Оройноос хавтгай хүртэлх зай. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай

Энэ нийтлэлд цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тодорхойлох тухай өгүүлнэ. Координатын аргад дүн шинжилгээ хийцгээе, энэ нь бидэнд зайг олох боломжийг олгоно өгсөн оноогурван хэмжээст орон зай. Үүнийг бататгахын тулд хэд хэдэн даалгаврын жишээг харцгаая.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олно мэдэгдэж байгаа зайцэгээс цэг хүртэл, тэдгээрийн аль нэг нь өгөгдсөн, нөгөө нь өгөгдсөн хавтгай дээрх проекц юм.

Орон зайд χ хавтгайтай M 1 цэгийг зааж өгсөн бол тухайн цэгээр дамжуулан зурж болно хавтгайд перпендикуляршууд. H 1 байна нийтлэг цэгтэдгээрийн уулзварууд. Эндээс бид M 1 H 1 хэрчмийг М 1 цэгээс χ хавтгайд татсан перпендикуляр гэдгийг олж мэдсэн бөгөөд H 1 цэг нь перпендикулярын суурь юм.

Тодорхойлолт 1

Өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн перпендикулярын суурь хүртэлх зайг нэрлэнэ өгсөн онгоц.

Тодорхойлолтыг янз бүрийн томъёогоор бичиж болно.

Тодорхойлолт 2

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайөгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн хавтгайд татсан перпендикулярын урт.

M 1 цэгээс χ хавтгай хүртэлх зайг дараах байдлаар тодорхойлно: M 1 цэгээс χ хавтгай хүртэлх зай нь тухайн цэгээс хавтгайн аль ч цэг хүртэлх хамгийн бага нь байх болно. Хэрэв H 2 цэг нь χ хавтгайд байрладаг бөгөөд H 2 цэгтэй тэнцүү биш бол бид олж авна зөв гурвалжин M 2 H 1 H 2 төрөл , тэгш өнцөгт хэлбэртэй, тэнд M 2 H 1, M 2 H 2 хөл байна - гипотенуз. Энэ нь M 1 H 1 гэсэн үг юм< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 М 1 цэгээс χ хавтгай руу татсан налуу гэж үздэг. Өгөгдсөн цэгээс хавтгайд татсан перпендикуляр нь тухайн цэгээс өгөгдсөн хавтгайд татсан налуугаас бага байна. Энэ тохиолдлыг доорх зургаар харцгаая.

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай - онол, жишээ, шийдэл

Тоо байна геометрийн асуудлууд, шийдлүүд нь цэгээс хавтгай хүртэлх зайг агуулсан байх ёстой. Үүнийг тодорхойлох янз бүрийн арга байж болно. Шийдвэрлэхийн тулд Пифагорын теорем буюу гурвалжны ижил төстэй байдлыг ашиглана уу. Нөхцөл байдлын дагуу цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох шаардлагатай үед тэгш өнцөгт системгурван хэмжээст орон зайн координатыг координатын аргаар шийддэг. Энэ догол мөрөнд энэ аргыг авч үзэх болно.

Асуудлын нөхцлийн дагуу бид χ хавтгайтай M 1 (x 1, y 1, z 1) координаттай гурван хэмжээст орон зайд M 1 хүртэлх зайг тодорхойлох шаардлагатай байна онгоц χ. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд хэд хэдэн шийдлийн аргыг ашигладаг.

Эхний арга

Энэ арга нь M 1 цэгээс χ хавтгай хүртэлх перпендикулярын суурь болох H 1 цэгийн координатыг ашиглан цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олоход суурилдаг. Дараа нь та M 1 ба H 1 хоорондох зайг тооцоолох хэрэгтэй.

Асуудлыг хоёр дахь аргаар шийдэхийн тулд ашиглана уу хэвийн тэгшитгэлөгсөн онгоц.

Хоёрдахь арга

Нөхцөлөөр бид H 1 нь M 1 цэгээс χ хавтгайд буулгасан перпендикулярын суурь юм. Дараа нь бид H 1 цэгийн координатыг (x 2, y 2, z 2) тодорхойлно. M 1-ээс χ хавтгай хүртэлх шаардлагатай зайг M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 томъёогоор олно, энд M 1 байна. (x 1, y 1, z 1) ба H 1 (x 2, y 2, z 2). Шийдвэрлэхийн тулд та H 1 цэгийн координатыг мэдэх хэрэгтэй.

Бид H 1 нь χ хавтгайд перпендикуляр байрлах M 1 цэгийг дайран өнгөрөх χ хавтгайн a шулуунтай огтлолцох цэг юм. Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бүрдүүлэх шаардлагатай байна. Үүний дараа бид H 1 цэгийн координатыг тодорхойлох боломжтой болно. Шугаман ба хавтгайн огтлолцох цэгийн координатыг тооцоолох шаардлагатай.

M 1 (x 1, y 1, z 1) координаттай цэгээс χ хавтгай хүртэлх зайг олох алгоритм:

Тодорхойлолт 3

• M 1 цэгийг нэгэн зэрэг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг зур
• χ хавтгайд перпендикуляр;
• цэг болох H 1 цэгийн координатыг (x 2 , y 2 , z 2) олж тооцоол.
• a шугамын χ хавтгайтай огтлолцох;
• M 1-ээс χ хүртэлх зайг M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 томъёогоор тооцоол.

Гурав дахь зам

Өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын системд O x y z хавтгай χ байгаа бол cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 хэлбэрийн хавтгайн хэвийн тэгшитгэлийг олж авна. Эндээс M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos томъёогоор тооцоолсон χ хавтгайд татсан M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгтэй M 1 H 1 зайг олж авна. γ z - p . Энэ томьёо нь теоремын ачаар тогтоогдсон тул хүчинтэй.

Теорем

Хэрэв M 1 (x 1 , y 1 , z 1) цэг өгөгдсөн бол гурван хэмжээст орон зай, cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 хэлбэрийн χ хавтгайн хэвийн тэгшитгэлтэй бол цэгээс M 1 H 1 хавтгай хүртэлх зайг M томъёогоор тооцоолно. 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, учир нь x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Баталгаа

Теоремын баталгаа нь цэгээс шулуун хүртэлх зайг олоход ирдэг. Эндээс бид M 1-ээс χ хавтгай хүртэлх зай нь M 1 радиус векторын эхээс χ хавтгай хүртэлх зайтай тоон проекцын хоорондох зөрүүний модуль гэдгийг олж авна. Дараа нь бид M 1 H 1 = n p n → O M → - p илэрхийллийг авна. χ хавтгайн хэвийн вектор нь n → = cos α, cos β, cos γ хэлбэртэй бөгөөд урт нь нэгтэй тэнцүү, n p n → O M → нь O M → = (x 1, y 1) векторын тоон проекц юм. , z 1) n → вектороор тодорхойлогдох чиглэлд.

Тооцооллын томъёог хэрэглэцгээе скаляр векторууд. Дараа нь n → = cos α , cos β , cos γ байх тул n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → хэлбэртэй векторыг олох илэрхийллийг олж авна. · z ба O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Координатын хэлбэроруулга нь n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1, дараа нь M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β гэсэн хэлбэртэй байна. · y 1 + cos γ · z 1 - p . Теорем нь батлагдсан.

Эндээс бид M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгээс χ хавтгай хүртэлх зайг дараах байдлаар орлуулах замаар тооцоолно. зүүн талхавтгайн хэвийн тэгшитгэл cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 оронд x, y, z координатууд x 1, y 1 ба z 1, М 1 цэгтэй холбоотой, авах үнэмлэхүй үнэ цэнэолж авсан утга.

Координаттай цэгээс өгөгдсөн хавтгай хүртэлх зайг олох жишээг авч үзье.

Жишээ 1

М 1 (5, - 3, 10) координаттай цэгээс 2 x - y + 5 z - 3 = 0 хавтгай хүртэлх зайг тооцоол.

Шийдэл

Асуудлыг хоёр аргаар шийдье.

Эхний арга нь a шугамын чиглэлийн векторыг тооцоолохоос эхэлнэ. Нөхцөлөөр бид өгөгдсөн тэгшитгэл 2 x - y + 5 z - 3 = 0 нь хавтгайн тэгшитгэл юм. ерөнхий үзэл, ба n → = (2, - 1, 5) нь өгөгдсөн хавтгайн хэвийн вектор юм. Үүнийг өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр a шулуун шугамын чиглэлийн вектор болгон ашигладаг. Бичсэн байх ёстой каноник тэгшитгэл 2, - 1, 5 координаттай чиглэлийн вектор бүхий M 1 (5, - 3, 10) -аар дамжин өнгөрөх огторгуйн шулуун шугам.

Тэгшитгэл нь x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 болно.

Уулзалтын цэгүүдийг тодорхойлох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлүүдийг систем болгон зөөлөн нэгтгэж, каноникаас огтлолцсон хоёр шугамын тэгшитгэл рүү шилжинэ. Энэ цэг H 1-ийг авч үзье. Бид үүнийг ойлгодог

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Үүний дараа та системийг идэвхжүүлэх хэрэгтэй

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Гауссын системийн шийдлийн дүрэмд хандъя.

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Бид H 1 (1, - 1, 0) -ийг авдаг.

Өгөгдсөн цэгээс хавтгай хүртэлх зайг бид тооцоолно. Бид M 1 (5, - 3, 10) ба H 1 (1, - 1, 0) оноог авч, авна.

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Хоёрдахь шийдэл нь эхлээд өгөгдсөн 2 x - y + 5 z - 3 = 0 тэгшитгэлийг багасгах явдал юм. хэвийн харагдах. Бид хэвийн болгох хүчин зүйлийг тодорхойлж, 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 авна. Эндээс 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 хавтгайн тэгшитгэлийг гаргана. Тэгшитгэлийн зүүн талыг x = 5, y = - 3, z = 10 гэж орлуулах замаар тооцоолох ба M 1 (5, - 3, 10) -аас 2 x - y + 5 z - хүртэлх зайг авах шаардлагатай. 3 = 0 модуль. Бид илэрхийлэлийг авдаг:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Хариулт: 230.

χ хавтгайг хавтгайг тодорхойлох аргуудын хэсэгт байгаа аргуудын аль нэгээр зааж өгсөн бол эхлээд та χ хавтгайн тэгшитгэлийг олж, шаардлагатай зайг дурын аргыг ашиглан тооцоолох хэрэгтэй.

Жишээ 2

Гурван хэмжээст орон зайд M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) координаттай цэгүүдийг зааж өгсөн болно. M 1-ээс A B C хавтгай хүртэлх зайг тооцоол.

Шийдэл

Эхлээд та M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C () координат бүхий гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй. 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Үүнээс үзэхэд асуудал өмнөхтэй төстэй шийдэлтэй байна. Энэ нь M 1 цэгээс A B C хавтгай хүртэлх зай нь 2 30 утгатай байна гэсэн үг юм.

Хариулт: 230.

Хавтгай дээрх өгөгдсөн цэгээс эсвэл тэдгээрийн зэрэгцээ байгаа хавтгай хүртэлх зайг олоход M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p томъёог ашиглан илүү тохиромжтой. . Эндээс бид хавтгайнуудын хэвийн тэгшитгэлийг хэд хэдэн алхамаар олж авдаг.

Жишээ 3

М 1 (- 3 , 2 , - 7) координаттай өгөгдсөн цэгээс хүртэлх зайг ол. координатын хавтгай O x y z ба хавтгай, тэгшитгэлээр өгөгдсөн 2 y - 5 = 0.

Шийдэл

O y z координатын хавтгай нь x = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлтэй тохирч байна. O y z онгоцны хувьд энэ нь хэвийн. Тиймээс илэрхийллийн зүүн талд x = - 3 утгыг орлуулж, M 1 (- 3, 2, - 7) координаттай цэгээс хавтгай хүртэлх зайны үнэмлэхүй утгыг авах шаардлагатай. Бид - 3 = 3-тай тэнцүү утгыг авна.

Хувиргасны дараа 2 y - 5 = 0 хавтгайн хэвийн тэгшитгэл нь y - 5 2 = 0 хэлбэртэй болно. Дараа нь та M 1 (- 3, 2, - 7) координаттай цэгээс 2 у - 5 = 0 хавтгай хүртэлх шаардлагатай зайг олж болно. Орлуулж, тооцоолсноор бид 2 - 5 2 = 5 2 - 2 болно.

Хариулт: M 1 (- 3, 2, - 7) -аас O y z хүртэлх шаардлагатай зай нь 3 утгатай, 2 y - 5 = 0 хүртэл 5 2 - 2 утгатай байна.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Ажлын төрөл: 14

Нөхцөл байдал

ABC суурьтай ердийн гурвалжин пирамид DABC-д суурийн тал нь байна 6\sqrt(3),пирамидын өндөр нь 8. AB, AC ба AD ирмэг дээр M, N, K цэгүүдийг тус тус тэмдэглэсэн. AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2)Тэгээд AK=\frac(5)(2).

A) MNK болон DBC онгоцууд параллель байгааг батал.

б) K цэгээс DBC хавтгай хүртэлх зайг ол.

Шийдэл

A)Нэг хавтгайн огтлолцох хоёр шулуун нь нөгөө хавтгайн огтлолцох хоёр шулуунтай параллель байвал MNK ба DBC онгоцууд параллель байна. Үүнийг баталъя. MNK онгоцны MN ба KM шулуунууд, DBC онгоцны BC ба DB шулуунуудыг авч үзье.

AOD гурвалжинд: \ өнцөг AOD = 90^\circ ба Пифагорын теоремоор AD=\sqrt(DO^2 +AO^2).

\bigtriangleup ABC зөв гэдгийг ашиглан AO-г олцгооё.

AO=\frac(2)(3)AO_1,Энд AO_1 нь \bigtriangleup ABC-ийн өндөр, AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2), a нь \bigtriangleup ABC-ийн тал юм.

AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9,Дараа нь AO = 6, AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10.

1. Түүнээс хойш \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2) : 10=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2) : 6\sqrt(3)=\frac(1)(4)ба \angle DAB нь ерөнхий, дараа нь \bigtriangleup AKM \sim ADB.

Ижил төстэй байдлаас харахад \angle AKM = \angle ADB. Энэхаргалзах өнцөг

KM ба BD шулуун шугамууд ба секант AD. Тэгэхээр KM \parallel BD. 2. Түүнээс хойш \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4),\frac(AM)(AB)=\frac(1)(4) ба \angle CAB нийтлэг байдаг, тэгвэл

\bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.

Үүнтэй төстэй байдлаас харахад \angle ANM = \angle ACB байна.

б)Эдгээр өнцгүүд нь MN ба BC шулуунууд болон АС огтлолцох шугамтай тохирч байна. Энэ нь MN \parallel BC гэсэн үг.

Дүгнэлт: MNK онгоцны KM ба MN огтлолцох хоёр шулуун нь DBC хавтгайн BD ба BC огтлолцох хоёр шулуунтай параллель байх тул эдгээр хавтгайнууд параллель байна - MNK \parallel DBC.

К цэгээс BDC хавтгай хүртэлх зайг олъё. MNK хавтгай нь DBC хавтгайтай параллель байх тул К цэгээс DBC хавтгай хүртэлх зай нь O_2 цэгээс DBC хавтгай хүртэлх зайтай тэнцүү ба O_2 H хэрчмийн урттай тэнцүү байна.Үүнийг баталъя. BC \perp AO_1 ба BC \perp DO_1 (ABC ба DBC гурвалжны өндрөөр), энэ нь BC нь ADO_1 хавтгайд перпендикуляр, дараа нь BC нь энэ хавтгайн аль ч шулуунд перпендикуляр байна, жишээлбэл, O_2 H. Барилгын аргаар , O_2H\perp DO_1, энэ нь O_2H нь BCD хавтгайн перпендикуляр хоёр огтлолцсон шулуун шугам ба дараа нь O_2 H сегмент нь BCD хавтгайд перпендикуляр ба

зайтай тэнцүү O_2-аас BCD хавтгай хүртэл.

Гурвалжинд O_2HO_1:O_2H=O_(2)O_(1)\sin\өнцөг HO_(1)O_(2). O_(2)O_(1)=AO_(1)-AO_(2).\,

\frac(AO_2)(AO_1)=\frac(1)(4),

AO_(2)=\frac(AO_1)(4)=\frac(9)(4). O_(2)O_(1)=9-\frac(9)(4)=\frac(27)(4). \sin \angle DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))=

\frac(8)(\sqrt(64+3^2))=

\ frac (8) (\ sqrt (73)).

O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73)).

Хариулах \frac(54)(\sqrt(73))Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл.

Ажлын төрөл: 14
Профайлын түвшин

Нөхцөл байдал

" Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Сэдэв: Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай

ABCDA_1B_1C_1D_1 нь ердийн дөрвөлжин призм юм.

Шийдэл

a) Энэ призм тогтмол учраас BB_1 \perp ABCD, BB_1 \perp AC болно. ABCD нь квадрат тул AC \perp BD . Тиймээс AC \perp BD ба AC \perp BB_1 . BD ба BB_1 шулуунууд огтлолцдог тул шулуун ба хавтгайн перпендикуляр байдлын тэмдгийн дагуу AC \perp BB_1D_1D . Одоо AD_1C \perp BB_1D_1 хавтгайнуудын перпендикуляр дээр үндэслэсэн.

б) ABCD квадратын АС ба BD диагональуудын огтлолцох цэгийг О гэж тэмдэглэе. AD_1C ба BB_1D_1 онгоцууд OD_1 шулуун шугамын дагуу огтлолцоно. B_1H нь BB_1D_1 хавтгайд OD_1 шулуун руу татсан перпендикуляр байя. Дараа нь B_1H \perp AD_1C . E=OD_1 \cap BB_1 гэж үзье. Учир нь ижил төстэй гурвалжин D_1B_1E ба OBE (харгалзах өнцгүүдийн тэгш байдал нь BO \параллель B_1D_1 нөхцөлөөс хамаарна) бидэнд байна \frac (B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.

Энэ нь B_1E=2BE=2 \cdot 6=12 гэсэн үг. B_1D_1=5\sqrt(2) тул гипотенуз болно D_1E= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))=\sqrt(194).

Дараа нь бид D_1B_1E гурвалжин дахь талбайн аргыг ашиглан D_1E гипотенуз дээр буулгасан B_1H өндрийг тооцоолно. S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H;

12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;.

\ frac (8) (\ sqrt (73)).

B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97)

\frac(60\sqrt(97))(97)

Ажлын төрөл: 14
Профайлын түвшин

Нөхцөл байдал

Эх сурвалж: “Математик. 2016 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Профайлын түвшин." Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. ABCDA_1B_1C_1D_1 —куб хэлбэртэй

. Ирмэгүүд AB=24, BC=7, BB_(1)=4.

a) B ба D цэгээс ACD_(1) хавтгай хүртэлх зай ижил болохыг батал.

Шийдэл

A)б) Энэ зайг ол. Ингээд авч үзьегурвалжин пирамид

D_1ACD.

Энэ пирамидад D цэгээс ACD_1-DH суурийн хавтгай хүртэлх зай нь D цэгээс ACD_1 суурь хүртэл татсан пирамидын өндөртэй тэнцүү байна. V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH

, энэ тэгш байдлаас бид олж авдаг.

DH=\frac(3V_(D_1ACD))(S_(ACD_1)) D_1ABC пирамидыг авч үзье. В цэгээс ACD_1 хавтгай хүртэлх зай нь В-ийн оройноос ACD_1-ийн суурь хүртэл буулгасан өндөртэй тэнцүү байна. Энэ зайг BK гэж тэмдэглэе. Дараа нь V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot BK , үүнээс бид олж авдаг BK=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1)).\: Харин V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC) , учир нь бид ADC ба ABC-ийг пирамидын суурь гэж үзвэл D_1D өндөр нь нийт бөгөөд S_(ADC)=S_(ABC) (\bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABC

хоёр хөл дээр). Тэгэхээр BK=DH.

b) D_1ACD пирамидын эзэлхүүнийг ол.

Өндөр D_1D=4.

S_(ACD)=\frac1(2)AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84..

ACD_1 нүүрний талбай нь \frac1(2)AC \cdot D_1P.

AD_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65), \:AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25

Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь хөл ба оройноос татсан өндрийн хоорондох гипотенуз ба гипотенузын сегменттэй пропорциональ дундаж юм гэдгийг мэдэх. зөв өнцөг, ADC гурвалжинд бид байна AD^(2)=AC\cdot AP, \: AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25).

Пифагорын теоремын дагуу AD_1P тэгш өнцөгт гурвалжинд D_1P^(2)= AD_1^(2)-AP^(2)= 65-\зүүн (\frac(49)(25) \баруун)^(2)= \frac(38\:224)(25^(2)), D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25).

S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25)=2\sqrt(2\:389).

DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3 \cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).

• Бид А цэгээр дамжин онгоц байгуулнаβ II α .
• Гурав дахь онгоцыг барьж байна, перпендикуляр зэрэгцээ хавтгайнууд α Тэгээд β
• Хавтгайнуудын огтлолцлын шугам дээр В цэгийг сонгоод В цэгээс перпендикуляр буулгана.
• Сегмент BN - онгоц хоорондын зай нь А цэгээс хавтгай хүртэлх зайтай тэнцүү байнаα . AH = BN.

• А цэгээр дамжуулан бид хавтгайд перпендикуляр хавтгай байгуулна α
• Бид AH онгоцнуудын огтлолцлын шугам руу перпендикулярыг буулгана. AR – А цэгээс хавтгай хүртэлх шаардлагатай зай α .