Дараах гол теоремыг баталъя.

Теорем. Сегмент дээр тасралтгүй [ а, б] функц е(x) нь энэ сегмент дээр нэгтгэгдэх боломжтой.

Баталгаа. Ямар ч өгөгдөх болтугай ε > 0. Функцийн жигд тасралтгүй байдлын улмаас е(x) сегмент дээр [ а, б] эерэг тооны хувьд ε /(б - а) та үүнийг зааж өгч болно δ > 0, хуваах үед Тсегмент [ а, б] хэсэгчилсэн хэсгүүдэд [ x i -1 , x i], урт Δ x iүүнээс цөөхөн байдаг δ , хэлбэлзэл ωiфункцууд е(x) ийм хэсэгчилсэн сегмент бүр дээр бага байх болно ε /(б - а) . Тиймээс ийм хуваалтуудын хувьд Т

Тиймээс тасралтгүй сегментийн хувьд [ а, б] функцууд е(x) нэгдмэл байх хангалттай нөхцөл хангагдсан.

Ньютон-Лейбницийн томъёо- үйл ажиллагаа явуулах хоорондын хамаарлыг өгдөг тодорхой интегралба эсрэг дериватив тооцоо. Ньютон-Лейбницийн томъёо - үндсэн томъёоинтеграл тооцоо.

Энэ томъёоямар ч функцийн хувьд үнэн f(x), сегмент дээр тасралтгүй [a, b], Ф- эсрэг дериватив f(x). Тиймээс тодорхой интегралыг тооцоолохын тулд зарим эсрэг деривативыг олох хэрэгтэй Ффункцууд f(x), цэг дээр түүний утгыг тооцоол а ба бмөн ялгааг ол F(b) – F(a).

Арга зүйн онцлогинтегралын тодорхойлолтыг танилцуулж байна.

Энэ сэдвийг 11-р ангид судалдаг бөгөөд гол зорилго нь сурагчдад талбайг хэрхэн тооцоолохыг заах явдал юм муруй трапецболон бусад илүү төвөгтэй тоо, эзлэхүүнийг тооцоолох геометрийн биеинтеграл ашиглан. Энэ сэдвийн ач холбогдол нь интеграцчлал буюу эсрэг деривативыг олох явдал юм урвуу асуудалдеривативыг олох. Энэ сэдвийг сурахаас өмнө оюутнууд нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах функцтэй дараах функцүүдийг гүйцэтгэх боломжтой болсон. Энэ сэдвийг судалсны дараа оюутнууд шинэ үйл ажиллагааг гүйцэтгэх чадвартай байх ёстой: ялгах.

Энэ сэдвийн судалгаа дуусч байна сургуулийн курс математик шинжилгээ

Энэ сэдэворно дараах асуултууд: антидериватив, эсрэг деривативын үндсэн шинж чанар, эсрэг дериватив олох гурван дүрэм, муруйн трапецын талбай, интеграл, Ньютон-Лейбницийн томъёо, интегралын хэрэглээ.

Интеграл гэдэг ойлголтыг нэвтрүүлэх хоёр арга байдаг: 1-р арга нь интегралыг эсрэг деривативын өсөлт гэж үзэх; Жишээлбэл, сурах бичигт A.N. Колмогоров., 2-р арга - интегралыг интеграл нийлбэрийн хязгаар гэж үзэх. Жишээлбэл, сурах бичиг Алимов Ш.А.

Сургуулийн хүүхдүүдэд хязгаарын онолыг судлаагүй тул сургуулийн хүүхдүүдэд хамгийн хэцүү, хүртээмжгүй арга бол хоёр дахь арга юм. Сургууль эхний аргыг ашигладаг. S cr.tr. =F(b)-F(a) – энэ аргыг хэрэгжүүлсэн орчин үеийн сурах бичиг.

Харьцуулсан шинжилгээсэдвийн агуулга сургуулийн сурах бичиг

А.Н. Колмогоровын "Алгебр ба анализын эхлэл" сурах бичигт интегралыг танилцуулахдаа муруйн трапецын талбайг тооцоолох асуудлыг авч үзсэн болно. Зохиогч сурах бичигт муруйн трапецын талбайг тооцоолох хоёр аргыг зааж өгсөн: муруйн трапецын талбайн теоремыг ашиглах ба интеграл нийлбэрийг ашиглах. Хоёр дахь арга нь интегралыг тодорхойлоход ирдэг. Интеграл нийлбэрийг ашиглан бие, ажлын эзлэхүүнийг тооцоолох томъёог гаргаж авдаг хувьсах хүч, түүнчлэн савааны масс ба массын төвийг олох.

Мордкович А.Г.-ын "Алгебр ба анализын эхлэл" сурах бичигт "Тодорхой интеграл" гэсэн ойлголтыг танилцуулахдаа ийм асуудалд хүргэдэг. энэ үзэл баримтлал, тухайлбал муруйн трапецын талбайг тооцоолох асуудал, саваагийн массыг тооцоолох асуудал, цэгийг хөдөлгөх асуудал. Гурван асуудлыг шийдсэний дараа ижил математик загвар болгон бууруулна.

С.М.Никольскийн "Алгебр ба анализын эхлэл" сурах бичигт муруйн трапецын талбайг тооцоолох асуудлыг авч үзэх нь интеграл нийлбэр ба тэдгээрийн хязгаарын тухай ойлголтод хүргэдэг бөгөөд үүний дараа тодорхой интегралын тодорхойлолтыг оруулсан болно. . Онолын суурьтодорхой интегралын хэрэглээг ийм байдлаар авч үзнэ бие махбодийн асуудал, хүчний ажилд зориулсан даалгавар болгон, ажил цахилгаан цэнэг, хувьсах нягттай саваагийн масс, ханан дээрх шингэний даралт болон хүндийн төвийг тооцоолох.

Ш.А.Алимовын "Алгебр ба анализын эхлэл" сурах бичигт интегралын тухай ойлголтыг оруулахын өмнө муруй шугаман трапецын талбайг олох асуудлыг авч үзсэн бөгөөд энд талбайг тооцоолох нь . f(x) функцийн эсрэг дериватив F(x). F(b) - F(a) ялгааг сегмент дээрх f(x) функцийн интеграл гэнэ. Дараа нь зохиогч интегралын нийлбэрийг ашиглан муруйн трапецын талбайг тооцоолох талаар авч үзэж, интегралыг ойролцоогоор тооцоолох энэ арга нь төвөгтэй тооцоолол шаарддаг бөгөөд үүнийг олох боломжгүй тохиолдолд ашигладаг гэжээ. функцийн эсрэг дериватив. Интегралын хэрэглээний жишээ болгон савнаас ус урсах, хүчний ажлыг олох асуудлуудыг өгсөн болно. Даалгаврууд бие даасан шийдвэрижил төрлийн бөгөөд маш цөөхөн байдаг.

d(τ)→0

Тайлбар 1. Хэрэв f(x) функц нь a, b төгсгөлийн цэгүүдтэй интервал дээр интегралдах боломжтой бол тэгш бус байдал нь биелнэ.

Тайлбар 2. Хэрэв f(x) функц нь дээр тасралтгүй байвал f(x) ≥ 0 дээр байна.

Мөн x0 : f(x0 ) > 0, дараа нь f(x) dx > 0.

1.6 Хэсэгчилсэн тасралтгүй функцын интегралчлал

Ангиас илүү өргөн интегралдах функцүүдийн ангиллыг авч үзье тасралтгүй функцууд. Үүний тулд дараах лемма шаардлагатай бөгөөд энэ нь дахиад нэгийг илтгэнэ хангалттай нөхцөлфункцийн нэгдмэл байдал.

Лемма 1.3. Интервал дээр f(x) функцийг интеграл болгоё. Функцийн утгыг өөрчлөх хязгаарлагдмал тоооноо нь түүний интегралд болон интегралын утгад нөлөөлөхгүй.

Тодорхой байдлын хувьд A > 0 гэж үзье. ε > 0-ийг засаад сонгоцгооё

дурын хуваалт τ = (xk )n k=0 N диаметртэй d(τ)<2A . Точка α может принадлежать только одному отрезку разбиения, если α не является точкой из разбиения τ, или двум отрезкам, если α является точкой из разбиения τ, не совпадающей с a или b. В любом случае

I(fe) = fe (x) dx = 0.

2) f R гэж үзье.

0,x\(α),

ба g(x) = A − f(α), x = α.

Дараа нь fe (x) = f(x) + g(x), x ба 1.12 теоремоор fe функц нь дээр интегралч болно, ба

Хэрэв функцийн утгын өөрчлөлт сегментийн хязгаарлагдмал тооны цэгүүдэд тохиолдвол ийм цэг бүрийн хувьд g функцтэй төстэй функцийг байгуулж, (1.21) -тэй ижил төстэй нийлбэрийг үүсгэнэ. , мөн теорем 1.12-ыг хэрэглэнэ.

Тодорхойлолт 1.6. Функц:

сегмент дээр тасралтгүй , хэрэв хязгаарлагдмал тооны цэгийг оруулснаар эхний төрлийн тасалдал.

→ R нь хэсэгчлэн үргэлжилсэн ба түүний цэгүүд гэж нэрлэгддэг

Цагаан будаа. 1.1: Хэсэгчилсэн тасралтгүй функцийн жишээ

Одоо бид Риманы интегралдах функцүүдийн ангиллыг өргөтгөсөн үр дүнг баталж чадна.

Теорем 1.19. Хэрэв f: → R функц нь интервал дээр хэсэгчлэн тасралтгүй байвал үүн дээр интегралдах боломжтой.

f(x) функц нь сегмент дээр эхний төрлийн c (a, b) тасалдалтай нэг цэгтэй, өөрөөр хэлбэл төгсгөлтэй байх тохиолдлыг авч үзье.

f(c + 0) ба f(c − 0) хязгаарын утгууд. Функцуудыг авч үзье

f1 (x) ба f2 (x) функцууд нь интервалууд дээр тасралтгүй байх ба эдгээр интервалууд дээр тус тус интегралдах боломжтой байдаг. Дараа нь Лемма 1.3-аар f1 (x) функцээс нэг цэгийн утгаараа ялгаатай f(x) функц интервал дээр интегралдах боломжтой болно. Үүний нэгэн адил f(x) интервал дээр интегралдах боломжтой. Дараа нь теорем 1.17 f(x) дээр интегралдах боломжтой.

Сэтгэгдэл. Хэрэв f(x) функц нь сегмент дээр хэсэгчлэн үргэлжилсэн бол үүн дээр интегралдах боломжтой бөгөөд ийм функцийн тодорхой интегралыг тооцоолохын тулд сегментийг хязгаарлагдмал тооны сегментүүдэд хувааснаар f(x) нь тасралтгүй байна. интервалууд дээрх хязгаарлагдмал функц (ak, bk).

1.7 Эхний интеграл дундаж утгын теорем

Теорем 1.20. f ба g функцууд дараах нөхцлийг хангана.

Жишээлбэл, g(x) ≥ 0, x, тэгвэл 2) нөхцөлөөс mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x), x гэж гарна. Учир нь f ба g функцууд

интервал дээр интегралчлах боломжтой бол f g функц нь энэ интервал дээр мөн теорем 1.18-ын хүчинд интегралдах боломжтой болно.

тохиолдолд (1.22) тэгш байдал нь дурын μ-д хангагдана.

µ-ийн тодорхойлолт нь тэгш байдлыг илэрхийлдэг (1.22) . Энэ теорем нь g(x) ≤ 0 дээр байх тохиолдолд ижилхэн нотлогддог.

Дүгнэлт 1. Хэрэв f функц m ≤ f(x) ≤ M, x интервал дээр интегралчлагдах боломжтой бол

μ : f(x) dx = μ(b − a).

Дүгнэлт 2. Хэрэв f(x) функц интервал дээр тасралтгүй, g(x) функц нь интегралдах боломжтой ба түүн дээр тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол

Интервал дээрх f(x) функцийн тасралтгүй байдлаас үзэхэд үүн дээр интегралдах боломжтой байна. Вейерштрассын хоёр дахь теоремын дагуу

Интервал дээр үргэлжилсэн функцийн завсрын утгын тухай Болзано-Коши теоремоор p ба q цэгүүд дээр төгсгөлийн цэгүүдтэй сегментэд хамаарах c цэг байгаа тул f(c) = µ болно. Тиймээс,

Тодорхой интегралын тухай ойлголтыг бий болгох асуудлууд (муруй трапецын талбайн асуудал, хувьсах хүчний үйлчлэлээр ажиллах ажлыг тооцоолох асуудал). Тодорхой интегралын тухай ойлголт. Darboux нийлбэр ба тэдгээрийн шинж чанарууд (тойм). Интеграцчлах зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл. Тасралтгүй функцийн интегралчлал. Тодорхой интегралын үндсэн шинж чанарууд

Муруй трапецын талбайн асуудал.Ингээд авч үзье хавтгай дүрс, хаана шугамаар хязгаарлагдсан е(x) -д заасан тасралтгүй эерэг функц (3-р зургийг үз). Энэ дүрсийг нэрлэдэг муруй трапец. Газар нутгийн тухай асуулт асууя Фэнэ трапец.

хуваах [ а, б] цэгүүд болон let λ = хамгийн их( x к +1 - x к). Шууд x = x кбидний трапецийг хугал nнарийн судалтай. Функцээс хойш е(x) тасралтгүй, дараа нь энэ нь бага зэрэг өөрчлөгддөг x к ≤ x ≤ x к+1 бөгөөд том алдаагүйгээр үүнийг [ интервалаар тооцоолж болно. x к , x к+1 ] тогтмол ба тэнцүү е(ξ к), Хаана ξ кинтервал дахь дурын цэг юм [ x к , x к+1 ]. Дээр дурдсан зураасыг тэгш өнцөгт, трапецийг бүхэлд нь 1-р зурагт үзүүлсэн шаталсан дүрс болгон авахтай тэнцэх таамаглал байгааг харахад хялбар юм. 4. Энэ шаталсан зургийн талбай нь тодорхой тэнцүү байна Энэ талбайг жижиг гэж үзэх нь зүйн хэрэг λ Энэ нь бидний сонирхож буй талбайн ойролцоо үнэ цэнэ юм Ф. Тиймээс, тодорхойлолтоор бид дуудах болно талбайбидний муруй шугаман трапецын хязгаар .

Хэрэв функц дор хаяж нэг эсрэг деривативтай бол хязгааргүй олон эсрэг деривативтай байна. Практикт ихэвчлэн цэгүүдээс эсрэг деривативын утгын зөрүүг хайх шаардлагатай байдаг бТэгээд а. Энэ ялгаа нь дурын тогтмолыг сонгохоос хамаарахгүй -тай,учир нь .. Функцийг зөвшөөр еинтервалаар өгөгдсөн ба үүн дээр эсрэг дериватив байна Ф. Ялгаа гэж нэрлэдэг тодорхой интегралфункцууд есегментийн дагуу ба тэмдэглэнэ Тоонууд бТэгээд а дуудсан интеграцийн дээд ба доод хязгаар.Сегмент нэгтгэх талбар.

Хувьсах хүчний ажил. Хөдөлгөөнийг анхаарч үзээрэй материаллаг цэг OX тэнхлэгийн дагуу f хувьсах хүчний үйлчлэлээр, тэнхлэг дээрх x цэгийн байрлалаас хамаарч, i.e. х-ийн функц болох хүч. Дараа нь материалын цэгийг x = a байрлалаас x = b байрлалд шилжүүлэхэд шаардагдах А ажлыг дараах томъёогоор тооцоолно.

OP-ийн шинж чанарууд.

1) Хэрэв функц еинтервал дээр эсрэг деривативтай ба дурын тоо, тэгвэл .

2) Хэрэв функцууд интервал дээр эсрэг деривативтай бол.

3) Нэмэлт шинж чанар.Хэрэв функц есегмент дээр эсрэг дериватив байдаг ба, дараа нь .

4) Хэрэв функц есегмент дээр эсрэг дериватив байна, тэгвэл .

5)6)

7) Хэрэв функц есегмент дээр эсрэг деривативтай ба тэгш, тэгвэл . Хэрэв е хачирхалтай, тэгвэл .

8) Хэрэв функц е хугацаатай ба сегмент дээр эсрэг дериватив байна е, тэгээд хэнд ч зориулав атэгш байдал үнэн .

9) Хэрэв .

11) Тэгш бус байдал нь интервал дээр, энэ интервал дээр функц байна еэсрэг деривативтай. Дараа нь .

Дарбоусын дүн. Нийлбэрүүдийг гаргацгаая. Эдгээрийг доод ба дээд Darboux нийлбэрүүд гэж нэрлэдэг.

Үл хөдлөх хөрөнгөДарбоусын дүн: 1) Хэрэв сегментийг интервал болгон хуваах одоо байгаа цэгүүдэд шинэ оноо нэмж оруулбал доод Darboux нийлбэр нь зөвхөн нэмэгдэж, дээд нийлбэр буурна. Тэдгээр. хэрэв τ′ нь τ хуваалтын сайжруулалт бол .

2) Доод Darboux нийлбэр бүр дээд нийлбэр тус бүрээс хэтрэхгүй, тэр ч байтугай интервалын өөр хуваалттай тохирч байна.

3) - функцийн хэлбэлзэл − функцийн доод Darboux интеграл едээр , нь Darboux дээд интеграл юм. Доод Дарбоусын нийлбэрүүдийн багц () нь дээд Дарбоусын нийлбэрүүдийн дор хаяж нэгээр хязгаарлагдах бөгөөд дараа нь мөн байна. Дарбоусын дээд нийлбэрүүдийн багц () нь доор хязгаарлагдсан тул -, болон байна. Тэр..

ThИнтеграцчлах зайлшгүй нөхцөл.Хэрэв функц интервал дээр интегралдах боломжтой бол түүн дээр хязгаарлагдана . ThИнтеграцчлах зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл.Тодорхой интервалаар хязгаарлагдсан функц үүн дээр интегралдах боломжтой байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Энэ нөхцөл нь ямар ч ε>0-ийн хувьд δ(ε)>0, аль ч хуваалтын хувьд δ-ээс бага нарийн ширхэгтэй τ байна гэсэн үг юм. дараах тэгш бус байдал байна:−<ε.

ThТасралтгүй функцийн интегралчлал.Хэрэв f(x)дээр тасралтгүй байвал үүн дээр интегралдах боломжтой. Th. Функц нь тодорхой бөгөөд монотон бөгөөд үүн дээр интегралдах боломжтой. Th. Хэрэв функц нь хязгаарлагдмал тооны цэгээс бусад интервал дээр хязгаарлагдмал бөгөөд тасралтгүй байвал үүн дээр интегралч болно.