6 uždavinys. Moneta metama 5 kartus. Raskite tikimybę, kad herbas atsiras mažiau nei 3 kartus?
Skaičiavimai: Tikimybė nupiešti herbą ar uodegą lygi ir lygi 0,5. Mažiau nei 3 kartus reiškia, kad herbas gali būti 0, 1 arba 2 kartus. „Arba“ operacijose visada išreiškiama tikimybe pridedant.
Tikimybes randame naudodami Bernulio formulę

Kadangi p=q=0,5, tai tikimybė yra

Tikimybė yra 0,5.

7 uždavinys. Štampuojant metalinius gnybtus gaunama vidutiniškai 90% standartinių. Raskite tikimybę, kad iš 900 terminalų mažiausiai 790 ir daugiausiai 820 terminalų bus standartiniai.

Skaičiavimai: Skaičiavimai turi būti atlikti

Poreikis veikti pagal tikimybes atsiranda tada, kai žinomos kai kurių įvykių tikimybės ir reikia apskaičiuoti kitų įvykių, kurie yra susiję su šiais įvykiais, tikimybes.

Tikimybių sudėjimas naudojamas, kai reikia apskaičiuoti atsitiktinių įvykių kombinacijos arba loginės sumos tikimybę.

Įvykių suma A Ir Bžymėti A + B arba A ∪ B. Dviejų įvykių suma yra įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvyksta bent vienas iš įvykių. Tai reiškia kad A + B– įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvykis įvyko stebėjimo metu A arba renginys B, arba vienu metu A Ir B.

Jei įvykiai A Ir B yra tarpusavyje nesuderinami ir pateikiamos jų tikimybės, tada tikimybė, kad vienas iš šių įvykių įvyks po vieno bandymo, apskaičiuojama pridedant tikimybes.

Tikimybių sudėjimo teorema. Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų tarpusavyje nesuderinamų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:

Pavyzdžiui, medžiojant paleidžiami du šūviai. Renginys A– pataikymas į antį pirmu šūviu, įvykis IN– pataikymas iš antro šūvio, įvykis ( A+ IN) – pataikymas iš pirmo ar antro šūvio arba iš dviejų šūvių. Taigi, jei du įvykiai A Ir IN– tada nesuderinami įvykiai A+ IN– bent vieno iš šių įvykių arba dviejų įvykių.

1 pavyzdys. Dėžutėje yra 30 vienodo dydžio kamuoliukų: 10 raudonų, 5 mėlynų ir 15 baltų. Apskaičiuokite tikimybę, kad nežiūrint bus paimtas spalvotas (ne baltas) rutulys.

Sprendimas. Tarkime, kad įvykis A- „raudonas kamuolys paimtas“ ir įvykis IN- „Mėlynas kamuolys buvo paimtas“. Tada įvykis yra „paimamas spalvotas (ne baltas) kamuolys“. Raskime įvykio tikimybę A:

ir įvykius IN:

Renginiai A Ir IN– tarpusavyje nesuderinama, nes paėmus vieną rutulį, tai neįmanoma paimti skirtingų spalvų kamuoliukų. Todėl naudojame tikimybių pridėjimą:

Kelių nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimo teorema. Jei įvykiai sudaro visą įvykių rinkinį, tada jų tikimybių suma lygi 1:

Priešingų įvykių tikimybių suma taip pat lygi 1:

Priešingi įvykiai sudaro visą įvykių rinkinį, o viso įvykių rinkinio tikimybė yra 1.

Priešingų įvykių tikimybės dažniausiai nurodomos mažomis raidėmis p Ir q. Visų pirma,

iš kurių išplaukia šios priešingų įvykių tikimybės formulės:

2 pavyzdys. Taikinys šaudykloje yra padalintas į 3 zonas. Tikimybė, kad tam tikras šaulys šaudys į taikinį pirmoje zonoje yra 0,15, antroje zonoje – 0,23, trečioje – 0,17. Raskite tikimybę, kad šaulys pataikys į taikinį, ir tikimybę, kad šaulys nepataikys į taikinį.

Sprendimas: Raskite tikimybę, kad šaulys pataikys į taikinį:

Raskime tikimybę, kad šaulys nepataikys į taikinį:

Sudėtingesnes problemas, kuriose reikia naudoti ir tikimybių sudėjimą, ir dauginimą, rasite puslapyje „Įvairios problemos, susijusios su tikimybių sudėjimu ir daugyba“.

Abipusiai vienalaikių įvykių tikimybių sudėjimas

Du atsitiktiniai įvykiai vadinami jungtiniais, jei vieno įvykio įvykis neatmeta galimybės įvykti antrojo įvykio tame pačiame stebėjime. Pavyzdžiui, metant kauliuką įvykis A Skaičius 4 laikomas išleistu, ir įvykis IN– lyginio skaičiaus ridenimas. Kadangi 4 yra lyginis skaičius, šie du įvykiai yra suderinami. Praktikoje kyla problemų apskaičiuojant vieno iš abipusiai vienu metu vykstančių įvykių tikimybę.

Tikimybių sudėjimo teorema bendriems įvykiams. Tikimybė, kad įvyks vienas iš bendrų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai, iš kurios atimama abiejų įvykių bendro įvykio tikimybė, tai yra tikimybių sandauga. Bendrų įvykių tikimybių formulė yra tokia:

Nuo įvykių A Ir IN suderinamas, įvykis A+ INįvyksta, jei įvyksta vienas iš trijų galimų įvykių: arba AB. Pagal nesuderinamų įvykių pridėjimo teoremą apskaičiuojame taip:

Renginys Aįvyks, jei įvyks vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių: arba AB. Tačiau vieno įvykio iš kelių nesuderinamų įvykių tikimybė yra lygi visų šių įvykių tikimybių sumai:

Taip pat:

Pakeitę išraiškas (6) ir (7) į išraišką (5), gauname bendrų įvykių tikimybės formulę:

Naudojant (8) formulę, reikia atsižvelgti į tai, kad įvykiai A Ir IN gali būti:

• tarpusavyje nepriklausomi;
• viena nuo kitos priklausomos.

Tikimybių formulė viena kitai nepriklausomiems įvykiams:

Tikimybių formulė viena kitai priklausomiems įvykiams:

Jei įvykiai A Ir IN yra nenuoseklūs, tada jų sutapimas yra neįmanomas atvejis ir todėl P(AB) = 0. Ketvirtoji nesuderinamų įvykių tikimybės formulė yra:

3 pavyzdys. Automobilių lenktynėse, kai vairuoji pirmą automobilį, turi didesnę galimybę laimėti, o kai vairuoji antrą automobilį. Rasti:

• tikimybė, kad laimės abu automobiliai;
• tikimybė, kad laimės bent vienas automobilis;

1) Tikimybė, kad laimės pirmasis automobilis, nepriklauso nuo antrojo automobilio rezultato, todėl įvykiai A(laimi pirmas automobilis) ir IN(laimės antrasis automobilis) – nepriklausomi renginiai. Raskime tikimybę, kad laimės abu automobiliai:

2) Raskite tikimybę, kad laimės vienas iš dviejų automobilių:

Sudėtingesnes problemas, kuriose reikia naudoti ir tikimybių sudėjimą, ir dauginimą, rasite puslapyje „Įvairios problemos, susijusios su tikimybių sudėjimu ir daugyba“.

Pats išspręskite tikimybių pridėjimo problemą, tada pažiūrėkite į sprendimą

4 pavyzdys. Mestos dvi monetos. Renginys A- herbo praradimas ant pirmosios monetos. Renginys B- antrosios monetos herbo praradimas. Raskite įvykio tikimybę C = A + B .

Tikimybių dauginimas

Tikimybių daugyba naudojamas, kai reikia apskaičiuoti įvykių loginės sandaugos tikimybę.

Šiuo atveju atsitiktiniai įvykiai turi būti nepriklausomi. Sakoma, kad du įvykiai yra vienas nuo kito nepriklausomi, jei vieno įvykio įvykis neturi įtakos antrojo įvykio tikimybei.

Tikimybių daugybos teorema nepriklausomiems įvykiams. Dviejų nepriklausomų įvykių vienu metu tikimybė A Ir IN yra lygus šių įvykių tikimybių sandaugai ir apskaičiuojamas pagal formulę:

5 pavyzdys. Moneta metama tris kartus iš eilės. Raskite tikimybę, kad herbas pasirodys visus tris kartus.

Sprendimas. Tikimybė, kad herbas atsiras pirmą kartą metant monetą, antrą kartą ir trečią kartą. Raskime tikimybę, kad herbas atsiras visus tris kartus:

Pats išspręskite tikimybių daugybos uždavinius ir tada pažiūrėkite į sprendimą

6 pavyzdys. Yra devynių naujų teniso kamuoliukų dėžutė. Norint žaisti, paimami trys kamuoliukai, o po žaidimo jie grąžinami atgal. Renkantis kamuoliukus, sužaisti kamuoliai neskiriami nuo nežaistų kamuolių. Kokia tikimybė, kad po trijų žaidimų dėžėje neliks nesužaistų kamuolių?

7 pavyzdys. Ant iškirptų abėcėlės kortelių užrašytos 32 rusiškos abėcėlės raidės. Atsitiktinai viena po kitos ištraukiamos penkios kortos ir dedamos ant stalo išvaizdos tvarka. Raskite tikimybę, kad raidės sudarys žodį „pabaiga“.

8 pavyzdys. Iš pilnos kortų kaladės (52 lapai) iš karto išimamos keturios kortos. Raskite tikimybę, kad visos keturios šios kortos bus skirtingų spalvų.

9 pavyzdys. Ta pati užduotis kaip ir 8 pavyzdyje, bet kiekviena korta išėmus grąžinama į kaladę.

Sudėtingesnes problemas, kuriose reikia naudoti ir tikimybių sudėtį, ir daugybą, taip pat apskaičiuoti kelių įvykių sandaugą, rasite puslapyje „Įvairios problemos, susijusios su tikimybių sudėjimu ir daugyba“.

Tikimybę, kad įvyks bent vienas iš tarpusavyje nepriklausomų įvykių, galima apskaičiuoti iš 1 atėmus priešingų įvykių tikimybių sandaugą, tai yra, naudojant formulę:

10 pavyzdys. Kroviniai pristatomi trimis transporto rūšimis: upių, geležinkelių ir kelių transportu. Tikimybė, kad krovinys bus pristatytas upių transportu – 0,82, geležinkelių transportu – 0,87, o kelių transportu – 0,90. Raskite tikimybę, kad krovinys bus pristatytas bent viena iš trijų transporto rūšių.

1 paskaita.

Tikimybė

Tikimybių teorijoje nagrinėjami tokie reiškiniai ar eksperimentai, kurių konkretus rezultatas nėra vienareikšmiškai nulemtas eksperimento sąlygų (atsitiktinai), bet remiantis daugelio eksperimentų rezultatais, vidutiniškai gali būti prognozuojamas (statistinio stabilumo savybė).

Elementarus įvykis (elementarus rezultatas) Bet koks įvykis vadinamas patirties rezultatu, kuris negali būti pavaizduotas kaip kitų įvykių derinys. Kadangi eksperimento rezultatas yra atsitiktinis, tai bet koks elementarus įvykis nuo šiol tiesiog kalbėsime apie įvykius, neakcentuodami jų atsitiktinumo.

Elementarių įvykių erdvėW(rezultatai) vadinama visų elementariųjų įvykių (rezultatų) visuma. (w 1 , …w n … ), jei dėl eksperimento būtinai įvyksta bet kuris elementarus rezultatas ir tik vienas (vienas rezultatas neįtraukia jokių kitų). Elementariųjų įvykių erdvėje gali būti baigtinis, suskaičiuojamas ir net begalinis elementariųjų įvykių rinkinys.

Atsitiktinis įvykis (įvykis) vadinamas elementariųjų įvykių erdvės poaibiu. Bet koks rinkinys yra elementų rinkinys. Įvykio elementai yra elementarūs įvykiai, sudarantys tą įvykį.

Pavyzdys. Išmeta viena moneta, ji gali nukristi ant galvų (w 1 = G) arba ant uodegų (w 1 = P). W=(G,P).

Pavyzdys. Dvi monetos metamos W = ((G, G), (G,P), (P,G), (P,P))

Pavyzdys. Lietaus lašas iškrenta ant stačiakampio ploto.

W= ((x,y), a

Patikimas renginys– įvykis, kuris visada įvyksta dėl tam tikros patirties, jame yra visi elementarūs įvykiai ir žymimas W.

Neįmanomas įvykis– įvykis, kuris negali įvykti dėl tam tikros patirties, jame nėra elementarių įvykių ir žymimas Æ.

Veiksmai dėl įvykių.

Įvykiai apibrėžiami kaip rinkiniai, todėl veiksmai su jais yra panašūs į veiksmus su rinkiniais ir yra gerai iliustruojami Venno diagramomis.

Erdvė Wžymėsime stačiakampį, elementarųjį įvykį – stačiakampio tašką, o kiekvieną įvykį – šio stačiakampio taškų poaibį. Įvykių operacijos rezultatas bus tamsintas.

Tegul kortas pasirenka iš kortų kaladės. Įvykis A – raudonos kortelės pasirinkimas, įvykis B – dešimties pasirinkimas

Operacijų su įvykiais ypatybės

1. = Ø 6. A = A

2. A + A = A 7. AØ = Ø Trumpas. Jeigu A IN, Tai

3. A A = A 8 = AA + B = B

4. A + = 9. A B = A

5. A + Ø = A 10. = Ø

Operacijų komutaciškumas

A + B = B + A; A B = B A

Operacijų asociatyvumas

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C A(B C) = (A B) C = A B C

Sudėjimo operacijos pasiskirstymas daugybos atžvilgiu

A (B + C) = A B + A C

Daugybos operacijos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu

A + (B C) = (A + B) (A + C)

Pavyzdys. Apskaičiuokime (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.

Iš tiesų, BAÌA, ACÌA, AA=A, tada AA+BA=A, A+AC=A.

Dvigubumo taisyklė (de Morgano teorema)

Bet kuriam sudėtingam įvykiui, išreikštam įvykių suma ir sandauga (net ir suskaičiuojamo skaičiaus), priešingą įvykį galima gauti pakeičiant įvykius jų priešingybėmis ir sandaugos ženklą pakeitus sumos ženklu, o ženklą sumos su prekės ženklu, paliekant nepakeistą operacijų tvarką

Pavyzdys .

Įvykių algebra.

Tegu W elementariųjų įvykių erdvė. Įvykių S algebra yra atsitiktinių įvykių S sistema, tokia, kad

1) SÉW, 2) " A, B Ì S Þ A+BÌS, ABÌS, ABÌS.

Išvada Æ= WW Ì S

Tegu W turi baigtinį elementų skaičių W= (w 1 ,…w n ). Tada algebrą S galima sudaryti kaip visų W poaibių aibę.

S=(Æ, (w 1 ), … (w n ), (w 1 ,w 2 ), …(w 1 ,w n ), …(w n -1 ,w n ), …(w 1, …, w n )) , jis turi tik 2 n elementus

Suskaičiuojamo įvykių skaičiaus algebra sukonstruota panašiai.

Jei atlikus eksperimentą paaiškėjo, ar įvykiai A, B įvyko ar ne, tada galime daryti išvadą, ar įvykiai , A+B, AB, AB įvyko ar ne, todėl įvykiai turi būti atrenkami iš tam tikros klasės - įvykių algebra.

Begaliniam (nesuskaičiuojamam) įvykių skaičiui įvykių klasė turi būti susiaurinta. Supažindinama su įvykių s-algebra.

Sigma algebra (s-algebra) įvykiųB yra netuščia elementariųjų įvykių erdvės poaibių sistema, tokia, kad

2) A 1 , A 2 , …A n , …ÌBÞ(A 1 +A 2 + …+A n +, …)ÌB, …ÌB.

Bet kokia įvykių sigma algebra yra įvykių algebra, bet ne atvirkščiai.

Tikimybė.

Klasikinis įvykio tikimybės apibrėžimas

Klasikiniame tikimybės apibrėžime daroma prielaida, kad elementariųjų įvykių erdvė Ω yra ribotas skaičius elementarių rezultatų, kurie visi yra vienodai įmanomi.

Atvejai vadinami vienodai įmanomais, nesuderinamais įvykiais, kurie sudaro visą grupę.

Klasikiniame tikimybės apibrėžime esame atvejų rėmuose ta prasme lygiai taip pat galimi elementarūs įvykiai, t.y. atstovauti bylas.

Leisti N– bendras bylų skaičius Ω , A NA – atvejų, sudarančių įvykį, skaičius A(arba, kaip sakoma, palankus renginiui A).

Apibrėžimas. Įvykio A tikimybė vadinamas skaičių santykiu N A įvykiui A palankių atvejų į bendrą N atvejų skaičių, t.y. P(A) = . Šis įvykio tikimybės apibrėžimas paprastai vadinamas klasikinis tikimybės apibrėžimas.

Pavyzdžiai. 1. Kauliuko metimas. Ω = {w 1 , w 2 ,…, w 6 } N = 6.

A – taškų skaičius yra trijų kartotinis A = ( w 3 , w 6 } N A = 2.

2. 2 kauliukų metimas. Ω = {w 11 , w 12 ,…, w 66 }; N =36.

wkl = (a k, b l), k, l =

A– skaičių (taškų) suma lygi 5. A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; N A = 4

.

3. Urnoje yra balti ir b juodi rutuliukai. Patirtis – traukiamas vienas kamuoliukas.

A – juodas rutulys.

Remiantis klasikiniu tikimybės apibrėžimu, nesunku įrodyti tikimybės savybes:

1) P( Ω ) = 1 (N A = N);

3) Jei A B= Ø, tada P(A + B) = P(A) + P(B)( N A + B= N A+ N B)

ir jų pasekmes

4) R(Ø) = 0 ( N Ø) = 0;

5) P() = 1- P(A) ( = Ø, P(A) + P( ) = 1);

6) Jei , tada P(A) P(B) (N A N B).

Praktiškai taikant klasikinę tikimybių formulę, sunkiausia yra nustatyti bendrą vienodai galimų baigčių skaičių ir palankių baigčių skaičių.

Čia jis naudojamas Pagrindinis kombinatorikos principas: Tegul kuri nors operacija P yra n operacijų seka P k (k=1, …n), kurių kiekvieną galima atlikti m r būdų. Tada operaciją P galima atlikti būdais.

Iš n elementų po vieną išsirinkime m elementų (pavyzdžiui, rutuliukų). Galime grąžinti kitą rutulį (iki n kamuoliukų skaičiaus), tada su kiekvienu sekančiu pasirinkimu turėsime tuos pačius n kamuoliukų. Toks pavyzdys vadinamas pavyzdžiu Sveikas sugrįžęs. Arba galime negrąžinti kamuolio, tada su kiekvienu pasirinkimu rinksimės iš vis mažesnio kamuoliukų skaičiaus. Toks pavyzdys vadinamas pavyzdžiu jokios grąžos. Kita vertus, galime atsižvelgti į įsakymas kamuoliukų išvaizda. Toks pavyzdys vadinamas užsakytas arba apgyvendinimas nuonkamuoliai priemkamuoliukus. Jei renkantis neatsižvelgiama į kamuoliukų eiliškumą, svarbu tik kokie kamuoliukai parenkami, bet ne kokia tvarka, tada toks pasirinkimas vadinamas netvarkingas arba Kombinacijankamuoliai priemkamuoliukus. Išsiaiškinkime, kiek būdų galima padaryti tam tikrą pavyzdį

Vietų formulės lengvai gaunamos iš kombinatorikos principo. Norint pereiti nuo talpinimo vietų (be grąžinimų) prie kombinacijų (be grąžinimų), reikia užsakyti pasirinkimus, t.y. neįtraukti tuos, kurie skiriasi tik elementų tvarka. Vadinami pavyzdžiai, kurie skiriasi tik elementų tvarka permutacijas. M elementų permutacijų skaičius lygus P m ==m!. Štai kodėl .

Priimsime formulę kombinacijų su pasikartojimu be įrodymo (jos įrodymas pateiktas XV1 numeryje 50 – 51 p.).

Pavyzdys. Iš urnos, kurioje yra 3 rutuliai (n=3), parenkami du rutuliai (m=2). Pateikiame šiuos pavyzdžius.

1) Apgyvendinimas su grąžinimu

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 3 2 = 9.

2) Apgyvendinimas (negrąžintinas) (1.2) (1.3) (2.1) (2.3) (3.1) (3.2) .

3) Deriniai su grąža (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)

4) Deriniai (be grąžos) (1,2) (1,3) (2,3) .

Pavyzdys. Sugedusių dalių mėginių ėmimo problema.

N vienodų dalių partijoje M yra su defektais. Parenka (negrąžinant) n dalių. Kokia tikimybė, kad tarp jų bus lygiai m brokuotų?

Bendras atvejų skaičius (N dalių deriniai iš n) lygus . Atrenkame m brokuotą detalę tarp M brokuotų dalių, bet tuo pačiu atrenkame (n-m) dalių be defektų tarp N-M dalių be defektų. Tada pagal pagrindinį kombinatorikos principą tokiam pasirinkimui palankios bylos. Todėl norima tikimybė yra lygi .

Geometrinė tikimybė

Klasikinė tikimybių formulė taikoma tik atvejo schemoje, kas yra gana reta. Požiūris P(A)=N A/ N reiškia palankių rezultatų „dalelę“ tarp visų galimų rezultatų. Panašiai apskaičiuojama įvykio tikimybė kai kuriais sudėtingesniais atvejais, kai yra begalinis numerį vienodai įmanoma rezultatus.

Pavyzdys. Susitikimo problema. Du mokiniai susitarė susitikti nuo 10 iki 11 valandos tam tikroje vietoje, o pirmasis atvykęs 15 minučių laukia draugo ir išeina. Kokia susitikimo tikimybė?

Pasirinkime koordinačių sistemos pradžią taške (10, 10). Nubraižykime išilgai koordinačių sistemos ašių x – pirmojo mokinio atvykimo laikas, y – antrojo mokinio atvykimo laikas.

Tada rinkinys |x-y|<1/4, 0

yra studentų susitikimo vietos (įvykiai). Jo matas (plotas) mesA lygus 1- (3/4) 2 = 7/16. Kadangi mesW =1, tada P(A) = 7/16.

Statistinė tikimybė

Klasikinės tikimybės ir geometrinės tikimybės formulės galioja tik tuo atveju vienodai įmanoma rezultatus. Tiesą sakant, praktiškai mes turime nevienodai įmanoma rezultatus. Tokiais atvejais galite nustatyti atsitiktinio įvykio tikimybę naudodami sąvoką įvykių dažnis . Tarkime, kad turime nustatyti tikimybę, kad bandyme įvyks įvykis A. Norėdami tai padaryti, bandymai atliekami identiškomis sąlygomis, kurių kiekviena gali turėti du rezultatus: A Ir . Dažnis įvykius A vadinsime skaičiaus santykiu N A bandymų, kurių įvykis A buvo įrašytas į bendrą skaičių N bandymai.

Įvykio A tikimybė vadinama įvykio A dažnio riba neribotai didėjant bandymų skaičiuin, tie. . Taip nustatoma statistinė įvykio tikimybė .

Atkreipkite dėmesį, kad pagal klasikinius, geometrinius ir statistinius apibrėžimus įvykio P(A) tikimybė turi tris pagrindines savybes:

P(A)³0, 2) P(W)=1, 3) P(A 1 + …+A n) = P(A 1) + …+P(A n), jei A 1, A n yra poros nenuoseklus . Tačiau šiuose apibrėžimuose daroma prielaida, kad elementarūs įvykiai yra vienodai įmanomi.

A.N. Kolmogorovas atsisakė vienodos elementarių įvykių galimybės prielaidos, įvedė įvykių sigmos algebrą ir išplėtė trečiąją savybę iki suskaičiuojamo įvykių skaičiaus. Tai leido pateikti aksiomatinį įvykio tikimybės apibrėžimą.

Aksiominis tikimybės apibrėžimas(pagal A.N. Kolmogorovą).

Tikimybė P(A) yra skaitinė funkcija, apibrėžta įvykių sigmos algebroje, tenkinanti tris aksiomas:

1) neneigiamumas P(A)³0, „AÎB – sigma – įvykių algebra W

2) normalizavimas P(W) = 1

3) išplėstinė sudėjimo aksioma: bet kokiems poroms nesuderinamiems įvykiams A 1 , ... A n ... patenkinti

P(A 1 + …+A n + …) = P(A 1) + …+P(A n) +…

(skaičiuojamas adityvumas).

Taigi, pasak A.N. Kolmogorovas tikimybė (tikimybės matas) – skaitinė neneigiama normalizuota skaičiuojamai adityvinė funkcija (aibės – įvykiai), apibrėžta įvykių sigmos algebroje.

Jei W susideda iš baigtinio arba suskaičiuojamo įvykių skaičiaus, tada įvykių algebra S gali būti laikoma sigma algebra B. Tada pagal 3 aksiomą bet kurio įvykio A tikimybė yra lygi elementariųjų įvykių, sudarančių A, tikimybių sumai.

Tikimybių erdvė vadinamas trigubu (W, B, P).

Tikimybių savybės

1) . Tiesą sakant, jie yra nesuderinami. Pagal 3 aksiomą.

2) P(Æ) = 0. Kadangi „A A+Æ = A, pagal aksiomą 3 P(A+Æ) = P(A) + P(Æ) = P(A) ÞP(Æ) = 0

3) Jei AÌ B, tai P(A) £ P(B). Kadangi B = A+ BA, pagal aksiomą 3 P(B) = P(A) + P(BA), bet pagal aksiomą 1 P(BA)³0

Pavyzdys. Iš urnos su keturiais kamuoliukais su skaičiais 1, 2, 3, 4 atsitiktine tvarka tris kartus išimamas rutulys ir užrašomas jo numeris a) grąžinant kamuoliukus b) negrąžinant kamuoliukų. Kokia tikimybė 1) gauti 111 derinį, 2) sudaryti didėjančią seką iš kamuoliukų skaičių?

A) atveju mes turime vietas su grąža, N = 4 3, 1), N A =1, P = ¼ 3, 2) N A =, nes didėjanti seka visada gali būti sudaryta iš nesikartojančių skaičių, P = / 4 3.

Jei b) N = ,1) P = 0, kadangi rutuliukų skaičiai nesikartoja, tai N A =0, 2) P = 1, nes N = N A = .

Pavyzdys. Penki žmonės įsėda į metro traukinį, kurį sudaro penki automobiliai. Kokia tikimybė, kad jie atsidurs skirtinguose automobiliuose?

Bendras elementarių įvykių skaičius yra lygus pozicijų skaičiui, kai pasikartoja penki elementai iš penkių N = 5 5 . Elementarių įvykių, sudarančių A, skaičius yra 5! Todėl P = 5! / 5 5.

1 ir 2 paskaitos buvo parašytos remiantis V.F. Panov su originalia medžiaga ir pavyzdžiais