Матрицын зэрэглэл юунд зориулагдсан вэ? Матрицын зэрэглэлийг олох: арга, жишээ

А нь m\time n ба k хэмжээтэй матриц байг натурал тоо, m ба n-ээс хэтрэхгүй: k\leqslant\min\(m;n\). Бага 1-р захиалгаА матриц нь k-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогч, элементүүдээр үүсгэгддэг, А матрицын санамсаргүй байдлаар сонгосон k мөр ба k баганын огтлолцол дээр зогсож байна. Насанд хүрээгүй хүмүүсийг тэмдэглэхдээ бид сонгосон мөрүүдийн тоог дээд индексээр, сонгосон баганын тоог доод индексээр зааж, өсөх дарааллаар байрлуулна.

Жишээ 3.4.Матрицын янз бүрийн эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсийг бич

A=\эхлэх(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\төгсгөх(pmatrix)\!.

Шийдэл.А матриц нь 3\time4 хэмжээтэй байна. Үүнд: 1-р зэргийн насанд хүрээгүй 12 хүүхэд, жишээлбэл, насанд хүрээгүй M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 2-р зэргийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд, жишээлбэл, M_(()_(23))^(()^(12))=\эхлэх(vmatrix)2&1\\2&2\төгсгөл(vmatrix)=2; 4 3-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд, жишээлбэл,

M_(()_(134))^(()^(123))= \эхлэх(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

m\times n хэмжээтэй А матрицад r-р эрэмбийн минор гэж нэрлэдэг үндсэн, хэрэв энэ нь тэг биш бөгөөд (r+1)-ro дарааллын бүх багачууд тэгтэй тэнцүү эсвэл огт байхгүй бол.

Матрицын зэрэглэлсуурь минорын дараалал гэж нэрлэдэг. Тэг матрицад суурь минор гэж байдаггүй. Тиймээс тэг матрицын зэрэглэл нь тодорхойлолтоор тэгтэй тэнцүү байна. А матрицын зэрэглэлийг тэмдэглэнэ \operatorname(rg)A.

Жишээ 3.5.Бүх суурь бага ба матрицын зэрэглэлийг ол

A=\эхлэх(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\төгсгөл(pmatrix)\!.

Шийдэл.Эдгээр тодорхойлогч нь тэг гурав дахь эгнээтэй тул энэ матрицын бүх гуравдахь эрэмбийн минорууд тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс матрицын эхний хоёр мөрөнд байрлах хоёр дахь эрэмбийн минор л үндсэн байж болно. Насанд хүрээгүй 6 хүүхэд дамжиж, бид тэгээс өөр зүйлийг сонгоно

M_(()_(12))^(()^(12))= М_(()_(13))^(()^(12))= \эхлэх(vmatrix)1&2\\0&2 \төгсгөл( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \эхлэх(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Эдгээр таван насанд хүрээгүй хүүхэд бүр үндсэн хүүхэд юм. Тиймээс матрицын зэрэглэл нь 2 байна.

Тайлбар 3.2

1. Хэрэв матрицын бүх k-р эрэмбийн минорууд тэгтэй тэнцүү бол дээд эрэмбийн минорууд мөн тэгтэй тэнцүү байна. Үнэн хэрэгтээ, (k+1)-ro эрэмбийн минорыг дурын мөрөнд тэлэхдээ бид энэ эгнээний элементүүдийн үржвэрийн нийлбэрийг k-р эрэмбийн миноруудыг олж авах бөгөөд тэдгээр нь тэгтэй тэнцүү байна.

2. Матрицын зэрэглэл нь энэ матрицын тэгээс өөр минорын хамгийн дээд зэрэгтэй тэнцүү байна.

3. Хэрэв квадрат матрицдоройтдоггүй, дараа нь түүний зэрэглэл зэрэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв квадрат матриц нь ганц бие бол түүний зэрэглэл нь дарааллаас бага байна.

4. Зэрэглэлийн хувьд ч гэсэн тэмдэглэгээг ашигладаг \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Зэрэглэл блок матриц ердийн (тоон) матрицын зэрэглэлээр тодорхойлогддог, i.e. блокийн бүтцээс үл хамааран . Энэ тохиолдолд блок матрицын зэрэглэл нь түүний блокуудын зэрэглэлээс багагүй байна. \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)AТэгээд \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, учир нь А матрицын бүх минорууд (эсвэл В ) нь мөн блок матрицын (A\mid B) минорууд юм.

Минорын суурь ба матрицын зэрэглэлийн теоремууд

Матрицын багана (мөр)-ийн шугаман хамаарал ба шугаман хамааралгүй байдлын шинж чанарыг илэрхийлсэн үндсэн теоремуудыг авч үзье.

Минорын үндсэн дээр теорем 3.1. IN дурын матрицБагана бүр (мөр) нь үндсэн минор байрлах багана (мөр)-ийн шугаман хослол юм.

Үнэн хэрэгтээ ерөнхий шинж чанараа алдалгүйгээр m\time n хэмжээтэй А матрицад суурь минор нь эхний r мөр, эхний r баганад байрлана гэж бид таамаглаж байна. Тодорхойлогчийг авч үзье

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

А матрицын минорын суурьт харгалзах утгыг оноож гарган авна sth элементүүдмөр ба k-р багана. Аль ч тохиолдолд үүнийг анхаарна уу 1\leqslant s\leqslant mба энэ тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв s\leqslant r эсвэл k\leqslant r бол тодорхойлогч D нь хоёр ижил мөр эсвэл хоёр ижил багана агуулна. Хэрэв s>r ба k>r бол тодорхойлогч D нь (r+l)-ro дарааллын минор учраас тэгтэй тэнцүү байна. Тодорхойлогчийг сүүлчийн шугамын дагуу өргөжүүлбэл бид олж авна

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

Энд D_(r+1\,j) - алгебрийн нэмэлтүүдэлементүүд сүүлчийн мөр. Энэ нь суурь минор учраас D_(r+1\,r+1)\ne0 гэдгийг анхаарна уу. Тийм ч учраас

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Хаана \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

тэдгээр. k-р багана (ямар ч 1\leqslant k\leqslant n) нь суурь минорын баганын шугаман хослол бөгөөд үүнийг бидэнд нотлох шаардлагатай болсон.

Үндсэн минор теорем нь дараах чухал теоремуудыг батлахад үйлчилдэг.

Тодорхойлогч тэг байх нөхцөл

Теорем 3.2 (шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлтодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү).Тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байхын тулд түүний нэг багана (түүний нэг мөр) нь үлдсэн багана (мөр) -ийн шугаман хослол байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Үнэн хэрэгтээ хэрэгцээ нь үндсэн минор теоремоос гардаг. Хэрэв n дарааллын квадрат матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол түүний зэрэглэл нь n-ээс бага, өөрөөр хэлбэл. наад зах нь нэг баганыг үндсэн минорд оруулаагүй болно. Дараа нь теорем 3.1-ээр сонгосон энэ багана нь суурь минор байрладаг баганын шугаман хослол юм. Шаардлагатай бол энэ хослолд тэг коэффициент бүхий бусад багануудыг нэмснээр сонгосон багана нь матрицын үлдсэн баганын шугаман хослол болохыг олж авна. Тодорхойлогчийн шинж чанараас хангалттай байдал үүсдэг. Жишээлбэл, тодорхойлогчийн сүүлчийн багана A_n байвал \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)үлдсэнээр нь шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

дараа нь A_n баганад нэмэх A_1 баганыг (-\lambda_1), дараа нь A_2 баганыг (-\lambda_2)-аар үржүүлэх гэх мэт. багана A_(n-1) (-\lambda_(n-1))-аар үржүүлснээр тодорхойлогчийг авна. \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o)тэгтэй тэнцүү хоосон баганатай (тодорхойлогчийн 2-р шинж чанар).

Элементар хувиргалт дахь матрицын зэрэглэлийн инвариант байдал

Теорем 3.3 (элементар хувиргалт дахь зэрэглэлийн инвариант байдлын тухай). Матрицын багана (мөр) -ийг анхан шатны хувиргалт хийх үед түүний зэрэглэл өөрчлөгддөггүй.

Нээрээ л байг. А матрицын багануудыг нэг элементар хувиргасны үр дүнд А матрицыг авсан гэж үзье. Хэрэв I төрлийн хувиргалт (хоёр баганыг солих) хийгдсэн бол дарааллын ямар ч бага (r+l)-ro байна. матрицын А" нь нэг бол А матрицын эрэмбийн харгалзах минор (r+l )-ro-той тэнцүү эсвэл түүнээс тэмдгээр ялгаатай (тодорхойлогчийн 3-р шинж чанар). Хэрэв II төрлийн хувиргалт хийгдсэн бол (баганыг \lambda\ne0 тоогоор үржүүлбэл) А" матрицын эрэмбийн минор (r+l)-ro нь харгалзах минортой (r+l) тэнцүү байна. -ro А матрицын эрэмбийн буюу түүнээс өөр үржүүлэгч \lambda\ne0 (тодорхойлогчийн 6-р шинж чанар) Хэрэв хувиргалт хийгдсэн бол. III төрөл(нэг баганад өөр баганыг нэмбэл \Lambda тоогоор үржүүлсэн), дараа нь A" матрицын (r+1)-р эрэмбийн аль ч минор нь (r+1)-р эрэмбийн харгалзах минортой тэнцүү байна. матриц А (тодорхойлогчийн 9-р шинж чанар), эсвэл нийлбэртэй тэнцүү байнаА матрицын эрэмбийн хоёр минор (r+l)-ro (тодорхойлогчийн 8-р шинж чанар). Иймд аливаа төрлийн элементар хувиргалтаар А матрицын дарааллын бүх минор (r+l)-ro нь тэгтэй тэнцүү байна, учир нь А матрицын дарааллын бүх минор (r+l)-ro нь тэгтэй тэнцүү байна. тэгтэй тэнцүү, ингэснээр баганын элементийн хувиргалтаар зэрэглэлийн матриц өсөх боломжгүй болох нь баганын урвуу хувиргалт нь энгийн байдаг тул баганын элементар хувиргалтуудын үед матрицын зэрэглэл буурах боломжгүй юм. Матрицын зэрэглэл нь эгнээний элементар хувиргалтаар өөрчлөгддөггүй болохыг баталсан.

Дүгнэлт 1. Хэрэв матрицын нэг мөр (багана) нь түүний бусад мөрүүдийн (багануудын) шугаман хослол юм бол энэ мөрийг (багана) зэрэглэлийг нь өөрчлөхгүйгээр матрицаас устгаж болно.

Үнэн хэрэгтээ ийм мөрийг энгийн хувиргалтуудыг ашиглан тэг болгож болох бөгөөд тэг мөрийг үндсэн минорд оруулах боломжгүй.

Дүгнэлт 2. Хэрэв матрицыг хамгийн энгийн хэлбэр (1.7) болгон бууруулсан бол

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Үнэн хэрэгтээ хамгийн энгийн хэлбэрийн матриц (1.7) нь r-р эрэмбийн минор суурьтай байна.

Дүгнэлт 3. Ганц бус дөрвөлжин матриц нь энгийн, өөрөөр хэлбэл ямар ч ганц биш квадрат матриц нь ижил эрэмбийн таних матрицтай тэнцүү байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв А нь n-р эрэмбийн дан биш квадрат матриц юм бол \operatorname(rg)A=n(3.2 тайлбарын 3 дахь хэсгийг үзнэ үү). Тиймээс авчрах анхан шатны өөрчлөлтүүдА матрицыг хамгийн энгийн хэлбэрт (1.7) оруулснаар бид \Lambda=E_n таних матрицыг олж авна. \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(Үндэслэл 2-ыг үзнэ үү). Иймд А матриц нь E_n таних матрицтай тэнцэх ба үр дүнд нь түүнээс авч болно. хязгаарлагдмал тооанхан шатны өөрчлөлтүүд. Энэ нь матриц А элементар гэсэн үг.

Теорем 3.4 (матрицын зэрэглэлийн тухай). Матрицын зэрэглэл нь энэ матрицын шугаман бие даасан мөрүүдийн хамгийн их тоотой тэнцүү байна.

Үнэндээ болъё \operatorname(rg)A=r. Тэгвэл А матриц нь r шугаман бие даасан мөртэй байна. Эдгээр нь үндсэн минор байрладаг шугамууд юм. Хэрэв тэдгээр нь шугаман хамааралтай байсан бол энэ минор нь теорем 3.2-оор тэгтэй тэнцүү байх ба А матрицын зэрэглэл r-тэй тэнцүү биш байх байсан. r нь шугаман бие даасан мөрүүдийн хамгийн их тоо гэдгийг харуулъя, i.e. ямар ч p мөр нь p>r-ээс шугаман хамааралтай байна. Үнэн хэрэгтээ бид эдгээр p мөрүүдээс В матрицыг үүсгэдэг. В матриц нь А матрицын нэг хэсэг учраас \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Энэ нь В матрицын дор хаяж нэг эгнээ энэ матрицын суурь минорд ороогүй гэсэн үг. Дараа нь суурь минор теоремоор энэ нь суурь минор байрлах мөрүүдийн шугаман хослолтой тэнцүү байна. Тиймээс В матрицын мөрүүд шугаман хамааралтай байна. Тиймээс А матриц нь хамгийн ихдээ r шугаман бие даасан мөртэй байна.

Дүгнэлт 1. Матриц дахь шугаман бие даасан мөрүүдийн хамгийн их тоо нь шугаман бие даасан баганын хамгийн их тоотой тэнцүү байна.

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Хэрэв бид үүнийг шилжүүлсэн матрицын эгнээнд хэрэглэж, шилжүүлэн суулгах явцад багачууд өөрчлөгддөггүй гэдгийг харгалзан үзвэл 3.4 теоремоос энэ мэдэгдэл гарч ирнэ (тодорхойлогчийн 1-р шинж чанар).

Дүгнэлт 2. Матрицын эгнээний анхан шатны хувиргалтын хувьд шугаман хамаарал(эсвэл шугаман бие даасан байдал) энэ матрицын аль ч баганын систем хадгалагдана.

Үнэн хэрэгтээ өгөгдсөн А матрицын дурын k баганыг сонгоод тэдгээрээс В матрицыг зохиоё. А матрицын эгнээний элементар хувиргалтын үр дүнд A" матрицыг, В матрицын эгнээний ижил хувиргалтуудын үр дүнд В матрицыг авъя. Теорем 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Тиймээс, В матрицын баганууд шугаман бие даасан байсан бол, i.e. k=\операторын нэр(rg)B(Үндэслэл 1-ийг үзнэ үү), тэгвэл B" матрицын баганууд нь мөн шугаман бие даасан байна, учир нь k=\операторын нэр(rg)B". Хэрэв В матрицын баганууд шугаман хамааралтай байсан бол (k>\операторын нэр(rg)B), тэгвэл В матрицын баганууд мөн шугаман хамааралтай байна (k>\операторын нэр(rg)B"). Иймээс А матрицын аль ч баганын хувьд шугаман хамаарал эсвэл шугаман бие даасан байдал нь энгийн эгнээний хувиргалтаар хадгалагдана.

Тайлбар 3.3

1. Теорем 3.4-ийн 1-р үр дүнд, 2-р зүйлд заасан баганын шинж чанар нь матрицын мөрийн аль ч системийн хувьд зөвхөн түүний баганууд дээр л энгийн хувиргалт хийгдсэн тохиолдолд мөн адил байна.

2. 3.3 теоремын 3-р үр дүнг дараах байдлаар сайжруулж болно. Зөвхөн мөрүүдийн (эсвэл зөвхөн баганын) энгийн хувиргалтыг ашиглан ямар ч ганц биш квадрат матрицыг ижил эрэмбийн таних матриц болгон бууруулж болно.

Үнэн хэрэгтээ зөвхөн энгийн эгнээний хувиргалтыг ашиглан дурын А матрицыг \Ламбда (Зураг 1.5) хялбаршуулсан хэлбэр болгон бууруулж болно (Теорем 1.1-ийг үз). А матриц нь дан бус (\det(A)\ne0) тул баганууд нь шугаман бие даасан байна. Энэ нь \Lambda матрицын баганууд нь мөн шугаман хамааралгүй гэсэн үг юм (Теорем 3.4-ийн үр дүн 2). Иймээс дан бус А матрицын хялбаршуулсан хэлбэр \Ламбда нь хамгийн энгийн хэлбэртэй (Зураг 1.6) давхцаж байгаа ба \Lambda=E адилтгалын матриц болно (Теорем 3.3-ын 3-р үр дүнг үз). Иймд зөвхөн ганц биш матрицын мөрүүдийг хувиргаснаар түүнийг таних матриц болгон бууруулж болно. Үүнтэй төстэй үндэслэл нь дан бус матрицын баганын элементийн хувиргалтанд хүчинтэй.

Бүтээгдэхүүний зэрэглэл ба матрицын нийлбэр

Теорем 3.5 (матрицын үржвэрийн зэрэглэл дээр). Матрицын үржвэрийн зэрэглэл нь хүчин зүйлийн зэрэглэлээс хэтрэхгүй байна.

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Үнэхээр А ба В матрицууд m\time p ба p\time n хэмжээтэй байг. А матрицад матрицыг оноож өгье C = AB \ хоёр цэг \, (A \ дунд C). Мэдээж тэр \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), учир нь C нь матрицын нэг хэсэг (A\mid C) (тайлбар 3.2-ын 5-р хэсгийг үзнэ үү). Матрицыг үржүүлэх үйлдлийн дагуу C_j багана бүр нь баганын шугаман хослол гэдгийг анхаарна уу. A_1,A_2,\ldots,A_pматрицууд A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Ийм баганыг зэрэглэлийг өөрчлөхгүйгээр матрицаас (A\mid C) устгаж болно (Теорем 3.3-ын үр дүн 1). С матрицын бүх баганыг гатлаад бид дараахыг авна. \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Эндээс, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Үүний нэгэн адил нөхцөл байдал нэгэн зэрэг хангагдаж байгааг бид баталж чадна \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, мөн теоремын хүчинтэй байдлын талаар дүгнэлт гарга.

Үр дагавар. Хэрэв Тэгэхээр A нь ганц биш квадрат матриц юм \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)BТэгээд \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, өөрөөр хэлбэл матрицын зэрэглэл нь зүүн эсвэл баруун талаас нь ганц биш квадрат матрицаар үржихэд өөрчлөгдөхгүй.

Матрицын нийлбэрийн зэрэглэлийн тухай теорем 3.6. Матрицын нийлбэрийн зэрэглэл нь нэр томъёоны зэрэглэлийн нийлбэрээс хэтрэхгүй байна.

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Үнэхээр матриц бүтээцгээе (A+B\дунд A\дунд В). A+B матрицын багана бүр нь А ба В матрицын баганын шугаман хослол гэдгийг анхаарна уу. Тийм ч учраас \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Матриц дахь шугаман бие даасан баганын тоо (A\mid B) хэтрээгүйг харгалзан үзвэл \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, a \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(Тайлбар 3.2-ын 5-р хэсгийг үз), бид нотлогдож буй тэгш бус байдлыг олж авна.

Зарим матрицыг өгье:

.

Энэ матрицаас сонгон авцгаая дурын мөр ба дурын багана
. Дараа нь тодорхойлогч матрицын элементүүдээс бүрдэх th дараалал
, сонгосон мөр, баганын огтлолцол дээр байрладаг, бага гэж нэрлэдэг -р эрэмбийн матриц
.

Тодорхойлолт 1.13.Матрицын зэрэглэл
дуудсан хамгийн дээд тушаалЭнэ матрицын минор, тэгээс ялгаатай.

Матрицын зэрэглэлийг тооцоолохын тулд хамгийн бага эрэмбийн бүх насанд хүрээгүй хүмүүсийг авч үзэх хэрэгтэй бөгөөд хэрэв тэдгээрийн ядаж нэг нь тэгээс ялгаатай бол хамгийн дээд зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүмүүсийг авч үзэх хэрэгтэй. Матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох энэ аргыг хилийн арга (эсвэл насанд хүрээгүй хүмүүсийг хиллэх арга) гэж нэрлэдэг.

Асуудал 1.4.Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг тодорхойлно
.

.

Жишээлбэл, нэгдүгээр зэрэглэлийн ирмэгийг авч үзье.
. Дараа нь бид хоёрдахь эрэмбийн ирмэгийг авч үзэх болно.

Жишээлбэл,
.

Эцэст нь гуравдахь эрэмбийн хилийн талаар дүн шинжилгээ хийцгээе.

.

Тэгэхээр тэгээс бусад минорын хамгийн дээд эрэмбэ нь 2, тиймээс
.

Бодлого 1.4-ийг шийдвэрлэхдээ хоёр дахь зэрэглэлийн хэд хэдэн хилийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгээс өөр байгааг анзаарч болно. Үүнтэй холбогдуулан дараахь ойлголтыг баримтална.

Тодорхойлолт 1.14.Матрицын суурь минор гэдэг нь дараалал нь матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх тэгээс бусад минор юм.

Теорем 1.2.(Суурийн минор теорем). Үндсэн мөрүүд (суурь багана) нь шугаман хамааралгүй байдаг.

Матрицын мөрүүд (баганууд) нь зөвхөн тэдгээрийн аль нэгийг нь бусдын шугаман хослолоор дүрсэлж чадвал л шугаман хамааралтай болохыг анхаарна уу.

Теорем 1.3.Шугаман бие даасан матрицын мөрүүдийн тоо нь шугаман бие даасан матрицын баганын тоотой тэнцүү бөгөөд матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна.

Теорем 1.4.(Тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл). Тодорхойлогчийн хувьд --р захиалга тэгтэй тэнцүү байсан бол түүний мөрүүд (баганууд) шугаман хамааралтай байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Тодорхойлолт дээр үндэслэн матрицын зэрэглэлийг тооцоолох нь хэтэрхий төвөгтэй юм. Энэ нь өндөр эрэмбийн матрицуудад онцгой ач холбогдолтой болдог. Үүнтэй холбогдуулан практикт матрицын зэрэглэлийг 10.2 - 10.4 теоремуудын хэрэглээ, түүнчлэн матрицын эквивалент ба элементийн хувиргалтуудын ойлголтыг ашиглахад үндэслэн тооцдог.

Тодорхойлолт 1.15.Хоёр матриц
Тэгээд зэрэглэл нь тэнцүү бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл.
.

Хэрэв матрицууд
Тэгээд тэнцүү байна, дараа нь анхаарна уу
 .

Теорем 1.5.Матрицын зэрэглэл нь энгийн хувиргалтаас болж өөрчлөгддөггүй.

Бид энгийн матрицын хувиргалтуудыг нэрлэх болно
матриц дээрх дараах үйлдлүүдийн аль нэг нь:

Мөрүүдийг баганаар, баганыг харгалзах мөрөөр солих;

Матрицын мөрүүдийг дахин зохион байгуулах;

Элементүүд нь бүгд тэгтэй мөрийг таслах;

Мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;

Нэг мөрийн элементүүдэд өөр шугамын харгалзах элементүүдийг ижил тоогоор үржүүлнэ
.

Теорем 1.5-ын үр дүн.Хэрэв матриц
матрицаас авсан хязгаарлагдмал тооны энгийн хувиргалтыг ашиглан, дараа нь матриц
Тэгээд тэнцүү байна.

Матрицын зэрэглэлийг тооцоолохдоо хязгаарлагдмал тооны энгийн хувиргалтыг ашиглан трапец хэлбэрт оруулах хэрэгтэй.

Тодорхойлолт 1.16.Хил залгаа жижиг хэсэгт хамгийн өндөр байх үед бид трапецийг матрицын дүрслэлийн хэлбэр гэж нэрлэх болно. илүү өндөр дараалалтэг биш бол диагональуудын доорх бүх элементүүд тэг болно. Жишээлбэл:

.

Энд
, матрицын элементүүд
тэг рүү оч. Дараа нь ийм матрицыг дүрслэх хэлбэр нь трапец хэлбэртэй болно.

Дүрмээр бол матрицуудыг Гауссын алгоритмыг ашиглан трапец хэлбэрийн хэлбэрт оруулдаг. Гауссын алгоритмын санаа нь матрицын эхний эгнээний элементүүдийг харгалзах хүчин зүйлээр үржүүлснээр эхний баганын бүх элементүүд элементийн доор байрлах болно.
, тэг болж хувирна. Дараа нь хоёр дахь баганын элементүүдийг харгалзах хүчин зүйлээр үржүүлснээр бид хоёр дахь баганын бүх элементүүд элементийн доор байрлах эсэхийг баталгаажуулна.
, тэг болж хувирна. Дараа нь ижил аргаар үргэлжлүүлээрэй.

Асуудал 1.5.Матрицын зэрэглэлийг трапец хэлбэртэй болгон бууруулж тодорхойл.

.

Гауссын алгоритмыг ашиглахад хялбар болгохын тулд та эхний болон гурав дахь мөрийг сольж болно.








.

Энд байгаа нь ойлгомжтой
. Гэсэн хэдий ч үр дүнг илүү гоёмсог хэлбэрт оруулахын тулд та баганыг үргэлжлүүлэн хувиргаж болно.










.

Дараах тохиолдолд r тоог А матрицын зэрэглэл гэнэ.
1) А матрицад тэгээс ялгаатай r эрэмбийн минор байна;
2) бүх насанд хүрээгүй (r+1) ба түүнээс дээш, хэрэв байгаа бол тэгтэй тэнцүү байна.
Үгүй бол матрицын зэрэглэл нь тэгээс бусад хамгийн бага зэрэглэл юм.
Тэмдэглэл: rangA, r A эсвэл r.
Тодорхойлолтоос харахад r нь бүхэл тоо юм эерэг тоо. Тэг матрицын хувьд зэрэглэлийг тэг гэж үзнэ.

Үйлчилгээний зорилго. Онлайн тооцоолуур нь олоход зориулагдсан матрицын зэрэглэл. Энэ тохиолдолд шийдэл нь Word болон Excel форматаар хадгалагдана. шийдлийн жишээг үзнэ үү.

Зааварчилгаа. Матрицын хэмжээсийг сонгоод, "Дараах" дээр дарна уу.

Тодорхойлолт. r зэрэглэлийн матрицыг өгье. Тэгээс ялгаатай, r дараалалтай матрицын аливаа минорыг үндсэн, түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн мөр, багануудыг үндсэн мөр, багана гэнэ.
Энэ тодорхойлолтын дагуу А матриц нь хэд хэдэн үндсэн суурьтай байж болно.

E таних матрицын зэрэглэл нь n (мөрийн тоо) юм.

Жишээ 1. Хоёр матриц өгөгдсөн, болон тэдний насанд хүрээгүй хүүхдүүд , . Тэдгээрийн алийг нь үндсэн гэж үзэж болох вэ?
Шийдэл. Бага M 1 =0, тиймээс энэ нь аль ч матрицын суурь болж чадахгүй. Минор M 2 =-9≠0 ба 2-р эрэмбтэй бөгөөд энэ нь 2-той тэнцүү зэрэглэлтэй байх тохиолдолд үүнийг A эсвэл / ба B матрицуудын суурь болгон авч болно гэсэн үг юм. detB=0 (хоёр пропорциональ баганатай тодорхойлогчийн хувьд) тул rangB=2 ба M 2-ийг B матрицын суурь минор болгон авч болно. detA=-27≠ учир А матрицын ранг нь 3 байна. 0 ба иймээс энэ матрицын суурь минорын дараалал нь 3-тай тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл M 2 нь А матрицын суурь биш юм. А матриц нь А матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү нэг суурь минортой болохыг анхаарна уу.

Теорем (минор суурийн тухай). Матрицын аливаа мөр (багана) нь түүний суурийн мөрүүдийн (баганын) шугаман хослол юм.
Теоремоос гарсан үр дүн.

1. r зэрэглэлийн (r+1) багана (мөр) матриц бүр шугаман хамааралтай.
2. Хэрэв матрицын зэрэглэл байвал бага тоотүүний мөрүүд (баганууд), дараа нь түүний мөрүүд (баганууд) нь шугаман хамааралтай байдаг. Хэрэв А зэрэглэлтэй бол тоотой тэнцүү байнатүүний мөрүүд (баганууд), дараа нь мөрүүд (баганууд) нь шугаман бие даасан байна.
3. А матрицын тодорхойлогч нь зөвхөн мөрүүд (баганууд) нь шугаман хамааралтай байвал тэгтэй тэнцүү байна.
4. Хэрэв та матрицын мөр (багана) дээр тэгээс өөр тоогоор үржүүлсэн өөр мөр (багана) нэмбэл матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөхгүй.
5. Хэрэв та бусад мөрүүдийн (баганын) шугаман хослол болох матрицын мөрийг (багана) тасалбал матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөхгүй.
6. Матрицын зэрэглэл нь түүний шугаман бие даасан мөрүүдийн (баганын) хамгийн их тоотой тэнцүү байна.
7. Шугаман бие даасан шугамын хамгийн их тоо нь тэнцүү байна хамгийн их тоошугаман бие даасан баганууд.

Жишээ 2. Матрицын зэрэглэлийг ол .
Шийдэл. Матрицын зэрэглэлийн тодорхойлолт дээр үндэслэн бид насанд хүрээгүйг хайх болно хамгийн дээд тушаал, тэгээс ялгаатай. Эхлээд бид матрицыг илүү их болгож хувиргана энгийн үзэмж. Үүнийг хийхийн тулд матрицын эхний мөрийг (-2) үржүүлж, хоёр дахь эгнээнд нэмж, дараа нь (-1) -ээр үржүүлж, гурав дахь эгнээнд нэмнэ.

Матрицыг авч үзье А хэмжээсүүд

Үүнийг дур мэдэн сонгоцгооё кшугам ба кбаганууд. Сонгосон мөр, баганын уулзварт байрлах элементүүдээс бид тодорхойлогчийг бүрдүүлнэ. к--р захиалга. Ийм бүх тодорхойлогчийг нэрлэдэг А матрицын насанд хүрээгүй хүмүүс.

Тодорхойлолт. Өгөгдсөн матрицын тэг биш жижиг эрэмбүүдийн хамгийн том нь гэж нэрлэгддэг матрицын зэрэглэл. Томилогдсон r(А) .

Матрицын зэрэглэлийн шинж чанарууд:

Матрицыг шилжүүлэхэд түүний зэрэглэл өөрчлөгддөггүй.

Хэрэв та матрицаас тэг мөрийг устгавал матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөхгүй.

Матрицын зэрэглэл нь энгийн матрицын хувиргалтаар өөрчлөгдөхгүй.

Зэрэглэл алхам матрицтүүний тэг биш мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системүүд.

Системийг судалж шийдвэрлэхийн тулд матриц, тодорхойлогчдын хэрэглээг авч үзье мшугаман тэгшитгэл-тай nүл мэдэгдэх

Коэффициент ба чөлөөт нөхцөлийг өгөгдсөн гэж үзнэ. Матриц хэлбэрээр систем нь хаана гэсэн хэлбэртэй байна А- системийн коэффициентүүдийн матриц, Б- чөлөөт гишүүдийн баганын вектор, X- үл мэдэгдэх баганын вектор. Өргөтгөсөн матрицматриц гэж нэрлэдэг

Системийн тогтвортой байдал, найдвартай байдлын тухай ойлголтыг бие даан авч үзэх.

Кронекер-Капелли теорем

Шугаман систем алгебрийн тэгшитгэлӨргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь үндсэн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л нийцтэй байна.

Хэрэв зэрэглэл хамтарсан системнь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй болно.

Хэрэв хамтарсан системийн зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага бол систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй байна.

Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлээс бага байвал системд шийдэл байна.

Крамерын томъёо

Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн систем өгөгдсөн

Дараах дөрвөн хүчин зүйл гол үүрэг гүйцэтгэдэг.

D тодорхойлогчийг (1) системийн тодорхойлогч гэнэ. Тодорхойлогч D x , D y , D z нь D тодорхойлогчоос орлуулалтаар гарна. чөлөөт гишүүдэхний, хоёр, гурав дахь баганын элементүүд.

Дараах тохиолдлууд боломжтой.

Тохиолдол 1 (D¹0). Энэ тохиолдолд системийн өвөрмөц шийдэл байдаг бөгөөд үүнийг олж болно дараах томъёонууд, тэдгээрийг Крамерын томъёо гэж нэрлэдэг.

Тохиолдол 2 (D=0). Энэ тохиолдолд системийн шийдэл байхгүй эсвэл системд хязгааргүй тооны шийдэл байж болно. Жишээлбэл, систем

шийдэл байхгүй, гэхдээ систем

хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Урвуу матриц болон Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг бие даан шийдвэрлэх талаар авч үзье.

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системүүд

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг өгье

.

Нэг төрлийн систем нь үргэлж тууштай байдаг (), түүнд байдаг null (жижиг) шийдэл.

Теорем 1.Нэг төрлийн тэгшитгэлийн систем нь тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд түүний үндсэн матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. .

Теорем 2.Төлөө нэгэн төрлийн систем nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх нь тэгээс өөр шийдэлтэй байсан тул тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Шулуун ба хавтгай дээрх цэгийн координатууд. Үүнтэй холбогдуулан сегментийг хуваах.

Аналитик геометр нь геометрийн дүрсийг алгебрийн аргаар судалдаг. Аналитик геометрийн аппарат нь 17-р зуунд Декартын боловсруулсан координатын арга юм. Координатын арга нь координатын системийн тухай ойлголт дээр суурилдаг.

Хоёр харилцан перпендикуляр тэнхлэг ТУХАЙ XТэгээд ТУХАЙ цагт, нийтлэг O гарал үүсэлтэй, ижил масштабын нэгжтэй, хэлбэр тэгш өнцөгт системкоординатууд Тэнхлэг ТУХАЙ X abscissa тэнхлэг, тэнхлэг гэж нэрлэдэг ТУХАЙ цагт– ордны тэнхлэг.

Тэгш өнцөгт координатын системд ТУХАЙ xyМ цэг нь координаттай x ба y, тэмдэглэнэ М(x;y), Хаана Xцэгийн абсцисса ба цагт- түүний ординат.

Тэгш өнцөгт координатын системд цэг өгье М 1 (X 1, цагт 1 ) Тэгээд М 2 (X 2 ;y 2 ) . Тэдний хоорондох зайг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Теорем.Нэг шулуун дээр оршдоггүй A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) ба C(x 3; y 3) гурван цэгийн хувьд ABC гурвалжны S талбайг дараах томъёогоор тооцоолно. томъёо

Хавтгай дээр дурын сегментийг өгье М 1 М 2 орхи М– цэгээс бусад энэ сегментийн аль ч цэг М 2 (Зураг 1).

Цэгийн координат М(x;y)сегментийг цэгүүдийн хооронд хуваах М 1 (X 1 ;y 1 ) Тэгээд М 2 (X 2 ;y 2 ) өгөгдсөн харьцаагаар λ , дараах томъёогоор тодорхойлогддог.

At λ=1Бид сегментийн дунд хэсгийн координатын томъёог олж авна.

y M 2 (x 2;y 2)

M 1 (x 1;y 1) M(x;y)

O R 1 R R 2 xOφ

Зураг 1 Зураг 2

Туйлын координатын системд хавтгай дээрх М цэгийн байрлалыг түүний зайгаар тодорхойлно |OM|=ρтуйлаас ТУХАЙ(ρ –цэгний туйлын радиус вектор) ба өнцөг φ , сегментээр үүсгэгдсэн ОМтуйлын тэнхлэгтэй OE(Зураг 2). Булан φ туйлын тэнхлэгээс цагийн зүүний эсрэг тоолох үед эерэг гэж үзнэ.

Тэгш өнцөгт координатууд XТэгээд цагтоноо Мба түүний туйлын координатууд ρ Тэгээд φ дараах томъёогоор холбогдоно

Тодорхойлолт. Матрицын зэрэглэлнь вектор гэж тооцогдох шугаман бие даасан мөрүүдийн хамгийн их тоо юм.

Матрицын зэрэглэлийн 1-р теорем. Матрицын зэрэглэлматрицын тэгээс өөр минорын хамгийн их эрэмбийг гэнэ.

Тодорхойлогчдын тухай хичээл дээр бид насанд хүрээгүй хүүхдийн тухай ойлголтыг аль хэдийн хэлэлцсэн бөгөөд одоо бид үүнийг ерөнхийд нь тайлбарлах болно. Матрицын тодорхой тооны мөр, тодорхой тооны баганыг авч үзье, энэ нь "хэр их" нь матрицын мөр, баганын тооноос бага байх ёстой бөгөөд мөр, баганын хувьд энэ нь "хэдэн" байх ёстой. ижил тоо. Дараа нь хэдэн мөр, хэдэн баганын огтлолцол дээр бидний анхны матрицаас бага эрэмбийн матриц байх болно. Тодорхойлогч нь матриц бөгөөд хэрэв дурдсан “зарим”-ыг (мөр ба баганын тоо) k-ээр тэмдэглэвэл k-р эрэмбийн минор болно.

Тодорхойлолт.Бага ( r+1)сонгосон насанд хүрээгүй хүн оршдог-р дараалал r--р эрэмбийг тухайн насанд хүрээгүй хүүхдэд хиллэх гэж нэрлэдэг.

Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг хоёр арга матрицын зэрэглэлийг олох. Энэ насанд хүрээгүй хүүхдүүдтэй хиллэх аргаТэгээд үндсэн хувиргалтын арга(Гаусын арга).

Хил хязгаарлах насанд хүрээгүй хүмүүсийн аргыг ашиглахдаа дараах теоремыг ашиглана.

Матрицын зэрэглэлийн 2-р теорем.Хэрэв насанд хүрээгүй хүнийг матрицын элементүүдээс бүрдүүлж болно r-р дараалал, тэгтэй тэнцүү биш бол матрицын зэрэглэл нь тэнцүү байна r.

Анхан шатны хувиргах аргыг ашиглахдаа дараах шинж чанарыг ашиглана.

Хэрэв энгийн хувиргалтаар анхныхтай тэнцэх трапец хэлбэрийн матрицыг олж авбал энэ матрицын зэрэглэлЭнэ нь бүхэлдээ тэгээс бүрдэх мөрүүдээс бусад мөрүүдийн тоо юм.

Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг олох

Насанд хүрээгүй насанд хүрээгүй хүүхэд нь тухайн насанд хүрээгүй хүнийг агуулж байгаа бол тухайн насанд хүрээгүй насанд хүрээгүй хүүхэд нь тухайн насанд хүрээгүй хүүхэд юм.

Жишээлбэл, матрицыг өгсөн

Насанд хүрээгүй хүүхдийг авъя

Хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд нь:

Матрицын зэрэглэлийг олох алгоритмдараачийн.

1. Бид олдохгүй байна тэгтэй тэнцүүхоёрдугаар зэргийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд. Хэрэв бүх хоёр дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү бол матрицын зэрэглэлтэй байх болно нэгтэй тэнцүү (r =1 ).

2. Хэрэв 0-тэй тэнцүү биш хоёр дахь эрэмбийн ядаж нэг минор байгаа бол бид гурав дахь зэрэглэлийн хил залгаа багануудыг бүрдүүлнэ. Гурав дахь зэрэглэлийн бүх хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү бол матрицын зэрэг нь хоёртой тэнцүү байна ( r =2 ).

3. Гурав дахь зэрэглэлийн хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш бол бид хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг бүрдүүлнэ. Хэрэв дөрөв дэх зэрэглэлийн бүх хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү бол матрицын зэрэглэл нь гуравтай тэнцүү байна ( r =2 ).

4. Матрицын хэмжээ зөвшөөрч байгаа бол энэ замаар үргэлжлүүлээрэй.

Жишээ 1.Матрицын зэрэглэлийг ол

.

Шийдэл. Хоёр дахь зэрэглэлийн бага .

Үүнийг хиллэе. Хилтэй дөрвөн насанд хүрээгүй хүүхэд байх болно:

,

,

Тиймээс гурав дахь зэрэглэлийн бүх хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул энэ матрицын зэрэглэл нь хоёртой тэнцүү байна ( r =2 ).

Жишээ 2.Матрицын зэрэглэлийг ол

Шийдэл. Энэ матрицын бүх хоёрдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул энэ матрицын зэрэглэл нь 1-тэй тэнцүү байна (үүнд дараах хоёр жишээн дээрх насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн хил залгаа тохиолдлын хувьд, эрхэм оюутнуудыг шалгахыг урьж байна. өөрсдөө, магадгүй тодорхойлогчийг тооцоолох дүрмийг ашиглаж болно), мөн нэгдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн дунд, өөрөөр хэлбэл матрицын элементүүдийн дунд тэгээс ялгаатай байдаг.

Жишээ 3.Матрицын зэрэглэлийг ол

Шийдэл. Энэ матрицын хоёр дахь эрэмбийн минор нь байх ба энэ матрицын бүх гурав дахь эрэмбийн минорууд нь тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс энэ матрицын зэрэглэл нь хоёр байна.

Жишээ 4.Матрицын зэрэглэлийг ол

Шийдэл. Энэ матрицын цорын ганц гурав дахь эрэмбийн минор нь 3 тул энэ матрицын зэрэглэл 3 байна.

Анхан шатны хувиргалтын аргыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг олох (Гаусын арга)

1-р жишээнд насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох даалгавар нь тооцоолох шаардлагатай болох нь тодорхой байна. их тоотодорхойлогч хүчин зүйлүүд. Гэсэн хэдий ч тооцооллын хэмжээг хамгийн бага хэмжээнд хүртэл бууруулах арга зам бий. Энэ арга нь анхан шатны матрицын хувиргалтыг ашиглахад суурилдаг бөгөөд үүнийг Гауссын арга гэж нэрлэдэг.

Дараах үйлдлүүдийг энгийн матрицын хувиргалт гэж ойлгодог.

1) матрицын дурын мөр, баганыг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;

2) матрицын аль ч мөр, баганын элементүүдэд өөр мөр, баганын харгалзах элементүүдийг ижил тоогоор үржүүлэх;

3) матрицын хоёр мөр, баганыг солих;

4) "тэгсэн" мөрүүдийг устгах, өөрөөр хэлбэл бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байх;

5) нэгээс бусад бүх пропорциональ мөрийг устгана.

Теорем.Энгийн хувиргалт хийх үед матрицын зэрэглэл өөрчлөгддөггүй. Өөрөөр хэлбэл, матрицаас анхан шатны хувиргалтыг ашиглавал Аматриц руу явсан Б, Тэр .