Гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй цэгүүдийг холбосон гурван шулуун шугамаас бүрдэх геометрийн дүрс юм. Шугамын холболтын цэгүүд нь гурвалжны оройн цэгүүд бөгөөд тэдгээрийг зааж өгсөн болно латин үсгээр(жишээ нь A, B, C). Гурвалжны холбосон шулуун шугамуудыг сегмент гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийг ихэвчлэн латин үсгээр тэмдэглэдэг. Ялгах дараах төрлүүдгурвалжин:

• Тэгш өнцөгт.
• Бүдүүн.
• Хурц өнцөг.
• Олон талт.
• Тэгш талт.
• Хоёр талт.

Гурвалжны талбайг тооцоолох ерөнхий томъёо

Урт ба өндрөөс хамааран гурвалжны талбайн томъёо

S= a*h/2,
Үүнд: a - талбайг олох шаардлагатай гурвалжны хажуугийн урт, h - суурь руу татсан өндрийн урт.

Хероны томъёо

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
√ хаана байна Квадрат язгуур, p нь гурвалжны хагас периметр, a,b,c гурвалжны тал бүрийн урт. Гурвалжны хагас периметрийг p=(a+b+c)/2 томъёогоор тооцоолж болно.

Сегментийн өнцөг ба урт дээр үндэслэн гурвалжны талбайн томъёо

S = (a*b*sin(α))/2,
Хаана b,c байнагурвалжны талуудын урт, sin(α) нь хоёр талын өнцгийн синус юм.

Гурвалжны талбайн томъёог бичээстэй тойрог ба гурван талын радиусыг өгсөн

S=p*r,
Энд p нь талбайг олох шаардлагатай гурвалжны хагас периметр, r нь энэ гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус юм.

Гурван тал ба түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо

S= (a*b*c)/4*R,
Үүнд: a,b,c нь гурвалжны тал бүрийн урт, R нь гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.

Цэгүүдийн декарт координатыг ашиглан гурвалжны талбайн томъёо

Цэгүүдийн декарт координатууд нь xOy систем дэх координатууд бөгөөд энд x нь абсцисса, y нь ординат юм. Декарт системХавтгай дээрх xOy координатуудыг харилцан перпендикуляр гэж нэрлэдэг тоон тэнхлэгүүдӨө, Өө хамт нийтлэг эхлэлО цэг дээрх лавлагаа. Хэрэв энэ хавтгай дээрх цэгүүдийн координатыг A(x1, y1), B(x2, y2) ба C(x3, y3) хэлбэрээр өгвөл гурвалжны талбайг тооцоолж болно. ашиглах дараах томъёо-аас авсан вектор бүтээгдэхүүнхоёр вектор.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
хаана || модуль гэсэн үг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Тэгш өнцөгт гурвалжин нь 90 градусын өнцөгтэй гурвалжин юм. Гурвалжин нь зөвхөн нэг ийм өнцөгтэй байж болно.

Хоёр талдаа тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёо

S= a*b/2,
Үүнд: a,b нь хөлний урт. Хөл нь зөв өнцгөөр зэргэлдээх талууд юм.

Гипотенуз ба хурц өнцөгт суурилсан тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёо

S = a*b*sin(α)/ 2,
Үүнд: a, b нь гурвалжны хөл, sin(α) нь a, b шулуунуудын огтлолцох өнцгийн синус юм.

Хажуу ба эсрэг өнцөгт суурилсан тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёо

S = a*b/2*tg(β),
Энд a, b нь гурвалжны хөл, tan(β) нь a, b хөлүүдийн холбогдсон өнцгийн тангенс юм.

Хоёр талт гурвалжны талбайг хэрхэн тооцоолох вэ

Хоёр талт гурвалжин нь хоёр талт гурвалжин юм тэнцүү талууд. Эдгээр талуудыг талууд гэж нэрлэдэг бөгөөд нөгөө тал нь суурь юм. Хоёр талт гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд та дараах томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно.

Адил өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолох үндсэн томъёо

S=h*c/2,
Энд c нь гурвалжны суурь, h нь гурвалжны суурь руу буулгасан өндөр.

Хажуу ба суурь дээр суурилсан ижил өнцөгт гурвалжны томъёо

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
Энд c нь гурвалжны суурь, a нь тэгш өнцөгт гурвалжны аль нэг талын хэмжээ юм.

Тэгш талт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Бүх талууд нь тэнцүү гурвалжинг тэгш талт гурвалжин гэнэ. Талбайг тооцоолохын тулд тэгш талт гурвалжинТа дараах томъёог ашиглаж болно.
S = (√3*a*a)/4,
Үүнд: a нь тэгш талт гурвалжны хажуугийн урт.

Дээрх томъёонууд нь гурвалжны шаардлагатай талбайг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд гурвалжны төрөл, тооцоололд ашиглаж болох өгөгдлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй гэдгийг санах нь чухал юм.

Гурвалжин бол гурван тал, гурван оройноос бүрддэг хамгийн энгийн геометрийн дүрс юм. Энгийн байдлаас шалтгаалан гурвалжинг эрт дээр үеэс хэрэгжүүлэхэд ашиглаж ирсэн янз бүрийн хэмжилт, мөн өнөөдөр зураг нь практик болон өдөр тутмын асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэгтэй байж болно.

Гурвалжны онцлог

Энэ зургийг эрт дээр үеэс тооцоололд ашиглаж ирсэн, тухайлбал газар судлаачид, одон орон судлаачид гурвалжны шинж чанарыг ашиглан газар нутаг, зайг тооцоолоход ашигладаг. Энэ зургийн талбайгаар ямар ч n-гонын талбайг илэрхийлэхэд хялбар байдаг бөгөөд энэ шинж чанарыг эртний эрдэмтэд олон өнцөгтийн талбайн томъёог гаргахад ашигладаг байжээ. Бүтэн цагийн ажилгурвалжин, ялангуяа тэгш өнцөгт гурвалжин нь математикийн бүхэл бүтэн салбар болох тригонометрийн үндэс суурь болсон.

Гурвалжингийн геометр

Геометрийн дүрсийн шинж чанарыг эрт дээр үеэс судалж ирсэн: гурвалжны тухай хамгийн анхны мэдээлэл нь 4000 жилийн өмнөх Египетийн папирусаас олдсон. Дараа нь уг зургийг судалжээ Эртний Грекгурвалжны геометрт хамгийн их хувь нэмэр оруулсан нь Евклид, Пифагор, Херон нар юм. Гурвалжны судалгаа хэзээ ч зогссонгүй бөгөөд 18-р зуунд Леонхард Эйлер дүрсийн ортоцентр ба Эйлерийн тойрог гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн. 19-20-р зууны зааг дээр гурвалжны талаар бүх зүйл мэдэгдэж байсан мэт санагдах үед Фрэнк Морли өнцгийн трисекторын теоремыг, Ваклав Сиерпински фрактал гурвалжинг санал болгов.

Бидэнд танил болсон хэд хэдэн төрлийн хавтгай гурвалжин байдаг сургуулийн курсгеометр:

• цочмог - зургийн бүх булангууд нь хурц;
• мохоо - зураг нэгтэй мохоо өнцөг(90 градусаас дээш);
• тэгш өнцөгт - зураг нь 90 градустай тэнцүү нэг зөв өнцгийг агуулна;
• isosceles - хоёр тэнцүү талтай гурвалжин;
• тэгш талт - бүх тэгш талуудтай гурвалжин.
• IN жинхэнэ амьдралБүх төрлийн гурвалжин байдаг бөгөөд зарим тохиолдолд геометрийн дүрсийн талбайг тооцоолох шаардлагатай болдог.

Гурвалжны талбай

Талбай гэдэг нь тухайн зураг хавтгайн хэр их хэсгийг хамарч байгааг тооцоолдог. Гурвалжны талбайг бичээстэй эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн талууд, өндөр, өнцөг, радиус, түүнчлэн Хероны томъёог ашиглан зургаан аргаар олж болно. давхар интегралонгоцыг хязгаарлах шугамын дагуу. Хамгийн энгийн томъёогурвалжны талбайг тооцоолохын тулд дараах байдлаар харагдана.

a нь гурвалжны тал, h нь түүний өндөр.

Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр геометрийн дүрсийн өндрийг олох нь бидэнд үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Манай тооны машины алгоритм нь дараахь зүйлийг мэдэж байгаа талбайг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

• гурван тал;
• хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг;
• нэг тал ба хоёр булан.

Гурван талын талбайг тодорхойлохын тулд бид Хероны томъёог ашиглана:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

Энд p нь гурвалжны хагас периметр.

Хоёр тал ба өнцгийн талбайг сонгодог томъёогоор тооцоолно.

S = a × b × sin(alfa),

альфа нь a ба b талуудын хоорондох өнцөг юм.

Талбайг нэг тал ба хоёр өнцгөөр тодорхойлохын тулд бид дараахь харьцааг ашиглана.

a / нүгэл (альфа) = б / нүгэл (бета) = в / нүгэл (гамма)

Ашиглаж байна энгийн пропорц, бид хоёр дахь талын уртыг тодорхойлж, дараа нь S = a × b × sin(alfa) томъёог ашиглан талбайг тооцоолно. Энэ алгоритмнь бүрэн автоматжуулсан бөгөөд та зөвхөн заасан хувьсагчдыг оруулаад үр дүнг авах хэрэгтэй. Хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Амьдралаас авсан жишээнүүд

Хучилтын хавтан

Гурвалжин хавтангаар шалыг хучиж, тоо хэмжээг тодорхойлохыг хүсч байна гэж бодъё шаардлагатай материал, та нэг хавтангийн талбай, шалны талбайг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэмжээ нь a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см хэмжээтэй хавтанг ашиглан 6 квадрат метр гадаргууг боловсруулах шаардлагатай гэж бодъё, гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд тооцоолуур Хероны томъёог ашигладаг. Үр дүн:

Тиймээс нэг хавтангийн элементийн талбай 0.021 болно хавтгай дөрвөлжин метр, мөн шалыг сайжруулахын тулд танд 6/0.021 = 285 гурвалжин хэрэгтэй болно. 20, 21, 29 тоонууд нь бүрддэг Пифагорын гурвалсан- хангасан тоонууд. Энэ нь зөв, манай тооны машин гурвалжны бүх өнцгийг тооцоолсон бөгөөд гамма өнцөг нь яг 90 градус байна.

Сургуулийн даалгавар

IN сургуулийн даалгавартал нь a = 5 см, альфа ба бета өнцөг нь 30 ба 50 градус байх тул гурвалжны талбайг олох шаардлагатай. Энэ асуудлыг гараар шийдэхийн тулд эхлээд харьцааны харьцаа ба эсрэг өнцгийн синусыг ашиглан b талын утгыг олж, дараа нь S = a × b × sin(alfa) энгийн томъёогоор талбайг тодорхойлно. Цаг хэмнэж, тооцоолуурын маягт руу өгөгдлийг оруулаад шууд хариулт авцгаая

Тооцоологчийг ашиглахдаа өнцөг болон талыг зөв зааж өгөх нь чухал бөгөөд эс тэгвээс үр дүн нь буруу байх болно.

Дүгнэлт

Гурвалжин бол бодит амьдрал дээр ч, хийсвэр тооцоололд ч олддог өвөрмөц дүрс юм. Ямар ч төрлийн гурвалжны талбайг тодорхойлохын тулд манай онлайн тооцоолуурыг ашиглана уу.

Гурвалжны талбайг тодорхойлохын тулд та янз бүрийн томъёог ашиглаж болно. Бүх аргуудаас хамгийн хялбар бөгөөд хамгийн их ашиглагддаг нь өндрийг суурийн уртаар үржүүлж, дараа нь үр дүнг хоёроор хуваах явдал юм. Гэсэн хэдий ч энэ аргацорын ганцаас хол. Гурвалжны талбайг хэрхэн олох талаар доороос уншиж болно өөр өөр томъёо.

Бид талбайг тооцоолох арга замыг тусад нь авч үзэх болно тодорхой төрлүүдгурвалжин - тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт. Бид томьёо тус бүрийн мөн чанарыг ойлгоход туслах товч тайлбарыг дагалддаг.

Гурвалжны талбайг олох түгээмэл аргууд

Доорх томьёо нь тусгай тэмдэглэгээг ашигладаг. Бид тус бүрийг тайлах болно:

• a, b, c - бидний авч үзэж буй зургийн гурван талын урт;
• r нь бидний гурвалжинд бичиж болох тойргийн радиус;
• R нь тойргийн радиусыг тойрон тайлбарлаж болно;
• α - b ба c талуудын үүсгэсэн өнцгийн хэмжээ;
• β нь a ба c хоорондох өнцгийн хэмжээ;
• γ - a ба b талуудын үүсгэсэн өнцгийн хэмжээ;
• h нь α өнцгөөс а тал руу буулгасан гурвалжны өндөр;
• p – a, b, c талуудын нийлбэрийн хагас.

Гурвалжны талбайг яагаад ийм байдлаар олж болох нь логикийн хувьд ойлгомжтой юм. Гурвалжны нэг тал нь диагональ хэлбэрээр ажиллах параллелограммыг хялбархан хийж болно. Параллелограммын талбайг түүний аль нэг талын уртыг түүнд татсан өндрийн утгаар үржүүлэх замаар олно. Диагональ нь энэ нөхцөлт параллелограммыг 2 ижил гурвалжинд хуваана. Тиймээс бидний анхны гурвалжны талбай нь энэ туслах параллелограммын талбайн хагастай тэнцүү байх ёстой нь тодорхой байна.

S=½ a b sin γ

Энэ томъёоны дагуу гурвалжны талбайг түүний хоёр талын уртыг, өөрөөр хэлбэл a ба b-ийг тэдгээрийн үүсгэсэн өнцгийн синусаар үржүүлснээр олно. Энэ томъёо нь өмнөхөөсөө логикоор үүсэлтэй. Хэрэв бид өндрийг β өнцгөөс b тал руу буулгавал шинж чанарын дагуу зөв гурвалжин, а талын уртыг γ өнцгийн синусаар үржүүлэхэд бид гурвалжны өндрийг, өөрөөр хэлбэл h-ийг авна.

Тухайн зургийн талбайг дотор нь бичиж болох тойргийн радиусын хагасыг периметрээр нь үржүүлэх замаар олно. Өөрөөр хэлбэл, хагас периметр ба дурдсан тойргийн радиусын үржвэрийг олно.

S= a b c/4R

Энэ томьёоны дагуу зургийн хажуугийн үржвэрийг тойргийн 4 радиусаар хуваах замаар бидэнд хэрэгтэй утгыг олж болно.

Эдгээр томьёо нь бүх нийтийнх бөгөөд тэдгээр нь аливаа гурвалжны талбайг (масштаб, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт) тодорхойлох боломжийг олгодог. Үүнийг илүү ихийг ашиглан хийж болно нарийн төвөгтэй тооцоолол, бид үүнийг нарийвчлан авч үзэхгүй.

Тодорхой шинж чанартай гурвалжны талбайнууд

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Энэ зургийн онцлог нь түүний хоёр тал нь нэгэн зэрэг өндөр юм. Хэрэв a ба b нь хөл бөгөөд c нь гипотенуз болвол бид талбайг дараах байдлаар олно.

Хоёр талт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Энэ нь а урттай хоёр тал, b урттай нэг талтай. Үүний үр дүнд түүний талбайг 2-т а талын квадратын үржвэрийг γ өнцгийн синусын үржвэрт хуваах замаар тодорхойлж болно.

Тэгш талт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнд бүх талуудын урт нь a-тай тэнцүү бөгөөд бүх өнцгийн хэмжээ нь α байна. Түүний өндөр нь а талын урт ба 3-ын квадрат язгуурын үржвэрийн хагастай тэнцүү. Талбайг олох тогтмол гурвалжин, та а талын квадратыг 3-ын квадрат язгуураар үржүүлж, 4-т хуваах хэрэгтэй.

-аас эсрэг орой) болон үүссэн бүтээгдэхүүнийг хоёр хуваана. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

S = ½ * a * h,

Хаана:
S - гурвалжны талбай,
a нь түүний хажуугийн урт,
h нь энэ тал руу буулгасан өндөр.

Хажуугийн урт ба өндрийг ижил хэмжлийн нэгжээр харуулах ёстой. Энэ тохиолдолд гурвалжны талбайг харгалзах "" нэгжээр авна.

Жишээ.
Нэг тал руу масштабтай гурвалжин 20 см урт, 10 см урт перпендикуляр нь эсрэг талын оройгоос доошлоно.
Гурвалжны талбай шаардлагатай.
Шийдэл.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (см²).

Хэрэв масштабтай гурвалжны аль нэг хоёр талын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг тодорхой байвал дараах томъёог ашиглана уу.

S = ½ * a * b * sinγ,

Үүнд: a, b – хоёр урт дур зоргоороо талууд, ба γ нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг юм.

Практикт, жишээлбэл, хэмжих үед газар, Дээрх томъёог ашиглах нь заримдаа хэцүү байдаг, учир нь энэ нь шаарддаг нэмэлт барилга байгууламжболон өнцгийн хэмжилт.

Хэрэв та гурвалжны гурван талын уртыг мэддэг бол Хэроны томъёог ашиглана уу.

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c - гурвалжны талуудын урт;
p – хагас периметр: p = (a+b+c)/2.

Хэрэв бүх талуудын уртаас гадна гурвалжинд дүрслэгдсэн тойргийн радиус мэдэгдэж байвал дараах жижиг томьёог ашиглана уу.

Үүнд: r – бичээстэй тойргийн радиус (р – хагас периметр).

Масштабтай гурвалжны талбай ба түүний талуудын уртыг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглана уу.

Үүнд: R – хүрээлэгдсэн тойргийн радиус.

Хэрэв та гурвалжны нэг тал ба гурван өнцгийн уртыг мэддэг бол (зарчмын хувьд хоёр нь хангалттай - гурав дахь нь гурвалжны гурван өнцгийн нийлбэрийн тэгшитгэлээс тооцогдоно - 180º), дараа нь ашиглана уу. томъёо:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

энд α нь а талын эсрэг талын өнцгийн утга;
β, γ - гурвалжны үлдсэн хоёр өнцгийн утгууд.

олох хэрэгцээ янз бүрийн элементүүд, түүний дотор газар нутаг гурвалжин, МЭӨ олон зууны үед гарч ирсэн эрдэмтэд одон орон судлаачидЭртний Грек. Дөрвөлжин гурвалжинтооцоолж болно янз бүрийн арга замуудянз бүрийн томъёог ашиглан. Тооцооллын арга нь аль элементээс хамаарна гурвалжинмэдэгдэж байна.

Зааварчилгаа

Хэрэв нөхцөл байдлаас бид b, c хоёр тал ба тэдгээрийн үүсгэсэн өнцгийн утгыг мэдэж байгаа бол талбай гурвалжин ABC-ийг дараах томъёогоор олно.
S = (bcsin?)/2.

Хэрэв нөхцөл байдлаас бид a, b хоёр тал ба тэдгээрийн үүсгээгүй өнцгийн утгыг мэдэж байгаа бол талбай гурвалжин ABC-ийг дараах байдлаар олно.
Өнцөг олох уу?, нүгэл үү? = bsin?/a, дараа нь хүснэгтийг ашиглан өнцгийг өөрөө тодорхойлно.
Өнцөг олох уу?, ? = 180°-?-?.
Бид талбайг өөрөө олдог S = (absin?)/2.

Хэрэв нөхцөл байдлаас бид зөвхөн гурван талын утгыг мэддэг бол гурвалжин a, b ба c, дараа нь талбай гурвалжин ABC-ийг дараах томъёогоор олно.
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), энд p нь хагас периметр p = (a+b+c)/2

Хэрэв асуудлын нөхцлөөс бид өндрийг мэддэг бол гурвалжин h ба энэ өндрийг доошлуулсан тал, дараа нь талбай гурвалжинТомъёоны дагуу ABC:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Хэрэв бид талуудын утгыг мэддэг бол гурвалжин a, b, c ба энэ тухай тайлбарласан радиус гурвалжин R, дараа нь энэ талбай гурвалжин ABC-ийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
S = abc/4R.
Хэрэв гурван тал a, b, c ба дотор нь бичээсийн радиусыг мэддэг бол талбайг тодорхойлно гурвалжин ABC-ийг дараах томъёогоор олно.
S = pr, энд p нь хагас периметр, p = (a+b+c)/2.

Хэрэв ABC тэгш талт бол талбайг дараах томъёогоор олно.
S = (a^2v3)/4.
Хэрэв ABC гурвалжин– тэгш өнцөгт, талбайг дараах томъёогоор тодорхойлно.
S = (cv(4a^2-c^2))/4, энд c – гурвалжин.
Хэрэв ABC гурвалжин тэгш өнцөгт байвал талбайг дараах томъёогоор тодорхойлно.
S = ab/2, a ба b нь хөл юм гурвалжин.
Хэрэв ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин бол талбайг дараах томъёогоор тодорхойлно.
S = c^2/4 = a^2/2, энд c нь гипотенуз юм гурвалжин, a=b – хөл.

Сэдвийн талаархи видео

Эх сурвалжууд:

• гурвалжны талбайг хэрхэн хэмжих вэ

Зөвлөгөө 3: Хэрэв өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Зөвхөн нэг параметрийг (өнцөг) мэдэх нь талбайг олоход хангалтгүй юм tre дөрвөлжин . Хэрэв ямар нэгэн нэмэлт хэмжээс байгаа бол талбайг тодорхойлохын тулд өнцгийн утгыг мэдэгдэж буй хувьсагчийн аль нэгээр нь ашиглах томъёоны аль нэгийг сонгож болно. Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг хэд хэдэн томъёог доор өгөв.

Зааварчилгаа

Хэрэв хоёр талаас үүссэн өнцөг (γ) хэмжээнээс гадна tre дөрвөлжин , эдгээр талуудын урт (A ба B) нь бас мэдэгдэж байна, тэгвэл дөрвөлжин(S) тоонуудыг талуудын урт ба түүний синусын үржвэрийн тал хувь гэж тодорхойлж болно мэдэгдэж буй өнцөг: S=½×A×B×sin(γ).

Гурвалжин бол хамгийн түгээмэл зүйлүүдийн нэг юм геометрийн хэлбэрүүд, бид аль хэдийн уулзсан бага сургууль. Оюутан бүр геометрийн хичээл дээр гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ гэсэн асуулттай тулгардаг. Тэгэхээр өгөгдсөн дүрсийн талбайг олох ямар онцлог шинж чанаруудыг тодорхойлж болох вэ? Энэ нийтлэлд бид ийм даалгаврыг гүйцэтгэхэд шаардлагатай үндсэн томъёог авч үзэхээс гадна гурвалжны төрлүүдэд дүн шинжилгээ хийх болно.

Гурвалжны төрлүүд

Та гурвалжны талбайг бүрэн олох боломжтой янз бүрийн арга замууд, учир нь геометрт гурван өнцөг агуулсан нэгээс олон төрлийн дүрс байдаг. Эдгээр төрлүүд нь:

• Бүдүүн.
• Тэгш талт (зөв).
• Зөв гурвалжин.
• Хоёр талт.

Тэд тус бүрийг нарийвчлан авч үзье одоо байгаа төрлүүдгурвалжин.

Энэхүү геометрийн дүрсийг шийдвэрлэхдээ хамгийн түгээмэл гэж үздэг геометрийн асуудлууд. Дурын гурвалжин зурах хэрэгцээ гарвал энэ сонголт нь аврах ажилд ирдэг.

Цочмог гурвалжинд нэрнээс нь харахад бүх өнцөг нь хурц бөгөөд 180 ° хүртэл нэмэгддэг.

Энэ төрлийн гурвалжин нь маш түгээмэл боловч цочмог гурвалжингаас арай бага тохиолддог. Жишээлбэл, гурвалжинг шийдэхдээ (өөрөөр хэлбэл түүний хэд хэдэн тал, өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд үлдсэн элементүүдийг олох хэрэгтэй) заримдаа та өнцөг нь мохоо эсвэл биш эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй. Косинус нь сөрөг тоо юм.

B, аль нэг өнцгийн утга нь 90 ° -аас хэтэрсэн тул үлдсэн хоёр өнцөг нь жижиг утгыг (жишээлбэл, 15 ° эсвэл бүр 3 °) авч болно.

Гурвалжны талбайг олохын тулд энэ төрлийн, та зарим нэг нюансуудыг мэдэх хэрэгтэй бөгөөд үүнийг бид дараа нь ярих болно.

Энгийн ба тэгш өнцөгт гурвалжин

Ердийн олон өнцөгт n өнцгийг багтаасан, талууд болон өнцөг нь бүгд тэнцүү дүрс юм. Энэ бол ердийн гурвалжин юм. Гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр нь 180° байх тул гурван өнцөг тус бүр нь 60° байна.

Тогтмол гурвалжинг шинж чанараараа адил талт дүрс гэж нэрлэдэг.

Ердийн гурвалжинд зөвхөн нэг тойргийг дүрсэлж болох бөгөөд түүний эргэн тойронд зөвхөн нэг тойрог дүрслэх боломжтой бөгөөд тэдгээрийн төвүүд нь нэг цэг дээр байрладаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Адил талт төрлөөс гадна ижил өнцөгт гурвалжинг ялгаж салгаж болох бөгөөд энэ нь түүнээс арай өөр юм. Ийм гурвалжинд хоёр тал ба хоёр өнцөг нь хоорондоо тэнцүү, гурав дахь тал нь (зэргэлдээх нь). тэнцүү өнцөг) суурь юм.

Зураг дээр D ба F өнцөг нь тэнцүү, DF нь суурь нь тэгш өнцөгт DEF гурвалжинг үзүүлэв.

Зөв гурвалжин

Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг өнцөг нь зөв, өөрөөр хэлбэл 90°-тай тэнцүү байдаг тул ийнхүү нэрлэсэн. Нөгөө хоёр өнцөг нь 90 ° хүртэл нэмэгддэг.

Хамгийн том талИйм гурвалжны 90 ° өнцгийн эсрэг байрлах хэсэг нь гипотенуз, харин үлдсэн хоёр тал нь хөл юм. Энэ төрлийн гурвалжны хувьд Пифагорын теорем дараах байдалтай байна.

Хөлний уртын квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын уртын квадраттай тэнцүү байна.

Зураг дээр АС гипотенуз, AB ба ВС хөлтэй BAC тэгш өнцөгт гурвалжинг үзүүлэв.

Тэгш өнцөгтэй гурвалжны талбайг олохын тулд та мэдэх хэрэгтэй тоон утгуудтүүний хөл.

Өгөгдсөн дүрсийн талбайг олох томъёонууд руу шилжье.

Талбайг олох үндсэн томъёо

Геометрийн хувьд ихэнх гурвалжны талбайг олоход тохиромжтой хоёр томьёог ялгаж болно, тухайлбал хурц, мохоо, тогтмол ба тэгш өнцөгт гурвалжин. Тэдгээрийг тус бүрээр нь харцгаая.

Хажуугийн болон өндрөөр

Энэ томъёоЭнэ нь бидний авч үзэж буй зургийн талбайг олоход түгээмэл байдаг. Үүнийг хийхийн тулд хажуугийн урт, түүнд зурсан өндрийн уртыг мэдэхэд хангалттай. Томъёо нь өөрөө (суурь ба өндрийн бүтээгдэхүүний хагас) дараах байдалтай байна.

Энд А тал байна өгөгдсөн гурвалжин, H нь гурвалжны өндөр.

Жишээлбэл, талбайг олох хурц гурвалжин ACB, та түүний AB талыг CD өндрөөр үржүүлж, үүссэн утгыг хоёр хуваах хэрэгтэй.

Гэсэн хэдий ч гурвалжны талбайг ийм байдлаар олох нь үргэлж амар байдаггүй. Жишээлбэл, энэ томъёог ашиглах мохоо гурвалжин, түүний аль нэг талыг нь үргэлжлүүлэх шаардлагатай бөгөөд үүний дараа л өндөрт зурна.

Практикт энэ томъёог бусдаас илүү олон удаа ашигладаг.

Хоёр тал болон буланд

Энэ томьёо нь өмнөхтэй адил ихэнх гурвалжинд тохиромжтой бөгөөд утгаараа гурвалжны талбай ба өндрийг олох томъёоны үр дагавар юм. Өөрөөр хэлбэл, тухайн томъёог өмнөхөөсөө амархан гаргаж болно. Түүний найрлага нь дараах байдалтай байна.

S = ½*sinO*A*B,

Энд А ба В нь гурвалжны талууд, О нь А ба В талуудын хоорондох өнцөг юм.

Өнцгийн синусыг онцгой байдлын нэрээр нэрлэгдсэн тусгай хүснэгтээс харж болно гэдгийг санацгаая Зөвлөлтийн математикчВ.М.Брадис.

Одоо зөвхөн гурвалжингийн онцгой төрлүүдэд тохиромжтой бусад томъёо руу шилжье.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай

Гурвалжин дахь өндрийг олох хэрэгцээг багтаасан бүх нийтийн томъёоноос гадна тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг түүний хөлөөс олж болно.

Тиймээс тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь түүний хөлний үржвэрийн хагас буюу:

a ба b нь тэгш өнцөгт гурвалжны хөл юм.

Ердийн гурвалжин

Энэ төрөлгеометрийн дүрсүүд нь түүний талбайг зөвхөн нэг талынх нь заасан утгыг олох боломжтой гэдгээрээ ялгаатай (ердийн гурвалжны бүх талууд тэнцүү тул). Тиймээс, "талууд тэнцүү байх үед гурвалжны талбайг олох" даалгавартай тулгарах үед та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.

S = A 2 *√3 / 4,

Энд А нь тэгш талт гурвалжны тал юм.

Хероны томъёо

Сүүлийн сонголтгурвалжны талбайг олохын тулд Хероны томъёог ашиглана. Үүнийг ашиглахын тулд та зургийн гурван талын уртыг мэдэх хэрэгтэй. Хероны томъёо дараах байдалтай байна.

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

a, b ба c нь энэ гурвалжны талууд юм.

Заримдаа "энгийн гурвалжны талбай нь түүний хажуугийн уртыг олох" гэсэн асуудал гардаг. IN энэ тохиолдолдБид ердийн гурвалжны талбайг олохын тулд аль хэдийн мэддэг томьёог ашиглаж, үүнээс хажуугийн (эсвэл квадратын) утгыг гаргах хэрэгтэй:

A 2 = 4S / √3.

Шалгалтын даалгавар

Математикийн ТЕГ-ын бодлогод олон томьёо байдаг. Үүнээс гадна алаг цаасан дээр гурвалжны талбайг олох шаардлагатай байдаг.

Энэ тохиолдолд өндрийг зургийн аль нэг талд нь зурж, уртыг нүднүүдээс нь тодорхойлж, ашиглах нь хамгийн тохиромжтой. бүх нийтийн томъёоталбайг олохын тулд:

Тиймээс, өгүүлэлд дурдсан томъёог судалсны дараа танд ямар ч төрлийн гурвалжны талбайг олоход асуудал гарахгүй.