Логарифм нэмэх жишээ. Логарифм илэрхийллийг хөрвүүлэх

Натурал логарифмын үндсэн шинж чанарууд, график, тодорхойлолтын муж, утгын багц, үндсэн томъёо, дериватив, интеграл, тэлэлт эрчим хүчний цуврал ln x функцийг комплекс тоо ашиглан дүрслэх.

Тодорхойлолт

Байгалийн логарифмнь y = функц юм ln x, экспоненциалын урвуу нь x = e y ба e тооны суурийн логарифм юм: ln x = log e x.

Байгалийн логарифм нь математикт өргөн хэрэглэгддэг, учир нь түүний дериватив нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байдаг. (ln x)′ = 1/ x.

Үндэслэсэн тодорхойлолтууд, натурал логарифмын суурь нь тоо юм д:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

y = функцийн график ln x.

Натурал логарифмын график (функц у = ln x) экспоненциал графикаас гарна толин тусгал дүрс y = x шулуун шугамтай харьцуулахад.

Натурал логарифм нь тодорхойлогдсон байна эерэг утгуудхувьсагч х. Энэ нь тодорхойлолтын хүрээнд монотоноор нэмэгддэг.

x → дээр 0 натурал логарифмын хязгаар нь хасах хязгааргүй (-∞) юм.

x → + ∞ тул натурал логарифмын хязгаар нь хязгааргүй (+ ∞) байна. Том х-ийн хувьд логарифм нэлээд удаан өсдөг. Ямар ч эрчим хүчний функцэерэг үзүүлэлттэй x a логарифмаас хурдан өсдөг.

Натурал логарифмын шинж чанарууд

Тодорхойлолтын талбар, утгын багц, экстремум, өсөлт, бууралт

Натурал логарифм нь нэг хэвийн өсөлттэй функц тул экстремумгүй. Байгалийн логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг хүснэгтэд үзүүлэв.

ln x утгууд

ln 1 = 0

Байгалийн логарифмын үндсэн томъёо

Урвуу функцийн тодорхойлолтоос үүссэн томъёонууд:

Логарифмын үндсэн шинж чанар ба түүний үр дагавар

Суурь солих томъёо

Аливаа логарифмыг үндсэн орлуулалтын томъёог ашиглан натурал логарифмын хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Эдгээр томъёоны нотолгоог "Логарифм" хэсэгт үзүүлэв.

Урвуу функц

Натурал логарифмын урвуу нь экспонент юм.

Хэрэв бол

Хэрэв тийм бол.

Дериватив ln x

Натурал логарифмын дериватив:
.
X модулийн натурал логарифмын дериватив:
.
n-р эрэмбийн дериватив:
.
Томьёог гарган авах > > >

Интеграл

Интегралыг хэсгүүдээр интегралд тооцно.
.
Тэгэхээр,

Комплекс тоо ашигласан илэрхийлэл

z цогцолбор хувьсагчийн функцийг авч үзье.
.
Комплекс хувьсагчийг илэрхийлье zмодулиар дамжуулан rболон маргаан φ :
.
Логарифмын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
.
Эсвэл
.
φ аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв та тавьсан бол
, энд n нь бүхэл тоо,
Энэ нь өөр n-ийн хувьд ижил тоо байх болно.

Тиймээс комплекс хувьсагчийн функц болох натурал логарифм нь нэг утгатай функц биш юм.

Эрчим хүчний цувралын өргөтгөл

Өргөтгөх үед:

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.

Логарифм бүхий илэрхийллийг хөрвүүлэхдээ жагсаасан тэгшитгэлийг баруунаас зүүн тийш, зүүнээс баруун тийш хоёуланг нь ашигладаг.

Шинж чанаруудын үр дагаврыг цээжлэх шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: хувиргалтыг хийхдээ та логарифмын үндсэн шинж чанарууд болон бусад баримтуудыг (жишээлбэл, b≥0-ийн хувьд) олж авах боломжтой. харгалзах үр дагавар гарч ирнэ. " Дагалдах нөлөө"Энэ арга нь шийдэл нь арай урт байх болно гэдгийг л харуулж байна. Жишээлбэл, томъёогоор илэрхийлсэн үр дагаваргүйгээр хийх зорилгоор , зөвхөн логарифмын үндсэн шинж чанаруудаас эхлэн та дараах хэлбэрийн хувиргалтын гинжин хэлхээг хийх шаардлагатай болно. .

Дээрх жагсаалтаас хамгийн сүүлийн үл хөдлөх хөрөнгийн талаар ижил зүйлийг хэлж болно, үүнд томъёогоор хариулна , учир нь энэ нь мөн логарифмын үндсэн шинж чанаруудаас хамаарна. Гол ойлгох ёстой зүйл бол илтгэгч дэх логарифмтай эерэг тооны зэрэглэл нь логарифмын тэмдгийн доорхи тоо болон түвшний суурь хоёрыг солих боломжтой байдаг. Шударга байхын тулд ийм төрлийн өөрчлөлтийг хэрэгжүүлэх жишээ практикт ховор байдгийг бид тэмдэглэж байна. Бид текстэнд цөөн хэдэн жишээ өгөх болно.

Тоон илэрхийллийг логарифм ашиглан хөрвүүлэх

Бид логарифмын шинж чанаруудыг санаж байсан, одоо илэрхийллийг хувиргахын тулд тэдгээрийг практикт хэрхэн ашиглах талаар сурах цаг болжээ. Хувьсагчтай илэрхийллээс илүү тоон хэллэгийг хөрвүүлэхээс эхлэх нь зүйн хэрэг, учир нь тэдгээр нь үндсийг сурахад илүү хялбар бөгөөд хялбар байдаг. Энэ бол бид хийх зүйл бөгөөд бид маш их зүйлээс эхлэх болно энгийн жишээнүүд, логарифмын хүссэн шинж чанарыг хэрхэн сонгох талаар сурах, гэхдээ бид жишээнүүдийг хэзээ олж авах хүртэл аажмаар төвөгтэй болгох болно. эцсийн үр дүнта хэд хэдэн шинж чанарыг дараалан хэрэглэх шаардлагатай болно.

Логарифмын хүссэн шинж чанарыг сонгох

Логарифмын олон шинж чанарууд байдаг бөгөөд та тохирохыг нь сонгох чадвартай байх нь тодорхой бөгөөд энэ тохиолдолд шаардлагатай үр дүнд хүргэх болно. Ихэвчлэн хувиргасан логарифм эсвэл илэрхийллийн төрлийг логарифмын шинж чанарыг илэрхийлдэг томъёоны зүүн ба баруун хэсгийн төрлүүдтэй харьцуулах замаар үүнийг хийхэд хэцүү биш юм. Хэрэв үлдсэн бол эсвэл баруун хэсэгтомъёоны аль нэг нь өгөгдсөн логарифм эсвэл илэрхийлэлтэй давхцаж байгаа бол хувиргах явцад энэ шинж чанарыг ашиглах ёстой. Дараах жишээнүүдэнэ нь тодорхой харагдаж байна.

a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 томьёонд тохирох логарифмын тодорхойлолтыг ашиглан илэрхийллийг хувиргах жишээнүүдээс эхэлье.

Жишээ.

Боломжтой бол тооцоол: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Шийдэл.

a) үсгийн доорх жишээнд a log a b бүтэц тодорхой харагдаж байгаа бөгөөд a=5, b=4. Эдгээр тоо нь a>0, a≠1, b>0 нөхцлийг хангасан тул та a log a b =b тэгшитгэлийг аюулгүй ашиглаж болно. Бидэнд 5 лог 5 4=4 байна.

b) Энд a=10, b=1+2·π, a>0, a≠1, b>0 нөхцөл хангагдсан. Энэ тохиолдолд 10 log(1+2·π) =1+2·π тэгшитгэл явагдана.

в) Энэ жишээнд бид a log a b хэлбэрийн зэрэгтэй харьцаж байна, энд ба b=ln15. Тэгэхээр .

Хэдийгээр a log a b (энд a=2, b=−7) төрөлд хамаарах боловч g үсгийн доорх илэрхийлэлийг a log a b =b томьёог ашиглан хөрвүүлэх боломжгүй. Шалтгаан нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо агуулагдаж байгаа учир утгагүй юм. Түүнчлэн b=−7 тоо нь b>0 нөхцөлийг хангахгүй бөгөөд энэ нь a>0, a≠1, b> нөхцөлийг биелүүлэхийг шаарддаг тул a log a b =b томьёог ашиглах боломжгүй болгодог. 0. Тиймээс бид 2 log 2 (−7) -ийн утгыг тооцоолох талаар ярьж болохгүй. Энэ тохиолдолд 2 log 2 (−7) =−7 гэж бичих нь алдаа болно.

Үүний нэгэн адил, e) үсгийн доорх жишээнд маягтын шийдлийг өгөх боломжгүй юм , анхны илэрхийлэл нь утгагүй учраас.

Хариулт:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , г), д) илэрхийлэл нь утгагүй байна.

Ихэнхдээ ашигтай хувиргалт нь эерэг тоог илтгэгч дэх логарифмтай зарим эерэг нэгдмэл бус тооны зэрэглэлээр илэрхийлэх явдал юм. Энэ нь a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 логарифмын ижил тодорхойлолт дээр үндэслэсэн боловч томъёог баруунаас зүүн тийш, өөрөөр хэлбэл b=a log a b хэлбэрээр хэрэглэнэ. . Жишээлбэл, 3=e ln3 эсвэл 5=5 log 5 5 .

Илэрхийллийг хувиргахдаа логарифмын шинж чанарыг ашиглан үргэлжлүүлье.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг ол: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) log ln1, f) log1, g) log 3.75 1, h) log 5 π 7 1 .

Шийдэл.

a), b) ба c) үсгийн доорх жишээнүүдэд log −2 1, log 1 1, log 0 1 гэсэн илэрхийллүүд өгөгдсөн бөгөөд логарифмын суурь сөрөг тоо агуулаагүй тул утгагүй болно. тэг эсвэл нэг, учир нь бид зөвхөн эерэг ба нэгдлээс ялгаатай суурийн хувьд логарифмыг тодорхойлсон. Тиймээс a) - c) жишээн дээр илэрхийллийн утгыг олох асуудал байж болохгүй.

Бусад бүх даалгавруудад логарифмын суурь нь эерэг ба нэгдмэл бус тоо 7, e, 10, 3.75 ба 5·π 7-г агуулсан байх ба логарифмын тэмдгийн дор хаа сайгүй нэгж байх нь ойлгомжтой. Мөн бид нэгдмэл байдлын логарифмын шинж чанарыг мэддэг: a>0, a≠1 ямар ч тохиолдолд log a 1=0. Тиймээс b) - e) илэрхийллийн утгууд тэгтэй тэнцүү байна.

Хариулт:

a), b), c) илэрхийлэл утгагүй, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3.75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

Жишээ.

Тооцоол: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), д) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Шийдэл.

a>0, a≠1-д log a=1 томъёонд тохирох суурийн логарифмын шинж чанарыг ашиглах ёстой нь ойлгомжтой. Үнэн хэрэгтээ, бүх үсгийн доорх даалгавруудад логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь түүний суурьтай давхцдаг. Тиймээс өгөгдсөн илэрхийлэл бүрийн утга нь 1 гэдгийг би шууд хэлмээр байна. Гэсэн хэдий ч та дүгнэлт хийх гэж яарах хэрэггүй: a) - г) үсгийн доорх даалгавруудад илэрхийллийн утга нь үнэхээр нэгтэй тэнцүү, e) ба е) даалгаварт анхны илэрхийлэл нь утгагүй байна. Эдгээр илэрхийллийн утгууд 1-тэй тэнцүү гэж хэлж болохгүй.

Хариулт:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) илэрхийлэл нь утгагүй байна.

Жишээ.

Утгыг ол: a) log 3 3 11, b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Шийдэл.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын шинж тэмдгүүдийн дор суурийн зарим хүч байдаг. Үүний үндсэн дээр бид энд суурийн зэрэглэлийн шинж чанар хэрэгтэй болно гэдгийг ойлгож байна: log a a p =p, энд a>0, a≠1 ба p нь дурын байна. бодит тоо. Үүнийг харгалзан үзвэл дараах үр дүн гарч байна: a) log 3 3 11 =11, b) , V) . log −10 (−10) 6 =6 хэлбэрийн d) үсгийн доор жишээний ижил тэгш байдлыг бичиж болох уу? Үгүй, та чадахгүй, учир нь log −10 (−10) 6 илэрхийлэл нь утгагүй юм.

Хариулт:

a) log 3 3 11 =11, b) , V) , г) илэрхийлэл нь утгагүй байна.

Жишээ.

Илэрхийллийг ижил суурийг ашиглан логарифмын зөрүү буюу нийлбэр хэлбэрээр үзүүлнэ үү: a) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Шийдэл.

a) Логарифмын тэмдгийн дор үржвэр байх ба бид үржвэрийн логарифмын шинж чанарыг мэддэг log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. Манай тохиолдолд логарифмын суурь дахь тоо ба бүтээгдэхүүн дэх тоонууд эерэг, өөрөөр хэлбэл сонгосон өмчийн нөхцлийг хангаж байгаа тул бид үүнийг аюулгүйгээр ашиглаж болно. .

b) Энд a>0, a≠1, x>0, y>0 байх хэсгийн логарифмын шинж чанарыг ашиглана. Манай тохиолдолд логарифмын суурь нь эерэг тоо e, хуваагч ба хуваагч π эерэг бөгөөд энэ нь өмчийн нөхцөлийг хангаж байна гэсэн үг тул бид сонгосон томъёог ашиглах эрхтэй. .

в) Эхлээд log((−5)·(−12)) илэрхийлэл утга учиртай болохыг анхаарна уу. Гэхдээ үүний зэрэгцээ бид log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y үржвэрийн логарифмын томъёог хэрэглэх эрхгүй. >0, учир нь тоонууд −5 ба −12 – сөрөг бөгөөд x>0, y>0 нөхцөлийг хангахгүй. Өөрөөр хэлбэл, та ийм өөрчлөлтийг хийж чадахгүй. log((−5)·(−12))=лог(−5)+лог(−12). Тэгэхээр бид яах ёстой вэ? Ийм тохиолдолд сөрөг тооноос зайлсхийхийн тулд анхны илэрхийлэлд урьдчилсан өөрчлөлт хийх шаардлагатай. тухай ижил төстэй тохиолдлуудБид логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо бүхий илэрхийлэлүүдийн хувиргалтыг аль нэг хуудсанд дэлгэрэнгүй авч үзэх болно, гэхдээ одоогоор бид энэ жишээний шийдлийг урьдчилан тодорхой бөгөөд тайлбаргүйгээр өгөх болно. log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

Хариулт:

A) , б) , в) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Жишээ.

Илэрхийллийг хялбарчлах: a) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5, b) .

Шийдэл.

Энд бид өмнөх жишээнүүдэд ашигласан бүтээгдэхүүний логарифм ба хуваалтын логарифмын ижил шинж чанаруудад туслах болно, зөвхөн одоо бид тэдгээрийг баруунаас зүүн тийш ашиглах болно. Өөрөөр хэлбэл, бид логарифмын нийлбэрийг бүтээгдэхүүний логарифм болгон, логарифмын зөрүүг хэсгийн логарифм болгон хувиргадаг. Бидэнд байгаа
A) бүртгэл 3 0.25+лог 3 16+лог 3 0.5=лог 3 (0.25 16 0.5)=лог 3 2.
б) .

Хариулт:

A) бүртгэл 3 0.25+лог 3 16+лог 3 0.5=лог 3 2, б) .

Жишээ.

Логарифмын тэмдгийн дор зэрэглэлээс ангижрах: a) log 0.7 5 11, b) , в) лог 3 (−5) 6 .

Шийдэл.

Бид log a b p хэлбэрийн илэрхийллүүдтэй харьцаж байгааг харахад хялбар байдаг. Логарифмын харгалзах шинж чанар нь log a b p =p·log a b хэлбэртэй бөгөөд a>0, a≠1, b>0, p нь дурын бодит тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, a>0, a≠1, b>0 нөхцөл хангагдсан тохиолдолд a b p чадлын логарифмаас бид p·log a b үржвэр рүү шилжиж болно. Өгөгдсөн илэрхийллүүдээр энэ хувиргалтыг хийцгээе.

a) Энэ тохиолдолд a=0.7, b=5, p=11. Тэгэхээр log 0.7 5 11 =11·log 0.7 5.

b) Энд a>0, a≠1, b>0 нөхцлүүд хангагдана. Тийм ч учраас

в) log 3 (−5) 6 илэрхийлэл нь log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 гэсэн бүтэцтэй ижил байна. Харин b-ийн хувьд b>0 нөхцөл хангагдаагүй учир log a b p =p·log a b томъёог ашиглах боломжгүй болно. Юу вэ, чи даалгавраа даван туулж чадахгүй байна уу? Энэ нь боломжтой, гэхдээ илэрхийллийн урьдчилсан хувиргалт хийх шаардлагатай бөгөөд үүнийг бид доор гарч буй догол мөрөнд дэлгэрэнгүй авч үзэх болно. Шийдэл нь дараах байдалтай байх болно. log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Хариулт:

a) лог 0.7 5 11 =11 log 0.7 5 ,
б)
в) log 3 (−5) 6 =6·log 3 5.

Ихэнх тохиолдолд хувиргалт хийхдээ зэрэглэлийн логарифмын томъёог баруунаас зүүн тийш p·log a b=log a b p (a, b, p-ийн хувьд ижил нөхцөл хангасан байх ёстой) хэлбэрээр хэрэглэх шаардлагатай болдог. Жишээлбэл, 3·ln5=ln5 3 ба log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Жишээ.

a) log2≈0.3010 ба log5≈0.6990 гэдгийг мэдэж байвал log 2 5-ын утгыг тооцоол. б) Бутархайг 3 суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Шийдэл.

a) Шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёо нь энэ логарифмийг аравтын бутархай логарифмын харьцаагаар харуулах боломжийг бидэнд олгодог бөгөөд тэдгээрийн утгууд нь бидэнд мэдэгддэг: . Зөвхөн тооцоо хийх л үлдлээ, бидэнд байна .

б) Энд шинэ суурь руу шилжих томъёог ашиглаж, баруунаас зүүн тийш, өөрөөр хэлбэл хэлбэрээр ашиглахад хангалттай. . Бид авдаг .

Хариулт:

a) log 2 5≈2.3223, b) .

Энэ үе шатанд бид хамгийн их өөрчлөлтийг нэлээд нухацтай авч үзсэн энгийн илэрхийллүүдлогарифмын үндсэн шинж чанарууд болон логарифмын тодорхойлолтыг ашиглах. Эдгээр жишээн дээр бид нэг өмчийг ашиглах ёстой байсан бөгөөд үүнээс өөр зүйл байхгүй. Одоо хамт цэвэр ухамсарТа логарифмын хэд хэдэн шинж чанарыг ашиглахыг шаарддаг жишээнүүдийг үргэлжлүүлж болно нэмэлт өөрчлөлтүүд. Бид дараагийн догол мөрөнд тэдэнтэй харьцах болно. Гэхдээ үүнээс өмнө логарифмын үндсэн шинж чанаруудын үр дагаврыг ашиглах жишээг товчхон авч үзье.

Жишээ.

a) Логарифмын тэмдгийн доорх үндсийг арилгана. b) Бутархайг 5 суурьтай логарифм болгон хөрвүүлнэ. в) Логарифмын тэмдэг болон түүний суурийн доорх эрх мэдлээс өөрийгөө чөлөөл. d) Илэрхийллийн утгыг тооцоол . e) Илэрхийлэлийг 3-р суурьтай зэрэглэлээр солино.

Шийдэл.

a) Хэрэв бид градусын логарифмын шинж чанарын үр дүнг эргэн санавал , дараа нь та тэр даруй хариулт өгч болно: .

б) Энд бид томъёог ашигладаг баруунаас зүүн тийш, бид байна .

в) Б энэ тохиолдолдүр дүнг томъёогоор тодорхойлно . Бид авдаг .

г) Энд томъёонд тохирох үр дүнг ашиглахад хангалттай . Тэгэхээр .

e) Логарифмын шинж чанар Хүссэн үр дүнд хүрэх боломжийг бидэнд олгоно: .

Хариулт:

A) . б) . V) . G) . г) .

Хэд хэдэн шинж чанарыг дараалан хэрэглэх

Логарифмын шинж чанарыг ашиглан илэрхийлэлийг хувиргах бодит ажлууд нь бидний өмнөх догол мөрөнд авч үзсэнээс илүү төвөгтэй байдаг. Тэдгээрийн хувьд дүрмээр бол үр дүнг нэг алхамаар олж авдаггүй боловч шийдэл нь хаалт нээх, цутгах гэх мэт нэмэлт ижил хувиргалтуудын хамт нэг шинж чанарыг дараалан ашиглахаас бүрддэг. ижил төстэй нэр томъёо, бутархайг багасгах гэх мэт. Тиймээс ийм жишээнүүд рүү ойртъё. Үүнд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, гол зүйл бол үйлдлийн дарааллыг ажиглаж, анхааралтай, тууштай ажиллах явдал юм.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг тооцоол (лог 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Шийдэл.

Хаалтанд байгаа логарифмын зөрүүг логгарифмын шинж чанарын дагуу лог 3 (15:5) логарифмаар сольж, дараа нь түүний утгыг log 3 (15:5)=log 3 3=1 гэж тооцож болно. Логарифмын тодорхойлолтоор 7 log 7 5 илэрхийллийн утга нь 5-тай тэнцүү байна. Эдгээр үр дүнг анхны илэрхийлэл болгон орлуулснаар бид олж авна (лог 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Энд тайлбаргүйгээр шийдэл байна:
(лог 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=лог 3 3·5=1·5=5 .

Хариулт:

(лог 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Жишээ.

log 3 log 2 2 3 −1 тоон илэрхийллийн утга хэд вэ?

Шийдэл.

Бид эхлээд чадлын логарифмын томъёог ашиглан логарифмыг логарифмын тэмдгийн дор хувиргана: log 2 2 3 =3. Ингээд log 3 log 2 2 3 =log 3 3, дараа нь log 3 3=1 байна. Тэгэхээр log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Хариулт:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Жишээ.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл.

Шинэ логарифмын суурь руу шилжих томьёо нь логарифмуудын нэг суурьтай харьцуулсан харьцааг лог 3 5 хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог. Энэ тохиолдолд анхны илэрхийлэл нь хэлбэрийг авна. Логарифмын тодорхойлолтоор 3 log 3 5 =5, өөрөөр хэлбэл , мөн логарифмын ижил тодорхойлолтын ачаар үүссэн илэрхийллийн утга нь хоёртой тэнцүү байна.

Энд богино хувилбарИхэвчлэн өгөгдсөн шийдлүүд: .

Хариулт:

.

Дараагийн догол мөр дэх мэдээлэл рүү жигд шилжихийн тулд 5 2+лог 5 3, log0.01 илэрхийллүүдийг харцгаая. Тэдний бүтэц нь логарифмын шинж чанаруудад тохирохгүй. Тэгэхээр юу болох вэ, тэдгээрийг логарифмын шинж чанарыг ашиглан хөрвүүлэх боломжгүй юу? Хэрэв та логарифмын шинж чанарыг ашиглахын тулд эдгээр илэрхийллийг бэлтгэх урьдчилсан хувиргалтыг хийвэл боломжтой. Тэгэхээр 5 2+лог 5 3 =5 2 5 бүртгэл 5 3 =25 3=75, ба log0.01=log10 −2 =−2. Дараа нь бид ийм илэрхийлэл бэлтгэх ажлыг хэрхэн хийж байгааг нарийвчлан авч үзэх болно.

Логарифмын шинж чанарыг ашиглах илэрхийлэл бэлтгэх

Хөрвүүлж буй илэрхийлэл дэх логарифмууд нь логарифмын шинж чанарт харгалзах томъёоны зүүн ба баруун хэсгээс тэмдэглэгээний бүтцээрээ маш их ялгаатай байдаг. Гэхдээ эдгээр хэллэгийг өөрчлөхөд логарифмын шинж чанарыг ашиглах нь ихэвчлэн тохиолддог: тэдгээрийг ашиглахын тулд танд хэрэгтэй болно. урьдчилсан бэлтгэл. Мөн энэ бэлтгэл нь тодорхой ажлуудыг хийхээс бүрдэнэ таних тэмдгийн өөрчлөлтүүд, логарифмуудыг шинж чанаруудыг хэрэглэхэд тохиромжтой хэлбэрт оруулах.

Шударга байхын тулд бараг бүх илэрхийлэлийн хувиргалт нь ижил төстэй нэр томъёог багасгахаас эхлээд тригонометрийн томъёог ашиглах хүртэлх урьдчилсан хувиргалт болж чадна гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Энэ нь ойлгомжтой, учир нь хувиргаж буй илэрхийллүүд нь хаалт, модуль, бутархай, үндэс, хүч гэх мэт ямар ч математик объектыг агуулж болно. Тиймээс логарифмын шинж чанарыг цаашид ашиглахын тулд та шаардлагатай хувиргалтыг хийхэд бэлэн байх хэрэгтэй.

Энэ мөчид бид логарифмын шинж чанарууд эсвэл логарифмын тодорхойлолтыг дараа нь ашиглах боломжийг олгох боломжтой бүх урьдчилсан хувиргалтыг ангилж, дүн шинжилгээ хийх зорилт тавиагүй гэдгийг шууд хэлье. Энд бид практикт хамгийн түгээмэл бөгөөд хамгийн их тохиолддог дөрөвхөнд нь л анхаарлаа хандуулах болно.

Одоо тэд тус бүрийн талаар дэлгэрэнгүй ярих болно, үүний дараа бидний сэдвийн хүрээнд логарифмын тэмдгийн дор хувьсагчтай илэрхийлэлийн хувиргалтыг ойлгоход л үлддэг.

Логарифмын тэмдэг ба түүний суурь дээрх хүчийг тодорхойлох

Нэг жишээгээр шууд эхэлцгээе. Логарифм гаргацгаая. Энэ хэлбэрээр түүний бүтэц нь логарифмын шинж чанарыг ашиглахад тохиромжгүй нь ойлгомжтой. Ямар нэгэн байдлаар хөрвүүлэх боломжтой юу энэ илэрхийлэлҮүнийг хялбарчлах уу, эсвэл илүү сайн, түүний үнэ цэнийг тооцоолох уу? Энэ асуултад хариулахын тулд 81 ба 1/9 тоонуудыг жишээн дээрээ нарийвчлан авч үзье. Эндээс харахад эдгээр тоонууд нь 3, үнэхээр 81 = 3 4 ба 1/9 = 3 −2 гэсэн хүчийг илэрхийлж болно. Энэ тохиолдолд анхны логарифмыг хэлбэрээр танилцуулж, томъёог ашиглах боломжтой болно . Тэгэхээр, .

Шинжилсэн жишээнд дүн шинжилгээ хийх нь дараахь бодлыг төрүүлдэг: хэрэв боломжтой бол та логарифмын шинж чанарыг логарифмын шинж чанар эсвэл түүний үр дагаврыг ашиглахын тулд логарифмын тэмдгийн дор болон түүний сууринд зэргийг тусгаарлахыг оролдож болно. Эдгээр зэрэглэлийг хэрхэн ялгахыг олж мэдэх л үлдлээ. Энэ асуудлаар хэдэн зөвлөмж өгье.

Заримдаа логарифмын тэмдгийн доорх тоо болон/эсвэл түүний суурь дахь тоо нь дээр дурдсан жишээн дээрх бүхэл тооны хүчийг илэрхийлдэг нь тодорхой байдаг. Бараг байнга л сайн мэддэг хоёрын зэрэгтэй харьцах хэрэгтэй болдог: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. Гуравын хүчний талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Ерөнхийдөө таны нүдний өмнө байвал энэ нь өвдөхгүй. натурал тоонуудын чадлын хүснэгтхэдэн арван дотор. Мөн арав, нэг зуу, мянга гэх мэт бүхэл тоон зэрэгтэй ажиллахад хэцүү биш.

Жишээ.

Утгыг тооцоолох эсвэл илэрхийллийг хялбарчлах: a) log 6 216, b) , c) log 0.000001 0.001.

Шийдэл.

a) Мэдээжийн хэрэг, 216=6 3, тэгэхээр log 6 216=log 6 6 3 =3.

б) Натурал тоонуудын чадлын хүснэгт нь 343 ба 1/243 тоог 7 3 ба 3 −4 зэрэгт тус тус илэрхийлэх боломжийг олгоно. Тиймээс өгөгдсөн логарифмын дараах хувиргалтыг хийх боломжтой.

в) 0.000001=10 −6 ба 0.001=10 −3 тул log 0.000001 0.001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Хариулт:

a) log 6 216=3, b) , в) лог 0.000001 0.001=1/2.

Илүү их хүнд хэцүү тохиолдлуудтоонуудын хүчийг ялгахын тулд .

Жишээ.

Илэрхийлэлийг илүү олон болгож хувирга энгийн үзэмж log 3 648 log 2 3 .

Шийдэл.

648 тоо юу болж задрахыг харцгаая үндсэн хүчин зүйлүүд:

Энэ нь 648=2 3 ·3 4 гэсэн үг. Тиймээс, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Одоо бид бүтээгдэхүүний логарифмийг логарифмын нийлбэр болгон хувиргасны дараа бид чадлын логарифмын шинж чанарыг ашиглана.
бүртгэл 3 (2 3 3 4)лог 2 3=(лог 3 2 3 +лог 3 3 4)лог 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

Томъёонд тохирох чадлын логарифмын шинж чанарын үр дүнд , log32·log23 үржвэр нь -ийн үржвэр бөгөөд мэдэгдэж байгаагаар нэгтэй тэнцүү байна. Үүнийг харгалзан үзвэл бид олж авдаг 3 лог 3 2 лог 2 3+4 лог 2 3=3 1+4 лог 2 3=3+4 бүртгэл 2 3.

Хариулт:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Ихэнх тохиолдолд логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийлэл ба түүний суурийн үржвэр буюу язгуурын харьцаа ба/эсвэл зарим тоонуудын зэрэглэлийг илэрхийлдэг, жишээлбэл, , . Ийм илэрхийлэлийг эрх мэдэл гэж илэрхийлж болно. Үүнийг хийхийн тулд язгуураас хүч рүү шилжих шилжилтийг хийж, ашигладаг. Эдгээр хувиргалтууд нь логарифмын тэмдэг ба түүний суурийн дор хүчийг тусгаарлаж, дараа нь логарифмын шинж чанарыг ашиглах боломжийг олгодог.

Жишээ.

Тооцоолох: a) , б) .

Шийдэл.

a) Логарифмын суурь дахь илэрхийлэл нь ижил суурьтай зэрэглэлийн үржвэр юм холбогдох өмчбидэнд эрдмийн зэрэг бий 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Одоо логарифмын тэмдгийн дор бутархайг хувиргая: бид язгуураас хүч рүү шилжиж, дараа нь ижил суурьтай чадлын харьцааны шинж чанарыг ашиглана. .

Хүлээн авсан үр дүнг анхны илэрхийлэл болгон орлуулж, томъёог ашиглана уу болон хувиргалтыг дуусгах:

b) 729 = 3 6 ба 1/9 = 3 −2 тул анхны илэрхийллийг дахин бичиж болно.

Дараа нь бид чадлын язгуурын шинж чанарыг хэрэглэж, язгуураас хүч рүү шилжиж, логарифмын суурийг зэрэгт шилжүүлэхийн тулд чадлын харьцааны шинж чанарыг ашиглана. .

харгалзан үзэж байна сүүлчийн үр дүн, бидэнд байгаа .

Хариулт:

A) , б) .

Энэ нь тодорхой байна ерөнхий тохиолдоллогарифмын тэмдгийн дор болон түүний суурь дээр хүчийг олж авахын тулд янз бүрийн хувиргалт хийх шаардлагатай байж болно янз бүрийн илэрхийлэл. Хэд хэдэн жишээ хэлье.

Жишээ.

Энэ илэрхийлэл нь ямар утгатай вэ: a) , б) .

Шийдэл.

Өгөгдсөн илэрхийлэл нь A=2, B=x+1 ба p=4 log A B p хэлбэртэй байгааг бид цаашид тэмдэглэж байна. Бид энэ төрлийн тоон илэрхийллүүдийг a b p =p·log a b чадлын логарифмын шинж чанарын дагуу хувиргасан тул өгөгдсөн илэрхийллийн дагуу би үүнтэй ижил зүйлийг хийж, log 2 (x+1) 4-ээс шилжихийг хүсч байна. 4·log 2 (x+1) . Одоо анхны илэрхийлэл болон хувиргасны дараа олж авсан илэрхийллийн утгыг, жишээ нь, x=−2 үед тооцоолъё. Бидэнд log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , ба 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- утгагүй илэрхийлэл. Эндээс “Бид юуг буруу хийсэн бэ?” гэсэн логик асуулт гарч ирнэ.

Үүний шалтгаан нь: log a b p =p·log a b томъёонд үндэслэн log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) хувиргалтыг хийсэн боловч энэ томъёо a>0, a≠1, b>0, p - дурын бодит тоо гэсэн нөхцөл хангагдсан тохиолдолд л бид өргөдөл гаргах эрхтэй. Өөрөөр хэлбэл, бидний хийсэн хувиргалт x+1>0 буюу x>−1-тэй ижил байвал (A ба p-ийн хувьд нөхцөл хангагдсан) явагдана. Гэтэл манайд анхны илэрхийллийн х хувьсагчийн ODZ нь зөвхөн x>−1 интервалаас гадна x интервалаас бүрддэг.<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

DL-ийг харгалзан үзэх шаардлагатай

Сонгосон илэрхийллийн өөрчлөлтийг үргэлжлүүлэн задлан шинжилье log 2 (x+1) 4 , одоо 4 · log 2 (x+1) илэрхийлэл рүү шилжих үед ODZ-д юу тохиолдохыг харцгаая. Өмнөх догол мөрөнд бид анхны илэрхийллийн ODZ-ийг олсон - энэ нь олонлог юм (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Одоо 4·log 2 (x+1) илэрхийллийн x хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын мужийг олцгооё. (−1, +∞) олонлогт тохирох x+1>0 нөхцөлөөр тодорхойлогдоно. Лог 2 (x+1) 4-ээс 4·log 2 (x+1) руу шилжих үед зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нарийсах нь тодорхой байна. Энэ нь янз бүрийн сөрөг үр дагаварт хүргэж болзошгүй тул DL-ийг нарийсгахад хүргэдэг өөрчлөлтөөс зайлсхийхийг бид зөвшөөрсөн.

Өөрчлөлтийн алхам бүрт OA-ийг хянаж, нарийсахаас урьдчилан сэргийлэх нь ашигтай гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв өөрчлөлтийн зарим үе шатанд гэнэт DL нарийссан бол энэ өөрчлөлтийг зөвшөөрөх эсэх, бид үүнийг хийх эрхтэй эсэхийг сайтар судалж үзэх нь зүйтэй юм.

Шударга байхын тулд практик дээр бид ихэвчлэн хувьсагчийн хувьсах утга нь хувиргалтыг хийхдээ логарифмын шинж чанарыг бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан хэлбэрээр хязгаарлалтгүйгээр ашиглах боломжтой илэрхийллүүдтэй ажиллах ёстой гэж үзье. зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш. Та үүнд хурдан дасаж, өөрчлөлтийг хийх боломжтой эсэх талаар бодохгүйгээр механикаар хийж эхэлдэг. Ийм мөчид, азаар логарифмын шинж чанарыг хайхрамжгүй ашиглах нь алдаа гаргахад хүргэдэг илүү төвөгтэй жишээнүүд алга болдог. Тиймээс та үргэлж сонор сэрэмжтэй байж, ОДЗ-ийн нарийсалт байхгүй эсэхийг шалгах хэрэгтэй.

Логарифмын шинж чанарт суурилсан үндсэн хувиргалтыг тусад нь тодруулах нь гэмтээхгүй бөгөөд үүнийг маш болгоомжтой хийх ёстой бөгөөд энэ нь OD-ийн нарийсалт, үр дүнд нь алдаа гарахад хүргэдэг.

Логарифмын шинж чанарт суурилсан илэрхийллийн зарим хувиргалт нь эсрэгээр - ODZ-ийн өргөтгөлөд хүргэдэг. Жишээлбэл, 4·log 2 (x+1)-ээс log 2 (x+1) 4 руу шилжих нь ODZ-ийг (−1, +∞) олонлогоос (−∞, −1)∪(−1,) болгон өргөжүүлнэ. +∞). Хэрэв бид анхны илэрхийлэлд зориулсан ODZ-ийн хүрээнд үлдэх юм бол ийм өөрчлөлтүүд явагдана. Тэгэхээр сая дурдсан 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 хувиргалт нь 4·log 2 (x+1) гэсэн анхны илэрхийллийн хувьд x хувьсагчийн ODZ дээр явагдана. x+1> 0, энэ нь (−1, +∞)-тэй ижил байна.

Одоо бид логарифмын шинж чанарыг ашиглан хувьсагчтай илэрхийллийг хувиргахдаа анхаарах ёстой нюансуудын талаар ярилцсан тул эдгээр хувиргалтыг хэрхэн зөв хийх талаар олж мэдэх л үлдлээ.

X+2>0. Энэ нь манай тохиолдолд ажилладаг уу? Энэ асуултад хариулахын тулд x хувьсагчийн ODZ-ийг харцгаая. Энэ нь тэгш бус байдлын системээр тодорхойлогддог , энэ нь x+2>0 нөхцөлтэй тэнцэнэ (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх). Тиймээс бид чадлын логарифмын шинж чанарыг найдвартай ашиглаж чадна.

Бидэнд байгаа
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21·log(x+2)−log(x+2)−20·log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

ODZ үүнийг хийхийг зөвшөөрдөг тул та өөрөөр ажиллаж болно, жишээлбэл:

Хариулт:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Гэхдээ ОДЗ-д логарифмын шинж чанарыг дагалдах нөхцөл хангагдаагүй тохиолдолд яах вэ? Бид үүнийг жишээгээр ойлгох болно.

log(x+2) 4 − log(x+2) 2 илэрхийллийг хялбарчлахыг биднээс шаардацгаая. Энэ илэрхийллийн өөрчлөлт нь өмнөх жишээн дээрх илэрхийллээс ялгаатай нь хүч чадлын логарифмын өмчийг чөлөөтэй ашиглах боломжийг олгодоггүй. Яагаад? Энэ тохиолдолд x хувьсагчийн ODZ нь x>−2 ба x хоёр интервалын нэгдэл юм<−2 . При x>−2 бид чадлын логарифмын шинж чанарыг хялбархан хэрэглэж, дээрх жишээний дагуу ажиллаж болно. log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Гэхдээ ODZ нь дахиад нэг x+2 интервалыг агуулна<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2ба цаашлаад k lg|x+2| зэрэглэлийн шинж чанараас шалтгаална 4 −lg|x+2| 2. Хувьсагчийн дурын утгын хувьд |x+2|>0 байх тул үр дүнгийн илэрхийлэлийг чадлын логарифмын шинж чанарыг ашиглан хувиргаж болно. Бидэнд байгаа log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Одоо модуль үүргээ гүйцэтгэсэн тул та өөрийгөө чөлөөлж болно. Бид х+2 дээр хувиргалтыг хийдэг<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Модулиудтай ажиллах нь танил болохын тулд өөр нэг жишээг харцгаая. Илэрхийлэлээс төсөөлье x−1, x−2, x−3 шугаман биномуудын логарифмын нийлбэр ба зөрүү рүү оч. Эхлээд бид ODZ-ийг олно:

(3, +∞) интервал дээр x−1, x−2 ба x−3 илэрхийллийн утгууд эерэг байх тул нийлбэр ба ялгааны логарифмын шинж чанарыг хялбархан ашиглаж болно.

Мөн (1, 2) интервал дээр x−1 илэрхийллийн утгууд эерэг, x−2 ба x−3 илэрхийллийн утгууд сөрөг байна. Тиймээс авч үзсэн интервал дээр бид модулийг −|x−2| гэж ашиглан x−2 ба x−3-ыг илэрхийлнэ ба −|x−3| тус тус. Хаана

Одоо бид бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанаруудыг ашиглаж болно, учир нь авч үзсэн интервал (1, 2) дээр x−1 , |x−2| илэрхийллийн утгууд байна. ба |x−3| - эерэг.

Бидэнд байгаа

Хүлээн авсан үр дүнг нэгтгэж болно:

Ерөнхийдөө ижил төстэй үндэслэл нь бүтээгдэхүүний логарифм, харьцаа, градусын томъёонд үндэслэн хэрэглэхэд тохиромжтой гурван практик үр дүнг авах боломжийг олгодог.

• log a (X·Y) хэлбэрийн дурын X ба Y хоёр илэрхийллийн үржвэрийн логарифмыг log a |X|+log a |Y| логарифмын нийлбэрээр сольж болно. , a>0, a≠1 .
• Тодорхой хэлбэрийн log a (X:Y) логарифмыг log a |X|−log a |Y| логарифмын зөрүүгээр сольж болно. , a>0, a≠1, X ба Y нь дурын илэрхийлэл юм.
• Зарим B илэрхийллийн логарифмаас log a B p хэлбэрийн тэгш p хүртэлх p·log a |B| илэрхийлэл рүү орж болно. , энд a>0, a≠1, p нь тэгш тоо, B нь дурын илэрхийлэл юм.

Үүнтэй төстэй үр дүнг жишээ нь экспоненциал ба шийдвэрлэх зааварт өгсөн болно логарифм тэгшитгэлМ.И.Сканавигийн найруулсан их дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан математикийн бодлогын түүвэр.

Жишээ.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах .

Шийдэл.

Хүч, нийлбэр, ялгаварын логарифмын шинж чанаруудыг хэрэглэх нь зүйтэй юм. Гэхдээ бид үүнийг энд хийж чадах уу? Энэ асуултад хариулахын тулд бид DPD-ийг мэдэх хэрэгтэй.

Үүнийг тодорхойлъё:

Х хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын муж дахь x+4, x−2 ба (x+4) 13 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох нь ойлгомжтой. Тиймээс бид модулиудаар ажиллах хэрэгтэй болно.

Модулийн шинж чанарууд нь үүнийг дахин бичих боломжийг олгодог

Түүнчлэн, хүч чадлын логарифмын шинж чанарыг ашиглах, дараа нь ижил төстэй нэр томъёог авчрахад юу ч саад болохгүй.

Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг:

ODZ дээр x−2 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тул тэгш илтгэгч 14-ийг авах боломжтой.

үндсэн шинж чанарууд.

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

ижил үндэслэлүүд

Log6 4 + log6 9.

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье.

Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ

Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x >

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Мөн үзнэ үү:

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-той тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Энэ дүрмийг мэдсэнээр та мэдэх болно яг үнэ цэнэүзэсгэлэнд оролцогчид, мөн Лев Толстойн төрсөн он сар өдөр.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.

3.

4. Хаана .

Жишээ 2. Хэрэв x-г ол

Жишээ 3. Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь яг тийм биш учраас энгийн тоонууд, энд гэж нэрлэгддэг дүрэм журам байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдэнгүйгээр нэг ч ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. логарифмын асуудал. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Жич: гол мөчЭнд - ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй болно!

Эдгээр томъёо нь танд тооцоолоход тусална логарифм илэрхийлэлтүүний бие даасан хэсгүүдийг тооцдоггүй байсан ч ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Олон хүмүүс энэ баримт дээр суурилдаг тестийн цаас. Хяналтын талаар юу хэлэх вэ? ижил төстэй илэрхийллүүдБүх ноцтойгоор (заримдаа бараг ямар ч өөрчлөлтгүйгээр) Улсын нэгдсэн шалгалтанд санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Үүнийг анзаарахад амархан сүүлчийн дүрэмэхний хоёрыг дагадаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг хүчирхэг байх болно: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

гэж бодож байна сүүлчийн жишээтодруулах шаардлагатай. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг.

Логарифмын томъёо. Логарифмын шийдлийн жишээ.

Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь уламжлалт байдлаар ховор байдаг тоон илэрхийллүүд. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн гацах болно.

Шинэ суурь руу шилжих томъёоны нэгэн адил гол логарифмын ижилсэлзаримдаа энэ нь цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Эрх мэдлийг үржүүлэх дүрмийг авч үзэх ижил суурь, бид авах:

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч суурьтай логарифм нэгтэй тэнцүү.
2. лога 1 = 0 байна. Суурь a нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм тэгтэй тэнцүү! Учир нь a0 = 1 байна шууд үр дагавартодорхойлолтоос.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Мөн үзнэ үү:

a суурийн b-ийн логарифм нь илэрхийллийг илэрхийлнэ. Логарифмыг тооцоолох гэдэг нь тэгш байдал хангагдах x () хүчийг олох гэсэн үг юм

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмтай холбоотой бараг бүх асуудал, жишээг тэдгээрийн үндсэн дээр шийддэг тул дээрх шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай. Үлдсэн чамин шинж чанаруудыг эдгээр томъёогоор математикийн аргаар гаргаж авах боломжтой

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Логарифмын нийлбэр ба зөрүүний томъёог (3.4) тооцоолохдоо та маш олон удаа тааралддаг. Үлдсэн хэсэг нь зарим талаараа төвөгтэй боловч хэд хэдэн даалгаварт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах, тэдгээрийн утгыг тооцоолоход зайлшгүй шаардлагатай байдаг.

Логарифмын нийтлэг тохиолдлууд

Зарим нийтлэг логарифмууд нь суурь нь бүр арав, экспоненциал эсвэл хоёр байдаг.
Аравтын суурийн логарифмыг ихэвчлэн аравтын логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд энгийнээр lg(x) гэж тэмдэглэдэг.

Бичлэгт үндсэн зүйл бичээгүй нь бичлэгээс тодорхой харагдаж байна. Жишээлбэл

Натурал логарифм нь суурь нь илтгэгч (ln(x)-ээр тэмдэглэгдсэн) логарифм юм.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-той тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна. Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Хоёр дахь суурийг тавих өөр нэг чухал логарифмыг дараах байдлаар тэмдэглэв

Функцийн логарифмын дериватив нь хувьсагчид хуваагдсантай тэнцүү байна

Интеграл эсвэл эсрэг дериватив логарифм нь хамаарлаар тодорхойлогддог

Өгөгдсөн материал нь логарифм, логарифмтай холбоотой өргөн хүрээний асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Материалыг ойлгоход тань туслахын тулд би цөөн хэдэн энгийн жишээг өгөх болно сургуулийн сургалтын хөтөлбөрболон их дээд сургуулиуд.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.
Логарифмын ялгаварын шинж чанараар бид байна

3.
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид олдог

4. Хаана .

Харцаар нь нарийн төвөгтэй илэрхийлэлхэд хэдэн дүрмийг ашиглан хялбаршуулсан хэлбэрээр хэлбэржүүлсэн

Логарифмын утгыг олох

Жишээ 2. Хэрэв x-г ол

Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид сүүлийн үеийн 5 ба 13 шинж чанаруудыг хэрэглэнэ

Бид үүнийг бичлэгт оруулж, эмгэнэл илэрхийлдэг

Суурь нь тэнцүү тул бид илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг

Логарифм. Эхний түвшин.

Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Шийдэл: Хувьсагчийн логарифмыг авч, логарифмыг нөхцлүүдийн нийлбэрээр нь бичье.

Энэ бол бидний логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцах эхлэл юм. Тооцоолол хийж, практик ур чадвараа баяжуулаарай - логарифм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд олж авсан мэдлэг тань удахгүй хэрэг болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх үндсэн аргуудыг судалсны дараа бид таны мэдлэгийг өөр нэг чухал сэдэв болох логарифмын тэгш бус байдлын талаар өргөжүүлэх болно.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - нэг ч ноцтой логарифмын асуудлыг тэдэнгүйгээр шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй болно!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log6 4 + log6 9.

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг хүчирхэг байх болно: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн гацах болно.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

-ээс эхэлье нэгийн логарифмын шинж чанарууд. Түүний томъёолол нь дараах байдалтай байна: нэгдлийн логарифм нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, log a 1=0ямар ч a>0, a≠1. Баталгаажуулах нь тийм ч хэцүү биш: дээрх a>0 ба a≠1 нөхцлийг хангасан аль ч тохиолдолд a 0 =1 байх тул нотлох ёстой a 1=0 тэгшитгэл нь логарифмын тодорхойлолтоос шууд гарч ирнэ.

Харгалзан авч буй үл хөдлөх хөрөнгийн хэрэглээний жишээг өгье: log 3 1=0, log1=0 ба .

Дараа нь үргэлжлүүлье дараах үл хөдлөх хөрөнгөд: тооны логарифм, суурьтай тэнцүү, нэгтэй тэнцүү, тэр бол, log a a=1 a>0, a≠1 хувьд. Үнэн хэрэгтээ аливаа а-д a 1 =a тул логарифмын тодорхойлолтоор a a=1 болно.

Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ нь log 5 5=1, log 5.6 5.6 ба lne=1 тэнцүү байна.

Жишээлбэл, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ба .

Хоёрын үржвэрийн логарифм эерэг тоонууд x ба y бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнаЭдгээр тоонуудын логарифмууд: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1 . Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг баталъя. Зэрэглэлийн шинж чанараас шалтгаалан a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, мөн үндсэн логарифмын адилтгалаар лог a x =x ба log a y =y байх тул a log a x ·a log a y =x·y болно. Ийнхүү лог a x+log a y =x·y байх бөгөөд үүнээс логарифмын тодорхойлолтоор нотлогдож буй тэгш байдал гарч ирнэ.

Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг ашиглах жишээг үзүүлье: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ба .

Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг тухайн бүтээгдэхүүнд нэгтгэн дүгнэж болно хязгаарлагдмал тоо n эерэг тоо x 1 , x 2 , …, x n зэрэг log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Энэ тэгш байдлыг асуудалгүйгээр баталж болно.

Жишээлбэл, бүтээгдэхүүний натурал логарифмыг гурвын нийлбэрээр сольж болно байгалийн логарифмуудтоо 4 , e , болон .

Хоёр эерэг тооны хэсгийн логарифм x ба y зөрүүтэй тэнцүү байнаЭдгээр тоонуудын логарифмууд. Хэсгийн логарифмын шинж чанар нь a>0, a≠1, x ба y нь эерэг тоонууд байх хэлбэрийн томьёотой тохирч байна. Бүтээгдэхүүний логарифмын томъёоноос гадна энэ томьёоны хүчинтэй байдал нотлогдсон: оноос хойш , дараа нь логарифмын тодорхойлолтоор.

Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ энд байна. .

Дараа нь үргэлжлүүлье чадлын логарифмын шинж чанар. Зэрэглэлийн логарифм нь энэ зэргийн суурийн индекс ба модулийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна. Хүчний логарифмын энэ шинж чанарыг томъёогоор бичье. log a b p =p·log a |b|, энд a>0, a≠1, b ба p нь b p зэрэг нь утга учиртай, b p >0 байх тоо юм.

Эхлээд бид энэ шинж чанарыг эерэгээр баталж байна b. Үндсэн логарифмын ижилсэл нь b тоог a log a b , дараа нь b p =(a log a b) p хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог ба үр дүнгийн илэрхийлэл нь чадлын шинж чанараас шалтгаалан p·log a b -тэй тэнцүү байна. Ингээд бид b p =a p·log a b тэгшитгэлд хүрч, логарифмын тодорхойлолтоор log a b p =p·log a b гэж дүгнэж байна.

Энэ өмчийг сөрөг талаас нь нотлох хэвээр байна b. Сөрөг b-ийн хувьд log a b p илэрхийлэл нь зөвхөн p тэгш илтгэгчийн хувьд утга учиртай болохыг энд тэмдэглэв (учир нь b p зэргийн утга нь байх ёстой. Тэгээс дээш, эс бөгөөс логарифм утгагүй болно), энэ тохиолдолд b p =|b| х. Дараа нь b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, хаанаас log a b p =p·log a |b| .

Жишээлбэл, ба ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Энэ нь өмнөх өмчөөс үүдэлтэй язгуураас авсан логарифмын шинж чанар: n-р язгуурын логарифм нь 1/n бутархайг радикал илэрхийллийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, , энд a>0, a≠1, n – натурал тоо, нэгээс их, b>0.

Нотолгоо нь аливаа эерэг b-ийн хувьд хүчинтэй тэгш байдал (харна уу) ба чадлын логарифмын шинж чанар дээр суурилдаг. .

Энэ өмчийг ашиглах жишээ энд байна: .

Одоо баталъя шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёотөрлийн . Үүнийг хийхийн тулд тэгш байдлын log c b=log a b·log c a-ийн үнэн зөвийг батлахад хангалттай. Үндсэн логарифмын таних тэмдэг нь b тоог a log a b, дараа нь log c b=log c a log a b гэж илэрхийлэх боломжийг олгодог. Зэрэглэлийн логарифмын шинж чанарыг ашиглахад хэвээр байна: log c a log a b =log a b log c a. Энэ нь log c b=log a b·log c a тэнцүү болохыг баталж байгаа нь логарифмын шинэ суурьт шилжих томьёо мөн батлагдсан гэсэн үг.

Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах хэд хэдэн жишээг үзүүлье: ба .

Шинэ суурь руу шилжих томъёо нь "тохиромжтой" суурьтай логарифмуудтай ажиллахад шилжих боломжийг олгодог. Жишээлбэл, түүний тусламжтайгаар та байгалийн юмуу руу шилжиж болно аравтын логарифмИнгэснээр та логарифмын утгыг логарифмын хүснэгтээс тооцоолж болно. Шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёо нь зарим тохиолдолд бусад суурьтай зарим логарифмын утгууд мэдэгдэж байгаа тохиолдолд өгөгдсөн логарифмын утгыг олох боломжийг олгодог.

Байнга хэрэглэдэг онцгой тохиолдол c=b ​​хэлбэрийн логарифмын шинэ суурь руу шилжих томьёо . Энэ нь log a b ба log b a – болохыг харуулж байна. Жишээ нь, .

Томъёог бас ихэвчлэн ашигладаг , энэ нь логарифмын утгыг олоход тохиромжтой. Бидний үгсийг батлахын тулд бид үүнийг маягтын логарифмын утгыг тооцоолоход хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно. Бидэнд байгаа . Томьёог батлахын тулд a логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёог ашиглахад хангалттай. .

Логарифмын харьцуулалтын шинж чанарыг батлахад л үлддэг.

Аливаа эерэг тоонуудын хувьд b 1 ба b 2, b 1 гэдгийг баталцгаая log a b 2, a>1-ийн хувьд – тэгш бус байдлын log a b 1

Эцэст нь логарифмын хамгийн сүүлийн жагсаасан шинж чанарыг батлахад л үлдлээ. Түүний эхний хэсгийн нотолгоогоор хязгаарлъя, өөрөөр хэлбэл, хэрэв 1 >1, a 2 >1, a 1 гэдгийг батлах болно. 1 нь үнэн log a 1 b>log a 2 b . Логарифмын энэ өмчийн үлдсэн мэдэгдлүүдийг ижил төстэй зарчмын дагуу нотолж байна.

Эсрэг аргыг хэрэглэцгээе. 1 >1, 2 >1 ба 1 гэж бодъё 1 нь үнэн log a 1 b≤log a 2 b . Логарифмын шинж чанарууд дээр үндэслэн эдгээр тэгш бус байдлыг дахин бичиж болно Тэгээд тус тус ба тэдгээрээс log b a 1 ≤log b a 2 ба log b a 1 ≥log b a 2 байна. Дараа нь ижил суурьтай зэрэглэлийн шинж чанарын дагуу b log b a 1 ≥b log b a 2 ба b log b a 1 ≥b log b a 2 тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл a 1 ≥a 2 байна. Тиймээс бид 1 гэсэн нөхцөлтэй зөрчилдсөн

Ном зүй.