Шийдвэр гаргахдаа маш олон удаа геометрийн асуудлуудта туслах дүрс бүхий үйлдэл хийх хэрэгтэй. Жишээлбэл, бичээстэй эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг олох гэх мэт. Энэ нийтлэл нь гурвалжингаар хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг хэрхэн олохыг харуулах болно. Эсвэл өөрөөр хэлбэл гурвалжинг дүрсэлсэн тойргийн радиус.

Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг хэрхэн олох вэ - ерөнхий томъёо

Ерөнхий томьёо нь дараах байдалтай байна: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), энд R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус, p нь гурвалжны периметрийг 2-т хуваасан байна. (хагас периметр). a, b, c - гурвалжны талууд.

a = 3, b = 6, c = 7 бол гурвалжны тойргийн радиусыг ол.

Тиймээс, дээрх томъёонд үндэслэн бид хагас периметрийг тооцоолно.
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Бид утгыг томъёонд орлуулж, дараахь зүйлийг авна.
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Хариулт: R = 126/16√5

Адил талт гурвалжинг тойрсон тойргийн радиусыг хэрхэн олох вэ

Тэгш талт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг олохын тулд нэлээд хэдэн тоо байдаг энгийн томъёо: R = a/√3, энд a нь түүний талын хэмжээ.

Жишээ: Адил талт гурвалжны тал нь 5. Хийсэн тойргийн радиусыг ол.

Тэгш талт гурвалжны бүх талууд тэнцүү тул асуудлыг шийдэхийн тулд түүний утгыг томьёонд оруулахад л хангалттай. Бид дараахийг авна: R = 5/√3.

Хариулт: R = 5/√3.

Тэгш өнцөгт гурвалжинг тойрсон тойргийн радиусыг хэрхэн олох вэ

Томъёо нь дараах байдалтай байна: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, энд a ба b нь хөл, c нь гипотенуз юм. Хэрэв та хөлний квадратуудыг тэгш өнцөгт гурвалжинд нэмбэл гипотенузын квадратыг авна. Томьёоноос харахад энэ илэрхийлэл үндэс дор байна. Гипотенузын квадратын үндсийг тооцоолсноор бид уртыг өөрөө авна. Үүссэн илэрхийлэлийг 1/2-оор үржүүлснээр бид 1/2 × c = c/2 илэрхийлэлд хүргэдэг.

Жишээ: Гурвалжны хөл нь 3 ба 4 бол хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг тооцоол. Томъёонд утгыг орлуулна уу. Бид дараахийг авна: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.

IN өгөгдсөн илэрхийлэл 5 - гипотенузын урт.

Хариулт: R = 2.5.

Хоёр талт гурвалжинг тойрсон тойргийн радиусыг хэрхэн олох вэ

Томъёо нь дараах байдалтай байна: R = a²/√(4a² – b²), энд a нь гурвалжингийн гуяны урт, b нь суурийн урт юм.

Жишээ: Тойрог ташаа = 7, суурь = 8 бол тойргийн радиусыг тооцоол.

Шийдэл: Эдгээр утгыг томьёонд орлуулаад: R = 7²/√(4 × 7² – 8²) авна.

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Хариултыг ингэж шууд бичиж болно.

Хариулт: R = 49/√132

Тойргийн радиусыг тооцоолох онлайн нөөц

Эдгээр бүх томъёонд төөрөлдөх нь маш амархан байж болно. Тиймээс хэрэв шаардлагатай бол та ашиглаж болно онлайн тооны машинууд, энэ нь радиусыг олох асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална. Ийм мини програмын ажиллах зарчим нь маш энгийн. Хажуугийн утгыг тохирох талбарт орлуулж, бэлэн хариулт аваарай. Та хариултаа дугуйлах хэд хэдэн сонголтыг сонгож болно: аравтын бутархай, зуутын нэг, мянгатын тоо гэх мэт.

Элсэлтийн түвшин

Хязгаарлагдмал тойрог. Харааны хөтөч (2019)

Хамгийн эхний асуулт бол юуг дүрсэлсэн бэ - юуны талаар?

Үнэндээ заримдаа энэ нь ямар ч зүйлийн эргэн тойронд тохиолддог, гэхдээ бид гурвалжны эргэн тойронд (заримдаа тэд "тухай" гэж хэлдэг) тойргийн тухай ярих болно. Энэ юу вэ?

Тэгээд төсөөлөөд үз дээ, гайхалтай баримт гарч ирдэг:

Энэ баримт яагаад гайхширч байна вэ?

Гэхдээ гурвалжин бол өөр!

Мөн хүн болгонд дамжин өнгөрөх тойрог байдаг бүх гурван оргилыг дамжин, өөрөөр хэлбэл, хүрээлэгдсэн тойрог.

Үүний баталгаа гайхалтай баримтТа онолын дараах түвшингээс олж болно, гэхдээ энд бид жишээлбэл, дөрвөлжин гэж авбал хүн бүрт дөрвөн оройгоор дамжин өнгөрөх тойрог байхгүй гэдгийг л тэмдэглэж байна. Жишээлбэл, параллелограмм бол маш сайн дөрвөлжин боловч түүний дөрвөн оройг дайран өнгөрөх тойрог байхгүй!

Зөвхөн тэгш өнцөгтийн хувьд байдаг:

За ингээд гурвалжин бүр өөрийн гэсэн тойрогтой байдаг!Мөн энэ тойргийн төвийг олоход үргэлж хялбар байдаг.

Энэ юу болохыг та мэдэх үү перпендикуляр биссектрис?

Одоо гурвалжны талуудтай гурван перпендикуляр биссектрисийг авч үзвэл юу болохыг харцгаая.

Энэ нь харагдаж байна (мөн энэ нь яг нотлогдох ёстой, гэхдээ бид үүнийг батлахгүй). бүх гурван перпендикуляр нэг цэг дээр огтлолцдог.Зургийг хараарай - бүх гурван перпендикуляр биссектрис нэг цэг дээр огтлолцдог.

Хязгаарлагдсан тойргийн төв үргэлж гурвалжин дотор байдаг гэж та бодож байна уу? Төсөөлөөд үз дээ - үргэлж биш!

Гэхдээ хэрэв хурц өнцөгт, дараа нь - дотор:

Тэгш өнцөгт гурвалжинг юу хийх вэ?

Мөн нэмэлт урамшууллын хамт:

Бид хүрээлэгдсэн тойргийн радиусын тухай ярьж байгаа тул: энэ нь юутай тэнцүү вэ дурын гурвалжин? Мөн энэ асуултын хариулт байдаг: гэж нэрлэгддэг .

Тухайлбал:

Тэгээд мэдээж

1. Оршихуй ба тойрог төв

Эндээс асуулт гарч ирнэ: гурвалжин бүрт ийм тойрог байдаг уу? Энэ нь тийм ээ, хүн бүрт зориулсан. Түүнээс гадна бид одоо хүрээлэгдсэн тойргийн төв хаана байрладаг вэ гэсэн асуултад хариулах теоремыг томъёолох болно.

Ингэж хараарай:

Зоригтой байж энэ теоремыг баталцгаая. Хэрэв та "" гэсэн сэдвийг аль хэдийн уншиж, гурван биссектрис яагаад нэг цэгт огтлолцдогийг ойлгосон бол энэ нь танд илүү хялбар байх болно, гэхдээ уншаагүй бол санаа зовох хэрэггүй: одоо бид үүнийг олох болно.

Бид цэгийн байршлын (GLP) үзэл баримтлалыг ашиглан нотолгоог хийх болно.

Жишээлбэл, бөмбөгний багц юм - " байршил» дугуй объект уу? Үгүй ээ мэдээж бөөрөнхий... тарвас байдаг болохоор. Энэ нь ярих чадвартай хүмүүсийн багц, "геометрийн газар" мөн үү? Үгүй ээ, учир нь ярьж чаддаггүй нялх хүүхдүүд байдаг. Амьдралд "цэгүүдийн геометрийн байршил" -ын жишээг олоход хэцүү байдаг. Геометрийн хувьд илүү хялбар байдаг. Жишээлбэл, бидэнд яг хэрэгтэй зүйл энд байна:

Энд олонлог нь перпендикуляр биссектрис бөгөөд " " шинж чанар нь "хэсгүүдийн төгсгөлөөс ижил зайд (цэг) байх" юм.

Бид шалгах уу? Тиймээс, та хоёр зүйлд итгэлтэй байх хэрэгтэй:

Сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа аливаа цэг нь түүний перпендикуляр биссектрист байрлана.

c ба c-г холбоно.Тэгвэл шугам нь медиан ба өндөр b байна. Энэ нь тэгш өнцөгтүүд гэсэн үг юм - бид перпендикуляр биссектрис дээр байрлах аливаа цэг ба цэгүүдээс ижил зайтай байхыг баталгаажуулсан.

Дундыг нь аваад холбож өгье. Үр дүн нь медиан юм. Гэхдээ нөхцөлийн дагуу зөвхөн медиан нь ижил өнцөгт төдийгүй өндөр, өөрөөр хэлбэл перпендикуляр биссектрис юм. Энэ нь цэг нь перпендикуляр биссектриса дээр яг байрладаг гэсэн үг юм.

Бүгд! Үүнийг бид бүрэн баталгаажуулсан Сегментийн перпендикуляр биссектриса нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.

Энэ бүхэн сайн, гэхдээ бид хязгаарлагдмал тойргийн талаар мартсан уу? Огт үгүй ээ, бид дөнгөж сая өөрсдийгөө “довтолгооны рашаан” бэлдлээ.

Гурвалжинг авч үзье. Хоёр биссектораль перпендикуляр зурж, хэрчмүүд болон гэж хэлье. Тэд хэзээ нэгэн цагт огтлолцох бөгөөд бид үүнийг нэрлэх болно.

Одоо анхаарлаа хандуулаарай!

Цэг нь перпендикуляр биссектрист байрладаг;
цэг нь перпендикуляр биссектрист байрладаг.
Энэ нь, мөн гэсэн үг юм.

Үүнээс хэд хэдэн зүйл гарч ирнэ:

Нэгдүгээрт, цэг нь сегментийн перпендикуляр гурав дахь биссектрист байрлах ёстой.

Өөрөөр хэлбэл, перпендикуляр биссектрис мөн цэгээр дамжин өнгөрөх ёстой бөгөөд бүх гурван перпендикуляр биссектрис нэг цэгт огтлолцдог.

Хоёрдугаарт: Хэрэв бид нэг цэг дээр төвтэй, радиустай тойрог зурах юм бол энэ тойрог мөн цэг, цэгийг хоёуланг нь дайран өнгөрөх болно, өөрөөр хэлбэл энэ нь тойрог болно. Энэ нь гурван перпендикуляр биссектрисын огтлолцол нь аль ч гурвалжны хувьд хүрээлэгдсэн тойргийн төв юм гэсэн үг юм.

Хамгийн сүүлчийн зүйл бол: өвөрмөц байдлын тухай. Цэгийг өвөрмөц аргаар олж авах боломжтой нь тодорхой (бараг) тул тойрог нь өвөрмөц юм. За, бид "бараг"-ыг таны эргэцүүлэн бодоход үлдээх болно. Тиймээс бид теоремыг баталсан. Та "Уррай!" Гэж хашгирч болно.

Хэрэв асуудал "хязгаарлагдсан тойргийн радиусыг ол" гэж асуувал яах вэ? Эсвэл эсрэгээр радиусыг өгсөн, гэхдээ та өөр зүйл олох хэрэгтэй байна уу? Тойргийн радиусыг гурвалжны бусад элементүүдтэй холбох томьёо байна уу?

Анхаарна уу: синусын теорем үүнийг заасан Хязгаарлагдсан тойргийн радиусыг олохын тулд танд нэг тал (ямар ч!) ба түүний эсрэг өнцөг хэрэгтэй болно.. Ингээд л болоо!

3. Тойргийн төв - дотор эсвэл гадна талд

Одоо асуулт гарч ирнэ: хүрээлэгдсэн тойргийн төв гурвалжны гадна байж болох уу?
Хариулт: аль болох их. Түүнээс гадна энэ нь үргэлж мохоо гурвалжинд тохиолддог.

Тэгээд ерөнхийдөө:

Тойрог дугуй. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

1. Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог

Энэ бол гурвалжны гурван оройг дайран өнгөрөх тойрог юм.

2. Оршихуй ба тойрог төв

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол та маш дажгүй байна гэсэн үг.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал нь уншсан бол та энэ 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Учир нь амжилттай дуусгахУлсын нэгдсэн шалгалт, коллежид төсвөөр элсэх, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье...

Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө илүү их нээлттэй байгаа болохоор тэр байх илүү их боломжуудтэгээд амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болох уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.

Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь гарцаагүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл бүхий, нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Яаж? Хоёр сонголт байна:

Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах - 299 рубль.
Сурах бичгийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг нээнэ үү - 999 рубль.

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд тэдгээрт байгаа бүх даалгаврууд болон далд текстүүдийг шууд нээх боломжтой.

Хоёр дахь тохиолдолд бид танд өгөх болносимулятор "Бүх түвшний нарийн төвөгтэй байдлын хувьд сэдэв бүрийн шийдэл, хариулт бүхий 6000 асуудал." Энэ нь ямар ч сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай байх болно.

Үнэн хэрэгтээ энэ нь зүгээр л симулятор биш, бүхэл бүтэн сургалтын хөтөлбөр юм. Шаардлагатай бол та ҮНЭГҮЙ ашиглах боломжтой.

Сайтын оршин тогтнох БҮХ хугацаанд бүх текст, хөтөлбөрт хандах боломжтой.

Тэгээд эцэст нь ...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!

Танд хэрэгтэй болно

Өгөгдсөн параметрүүдтэй гурвалжин
Луужин
Захирагч
Дөрвөлжин
Синус ба косинусын хүснэгт
Математикийн ойлголтууд
Гурвалжны өндрийг тодорхойлох
Синус ба косинусын томъёо
Гурвалжингийн талбайн томъёо

Заавар

Шаардлагатай параметр бүхий гурвалжин зур. Гурвалжин нь гурван тал эсвэл хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг, эсвэл хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцөгтэй байдаг. Гурвалжны оройг A, B, C, өнцгийг α, β, γ, оройнуудын эсрэг талын талыг a, b, c гэж тэмдэглэнэ.

Гурвалжны бүх талыг зурж, огтлолцох цэгийг ол. Талуудын харгалзах индексээр өндрийг h гэж тэмдэглэнэ. Тэдний огтлолцлын цэгийг олоод О гэж тэмдэглэнэ. Энэ нь тойргийн төв болно. Тиймээс энэ тойргийн радиусууд нь OA, OB, OS сегментүүд байх болно.

Хоёр томьёо ашиглан радиусыг ол. Нэгдүгээрт, та эхлээд тооцоолох хэрэгтэй. Энэ нь гурвалжны бүх талыг 2-т хуваасан аль ч өнцгийн синустай тэнцүү байна.

Энэ тохиолдолд хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг томъёогоор тооцоолно

Нөгөө талаас аль нэг талын урт ба эсрэг талын өнцгийн синус хангалттай.

Радиусыг тооцоолж, гурвалжны тойргийг дүрсэл.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Гурвалжингийн өндөр хэд байдгийг санаарай. Энэ нь булангаас эсрэг тал руу татсан перпендикуляр юм.

Гурвалжны талбайг аль нэг талын квадрат ба хоёр талын синусуудын үржвэрээр дүрсэлж болно. зэргэлдээх өнцөг, эдгээр өнцгүүдийн нийлбэрийн синусыг хоёр дахин хуваасан.
S=а2*sinβ*sinγ/2sinγ

Эх сурвалжууд:

тойргийн радиустай хүснэгт
Адил хажуугийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус

Олон өнцөгтийн бүх оройд хүрвэл түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн гэж үзнэ. Сонирхолтой зүйл бол ийм төв юм тойроголон өнцөгтийн талуудын дунд цэгээс татсан перпендикуляруудын огтлолцлын цэгтэй давхцдаг. Радиустодорхойлсон тойрогТүүний эргэн тойронд дүрслэгдсэн олон өнцөгтөөс бүрэн хамаарна.

Танд хэрэгтэй болно

Олон өнцөгтийн талууд ба түүний талбай/периметрийг мэдэх.

Заавар

Анхаарна уу

Олон өнцөгтийг тойруулан тойргийг зөвхөн тогтмол байвал тойрог зурж болно, өөрөөр хэлбэл. түүний бүх талууд тэнцүү, бүх өнцөг нь тэнцүү байна.
Олон өнцөгтийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь түүний перпендикуляр биссектрисын огтлолцол юм гэсэн диссертаци бүгдэд хүчинтэй. ердийн олон өнцөгтүүд.

Эх сурвалжууд:

олон өнцөгтийн радиусыг хэрхэн олох

Хэрэв олон өнцөгт тойрог хийх боломжтой бол энэ олон өнцөгтийн талбай нь талбай багахязгаарлагдмал тойрог, гэхдээ илүү их талбайбичээстэй тойрог. Зарим олон өнцөгтийн хувьд томьёо олдог нь мэдэгдэж байна радиусбичээстэй, хүрээлэгдсэн тойрог.

Заавар

Олон өнцөгтийн бүх талыг шүргэх олон өнцөгт дотор бичээстэй тойрог. Гурвалжингийн хувьд радиустойрог: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, энд p нь хагас периметр; a, b, c - гурвалжны талууд. Томьёог хялбаршуулсаны хувьд: r = a/(2*3^1/2), a нь гурвалжны тал юм.

Олон өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн тойрог нь олон өнцөгтийн бүх оройнууд байрладаг тойрог юм. Гурвалжны хувьд радиусыг дараах томъёогоор олно: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), энд p нь хагас периметр; a, b, c - гурвалжны талууд. Зөв хувилбарын хувьд илүү хялбар: R = a/3^1/2.

Олон өнцөгтийн хувьд бичээстэй радиус ба түүний талуудын уртын харьцааг олж мэдэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ тэд олон өнцөгтийн эргэн тойронд ийм тойрог барих, дараа нь физик байдлаар хязгаарлагддаг радиусхэмжих хэрэгсэл эсвэл вектор орон зайг ашиглан тойрог.
Гүдгэр олон өнцөгтийн тойргийг бүтээхийн тулд түүний хоёр булангийн биссектрис нь тэдгээрийн огтлолцол дээр хүрээлэгдсэн тойргийн төв байрладаг; Радиус нь биссектрисын огтлолцлын цэгээс олон өнцөгтийн аль ч булангийн орой хүртэлх зай болно. Хажуугийн төвүүдээс олон өнцөгт дотор баригдсан перпендикуляруудын огтлолцол дээр бичээсийн төв (эдгээр перпендикулярууд нь медиан). Ийм хоёр перпендикуляр барихад хангалттай. Бичсэн тойргийн радиус зайтай тэнцүүмедиан перпендикуляруудын огтлолцох цэгээс олон өнцөгтийн тал руу.

Сэдвийн талаархи видео

Анхаарна уу

Б дур зоргоороо олон өнцөгт өгөгдсөнТа тойрог бичиж, тойргийг дүрслэх боломжгүй.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Хэрэв a+c = b+d бол a, b, c, d нь дөрвөлжингийн талуудыг дарааллаар нь авч үзвэл дугуйг дөрвөлжин дотор бичиж болно. Хэрэв эсрэг талын өнцөг нь 180 градус хүртэл байвал дөрвөлжингийн эргэн тойронд тойргийг дүрсэлж болно;

Гурвалжны хувьд ийм тойрог үргэлж байдаг.

Зөвлөгөө 4: Гурван тал дээр үндэслэн гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Гурвалжны талбайг олох нь хамгийн нийтлэг бэрхшээлүүдийн нэг юм сургуулийн планиметр. Гурвалжны гурван талыг мэдэх нь ямар ч гурвалжны талбайг тодорхойлоход хангалттай. Онцгой тохиолдолд болон тэгш талт гурвалжинхоёр ба нэг талын уртыг тус тус мэдэхэд хангалттай.

Танд хэрэгтэй болно

гурвалжны талуудын урт, Хэроны томъёо, косинусын теорем

Заавар

Гурвалжны талбайн хувьд Хероны томъёо дараах байдалтай байна: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Хэрэв бид хагас периметр p-г бичвэл бид дараахийг авна: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Жишээлбэл, косинусын теоремыг ашигласнаар та гурвалжны талбайн томъёог гаргаж болно.

Косинусын теоремоор AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Оруулсан тэмдэглэгээг ашиглан тэдгээрийг дараах хэлбэрээр бичиж болно: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Тиймээс cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Гурвалжны талбайг мөн S = a*c*sin(ABC)/2 томъёогоор хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ашиглан олно. ABC өнцгийн синусыг үндсэн утгыг ашиглан түүгээр илэрхийлж болно тригонометрийн ижилсэл: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Талбайн томьёонд синусыг орлуулж бичвэл тухайн талбайн томьёо гарч ирнэ. ABC гурвалжин.

Сэдвийн талаархи видео

Гурвалжинг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог гурван цэг Декарт системкоординатууд нь түүний оройнууд юм. Координатын тэнхлэг тус бүртэй харьцуулахад тэдгээрийн байрлалыг мэдэхийн тулд та үүнээс ямар ч параметрийг тооцоолж болно хавтгай дүрс, үүнд периметрээр хязгаарлагдана дөрвөлжин. Үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно.

Заавар

Талбайг тооцоолохдоо Хэроны томъёог ашиглана уу гурвалжин. Энэ нь зургийн гурван талын хэмжээсийг багтаасан тул тооцоогоо . Тал бүрийн урт нь түүний проекцуудын уртын квадратуудын нийлбэрийн үндэстэй тэнцүү байх ёстой. координатын тэнхлэгүүд. Хэрэв бид A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) ба C(X₃,Y₃,Z₃) координатуудыг тэмдэглэвэл тэдгээрийн талуудын уртыг дараах байдлаар илэрхийлж болно: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд туслах хувьсагчийг оруулаарай - хагас периметр (P). Энэ нь бүх талуудын уртын нийлбэрийн тал хувь учраас: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Тооцоол дөрвөлжин(S) Хероны томъёог ашиглан - хагас периметрийн үржвэрийн үндсийг ба түүний хоорондох зөрүү ба тал бүрийн уртыг авна. IN ерөнхий үзэлдараах байдлаар бичиж болно: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)² + (Y₁) -Y₂ )² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√((X₁-) X₃) ² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).

Практик тооцооллын хувьд тусгай тооны машин ашиглах нь тохиромжтой. Эдгээр нь бүх зүйлийг хийх зарим сайтуудын сервер дээр байрладаг скриптүүд юм шаардлагатай тооцоозохих маягт руу оруулсан координат дээр үндэслэн. Цорын ганц ийм үйлчилгээ нь тооцооллын алхам бүрт тайлбар, үндэслэлийг өгдөггүй явдал юм. Тиймээс, хэрэв та зөвхөн сонирхож байгаа бол эцсийн үр дүн, ерөнхий тооцоо биш, жишээ нь http://planetcalc.ru/218/ хуудас руу очно уу.

Маягтын талбарт орой бүрийн координат бүрийг оруулна гурвалжин- Тэд энд Сүх, Ай, Аз гэх мэт дүрүүдтэй байдаг. Хэрэв гурвалжинг хоёр хэмжээст координатаар тодорхойлсон бол Az, Bz, Cz талбарт тэг гэж бичнэ. "Тооцооллын нарийвчлал" талбарт нэмэх эсвэл хасах хулганыг дарж аравтын бутархайн тоог тохируулна уу. Маягтын доор байрлах улбар шар өнгийн "Тооцоолох" товчийг дарах шаардлагагүй; үүнгүйгээр тооцоо хийх болно. Та "Бүс нутаг" гэсэн бичээсийн хажууд хариултыг олох болно гурвалжин" - энэ нь улбар шар өнгийн товчлуурын доор байрладаг.

Эх сурвалжууд:

цэгүүд дээр оройтой гурвалжны талбайг ол

Заримдаа та гүдгэр олон өнцөгтийг бүх булангийн оройнууд дээр нь хэвтэх байдлаар зурж болно. Олон өнцөгттэй холбоотой ийм тойргийг хязгаарлагдмал гэж нэрлэх хэрэгтэй. Тэр төвбичээстэй зургийн периметрийн дотор байх албагүй, харин тайлбарласан шинж чанарыг ашиглана тойрог, энэ цэгийг олох нь ихэвчлэн тийм ч хэцүү биш юм.

Танд хэрэгтэй болно

Захирагч, харандаа, протектор эсвэл дөрвөлжин, луужин.

Заавар

Хэрэв та тойргийг дүрслэх шаардлагатай олон өнцөгтийг цаасан дээр зурсан бол олох төвба тойрог нь захирагч, харандаа, протектор эсвэл дөрвөлжин хангалттай. Зургийн аль ч талын уртыг хэмжиж, дунд хэсгийг нь тодорхойлж, зургийн энэ хэсэгт туслах цэгийг байрлуул. Квадрат эсвэл протектор ашиглан энэ тал руу перпендикуляр олон өнцөгт доторх хэрчимийг огтлолцох хүртэл зур. эсрэг тал.

Олон өнцөгтийн бусад талтай ижил үйлдлийг хий. Баригдсан хоёр сегментийн огтлолцол нь хүссэн цэг болно. Энэ нь тайлбарласан үндсэн шинж чанараас үүдэлтэй тойрог- тэр төвВ гүдгэр олон өнцөгталь ч тал нь эдгээртэй татсан хоёр секторын перпендикуляруудын огтлолцлын цэг дээр үргэлж байрладаг.

Гурвалжны тойргийн шинж чанарын талаархи теоремуудын баталгаа

Шугамын сегментийн перпендикуляр биссектрис

Тодорхойлолт 1. Сегментийн перпендикуляр биссектрисЭнэ сегментэд перпендикуляр шулуун шугам гэж нэрлэгддэг ба түүний дундуур дамждаг (Зураг 1).

Теорем 1. Хэсэгт перпендикуляр биссектрисын цэг бүр байрлана төгсгөлүүдээс ижил зайд энэ сегмент.

Баталгаа. Ингээд авч үзье дурын цэг D, AB хэрчимтэй перпендикуляр биссектриса дээр хэвтэж (Зураг 2) ба ADC ба BDC гурвалжин тэнцүү болохыг батал.

Үнэн хэрэгтээ эдгээр гурвалжнууд нь AC ба BC хөлүүд нь тэнцүү, DC хөл нь нийтлэг байдаг тэгш өнцөгт гурвалжин юм. ADC ба BDC гурвалжнуудын тэгш байдал нь AD ба DB сегментүүдийн тэгш байдлыг илэрхийлдэг. Теорем 1 батлагдсан.

Теорем 2 (Теорем 1-тэй эсрэгээр). Хэрэв цэг нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа бол энэ сегментийн перпендикуляр биссектрист байрладаг.

Баталгаа. Теорем 2-ыг эсрэгээр баталцгаая. Энэ зорилгын үүднээс зарим Е цэг нь сегментийн төгсгөлүүдээс ижил зайд байгаа боловч энэ сегментийн перпендикуляр биссектрист дээр байрладаггүй гэж үзье. Энэ таамаглалыг зөрчилд оруулъя. Юуны өмнө Е ба А цэгүүд зэрэгцээ орших тохиолдлыг авч үзье өөр өөр талууддунд перпендикуляраас (Зураг 3). Энэ тохиолдолд EA сегмент нь перпендикуляр биссектрисийг ямар нэгэн цэгээр огтолдог бөгөөд үүнийг бид D үсгээр тэмдэглэдэг.

AE сегмент нь EB сегментээс урт гэдгийг баталцгаая. Үнэхээр,

Тиймээс Е ба А цэгүүд перпендикуляр биссектрисын эсрэг талд байрлах тохиолдолд бид зөрчилтэй байна.

Одоо Е ба А цэгүүд перпендикуляр биссектрисын нэг талд байрлах тохиолдлыг авч үзье (Зураг 4). EB сегмент нь AE сегментээс урт гэдгийг баталцгаая. Үнэхээр,

Үүссэн зөрчилдөөн нь теорем 2-ын баталгааг гүйцээнэ

Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог

Тодорхойлолт 2. Гурвалжингаар хүрээлэгдсэн тойрог, гурвалжны бүх гурван оройг дайран өнгөрөх тойрог гэж нэрлэдэг (Зураг 5). Энэ тохиолдолд гурвалжинг дуудна тойрог дотор бичээстэй гурвалжинэсвэл бичээстэй гурвалжин.

Гурвалжингийн тойргийн шинж чанарууд. Синусын теорем

Зураг	Зурах	Өмч
Перпендикуляр биссектриса гурвалжны талууд руу		нэг цэг дээр огтлолцоно .

Төв талаар дүрсэлсэн хурц гурвалжинтойрог		Төвийн талаар тайлбарлав хурц өнцөгт дотор гурвалжин.
Төв талаар дүрсэлсэн зөв гурвалжинтойрог		Төвийн талаар тайлбарлав тэгш өнцөгт гипотенузын дунд .
Төв талаар дүрсэлсэн мохоо гурвалжинтойрог		Төвийн талаар тайлбарлав мохоо өнцөгт гурвалжин тойрог хэвтэж байна гадна гурвалжин.
		,
Дөрвөлжин гурвалжин		S= 2Р 2 гэм Анүгэл Бнүгэл C ,
Эргэн тойрон радиус		Аливаа гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн юм:

Гурвалжны хажуугийн перпендикуляр биссектрис

Бүх перпендикуляр биссектрис , дурын гурвалжны талууд руу зурсан, нэг цэг дээр огтлолцоно .

Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог

Аливаа гурвалжинг тойргоор хүрээлж болно . Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь гурвалжны хажуу тал руу татсан бүх перпендикуляр биссектрисс огтлолцох цэг юм.

Хурц гурвалжны хүрээлэгдсэн тойргийн төв

Төвийн талаар тайлбарлав хурц өнцөгт гурвалжин тойрог хэвтэж байна дотор гурвалжин.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хүрээлэгдсэн тойргийн төв

Төвийн талаар тайлбарлав тэгш өнцөгт гурвалжин тойрог байна гипотенузын дунд .

Мохоо гурвалжны хүрээлэгдсэн тойргийн төв

Төвийн талаар тайлбарлав мохоо өнцөгт гурвалжин тойрог хэвтэж байна гадна гурвалжин.

Аливаа гурвалжны хувьд дараах тэгшитгэлүүд үнэн (синусын теорем):

Үүнд: a, b, c нь гурвалжны талууд, A, B, C нь гурвалжны өнцөг, R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.

Гурвалжны талбай

Аливаа гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн юм:

S= 2Р 2 гэм Анүгэл Бнүгэл C ,

Энд A, B, C нь гурвалжны өнцөг, S нь гурвалжны талбай, R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.

Эргэн тойрон радиус

Аливаа гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн юм:

a, b, c нь гурвалжны талууд, S нь гурвалжны талбай, R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.

Гурвалжны тойргийн шинж чанарын талаархи теоремуудын баталгаа

Теорем 3. Дурын гурвалжны хажуу тал руу татсан бүх перпендикуляр биссектристер нэг цэгт огтлолцоно.

Баталгаа. АВС гурвалжны АС ба АВ талууд руу татсан хоёр перпендикуляр биссектрисийг авч үзээд тэдгээрийн огтлолцох цэгийг О үсгээр тэмдэглэе (Зураг 6).

О цэг нь АС сегментийн перпендикуляр биссектриса дээр байрладаг тул теорем 1-ийн дагуу дараахь тэгшитгэлийг хангана.

О цэг нь AB сегментийн перпендикуляр биссектриса дээр байрладаг тул теорем 1-ийн дагуу тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Тиймээс тэгш байдал нь үнэн юм:

Эндээс теорем 2-ыг ашиглан бид О цэг нь ВС сегментийн перпендикуляр биссектрис дээр байрладаг гэж дүгнэв.

Ийнхүү нотлох шаардлагатай гурван перпендикуляр биссектрис бүгд ижил цэгээр дамждаг. Аливаа гурвалжинг тойргоор хүрээлж болно . Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь гурвалжны хажуу тал руу татсан бүх перпендикуляр биссектрисс огтлолцох цэг юм.

Үр дагавар.

Баталгаа. ABC гурвалжны талууд руу татсан бүх биссектрис огтлолцох О цэгийг авч үзье (Зураг 6).

Теорем 3-ыг батлахдаа дараахь тэгшитгэлийг олж авав.

Үүнээс үзэхэд төв нь О цэгт, OA, OB, OC радиустай тойрог нь ABC гурвалжны бүх гурван оройг дайран өнгөрдөг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байв.

"Гурвалжин дахь бичээстэй ба хүрээлэгдсэн тойрог" сэдэв нь геометрийн хичээлийн хамгийн хэцүү сэдэв юм. Тэр хичээлдээ маш бага цаг зарцуулдаг. Энэ сэдвийн геометрийн бодлогуудыг шалгалтын хоёрдугаар хэсэгт оруулсан болноУлсын нэгдсэн шалгалтын ажил курс бүртахлах сургууль . Эдгээр ажлыг амжилттай гүйцэтгэхийн тулд танд хэрэгтэйбат бөх мэдлэг
Гурвалжин бүрийн хувьд зөвхөн нэг тойрог байна. Энэ бол өгөгдсөн параметрүүдтэй гурвалжны гурван орой дээр байрлах тойрог юм. Түүний радиусыг олох нь зөвхөн геометрийн хичээлд хэрэг болохгүй. Дизайнер, зүсэгч, механикч болон бусад олон мэргэжлийн төлөөлөгчид үүнтэй байнга холбоотой байх ёстой. Түүний радиусыг олохын тулд та гурвалжны параметрүүд болон түүний шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй. Тойргийн төв нь гурвалжны перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг дээр байна.
Би та бүхний анхааралд зөвхөн гурвалжин биш, тойргийн радиусыг олох бүх томъёог авчирдаг. Бичсэн тойргийн томъёог харж болно.

а, б. -тайгурвалжны талууд

α - эсрэг өнцөга,
S-гурвалжны талбай,

p-хагас периметр

Дараа нь радиусыг олохын тулд ( Р) томьёог ашиглан тойргийн тойрог: