Эхлээд тойрог ба тойрог хоёрын ялгааг ойлгоцгооё. Энэ ялгааг харахын тулд хоёр тоо юу болохыг анхаарч үзэхэд хангалттай. Эдгээр нь нэг төв цэгээс ижил зайд байрладаг хавтгай дээрх хязгааргүй тооны цэгүүд юм. Гэхдээ, хэрэв тойрог нь бүрдэнэ дотоод орон зай, тэгвэл энэ нь тойрогт хамаарахгүй. Эндээс харахад тойрог нь түүнийг хязгаарлаж буй тойрог (тойрог(r)), тойрог дотор байгаа тоо томшгүй олон тооны цэгүүд юм.
Тойрог дээр байрлах дурын L цэгийн хувьд OL=R тэгшитгэл үйлчилнэ. (OL сегментийн урт нь тойргийн радиустай тэнцүү).
Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент нь түүнийх юм хөвч.
Тойргийн төвөөр шууд дамждаг хөвч нь диаметрэнэ тойрог (D). Диаметрийг D=2R томъёогоор тооцоолж болно
Тойрогтомъёогоор тооцоолно: C=2\pi R
Тойргийн талбай: S=\pi R^(2)
Тойргийн нумтүүний хоёр цэгийн хооронд байрлах хэсгийг гэнэ. Эдгээр хоёр цэг нь тойргийн хоёр нумыг тодорхойлдог. CD хөвч нь CMD ба CLD гэсэн хоёр нумыг агуулдаг. Ижил хөвчүүд нь тэнцүү нумуудыг агуулна.
Төв өнцөгХоёр радиусын хооронд байрлах өнцгийг гэнэ.
Нуман урттомъёог ашиглан олж болно:
- Зэрэглэлийн хэмжүүр ашиглах: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Радиан хэмжигдэхүүнийг ашиглан: CD = \alpha R
Хөвчний перпендикуляр голч нь хөвч болон түүгээр татагдсан нумуудыг хагасаар хуваадаг.
Хэрэв тойргийн AB ба CD хөвчүүд N цэг дээр огтлолцдог бол N цэгээр тусгаарлагдсан хөвчний сегментүүдийн үржвэрүүд хоорондоо тэнцүү байна.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Тойрогтой шүргэгч
Тойрогтой шүргэгчТойрогтой нэг нийтлэг цэгтэй шулуун шугамыг нэрлэдэг заншилтай.
Хэрэв шулуун шугам нь хоёртой бол нийтлэг цэгүүд, тэд түүнийг дууддаг секант.
Хэрэв та радиусыг шүргэгч цэг рүү зурвал энэ нь тойрогтой шүргэгчтэй перпендикуляр байх болно.
Энэ цэгээс тойрог руугаа хоёр шүргэгч зуръя. Шүргэгч хэрчмүүд хоорондоо тэнцүү байх бөгөөд тойргийн төв нь энэ цэгийн оройтой өнцгийн биссектрист дээр байрлана.
AC = CB
Одоо цэгээсээ тойрог руу шүргэгч ба секант зуръя. Шүргэдэг сегментийн уртын квадрат нь байх болно гэдгийг бид олж мэдэв бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнасегментийг бүхэлд нь гадна тал руу нь салгана.
AC^(2) = CD \cdot BC
Бид дүгнэж болно: эхний секантын бүхэл бүтэн сегмент ба түүний гадаад хэсгийн бүтээгдэхүүн нь хоёр дахь секантын бүх сегмент ба түүний гадаад хэсгийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Тойрог дахь өнцөг
Зэрэглэлийн хэмжүүр төв өнцөгба түүний тулгуурласан нум нь тэнцүү байна.
\angle COD = \аяга CD = \alpha ^(\circ)
Бичсэн өнцөгорой нь тойрог дээр байгаа, талууд нь хөвч агуулсан өнцөг юм.
Энэ нь нумын хэмжээг мэдэх замаар тооцоолж болно, учир нь хагастай тэнцүүэнэ нум.
\angle AOB = 2 \angle АХБ
Диаметр, бичээстэй өнцөг, зөв өнцгийг үндэслэнэ.
\ өнцөг CBD = \ өнцөг CED = \ өнцөг CAD = 90 ^ (\ тойргоор)
Ижил нумыг хамарсан бичээстэй өнцөг нь ижил байна.
Нэг хөвч дээр тулгуурласан бичээстэй өнцгүүд нь ижил буюу нийлбэр нь 180^ (\circ)-тэй тэнцүү байна.
\өнцөг АХБ + \өнцөг AKB = 180^ (\ тойрог)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
Нэг тойрог дээр ижил өнцөгтэй, өгөгдсөн суурьтай гурвалжны оройнууд байрладаг.
Тойрог дотор оройтой, хоёр хөвчний хооронд байрлах өнцөг нь нийлбэрийн хагастай ижил байна өнцгийн утгуудӨгөгдсөн болон босоо өнцгийн дотор байрлах тойргийн нумууд.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\аяга DmC + \аяга AlB \баруун)
Тойргийн гадна талын оройтой, хоёр секантын хооронд байрлах өнцөг нь өнцгийн дотор байрлах тойргийн нумын өнцгийн утгын хагасын зөрүүтэй ижил байна.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\аяга DmC - \аяга AlB \баруун)
Бичсэн тойрог
Бичсэн тойрогнь олон өнцөгтийн талуудтай шүргэгч тойрог юм.
Олон өнцөгтийн булангийн биссектрис огтлолцох цэг дээр түүний төв байрлана.
Олон өнцөгт бүрт тойрог бичээгүй байж болно.
Бичсэн тойрог бүхий олон өнцөгтийн талбайг дараах томъёогоор олно.
S = pr,
p нь олон өнцөгтийн хагас периметр,
r нь бичээстэй тойргийн радиус юм.
Үүнээс үзэхэд бичээстэй тойргийн радиус нь дараахтай тэнцүү байна.
r = \frac(S)(p)
Уртуудын нийлбэр эсрэг талуудХэрэв тойрог дотор нь бичигдсэн бол ижил байх болно гүдгэр дөрвөлжин. Мөн эсрэгээр: эсрэг талын уртын нийлбэр нь ижил байвал тойрог нь гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй тохирно.
AB + DC = AD + BC
Аль ч гурвалжинд тойрог бичих боломжтой. Ганцхан л. Зургийн дотоод өнцгийн биссектрисс огтлолцох цэг дээр энэ бичээстэй тойргийн төв нь хэвтэнэ.
Бичсэн тойргийн радиусыг дараахь томъёогоор тооцоолно.
r = \frac(S)(p) ,
Энд p = \frac(a + b + c)(2)
Тойрог
Хэрэв тойрог нь олон өнцөгтийн орой бүрийг дайран өнгөрвөл ийм тойргийг ихэвчлэн нэрлэдэг олон өнцөгтийн тухай тайлбарласан.
Энэ зургийн талуудын перпендикуляр биссектрисын огтлолцох цэг дээр тойргийн төв байх болно.
Радиусыг олон өнцөгтийн дурын 3 оройгоор тодорхойлсон гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиусаар тооцож олно.
Идэх дараагийн нөхцөл: Дөрвөн өнцөгтийн эргэн тойронд тойргийг зөвхөн нийлбэрээр дүрсэлж болно эсрэг талын булангууд 180^( \circ) -тэй тэнцүү байна.
\ өнцөг A + \ өнцөг C = \ өнцөг B + \ өнцөг D = 180 ^ (\ тойрог)
Аливаа гурвалжны эргэн тойронд та тойрог, зөвхөн нэгийг дүрсэлж болно. Ийм тойргийн төв нь тэдгээрийн огтлолцох цэг дээр байрлана перпендикуляр биссектрисгурвалжны талууд.
Хязгаарлагдсан тойргийн радиусыг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c нь гурвалжны талуудын урт,
S нь гурвалжны талбай юм.
Птолемейгийн теорем
Эцэст нь Птолемейгийн теоремыг авч үзье.
Птолемейгийн теорем нь диагональуудын үржвэр нь мөчлөгт дөрвөлжингийн эсрэг талуудын үржвэрийн нийлбэртэй ижил байна гэж заасан.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
MBOU Большекрупецкая дунд сургууль
Тойрог, тойрог нь ижил зүйл юм
дүрс үү, үгүй юу?
Төслийг 5-р ангийн сурагч Владислав Матвеев гүйцэтгэсэн
Багш: Сергачева К.В.
Д.Большой Крупец
Төлөвлөгөө
1. Танилцуулга
2. Үндсэн хэсэг
1). Түүхээс
2).Тойрог, тойрог, тэдгээрийн элементүүдийн тухай ойлголт
3).Байгалийн тойрог ба тойрог, өдөр тутмын амьдралболон яруу найраг
3. Дүгнэлт
4. Уран зохиол
Танилцуулга
Бидний эргэн тойрон дахь олон объектууд геометрийн хэлбэртэй төстэй хэлбэртэй байдаг. Тойрог гэж юу болох, энэ нь тойргоос юугаараа ялгаатай болохыг ойлгохын тулд эдгээр тоонуудын талаар тодорхой ойлголттой байх хэрэгтэй.
Энэ ажилгеометрийн хэлбэрт зориулагдсан - тойрог ба тойрог. Сэдвийн сонголт нь санамсаргүй биш юм. Хүмүүс амьдралын тойрог, тойрогтой бараг алхам тутамд тулгардаг. Гэсэн хэдий ч хүн бүр тойргийг тойргоос ялгаж чаддаггүй. Сургуулийн сурагчид болон зарим насанд хүрэгчдийн дунд хийсэн судалгаагаар судалгаанд оролцогчдын дөнгөж 50% нь эдгээр тоонуудыг ялгаж салгадаг болохыг харуулсан.
Даалгавар энэ төслийн: тойрог ба тойргийн талаархи мэдээллийг системчлэх.
Сэдвийн талаархи илтгэл нь оюутнууд болон багш нарт туслах болно.
Түүхээс
Эрт дээр үед хүмүүс тойрог, тойрог зэрэг олон геометрийн дүрсийг мэддэг байсан. Үүнийг нотолж байна археологийн малтлага. Тэр ч байтугай бид тойргийн тойргийг тооцоолохын тулд асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болсон.
Хэзээ гэж домог хэлдэг эртний Грекийн хотНэгэн цагт Архимед амьдарч байсан Сиракузыг Ромчууд судалж байхдаа олзолжээ шинжлэх ухааны судалгаа, элсэнд тойрог зурсан. Түүнийг алахаар ирсэн цэрэгт тэрээр "Намайг ал, гэхдээ миний тойрогт бүү хүр" гэж хэлэв.
IN Эртний Гректойрог ба тойрог нь төгс төгөлдөр байдлын титэм гэж тооцогддог. Үнэн хэрэгтээ, цэг бүрт тойрог нь ижил аргаар зохион байгуулагдсан бөгөөд энэ нь өөрөө хөдлөх боломжийг олгодог. Тойргийн энэ өмчийг хийсэн болзошгүй тохиолдолдугуйнууд, учир нь тэнхлэг ба дугуйны зангилаа нь үргэлж холбоотой байх ёстой.
Гэхдээ дугуй унахаас өмнө хүмүүс дугуй мод - хүнд ачаа тээвэрлэх зориулалттай өнхрүүлгийг ашигладаг байв. Ханан дээрх зургууд Египетийн пирамидуудЭдгээр пирамидуудыг барихад асар том чулуунуудыг ийм байдлаар хүргэсэн гэж тэд бидэнд хэлдэг.
Тойрог, тойрог, тэдгээрийн элементүүдийн тухай ойлголт
Хэрэв та дугуй шилийг цаасан дээр тавиад харандаагаар зурвал тойрог дүрсэлсэн шугам гарч ирнэ. Хэрэв бид энэ шугамыг микроскопоор шалгавал зузаан, жигд бус харагдах болноrтэр. Геометрийн тойрогөргөнгүй. Түүний бүх цэгүүд төвөөс ижил зайд байрладаг. Бөгж эсвэл цагирагны хэлбэр нь тойрогтой төстэй.Тойрог бол хамгийн энгийн муруй шугам юм
Зураг 1. Зураг 2 Зураг 3
Тойрог дээр байрлах хавтгайн бүх цэгүүдээс бүрдэх дүрс гэж нэрлэдэг өгөгдсөн зайэнэ цэгээс. Энэ цэгийг нэрлэдэгтөв тойрог бөгөөд ихэвчлэн O. гэж тэмдэглэдэг (Зураг 1., 2.)
Юу вэтойрог ? Бид цааснаас тойрог хайчилж болно. Циркийн талбай, аяга эсвэл тавагны ёроол нь тойрог хэлбэртэй байдаг. Хэрэв тойрог бол "шугам" бол (бид утсаар тойрог зурж болно) тойрог нь тойрог дотор байгаа бүх зүйл юм.
Эргэн тойрон өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн цэгээс ихгүй зайд байрлах хавтгайн бүх цэгүүдээс бүрдэх дүрс юм. Энэ цэгийг нэрлэдэгтөв тойрог ба энэ зай байнарадиус тойрог.Тойргийн хил нь ижил төв ба радиустай тойрог юм.
Тойрог ба тойрог нь янз бүрийн хэсгүүдээс бүрдэнэ.
Тойргийн цэгүүдээс түүний төв хүртэлх зайг нэрлэдэградиус тойрог ба ихэвчлэн R гэж тэмдэглэгдсэн байдаг.Радиусыг мөн тойрог дээрх цэгийг төвтэй холбосон аливаа сегмент гэж нэрлэдэг.Радиус - -аас ирдэг Латин үг"радиус" - "дугуй ярьдаг".
Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон шугамын сегментийг нэрлэдэгхөвч тойрог, бахөвч энэ тойргоор хязгаарлагдсан тойрог. (Зураг 1.,3)Аккорд - Грек үгмөн "мөр" гэж орчуулагддаг.
Тойрог эсвэл тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөх хөвчийг нэрлэдэгдиаметр тойрог эсвэл тойрог. Диаметр нь тойргийг хоёр хэсэгт хуваадагхагас тойрог , мөн тойрог - хоёроорхагас тойрог . (Зураг 3.)Диаметр - "диаметр" гэдэг нь бас Грек үг бөгөөд "диаметр" гэж орчуулагддаг.
Диаметр нь тойргийн төвөөр хагас хуваагдсан тул хоёр радиустай тэнцүү байна. Хоёр радиус нь тойргийг хуваанасалбарууд . Хөвч нь тойргийг хуваанасегментүүд .
Байгаль, өдөр тутмын амьдрал, яруу найраг дахь тойрог ба тойрог
1. Байгальд
6. Математик. 10-11-р анги: хураангуй. Comp. Видеман ба бусад - Волгоград: Багш, 2009 он
Тойрог гэдэг нь нэг цэгээс ижил зайд орших цэгүүдийн цуваа бөгөөд энэ нь эргээд энэ тойргийн төв юм. Тойрог бас өөрийн гэсэн радиустай, зайтай тэнцүүтөвөөс эдгээр цэгүүд.
Тойргийн уртыг диаметртэй харьцуулсан харьцаа нь бүх тойрогт ижил байна. Энэ харьцаа нь математикийн тогтмол тоо бөгөөд Грек үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг π .
Тойрог тодорхойлох
Та дараах томъёог ашиглан тойргийг тооцоолж болно.
L= π D=2 π r
r- тойргийн радиус
Д- тойргийн диаметр
Л- тойрог
π - 3.14
Даалгавар:
Тойрог тооцоол, 10 сантиметр радиустай.
Шийдэл:Тойргийн тойргийг тооцоолох томъёохэлбэртэй байна:
L= π D=2 π r
Энд L нь тойрог, π нь 3.14, r нь тойргийн радиус, D нь тойргийн диаметр юм.
Тиймээс 10 см радиустай тойргийн урт нь:
L = 2 × 3.14 × 10 = 62.8 сантиметр
Тойрогнь геометрийн дүрс бөгөөд энэ нь түүний төв гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн цэгээс тодорхой зайд бус, хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн цуглуулга юм. тэгтэй тэнцүүба радиус гэж нэрлэдэг. Эрдэмтэд эртний үед түүний уртыг янз бүрийн нарийвчлалтайгаар тодорхойлж чаддаг байсан: шинжлэх ухааны түүхчид тойргийг тооцоолох анхны томъёог МЭӨ 1900 онд эртний Вавилонд эмхэтгэсэн гэж үздэг.
Бид өдөр бүр, хаа сайгүй тойрог гэх мэт геометрийн дүрстэй тааралддаг. Энэ нь янз бүрийн тээврийн хэрэгслээр тоноглогдсон дугуйны гаднах гадаргуутай түүний хэлбэр юм. Энэхүү нарийн ширийн зүйлийг гаднах энгийн, мадаггүй зөв байдлаас үл хамааран нэг гэж үздэг хамгийн агуу нээлтүүдХүн төрөлхтөн, Австралийн уугуул иргэд, Америкийн индианчууд Европчууд ирэх хүртэл энэ нь юу болохыг огт мэдэхгүй байсан нь сонирхолтой юм.
Хамгийн анхны дугуй нь тэнхлэг дээр суурилуулсан гуалин хэсгүүд байсан байх магадлалтай. Аажмаар дугуйны загвар сайжирч, дизайн нь улам бүр төвөгтэй болж, үйлдвэрлэхэд маш олон янзын багаж хэрэгсэл шаардлагатай болсон. Эхлээд дугуйнууд нь модон хүрээ, хигээс бүрдсэн бөгөөд дараа нь элэгдлийг багасгахын тулд гарч ирэв. гадна гадаргуу, тэд үүнийг металл туузаар бүрхэж эхлэв. Эдгээр элементүүдийн уртыг тодорхойлохын тулд тойргийг тооцоолох томъёог ашиглах шаардлагатай (хэдийгээр практик дээр гар урчууд үүнийг "нүдээр" хийсэн эсвэл дугуйг туузаар бүсэлж, огтолж авсан байх магадлалтай. шаардлагатай хэсэг).
Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй дугуйзөвхөн ашигладаггүй тээврийн хэрэгсэл. Жишээлбэл, энэ нь ваарны дугуй хэлбэртэй, мөн технологид өргөн хэрэглэгддэг арааны арааны элементүүд юм. Дугуйг усан тээрэм барихад эрт дээр үеэс ашиглаж ирсэн (эрдэмтдийн мэддэг ийм төрлийн хамгийн эртний байгууламжийг Месопотамид барьсан), түүнчлэн малын ноос, ургамлын утаснаас утас хийхэд ашигладаг ээрэх дугуйнууд.
Тойрогбарилгын ажилд ихэвчлэн олж болно. Тэдний хэлбэр нь Романескийн архитектурын хэв маягийн онцлог шинж чанартай нэлээд өргөн дугуй цонхоор дүрслэгдсэн байдаг. Эдгээр бүтцийг үйлдвэрлэх нь маш хэцүү ажил бөгөөд өндөр ур чадвар, түүнчлэн бэлэн байдал шаарддаг тусгай хэрэгсэл. Дугуй цонхны сортуудын нэг бол усан онгоц, нисэх онгоцонд суурилуулсан нүхнүүд юм.
Тиймээс янз бүрийн машин, механизм, нэгжийг боловсруулдаг дизайнер инженерүүд, архитекторууд, дизайнерууд тойргийн тойргийг тодорхойлох асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. Тооноос хойш π , үүнд шаардлагатай нь хязгааргүй, тэгвэл энэ параметрийг үнэмлэхүй нарийвчлалтайгаар тодорхойлох боломжгүй тул тооцоололд тодорхой тохиолдолд шаардлагатай бөгөөд хангалттай байх түвшинг харгалзан үздэг.
БА тойрог- хоорондоо холбогдсон геометрийн хэлбэрүүд. хил байдаг эвдэрсэн шугам(муруй) тойрог,
Тодорхойлолт. Тойрог нь битүү муруй бөгөөд цэг бүр нь тойргийн төв гэж нэрлэгддэг цэгээс ижил зайд байрладаг.
Тойрог барихын тулд дурын дурын О цэгийг сонгон тойргийн төв болгон авч, луужин ашиглан битүү шугам татна.
Хэрэв тойргийн төвийн О цэг холбогдсон бол дурын цэгүүдтойрог дээр, дараа нь үүссэн бүх сегментүүд хоорондоо тэнцүү байх бөгөөд ийм сегментүүдийг радиус гэж нэрлэдэг бөгөөд Латин жижиг эсвэл товчилсон гэж нэрлэдэг. том үсэг"ээ" ( rэсвэл Р). Тойргийн уртад хэдэн цэг байгаа бол та тойрог дотор хэдэн радиус зурж болно.
Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбож, төвийг нь дайран өнгөрөх хэрчмийг диаметр гэнэ. Диаметрхоёроос бүрдэнэ радиус, нэг шулуун шугам дээр хэвтэж байна. Диаметрийг латин жижиг эсвэл том "de" үсгээр тэмдэглэв ( гэсвэл Д).
Дүрэм. Диаметртойрог нь түүний хоёртой тэнцүү байна радиус.
d = 2r
D=2R
Тойргийн тойргийг томъёогоор тооцоолж, тойргийн радиус (диаметр) -ээс хамаарна. Томъёо нь ¶ тоог агуулдаг бөгөөд энэ нь тойрог нь түүний диаметрээс хэд дахин их байгааг харуулж байна. ¶ тоо байна хязгааргүй тооаравтын орон. Тооцооллын хувьд ¶ = 3.14-ийг авсан.
Тойргийн тойргийг латин "tse" том үсгээр тэмдэглэв. C). Тойргийн тойрог нь түүний диаметртэй пропорциональ байна. Тойргийн радиус ба диаметр дээр үндэслэн тойргийг тооцоолох томъёо:
C = ¶d
C = 2¶r
- Жишээ
- Өгөгдсөн: d = 100 см.
- Тойрог: С=3.14*100см=314см
- Өгөгдсөн: d = 25 мм.
- Тойрог: C = 2 * 3.14 * 25 = 157 мм
Тойрог секант ба дугуй нуман
Секант бүр (шулуун шугам) тойрогыг хоёр цэгээр огтолж, хоёр нум болгон хуваана. Тойргийн нумын хэмжээ нь төв ба секантын хоорондох зайнаас хамаардаг бөгөөд тойрогтой огтлолцох эхний цэгээс хоёр дахь цэг хүртэл битүү муруйн дагуу хэмжигддэг.
Нумануудтойрог хуваагдана секанттом ба жижиг, хэрвээ секант нь диаметртэй давхцахгүй бол хоёр хуваагдана тэнцүү нумууд, хэрвээ секант нь тойргийн диаметрийн дагуу өнгөрвөл.
Хэрэв секант нь тойргийн төвөөр дамжин өнгөрвөл тойрогтой огтлолцох цэгүүдийн хооронд байрлах сегмент нь тойргийн диаметр буюу тойргийн хамгийн том хөвч юм.
Секант нь тойргийн төвөөс хол байх тусам бага байна градусын хэмжүүртойргийн жижиг нум, тойргийн том нум, секант сегмент гэж нэрлэдэг хөвч, секант нь тойргийн төвөөс холдох тусам буурдаг.
Тодорхойлолт. Тойрог нь тойрог дотор байрлах онгоцны хэсэг юм.
Тойргийн төв, радиус, диаметр нь нэгэн зэрэг харгалзах тойргийн төв, радиус, диаметр юм.
Тойрог нь хавтгайн нэг хэсэг учраас түүний параметрүүдийн нэг нь талбай юм.
Дүрэм. Тойргийн талбай ( С) нь радиусын квадратын үржвэртэй тэнцүү ( r 2) ¶ тоо руу.
- Жишээ
- Өгөгдсөн: r = 100 см
- Тойргийн талбай:
- S = 3.14 * 100 см * 100 см = 31,400 см 2 ≈ 3 м 2
- Өгөгдсөн: d = 50 мм
- Тойргийн талбай:
- S = ¼ * 3.14 * 50 мм * 50 мм = 1,963 мм 2 ≈ 20 см 2
Хэрэв та тойрог дотор хоёр радиус зурвал өөр өөр цэгүүдтойрог, дараа нь тойргийн хоёр хэсэг үүсдэг бөгөөд үүнийг нэрлэдэг салбарууд. Хэрэв та хөвчийг тойрог хэлбэрээр зурвал нуман ба хөвчний хоорондох хавтгайн хэсгийг нэрлэдэг тойрог сегмент.
Тойрог
нь бүх цэгүүд нь тойргийн төв гэж нэрлэгддэг тодорхой цэгээс (О цэг) ижил зайд байрладаг хавтгай хаалттай шугам юм.
(Тойрог - геометрийн дүрс, дээр байрлах бүх цэгүүдээс бүрдэнэ өгөгдсөн зайэнэ цэгээс.)
Тойрог нь тойрогоор хязгаарлагдсан хавтгайн хэсэг бөгөөд О цэгийг мөн тойргийн төв гэж нэрлэдэг.
Тойргийн цэгээс түүний төв хүртэлх зай, мөн тойргийн төвийг түүний цэгтэй холбосон хэрчмийг радиус гэнэ. тойрог / тойрог.
Тойрог, тойргийг бидний амьдрал, урлаг, дизайнд хэрхэн ашигладаг болохыг хараарай.
Chord - Грек - ямар нэг зүйлийг хооронд нь холбодог утас
Диаметр - "хэмжилтээр дамжуулан"
Дугуй хэлбэр
Өнцөг нь байнга өсөн нэмэгдэж буй хэмжээгээр тохиолдож болох бөгөөд үүний дагуу байнга өсөн нэмэгдэж буй эргэлтийг олж авдаг - тэдгээр нь бүрмөсөн алга болж, онгоц тойрог болох хүртэл.Энэ нь маш энгийн бөгөөд нэгэн зэрэг маш хэцүү тохиолдол, энэ талаар би дэлгэрэнгүй ярихыг хүсч байна. Энгийн болон нарийн төвөгтэй байдал нь аль аль нь өнцөг байхгүйгээс үүдэлтэй гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй. Тойрог нь энгийн, учир нь түүний хилийн даралтыг тэгш өнцөгт хэлбэртэй харьцуулахад тэгшитгэдэг - энд ялгаа тийм ч их биш юм. Дээд тал нь зүүн, баруун тийш, зүүн ба баруун нь доод тал руу үл мэдэгдэх урсдаг тул энэ нь нарийн төвөгтэй юм.
В.Кандинский
Эртний Грекд тойрог ба тойрог нь төгс төгөлдөр байдлын титэм гэж тооцогддог байв. Үнэн хэрэгтээ, цэг бүрт тойрог нь ижил аргаар зохион байгуулагдсан бөгөөд энэ нь өөрөө хөдлөх боломжийг олгодог. Дугуйны тэнхлэг ба зангилаа нь үргэлж холбоотой байх ёстой тул тойргийн энэ шинж чанар нь дугуйг боломжтой болгосон.
Сургуульд маш их зүйл судалдаг ашигтай шинж чанаруудтойрог. Хамгийн сайхан теоремуудын нэг бол өгөгдсөн цэгээр огтлолцсон шулуун шугамыг зурах явдал юм өгөгдсөн тойрог, дараа нь энэ цэгээс хүртэлх зайны үржвэр шулуун шугамтай тойргийн огтлолцлын цэгүүд нь шулуун шугамыг яг яаж татсанаас хамаарахгүй. Энэ теорем нь хоёр мянга орчим жилийн настай.
Зураг дээр. Зураг 2-т хоёр тойрог, тойргийн гинжийг харуулсан бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь эдгээр хоёр тойрог болон гинжин хэлхээний хоёр хөршийг шүргэж байна. Швейцарийн геометр Якоб Штайнер 150 орчим жилийн өмнө нотолсон дараагийн мэдэгдэл: хэрэв гурав дахь тойргийн зарим сонголтын хувьд гинж хаагдсан бол гурав дахь тойргийн бусад сонголтод хаалттай болно. Үүнээс үзэхэд хэрэв гинж нэг удаа хаагдахгүй бол гурав дахь тойргийн аль ч сонголтын хувьд хаагдахгүй. Зурсан зураачдааХэрэв гинжийг дүрсэлсэн бол түүнийг ажиллуулахын тулд шаргуу ажиллах эсвэл математикч руу хандаж, гинж хаагдсан эхний хоёр тойргийн байршлыг тооцоолох хэрэгтэй болно.
Бид эхлээд дугуйны тухай дурдсан боловч дугуйны өмнө ч хүмүүс дугуй мод хэрэглэдэг байсан- хүнд ачаа тээвэрлэх зориулалттай бул.
Бөөрөнхий хэлбэрээс өөр хэлбэрийн бул ашиглах боломжтой юу? ГерманИнженер Франц Рело 1-р зурагт үзүүлсэн өнхрүүлгийг ижил шинж чанартай болохыг олж мэдэв. 3. Энэ дүрсийг оройн цэгүүд нь төвтэй тойргийн нумуудыг зурах замаар олж авна тэгш талт гурвалжинбусад хоёр оройг холбох. Хэрэв бид энэ зурагт хоёр зэрэгцээ шүргэгч зурвал тэдгээрийн хоорондох зай болнотэдгээр нь анхны тэгш талт гурвалжны хажуугийн урттай тэнцүү байх тул ийм бул нь дугуй хэлбэртэйгээс муу биш юм. Хожим нь булны үүрэг гүйцэтгэх боломжтой бусад дүрсийг зохион бүтээжээ.
Энз. "Би ертөнцийг судалж байна. Математик", 2006 он
Гурвалжин бүр, үүнээс гадна зөвхөн нэг, есөн цэгийн тойрог. ЭнэГурвалжны байрлалыг тодорхойлсон дараах гурван гурвалсан цэгийг дайран өнгөрөх тойрог: түүний D1 D2 ба D3 өндрийн суурь, D4, D5, D6 медиануудын суурь.шулуун хэрчмүүдийн D7, D8, D9-ийн дунд цэгүүд нь түүний H өндөрүүдийн огтлолцлын цэгээс орой хүртэл.
Энэ тойрог нь 18-р зуунд олдсон. агуу эрдэмтэн Л.Эйлер (Тиймээс үүнийг Эйлерийн тойрог гэж нэрлэдэг) дараагийн зуунд Германы нэгэн мужийн биеийн тамирын сургуулийн багш дахин нээсэн. Энэ багшийг Карл Фейербах гэдэг (тэр ах нь байсан алдартай философичЛюдвиг Фейербах).
Нэмж дурдахад, К.Фейербах есөн цэгийн тойрог нь ямар ч геометртэй нягт холбоотой дөрвөн цэгтэй болохыг олж мэдэв. өгөгдсөн гурвалжин. Эдгээр нь түүний дөрвөн тойрогтой харилцах цэгүүд юм тусгай төрөл. Эдгээр тойргийн нэг нь бичээстэй, үлдсэн гурав нь тойрог юм. Тэд гурвалжингийн буланд бичээстэй, хүрч байна гаднаастүүний талууд. Эдгээр тойргийн D10, D11, D12, D13 есөн цэгийн тойрогтой холбогдох цэгүүдийг Фейербах цэг гэж нэрлэдэг. Тиймээс есөн цэгийн тойрог нь үнэндээ арван гурван цэгийн тойрог юм.
Хэрэв та түүний хоёр шинж чанарыг мэддэг бол энэ тойрог барихад маш хялбар байдаг. Нэгдүгээрт, есөн цэгийн тойргийн төв нь гурвалжингийн тойргийн төвийг H цэгтэй холбосон сегментийн дунд байрладаг - түүний ортоцентр (түүний өндрийн огтлолцлын цэг). Хоёрдугаарт, өгөгдсөн гурвалжны радиус нь түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиусын хагастай тэнцүү байна.
Энз. Залуу математикчдад зориулсан лавлах ном, 1989 он
