Вектор диаграм. Чичиргээ нэмэх.

Хэрэв хэлбэлзлийн онолын хэд хэдэн асуудлыг шийдэх нь тухайн аргыг ашиглан графикаар дүрсэлсэн тохиолдолд илүү хялбар бөгөөд илүү харагдах болно. вектор диаграммууд.Зарим тэнхлэгийг сонгоцгооё X. Нэг цэгээс 0 тэнхлэг дээр бид уртын векторыг зурж, эхлээд тэнхлэгтэй өнцөг үүсгэдэг (Зураг 2.14.1). Хэрэв бид энэ векторыг өнцгийн хурдаар эргүүлбэл векторын төгсгөлийн тэнхлэг дээрх проекц болно. Xхуулийн дагуу цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөнө

.

Үүний үр дүнд векторын төгсгөлийн тэнхлэгт проекц нь далайцтай гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэнэ. урттай тэнцүүвектор, векторын эргэлтийн өнцгийн хурдтай тэнцүү дугуй давтамжтай, эхний үе шаттай, өнцөгтэй тэнцүү байна, энэ нь тэнхлэгтэй вектор үүсгэдэг эхлэх мөчцаг. булан, вектороор үүсгэгдсэнтэнхлэгтэй Энэ мөчцаг хугацаа энэ мөчид хэлбэлзлийн үе шатыг тодорхойлдог - .

Дээрхээс харахад гармоник хэлбэлзлийг вектор ашиглан дүрсэлж болох бөгөөд түүний урт нь хэлбэлзлийн далайцтай тэнцүү бөгөөд түүний чиглэл нь хэлбэлзлийн фазтай тэнцүү тодорхой тэнхлэгтэй өнцөг үүсгэдэг. Энэ бол вектор диаграмын аргын мөн чанар юм.

Ижил чиглэлийн хэлбэлзлийг нэмэх.

Чиглэлүүд нь параллель байдаг хоёр гармоник хэлбэлзлийг нэмж авч үзье.

. (2.14.1)

Үр дүнгийн офсет Xнийлбэр байх ба . Энэ нь далайцтай хэлбэлзэл байх болно.

Вектор диаграмын аргыг ашиглая (Зураг 2.14.2). Зураг дээр, мөн - үүссэн ба нэмсэн хэлбэлзлийн үе шатууд. болон векторуудыг нэмснээр юу олж болохыг харахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч хэрэв нэмсэн хэлбэлзлийн давтамж өөр байвал үүссэн далайц нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөж, вектор нь хувьсах хурдаар эргэлддэг, өөрөөр хэлбэл. чичиргээ нь гармоник биш, харин зарим нэг цогцолборыг илэрхийлнэ хэлбэлзлийн процесс. Үүссэн хэлбэлзлийг гармоник болгохын тулд нэмсэн хэлбэлзлийн давтамж ижил байх ёстой.

ба үүссэн хэлбэлзэл нь ижил давтамжтайгаар тохиолддог

.

Бүтээн байгуулалтаас харахад энэ нь тодорхой харагдаж байна

Үүссэн хэлбэлзлийн далайцын илэрхийлэлд (2.14.2) дүн шинжилгээ хийцгээе. Хэрэв нэмсэн хэлбэлзлийн фазын ялгаа тэг байна(хэлбэлзэл нь үе шатанд байна), далайц нь нэмсэн хэлбэлзлийн далайцын нийлбэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл хамгийн их хэмжээтэй байна боломжит үнэ цэнэ . Хэрэв фазын зөрүү байна(хэлбэлзэл нь эсрэг фазад байдаг), дараа нь үүссэн далайц нь далайцын зөрүүтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл боломжит хамгийн бага утгатай байна .

харилцан перпендикуляр чичиргээ нэмэх.

Бөөмс ижил давтамжтай хоёр гармоник хэлбэлзэл хийцгээе: нэгийг нь бидний тэмдэглэдэг чиглэлийн дагуу. X, нөгөө нь - in перпендикуляр чиглэл y. Энэ тохиолдолд бөөмс тодорхой дагуу хөдөлнө ерөнхий тохиолдол, муруй шугаман зам, хэлбэр нь хэлбэлзлийн үе шатуудын ялгаанаас хамаарна.

Нэг хэлбэлзлийн эхний үе шат нь тэгтэй тэнцүү байхаар цаг тоолох эхлэлийг сонгоцгооё.

. (2.14.3)

Бөөмийн траекторийн тэгшитгэлийг олж авахын тулд (2.14.3) -аас хасах шаардлагатай. т. Эхний тэгшитгэлээс а. гэсэн үг, . Хоёр дахь тэгшитгэлийг дахин бичье

эсвэл

.

Эхний гишүүнийг тэгшитгэлийн баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг квадрат болгож, хувиргалтыг хийснээр бид олж авна.

. (2.14.4)

Энэ тэгшитгэл нь тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад тэнхлэгүүд нь эргэлддэг эллипсийн тэгшитгэл юм XТэгээд yямар нэг өнцгөөр. Гэхдээ зарим онцгой тохиолдолд илүү хялбар үр дүнд хүрдэг.

1. Фазын зөрүү нь тэг байна. Дараа нь (2.14.4) -ээс бид олж авна

эсвэл . (2.14.5)

Энэ нь шулуун шугамын тэгшитгэл юм (Зураг 2.14.3). Ийнхүү бөөмс нь энэ шулуун шугамын дагуу давтамж ба далайцтай тэнцүү хэлбэлздэг.

Далайцын цогц арга

Хавтгай дээрх цэгийн байрлалыг цогц тоогоор өвөрмөц байдлаар тодорхойлж болно.

Хэрэв цэг ($A$) эргэдэг бол энэ цэгийн координат хуулийн дагуу өөрчлөгдөнө.

$z$ гэж дараах хэлбэрээр бичье.

Энд $Re(z)=x$, өөрөөр хэлбэл физик хэмжигдэхүүн x нь бодит хэсэгтэй тэнцүү байна нарийн төвөгтэй илэрхийлэл(4). Энэ тохиолдолд комплекс илэрхийллийн модуль нь хэлбэлзлийн далайцтай тэнцүү байна - $a$, түүний аргумент фазтай тэнцүү($(\омега)_0т+\дельта $). Заримдаа $z$-ийн бодит хэсгийг авахдаа Re үйлдлийн тэмдгийг орхиж, бэлгэдлийн илэрхийлэлийг олж авдаг.

Илэрхийлэл (5)-ыг шууд утгаар нь авч болохгүй. Ихэнхдээ албан ёсоор хялбаршуулсан (5):

Энд $A=ae^(i \delta)$ нь хэлбэлзлийн цогц далайц юм. $A$ далайцын нарийн төвөгтэй шинж чанар нь хэлбэлзэл нь тэгтэй тэнцүү биш эхний үе шаттай гэсэн үг юм.

Илчлэхийн тулд физик утга(6) гэх мэт илэрхийлэлд хэлбэлзлийн давтамж ($(\omega )_0$) нь бодит ба төсөөлөлтэй байх ба үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно гэж бодъё.

Дараа нь (6) илэрхийллийг дараах байдлаар бичиж болно.

Хэрэв $(\omega )2>0,$ бол (8) илэрхийлэл нь сааруулагчийг тодорхойлно гармоник чичиргээдугуй давтамжтай $\omega1$ ба сааруулагч экспонент $(\omega )_2$. Хэрэв $(\omega )_2

Сэтгэгдэл

Нарийн төвөгтэй хэмжигдэхүүн дээр олон үйлдлийг хийж болно. математик үйлдлүүдхэмжигдэхүүн нь бодит байсан юм шиг. Хэрэв тэдгээр нь шугаман ба бодит байвал үйлдлүүд боломжтой (жишээлбэл, нэмэх, үржүүлэх, бодит хувьсагчтай харьцуулахад ялгах, бусад, гэхдээ бүгд биш). Нарийн төвөгтэй хэмжигдэхүүнүүд нь өөр хоорондоо тохирохгүй гэдгийг бид санах ёстой физик хэмжигдэхүүнүүд.

Вектор диаграмын арга

$A$ цэгийг $r$ радиустай тойргийн дагуу жигд эргэцгээе (Зураг 1), түүний эргэлтийн хурд $(\omega )_0$.

Зураг 1.

Тойрог дээрх $A$ цэгийн байрлалыг $\varphi $ өнцгөөр тодорхойлж болно. Энэ өнцөг нь дараахтай тэнцүү байна.

Энд $\delta =\varphi (t=0)$ нь $\overrightarrow(r)$ радиус векторын эхний үеийн эргэлтийн өнцөг юм. Хэрэв $M$ цэг эргэвэл $тэнхлэгт X$ проекц нь тойргийн диаметрийн дагуу хөдөлж, $M$$N$ цэгүүдийн хооронд гармоник хэлбэлзэл хийнэ. $A$ цэгийн абсциссыг дараах байдлаар бичиж болно.

Үүнтэй адилаар та ямар ч хэмжээний хэлбэлзлийг илэрхийлж болно.

Зөвхөн тойргийн эргэн тойронд жигд эргэлддэг $A$ цэгийн абсциссатай хэлбэлзэх хэмжигдэхүүний дүрсийг л хүлээн зөвшөөрөх шаардлагатай. Мэдээжийн хэрэг та ординатыг ашиглаж болно:

Тайлбар 1

Төлөөлөхийн тулд саармагжуулсан хэлбэлзэл, бид тойрог биш, харин фокус руу ойртож буй логарифмын спираль авах ёстой. Хэрэв спираль хэлбэрээр хөдөлж буй цэгийн ойртох хурд тогтмол бөгөөд цэг нь фокус руу шилждэг бол энэ цэгийг X тэнхлэгт проекцлох нь саармагжуулсан хэлбэлзлийн томъёог өгнө.

Тайлбар 2

Цэгийн оронд та радиус векторыг ашиглаж болох бөгөөд энэ нь эхийн эргэн тойронд жигд эргэлддэг. Дараа нь гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг хэмжигдэхүүнийг энэ векторын X тэнхлэг дээрх проекцоор дүрслэх болно. Энэ тохиолдолд $x$ хэмжигдэхүүн дээрх математик үйлдлүүд вектор дээрх үйлдлүүдээр солигдоно.

Тиймээс хоёр хэмжигдэхүүнийг нэгтгэх үйл ажиллагаа:

хоёр векторыг нийлбэрээр (параллелограммын дүрмийг ашиглан) орлуулах нь илүү тохиромжтой. Сонгосон $axis X$ дээрх проекцууд нь $x_1\ ба \ x_2$ илэрхийллүүд байхаар векторуудыг сонгох хэрэгтэй. Дараа нь абсцисса тэнхлэг дээрх проекц дахь векторуудыг нэгтгэх үйлдлийн үр дүн $x_1+\ x_2$-тэй тэнцүү болно.

Жишээ 1

Вектор диаграмын аргын хэрэглээг үзүүлье.

Ингээд төсөөлцгөөе нийлмэл тоовекторууд асаалттай нарийн төвөгтэй хавтгай. Үүнээс хамааран өөр өөр тоо хэмжээ гармоник хууль, эх үүсвэрийнхээ эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг $(\omega )0$ давтамжтайгаар эргэдэг вектороор дүрслэгддэг. Векторын урт нь хэлбэлзлийн далайцтай тэнцүү байна.

Жишээлбэл, тэгшитгэлийг шийдэх график арга:

Энд $Z=R+i(\omega L-\frac(1)(\omega C))$ нь 2-р зургийг ашиглан илэрхийлсэн эсэргүүцэл юм. Энэ зургийг харуулж байна вектор диаграмХувьсах гүйдлийн хэлхээн дэх хүчдэл.

Зураг 2.

Комплекс утгыг цогц нэгжээр үржүүлнэ гэдэг нь цагийн зүүний эсрэг $90^0$ өнцгөөр эргүүлж, цагийн зүүний дагуу ижил өнцгөөр ($-i$) үржүүлнэ гэдгийг анхаарч үзье. 2-р зурагнаас дараах байдалтай байна.

Энд $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ $\varphi $ өнцгийн өөрчлөлт нь хэлхээний элементүүдийн эсэргүүцлийн хамаарлаас хамаарна. давтамжууд. Гадаад хүчдэл нь индукц дээрх хүчдэлтэй давхцахаас эхлээд конденсатор дээрх хүчдэлтэй давхцах хүртэл фазын хувьд өөрчлөгдөж болно. Энэ нь ихэвчлэн хэлхээний элементүүд дээрх хүчдэлийн фаз ба гадаад хүчдэлийн фазын хоорондын хамаарлын хэлбэрээр илэрхийлэгддэг.

$((U)L=i\omega LI)$ ороомог дээрх хүчдэлийн фаз нь гадаад хүчдэлийн фазыг үргэлж $0$-аас $\pi .$ хүртэлх өнцгөөр удирддаг.

$((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$) багтаамж дээрх хүчдэлийн фаз нь гадаад хүчдэлийн фазаас үргэлж $0$ ба --$\ \pi .$ хооронд өнцгөөр хоцордог.

Энэ тохиолдолд эсэргүүцэл дээрх фаз нь $\frac(\pi )(2)$ ба $\frac(\pi )(2)$ хоорондох өнцгөөр гадаад хүчдэлийн фазаас хоцорч эсвэл хоцорч болно.

Вектор диаграмм (Зураг 2) нь дараахь зүйлийг томъёолох боломжийг бидэнд олгоно.

Ороомог дээрх хүчдэлийн фаз нь одоогийн фазыг $\frac(\pi )(2)$-аар удирддаг.

Конденсатор дээрх хүчдэлийн фаз нь одоогийн үе шатаас $\frac(\eth )(2)\ $ хоцордог.

Эсэргүүцэл дээрх хүчдэлийн үе шат нь гүйдлийн үе шаттай давхцдаг.

Жишээ 2

Дасгал:Квадратыг нарийн төвөгтэй хэмжигдэхүүнд бодит тоо болгон ашиглах боломжгүй гэдгийг харуул.

Шийдэл:

Бид квадрат хэрэгтэй гэж бодъё бодит тоо$x$. Зөв хариулт: $x^2$. Албан ёсоор хэрэгжих боломжтой нарийн төвөгтэй арга. Орлуулах зүйл хийцгээе:

$x\-аас x+iy$ хүртэл. Үүссэн илэрхийлэлийг квадрат болгоод дараахийг авна.

\[(\зүүн(x+iy\баруун))^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\баруун).\]

Илэрхийллийн бодит хэсэг (2.1) нь дараахтай тэнцүү байна.

\[(Re\left(x+iy\right))^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\]

Алдаа гарсан шалтгаан нь квадратын үйлдэл нь шугаман биш юм.

Гармоник чичиргээ

Тэдгээр. Үнэн хэрэгтээ синус графикийг векторын эргэлтээс олж авдаг бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

F(x) = A нүгэл (ωt + φ),

Энд А нь векторын урт (хэлбэлзлийн далайц), φ нь тэг хугацааны векторын анхны өнцөг (фаз), ω - өнцгийн хурдэргэлт, энэ нь тэнцүү байна:

ω=2 πf, энд f нь Герц дэх давтамж юм.

Бидний харж байгаагаар дохионы давтамж, далайц, өнцгийг мэдснээр бид гармоник дохиог үүсгэж чадна.

Ямар ч дохионы дүрслэлийг янз бүрийн синусоидуудын нийлбэр (ихэвчлэн хязгааргүй) хэлбэрээр илэрхийлж болох нь илрэх үед ид шид эхэлдэг. Өөрөөр хэлбэл Фурье цуврал хэлбэрээр.
Би Английн Википедиагаас жишээ өгөх болно. Жишээ болгон хөрөөний дохиог авч үзье.

Налуу дохио

Түүний хэмжээг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Хэрэв бид нэг нэгээр нь нэмбэл эхлээд n=1, дараа нь n=2 гэх мэтийг авбал бидний гармоник синусоид дохио хэрхэн аажмаар хөрөө болж хувирахыг харах болно.

Үүнийг интернетээс олсон нэг программ хамгийн сайхан дүрсэлсэн байх. Синусын график нь эргэлдэж буй векторын проекц гэдгийг дээр хэлсэн, гэхдээ илүү төвөгтэй дохионы талаар юу хэлэх вэ? Энэ нь хачирхалтай нь олон эргэлдэх векторуудын төсөөлөл, эс тэгвээс тэдгээрийн нийлбэр бөгөөд бүгд дараах байдалтай байна.

Вектор зургийн хөрөө.

Ерөнхийдөө би өөрөө холбоос руу орж, параметрүүдтэй өөрөө тоглож, дохио хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг харахыг зөвлөж байна. IMHO Би ойлгоход илүү харааны тоглоомыг хэзээ ч харж байгаагүй.

Өгөгдсөн дохионоос давтамж, далайц, эхний үе шатыг (өнцөг) авах боломжийг олгодог урвуу процедур байдаг бөгөөд үүнийг Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг.

Зарим сайн мэддэг Фурье цувралын өргөтгөл үечилсэн функцууд(эндээс)

Би энэ талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй, гэхдээ үүнийг амьдралд хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно. Ном зүйд би материалын талаар илүү ихийг хаанаас уншихыг зөвлөж байна.

Практик дасгалууд руу явцгаая!

Оюутан бүр лекц дээр сууж байхдаа, жишээ нь математикийн талаар асуулт асуудаг юм шиг санагдаж байна: яагаад надад энэ бүх утгагүй зүйл хэрэгтэй байна вэ? Дүрмээр бол ойрын ирээдүйд хариулт олсонгүй, харамсалтай нь тэр энэ сэдвийг сонирхохоо больсон. Тиймээс би танд шууд үзүүлэх болно практик хэрэглэээнэ мэдлэг, тэгээд та өөрөө энэ мэдлэгийг эзэмших болно :).

Цаашид би бүх зүйлийг өөрийнхөөрөө хэрэгжүүлэх болно. Мэдээжийн хэрэг би бүх зүйлийг Линукс дээр хийсэн, гэхдээ онолын хувьд ямар ч тодорхой зүйл ашиглаагүй, програм нь бусад платформ дээр хөрвүүлэгдэн ажиллах болно.

Эхлээд аудио файл үүсгэх програм бичье. Wav файлыг хамгийн энгийнээр нь авсан. Та түүний бүтцийн талаар уншиж болно.
Товчхондоо, wav файлын бүтцийг дараах байдлаар тайлбарлав: файлын форматыг тодорхойлсон толгой хэсэг, дараа нь (манай тохиолдолд) 16 битийн өгөгдлийн массив (заагч) байна: дээж авах_давтамж*t секунд. эсвэл 44100*т ширхэг.

Дууны файл үүсгэх жишээг авсан. Би үүнийг бага зэрэг өөрчилсөн, алдаануудыг зассан бөгөөд миний засвар бүхий эцсийн хувилбар одоо Github дээр энд байна

100 Гц давтамжтай цэвэр синус долгионтой хоёр секундын дууны файл үүсгэцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид програмыг дараах байдлаар өөрчилнө.

#define S_RATE (44100) // дээж авах давтамж #define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 секундын буфер */ …. int main(int argc, char * argv) ( ... хөвөх далайц = 32000; //боломжтой хамгийн их далайцыг авна float freq_Hz = 100; //дохионы давтамж /* буферийг синусын долгионоор дүүргэх */ (i=0) i

Цэвэр синусын томъёо нь бидний дээр дурдсантай тохирч байгааг анхаарна уу. 32000 (32767-г авч болно) далайц нь 16 битийн тоо авах боломжтой (хасах 32767-с нэмэх 32767) утгатай тохирч байна.

Үүний үр дүнд бид дараах файлыг авах болно (та үүнийг ямар ч дууг хуулбарлах програмаар сонсох боломжтой). Энэхүү audacity файлыг нээгээд дохионы график нь цэвэр синус долгионтой тохирч байгааг харцгаая.

Цэвэр хоолойн синус

Энэ синусын спектрийг харцгаая (Анализ->Plot спектр)

Спектрийн график

100 Гц-т тод оргил харагдаж байна ( логарифм масштаб). Спектр гэж юу вэ? Энэ бол далайц-давтамжийн шинж чанар юм. Мөн фазын давтамжийн шинж чанар байдаг. Хэрэв та санаж байгаа бол би дохиог бүтээхийн тулд түүний давтамж, далайц, үе шатыг мэдэх хэрэгтэй гэж дээр хэлсэн? Тиймээс та эдгээр параметрүүдийг дохионоос авах боломжтой. IN энэ тохиолдолдБид далайцтай тохирох давтамжийн графиктай бөгөөд далайц нь бодит нэгжээр биш, харин децибелээр илэрхийлэгддэг.

Хөтөлбөр хэрхэн ажилладагийг тайлбарлахын тулд Фурьегийн хурдан хувиргалт гэж юу болохыг тайлбарлах шаардлагатай гэдгийг би ойлгож байгаа бөгөөд энэ нь дор хаяж нэг нийтлэл юм.

Эхлээд массивуудыг хуваарилъя:

C = calloc(хэмжээний_массив*2, хэмжээ(хөвөгч)); // эргүүлэх хүчин зүйлсийн массив = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //оролтын массив гарах = calloc(хэмжээний_массив*2, sizeof(хөвөгч)); //гаралтын массив

Програмд ​​бид өгөгдлийг size_array урттай массив болгон уншдаг гэдгийг хэлье (бид үүнийг wav файлын толгой хэсгээс авдаг).

while(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) ( in[j]=(float)value; j+=2; if (j > 2*size_array) тасарвал; )

зориулсан массив хурдан хувиргахФурье нь дараалал байх ёстой (re, im, re, im,... re, im), fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
цогц тоонуудын массив юм. Фурьегийн цогц хувиргалт хаана хэрэглэгдэж байгааг төсөөлөхөөс ч айж байна, гэхдээ бидний хувьд бидний төсөөлж буй хэсэг нь тэгтэй тэнцүү, харин бодит хэсэг нь массивын цэг бүрийн утгатай тэнцүү байна.
Хурдан Фурье хувиргалтын өөр нэг онцлог нь зөвхөн хоёрын зэрэглэлийн үржвэр массивуудыг тооцдог явдал юм. Үүний үр дүнд бид хоёрын хамгийн бага хүчийг тооцоолох ёстой:

Int p2=(int)(log2(толгой.байтын_өгөгдөл/толгой.байтын_барилга));

Өгөгдөл дэх байтуудын тоог нэг цэг дэх байтад хуваасан логарифм.

Үүний дараа бид эргэлтийн хүчин зүйлсийг тооцоолно.

Fft_make(p2,c); // FFT-ийн эргэлтийн коэффициентийг тооцоолох функц (эхний параметр нь хоёрын хүчин чадал, хоёр дахь нь эргэлтийн хүчин зүйлийн хуваарилагдсан массив).

Мөн бид зүгээр л массиваа Фурье трансформатор руу оруулна.

Fft_calc(p2, c, орох, гарах, 1); //(нэг нь бид хэвийн массив авч байна гэсэн үг).

Гаралт дээр бид маягтын нийлмэл тоонуудыг (re, im, re, im,... re, im) авдаг. Комплекс тоо гэж юу болохыг мэдэхгүй хүмүүст би тайлбарлая. Би энэ нийтлэлийг олон тооны эргэдэг векторууд болон олон тооны GIF-ээр эхлүүлсэн нь хоосон биш юм. Тэгэхээр цогц хавтгай дээрх векторыг бодит координат a1 ба төсөөлөл a2 координатаар тодорхойлно. Эсвэл урт (энэ нь бидний хувьд Ам далайц) ба Psi өнцөг (фаз).

Нарийн төвөгтэй хавтгай дээрх вектор

size_array=2^p2 гэдгийг анхаарна уу. Массивын эхний цэг нь 0 Гц давтамжтай (тогтмол), сүүлчийн цэг нь түүврийн давтамж, тухайлбал 44100 Гц-тэй тохирч байна. Үүний үр дүнд бид цэг бүрт тохирох давтамжийг тооцоолох ёстой бөгөөд энэ нь дельта давтамжаар ялгаатай байх болно.

Давхар гурвалжин=((хөвөгч) толгой.давтамж)/(хөвөгч) хэмжээний_массив; //массивын хэмжээ бүрт түүвэрлэлтийн давтамж.

Далайцын массивын хуваарилалт:

Давхар * том;

ampl = calloc(хэмжээний_массив*2, хэмжээ(давхар));

Мөн зургийг хараарай: далайц нь векторын урт юм. Мөн бид түүний бодит ба төсөөллийн тэнхлэгт төсөөлөлтэй байдаг. Үүний үр дүнд бид тэгш өнцөгт гурвалжинтай болох бөгөөд энд Пифагорын теоремыг санаж, вектор бүрийн уртыг тоолж, тэр даруй текст файлд бичнэ.<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
For(i=0;i

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

Үүний үр дүнд бид дараах файлыг авна.

Оролдоод үзье!

Одоо бид үүссэн програмыг синусын дууны файлаар тэжээнэ

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav формат: 16 бит, PCM шахагдаагүй, суваг 1, давтамж 44100, секундэд 88200 байт, барьж авах 2 байт, дээж бүрт 2 бит, өгөгдөлд 882000 байт= 441000 log2=18 хэмжээний массив=262144 wav формат Макс давтамж = 99.928 , amp =7216.136

Мөн бид давтамжийн хариуны текст файлыг авдаг. Бид түүний графикийг gnuplot ашиглан бүтээдэг

#! /usr/bin/gnuplot -persist set terminal postscript eps сайжруулсан өнгөт хатуу багц гаралт "result.ps" #set terminal png хэмжээ 800, 600 #set output "result.png" set grid xtics ytics set log xy set xlabel "Freq, Hz" set ylabel "Amp, dB" set xrange #set yrange plot "test.txt" ашиглан 1:2 гарчигийг "AFC)" with lines linestyle 1 !}

Скрипт дээрх X-ийн дагуух цэгүүдийн тоог хязгаарлахыг анхаарна уу: set xrange . Бидний түүврийн давтамж нь 44100 бөгөөд хэрэв бид Котельниковын теоремыг эргэн санавал дохионы давтамж нь дээж авах давтамжийн талаас илүү байж болохгүй, тиймээс бид 22050 Гц-ээс дээш дохиог сонирхохгүй. Яагаад ийм байна вэ, би танд тусгай уран зохиол уншихыг зөвлөж байна.
Тиймээс (бөмбөр өнхрөх), бид скриптийг ажиллуулаад дараахийг харна уу:

Бидний дохионы спектр

100 Гц-ийн огцом оргилыг анхаарна уу. Тэнхлэгүүд нь логарифмын масштабтай гэдгийг бүү мартаарай! Баруун талд байгаа ноос бол Фурье хувирлын алдаа гэж бодож байгаа зүйл юм (цонхнууд энд санаанд орж ирдэг).

Таацгаая?

Аливээ! Бусад дохионы спектрийг харцгаая!

Эргэн тойрон чимээ шуугиантай байна ...

Давхар d_санамсаргүй(давхар мин, давхар макс) ( буцах мин + (хамгийн их - мин) / RAND_MAX * ранд(); )

Энэ нь өгөгдсөн мужид санамсаргүй тоо үүсгэх болно. Үүний үр дүнд гол нь дараах байдлаар харагдах болно.

Int main(int argc, char * argv) ( int i; хөвөх далайц = 32000; srand((insigned int)time(0)); //(i=0; i) санамсаргүй тоо үүсгэгчийг эхлүүлэх

Файл үүсгэцгээе (би үүнийг сонсохыг зөвлөж байна). Үүнийг зоригтойгоор харцгаая.

Зоригтой дохио

Audacity програм дахь спектрийг харцгаая.

Хүрээ

Манай програмыг ашиглан спектрийг харцгаая:

Бидний спектр

Дуу чимээний маш сонирхолтой баримт, онцлогт анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна - энэ нь бүх гармоникийн спектрийг агуулдаг. Графикаас харахад спектр нэлээд жигд байна. Ихэвчлэн цагаан дуу чимээг аудио төхөөрөмж гэх мэт зурвасын өргөний давтамжийн шинжилгээнд ашигладаг. Бусад төрлийн дуу чимээ байдаг: ягаан, цэнхэр болон бусад. Гэрийн даалгавар бол тэд хэрхэн ялгаатай болохыг олж мэдэх явдал юм.

Компот яах вэ?

Одоо өөр нэг сонирхолтой дохиог харцгаая - меандр. Би Фурье цуврал дахь янз бүрийн дохионуудын өргөтгөлийн хүснэгтийг дээр өгсөн, та меандр хэрхэн өргөжиж байгааг харж, цаасан дээр бичээд, бид үргэлжлүүлнэ.

25 Гц давтамжтай дөрвөлжин долгион үүсгэхийн тулд бид wav файл үүсгэгчээ дахин өөрчилнө.

Int main(int argc, char * argv) ( int i; short int meandr_value=32767; /* буферийг синусын долгионоор дүүргэх */ (i=0; i)

Үүний үр дүнд бид аудио файлыг авах болно (дахин би танд сонсохыг зөвлөж байна), та тэр даруй зоригтойгоор үзэх хэрэгтэй.

Эрхэмсэг ноён - эрүүл хүний ​​меандр буюу меандр

Зайрах хэрэггүй, түүний спектрийг харцгаая:

Меандрын спектр

Энэ нь юу болох нь одоогоор тодорхойгүй байна... Эхний хэдэн гармоникуудыг харцгаая:

Анхны гармоникууд

Энэ бол огт өөр асуудал! За, тэмдгийг харцгаая. Хараач, бидэнд зөвхөн 1, 3, 5 гэх мэт, i.e. хачин гармоник. Бидний эхний гармоник нь 25 Гц, дараагийн (гурав дахь) нь 75 Гц, дараа нь 125 Гц гэх мэт, харин бидний далайц аажмаар буурч байгааг бид харж байна. Онол нь практикт нийцдэг!
Одоо анхаарлаа хандуулаарай! Бодит амьдрал дээр дөрвөлжин долгионы дохио нь дээд ба түүнээс дээш давтамжийн хязгааргүй гармониктай байдаг боловч дүрмээр бол бодит цахилгаан хэлхээ нь тодорхой давтамжаас дээш давтамжийг дамжуулж чадахгүй (замын индукц ба багтаамжаас шалтгаалан). Үүний үр дүнд та осциллографын дэлгэц дээр дараах дохиог ихэвчлэн харж болно.

Тамхичдын мандер

Энэ зураг нь Википедиагийн зурагтай адил бөгөөд жишээ нь меандрын хувьд бүх давтамжийг авдаггүй, гэхдээ зөвхөн эхний хэдэн давтамжийг авдаг.

Эхний гармоникуудын нийлбэр, дохио хэрхэн өөрчлөгдөх

Меандрийг радио инженерчлэлд идэвхтэй ашигладаг (энэ нь бүх дижитал технологийн үндэс суурь гэдгийг хэлэх ёстой) бөгөөд ээж нь үүнийг танихгүйн тулд урт гинжээр шүүж болно гэдгийг ойлгох нь зүйтэй. Энэ нь мөн янз бүрийн төхөөрөмжүүдийн давтамжийн хариу урвалыг шалгахад хэрэглэгддэг. Өөр нэг сонирхолтой баримт бол микро схем нь өөрөө хэдэн арван МГц-ийн меандер үүсгэдэг, түүний өндөр гармоникууд нь ТВ-ийн ажиллах давтамжтай яг хэдэн зуун МГц давтамжтай байж болох үед телевизийн саатуулагчид өндөр гармоникийн зарчмаар яг ажилладаг байсан. өндөр гармоникууд нь телевизийн өргөн нэвтрүүлгийн дохиог амжилттай саатуулсан.

Ерөнхийдөө ийм туршилтуудын сэдэв төгсгөлгүй бөгөөд одоо та өөрөө үргэлжлүүлж болно.

Ном

Бидний энд юу хийж байгааг ойлгохгүй байгаа хүмүүст, эсвэл эсрэгээрээ, ойлгож байгаа боловч илүү сайн ойлгохыг хүсч байгаа хүмүүст, мөн DSP-д суралцаж буй оюутнуудад би энэ номыг маш их санал болгож байна. Энэ бол энэхүү нийтлэлийн зохиогч болох дамми нарт зориулсан DSP юм. Тэнд нарийн төвөгтэй ойлголтуудыг хүүхдэд ч хүртээмжтэй хэлээр тайлбарладаг.

Дүгнэлт

Эцэст нь хэлэхэд математик бол шинжлэх ухааны хатан хаан гэж хэлмээр байна, гэхдээ бодит хэрэглээгүй бол олон хүн үүнийг сонирхохоо больдог. Энэ нийтлэл таныг дохио боловсруулах, ерөнхийдөө аналог хэлхээ гэх мэт гайхалтай сэдвийг судлахад урам зориг өгнө гэж найдаж байна (тархи чинь гоожихгүйн тулд чихээ залгаарай!). :)
Амжилт хүсье!

Шошго:

Гармоник хэлбэлзэл x = а Cos(w т+ a) геометрийг дурын чиглэлийн проекцоор дүрсэлж болно xТогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэдэг вектор өнцгийн хурдтай w. Энэ векторын урт нь хэлбэлзлийн далайцтай тэнцүү бөгөөд түүний анхны чиглэл нь тэнхлэгтэй хамт үүсдэг. xхэлбэлзлийн эхний үе шаттай тэнцүү өнцөг - a. Энэхүү геометрийн тайлбарыг ашиглан бид ижил давтамж, чиглэлтэй хоёр гармоник хэлбэлзлийг нэмэх асуудлыг шийдэх болно.

x = x 1 + x 2 = а 1 Cos(w т+ a 1) + а 2 Кос(w т+ a 2).

Вектор (тэнхлэгт a 1 өнцгөөр) байгуулъя x), анхны чичиргээг илэрхийлдэг. Тэнхлэгтэй 2 өнцөг үүсгэгч векторыг нэмье x(Зураг 12.8). Эдгээр векторуудын тэнхлэг дээрх проекцуудын нийлбэр xнийлбэртэй тэнцүү векторын энэ тэнхлэг дээрх проекцтой тэнцүү байна.

x = x 1 + x 2 .

Цагаан будаа. 12.8

Энэ вектор диаграммыг координатын эхийг дайран өнгөрөх тэнхлэгийн эргэн тойронд w өнцгийн хурдтайгаар эргүүлье - цэг O. Энэ тохиолдолд тэгш байдал x = x 1 + x 2 нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх болно, гэхдээ төсөөлөл нь өөрөө x, x 1 ба x 2 нь ижил давтамжтай w ба эхний үе шаттай a, a 1, a 2 - нь гармоник хуулийн дагуу импульс болно. Хоёр чичиргээ нэмсний үр дүнд:

x 1 = а 1 Cos(w т+ a 1) ба x 2 = а 2 Кос(w т+ a 2) шинэ хэлбэлзэл үүснэ x = x 1 + x 2 =

= а Cos(w т+ a), давтамж нь - w - нэмэгдсэн хэлбэлзлийн давтамжтай давхцдаг. Үүний далайц нь векторын үнэмлэхүй утгатай тэнцүү бөгөөд эхний үе шат нь Зураг дээр үзүүлэв. 12.8, тэнцүү байна:

.

Далайцыг тооцоолохын тулд " А» нийт хэлбэлзлийн хувьд бид косинусын теоремыг ашигладаг:

Үүссэн хэлбэлзлийн далайц нь зөвхөн нэмсэн хэлбэлзлийн далайцаас хамаардаггүй. А 1 ба А 2, гэхдээ бас тэдний эхний үе шатуудын ялгаан дээр. Хамгийн их далайцтай хэлбэлзэл, А = ахамгийн их = а 1 + а 2 нь фазын хэлбэлзлийг нэмэх үед, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн эхний үе шатууд давхцах үед үүсдэг: a 1 = a 2.

Хэрэв фазын зөрүү (a 2 - a 1) = p бол нийт хэлбэлзлийн далайц хамгийн бага байх болно. а = амин = | а 1 – а 2 |. Хэрэв эсрэг фазын үед үүсэх ийм хэлбэлзлийн далайц нь тэнцүү бол ( а 1 = а 2), дараа нь нийт хэлбэлзлийн далайц тэгтэй тэнцүү байх болно.

Бид ирээдүйд зөвхөн хэлбэлзлийг төдийгүй долгионыг нэмэхдээ вектор диаграммын энэ аргыг ихэвчлэн ашиглах болно.

Лекц 13 "Механик чичиргээ"

Лекцийн тойм

1. Гармоник осцилляторын энерги.

2. Байгалийн уналттай хэлбэлзэл.

3. Албадан чичиргээ. Резонанс. Албадан хэлбэлзлийн далайц ба үе шат.

Нэг бие нь хоёр ба түүнээс дээш хөдөлгөөнд нэгэн зэрэг оролцож болно. Энгийн жишээ бол хэвтээ өнцөгт шидэгдсэн бөмбөгний хөдөлгөөн юм. Бөмбөг нь хэвтээ ба жигд хувьсах босоо гэсэн хоёр бие даасан перпендикуляр хөдөлгөөнд оролцдог гэж бид үзэж болно. Нэг бие (материалын цэг) нь хоёр (эсвэл түүнээс дээш) хэлбэлзлийн хөдөлгөөнд оролцож болно.

Доод хэлбэлзлийг нэмэхХэрэв хэлбэлзлийн систем нь хэд хэдэн тербеллийн процесст нэгэн зэрэг оролцвол үүсэх чичиргээний хуулийн тодорхойлолтыг ойлгох. Хоёр хязгаарлах тохиолдол байдаг: нэг чиглэлд хэлбэлзлийг нэмэх, харилцан перпендикуляр хэлбэлзлийг нэмэх.

2.1. Нэг чиглэлийн гармоник чичиргээ нэмэх

1. Нэг чиглэлийн хоёр хэлбэлзлийг нэмэх(хамтарсан чиглэлтэй хэлбэлзэл)

хоёр тэгшитгэл нэмэхийн оронд вектор диаграмын аргыг (Зураг 9) ашиглан хийж болно.

Зураг 2.1-д далайцын векторуудыг харуулав А 1(t) ба А 2 (t) эдгээр хэлбэлзлийн үе шатууд тус тус тэнцүү байх үед t хугацааны дурын агшинд хэлбэлзлийг нэмсэн. Тэгээд . Нэмэлт хэлбэлзэл нь тодорхойлолтод ирдэг . Вектор диаграммд нэмж байгаа векторуудын проекцын нийлбэр нь эдгээр векторуудын вектор нийлбэрийн проекцтой тэнцүү байдгийг ашиглая.

Үүний үр дүнд үүссэн хэлбэлзэл вектор диаграммд далайцын вектор ба фазтай тохирч байна.

Зураг 2.1 – Хамтарсан чиглэлтэй хэлбэлзлийн нэмэгдэл.

Вектор хэмжээ А(t) косинусын теоремыг ашиглан олж болно:

Үүссэн хэлбэлзлийн үе шатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

.

Хэрэв нэмсэн хэлбэлзлийн давтамж ω 1 ба ω 2 тэнцүү биш бол фаз φ(t) ба далайц хоёулаа А(t) Үүссэн хэлбэлзэл нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөнө. Нэмэлт хэлбэлзэл гэж нэрлэдэг уялдаа холбоогүйэнэ тохиолдолд.

2. Хоёр гармоник чичиргээг x 1 ба x 2 гэж нэрлэдэг уялдаатай, хэрэв тэдгээрийн фазын зөрүү нь хугацаанаас хамаарахгүй бол:

Гэхдээ эдгээр хоёр хэлбэлзлийн уялдаа холбоог хангахын тулд тэдгээрийн мөчлөгийн давтамж тэнцүү байх ёстой.

Тэнцүү давтамжтай когерент хэлбэлзлийг нэмэх замаар олж авсан хэлбэлзлийн далайц нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.

Хэрэв та векторуудыг төсөөлвөл үүссэн хэлбэлзлийн эхний үе шатыг олоход хялбар байдаг А 1 ба А OX ба OU координатын тэнхлэг дээрх 2 (9-р зургийг үз):

.

Тэгэхээр, тэнцүү давтамжтай хоёр гармоник хамтран чиглэлтэй хэлбэлзлийг нэмснээр олж авсан хэлбэлзэл нь мөн гармоник хэлбэлзэл юм.

3. Үүссэн хэлбэлзлийн далайц нь нэмсэн хэлбэлзлийн эхний фазын ялгаанаас хамаарахыг судалъя.

Хэрэв бол n нь сөрөг бус бүхэл тоо юм

(n = 0, 1, 2…), дараа нь хамгийн бага. Нэмэх мөчид нэмэгдсэн хэлбэлзэл нь дотор байсан эсрэг фаз. Үүссэн далайц нь тэг байх үед.

Хэрэв , Тэр , өөрөөр хэлбэл үр дүнд нь далайц байх болно дээд тал нь. Нэмэлт хийх мөчид нэмсэн хэлбэлзэл нь байсан нэг үе шатанд, өөрөөр хэлбэл үе шатанд байсан. Хэрэв нэмсэн хэлбэлзлийн далайц ижил байвал , Тэр .

4. Тэгш бус боловч ижил төстэй давтамжтай хамтарсан чиглэлтэй хэлбэлзлийг нэмэх.

Нэмэгдсэн хэлбэлзлийн давтамж нь тэнцүү биш, харин давтамжийн зөрүү юм ω 1 ба ω 2-оос хамаагүй бага. Нэмэгдсэн давтамжуудын ойролцоо байх нөхцлийг харилцаа холбоогоор бичнэ.

Ойролцоох давтамжтай хамтран чиглэсэн хэлбэлзлийг нэмэх жишээ бол пүршний хөшүүн чанар нь k 1 ба k 2 -аас бага зэрэг ялгаатай хэвтээ пүршний дүүжингийн хөдөлгөөн юм.

Нэмэгдсэн хэлбэлзлийн далайц ижил байна , эхний үе шатууд нь тэгтэй тэнцүү байна. Дараа нь нэмсэн хэлбэлзлийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

, .

Үүссэн хэлбэлзлийг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Үүссэн хэлбэлзлийн тэгшитгэл нь хоёр гармоник функцийн үржвэрээс хамаарна: нэг нь давтамжтай , нөгөө нь - давтамжтай , энд ω нь нэмсэн хэлбэлзлийн давтамжтай ойролцоо байна (ω 1 эсвэл ω 2). Үүний үр дүнд үүссэн хэлбэлзлийг гэж үзэж болно гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгддөг далайцтай гармоник хэлбэлзэл.Энэ хэлбэлзлийн процесс гэж нэрлэгддэг цохидог. Хатуухан хэлэхэд ерөнхий тохиолдолд үүссэн хэлбэлзэл нь гармоник хэлбэлзэл биш юм.

Далайц нь эерэг хэмжигдэхүүн тул косинусын үнэмлэхүй утгыг авна. Хамаарлын шинж чанар x res. цохих үед Зураг 2.2-т үзүүлэв.

Зураг 2.2 – Цохих үед нүүлгэн шилжүүлэх хугацаанаас хамаарах хамаарал.

Цохилтын далайц нь давтамжтайгаар аажмаар өөрчлөгддөг. Хэрэв аргумент нь π-ээр өөрчлөгдвөл косинусын үнэмлэхүй утга давтагдах бөгөөд энэ нь үүссэн далайцын утга нь τ b хугацааны интервалын дараа давтагдана гэсэн үг юм. цохих үе(12-р зургийг үз). Цохилтын үеийн утгыг дараах хамаарлаас тодорхойлж болно.

Үнэ цэнэ нь цохих хугацаа юм.

Хэмжээ нь үүссэн хэлбэлзлийн үе юм (Зураг 2.4).

2.2. харилцан перпендикуляр чичиргээ нэмэх

1. Харилцан перпендикуляр хэлбэлзлийн нэмэгдлийг харуулж болох загварыг Зураг 2.3-т үзүүлэв. Савлуур (м масстай материаллаг цэг) харилцан перпендикуляр чиглэсэн хоёр уян харимхай хүчний үйлчлэлээр OX ба OU тэнхлэгийн дагуу хэлбэлзэж болно.

Зураг 2.3

Эвхэгдсэн хэлбэлзэл нь дараахь хэлбэртэй байна.

Хэлбэлзлийн давтамжийг , , гэж тодорхойлно, энд , пүршний хөшүүн байдлын коэффициентүүд байна.

2. Хоёрыг нэмэх тохиолдлыг авч үзье ижил давтамжтай харилцан перпендикуляр хэлбэлзэл , энэ нь нөхцөл байдалд тохирсон (ижил булаг). Дараа нь нэмсэн хэлбэлзлийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

Цэг нь хоёр хөдөлгөөнд нэгэн зэрэг оролцох үед түүний замнал өөр, нэлээд төвөгтэй байж болно. Тэнцүү давтамжтай харилцан перпендикуляр хоёрыг нэмэх үед OXY хавтгай дээрх үүссэн хэлбэлзлийн траекторийн тэгшитгэлийг x ба y-ийн анхны тэгшитгэлээс t цагийг хасч тодорхойлж болно.

Замын төрөл нь эхний нөхцлөөс хамаарах нэмэлт хэлбэлзлийн эхний үе шатуудын зөрүүгээр тодорхойлогддог (§ 1.1.2-ыг үзнэ үү). Боломжит хувилбаруудыг авч үзье.

мөн хэрэв , энд n = 0, 1, 2…, i.e. нэмсэн хэлбэлзэл нь үе шатанд байгаа бол траекторийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

(Зураг 2.3 a).

б) Хэрэв (n = 0, 1, 2...), i.e. Нэмэлт хэлбэлзэл нь эсрэг фазын үед байгаа бол траекторийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

(Зураг 2.3b).

Хоёр тохиолдолд (a, b) цэгийн үр дүнд хөдөлгөөн нь O цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын дагуух хэлбэлзэл байх болно. Үүссэн хэлбэлзлийн давтамж нь нэмсэн хэлбэлзлийн давтамжтай тэнцүү байна ω 0, далайцыг тодорхойлно. харьцаагаар.