Аливаа логарифмын тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Жишээ нь:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Логарифм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ:

Логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ түүнийг \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) хэлбэрт хувиргаж, дараа нь \(f(x) хэлбэрт шилжихийг хичээх хэрэгтэй. )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Жишээ:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Шийдэл:
\(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\)
\(x-2=8\)
\(x=10\)
Шалгалт:\(10>2\) - DL-д тохиромжтой
Хариулт:\(x=10\)

ОДЗ:
\(x-2>0\)
\(x>2\)

Маш чухал!Энэ шилжилтийг зөвхөн дараах тохиолдолд хийх боломжтой.

Та анхны тэгшитгэлийг бичсэн бөгөөд эцэст нь олдсон нь ODZ-д орсон эсэхийг шалгах болно. Хэрэв энэ нь хийгдээгүй бол нэмэлт үндэс гарч ирэх бөгөөд энэ нь буруу шийдвэр гэсэн үг юм.

Зүүн ба баруун талд байгаа тоо (эсвэл илэрхийлэл) ижил байна;

Зүүн ба баруун талд байгаа логарифмууд нь "цэвэр", өөрөөр хэлбэл үржүүлэх, хуваах гэх мэт зүйл байх ёсгүй. – тэнцүү тэмдгийн хоёр талд зөвхөн ганц логарифм байна.

Жишээ нь:

3 ба 4-р тэгшитгэлийг хэрэглэх замаар амархан шийдэж болохыг анхаарна уу шаардлагатай шинж чанаруудлогарифмууд.

Жишээ . \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл :

		ODZ-г бичье: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Зүүн талд логарифмын өмнө коэффициент, баруун талд логарифмын нийлбэр байна. Энэ нь биднийг зовоож байна. Энэ хоёрыг шинж чанарын дагуу \(x\) илтгэгч рүү шилжүүлье: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Дараах шинж чанарын дагуу логарифмын нийлбэрийг нэг логарифм хэлбэрээр илэрхийлье: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Бид тэгшитгэлийг \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) болгож багасгаж, ODZ-г бичсэн нь \(f(x) хэлбэр рүү шилжиж болно гэсэн үг юм. =g(x)\ ).
		Энэ нь ажилласан. Бид үүнийг шийдэж, үндсийг нь авдаг.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Бид үндэс нь ODZ-д тохиромжтой эсэхийг шалгадаг. Үүнийг хийхийн тулд \(x>0\) дотор \(x\)-ын оронд \(5\) ба \(-5\) орлуулна. Энэ үйлдлийг амаар хийж болно.
\(5>0\), \(-5>0\)		Эхний тэгш бус байдал үнэн, хоёр дахь нь тийм биш. Энэ нь \(5\) нь тэгшитгэлийн үндэс, харин \(-5\) биш гэсэн үг. Бид хариултаа бичнэ.

Хариулт : \(5\)

Жишээ : \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл :

		ODZ-г бичье: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		-ийг ашиглан шийддэг ердийн тэгшитгэл. \(\log_2⁡x\)-г \(t\) гэж солино.
\(t=\log_2⁡x\)
		Бид ердийн нэгийг нь авсан. Бид түүний үндсийг хайж байна.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Урвуу орлуулалт хийх
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Бид баруун талын талыг логарифм болгон хувиргадаг: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) ба \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Одоо бидний тэгшитгэл нь \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) бөгөөд бид \(f(x)=g(x)\) руу шилжиж болно.
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Бид ODZ-ийн үндэсийн захидал харилцааг шалгадаг. Үүнийг хийхийн тулд \(4\) ба \(2\)-г \(x\)-ийн оронд \(x>0\) тэгш бус байдалд оруулна.
\(4>0\) \(2>0\)		Хоёр тэгш бус байдал хоёулаа үнэн. Энэ нь \(4\) ба \(2\) хоёулаа тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг.

Хариулт : \(4\); \(2\).

Асаалттай энэ хичээлБид гол зүйлийг давтах болно онолын баримтуудлогарифмын тухай, хамгийн энгийн логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар бодож үзээрэй.

Танд сануулъя төв тодорхойлолт- логарифмын тодорхойлолт. Энэ нь шийдвэртэй холбоотой экспоненциал тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлнэг язгууртай, үүнийг b-ийн логарифм гэж нэрлэдэг a суурь:

Тодорхойлолт:

b-ийн а суурийн логарифм нь b-ийг авахын тулд а суурийг өсгөх ёстой илтгэгч юм.

Танд сануулъя үндсэн логарифмын ижилсэл .

Илэрхийлэл (илэрхийлэл 1) нь тэгшитгэлийн үндэс юм (илэрхийлэл 2). 2-р илэрхийлэлд x-ийн оронд 1-ийн x утгыг орлуулж, үндсэн логарифмын ижилсэлтийг авна.

Тиймээс бид үнэ цэнэ бүр утгатай холбоотой болохыг харж байна. Бид b-г x(), c-г y-ээр тэмдэглэж, логарифм функцийг олж авна.

Жишээ нь:

Үндсэн шинж чанаруудыг санацгаая логарифм функц.

Логарифмын суурь нь хатуу эерэг илэрхийлэл байж болох тул энд дахин анхаарлаа хандуулцгаая.

Цагаан будаа. 1. Янз бүрийн суурьтай логарифм функцийн график

at функцийн графикийг хар өнгөөр үзүүлэв. Цагаан будаа. 1. Хэрэв аргумент тэгээс хязгаар хүртэл нэмэгдвэл функц нь хасахаас нэмэх хязгаар хүртэл нэмэгдэнэ.

Функцийн графикийг улаанаар харуулав. Цагаан будаа. 1.

Энэ функцийн шинж чанарууд:

Хамрах хүрээ: ;

Утгын хүрээ: ;

Функц нь бүх тодорхойлолтын хүрээнд нэг хэвийн байна. Нэг хэвийн (хатуу) нэмэгдэхэд, илүү өндөр үнэ цэнэаргумент нь функцийн том утгатай тохирч байна. Монотоник (хатуу) буурах үед аргументийн том утга нь тохирно бага утгафункцууд.

Логарифмын функцийн шинж чанарууд нь янз бүрийн логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх түлхүүр юм.

Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэлийг авч үзье, бусад бүх логарифмын тэгшитгэлүүд нь дүрмээр бол энэ хэлбэрт буурдаг.

Логарифмын суурь болон логарифмууд нь өөрөө тэнцүү тул логарифмын доорх функцууд нь мөн адил тэнцүү боловч бид тодорхойлолтын мужийг алдах ёсгүй. Логарифм нь зөвхөн зогсож чадна эерэг тоо, бидэнд байна:

Бид f ба g функцууд тэнцүү болохыг олж мэдсэн тул ODZ-д нийцүүлэхийн тулд аль нэг тэгш бус байдлыг сонгоход хангалттай.

Тиймээс бид тэгшитгэл ба тэгш бус байдал бүхий холимог системтэй болно.

Дүрмээр бол тэгш бус байдлыг шийдэх шаардлагагүй, тэгшитгэлийг шийдэж, олсон үндсийг тэгш бус байдалд орлуулахад хангалттай.

Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэлийг шийдэх аргыг томъёолъё.

Логарифмын суурийг тэнцүүлэх;

Дэд логарифмын функцуудыг тэнцүүлэх;

Шалгалт хийх.

Тодорхой жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ 1 - тэгшитгэлийг шийд:

Логарифмын суурь нь эхлээд тэнцүү, бид дэд логарифмын илэрхийллүүдийг тэнцүүлэх эрхтэй, ODZ-ийн талаар бүү мартаарай, бид тэгш бус байдлыг бүрдүүлэх эхний логарифмийг сонгоно.

Жишээ 2 - тэгшитгэлийг шийд:

Энэ тэгшитгэл нь өмнөхөөсөө ялгаатай бөгөөд логарифмын суурь нь нэгээс бага боловч энэ нь шийдэлд ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй.

Үндэсийг олоод тэгш бус байдалд орлъё:

Бид буруу тэгш бус байдлыг хүлээн авсан бөгөөд энэ нь олсон үндэс нь ODZ-ийг хангахгүй гэсэн үг юм.

Жишээ 3 - тэгшитгэлийг шийд:

Логарифмын суурь нь эхлээд тэнцүү, бид дэд логарифмын илэрхийллүүдийг тэнцүүлэх эрхтэй, ODZ-ийн талаар бүү мартаарай, бид тэгш бус байдлыг бүрдүүлэх хоёр дахь логарифмийг сонгоно.

Үндэсийг олоод тэгш бус байдалд орлъё:

Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн эхний үндэс нь ODZ-ийг хангадаг.

Логарифмын илэрхийлэл, шийдвэрлэх жишээ. Энэ нийтлэлд бид логарифмыг шийдвэрлэхтэй холбоотой асуудлуудыг авч үзэх болно. Даалгаврууд нь илэрхийллийн утгыг олох асуултыг тавьдаг. Логарифмын тухай ойлголтыг олон ажилд ашигладаг бөгөөд түүний утгыг ойлгох нь маш чухал гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Улсын нэгдсэн шалгалтын хувьд логарифмыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг хэрэглээний асуудлууд, мөн функцийг судлахтай холбоотой даалгаварт.

Логарифмын утгыг ойлгохын тулд жишээ татъя.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг:

Үргэлж санаж байх ёстой логарифмын шинж чанарууд:

* Бүтээгдэхүүний логарифм нийлбэртэй тэнцүү байнахүчин зүйлийн логарифмууд.

* * *

*Хэсгийн логарифм (бутархай) зөрүүтэй тэнцүү байнахүчин зүйлийн логарифмууд.

* * *

*Зэрэглэлийн логарифм бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнатүүний суурийн логарифмээр илэрхийлнэ.

* * *

*Шинэ суурь руу шилжих

* * *

Бусад үл хөдлөх хөрөнгө:

* * *

Логарифмын тооцоолол нь илтгэгчийн шинж чанарыг ашиглахтай нягт холбоотой.

Тэдгээрийн заримыг жагсаацгаая:

Мөн чанар энэ өмчийнЭнэ нь тоологчийг хуваагч болон эсрэгээр шилжүүлэхэд илтгэгчийн тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгддөгт оршино. Жишээ нь:

Энэ өмчийн үр дүн:

* * *

Хүчин чадлыг өсгөхөд суурь нь хэвээр байх боловч илтгэгчийг үржүүлнэ.

* * *

Таны харж байгаагаар логарифмын тухай ойлголт нь өөрөө энгийн зүйл юм. Хамгийн гол нь юу хэрэгтэй байна сайн дадлага, энэ нь тодорхой ур чадварыг өгдөг. Мэдээжийн хэрэг, томъёоны талаархи мэдлэг шаардлагатай. Хэрэв анхан шатны логарифмыг хөрвүүлэх ур чадвар хөгжөөгүй бол шийдвэрлэх үед энгийн даалгаваруудАлдаа гаргах амархан.

Дадлага хийж, эхлээд математикийн хичээлээс хамгийн энгийн жишээг шийдэж, дараа нь илүү төвөгтэй жишээнүүд рүү шилжинэ. Ирээдүйд би "муухай" логарифмууд хэрхэн шийдэгддэгийг харуулах болно, гэхдээ эдгээр нь улсын нэгдсэн шалгалтанд харагдахгүй, гэхдээ тэд сонирхож байна, бүү алдаарай!

Ингээд л болоо! Танд амжилт хүсье!

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких

P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.

Математикийн эцсийн шалгалтанд бэлтгэх нь "Логарифм" гэсэн чухал хэсгийг агуулдаг. Энэ сэдвийн даалгаврууд нь улсын нэгдсэн шалгалтанд заавал байх ёстой. Өнгөрсөн жилүүдийн туршлагаас харахад логарифмын тэгшитгэл нь олон сургуулийн хүүхдүүдэд хүндрэл учруулдаг. Тиймээс оюутнуудтай өөр өөр түвшинбэлтгэл.

Школково боловсролын порталыг ашиглан баталгаажуулалтын шалгалтыг амжилттай өгөөрэй!

Нэгдсэн бэлтгэлд улсын шалгалтахлах сургуулийн төгсөгчдөд хамгийн бүрэн дүүрэн, найдвартай эх сурвалж хэрэгтэй үнэн зөв мэдээлэламжилттай шийдлийн төлөө туршилтын асуудлууд. Гэсэн хэдий ч сурах бичиг нь үргэлж гарт байдаггүй бөгөөд эрэлхийлдэг шаардлагатай дүрэмИнтернэт дэх томъёонууд ихэвчлэн цаг хугацаа шаарддаг.

Школково боловсролын портал нь улсын нэгдсэн шалгалтанд хаана ч, хэзээ ч бэлтгэх боломжийг олгодог. Манай вэбсайт нь логарифмын тухай, мөн нэг болон хэд хэдэн үл мэдэгдэх мэдээллийг давтаж, өөртөө шингээх хамгийн тохиромжтой аргыг санал болгодог. Хялбар тэгшитгэлээс эхэл. Хэрэв та тэдгээрийг бэрхшээлгүйгээр даван туулж чадвал илүү төвөгтэй зүйл рүү шилжээрэй. Хэрэв та тодорхой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд асуудалтай байгаа бол та үүнийг дуртай зүйлсдээ нэмж, дараа нь буцаж болно.

Хай шаардлагатай томъёонуудДаалгаврыг гүйцэтгэхийн тулд та "Онолын тусламж" хэсгийг үзэж, стандарт логарифм тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох тусгай тохиолдлууд болон аргуудыг давтаж болно. Школковогийн багш нар шаардлагатай бүх зүйлийг цуглуулж, системчилж, тоймлов амжилттай дуусгахматериалыг хамгийн энгийн бөгөөд ойлгомжтой хэлбэрээр.

Аливаа нарийн төвөгтэй даалгавруудыг хялбархан даван туулахын тулд манай портал дээр та зарим стандарт логарифм тэгшитгэлийн шийдэлтэй танилцах боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд "Каталог" хэсэгт очно уу. Бид толилуулж байна их тоожишээ, түүний дотор профиль тэгшитгэл Улсын нэгдсэн шалгалтын түвшинматематикт.

ОХУ-ын бүх сургуулийн оюутнууд манай порталыг ашиглах боломжтой. Хичээл эхлэхийн тулд системд бүртгүүлээд тэгшитгэлийг шийдэж эхэлнэ. Үр дүнг нэгтгэхийн тулд бид өдөр бүр Школково вэбсайт руу буцаж очихыг зөвлөж байна.

Логарифм тэгшитгэл. Бид математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын В хэсгийн асуудлуудыг үргэлжлүүлэн авч үздэг. Бид "", "" гэсэн нийтлэл дэх зарим тэгшитгэлийн шийдлүүдийг судалж үзсэн. Энэ нийтлэлд бид логарифмын тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Улсын нэгдсэн шалгалтанд ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд нарийн төвөгтэй өөрчлөлтүүд гарахгүй гэдгийг би шууд хэлье. Тэд энгийн.

Логарифмын үндсэн шинж чанарыг мэдэх, ойлгоход л хангалттай. Шийдвэрийг шийдсэний дараа та шалгалтыг ЗААВАЛ хийх ёстойг анхаарна уу - үр дүнгийн утгыг орлуулаарай анхны тэгшитгэлболон тооцоолбол үр дүн нь зөв тэгш байх ёстой.

Тодорхойлолт:

b суурьтай тооны логарифм нь экспонент юм.a авахын тулд b-г өсгөх ёстой.

Жишээ нь:

Бүртгэл 3 9 = 2, учир нь 3 2 = 9

Логарифмын шинж чанарууд:

Логарифмын онцгой тохиолдлууд:

Асуудлыг шийдье. Эхний жишээнд бид шалгалт хийх болно. Цаашид өөрөө шалгаарай.

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 3 (4–x) = 4

Лог b a = x b x = a учраас

3 4 = 4 - x

x = 4 – 81

x = – 77

Шалгалт:

бүртгэл 3 (4–(–77)) = 4

бүртгэл 3 81 = 4

3 4 = 81 Зөв.

Хариулт: - 77

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 2 (4 – x) = 7

5-р тэгшитгэлийн язгуурыг ол(4 + x) = 2

Бид үндсэн логарифмын таних тэмдгийг ашигладаг.

Лог a b = x b x = a учраас

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Шалгалт:

бүртгэл 5 (4 + 21) = 2

бүртгэл 5 25 = 2

5 2 = 25 Зөв.

Хариулт: 21

log 3 (14 – x) = log 3 5 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

явагддаг дараагийн өмч, түүний утга нь дараах байдалтай байна: хэрэв тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд бид логарифмуудтай бол ижил суурь, тэгвэл бид логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийллийг тэнцүүлж болно.

14 – x = 5

x=9

Шалгах.

Хариулт: 9

Өөрийнхөө төлөө шийд:

log 5 (5 – x) = log 5 3 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Хэрэв log c a = log c b бол a = b

x + 3 = 4x – 15

3х = 18

x = 6

Шалгах.

Хариулт: 6

log 1/8 (13 – x) = – 2 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 - x

x = 13 – 64

x = – 51

Шалгах.

Жижиг нэмэлт - эд хөрөнгийг энд ашигладаг

градус ().

Хариулт: - 51

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 1/7 (7 – x) = – 2

log 2 (4 – x) = 2 log 2 5 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Өөрчилье баруун тал. Эд хөрөнгийг ашиглацгаая:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Хэрэв log c a = log c b бол a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Шалгах.

Хариулт: - 21

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11) тэгшитгэлийг шийд.

Хэрэв log c a = log c b бол a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4х = 11

x = 2.75

Шалгах.

Хариулт: 2.75

Өөрийнхөө төлөө шийд:

log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1 тэгшитгэлийг шийд.

-тай хамт шаардлагатай баруун талхэлбэрийн илэрхийллийг олж авах тэгшитгэл:

бүртгэл 2 (......)

Бид 1-ийг суурь 2 логарифм болгон төлөөлдөг:

1 = бүртгэл 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Бид авах:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Хэрэв log c a = log c b бол a = b, тэгвэл

2 – x = 4 – 6x

5х = 2

x = 0.4

Шалгах.

Хариулт: 0.4

Өөрийнхөө төлөө шийд: Дараа нь та шийдэх хэрэгтэй квадрат тэгшитгэл. Дашрамд хэлэхэд,

үндэс нь 6 ба – 4 байна.

Үндэс "-Логарифмын суурь нь байх ёстой тул 4" нь шийдэл биш юм тэгээс их, хэзээ "– 4" энэ нь "тэй тэнцүү байна – 5". Шийдэл нь root 6 юм.Шалгах.

Хариулт: 6.

Р өөрөө идэх:

Тэгшитгэлийн логийг шийдээрэй x –5 49 = 2. Хэрэв тэгшитгэл нэгээс олон язгууртай бол жижиг язгуураар хариулна уу.

Таны харж байгаагаар логарифмын тэгшитгэлээр ямар ч төвөгтэй хувиргалт байхгүйҮгүй Логарифмын шинж чанарыг мэдэж, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх чадвартай байхад л хангалттай. IN Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавархувиргахтай холбоотой логарифм илэрхийллүүд, илүү ноцтой өөрчлөлтүүд хийгдэж, илүү гүнзгий шийдлийн ур чадвар шаардагдана. Бид ийм жишээг үзэх болно, битгий алдаарай!Танд амжилт хүсье!!!

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.

P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.