Олон асуудлыг шийдэхийн тулд практик асуудлуудхуримтлагдсан нөлөөллийн үр дүнд бий болсон нөхцөл байдлын цогцыг мэдэх шаардлагатай их хэмжээнийсанамсаргүй хүчин зүйлүүд тохиолдлын байдлаас бараг хамааралгүй байдаг. Эдгээр нөхцлийг хэд хэдэн теоремууд гэж нэрлэдэг нийтлэг нэрхууль их тоо, k-р туршилтын үр дүн амжилттай эсвэл бүтэлгүйтсэн эсэхээс хамаарч санамсаргүй хэмжигдэхүүн k нь 1 эсвэл 0-тэй тэнцүү байна. Тиймээс Sn нь харилцан хамааралгүй n санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр бөгөөд тус бүр нь p ба q магадлал бүхий 1 ба 0 утгыг авдаг.

Их тооны хуулийн хамгийн энгийн хэлбэр нь Бернуллигийн теорем бөгөөд хэрэв аливаа үйл явдлын магадлал бүх туршилтанд ижил байвал туршилтын тоо нэмэгдэх тусам үйл явдлын давтамж нь тухайн үйл явдлын магадлал болон санамсаргүй байхаа болино.

Пуассоны теоремцуврал үйл явдлын давтамж гэж заасан бие даасан туршилтуудмагадлалынхаа арифметик дундаж руу чиглэж, санамсаргүй байхаа болино.

Магадлалын онолын хязгаарын теоремууд, Мойвр-Лапласын теорем нь үйл явдлын давтамжийн тогтвортой байдлын мөн чанарыг тайлбарладаг. Энэ мөн чанар нь туршилтын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх (хэрэв үйл явдлын магадлал бүх туршилтанд ижил байвал) үйл явдлын тохиолдлын тоог хязгаарлах хуваарилалт нь хэвийн тархалттай байдагт оршино.

Төв хязгаарын теорем хэвийн тархалтын хуулийн өргөн тархалтыг тайлбарлав. Нэмэлтийн үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн үүсэх бүрд гэж теорем заасан их тооХязгаарлагдмал дисперстэй бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь бараг хэвийн хууль болж хувирдаг.

Ляпуновын теоремхэвийн тархалтын хуулийн өргөн тархалтыг тайлбарлаж, үүсэх механизмыг тайлбарлав. Тус теорем нь нийлбэрийн дисперстэй харьцуулахад дисперс нь бага, бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг олон тооны нэмсний үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн үүсэх бүрт энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль өөрчлөгддөг гэдгийг хэлэх боломжийг бидэнд олгодог. бараг хэвийн хууль болсон. Тэгээд тэрнээс хойш санамсаргүй хэмжигдэхүүнүргэлж үүсдэг хязгааргүй тоошалтгаанууд ба ихэнхдээ тэдгээрийн аль нь ч санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперстэй дүйцэхүйц дисперстэй байдаггүй тул практикт тохиолддог ихэнх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь ердийн тархалтын хуульд захирагддаг.

Олон тооны хуулийн чанарын болон тоон мэдэгдлүүд дээр үндэслэсэн болно Чебышевын тэгш бус байдал. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын математикийн хүлээлтээс хазайх нь тодорхой хэмжээнээс их байх магадлалын дээд хязгаарыг тодорхойлдог. өгсөн дугаар. Чебышевын тэгш бус байдал нь тархалт нь тодорхойгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнд тохиолдох үйл явдлын магадлалын тооцоог өгдөг нь гайхалтай юм. математикийн хүлээлтба тархалт.

Чебышевын тэгш бус байдал. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн х дисперстэй бол дурын x > 0-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн байна, энд М x ба Д x - x санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперс.

Бернуллигийн теорем. Бернуллигийн n туршилтын амжилтын тоог x n, хувь хүний ​​туршилтын амжилтын магадлалыг p гэж үзье. Дараа нь ямар ч s > 0 бол энэ нь үнэн юм.

Ляпуновын теорем. s 1, s 2, …, s n, …- хязгааргүй дараалалматематикийн хүлээлт m 1, m 2, …, m n, … болон дисперсүүд s 1 2, s 2 2, …, s n 2 … бүхий бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. гэж тэмдэглэе.

Дараа нь = Ф(б) - Ф(а) аль нэг нь бодит тоо a ба b, энд Ф(х) нь хэвийн тархалтын функц юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгье. Амжилтын тоо Sn нь туршилтын тоо n-ээс хамааралтай болохыг авч үзье. Туршилт бүрт Sn 1 эсвэл 0-ээр нэмэгддэг. Энэ мэдэгдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Их тооны хууль. (k) нь ижил тархалттай харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал байг. Хэрэв математикийн хүлээлт = M(k) байгаа бол n-ийн хувьд дурын > 0 байна

Өөрөөр хэлбэл дундаж S n /n нь математикийн хүлээлтээс дур мэдэн заасан утгаас бага зөрүүтэй байх магадлал нэг рүү чиглэдэг.

Төвийн хязгаарын теорем.(k) нь ижил тархалттай харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал байг. Тэд байдаг гэж бодъё. Sn = 1 +…+ n , Дараа нь дурын тогтмол хувьд

F () -- F () (1.3)

Энд F (x) -- хэвийн үйл ажиллагааБи тарааж байна. Энэ теоремыг Линлберг томъёолж, нотолсон. Ляпунов болон бусад зохиогчид үүнийг илүү хязгаарлагдмал нөхцөлд эрт нотолсон. Дээр томъёолсон теорем нь зөвхөн маш онцгой тохиолдол гэж төсөөлөх хэрэгтэй ерөнхий теорем, энэ нь эргээд бусад олон хязгаарын теоремуудтай нягт холбоотой. (1.3) нь зөрүү нь түүнээс их байх магадлалын тооцоог өгдөг тул (1.3) нь (1.2)-аас хамаагүй хүчтэй болохыг анхаарна уу. Нөгөөтэйгүүр k санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хязгаарлагдмал дисперсгүй байсан ч их тооны хууль (1.2) үнэн тул илүү их тоонуудад үйлчилнэ. ерөнхий тохиолдолтөвлөрсөн хязгаарын теоремоос (1.3). Сүүлийн хоёр теоремыг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ. a) Симметрик шидэлтийн бие даасан шидэлтийн дарааллыг авч үзье. k-р шидэлтийн үед авсан онооны тоог k гэж үзье. Дараа нь

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3.5) 2 =35/12 ба S n /n

нь n шидэлтийн үр дүнд авсан онооны дундаж тоо юм.

Их тооны хуулинд n-ийн хувьд энэ дундаж нь 3.5-тай ойролцоо байх нь үнэмшилтэй гэж заасан байдаг. Төвийн хязгаарын теорем нь |Sn -- 3.5n | байх магадлалыг заасан< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

б) Дээж авах. Үүнийг дотор гэж үзье хүн ам,

N гэр бүлээс бүрдэх Nk гэр бүл тус бүрдээ яг k хүүхэдтэй

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Хэрэв гэр бүлийг санамсаргүй байдлаар сонгосон бол түүний доторх хүүхдийн тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд p = N/N магадлал бүхий утгыг авна. Ар араас нь сонгохдоо n хэмжээтэй түүврийг n бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний цуглуулга эсвэл бүгд ижил тархалттай "ажиглалт" 1, ..., n гэж харж болно; S n /n нь түүврийн дундаж юм. Их тооны хуулинд хангалттай их хэмжээний хувьд гэж заасан байдаг санамсаргүй түүвэрдундаж нь хүн амын дундажтай ойролцоо байх магадлалтай. Төвлөрсөн хязгаарын теорем нь эдгээр утгуудын хоорондох зөрүүний хэмжээг тооцоолох, найдвартай тооцоолоход шаардагдах түүврийн хэмжээг тодорхойлох боломжийг олгодог. Практикт, мөн ихэвчлэн үл мэдэгдэх; Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд урьдчилсан тооцоог олж авахад хялбар байдаг бөгөөд үүнийг үргэлж найдвартай хил хязгаарт багтааж болно. Хэрэв бид түүврийн дундаж S n / n нь үл мэдэгдэх популяцийн дунджаас 1/10-аас бага зөрүүтэй байх магадлалыг 0.99 ба түүнээс дээш байлгахыг хүсвэл түүврийн хэмжээг авах ёстой.

Ф(x) - Ф(-- x) = 0.99 тэгшитгэлийн х язгуур нь x = 2.57 ...-тэй тэнцүү тул n нь 2.57 буюу n > 660 байх ёстой. Нарийвчилсан урьдчилсан тооцоолол нь шаардлагатай түүврийн хэмжээг олох боломжийг олгодог.

в) Пуассоны тархалт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн k нь Пуассон тархалттай (p(k;)) байна гэж бодъё. Тэгвэл Sn нь дундаж ба дисперс нь n-тэй тэнцүү Пуассон тархалттай байна.

n-ийн оронд бичснээр бид n-ийн хувьд гэж дүгнэж байна

Нийлбэрийг 0-ээс бүх k-д гүйцэтгэнэ. Ph-la (1.5) нь дур зоргоороо байх үед бас хамаарна.

Курсын ажил

сэдвээр: "Их тооны хуулиуд"

Ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд

Олон тооны практик асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд олон тооны санамсаргүй хүчин зүйлсийн хамтарсан нөлөөллийн үр дүн нь санамсаргүй байдлаас бараг хамааралгүй байх нөхцөл байдлын багцыг мэдэх шаардлагатай. k-р туршилтын үр дүн амжилттай эсвэл бүтэлгүйтсэн эсэхээс хамаарч санамсаргүй хэмжигдэхүүн k нь 1 эсвэл 0-тэй тэнцүү байх эдгээр нөхцлүүдийг олон тооны теоремоор дүрсэлсэн байдаг. Тиймээс Sn нь харилцан хамааралгүй n санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр бөгөөд тус бүр нь p ба q магадлал бүхий 1 ба 0 утгыг авдаг.

Их тооны хуулийн хамгийн энгийн хэлбэр нь Бернуллигийн теорем бөгөөд хэрэв аливаа үйл явдлын магадлал бүх туршилтанд ижил байвал туршилтын тоо нэмэгдэх тусам үйл явдлын давтамж нь тухайн үйл явдлын магадлал болон санамсаргүй байхаа болино.

Пуассоны теорем нь хэд хэдэн бие даасан туршилтын явцад үйл явдлын давтамж нь түүний магадлалын арифметик дундаж руу чиглэж, санамсаргүй байхаа болино гэж заасан.

Магадлалын онолын хязгаарын теоремууд, Мойвр-Лапласын теорем нь үйл явдлын давтамжийн тогтвортой байдлын мөн чанарыг тайлбарладаг. Энэ мөн чанар нь туршилтын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх (хэрэв үйл явдлын магадлал бүх туршилтанд ижил байвал) үйл явдлын тохиолдлын тоог хязгаарлах хуваарилалт нь хэвийн тархалттай байдагт оршино.

Төвлөрсөн хязгаарын теорем нь хэвийн тархалтын хуулийн өргөн тархалтыг тайлбарладаг. Хязгаарлагдмал дисперстэй олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг нэмсний үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн үүсэх бүрд энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль бараг хэвийн хууль болж хувирдаг гэж теорем заасан байдаг.

Ляпуновын теорем нь хэвийн тархалтын хуулийн өргөн тархалтыг тайлбарлаж, үүсэх механизмыг тайлбарлав. Тус теорем нь нийлбэрийн дисперстэй харьцуулахад дисперс нь бага, бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг олон тооны нэмсний үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн үүсэх бүрт энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль өөрчлөгддөг гэдгийг хэлэх боломжийг бидэнд олгодог. бараг хэвийн хууль болсон. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь үргэлж хязгааргүй олон шалтгаанаар үүсгэгддэг бөгөөд ихэнхдээ тэдгээрийн аль нь ч санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперстэй дүйцэхүйц тархалтгүй байдаг тул практикт тохиолддог ихэнх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь ердийн тархалтын хуульд захирагддаг.

Олон тооны хуулийн чанарын болон тоон мэдэгдлүүд дээр үндэслэсэн болно Чебышевын тэгш бус байдал. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын математикийн хүлээлтээс хазайх нь тодорхой заасан тооноос их байх магадлалын дээд хязгаарыг тодорхойлдог. Чебышевын тэгш бус байдал нь тархалт нь тодорхойгүй, зөвхөн математикийн хүлээлт ба дисперсийг мэддэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд үйл явдлын магадлалын тооцоог өгдөг нь гайхалтай юм.

Чебышевын тэгш бус байдал. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн х дисперстэй бол дурын x > 0-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн байна, энд М x ба Д x - x санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперс.

Бернуллигийн теорем. Бернуллигийн n туршилтын амжилтын тоог x n, хувь хүний ​​туршилтын амжилтын магадлалыг p гэж үзье. Дараа нь дурын s > 0, .

Ляпуновын теорем. s 1 , s 2 , …, s n , … математикийн хүлээлт m 1 , m 2 , …, m n , … ба s 1 2 , s 2 2 , …, … sn дисперсүүдтэй бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний хязгааргүй дараалал байцгаая. , , , -г тэмдэглэе.

Дараа нь = Ф(b) - Ф(a) a ба b бодит тоонуудын хувьд Ф(х) нь хэвийн тархалтын функц юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгье. Амжилтын тоо Sn нь туршилтын тоо n-ээс хамааралтай болохыг авч үзье. Туршилт бүрт Sn 1 эсвэл 0-ээр нэмэгддэг. Энэ мэдэгдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Их тооны хууль. (k) нь ижил тархалттай харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал байг. Хэрэв математикийн хүлээлт = M(k) байгаа бол n-ийн хувьд дурын > 0 байна

Өөрөөр хэлбэл, дундаж S n /n нь математикийн хүлээлтээс дур зоргоороо өгөгдсөн утгаас бага зөрүүтэй байх магадлал нэг рүү чиглэдэг.

Төвийн хязгаарын теорем. (k) нь ижил тархалттай харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал байг. Тэд байдаг гэж бодъё. Sn = 1 +…+ n байг, Дараа нь ямар ч тогтмол

F () - F () (1.3)

Энд Ф(х) нь хэвийн тархалтын функц юм. Энэ теоремыг Линлберг томъёолж, нотолсон. Ляпунов болон бусад зохиогчид үүнийг илүү хязгаарлагдмал нөхцөлд эрт нотолсон. Дээр томъёолсон теорем нь илүү ерөнхий теоремын маш онцгой тохиолдол бөгөөд энэ нь эргээд бусад олон хязгаарын теоремуудтай нягт холбоотой гэж төсөөлөх шаардлагатай. (1.3) нь зөрүү нь -ээс их байх магадлалын тооцоог өгдөг тул (1.3) нь (1.2)-аас хамаагүй хүчтэй болохыг анхаарна уу. Нөгөөтэйгүүр k санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хязгаарлагдмал дисперсгүй байсан ч их тооны хууль (1.2) үнэн тул төв хязгаарын теорем (1.3)-аас илүү ерөнхий тохиолдолд хамаарна. Сүүлийн хоёр теоремыг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ. a) Тэгш хэмтэй үхрийн бие даасан шидэлтийн дарааллыг авч үзье. k-р шидэлтийн үед авсан онооны тоог k гэж үзье. Дараа нь

M( k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5,

a D( k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3.5) 2 =35/12 ба S n /n

нь n шидэлтийн үр дүнд авсан онооны дундаж тоо юм.

Их тооны хуулинд n-ийн хувьд энэ дундаж нь 3.5-тай ойролцоо байх нь үнэмшилтэй гэж заасан байдаг. Төв хязгаарын теорем нь |Sn - 3.5n | байх магадлалыг илэрхийлдэг< (35n/12) 1/2 близка к Ф() - Ф(- ). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф( 0)- Ф(- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

б) Дээж авах. Нийт хүн амын дунд гэж бодъё.

N гэр бүлээс бүрдэх Nk гэр бүл тус бүрдээ яг k хүүхэдтэй

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Хэрэв гэр бүлийг санамсаргүй байдлаар сонгосон бол түүний доторх хүүхдийн тоо нь p = N / N магадлал бүхий утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Ар араас нь сонгохдоо n хэмжээтэй түүврийг n бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний цуглуулга эсвэл бүгд ижил тархалттай "ажиглалт" 1, ..., n гэж харж болно; S n /n нь түүврийн дундаж юм. Том тооны хуулинд хангалттай том санамсаргүй түүврийн хувьд дундаж нь , өөрөөр хэлбэл хүн амын дундажтай ойролцоо байх магадлалтай гэж заасан байдаг. Төвлөрсөн хязгаарын теорем нь эдгээр утгуудын хоорондын зөрүүний магадлалыг тооцоолж, найдвартай тооцоолол хийхэд шаардагдах түүврийн хэмжээг тодорхойлох боломжийг олгодог. Практикт, мөн ихэвчлэн үл мэдэгдэх; Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд урьдчилсан тооцоог олж авахад хялбар байдаг бөгөөд үүнийг үргэлж найдвартай хил хязгаарт багтааж болно. Хэрэв бид түүврийн дундаж S n / n нь үл мэдэгдэх популяцийн дунджаас 1/10-аас бага зөрүүтэй байх магадлалыг 0.99 ба түүнээс дээш байлгахыг хүсвэл түүврийн хэмжээг авах ёстой.

F(x) - F(- x) = 0.99 тэгшитгэлийн x язгуур нь x = 2.57..., тиймээс n нь 2.57 буюу n > 660 байх ёстой. Нарийвчилсан урьдчилсан тооцоолол нь шаардлагатай түүврийн хэмжээг олох боломжийг олгодог.

в) Пуассоны тархалт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн k нь Пуассон тархалттай (p(k; )) байна гэж бодъё. Тэгвэл Sn нь n-тэй тэнцүү дундаж ба дисперстэй Пуассон тархалттай байна.

n-ийн оронд бичвэл бид n-ийн хувьд гэж дүгнэж байна

Нийлбэрийг 0-ээс бүх k-д гүйцэтгэнэ. Ph-la (1.5) нь дур зоргоороо байх үед бас хамаарна.

Дээр дурдсанчлан бид статистикийн хувьд бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн PDF файлыг олох асуудлыг авч үзсэн. Энэ хэсэгт бид дүнг статистик байдлаар дахин авч үзэх болно бие даасан хэмжигдэхүүнүүд, гэхдээ бидний арга барил өөр байх бөгөөд нийлбэр дэх санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэсэгчилсэн PDF файлаас хамаарахгүй. Тодруулбал, нийлбэрийн нөхцөлүүд нь статистикийн хувьд бие даасан, ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бөгөөд тус бүр нь хязгаарлагдмал дундаж болон хязгаарлагдмал дисперстэй байна гэж үзье.

Түүврийн дундаж гэж нэрлэгддэг нормчлогдсон нийлбэр гэж тодорхойлъё

Эхлээд бид сүүлний магадлалын дээд хязгаарыг тодорхойлж, дараа нь PDF нь хязгааргүй байх үед хязгаарыг тодорхойлдог маш чухал теоремыг батлах болно.

(2.1.187)-аар тодорхойлсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь олон тооны ажиглалтаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгыг тооцоолоход ихэвчлэн тааралддаг, . Өөрөөр хэлбэл, тархалтын бие даасан түүврийн хэрэгжилт гэж үзэж болох бөгөөд дундаж утгын тооцоолол юм.

Математикийн хүлээлт нь

.

Зөрчил нь

Хэрэв бид үүнийг дундаж утгын тооцоо гэж үзвэл түүний математик хүлээлт нь -тэй тэнцүү байх ба түүврийн хэмжээ нэмэгдэхийн хэрээр тархалт буурч байгааг харж болно. Хэрэв энэ нь хязгааргүй өсвөл хэлбэлзэл тэг болох хандлагатай байна. Параметрийн тооцоо (in энэ тохиолдолд), энэ нь түүний математикийн хүлээлт хандлагатай байгаа нөхцлүүдийг хангадаг жинхэнэ утгапараметр бөгөөд дисперс нь хатуу тэгтэй тэнцүү байвал тууштай тооцоо гэнэ.

Хэсэгт өгөгдсөн хязгаарыг ашиглан санамсаргүй хэмжигдэхүүний сүүлний магадлалыг дээрээс нь тооцоолж болно. 2.1.5. Чебышевын тэгш бус байдал нь хэлбэртэй байна

,

. (2.1.188)

Хэзээ хязгаарт, (2.1.188) -аас дагана

. (2.1.189)

Иймээс дундаж утгын үнэлгээ нь бодит утгаас -ээс их зөрүүтэй байх магадлал нь хязгааргүй өсвөл тэг болох хандлагатай байна. Энэ мэдэгдэл нь их тооны хуулийн нэг хэлбэр юм. Дээд хязгаар нь тэг рүү харьцангуй удаан нийлдэг тул, i.e. урвуу пропорциональ. илэрхийлэл (2.1.188) гэж нэрлэдэг их тооны сул хууль.

-ээс экспоненциал хамаарлыг агуулсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнд Черноффын хязгаарыг хэрэглэвэл нэг сүүлт магадлалын хатуу дээд хязгаарыг олж авна. Бүлэгт заасан журмын дагуу. 2.1.5-ын сүүлний магадлал нь илэрхийллээр тодорхойлогддог

хаана болон. Гэхдээ статистикийн хувьд бие даасан, ижил тархалттай. Тиймээс,

хэмжигдэхүүнүүдийн нэг нь хаана байна. Хамгийн зөв дээд хязгаарыг өгдөг параметрийг (2.1.191) ялгаж, деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх замаар олж авна. Энэ нь тэгшитгэлд хүргэдэг

(2.1.192)

(2.1.192) шийдийг -ээр тэмдэглэе. Дараа нь сүүлний дээд магадлалын хязгаар нь байна

, . (2.1.193)

Үүний нэгэн адил бид сүүлний доод магадлал нь хязгаартай болохыг олж мэдэх болно

, . (2.1.194)

Жишээ 2.1.7. Дараах байдлаар тодорхойлогдсон статистикийн хувьд бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний цуваа байг.

Бид нийлбэр нь тэгээс их байх магадлалын хатуу дээд хязгаарыг тодорхойлохыг хүсч байна. -ээс хойш хэмжээ нь байх болно сөрөг утгаМатематикийн хүлээлт (дундаж) хувьд бид сүүлний дээд магадлалыг хайх болно. Учир нь (2.1.193)-д бид байна

, (2.1.195)

тэгшитгэлийн шийдэл хаана байна

Тиймээс,

. (2.1.197)

Иймд (2.1.195) дахь хилийн хувьд бид олж авна

Бид үүнийг харж байна дээд хязгаартаамаглаж байсанчлан -ээр экспоненциалаар буурдаг. Үүний эсрэгээр, Чебышевын хязгаарын дагуу сүүлний магадлал нь урвуу байдлаар буурдаг.

Төвийн хязгаарын теорем. Энэ хэсэгт бид нийлбэрийн гишүүний тоо хязгааргүй ихсэх үед хязгаарт байгаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн IDF-тэй холбоотой маш хэрэгтэй теоремыг авч үзнэ. Энэ теоремын хэд хэдэн хувилбар байдаг. Санамсаргүй нийлдэг хэмжигдэхүүн , , статистикийн хувьд бие даасан, ижил тархсан, тус бүр нь хязгаарлагдмал дундаж, хязгаарлагдмал дисперстэй байх тохиолдолд теоремыг баталъя.

Тохиромжтой болгох үүднээс бид нормчлогдсон санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлдог

Тиймээс энэ нь тэг дундаж ба нэгж дисперстэй байна.

Одоо больё

Нийлбэрийн нийлбэр бүр нь тэг дундаж ба нэгж дисперстэй байдаг тул (хүчин зүйлээр) нормчлогдсон утга нь тэг дундаж ба нэгж дисперстэй байна. Бид хязгаарт зориулсан СЗБ-ийг тодорхойлохыг хүсч байна.

Онцлог функц нь тэнцүү байна

, (2.1.200).

,

эсвэл үүнтэй адилаар,

. (2.1.206)

Гэхдээ энэ бол зүгээр онцлог функцТэг дундаж ба нэгж дисперстэй Гауссын санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Бид ийм байна чухал үр дүн; Хязгаарлагдмал дундаж ба дисперстэй, статистикийн хувьд бие даасан, ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэрийн PDF нь Гауссын хандлагаар . Энэ үр дүнг гэж нэрлэдэг төв хязгаарын теорем.

Хэдийгээр бид нийлбэр дэх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд тэнцүү тархсан гэж таамаглаж байсан ч нийлбэрлэж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн шинж чанарт тодорхой нэмэлт хязгаарлалт тавигдсан хэвээр байгаа тохиолдолд энэ таамаглалыг зөөлрүүлж болно. Теоремын нэг хувилбар байдаг, жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ижил тархалтын таамаглалаас татгалзаж, нийлбэрийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний гурав дахь абсолют момент дээр тавигдах нөхцөлийг дэмжсэн тохиолдолд. Төвийн хязгаарын теоремын энэ болон бусад хувилбаруудын талаар ярилцахын тулд уншигчид Крамер (1946)-д хандсан болно.

Төвийн хязгаарын теорем нь нөхцөлийг тогтооход зориулагдсан бүлэг теоремууд юм ердийн хуульхуваарилалт, зөрчигдсөн нь ердийнхөөс ялгаатай хуваарилалтад хүргэдэг. Төрөл бүрийн хэлбэрүүдТөвлөрсөн хязгаарын теорем нь нийлбэрийг бүрдүүлэгч санамсаргүй гишүүдийн тархалтад ногдуулсан нөхцлөөр өөр хоорондоо ялгаатай. Хамгийн нэгийг нь баталъя энгийн хэлбэрүүдэнэ теорем, тухайлбал, бие даасан ижил тархсан гишүүний төв хязгаарын теорем.

Математикийн хүлээлттэй, бие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дарааллыг авч үзье. Мөн ялгаа байгаа гэж үзье. Тэмдэглэгээг танилцуулъя. Энэ дарааллын хувьд их тооны хуулийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

нийлэлтийг магадлалын нийлэх утга (их тооны сул хууль) болон магадлалын нийлэх утгаар хоёуланг нь ойлгож болно; нэгтэй тэнцүү(том тооны хүчирхэгжүүлсэн хууль).

Теорем (бие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн төв хязгаарын теорем). Бие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал, . Дараа нь () нийлэхтэй харьцуулахад жигд байна

стандартын үүрэг хаана байна хэвийн тархалт(параметрүүдтэй):

Хэрэв ийм нэгдэх нөхцөл хангагдсан бол дарааллыг асимптотын хэвийн гэж нэрлэдэг.

Ляпунов ба Линдеберг нарын теоремууд

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд өөр өөр тархалттай байх тохиолдлыг авч үзье - тэдгээр нь өөр өөр тархалттай бие даасан байдаг.

Теорем (Линдеберг). Хязгаарлагдмал дисперстэй бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал байг. Хэрэв энэ дарааллын хувьд Линдебергийн нөхцөл хангагдсан бол:

Энд, тэгвэл төв хязгаарын теорем түүнд тохирно.

Линдебергийн нөхцөлийг шууд баталгаажуулах нь хэцүү тул бид төв хязгаарын теоремыг хэрэгжүүлэх өөр нэг нөхцөл, тухайлбал Ляпуновын теоремын нөхцөлийг авч үзье.

Теорем (Ляпунов). Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний дарааллын хувьд Ляпуновын нөхцөл хангагдсан бол:

дараалал нь асимптотын хувьд хэвийн байна, өөрөөр хэлбэл. төв хязгаарын теоремыг баримтална.

Ляпуновын нөхцлийн биелэлт нь Линдебергийн нөхцөл биелсэн гэсэн үг бөгөөд үүнээс төвлөрсөн хязгаарын теоремыг дагана.

Хуваарилалтын хуулийн дагуу олж болно гэдгийг аль хэдийн мэддэг болсон тоон шинж чанарсанамсаргүй хувьсагч. Хэрэв хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн ижил тархалттай бол тэдгээрийн тоон шинж чанар ижил байна.

Ингээд авч үзье nхарилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд X 1 , X 2 , ...., X p,ижил тархалттай, тиймээс ижил шинж чанартай (математикийн хүлээлт, тархалт гэх мэт). Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундажийн тоон шинж чанарыг судлах нь хамгийн их сонирхол татдаг бөгөөд үүнийг бид энэ хэсэгт хийх болно.

Харгалзаж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундажийг гэж тэмдэглэе :

= (X 1 +X 2 +…+X n)/н.

Дараах гурван заалт нь арифметик дундажийн тоон шинж чанаруудын хоорондын холбоог тогтооно Xболон бие даасан хэмжигдэхүүн бүрийн харгалзах шинж чанарууд.

1. Ижил тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундажийн математик хүлээлт нь утга тус бүрийн математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна.

М()=а

Баталгаа. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглах ( тогтмол хүчин зүйлматематикийн хүлээлтийн шинж тэмдэг болгон авч болно; нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү), бид байна

М( )= М

Нөхцөлийн дагуу хэмжигдэхүүн тус бүрийн математикийн хүлээлт тэнцүү байна гэдгийг харгалзан үзнэ А,бид авдаг

М()=na/n=a.

2. Ижил тархсан харилцан хамааралгүй n санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундажийн дисперс нь утга тус бүрийн D дисперсээс n дахин бага байна.

Д()=D/n.(* )

Баталгаа. Дисперсийн шинж чанарыг ашиглан (тогтмол хүчин зүйлийг квадратаар хуваах замаар дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно; бие даасан хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь нэр томъёоны дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү) бид байна.

Д( )=Д

Нөхцөл байдлын дагуу хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалт нь тэнцүү байгааг харгалзан үзнэ D,бид авдаг

Д( )= nD/n 2 =D/n.

3. Дундаж стандарт хазайлт n ижил тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундаж нь квадрат хазайлтаас хэд дахин бага байнас хэмжээ тус бүр:

Баталгаа. Учир нь Д()= D/n,тэгвэл стандарт хазайлт нь тэнцүү байна

с ( )= .

Ерөнхий дүгнэлт(*) ба (**) томъёоноос: дисперс ба стандарт хазайлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хэмжүүр болдог гэдгийг санаж, хангалттай олон тооны харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь тус бүрээс хамаагүй бага дисперстэй байна гэж дүгнэж байна. хувь хүний ​​үнэ цэнэ.

Энэхүү дүгнэлт нь практикт ямар ач холбогдолтой болохыг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ.Ихэвчлэн заримыг нь хэмжих физик хэмжигдэхүүнхэд хэдэн хэмжилт хийж, дараа нь хэмжсэн утгын ойролцоо утга болгон авсан тоонуудын арифметик дундажийг олно. Хэмжилтийг ижил нөхцөлд хийсэн гэж үзвэл:

a) арифметик дундаж нь бие даасан хэмжилтээс илүү найдвартай үр дүнг өгдөг;

б) хэмжилтийн тоо нэмэгдэх тусам энэ үр дүнгийн найдвартай байдал нэмэгддэг.

Шийдэл. a) Хувь хүний ​​хэмжилт нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний өөр өөр утгыг өгдөг нь мэдэгдэж байна. Хэмжилт бүрийн үр дүн нь санамсаргүй олон шалтгаанаас (температурын өөрчлөлт, багаж хэрэгслийн хэлбэлзэл гэх мэт) хамаардаг бөгөөд үүнийг урьдчилан бүрэн авч үзэх боломжгүй юм.

Тиймээс бид боломжит үр дүнг авч үзэх эрхтэй nбие даасан хэмжилтийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн болгон X 1 , X 2 , ..., X х(индекс нь хэмжилтийн тоог заана). Эдгээр тоо хэмжээ нь байна тэгш хуваарилалтмагадлал (хэмжилтийг ижил арга, ижил багаж ашиглан хийдэг), тиймээс ижил тоон шинж чанарууд; Үүнээс гадна тэдгээр нь бие биенээсээ хамааралгүй (хэмжилт бүрийн үр дүн нь бусад хэмжилтээс хамаардаггүй).

Ийм хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь бие даасан хэмжигдэхүүнээс бага тархалттай байдгийг бид аль хэдийн мэдсэн. Өөрөөр хэлбэл, арифметик дундаж нь тусдаа хэмжилтийн үр дүнгээс илүү хэмжсэн утгын жинхэнэ утгад ойрхон байна. Энэ нь хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь нэг хэмжилтээс илүү найдвартай үр дүнг өгдөг гэсэн үг юм.

б) Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоо нэмэгдэхийн хэрээр арифметик дундажийн тархалт буурдаг гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн. Энэ нь хэмжилтийн тоо нэмэгдэхийн хэрээр хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь хэмжсэн утгын бодит утгаас бага ба бага зөрүүтэй байна гэсэн үг юм. Тиймээс хэмжилтийн тоог нэмэгдүүлснээр илүү найдвартай үр дүнд хүрнэ.

Жишээлбэл, хэрэв бие даасан хэмжилтийн стандарт хазайлт s= 6 м, нийт n= 36 хэмжилт, тэгвэл эдгээр хэмжилтийн арифметик дундажийн стандарт хазайлт нь ердөө 1 м байна.

с ( )=

Хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь тусдаа хэмжилтийн үр дүнгээс илүү хэмжсэн утгын жинхэнэ утгад ойртсон болохыг бид харж байна.