Одз хаана байрладаг вэ? Чиг үүрэг: тодорхойлолтын домэйн ба функцүүдийн утгын хүрээ

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Тэгш бус байдлын үндсэн төрлүүд, үүнд Бернулли, Коши - Буняковский, Минковский, Чебышевын тэгш бус байдал орно. Тэгш бус байдлын шинж чанарууд ба тэдгээрт үзүүлэх үйлдлүүдийг авч үзнэ. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг өгөв.

Үндсэн тэгш бус байдлын томъёо

Бүх нийтийн тэгш бус байдлын томъёо

Бүх нийтийн тэгш бус байдал нь тэдгээрт багтсан хэмжигдэхүүний аливаа утгын хувьд хангагдана. Үндсэн төрлүүдийг доор жагсаав бүх нийтийн тэгш бус байдал.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |а 1 | + |а 2 | + ... + |a n |

2) |а| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |а| - |б| |

3)
a 1 = a 2 = ... = a n үед л тэгш байдал үүсдэг.

4) Коши-Буняковскийн тэгш бус байдал

Бүх k = 1, 2, ..., n болон зарим α, β, |α|-ийн хувьд α a k = β b k байвал тэгш байдал биелнэ. + |β| > 0.

5) Минковскийн тэгш бус байдал, p ≥ 1-ийн хувьд

Хангалттай тэгш бус байдлын томьёо

Тэдгээрт багтсан хэмжигдэхүүний тодорхой утгуудын хувьд хангагдах тэгш бус байдал хангагдана.

1) Бернуллигийн тэгш бус байдал:
.
Илүү их ерөнхий үзэл:
,
хаана , ижил тэмдэгтэй ба түүнээс их тоо -1 : .
Бернуллигийн Лемма:
.
"Тэгш бус байдлын баталгаа ба Бернуллигийн лемма"-г үзнэ үү.

2)
a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n)-ийн хувьд.

3) Чебышевын тэгш бус байдал
цагт 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Тэгээд 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
At 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Тэгээд b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Чебышевын ерөнхий тэгш бус байдал
цагт 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Тэгээд 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n мөн k байгалийн
.
At 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Тэгээд b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Тэгш бус байдлын шинж чанарууд

Тэгш бус байдлын шинж чанарууд нь тэдгээрийг өөрчлөх үед хангагдсан дүрмийн багц юм. Тэгш бус байдлын шинж чанаруудыг доор харуулав. Урьдчилан тогтоосон интервалд хамаарах x i (i = 1, 2, 3, 4) утгуудын хувьд анхны тэгш бус байдал хангагдана гэж ойлгож болно.

1) Талуудын дараалал өөрчлөгдөхөд тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
Хэрэв x 1< x 2 , то x 2 >x 1.
Хэрэв x 1 ≤ x 2 бол x 2 ≥ x 1 болно.
Хэрэв x 1 ≥ x 2 бол x 2 ≤ x 1 болно.
Хэрэв x 1 > x 2 бол x 2 болно< x 1 .

2) Нэг тэгшитгэл нь хоёр сул тэгш бус байдалтай тэнцэнэ өөр тэмдэг.
Хэрэв x 1 = x 2 бол x 1 ≤ x 2 ба x 1 ≥ x 2 болно.
Хэрэв x 1 ≤ x 2 ба x 1 ≥ x 2 бол x 1 = x 2 болно.

3) Шилжилтийн шинж чанар
Хэрэв x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Хэрэв x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Хэрэв x 1 ≤ x 2 ба x 2 байвал< x 3 , то x 1 < x 3 .
Хэрэв x 1 ≤ x 2 ба x 2 ≤ x 3 бол x 1 ≤ x 3 болно.

4) Тэгш бус байдлын хоёр талд ижил тоог нэмж (хасаж) болно.
Хэрэв x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Хэрэв x 1 ≤ x 2 бол x 1 + A ≤ x 2 + A болно.
Хэрэв x 1 ≥ x 2 бол x 1 + A ≥ x 2 + A болно.
Хэрэв x 1 > x 2 бол x 1 + A > x 2 + A болно.

5) Хэрэв ижил чиглэлийн тэмдэгтэй хоёр ба түүнээс дээш тэгш бус байдал байгаа бол тэдгээрийн зүүн ба баруун талыг нэмж болно.
Хэрэв x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Хэрэв x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Хэрэв x 1 ≤ x 2 бол x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Хэрэв x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4 бол x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 болно.
Үүнтэй төстэй илэрхийлэл нь ≥, > тэмдгүүдэд хамаарна.
Хэрэв анхны тэгш бус байдал нь хатуу бус тэгш бус байдлын шинж тэмдэг, дор хаяж нэгийг агуулсан байвал хатуу тэгш бус байдал(гэхдээ бүх тэмдгүүд ижил чиглэлтэй байдаг), дараа нь нэмэхэд хатуу тэгш бус байдал үүсдэг.

6) Тэгш бус байдлын хоёр талыг эерэг тоогоор үржүүлж (хувааж) болно.
Хэрэв x 1< x 2 и A >0, дараа нь A x 1< A · x 2 .
Хэрэв x 1 ≤ x 2 ба A > 0 бол A x 1 ≤ A x 2 болно.
Хэрэв x 1 ≥ x 2 ба A > 0 бол A x 1 ≥ A x 2 болно.
Хэрэв x 1 > x 2 ба A > 0 бол A · x 1 > A · x 2 болно.

7) Тэгш бус байдлын хоёр талыг сөрөг тоогоор үржүүлж (хувааж) болно. Энэ тохиолдолд тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээрээ өөрчлөгдөнө.
Хэрэв x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Хэрэв x 1 ≤ x 2 ба A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Хэрэв x 1 ≥ x 2 ба A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Хэрэв x 1 > x 2 ба A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Хэрэв ижил чиглэлийн тэмдэгтэй эерэг гишүүнтэй хоёр ба түүнээс дээш тэгш бус байдал байгаа бол тэдгээрийн баруун ба зүүн талыг өөр хоорондоо үржүүлж болно.
Хэрэв x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 дараа нь x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Хэрэв x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 дараа нь x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Хэрэв x 1 ≤ x 2 бол x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 дараа нь x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Хэрэв x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 бол x 1 x 3 ≤ x 2 x 4 болно.
Үүнтэй төстэй илэрхийлэл нь ≥, > тэмдгүүдэд хамаарна.
Хэрэв анхны тэгш бус байдал нь хатуу бус тэгш бус байдлын шинж тэмдэг, дор хаяж нэг хатуу тэгш бус байдлын шинж тэмдгийг агуулж байвал (гэхдээ бүх тэмдгүүд ижил чиглэлтэй) үржүүлгийн үр дүнд хатуу тэгш бус байдал үүсдэг.

9) f(x) нь монотон өсөх функц байг. Өөрөөр хэлбэл, дурын x 1 > x 2-ийн хувьд f(x 1) > f(x 2) байна.
Хэрэв x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Дараа нь энэ функцийг тэгш бус байдлын хоёр талд хэрэглэж болох бөгөөд энэ нь тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүй.
Хэрэв x 1 ≤ x 2 бол f(x 1) ≤ f(x 2) .
Хэрэв x 1 ≥ x 2 бол f(x 1) ≥ f(x 2) .

Хэрэв x 1 > x 2 бол f(x 1) > f(x 2) болно.< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Хэрэв x 1< x 2 , то f(x 1) >10) f(x) нь монотон буурах функц байя, өөрөөр хэлбэл дурын x 1 > x 2, f(x 1) -ийн хувьд.
f(x 2) .
Хэрэв x 1 ≤ x 2 бол f(x 1) ≥ f(x 2) .
Хэрэв x 1 > x 2 бол f(x 1)< f(x 2) .

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргууд

Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Хэрэв тэгш бус байдал нь x гэж тэмдэглэсэн нэг хувьсагчийг агуулж байвал интервалын аргыг хэрэглэх боломжтой бөгөөд энэ нь дараах хэлбэртэй байна.
f(x) > 0
Энд f(x) - тасралтгүй функц, байх эцсийн тоотаслах цэгүүд. Тэгш бус байдлын тэмдэг нь юу ч байж болно: >, ≥,<, ≤ .

Интервалын арга нь дараах байдалтай байна.

1) f(x) функцийн тодорхойлолтын мужийг олоод тооны тэнхлэгт интервалаар тэмдэглэ.

2) f(x) функцийн тасархайн цэгүүдийг ол.

Жишээлбэл, хэрэв энэ нь бутархай бол хуваагч тэг болох цэгүүдийг олно. Бид эдгээр цэгүүдийг тооны тэнхлэг дээр тэмдэглэдэг.
3) Тэгшитгэлийг шийд
f(x) = 0 .

Бид энэ тэгшитгэлийн үндсийг тооны тэнхлэг дээр тэмдэглэнэ.

4) Үүний үр дүнд тооны тэнхлэг нь цэгүүдээр интервалд (сегмент) хуваагдана. Тодорхойлолтын мужид багтсан интервал бүрийн дотор бид дурын цэгийг сонгож, энэ үед функцийн утгыг тооцоолно. Хэрэв энэ утга тэгээс их байвал сегмент (интервал) дээр "+" тэмдэг тавина.
Хэрэв энэ утга тэгээс бага бол сегмент (интервал) дээр "-" тэмдэг тавина.
5) Хэрэв тэгш бус байдал нь f(x) > 0 хэлбэртэй байвал “+” тэмдэг бүхий интервалуудыг сонгоно.< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Тэгш бус байдлын шийдэл нь тэдгээрийн хил хязгаарыг оруулаагүй эдгээр интервалуудыг нэгтгэх явдал юм.

Хэрэв тэгш бус байдал нь f(x) ≥ 0 хэлбэртэй байвал шийдэлд f(x) = 0 байх цэгүүдийг нэмнэ.

Өөрөөр хэлбэл, зарим интервал нь хаалттай хил хязгаартай байж болно (хил нь интервалд хамаарна). нөгөө хэсэг нь нээлттэй хил хязгаартай байж болно (хязгаар нь интервалд хамаарахгүй). Үүний нэгэн адил, хэрэв тэгш бус байдал нь дараах хэлбэртэй байвал f(x)Хэрэв тэгш бус байдал нь f(x) ≤ 0 хэлбэртэй байвал шийдэлд f(x) = 0 байх цэгүүдийг нэмнэ.

Тэдний шинж чанарыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
Энэ аргыг аливаа нарийн төвөгтэй байдлын тэгш бус байдалд хэрэглэнэ. Энэ нь тэгш бус байдлыг нэмэгдүүлэхийн тулд шинж чанаруудыг (дээр үзүүлсэн) ашиглахаас бүрдэнэ

энгийн үзэмж мөн шийдлийг олж аваарай. Энэ нь зөвхөн нэг бус, тэгш бус байдлын тогтолцоог бий болгох бүрэн боломжтой юм. Энэ бол бүх нийтийн арга юм. Энэ нь аливаа тэгш бус байдалд хамаарна.Ашигласан уран зохиол: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.Математикийн хувьд

хязгааргүй олонлог функцууд. Мөн тус бүр өөрийн гэсэн шинж чанартай байдаг.) ​​Танд хэрэгтэй олон төрлийн функцуудтай ажиллахганц бие хандлага. Үгүй бол энэ ямар математик вэ?) Тэгээд ийм хандлага байдаг!Аливаа функцтэй ажиллахдаа бид үүнийг танилцуулдаг стандарт багцасуултууд. Тэгээд эхнийх нь, хамгийн их хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэаргумент, функцын тодорхойлолтын талбар гэх мэт.

Функцийн домэйн гэж юу вэ? Хэрхэн олох вэ? Эдгээр асуултууд ихэвчлэн төвөгтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг ... Хэдийгээр үнэн хэрэгтээ бүх зүйл туйлын энгийн байдаг. Та энэ хуудсыг уншаад өөрөө харж болно. Явцгаая?)

За, би юу хэлэх вэ ... Зүгээр л хүндэл.) Тийм ээ! Функцийн байгалийн домэйн (үүнийг энд авч үзэх болно) таарч байна-тай ODZ илэрхийлэлфункцэд багтсан. Үүний дагуу тэдгээрийг ижил дүрмийн дагуу хайдаг.

Одоо бүрэн байгалийн бус тодорхойлолтыг харцгаая.)

Функцийн хамрах хүрээний нэмэлт хязгаарлалтууд.

Энд бид даалгавраар тавигдсан хязгаарлалтуудын талаар ярих болно. Тэдгээр. даалгавар нь заримыг агуулдаг нэмэлт нөхцөл, тэдгээрийг хөрвүүлэгчийн зохион бүтээсэн. Эсвэл хязгаарлалтууд нь функцийг тодорхойлох аргаас л гардаг.

Даалгаврын хязгаарлалтын хувьд бүх зүйл энгийн байдаг. Ихэвчлэн юу ч хайх шаардлагагүй, бүх зүйл даалгаварт аль хэдийн хэлсэн байдаг. Даалгаврын зохиогчийн бичсэн хязгаарлалтууд цуцлагдахгүй гэдгийг сануулъя Математикийн үндсэн хязгаарлалтууд.Та зөвхөн даалгаврын нөхцлийг харгалзан үзэх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, энэ даалгавар:

Функцийн домайныг ол:

эерэг тоонуудын багц дээр.

Дээрх функцийг тодорхойлох байгалийн домэйныг бид олсон. Энэ бүс:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

IN аман аргаФункцийг зааж өгөхдөө нөхцөлийг анхааралтай уншиж, тэндээс X дээр хязгаарлалтыг олох хэрэгтэй. Заримдаа нүд томьёо хайдаг ч гэсэн үгс нь ухамсарын хажуугаар исгэрдэг тийм ээ...) Өмнөх хичээлийн жишээ:

Функц нь нөхцөлөөр тодорхойлогддог: байгалийн аргумент x-ийн утга бүр нь x-ийн утгыг бүрдүүлдэг цифрүүдийн нийлбэртэй холбоотой байдаг.

Энд бид ярьж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй зөвхөнО байгалийн үнэт зүйлс X. Дараа нь D(f)нэн даруй бүртгэгдсэн:

D(f): x ∈ Н

Таны харж байгаагаар функцийн хамрах хүрээ тийм биш юм нарийн төвөгтэй ойлголт. Энэ мужийг олох нь функцийг судлах, тэгш бус байдлын системийг бичих, энэ системийг шийдэхэд хүргэдэг. Мэдээжийн хэрэг, энгийн, төвөгтэй бүх төрлийн системүүд байдаг. Гэхдээ...

Би нээх болно бяцхан нууц. Заримдаа тодорхойлолтын домэйныг олох шаардлагатай функц нь зүгээр л айдас төрүүлдэг. Би цонхийж, уйлмаар байна.) Гэхдээ тэгш бус байдлын системийг бичэнгүүтээ... Тэгээд гэнэт систем нь энгийн зүйл болж хувирав! Түүгээр ч барахгүй функц нь илүү аймшигтай байх тусам систем нь илүү хялбар байдаг ...

Ёс суртахуун: нүд нь айдаг, толгой нь шийддэг!)

Эрдэм шинжилгээний удирдагч:

1. Оршил 3

2. Түүхэн ноорог 4

3. 5-6-р тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед ОДЗ-ийн “газар”

4. ОДЗ 7-ын онцлог, аюул

5. ОДЗ – 8-9 гэсэн шийдэл бий

6. ODZ олох нь нэмэлт ажил юм. 10-14 шилжилтийн тэнцэл

7. Улсын нэгдсэн шалгалтанд ODZ 15-16

8. Дүгнэлт 17

9. Уран зохиол 18

1. Танилцуулга

Асуудал: ODZ-ийг олох шаардлагатай тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг системтэй танилцуулах алгебрийн хичээлд байр сууриа олж чадаагүй тул үе тэнгийнхэн бид хоёр ийм жишээг шийдвэрлэхдээ алдаа гаргадаг, тэдгээрийг шийдвэрлэхэд маш их цаг зарцуулдаг, мартдаг. ODZ-ийн тухай.

Зорилтот:нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийж, DL-ийг харгалзан үзэх шаардлагатай жишээн дээр логик зөв дүгнэлт хийх чадвартай байх.

Даалгаварууд:

1. Онолын материалыг судлах;

2. Олон тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдэх: a) бутархай-рациональ; б) үндэслэлгүй; в) логарифм; г) урвуу тригонометрийн функцуудыг агуулсан;

3. Судалсан материалыг стандартаас ялгаатай нөхцөлд ашиглах;

4. "Зөвшөөрөгдөх үнэт зүйлсийн талбар: онол ба практик" сэдвээр бүтээл хийх.

Төсөл дээр ажиллах:Би мэддэг функцүүдээ давтаж төсөл дээр ажиллаж эхэлсэн. Тэдний олонхын хамрах хүрээ хязгаарлагдмал.

ODZ тохиолддог:

1. Шийдвэр гаргахдаа бутархай рационал тэгшитгэлба тэгш бус байдал

2. Шийдвэр гаргахдаа иррационал тэгшитгэлба тэгш бус байдал

3. Шийдвэр гаргахдаа логарифм тэгшитгэлба тэгш бус байдал

4. Урвуу тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед

-аас олон жишээг шийдсэн янз бүрийн эх сурвалж(улсын шалгалтын нэгдсэн гарын авлага, сурах бичиг, лавлах ном) -ын дагуу жишээнүүдийн шийдлийг системчилсэн дараах зарчмууд:

· Та жишээг шийдэж, ODZ-ийг анхаарч үзэх боломжтой (хамгийн түгээмэл арга)

· ОДЗ-ыг харгалзахгүйгээр жишээг шийдвэрлэх боломжтой

· ОДЗ-ыг тооцож байж зөв шийдвэрт хүрэх боломжтой.

Ажилд ашигласан аргууд: 1) дүн шинжилгээ хийх; 2) статистик дүн шинжилгээ; 3) хасалт; 4) ангилал; 5) урьдчилан таамаглах.

Шинжилгээг судалсан Улсын нэгдсэн шалгалтын дүнөнгөрсөн жилүүдэд. DL-ийг анхаарч үзэх шаардлагатай жишээнүүдэд олон алдаа гарсан. Үүнийг дахин онцолж байна хамааралминий сэдэв.

2. Түүхэн тойм зураг

Математикийн бусад ухагдахуунуудын нэгэн адил функцийн тухай ойлголт шууд хөгжөөгүй, хөгжлийн урт замыг туулсан. П.Фермагийн “Хавтгай ба хатуу газруудын танилцуулга, судалгаа” (1636, 1679 онд хэвлэгдсэн) бүтээлд: “Хэзээ ч эцсийн тэгшитгэлҮл мэдэгдэх хоёр хэмжигдэхүүн байна, газар байна” гэв. Үндсэндээ бид функциональ хамаарал ба түүний тухай ярьж байна график дүрслэл(Ферматаар газар гэдэг нь шугам гэсэн үг). Р.Декартын "Геометр" (1637)-д шулуунуудыг тэгшитгэлийнх нь дагуу судалсан нь мөн энэ хоёрын харилцан хамаарлыг тодорхой ойлгож байгааг харуулж байна. хувьсагч. I. Барроу ("Геометрийн лекцүүд", 1670) онд геометрийн хэлбэрялгах, нэгтгэх үйлдлүүдийн харилцан урвуу шинж чанарыг тогтоосон (мэдээжийн хэрэг, эдгээр нэр томъёог өөрсдөө ашиглахгүйгээр). Энэ нь функцийн тухай ойлголтыг бүрэн эзэмшсэнийг аль хэдийн харуулж байна. Геометрийн хувьд ба механик хэлбэрБид энэ ойлголтыг И.Ньютоноос бас олж хардаг. Гэсэн хэдий ч "функц" гэсэн нэр томъёо нь зөвхөн 1692 онд Г.Лейбницийн хамт гарч ирсэн бөгөөд үүнээс гадна орчин үеийн ойлголтод тийм ч их биш юм. Г.Лейбниц муруйтай холбоотой янз бүрийн сегментүүдийг (жишээлбэл, түүний цэгүүдийн абсцисса) функц гэж нэрлэдэг. Л'Хопитал (1696)-ийн "Муруйн шугамын мэдлэгийн хувьд хязгааргүй жижиг тоонуудын шинжилгээ" гэсэн анхны хэвлэмэл хичээлд "функц" гэсэн нэр томъёог ашиглаагүй.

Орчин үеийнхтэй ойролцоо утгаараа функцийн анхны тодорхойлолтыг И.Бернулли (1718)-д бичсэн байдаг: "Функц нь хувьсагч ба тогтмолоос бүрдэх хэмжигдэхүүн юм." Энэхүү бүрэн тодорхой бус тодорхойлолт нь функцийг тодорхойлох санаан дээр суурилдаг аналитик томъёо. Үүнтэй ижил санаа Л.Эйлерийн "Хязгааргүй байдлын шинжилгээний оршил" (1748) номондоо өгсөн тодорхойлолтод харагдана: "Функц хувьсах хэмжигдэхүүнгэдэг нь энэ хувьсах хэмжигдэхүүн болон тооноос ямар нэгэн байдлаар бүрдсэн аналитик илэрхийлэл юм тогтмол хэмжигдэхүүнүүд" Гэсэн хэдий ч Л.Эйлер түүнд харь байхаа больсон орчин үеийн ойлголтфункцийн тухай ойлголтыг түүний аналитик илэрхийлэлтэй холбодоггүй функц. Түүний " Дифференциал тооцоо” (1755) хэлэхдээ: "Тодорхой хэмжигдэхүүнүүд нь бусдаас хамааралтай байх үед сүүлийнх нь өөрчлөгдөхөд өөрөө өөрчлөгддөг бол эхнийх нь хоёр дахь функц гэж нэрлэгддэг."

ХАМТ XIX эхэн үеОлон зууны туршид тэд функцийн тухай ойлголтыг түүний аналитик дүрслэлийг дурдаагүй байхад илүү олон удаа тодорхойлдог. "Дифференциал ба интеграл тооцоо"(1797-1802) С.Лакруа хэлэхдээ: "Утга нь нэг юм уу өөр олон хэмжигдэхүүнээс хамаарах хэмжигдэхүүн бүрийг эдгээрийн сүүлчийн функц гэж нэрлэдэг." ДАХЬ " Аналитик онолдулаан" Ж. Фурье (1822) гэсэн өгүүлбэр байдаг: "Функц f(x)бүрэн дур зоргоороо функцийг, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн утгуудын дарааллыг илэрхийлдэг ерөнхий хуульмөн бүх утгуудтай тохирч байна x 0 ба зарим утгын хооронд байна x" Н.И.Лобачевскийн тодорхойлолт нь орчин үеийнхтэй ойролцоо байдаг: “... Ерөнхий ойлголтфункц нь функц нь -аас байхыг шаарддаг xтус бүрт өгөгдсөн тоог нэрлэ xба хамт xаажмаар өөрчлөгддөг. Функцийн утгыг эсвэл өгч болно аналитик илэрхийлэл, эсвэл бүх тоог туршиж, тэдгээрийн аль нэгийг нь сонгох боломжийг олгодог нөхцөл, эсвэл эцэст нь хамаарал байж болох бөгөөд тодорхойгүй хэвээр үлдэж болно." Тэнд бас бага зэрэг доор өгүүлсэн байдаг: "Онолын өргөн хүрээний үзэл нь зөвхөн бие биетэйгээ холбоотой тоонуудыг хамтад нь өгсөн мэт ойлгодог гэсэн утгаараа хамааралтай байхыг зөвшөөрдөг." Тиймээс, орчин үеийн тодорхойлолтфункцууд, лавлагаагүй аналитик даалгавар, ихэвчлэн P. Dirichlet (1837)-д хамаатай, түүний өмнө олон удаа санал болгосон.

y функцийн тодорхойлолтын домэйн (зөвшөөрөгдөх утгууд) нь энэ функцийг тодорхойлсон бие даасан x хувьсагчийн утгуудын багц, өөрөөр хэлбэл бие даасан хувьсагчийн өөрчлөлтийн муж (аргумент) юм.

3. Тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед зөвшөөрөгдөх утгын хүрээний "байршил"

1. Бутархай рационал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үедхуваагч нь тэг байх ёсгүй.

2. Иррационал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.

2.1..gif" өргөн "212" өндөр "51"> .

IN энэ тохиолдолд ODZ-ийг олох шаардлагагүй: эхний тэгшитгэлээс харахад х-ийн олж авсан утгууд дараах тэгш бус байдлыг хангаж байна: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" өргөн = "107" height="27 src=" > нь систем:

Тэд тэгшитгэлд адилхан ордог тул тэгш бус байдлын оронд тэгш бус байдлыг оруулж болно https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" өргөн "239" өндөр "51">

3. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.

3.1. Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх схем

Гэхдээ ОДЗ-ийн зөвхөн нэг нөхцөлийг шалгахад хангалттай.

3.2..gif" өргөн="115" өндөр="48 src=">.gif" өргөн="115" өндөр="48 src=">

4. Тригонометрийн тэгшитгэлтөрлийнсистемтэй тэнцүү байна (тэгш бус байдлын оронд та https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> системд тэгш бус байдлыг оруулж болно. тэгшитгэл рүү

4. Зөвшөөрөгдөх утгын хүрээний онцлог, аюул

Математикийн хичээл дээр бид жишээ бүрээс DL-ийг олохыг шаарддаг. Үүний зэрэгцээ математикийн мөн чанарЭнэ тохиолдолд ODZ-ийг олох нь заавал байх албагүй, ихэвчлэн шаардлагагүй, заримдаа боломжгүй байдаг - энэ бүхэн жишээний шийдэлд гэмтэл учруулахгүй. Нөгөөтэйгүүр, жишээг шийдсэний дараа сургуулийн сурагчид DL-ийг анхаарч үзэхээ мартаж, эцсийн хариулт болгон бичиж, зөвхөн зарим нөхцлийг харгалзан үзэх тохиолдол гардаг. Энэ нөхцөл байдал нь мэдэгдэж байгаа ч "дайн" жил бүр үргэлжилж, удаан үргэлжлэх бололтой.

Жишээлбэл, дараахь тэгш бус байдлыг авч үзье.

Энд ODZ-ийг хайж, тэгш бус байдлыг шийддэг. Гэсэн хэдий ч энэ тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ сургуулийн сурагчид заримдаа DL хайхгүйгээр хийх боломжтой гэж үздэг, бүр тодруулбал нөхцөлгүйгээр хийх боломжтой гэж үздэг.

Үнэн хэрэгтээ зөв хариултыг авахын тулд тэгш бус байдлыг харгалзан үзэх шаардлагатай ба .

Гэхдээ жишээ нь тэгшитгэлийн шийдэл: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

Энэ нь ODZ-тай ажиллахтай тэнцэх юм. Гэсэн хэдий ч, энэ жишээн дээр ийм ажил шаардлагагүй юм - эдгээр тэгш бус байдлын зөвхөн хоёр, аль ч хоёрын биелэлтийг шалгахад хангалттай.

Аливаа тэгшитгэлийг (тэгш бус байдал) хэлбэр болгон бууруулж болохыг сануулъя. ODZ нь зүгээр л зүүн талд байгаа функцийг тодорхойлох домэйн юм. Энэ талбарыг хянах ёстой гэдэг нь өгөгдсөн функцийн тодорхойлолтын домэйноос авсан тоо, улмаар ODZ-ийн язгуурын тодорхойлолтоос үүдэлтэй. Энд инээдтэй жишээЭнэ сэдвээр..gif" width="20" height="21 src="> нь эерэг тоонуудын багцыг тодорхойлох домэйнтэй (энэ нь мэдээжийн хэрэг функцийг авч үзэх тохиролцоо юм, гэхдээ боломжийн), тэгээд -1 нь үндэс биш юм.

5. Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ - шийдэл бий

Эцэст нь, олон жишээн дээр ODZ-ийг олох нь танд хариулт авах боломжийг олгодог том бүтэцгүй,эсвэл бүр амаар.

1. OD3 нь хоосон олонлог бөгөөд анхны жишээнд шийдэл байхгүй гэсэн үг.

1) 2) 3)

2. БОДЗ нэг буюу хэд хэдэн тоо олддог бөгөөд энгийн орлуулалт нь үндсийг хурдан тодорхойлдог.

1) , x=3

2)Энд ODZ-д зөвхөн 1-ийн тоо байгаа бөгөөд орлуулсны дараа энэ нь үндэс биш гэдэг нь тодорхой байна.

3) ODZ-д хоёр тоо байдаг: 2 ба 3, хоёулаа тохиромжтой.

4) > ODZ-д 0 ба 1 гэсэн хоёр тоо байдаг бөгөөд зөвхөн 1 нь тохиромжтой.

ODZ-ийг илэрхийлэлд дүн шинжилгээ хийхтэй хослуулан үр дүнтэй ашиглаж болно.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только эерэг тоонууд, тэгэхээр бид x=2 үлдээнэ. Дараа нь бид 2-ыг тэгш бус байдалд орлуулна.

6) ОДЗ-аас энэ нь дараах байдалтай байна, Бид хаана байна ..gif" width="143" height="24"> ODZ-аас бид байна: . Гэхдээ дараа нь болон. Түүнээс хойш ямар ч шийдэл байхгүй.

ODZ-ээс бид: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">> гэсэн утгатай. Сүүлийн тэгш бус байдлыг шийдэж бид x-г авна.<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ОДЗ: . Түүнээс хойш

Нөгөө талаас, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ОДЗ:. [-1] интервал дээрх тэгшитгэлийг авч үзье; 0).

Энэ нь дараах тэгш бус байдлыг хангадаг https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24" src="> ба ямар ч шийдэл байхгүй. Функц болон https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ODZ: x>2..gif" width="233" өндөр ="45 src="> ODZ-ийг олцгооё:

Бүхэл тооны шийдэл нь зөвхөн x=3 ба x=5 үед л боломжтой. Шалгаснаар бид x=3 үндэс тохирохгүй байгаа нь хариулт нь x=5 гэсэн үг юм.

6. Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээг олох нь нэмэлт ажил юм. Шилжилтийн эквивалент.

Та DZ-г олоогүй ч нөхцөл байдал тодорхой байгаа жишээг өгч болно.

1.

Тэгш байх боломжгүй, учир нь жижиг илэрхийллээс том илэрхийллийг хасах үед үр дүн нь сөрөг тоо байх ёстой.

2. .

Хоёр сөрөг бус функцийн нийлбэр сөрөг байж болохгүй.

Би ODZ-ийг олоход хэцүү, заримдаа зүгээр л боломжгүй байдаг жишээг өгөх болно.

Эцэст нь хэлэхэд, ODZ-ийн хайлт нь ихэвчлэн нэмэлт ажил бөгөөд үүнийг хийхгүйгээр хийх боломжтой бөгөөд ингэснээр юу болж байгааг ойлгох болно. Энд маш олон жишээ өгч болох тул би зөвхөн хамгийн энгийн жишээг сонгох болно. Энэ тохиолдолд шийдвэрлэх гол арга бол нэг тэгшитгэлээс (тэгш бус байдал, систем) нөгөөд шилжих үед ижил төстэй хувиргалт юм.

1.. ODZ шаардлагагүй, учир нь x2 = 1 гэсэн x утгуудыг олж мэдээд бид x = 0-ийг авч чадахгүй.

2. . ODZ шаардлагагүй, учир нь бид радикал илэрхийлэл нь эерэг тоотой тэнцүү байх үед олдог.

3. . Өмнөх жишээн дээрхтэй ижил шалтгаанаар ODZ шаардлагагүй.

4.

ODZ шаардлагагүй, учир нь радикал илэрхийлэл нь зарим функцийн квадраттай тэнцүү тул сөрөг байж болохгүй.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> Шийдвэрлэхийн тулд радикал илэрхийлэлд ганцхан хязгаарлалт хийхэд хангалттай. Үнэн хэрэгтээ бичсэн холимог системээс харахад нөгөө радикал илэрхийлэл нь сөрөг биш байна.

8. Өмнөх жишээн дээрхтэй ижил шалтгаанаар DZ шаардлагагүй.

9. Гурав дахь нь эерэг байхын тулд логарифмын тэмдгийн доорх гурван илэрхийллийн хоёр нь эерэг байх нь хангалттай тул ODZ шаардлагагүй.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ нь өмнөх жишээн дээрхтэй ижил шалтгаанаар шаардлагагүй.

Гэсэн хэдий ч эквивалент хувиргалтын аргыг ашиглан шийдвэрлэхдээ ODZ (болон функцүүдийн шинж чанарууд) -ын талаархи мэдлэг нь тусалдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Зарим жишээг энд оруулав.

1. . OD3 нь баруун талын илэрхийлэл эерэг байна гэсэн үг бөгөөд үүнтэй дүйцэх тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр бичих боломжтой https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" өргөн ="112" height="27"> ODZ: Гэхдээ энэ тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ, энэ нь тохиолдлыг авч үзэх шаардлагагүй юм. баруун тал 0-ээс бага.

3. . ODZ-аас үзэхэд https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Шилжилт ерөнхийдөө иймэрхүү харагдаж байна. :

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" өргөн "303" өндөр "24">

Хоёр боломжит тохиолдол байдаг: 0 >1.

Энэ нь анхны тэгш бус байдал нь дараахь тэгш бус байдлын системтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Эхний системд шийдэл байхгүй, харин хоёр дахь системээс бид дараахийг олж авна: x<-1 – решение неравенства.

Тэнцвэртэй байдлын нөхцлийг ойлгохын тулд зарим нарийн ширийн зүйлийг мэддэг байх шаардлагатай. Жишээлбэл, дараах тэгшитгэлүүд яагаад тэнцүү байна вэ?

Эсвэл

Эцэст нь, магадгүй хамгийн чухал нь. Баримт нь тэгшитгэлийн зарим өөрчлөлтийг өөрөө хийсэн боловч зөвхөн аль нэг хэсэгт хувиргахад ашиглагдаагүй тохиолдолд эквивалент нь хариултын зөвийг баталгаажуулдаг. Товчлол, аль нэг хэсэгт өөр томьёог ашиглах нь эквивалент теоремуудад хамаарахгүй. Би энэ төрлийн зарим жишээг аль хэдийн өгсөн. Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

1. Энэ шийдвэр нь зүй ёсны хэрэг. Зүүн талд үл хөдлөх хөрөнгийн хажууд логарифм функц..gif" width="111" height="48"> гэсэн илэрхийлэл рүү шилжье

Энэ системийг шийдсэний дараа бид (-2 ба 2) үр дүнг олж авдаг бөгөөд энэ нь хариулт биш юм, учир нь -2 тоо нь ODZ-д ороогүй болно. Тэгэхээр бид ODS суулгах шаардлагатай юу? Мэдээж үгүй. Гэхдээ бид шийдэлд логарифмын функцийн тодорхой шинж чанарыг ашигласан тул түүнийг хангах нөхцөлийг хангах үүрэгтэй. Ийм нөхцөл нь логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийллийн эерэг байдал юм..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> тоог ийм байдлаар орлуулах боломжтой. . Хэн ийм уйтгартай тооцоо хийхийг хүсч байна вэ?.gif" width="12" height="23 src="> нөхцөл нэмж, зөвхөн https://pandia.ru/text/78/083 тоо байгааг шууд харж болно. / энэ нөхцөлийг хангаж байгаа нь images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) гэдгийг шалгалт өгсөн хүмүүсийн 52% нь харуулсан. Ийм бага үзүүлэлттэй байгаагийн нэг шалтгаан нь олон төгсөгчид тэгшитгэлийг квадрат болгосны дараа олж авсан үндсийг сонгоогүй явдал юм.

3) Жишээлбэл, C1 асуудлын аль нэгний шийдлийг авч үзье: "Функцийн графикийн цэгүүд байх x-ийн бүх утгыг ол. функцийн графикийн харгалзах цэгүүдийн дээр хэвт ". Даалгаврыг шийдвэрлэх хүртэл буцна бутархай тэгш бус байдалагуулсан логарифм илэрхийлэл. Ийм тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудыг бид мэднэ. Тэдгээрийн хамгийн түгээмэл нь интервалын арга юм. Гэтэл үүнийг ашиглахдаа шалгуулагчид янз бүрийн алдаа гаргадаг. Тэгш бус байдлыг жишээ болгон ашигладаг хамгийн нийтлэг алдаануудыг авч үзье.

X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. Дүгнэлт

Дүгнэж хэлэхэд тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх бүх нийтийн арга байхгүй гэж хэлж болно. Хэрэв та юу хийж байгаагаа ойлгохыг хүсч, механикаар ажиллахгүй байхыг хүсч байвал ямар шийдлийг сонгох ёстой вэ, ялангуяа ODZ-ийг хайх уу, үгүй ​​​​юу гэж үү? Миний олж авсан туршлага энэ бэрхшээлийг шийдвэрлэхэд тусална гэж бодож байна. Би ODZ-г зөв ашиглаж сурснаар алдаа гаргахаа болино. Би үүнийг хийж чадах эсэхийг цаг хугацаа, эсвэл улсын нэгдсэн шалгалт харуулах болно.

9. Уран зохиол

"Алгебр ба анализын эхлэл 10-11" асуудал, сурах бичиг, М.: "Просвещение", 2002. "Гарын авлага. анхан шатны математик" М.: “Наука”, 1966. “Математик” сонин 46 дугаар “Математик” сонин “Математик” сонин дугаар “Сургуулийн VII-VIII ангийн математикийн түүх”. М.: “Гэгээрэл”, 1982. гэх мэт “Опционуудын хамгийн бүрэн хувилбар бодит даалгаварУлсын нэгдсэн шалгалт: 2009/FIPI" - М.: "Astrel", 2009. гэх мэт "Улсын нэгдсэн шалгалт. Математик. Оюутан бэлтгэх бүх нийтийн материал/FIPI" - М.: "Тагнуулын төв", 2009. гэх мэт "Алгебр ба анализын эхлэл 10-11". М.: “Гэгээрэл”, 2007. , “Асуудал шийдвэрлэх семинар сургуулийн математик(алгебрийн семинар). М.: Боловсрол, 1976. “25000 математикийн хичээл”. М.: “Гэгээрэл”, 1993. “Математикийн олимпиадад бэлтгэх нь”. М.: “Шалгалт”, 2006. “МАТЕМАТИК” хүүхдэд зориулсан нэвтэрхий толь” 11-р боть, М.: Аванта +; 2002. сайтуудын материал www. *****, www. *****.