Логарифм тэгшитгэл нь логарифмыг чадлын хувьд. Логарифм тэгшитгэл

Логарифм тэгшитгэлгэдэг нь үл мэдэгдэх (х) болон түүгээр илэрхийлэгдэх илэрхийллүүд логарифмын функцийн тэмдгийн дор байрлах тэгшитгэл юм. Шийдэл логарифм тэгшитгэлболон -ийг аль хэдийн мэддэг болсон гэж үздэг.
Логарифм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Хамгийн энгийн тэгшитгэл нь log a x = b, энд a ба b нь зарим тоонууд, x нь үл мэдэгдэх тоо юм.
Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх x = a b өгөгдсөн: a > 0, a 1.

Хэрэв x нь логарифмын гадна хаа нэгтээ байгаа бол, жишээлбэл log 2 x = x-2 бол ийм тэгшитгэлийг аль хэдийн холимог гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхийн тулд тусгай арга барил шаардлагатай гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Хамгийн тохиромжтой тохиолдол бол логарифмын тэмдгийн дор зөвхөн тоонууд байдаг тэгшитгэлтэй таарах явдал юм, жишээ нь x+2 = log 2 2. Энд үүнийг шийдэхийн тулд логарифмын шинж чанарыг мэдэхэд хангалттай. Гэхдээ ийм аз тийм ч их тохиолддоггүй тул илүү хэцүү зүйлд бэлэн байгаарай.

Гэхдээ эхлээд эхэлцгээе энгийн тэгшитгэлүүд. Тэдгээрийг шийдэхийн тулд хамгийн их байх нь зүйтэй юм ерөнхий санаалогарифмын тухай.

Энгийн логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Үүнд log 2 x = log 2 16 төрлийн тэгшитгэлүүд багтана. Логарифмын тэмдгийг орхисноор бид x = 16 болж байгааг энгийн нүдээр харж болно.

Илүү төвөгтэй логарифмын тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үүнийг ердийнхөөс нь шийддэг алгебрийн тэгшитгэлэсвэл хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэлийн шийдэлд log a x = b. Хамгийн энгийн тэгшитгэлд энэ нь нэг хөдөлгөөнд тохиолддог тул тэдгээрийг хамгийн энгийн гэж нэрлэдэг.

Дээрх логарифмыг хасах арга нь логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үндсэн аргуудын нэг юм. Математикийн хувьд энэ үйлдлийг потенциац гэж нэрлэдэг. Байдаг тодорхой дүрэмэсвэл ийм төрлийн үйл ажиллагааны хязгаарлалт:

• логарифмууд нь ижил тооны суурьтай
• Тэгшитгэлийн хоёр талын логарифмууд нь чөлөөтэй, өөрөөр хэлбэл. ямар ч коэффициентгүй болон бусад төрөл бүрийнилэрхийллүүд.

Log 2 x = 2log 2 (1 - x) тэгшитгэлд потенциацийг ашиглах боломжгүй гэж үзье - баруун талд байгаа 2 коэффициент үүнийг зөвшөөрөхгүй. IN дараах жишээ log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) хязгаарлалтуудын нэг нь бас хангагдаагүй - зүүн талд хоёр логарифм байна. Ганцхан байсан бол шал өөр хэрэг болно!

Ерөнхийдөө, тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байвал л логарифмыг устгаж болно.

log a (...) = log a (...)

Ямар ч илэрхийлэлийг хаалтанд хийж болно, энэ нь хүчирхэгжүүлэх үйл ажиллагаанд огт нөлөө үзүүлэхгүй. Логарифмуудыг арилгасны дараа илүү энгийн тэгшитгэл хэвээр үлдэх болно - шугаман, квадрат, экспоненциал гэх мэт, та үүнийг хэрхэн шийдэхээ аль хэдийн мэдэж байгаа гэж найдаж байна.

Өөр нэг жишээ авъя:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Бид потенциацийг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

бүртгэл 3 (2х-1) = 2

Логарифмын тодорхойлолтыг үндэслэн, тухайлбал, логарифм нь логарифмын тэмдгийн дор байгаа илэрхийлэлийг олж авахын тулд суурийг өсгөх ёстой тоо юм. (4х-1), бид дараахь зүйлийг авна.

Бид дахиад л сайхан хариулт авлаа. Энд бид логарифмыг хасахгүйгээр хийсэн, гэхдээ потенциацийг энд бас ашиглаж болно, учир нь логарифмыг ямар ч тооноос, яг бидэнд хэрэгтэй тооноос хийж болно. Энэ арга нь логарифмын тэгшитгэл, ялангуяа тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд маш их тустай.

Потенциацийг ашиглан лог 3 (2х-1) = 2 логарифмын тэгшитгэлээ шийдье:

2-ын тоог логарифм гэж төсөөлье, жишээ нь энэ лог 3 9, учир нь 3 2 =9.

Дараа нь log 3 (2x-1) = log 3 9, бид дахин ижил тэгшитгэлийг авна 2x-1 = 9. Бүх зүйл тодорхой байна гэж найдаж байна.

Тиймээс бид хамгийн энгийн логарифмын тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзсэн бөгөөд энэ нь үнэндээ маш чухал юм, учир нь логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, тэр ч байтугай хамгийн аймшигтай, эрчилсэн нь эцэст нь үргэлж хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийдэхэд хүрдэг.

Дээр дурдсан бүх зүйлд бид нэгийг нь маш их алдсан чухал цэг, дараа нь байх болно шийдвэрлэх үүрэгтэй. Аливаа логарифмын тэгшитгэлийн шийдэл, тэр ч байтугай хамгийн энгийн нь ч гэсэн хоёр тэнцүү хэсгээс бүрддэг. Эхнийх нь тэгшитгэлийн шийдэл, хоёр дахь нь талбайтай ажиллах явдал юм хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэ(ОДЗ). Энэ бол яг бидний эзэмшсэн эхний хэсэг юм. Дээрх зүйлд DL-ийн жишээхариултанд ямар нэгэн байдлаар нөлөөлөхгүй тул бид үүнийг анхаарч үзээгүй.

Өөр нэг жишээ авъя:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Гаднах байдлаар энэ тэгшитгэл нь маш амжилттай шийдэгдэж болох энгийн тэгшитгэлээс ялгаатай биш юм. Гэхдээ энэ нь бүхэлдээ үнэн биш юм. Үгүй ээ, мэдээжийн хэрэг бид үүнийг шийдэх болно, гэхдээ магадгүй буруу, учир нь энэ нь С ангийн сурагчид болон онц оюутнууд хоёулаа шууд унадаг жижиг отолттой байдаг. Илүү дэлгэрэнгүй харцгаая.

Хэд хэдэн байвал тэгшитгэлийн үндэс эсвэл язгуурын нийлбэрийг олох хэрэгтэй гэж бодъё.

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Бид потенциацийг ашигладаг, үүнийг энд хүлээн зөвшөөрөх боломжтой. Үүний үр дүнд бид ердийн зүйлийг олж авдаг квадрат тэгшитгэл.

Тэгшитгэлийн язгуурыг олох:

Энэ нь хоёр үндэс болсон.

Хариулт: 3 ба -1

Эхлээд харахад бүх зүйл зөв байна. Гэхдээ үр дүнг нь шалгаад орлуулъя анхны тэгшитгэл.

x 1 = 3-аар эхэлье:

log 3 6 = log 3 6

Шалгалт амжилттай болсон, одоо дараалал x 2 = -1 байна:

бүртгэл 3 (-2) = бүртгэл 3 (-2)

За, зогсоо! Гаднах нь бүх зүйл төгс төгөлдөр юм. Нэг зүйл - сөрөг тооноос логарифм байхгүй! Энэ нь x = -1 язгуур нь бидний тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тохиромжгүй гэсэн үг юм. Тиймээс зөв хариулт нь бидний бичсэнчлэн 2 биш 3 байх болно.

Энд л ОДЗ бидний мартсан үхлийн үүрэг гүйцэтгэсэн.

Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нь анхны жишээнд зөвшөөрөгдсөн эсвэл утга учиртай x утгуудыг багтаадаг гэдгийг сануулъя.

ODZ-гүй бол аливаа тэгшитгэлийн аливаа шийдэл, тэр ч байтугай туйлын зөв нь сугалаанд хувирдаг - 50/50.

Юу юм шиг санагдсанаа шийдэхдээ яаж баригдаж чадав аа энгийн жишээ? Гэхдээ яг хүчирхэгжих мөчид. Логарифмууд алга болж, түүнтэй хамт бүх хязгаарлалтууд алга болсон.

Энэ тохиолдолд юу хийх вэ? Логарифмыг арилгахаас татгалзах уу? Мөн энэ тэгшитгэлийг шийдэхээс бүрэн татгалзах уу?

Үгүй ээ, бид зүгээр л нэг алдартай дууны жинхэнэ баатрууд шиг тойруу замаар явах болно!

Аливаа логарифмын тэгшитгэлийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө бид ODZ-ийг бичнэ. Харин үүний дараа та бидний тэгшитгэлээр зүрх сэтгэлийнхээ хүссэн бүхнийг хийж болно. Хариултыг хүлээн авсны дараа бид ODZ-д ороогүй үндсийг нь хаяж, эцсийн хувилбарыг бичнэ.

Одоо ODZ-г хэрхэн бичихээ шийдье. Үүнийг хийхийн тулд бид анхны тэгшитгэлийг сайтар судалж, дотроос нь x-ээр хуваах, бүр үндэс гэх мэт сэжигтэй газруудыг хайж олох болно. Тэгшитгэлийг шийдэх хүртлээ бид x нь хэдтэй тэнцүү болохыг мэдэхгүй ч орлуулах үед 0-д хуваагдах юм уу олборлолтыг өгөх x байдгийг баттай мэднэ. квадрат язгуурсөрөг тоо нь хариултанд тохирохгүй нь ойлгомжтой. Тиймээс ийм x нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй, харин бусад нь ODZ-ийг бүрдүүлнэ.

Үүнтэй ижил тэгшитгэлийг дахин ашиглая:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Таны харж байгаагаар 0-д хуваагдахгүй, мөн квадрат язгуур байхгүй, гэхдээ логарифмын биед х-тэй илэрхийллүүд байдаг. Логарифмын доторх илэрхийлэл үргэлж >0 байх ёстой гэдгийг нэн даруй санацгаая. Бид энэ нөхцлийг ODZ хэлбэрээр бичнэ.

Тэдгээр. Бид хараахан юу ч шийдэж амжаагүй байгаа ч бид бүх дэд логарифмын илэрхийлэлд заавал байх нөхцөлийг аль хэдийн биччихсэн байгаа. BraceЭдгээр нөхцлийг нэгэн зэрэг хангасан байх ёстой гэсэн үг.

ODZ-г бичсэн боловч үүнээс үүссэн тэгш бус байдлын системийг шийдэх шаардлагатай бөгөөд үүнийг бид хийх болно. Бид x > v3 гэсэн хариултыг авна. Одоо бид аль x нь бидэнд тохирохгүйг тодорхой мэдэж байна. Дараа нь бид логарифмын тэгшитгэлийг өөрөө шийдэж эхэлдэг бөгөөд энэ нь дээр дурдсан зүйл юм.

x 1 = 3 ба x 2 = -1 гэсэн хариултуудыг хүлээн авсны дараа зөвхөн x1 = 3 бидэнд тохирохыг харахад хялбар бөгөөд бид үүнийг эцсийн хариулт болгон бичдэг.

Ирээдүйн хувьд дараахь зүйлийг санах нь маш чухал юм: бид аливаа логарифмын тэгшитгэлийг 2 үе шаттайгаар шийддэг. Эхнийх нь тэгшитгэлийг өөрөө шийдэх, хоёр дахь нь ODZ нөхцөлийг шийдэх явдал юм. Хоёр үе шатыг бие биенээсээ хамааралгүйгээр гүйцэтгэдэг бөгөөд зөвхөн хариултыг бичихдээ харьцуулдаг, i.e. шаардлагагүй бүх зүйлийг хаяж, зөв ​​хариултыг бич.

Материалыг бэхжүүлэхийн тулд бид видеог үзэхийг зөвлөж байна:

Видео нь бүртгэлийг шийдвэрлэх бусад жишээг харуулж байна. тэгшитгэл ба интервалын аргыг практикт хэрэгжүүлэх.

Энэ асуултад, логарифм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхОдоохондоо ийм л байна. Хэрэв ямар нэг зүйл логоор шийдсэн бол. тэгшитгэлүүд тодорхойгүй эсвэл ойлгомжгүй хэвээр байвал асуултаа сэтгэгдэл дээр бичнэ үү.

Жич: Нийгмийн Боловсролын Академи (АХЭ) шинэ оюутнуудаа хүлээн авахад бэлэн байна.

Заавар

Өгөгдсөн логарифм илэрхийллийг бич. Хэрэв илэрхийлэл нь 10-ын логарифмыг ашигладаг бол түүний тэмдэглэгээг богиносгож, дараах байдлаар харагдана: lg b нь аравтын логарифм юм. Хэрэв логарифмын суурь нь e тоотой бол дараах илэрхийллийг бичнэ үү: ln b – байгалийн логарифм. Ямар ч үр дүн нь b тоог олж авахын тулд суурь тоог өсгөх ёстой хүчин чадал гэдгийг ойлгодог.

Хоёр функцийн нийлбэрийг олохдоо тэдгээрийг нэг нэгээр нь ялгаж, үр дүнг нэмэхэд хангалттай: (u+v)" = u"+v";

Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохдоо эхний функцийн деривативыг хоёр дахь функцээр үржүүлж, хоёрдугаар функцийн деривативыг эхний функцээр үржүүлсэнийг нэмэх шаардлагатай: (u*v)" = u"*v. +v"*u;

Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохын тулд ногдол ашгийн деривативын үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийг хуваагч функцээр үржүүлсэн үржвэрийг хасаж, хуваах шаардлагатай. энэ бүгдийг хуваагч функцээр квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Өгөгдсөн бол нарийн төвөгтэй функц, дараа нь үүсмэлийг үржүүлэх шаардлагатай дотоод функцба гадаад нэгний дериватив. y=u(v(x)), дараа нь y"(x)=y"(u)*v"(x) гэж үзье.

Дээр олж авсан үр дүнг ашиглан та бараг бүх функцийг ялгаж чадна. Тиймээс хэд хэдэн жишээг харцгаая:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Нэг цэгт деривативыг тооцоолоход бас асуудал гардаг. y=e^(x^2+6x+5) функцийг өгье, та x=1 цэг дээрх функцийн утгыг олох хэрэгтэй.
1) Функцийн деривативыг ол: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Функцийн утгыг тооцоол өгсөн оноо y"(1)=8*e^0=8

Сэдвийн талаархи видео

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Анхан шатны деривативын хүснэгтийг сур. Энэ нь цагийг ихээхэн хэмнэх болно.

Эх сурвалжууд:

• тогтмолын дериватив

Тэгэхээр, ялгаа нь юу вэ? ir рационал тэгшитгэлоновчтой байдлаас? Хэрэв үл мэдэгдэх хувьсагч квадрат язгуур тэмдгийн доор байвал тэгшитгэлийг иррациональ гэж үзнэ.

Заавар

Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол арга бол хоёр талыг барих арга юм тэгшитгэлдөрвөлжин болгон. Гэсэн хэдий ч. Энэ бол байгалийн зүйл, таны хийх ёстой хамгийн эхний зүйл бол тэмдгийг арилгах явдал юм. Энэ арга нь техникийн хувьд хэцүү биш боловч заримдаа асуудалд хүргэж болзошгүй юм. Жишээлбэл, тэгшитгэл нь v(2x-5)=v(4x-7). Хоёр талыг квадрат болгосноор 2x-5=4x-7 болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх нь хэцүү биш юм; x=1. Гэхдээ 1-ийн тоог өгөхгүй тэгшитгэл. Яагаад? Тэгшитгэлд x-ийн утгын оронд нэгийг оруулаад баруун болон зүүн тал нь утгагүй илэрхийллийг агуулна. Энэ утга нь квадрат язгуурт тохирохгүй. Тиймээс 1 нь гадны язгуур тул энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Тиймээс иррационал тэгшитгэлийг хоёр талыг нь квадрат болгох аргыг ашиглан шийддэг. Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа үүнийг таслах шаардлагатай болно гадны үндэс. Үүнийг хийхийн тулд олсон үндсийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.

Өөр нэгийг авч үзье.
2х+вх-3=0
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийг өмнөхтэй ижил тэгшитгэл ашиглан шийдэж болно. Нэгдлүүдийг зөөх тэгшитгэлязгуургүй , in баруун талдараа нь квадратын аргыг хэрэглэнэ. Үүссэн рационал тэгшитгэл ба язгуурыг шийд. Гэхдээ бас өөр, илүү гоёмсог. Шинэ хувьсагч оруулах; vх=y. Үүний дагуу та 2y2+y-3=0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг хүлээн авна. Энэ нь энгийн квадрат тэгшитгэл юм. Үүний үндэсийг олох; y1=1 ба y2=-3/2. Дараа нь хоёрыг шийд тэгшитгэл vх=1; vх=-3/2. Хоёр дахь тэгшитгэлд үндэс байхгүй; Үндэсийг нь шалгахаа бүү мартаарай.

Тодорхойлолтыг шийдвэрлэх нь маш энгийн. Үүнийг хийхийн тулд та хийх хэрэгтэй таних тэмдгийн өөрчлөлтүүдзорилгодоо хүрэх хүртэл. Тиймээс хамгийн энгийн тусламжтайгаар арифметик үйлдлүүдтулгарсан ажил шийдэгдэх болно.

Танд хэрэгтэй болно

• - цаас;
• - үзэг.

Заавар

Ийм хувиргалтуудын хамгийн энгийн нь алгебрийн товчилсон үржүүлэх (нийлбэрийн квадрат (ялгаа), квадратын зөрүү, нийлбэр (ялгаа), нийлбэрийн шоо (ялгаа) гэх мэт) юм. Үүнээс гадна, олон байдаг ба тригонометрийн томъёо, эдгээр нь үндсэндээ ижил таних тэмдэг юм.

Үнэхээр хоёр гишүүний нийлбэрийн квадрат квадраттай тэнцүүэхний нэмэх нь эхнийхийн үржвэрийг хоёроор хоёр дахин нэмэх ба хоёр дахьын квадратыг нэмэх нь (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b юм. ^2=a^2+2ab +b^2.

Хоёуланг нь хялбарчил

Шийдлийн ерөнхий зарчим

Хувьсагчийг солих арга

Хоёр дахь төрлийн интегралыг шийдвэрлэх

Интеграцийн хязгаарыг орлуулах

Танилцуулга

Тооцооллыг хурдасгах, хялбаршуулах зорилгоор логарифмуудыг зохион бүтээсэн. Логарифмын санаа, өөрөөр хэлбэл тоог ижил суурийн хүч болгон илэрхийлэх санаа нь Михаил Штифелийнх юм. Гэвч Стифелийн үед математик тийм ч хөгжөөгүй, логарифмын санаа ч хөгжөөгүй байв. Логарифмыг хожим Шотландын эрдэмтэн Жон Непьер (1550-1617) нэгэн зэрэг, бие биенээсээ хамааралгүйгээр зохион бүтээсэн бөгөөд Швейцарийн Жобст Бурги (1552-1632) уг бүтээлийг 1614 онд анх хэвлүүлсэн. “Гайхамшигтай логарифмын хүснэгтийн тайлбар” гэсэн гарчигтай Напиерийн логарифмын онолыг нэлээд бүрэн хэмжээгээр өгсөн, логарифмыг тооцоолох аргыг хамгийн энгийнээр нь өгсөн тул логарифм зохион бүтээхэд Непиерийн гавьяа Бургигийнхаас илүү байсан. . Бурги Напиертэй нэгэн зэрэг ширээн дээр ажиллаж байсан ч удаан хугацаагаартэднийг нууцалж, зөвхөн 1620 онд нийтэлсэн. Напиер 1594 онд логарифмын санааг эзэмшсэн. хэдийгээр хүснэгтүүдийг 20 жилийн дараа нийтэлсэн. Эхлээд тэрээр логарифмуудаа "хиймэл тоо" гэж нэрлээд дараа нь "хиймэл тоо" гэж санал болгов. хиймэл тоо"Логарифм" гэж нэг үгээр нэрлэх нь Грек хэлнээс орчуулбал "харилцан хамааралтай тоо" гэсэн үг бөгөөд нэгийг нь арифметик прогрессоос, нөгөөг нь тусгайлан сонгосон геометр прогрессоос авсан. Орос хэл дээрх анхны хүснэгтүүд 1703 онд хэвлэгджээ. 18-р зууны гайхамшигт багшийн оролцоотойгоор. Л.Ф.Магнитский. Логарифмын онолыг хөгжүүлэхэд их үнэ цэнэСанкт-Петербургийн академич Леонхард Эйлерийн бүтээлүүд байсан. Тэрээр логарифмыг хүчин чадалд хүргэхийн урвуу хүчин зүйл гэж үзсэн анхны хүн бөгөөд тэрээр "логарифмын суурь" ба "мантисса" гэсэн нэр томъёог нэвтрүүлсэн. Бриггс 10 суурьтай логарифмын хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн. Напиерийн логарифмуудаас илүү энгийн. Тийм ч учраас аравтын логарифмзаримдаа бригад гэж нэрлэдэг. Бриггс "шинж чанар" гэсэн нэр томъёог нэвтрүүлсэн.

Мэргэдүүд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн агуулсан тэгш байдлын талаар анх бодож эхэлсэн тэр алс үед зоос, хэтэвч байгаагүй байх. Гэхдээ тэнд овоолго, түүнчлэн сав, сагс байсан бөгөөд тэдгээр нь тодорхойгүй тооны эд зүйлсийг хадгалах боломжтой хадгалах кэшийн үүрэг гүйцэтгэхэд тохиромжтой байв. Эртний үед математикийн асуудлуудМесопотами, Энэтхэг, Хятад, Грек, үл мэдэгдэх тоо хэмжээ нь цэцэрлэгт тогос тоо, сүрэг дэх бухын тоо, эд хөрөнгийг хуваахдаа харгалзан үзсэн бүх зүйлийг илэрхийлсэн. Бүртгэлийн шинжлэх ухаанд сайн бэлтгэгдсэн бичээч, түшмэд, санаачлагчид нууц мэдлэгТахилч нар ийм даалгавруудыг амжилттай даван туулж чадсан.

Эртний эрдэмтэд заримыг нь эзэмшиж байсныг бидэнд ирсэн эх сурвалжууд харуулж байна ерөнхий техникүл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй асуудлыг шийдвэрлэх. Гэсэн хэдий ч нэг ч папирус биш, ганц ч биш шавар шахмалЭдгээр техникүүдийн талаар ямар ч тайлбар өгөөгүй байна. Зохиогчид тоон тооцоололдоо "Хараач!", "Үүнийг хий!", "Та зөвийг нь олсон байна" гэх мэт бүдүүлэг тайлбаруудыг зөвхөн хааяа өгдөг. Энэ утгаараа үл хамаарах зүйл бол Грекийн математикч Александрийн Диофантус (III зуун) -ын "Арифметик" бөгөөд тэдгээрийн шийдлүүдийг системтэй танилцуулсан тэгшитгэл зохиох асуудлын цуглуулга юм.

Гэсэн хэдий ч асуудлыг шийдвэрлэх анхны гарын авлага бол 9-р зууны Багдадын эрдэмтний бүтээл юм. Мухаммед бин Муса аль-Хорезми. Энэхүү зохиолын араб нэрнээс гаралтай "аль-жабр" гэдэг үг нь "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Сэргээн босголт ба эсэргүүцлийн ном") нь цаг хугацааны явцад алдартай "алгебр" гэсэн үг болж хувирсан бөгөөд уг бүтээл Аль-Хорезми өөрөө тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинжлэх ухааны хөгжлийн эхлэл болсон.

Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

1. Логарифм тэгшитгэл

Логарифмын тэмдгийн дор эсвэл суурь дээр үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэлийг логарифмын тэгшитгэл гэнэ.

Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

бүртгэл а x = б . (1)

Мэдэгдэл 1. Хэрэв а > 0, а≠ 1, ямар ч бодит тэгшитгэл (1). ббайна цорын ганц шийдэл x = a b .

Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд:

a) бүртгэл 2 x= 3, б) бүртгэл 3 x= -1, в)

Шийдэл. 1-р мэдэгдлийг ашиглан бид a) олж авна. x= 2 3 эсвэл x= 8; б) x= 3 -1 эсвэл x= 1/3; в)

Логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг танилцуулъя.

P1. Үндсэн мэдээлэл логарифмын ижилсэл:

Хаана а > 0, а≠ 1 ба б > 0.

P2. Эерэг хүчин зүйлийн үржвэрийн логарифм нийлбэртэй тэнцүү байнаЭдгээр хүчин зүйлсийн логарифмууд:

бүртгэл а Н 1 · Н 2 = бүртгэл а Н 1 + бүртгэл а Н 2 (а > 0, а ≠ 1, Н 1 > 0, Н 2 > 0).

Сэтгэгдэл. Хэрэв Н 1 · Н 2 > 0, дараа нь P2 шинж чанар хэлбэрийг авна

бүртгэл а Н 1 · Н 2 = бүртгэл а |Н 1 | + бүртгэл а |Н 2 | (а > 0, а ≠ 1, Н 1 · Н 2 > 0).

P3. Хоёрын хуваалтын логарифм эерэг тоонууд зөрүүтэй тэнцүү байнаногдол ашиг ба хуваагчийн логарифмууд

Сэтгэгдэл. Хэрэв

P4. Эерэг тооны чадлын логарифм бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнаЭнэ тооны логарифм дахь илтгэгч:

бүртгэл а Н к = кбүртгэл а Н (а > 0, а ≠ 1, Н > 0).

Сэтгэгдэл. Хэрэв к - тэгш тоо (к = 2с), Тэр

бүртгэл а Н 2с = 2сбүртгэл а |Н | (а > 0, а ≠ 1, Н ≠ 0).

P5. Өөр суурь руу шилжих томъёо:

ялангуяа хэрэв Н = б, бид авдаг

P4 ба P5 шинж чанаруудыг ашигласнаар дараах шинж чанаруудыг олж авахад хялбар байдаг

ба (5)-д байгаа бол в- тэгш тоо ( в = 2n), барьж байна

Логарифмын функцийн үндсэн шинж чанаруудыг жагсаацгаая е (x) = бүртгэл а x :

1. Логарифм функцийг тодорхойлох муж нь эерэг тооны олонлог юм.

2. Логарифм функцийн утгын муж нь бодит тооны олонлог юм.

3. Хэзээ а > 1 логарифм функцхатуу нэмэгдэж байна (0< x 1 < x 2лог а x 1 < logа x 2) ба 0-д< а < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2лог а x 1 > бүртгэл а x 2).

4.лог а 1 = 0 ба бүртгэл а а = 1 (а > 0, а ≠ 1).

5. Хэрэв а> 1 бол логарифм функц сөрөг байх үед x(0;1) ба эерэг үед x(1;+∞), хэрэв 0 бол< а < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) ба сөрөг үед x (1;+∞).

6. Хэрэв а> 1 бол логарифмын функц нь дээшээ гүдгэр, хэрэв а(0;1) - доошоо гүдгэр.

Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ дараах мэдэгдлийг (жишээлбэл, үзнэ үү) ашигладаг.

Алгебр 11-р анги

Сэдэв: "Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга"

Хичээлийн зорилго:

боловсролын: тухай мэдлэгийг бий болгох янз бүрийн аргаарлогарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, тэдгээрийг тус бүрт хэрэглэх ур чадвар тодорхой нөхцөл байдалмөн шийдвэрлэх ямар ч аргыг сонгох;

хөгжүүлэх: ажиглах, харьцуулах, мэдлэгээ хэрэгжүүлэх чадварыг хөгжүүлэх шинэ нөхцөл байдал, хэв маягийг тодорхойлох, ерөнхийд нь тодорхойлох; харилцан хяналт, өөрийгөө хянах чадварыг хөгжүүлэх;

боловсролын: хариуцлагатай хандлагыг төлөвшүүлэх боловсролын ажил, хичээл дээрх материалыг анхааралтай ойлгох, анхааралтай тэмдэглэл хөтлөх.

Хичээлийн төрөл: шинэ материалыг нэвтрүүлэх хичээл.

"Логарифмийг зохион бүтээсэн нь одон орон судлаачийн ажлыг багасгахын зэрэгцээ түүний амьдралыг уртасгасан."
Францын математикчмөн одон орон судлаач P.S. Лаплас

Хичээлийн явц

I. Хичээлийн зорилгоо тодорхойлох

Логарифмын судлагдсан тодорхойлолт, логарифмын шинж чанар, логарифмын функц нь логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгоно. Бүх логарифмын тэгшитгэлийг хичнээн төвөгтэй байсан ч нэг төрлийн алгоритм ашиглан шийддэг. Бид өнөөдрийн хичээлээр эдгээр алгоритмуудыг авч үзэх болно. Тэдгээр нь тийм ч олон биш юм. Хэрэв та тэдгээрийг эзэмшвэл логарифм бүхий ямар ч тэгшитгэл та нарын хүн бүрт боломжтой байх болно.

Хичээлийн сэдвийг дэвтэртээ "Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд" гэж бич. Би хүн бүрийг хамтран ажиллахыг урьж байна.

II. Шинэчлэх суурь мэдлэг

Хичээлийн сэдвийг судлахад бэлдье. Та даалгавар бүрийг шийдэж, нөхцөлийг бичих шаардлагагүй; Хосоор ажиллах.

1) Х-ийн ямар утгуудын хувьд функц нь утга учиртай вэ:

(Хариултуудыг слайд бүрээр шалгаж, алдааг эрэмбэлсэн)

2) Функцуудын графикууд давхцаж байна уу?

3) Тэнцвэрийг логарифмын тэнцүү гэж дахин бичнэ үү.

4) Тоонуудыг 2 суурьтай логарифм хэлбэрээр бичнэ үү.

5) Тооцоолох:

6) Эдгээр тэгш байдлын дутуу элементүүдийг сэргээх эсвэл нөхөхийг хичээ.

III. Шинэ материалын танилцуулга

Дараах мэдэгдлийг дэлгэц дээр харуулав.

"Тэгшитгэл бол бүх математикийн гүнжийг нээж өгдөг алтан түлхүүр юм."
Польшийн орчин үеийн математикч С.Коваль

Логарифм тэгшитгэлийн тодорхойлолтыг томъёолж үзээрэй. (Логарифмын тэмдгийн дор үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэл).

Ингээд авч үзье Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл:бүртгэлАx = b(энд a>0, a ≠ 1). Логарифмын функц нь эерэг тооны олонлог дээр нэмэгдэж (эсвэл буурах) бөгөөд бүгдийг нь авдаг бодит үнэ цэнэ, тэгвэл язгуур теоремоор дурын b-ийн хувьд энэ тэгшитгэл нь зөвхөн нэг шийдэлтэй, эерэг нэгтэй байна.

Логарифмын тодорхойлолтыг санаарай. (х тооны а суурийн логарифм нь х тоог гаргахын тулд а суурийг өсгөх шаардлагатай чадлын үзүүлэлт юм). Логарифмын тодорхойлолтоос харахад шууд гарч ирдэг АВийм шийдэл юм.

Гарчиг бичнэ үү: Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

1. Логарифмын тодорхойлолтоор.

Хэлбэрийн хамгийн энгийн тэгшитгэлийг ингэж шийддэг.

Ингээд авч үзье № 514(a)): Тэгшитгэлийг шийд

Та үүнийг хэрхэн шийдвэрлэхийг санал болгож байна вэ? (Логарифмын тодорхойлолтоор)

Шийдэл. , Тиймээс 2x - 4 = 4; x = 4.

Энэ даалгаварт 2x - 4 > 0, учир нь > 0 тул гадны үндэс гарч ирэхгүй, шалгах шаардлагагүй. Энэ даалгаварт 2x - 4 > 0 нөхцөлийг бичих шаардлагагүй.

2. Потенциаци(өгөгдсөн илэрхийллийн логарифмаас энэ илэрхийлэл рүү шилжих).

Ингээд авч үзье № 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Та ямар онцлогийг анзаарсан бэ? (Хоёр илэрхийллийн суурь нь ижил бөгөөд логарифм нь тэнцүү.) Юу хийж болох вэ? (Хүчтэй болгох).

Логарифмын илэрхийлэл эерэг байгаа бүх x-ийн дунд аливаа шийдэл агуулагддаг гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.

Шийдэл: ODZ:

X2+8>0 нь шаардлагагүй тэгш бус байдал юм

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Анхны тэгшитгэлийг хүчирхэгжүүлье

x2+8= 8x+8 тэгшитгэлийг авна

Үүнийг шийдье: x2-8x=0

Хариулт: 0; 8

IN ерөнхий үзэл эквивалент системд шилжих:

Тэгшитгэл

(Систем нь илүүдэл нөхцөлийг агуулдаг - тэгш бус байдлын аль нэгийг тооцох шаардлагагүй).

Ангид зориулсан асуулт: Эдгээр гурван шийдлийн аль нь танд илүү таалагдсан бэ? (Аргын талаархи хэлэлцүүлэг).

Та ямар ч байдлаар шийдэх эрхтэй.

3. Шинэ хувьсагчийн танилцуулга.

Ингээд авч үзье дугаар 520(г). .

Та юу анзаарсан бэ? (Энэ бол log3x-ийн квадрат тэгшитгэл юм) Санал болгох уу? (Шинэ хувьсагч оруулах)

Шийдэл. ODZ: x > 0.

, тэгвэл тэгшитгэл нь: хэлбэрийг авна. Дискриминант D > 0. Вьетагийн теоремын дагуу үндэс:.

Орлуулах зүйл рүү буцъя: эсвэл.

Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хариулт: 27;

4. Тэгшитгэлийн хоёр талын логарифм.

Тэгшитгэлийг шийд:.

Шийдэл: ODZ: x>0, тэгшитгэлийн хоёр талын логарифмыг 10-р суурьт авна:

Хүчний логарифмын шинж чанарыг ашиглая:

(logx + 3) logx = 4

logx = y, тэгвэл (y + 3)y = 4

, (D > 0) Виетийн теоремын дагуу үндэс: y1 = -4 ба y2 = 1.

Орлуулах руу буцаж орцгооё: lgx = -4,; lgx = 1, .

Хариулт: 0.0001; 10.

5. Нэг суурь болгон бууруулах.

№ 523(c). Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл: ODZ: x>0. 3-р суурь руу шилжье.

6. Функционал-график арга.

№ 509(d).Тэгшитгэлийг графикаар шийд: = 3 - x.

Та хэрхэн шийдвэрлэхийг санал болгож байна вэ? (Цэгүүдийг ашиглан y = log2x ба y = 3 - x гэсэн хоёр функцийн графикийг байгуулж, графикуудын огтлолцох цэгүүдийн абсциссыг олоорой).

Слайд дээрх шийдлээ харна уу.

График хийхээс зайлсхийх арга бий . Энэ нь дараах байдалтай байна : функцүүдийн аль нэг нь болу = f(x) нэмэгддэг, нөгөө ньу = g(x) X интервал дээр буурна, дараа нь тэгшитгэл f(x)= g(x) X интервал дээр хамгийн ихдээ нэг үндэстэй.

Хэрэв үндэс байгаа бол үүнийг тааж болно.

Манай тохиолдолд функц нь x>0-ийн хувьд нэмэгдэж, y = 3 - x функц нь x-ийн бүх утгууд, түүний дотор x>0-ийн хувьд буурдаг бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь нэгээс илүү язгуургүй гэсэн үг юм. x = 2 үед тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирдаг тул .

« Зөв хэрэглээаргуудыг сурч болно
зөвхөн тэдгээрийг хэрэглэх замаар янз бүрийн жишээ».
Данийн математикийн түүхч G. G. Zeiten

IВ. Гэрийн даалгавар

P. 39 3-р жишээг авч үз, №514(b), No529(b), No520(b), No523(b)-ыг шийд.

V. Хичээлийг дүгнэж байна

Бид ангид логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ямар аргуудыг үзсэн бэ?

Дараагийн хичээлүүдэд бид илүү ихийг үзэх болно нарийн төвөгтэй тэгшитгэлүүд. Тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд судалсан аргууд нь ашигтай байх болно.

Сүүлд үзүүлсэн слайд:

“Дэлхий дээрх юу юунаас илүү вэ?
Орон зай.
Хамгийн ухаалаг нь юу вэ?
Цаг хугацаа.
Хамгийн сайхан нь юу вэ?
Хүссэн зүйлдээ хүр."
Талес

Хүн бүр хүссэн зүйлдээ хүрэхийг хүсч байна. Хамтран ажилласан, ойлголцсонд баярлалаа.

Логарифм тэгшитгэл. Бид математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын В хэсгийн асуудлуудыг үргэлжлүүлэн авч үздэг. Бид "", "" гэсэн нийтлэл дэх зарим тэгшитгэлийн шийдлүүдийг судалж үзсэн. Энэ нийтлэлд бид логарифмын тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Улсын нэгдсэн шалгалтанд ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд нарийн төвөгтэй өөрчлөлт гарахгүй гэдгийг би шууд хэлье. Тэд энгийн.

Логарифмын үндсэн шинж чанарыг мэдэх, ойлгоход л хангалттай. Үүнийг шийдсэний дараа та шалгах ёстой гэдгийг анхаарна уу - үр дүнгийн утгыг анхны тэгшитгэлд орлуулж, тооцоолсны эцэст та зөв тэгш байдлыг авах ёстой.

Тодорхойлолт:

b суурьтай тооны логарифм нь экспонент,a авахын тулд b-г өсгөх ёстой.

Жишээ нь:

Бүртгэл 3 9 = 2, учир нь 3 2 = 9

Логарифмын шинж чанарууд:

Логарифмын онцгой тохиолдлууд:

Асуудлыг шийдье. Эхний жишээнд бид шалгалт хийх болно. Дараагийн шалгалтыг өөрөө хий.

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 3 (4–x) = 4

Лог b a = x b x = a учраас

3 4 = 4 - x

x = 4 – 81

x = – 77

Шалгалт:

бүртгэл 3 (4–(–77)) = 4

бүртгэл 3 81 = 4

3 4 = 81 Зөв.

Хариулт: - 77

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 2 (4 – x) = 7

5-р тэгшитгэлийн язгуурыг ол(4 + x) = 2

Бид үндсэн логарифмын таних тэмдгийг ашигладаг.

Лог a b = x b x = a учраас

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Шалгалт:

бүртгэл 5 (4 + 21) = 2

бүртгэл 5 25 = 2

5 2 = 25 Зөв.

Хариулт: 21

log 3 (14 – x) = log 3 5 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

явагддаг дараагийн өмч, түүний утга нь дараах байдалтай байна: хэрэв тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд бид логарифмуудтай бол ижил суурь, тэгвэл бид логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийллийг тэнцүүлж болно.

14 – x = 5

x=9

Шалгах.

Хариулт: 9

Өөрийнхөө төлөө шийд:

log 5 (5 – x) = log 5 3 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Хэрэв log c a = log c b бол a = b

x + 3 = 4x – 15

3х = 18

x=6

Шалгах.

Хариулт: 6

log 1/8 (13 – x) = – 2 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 - x

x = 13 – 64

x = – 51

Шалгах.

Жижиг нэмэлт - эд хөрөнгийг энд ашигладаг

градус ().

Хариулт: - 51

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 1/7 (7 – x) = – 2

log 2 (4 – x) = 2 log 2 5 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Баруун талыг нь өөрчилье. Эд хөрөнгийг ашиглацгаая:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Хэрэв log c a = log c b бол a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Шалгах.

Хариулт: - 21

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11) тэгшитгэлийг шийд.

Хэрэв log c a = log c b бол a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4х = 11

x = 2.75

Шалгах.

Хариулт: 2.75

Өөрийнхөө төлөө шийд:

log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1 тэгшитгэлийг шийд.

-тай хамт шаардлагатай баруун талтэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэлийг авна.

бүртгэл 2 (......)

Бид 1-ийг суурь 2 логарифм болгон төлөөлдөг:

1 = бүртгэл 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Бид авах:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Хэрэв log c a = log c b бол a = b, тэгвэл

2 – x = 4 – 6x

5х = 2

x = 0.4

Шалгах.

Хариулт: 0.4

Өөрийнхөө төлөө шийд: Дараа нь та квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Дашрамд хэлэхэд,

үндэс нь 6 ба – 4 байна.

Үндэс "-Логарифмын суурь нь байх ёстой тул 4" нь шийдэл биш юм тэгээс их, хэзээ "– 4" энэ нь "тэй тэнцүү байна – 5". Шийдэл нь root 6 юм.Шалгах.

Хариулт: 6.

Р өөрөө идэх:

Тэгшитгэлийн логийг шийдээрэй x –5 49 = 2. Хэрэв тэгшитгэл нэгээс олон язгууртай бол жижиг язгуураар хариулна уу.

Таны харж байгаагаар логарифм тэгшитгэлээр ямар ч төвөгтэй хувиргалт байхгүйҮгүй Логарифмын шинж чанарыг мэдэж, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх чадвартай байхад л хангалттай. IN Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавархувиргахтай холбоотой логарифм илэрхийллүүд, илүү ноцтой өөрчлөлтүүд хийгдэж, илүү гүнзгий шийдлийн ур чадвар шаардагдана. Бид ийм жишээг үзэх болно, битгий алдаарай!Танд амжилт хүсье!!!

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.

P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.