Тасралтгүй дохионы дээж авах өмнөх хэсгээс бодит дохиог спектрийн болон цаг хугацааны аль алинд нь дээжээр дүрсэлж болно. Дискрет спектр ба салангид дохио хоёулаа анхны тасралтгүй (тасралтгүй) дохиог бүрэн дүрсэлдэг. Гэсэн хэдий ч өгөгдсөн дискрет дохионоос салангид спектрийг олохын тулд цаг хугацаа шаардсан тооцоолол хийх шаардлагатай: эхлээд салангид дохионоос тасралтгүй дохиог сэргээж, дараа нь Фурье хувиргалтыг ашиглан тасралтгүй спектрийг олж, дараа нь дискретчил. . Урвуу хөрвүүлэлтийн хувьд ижил төстэй процедурыг дагаж мөрдөх ёстой. Дискрет дохионоос салангид спектр рүү шууд шилжих ба эсрэгээр нь дискрет Фурье хувиргалтыг ашиглан хийх боломжтой.
Дараахтай тэнцүү тооны эрх чөлөөний зэрэгтэй хязгаарлагдмал үргэлжлэх үргэлжилсэн дохиог авч үзье. Энэ дохионы хувьд бид тэлэлтийг Котельниковын цувралд бичиж болно.
Ашиглах замаар хэвийн хувиргалтЭнэ дохионы Фурье спектрийг олцгооё.
Энэ томьёо дахь интегралыг шууд тооцоолох нь хөдөлмөр их шаарддаг журам юм. Гэсэн хэдий ч үүнийг өөр аргаар хийхэд хэцүү биш юм.
Илэрхийлэлээр тодорхойлогддог спектрийг авч үзье
Урвуу Фурье хувиргалтыг хэрэглэснээр энэ нь цаг хугацааны функцтэй тохирч байгааг олж мэднэ
Мэдээжийн хэрэг, урвуу хамаарал нь бас үнэн юм
Сааталын теоремыг ашиглан бид бичиж болно
(3.2)-ыг (3.1) орлуулснаар бид спектрийн эцсийн илэрхийлэлийг олж авна
Дискрет Фурье хувиргалт руу шилжихийн тулд (3.3) илэрхийлэл дэх спектрийн утгыг бүх давтамжийн утгуудад биш, харин салангид (түүвэрлэсэн) утгыг тооцоолох шаардлагатай.
Үүний үр дүнд бид салангид Фурье хувиргалтын эцсийн томъёог олж авдаг
Дискрет Фурье хувиргалтын шинж чанарууд нь ердийн Фурье хувиргалтын шинж чанаруудтай олон талаараа төстэй байдаг. Зөвхөн нэг онцлог шинж чанарыг тэмдэглэе
Дискрет Фурье хувиргалтын үечлэл гэж нэрлэж болно.
Бүхэл тоо байх үед (3.4) томъёогоор тодорхойлсон утгыг авч үзье.
Тиймээс, дискрет Фурье хувиргалт нь үетэй тэнцүү давтамжтай давтамжийн функц юм. Энэ шинж чанар нь Бүлэгт авч үзсэн дээж авсан дохионы спектрийн үечилсэн шинж чанартай төстэй юм. 2.
Одоо бид спектрийн дээжээс дохионы дээжийг тодорхойлох боломжийг олгодог урвуу дискрет Фурье хувиргалтын гарал үүслийг авч үзье. Үүнийг хийхийн тулд бид ердийн урвуу Фурье хувиргалтыг ашигладаг
Бид дохионы спектрийн нягтыг Котельниковын цуврал хэлбэрээр бичдэг
ба урвуу Фурье хувирлын интегралд орлуулна
Илэрхийлэл дэх интеграл нь өмнө нь тооцсон интегралтай төстэй байна (3.2). Энэ зүйрлэлийг ашиглан бид бичдэг
(3.6)-г (3.5) орлуулснаар бид цаг хугацааны функцийн илэрхийлэлийг олж авна
Холболтыг харгалзан бид салангид дохионы утгыг тодорхойлох томъёог олж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид урвуу дискрет Фурье хувиргалтанд хүрнэ.
Энд A нь 0-ээс утгыг авна
Заримдаа тэмдэглэгээ хийхэд хялбар байх үүднээс Фурьегийн дискрет хувиргалтуудын үечилсэн шинж чанарыг ашиглан илэрхийлэл дэх (3.8) нийлбэрийн хязгаарыг өөрчилж, урвуу дискрет Фурье хувиргалтыг хэлбэрээр бичдэг.
Дүрслэхийн тулд түүвэрлэсэн гурвалжин импульс дээр салангид Фурье хувиргалтыг ашиглана уу (Зураг 2-т таван дээжийн утгыг дүрсэлсэн).
Энэ илэрхийллийг салангид дохионы хувьд (3.4) дискрет Фурье хувиргалтын томъёонд орлъё.
Харьцуулахын тулд олъё спектрийн нягтЭхний гурвалжин импульс:
Дискрет спектр (3.11) нь гурвалжин импульсийн (3.12) спектрийн нягтыг нарийн тодорхойлж чадахгүй байгааг харахад хялбар байдаг. Утга нь гурвалжин импульсийн спектрийн харгалзах утгуудаас бага зэрэг ялгаатай байна (Зураг 3.1, b).
Одоо (3.11) спектрийн салангид утгыг урвуу дискрет Фурье хувиргалт (3.8) илэрхийлэл болгон орлъё:
Дискрет спектрийн утгууд ба тасралтгүй спектрийн утгуудын хоорондох зөрүүгээс үл хамааран олж авсан үр дүн нь анхны дискрет дохионы томъёотой бүрэн давхцаж байна (3.11).
Дискрет Фурье хувиргалт нь анхны тасралтгүй дохионы спектрийг үргэлж нарийн тодорхойлж чаддаггүйг авч үзсэн жишээ харуулж байна.
Цагаан будаа. 3.1. Дискрет хувиргалтДээж авсан гурвалжин импульсийн Фурье
дээж авсан дохио нь үргэлж анхны тасралтгүй дохиог үнэн зөв дүрсэлж чаддаггүй. Гэсэн хэдий ч дискрет дохио ба түүний салангид Фурье хувиргалт хоорондын хамаарал нь үргэлж нэгийг харьцдаг бөгөөд Фурьегийн шууд ба урвуу хувиргалтын томъёо нь дурын тооны хувьд хатуу байдаг. дискрет утгууд. Иймээс дискрет Фурье хувиргалтын төхөөрөмж нь бие даасан ач холбогдолтой бөгөөд ямар ч тоон дараалалд хэрэглэж болно.
Энэ тохиолдолд хийсвэрийн хувьд салангид Фурье хувиргалтын томъёог бага зэрэг өөрчлөх шаардлагатай. тооны дараалалДээж авах интервал ба дохионы үргэлжлэх хугацаа нь утгагүй юм. Тиймээс (3.4) томъёоны нийлбэрийн урд талын коэффициентийг орхигдуулж, дохио ба спектрийн лавлагаа утгуудаар сольж, дискрет Фурье хувиргалтын томъёог хэлбэрээр бичнэ.
Энэ тохиолдолд урвуу дискрет Фурье хувиргалт нь хэлбэртэй байна
Томъёо (3.14) ашиглан тооцоолсон утгууд нь тасралтгүй хэлбэлзлийн спектрийн дээжийн утгуудаас нэг хүчин зүйлээр ялгаатай байна. Түүврийн утгыг тодорхойлохын тулд (3.14) томъёог ашиглан тооцоолсон утгыг түүвэрлэлтийн хугацааны интервалын утгаар үржүүлэх шаардлагатай.
(3.14), (3.15) хувиргалтууд нь харилцан урвуу гэдгийг харуулъя. Үүнийг хийхийн тулд Фурьегийн дискрет хувиргалтыг (3.14) ашиглан дурын тоон дарааллыг авч, дарааллыг олж, урвуу дискрет хувиргалтыг хэрэглэнэ.
Фурье (3.15). Бид үүссэн дарааллыг тэмдэглэнэ
Нийлбэрийн дарааллыг өөрчилж, энэ илэрхийллийг бага зэрэг өөрчилье.
Илэрхийллийн дотоод нийлбэр (3.16) нь тэгтэй тэнцүү бол хэрэв ба тэнцүү байна. Иймд, өөрөөр хэлбэл, тоон дараалал нь хоорондоо давхцах үед. Иймээс ямар ч тоон дараалалд шууд болон урвуу дискрет Фурье хувиргалтыг дараалан хэрэглэхэд үр дүн нь ижил дараалалтай болно.
Энэ санааг хамгийн энгийн жишээгээр тайлбарлая.
1. a-тэй тэнцүү нэг түүврийн утгаас бүрдэх хамгийн энгийн дискрет дохиог авч үзье. Энэхүү энгийн дарааллыг Фурьегийн дискрет хувиргах томъёонд (3.14) орлуулснаар бид бие даасан Фурьегийн дискрет хувирлыг олж авна. тоон утгаижил утгатай тэнцүү байна.
Дискрет Фурье хувиргалтын өөр нэг чухал хэрэглээ бол өгөгдсөн давтамжийн хариу үйлдэл бүхий шүүлтүүрийн гаралтын дохиог тооцоолох явдал юм. Хэрэв оролтын дохио өгөгдсөн бол түүний хувьд дискрет Фурье хувирлыг тооцоолж болно. Хэрэв бид одоо шүүлтүүрийн давтамжийн хариугаар үржүүлбэл бид гаралтын дохионы дискрет Фурье хувиргалтыг олж авна: Үүний дараа урвуу дискрет Фурье хувиргалтыг ашиглана. , бид шүүлтүүрийн гаралтын дохиог олох боломжтой.
Хэрэв оролтын дохио нь удаан үргэлжилдэг бол түүнийг хэсэг хэсгээр нь салангид Фурье хувиргалтыг ашиглан боловсруулж болно. Үүнийг хийхийн тулд оролтын дохионы эхний N дээжийг авч, тэдгээрийн дискрет Фурье хувирлыг тооцоолж, шүүлтүүрийн давтамжийн хариугаар үржүүлсний дараа урвуу дискрет Фурье хувиргалтыг ашиглан гаралтын дохионы эхний N дээжийг тооцоолно. Үүний дараа оролтын дохионы дараагийн N дээжийг ижил төстэй байдлаар боловсруулдаг. Дохио боловсруулалтын нарийвчлалыг нэмэгдүүлэхийн тулд боловсруулсан цуврал дээжүүд хэсэгчлэн давхцаж болно.
Дохио боловсруулах энэ аргын давуу тал нь шүүлтүүрийн давтамжийн хариу үйлдэлд ямар нэгэн хязгаарлалт байхгүй байх явдал юм. Жишээлбэл, давтамжийн хариу үйлдэл нь ердийн шүүлтүүр ашиглан хүрэх боломжгүй төгс тэгш өнцөгт хэлбэртэй байж болно.
Дискрет Фурье хувиргалтыг ашиглан дохионы боловсруулалтыг дижитал шүүлтүүр гэж нэрлэж болохгүй бүх утгаарааүгс. Бодит цагийн горимд ажилладаг ердийн дижитал шүүлтүүрүүд нь дохиог ирэхэд нь тасралтгүй боловсруулдаг бөгөөд дискрет Фурье хувиргалтыг ашиглан гаралтын дохиог тооцоолохдоо зөвхөн оролтын дохиог бүхэлд нь эсвэл ядаж N дээжийн эхний цувралыг мэддэг болсны дараа л хийж болно. Тиймээс, дискрет Фурье хувиргалтыг ашиглах үед гаралтын дохиог зөвхөн тодорхой тоогоор л авах боломжтой
оролтын дохиотой харьцуулахад саатал. Гэсэн хэдий ч тоогоор практик хэрэглээгаралтын дохионы ийм саатал нь чухал үүрэг гүйцэтгэдэггүй бөгөөд дараа нь дискрет Фурье хувиргалтыг ашиглан дохионы боловсруулалт тохиромжтой болж хувирна.
Орчин үеийн харилцаа холбооны технологигүйгээр төсөөлөхийн аргагүй спектрийн шинжилгээ. Доторх дохионы төлөөлөл давтамжийн домэйнтэдгээрийн шинж чанарыг шинжлэх, радио холбооны системийн дамжуулагчийн блок, нэгжийг шинжлэхэд шаардлагатай. Дохиог давтамжийн муж руу хөрвүүлэхийн тулд шууд Фурье хувиргалтыг ашигладаг. Фурьегийн шууд хувиргалтын ерөнхий томъёог дараах байдлаар бичнэ.
Давтамжийн шинжилгээний энэ томъёоноос харахад тооцоолол хийгдсэн корреляцийн хамааралцаг хугацааны мужид дүрслэгдсэн дохио ба өгөгдсөн давтамж дахь комплекс экспоненциалын хооронд. Энэ тохиолдолд Эйлерийн томъёоны дагуу комплекс экспоненциал нь бодит ба төсөөлөлд хуваагдана.
(2)Давтамжийн мужид дүрслэгдсэн дохиог урвуу Фурье хувиргалтыг ашиглан цаг хугацааны муж болгон хувиргаж болно. Фурьегийн урвуу хувиргалтын ерөнхий томъёог дараах байдлаар бичнэ.
(3)
Шууд Фурье хувиргах томъёо нь хасах хязгаараас хязгааргүй хүртэлх хугацааны интеграцийг ашигладаг. Мэдээжийн хэрэг, энэ бол математикийн хийсвэрлэл юм. IN бодит нөхцөл-аас бид нэгтгэх боломжтой энэ мөчидТ хугацаанаас өмнө бид 0 гэж тэмдэглэж болох цаг. Фурьегийн шууд хувиргалтын томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.
(4)
Үүний үр дүнд Фурье хувирлын шинж чанар ихээхэн өөрчлөгддөг. Оронд нь дохионы спектр тасралтгүй функц утгын салангид цуваа болдог. Одоо хамгийн бага давтамж, нэгэн зэрэг дохионы спектрийн давтамжийн утгын алхам нь:
, (5)
Зөвхөн нүгэл үйлддэгдавтамжтай cos к/Тхарилцан ортогональ байх бөгөөд энэ нь Фурье хувиргалтанд зайлшгүй шаардлагатай нөхцөл юм. Фурье цувралын өргөтгөлийн эхний функцуудын багцыг Зураг 1-д үзүүлэв. Энэ тохиолдолд функцүүдийн үргэлжлэх хугацаа нь шинжилгээний үргэлжлэх хугацаатай давхцдаг. Т.
Зураг 1. Фурье цувралын өргөтгөлийн функцууд
Одоо дохионы спектр 2-р зурагт үзүүлсэн шиг харагдах болно.
Зураг 2. Функцийн спектр x(т) хязгаарлагдмал хугацааны интервалд дүн шинжилгээ хийх үед
IN энэ тохиолдолдФурьегийн шууд хувиргалтыг (4) тооцоолох томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлэв.
(6)
Хязгаарлагдмал хугацаанд спектрийг тодорхойлох тохиолдолд Фурьегийн урвуу хувиргалтын томъёо дараах байдалтай байна.
(7)
Үүнтэй адилаар та дижитал дохионы дээжийн шууд Фурье хувиргалтын томъёог тодорхойлж болно. Тасралтгүй дохионы оронд түүний дижитал дээжийг ашигладаг болохыг харгалзан (6) илэрхийлэлд интегралыг нийлбэрээр солино. Энэ тохиолдолд дүн шинжилгээ хийсэн дохионы үргэлжлэх хугацааг тоон дээжийн тоогоор тодорхойлно Н. Дижитал дохионы дээжийн Фурье хувиргалтыг дискрет Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэгбөгөөд дараах байдлаар бичигдсэн байна.
(8)Одоо хязгаарлагдмал хугацааны интервал дахь Фурьегийн шууд хувиргалттай харьцуулахад дискрет Фурье хувиргалт (DFT)-ийн шинж чанарууд хэрхэн өөрчлөгдсөнийг харцгаая. Бид аналог дохионы түүврийг авч үзэхэд оролтын дохионы спектр нь давтамжийн хязгаарлагдмал байх ёстойг олж мэдсэн. Энэ шаардлага нь дохионы спектрийн салангид бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоог хязгаарладаг. Эхлээд бид дохионы спектрийг давтамжаар хязгаарлаж болох юм шиг санагдаж магадгүй юм е d/2, энэ нь давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоотой тохирч байна K=N/2. Гэсэн хэдий ч энэ нь үнэн биш юм. Эерэг давтамж ба сөрөг давтамжийн бодит дохионы дээжийн дохионы спектр нь ойролцоогоор 0 орчим тэгш хэмтэй боловч зарим спектрийн алгоритмуудад сөрөг давтамж шаардлагатай байж болно. Оролтын дохионы нийлмэл дээж дээр дискрет Фурье хувиргалт хийх үед ялгаа нь бүр ч их байдаг. Үүний үр дүнд бүрэн тайлбарспектр дижитал дохиошаардлагатай Ндавтамжийн дээж ( k = 0, ..., N/2).
Фурье хувиргах
Олон дохиог синусоид (гармоник) болгон задлах замаар шинжлэхэд тохиромжтой. Үүнд хэд хэдэн шалтгаан бий. Жишээлбэл, хүний чих ижил төстэй байдлаар ажилладаг. Энэ нь дуу авиаг өөр өөр давтамжийн чичиргээ болгон задалдаг. Үүнээс гадна синусоидууд нь " өөрийн функцууд» шугаман системүүд (тэдгээр дамжин өнгөрдөг тул шугаман системүүд, хэлбэрийг өөрчлөхгүйгээр, гэхдээ зөвхөн фаз ба далайцыг өөрчлөх боломжтой). Өөр нэг шалтгаан нь Котельниковын теоремыг дохионы спектрийн хувьд томъёолсон байдаг.
Фурье хувиргалт ) нь функцуудыг синусоид болгон задлах явдал юм (цаашид бид косинусын функцийг синусоид гэж нэрлэдэг, учир нь тэдгээр нь "бодит" синусоидуудаас зөвхөн фазын хувьд ялгаатай байдаг). Фурье хувиргалтын хэд хэдэн төрөл байдаг.
1. Тогтмол бус тасралтгүй дохиог Фурье интеграл болгон өргөжүүлж болно.
2. Тогтмол тасралтгүй дохиог хязгааргүй Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно.
3. Тогтмол бус дискрет дохиог Фурье интеграл болгон өргөжүүлж болно.
4. Тогтмол дискрет дохиог төгсгөлтэй Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно.
Компьютер нь зөвхөн хязгаарлагдмал хэмжээний өгөгдөлтэй ажиллах боломжтой тул энэ нь зөвхөн Фурье хувиргалтын сүүлчийн төрлийг тооцоолж чаддаг. Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье.
Бодит дохио DFT
Дискрет x дохио нь N цэгтэй байг. Энэ тохиолдолд үүнийг салангид синусоидуудын төгсгөлтэй цуврал (жишээ нь шугаман хослол) хэлбэрээр төлөөлж болно.
2π к (n + ϕ к) | |||
x = ∑ C k cos | (Фурье цуврал) |
||
k = 0 |
Эквивалент тэмдэглэгээ (бид косинус бүрийг синус болон косинус болгон задалдаг, гэхдээ одоо фазгүй):
2 π kn | 2 π kn | |||
x = ∑ A k cos | + ∑ B k нүгэл | (Фурье цуврал) |
||
k = 0 | k = 0 |
Цагаан будаа. 6. 8 цэгийн дискрет дохионы Фурье цувралын үндсэн функцууд. Зүүн талд нь косинусууд, баруун талд нь синусууд байдаг. Давтамж нь дээрээс доошоо нэмэгддэг.
Үндсэн синусоидууд нь олон давтамжтай байдаг. Цувралын эхний гишүүн (k =0) нь тогтмол гэж нэрлэгддэг тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг(Тогтмол гүйдлийн офсет) дохио. Хамгийн анхны синусоид (k = 1) ийм давтамжтай байдаг тул түүний хугацаа нь анхны дохионы үетэй давхцдаг. Хамгийн өндөр давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсэг (k =N /2) ийм давтамжтай бөгөөд түүний хугацаа нь хоёр тоололтой тэнцүү байна. КоэффицентүүдA k ба
B k нь дохионы спектр (спектр) гэж нэрлэгддэг. Тэд си-ийн далайцыг харуулдаг.
дохиог бүрдүүлдэг нусоидууд. Фурье тэлэлтийн хоёр зэргэлдээ синусоидын хоорондох давтамжийн алхам гэж нэрлэдэг давтамжийн нарийвчлалспектр
Зураг дээр. Зураг 6-д 8 цэгээс салангид дохиог задлахад ашигладаг синусоидуудыг үзүүлэв. Синусоид бүр нь 8 цэгээс бүрддэг, өөрөөр хэлбэл энэ нь ердийн дискрет дохио юм. Тасралтгүй синусоидуудыг тодорхой болгохын тулд зурагт үзүүлэв.
цэг бүрт Фурье цувааны нийлбэрийг тооцоолж анхны дохиог хувиргана. Дохиог синусоид болгон задлах (жишээ нь коэффициентийг олж авах) гэж нэрлэдэг Фурьегийн шууд хувиргалт. Урвуу үйл явц - синусоидыг ашиглан дохионы синтез - гэж нэрлэдэг урвуу Фурье хувиргалт(урвуу Фурье хувиргалт).
Урвуу Фурье хувиргалтын алгоритм нь ойлгомжтой (энэ нь Фурье цувралын томъёонд агуулагддаг; синтезийг хийхийн тулд та түүнд коэффициентүүдийг орлуулахад л хангалттай). Фурьегийн шууд хувиргах алгоритмыг авч үзье, i.e. A k ба B k коэффициентийг олох.
2 π kn | 2 π кн | аргументаас n нь эсвэл- |
||||||
Функциональ систем | K = 0,..., | |||||||
N үетэй үечилсэн дискрет дохионы орон зайд тогональ суурь. Энэ нь орон зайн аль ч элементийг (дохио) задлахын тулд та тооцоолох хэрэгтэй гэсэн үг юм цэгэн бүтээгдэхүүнЭнэ элемент нь системийн бүх функцтэй бөгөөд үр дүнгийн коэффициентийг хэвийн болгодог. Дараа нь A k ба B k коэффициент бүхий суурь өргөтгөлийн томъёо нь анхны дохионы хувьд хүчинтэй байх болно.
Тиймээс A k ба B k коэффициентийг скаляр үржвэр гэж тооцдог (бусд
тасалдсан тохиолдолд – функцүүдийн үржвэрийн интеграл, салангид тохиолдолд
– салангид дохионы үржвэрийн нийлбэр):
N − 1 | 2 π ki , k = 1,..., | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
A k= | ∑ xcos | −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
N i = 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N − 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A k= | ∑ x cos2 π ki , k = 0-ийн хувьд, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
N i = 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N − 1 | 2πки | NB 0 ба B N 2 нь үргэлж тэгтэй тэнцүү байдаг (харгалзах "үндсэн" дохио нь салангид цэгүүдэд адилхан тэг байдаг) ба урвуу болон утгыг тооцоолохдоо тэдгээрийг хаяж болно. шууд хувиргалтФурье. Тиймээс бид дохионы спектрийн дүрслэл нь дохиотой бүрэн тэнцүү болохыг олж мэдсэн. Та Фурьегийн урагш ба урвуу хувиргалтыг ашиглан тэдгээрийн хооронд шилжиж болно. Эдгээр хувиргалтыг тооцоолох алгоритмыг өгөгдсөн томъёонд оруулсан болно. Фурье хувиргалтыг тооцоолох нь маш их шаарддаг их тооүржүүлэх (N 2 орчим) болон синусын тооцоо. Эдгээр хөрвүүлэлтийг илүү хурдан хийх арга бий: ойролцоогоор N log2 N үржүүлгийн үед. Энэ аргыг нэрлэдэгхурдан Фурье хувиргалт (FFT, хурдан Фурье хувиргалт ). Энэ нь хүчин зүйлүүдийн (синусууд) дунд олон давтагдах утгууд байдаг (синусуудын үечилсэн байдлаас шалтгаалан) дээр суурилдаг. FFT алгоритм нь ижил хүчин зүйлтэй нэр томъёог бүлэглэж, үржүүлгийн тоог эрс багасгадаг. Үүний үр дүнд FFT-ийн гүйцэтгэл нь стандарт алгоритмаас хэдэн зуу дахин хурдан байж болноН ). FFT алгоритм нь үнэн зөв гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ нь стандартаас ч илүү нарийвчлалтай, учир нь үйлдлүүдийн тоог бууруулснаар бөөрөнхийлөх алдаа багасна. Гэсэн хэдий ч ихэнх FFT алгоритмууд нь нэг онцлог шинж чанартай байдаг: тэдгээр нь шинжлэгдсэн N дохионы урт нь хоёрын зэрэгтэй байх үед л ажиллах боломжтой. Энэ нь ихэвчлэн илэрхийлдэггүй том асуудал, учир нь дүн шинжилгээ хийсэн дохиог шаардлагатай хэмжээгээр үргэлж тэгээр дүүргэж болно. Тоо N-ийг FFT хэмжээ буюу урт гэж нэрлэдэг. Нарийн төвөгтэй DFTОдоогийн байдлаар бид бодит дохионоос DFT-ийг авч үзсэн. Одоо DFT-ийг нарийн төвөгтэй дохионуудад ерөнхийд нь авч үзье. x, n =0,…,N -1 – N комплекс тооноос бүрдэх анхны комплекс дохио. X, k =0,…N -1 – түүний N комплекс тооноос бүрдэх комплекс спектрийг тэмдэглэе. Тэгвэл шударга дараах томъёонуудшууд ба урвуу хувиргалт вани Фурье (энд j = − 1): N − 1 X [ k] = ∑ x[ n] e− jnk (2 π N )
Хэрэв бид эдгээр томьёог ашиглан бодит дохиог спектр болгон задлах юм бол спектрийн эхний N / 2+1 цогц коэффициентүүд нь "цогцолбор" хэлбэрээр үзүүлсэн "ердийн" бодит DFT-ийн спектр болон үлдсэн коэффициентүүдтэй давхцах болно. талаар тэдний тэгш хэмтэй тусгал байх болно | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Бид сегмент дээр өөрийн заалтаар тодорхойлогддог салангид дохионы спектрийн дүрслэлийн онцлогийг судалж үздэг. 
, зарим үед тус тус авсан 
; дээжийн нийт тоо 
(
- дээж авах интервал).
Ийм салангид дохиог судлах арга нь лавлагааны утгын үр дүнгийн түүврийг оюун санааны хувьд хязгааргүй олон удаа давтах явдал юм. Үүний үр дүнд дохио нь үе үе болдог.
Тодорхой математик загварыг ийм дохиотой холбосноор та Фурье цувралын өргөтгөлийг ашиглаж, харгалзах далайцын коэффициентийг олох боломжтой. Эдгээр коэффициентүүдийн хослол нь салангид үечилсэн дохионы спектрийг бүрдүүлдэг.
Загварыг дельта импульсийн дараалал хэлбэрээр ашиглацгаая. Дараа нь анхны чичиргээг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.
(5.1)
Хаана 
- аналог дохионы дээжийн утгууд.
- дискрет Фурье хувиргалт (DFT) (5.4)
DFT-ийн үндсэн шинж чанарууд
1. DFT - шугаман хувиргалт i.e. дохионы нийлбэр нь тэдгээрийн DFT-ийн нийлбэртэй тохирч байна
2. Янз бүрийн коэффициентүүдийн тоо 
, (5.4) томъёог ашиглан тооцоолсон, нэг үе дэх N тоотой тэнцүү; коэффициент дээр 
3. Коэффициент 
(тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг) нь бүх уншилтын дундаж утга юм.
5. Лавлагаа утгуудыг бичье 
– бодит тоо. Дараа нь тоо нь /2-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрладаг DFT коэффициентүүд нь хосолсон хосуудыг үүсгэдэг.
Дискрет спектрийн шинжилгээний асуудлыг өөр аргаар томъёолж болно. Коэффициент гэж үзье 
, DFT бүрдүүлэх, өгсөн байна. (5.2) томъёог оруулъя. 
Анхны дохионы спектрт агуулагдах гармониктай тохирч байгаа цувралын зөвхөн хязгаарлагдмал тооны гишүүний нийлбэрийг харгалзан үзнэ.
Тиймээс бид лавлагаа утгыг тооцоолох томъёог олж авдаг
(5.5)
Мэдээжийн хэрэг (5.5) нь урвуу дискрет Фурье хувиргалт (IDFT) томъёо юм.
11 Хурдан Фурье хувиргах алгоритм. Тооцооллын үйлдлийн тоо. Дискрет ба хурдан Фурье хувиргуудын харьцуулалт.
=0,
1, 2,…,( /2)-1
(5.7)
Оролтын массивын тэгш ба сондгой хэсгүүдэд хамаарах коэффициентүүдийн дараалал нь N/2 үетэй үе үе байдгийг анхаарч үзье.
Үүнээс гадна (5.7) томъёонд орсон хүчин зүйл at 
дараах байдлаар хөрвүүлж болно:
Эндээс бид DFT коэффициентүүдийн багцын хоёрдугаар хагасын илэрхийлэлийг олно
(5.8)
Томъёо (5.7) ба (5.8) нь FFT алгоритмын үндэс болдог. Цаашдын тооцоог давталтын зарчмын дагуу хийдэг: тэгш, сондгой тоо бүхий дээжийн дарааллыг дахин хоёр хэсэгт хуваана. Нэг элементээс бүрдэх дарааллыг олж авах хүртэл процессыг үргэлжлүүлнэ. Энэ элементийн DFT нь өөртэйгөө давхцдаг.
FFT-ийг тооцоолоход шаардагдах үйлдлүүдийн тоог дараах байдлаар тооцоолсон 
.
Хэрэв оролтын массив хангалттай урттай бол уламжлалт DFT-тэй харьцуулахад тооцооллын хурдны өсөлт хэдэн зуу, бүр мянгад хүрдэг.
12.. З - хувиргалт ба түүний шинж чанарууд. Өргөдөл З - өөрчлөлтүүд.
Дискрет болон дижитал төхөөрөмжүүдийн шинжилгээ, синтезийн явцад Z-хувиргагч нь тасралтгүй дохионы хувьд Фурьегийн интеграл хувиргалттай ижил үүрэг гүйцэтгэдэг.
Болъё 
- тодорхой дохионы лавлагаа утгыг агуулсан төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй тоон дараалал. Үүнийг цувралын нийлбэртэй өвөрмөц захидалд оруулъя сөрөг хүчнүүдкомплекс хувьсагч Z:
(5.9)
Энэ нийлбэрийг дарааллын Z хувиргалт гэж нэрлэдэг 
. Тоонуудын салангид дарааллын шинж чанарыг математик шинжилгээний уламжлалт аргуудыг ашиглан тэдгээрийн Z-хувиргалтуудыг судлах замаар судалж болно.
Энэ илэрхийлэл нь |Z|> үед утга учиртай болно 
.
Урвуу Z-хувиргах
x(z) нь нийлмэл хувьсагчийн Z функц байг. Z-хувиргагчийн гайхалтай шинж чанар нь x(z) функц нь бүхэл хязгааргүй түүврийн багцыг тодорхойлдог явдал юм. 
).
Үнэхээр цувралын (5.9) хоёр талыг хүчин зүйлээр үржүүлцгээе 
:
m тоотой гишүүнийг эс тооцвол баруун талд байгаа бүх гишүүний интеграл алга болно.
(5.11)
Энэ илэрхийлэлийг урвуу Z хувиргалт гэж нэрлэдэг.
Хамгийн чухал шинж чанарууд З - хөрвүүлэлт:
1. Шугаман байдал. Хэрэв 
Тэгээд 
- зарим салангид дохионууд ба харгалзах Z-хувиргалт x(z) ба y(z) мэдэгдэж байгаа бол дохио 
ямар ч тогтмолын хувиргалтанд тохирно 
Тэгээд 
. (5.9) томъёонд нийлбэрийг орлуулах замаар нотлох баримтыг гүйцэтгэнэ.
2.
З-шилжсэн дохиог хувиргах. Дискрет дохиог авч үзье 
, салангид дохионы үр дүнд бий болсон 
нэг байрлалыг саатал руу шилжүүлэх замаар, өөрөөр хэлбэл. Хэзээ 
. Z хувиргалтыг шууд тооцоолсноор бид дараах үр дүнг авна.
Тиймээс бэлэг тэмдэг 
Z домайн дахь нэгж саатлын операторын үүргийг гүйцэтгэдэг (түүврийн интервал бүрээр).
3. З- эргэлтийн хувиргалт. x(z) ба y(z) байг тасралтгүй дохио, үүний хувьд эргэлтийг тодорхойлсон:
(5.13)
-тай холбоотой салангид дохио(5.13)-тай зүйрлэн нэвтрүүлэх нь заншилтай салангид эргэлт
- нийтлэг нэр томъёо нь дараах тоонуудын дараалал.
Ийм салангид эргэлтийг шугаман гэж нэрлэдэг
Дискрет эргэлтийн Z-хувиргалыг тооцоолъё:
(5.15)
Тиймээс хоёр салангид дохионы эргэлт нь Z-хувиргах бүтээгдэхүүнтэй тохирч байна.
Танилцуулга
Асаалттай лабораторийн хичээлдискретийн боломжууд тригонометрийн хувиргалт(замын осол) дараах үүднээс авч үзвэл:
1. Бид өгөгдсөн ослын урвуу шинж чанарыг шалгасан.
2. Санал болгож буй ослын шугаман байдлыг судалсан.
3. Туршилт хийсэн ослын давталтын спектрийн онцлогийг судалсан.
4. Бид ослын үед спектрийн тэгш хэмтэй тусгал байгаа эсэхийг тодорхойлсон, тухайлбал
4.1. олдоц төвийн тэгш хэм,
4.2. тэнхлэгийн (босоо) тэгш хэмийн байдал.
5. Бид дохионы фазын шилжилтийн үр дүнд үүссэн осолд үзүүлэх нөлөөг авч үзсэн.
6. Өгөгдсөн хувиргалтанд ижил төстэй шинж чанар байгаа эсэхийг шалгасан.
7. Бид тухайн ослыг ашиглан дохиог шүүх боломжийг судалсан.
8. Судалгаанд хамрагдаж буй зам тээврийн ослын үед эрчим хүчний хэмнэлтийг туршилтаар туршиж үзсэн.
9. Бид энэ осол болон салангид Фурье хувиргалт хоорондын холбоог олж мэдсэн.
Төрөл бүрийн оролтын дохиог илүү төлөөлөлтэй дүн шинжилгээ хийх зорилгоор авч үзсэн.
Дискреттүүдийн дунд хамгийн алдартай нь функциональ өөрчлөлтүүддискрет Фурье хувиргалт (DFT)
Дискрет Фурье хувиргалт
Дискрет Фурье хувиргалт нь тодорхойлно шугамын спектрцаг хугацааны салангид үечилсэн функц. Урвуу дискрет Фурье хувиргалт нь цаг хугацааны функцийг түүний спектрээс дахин бүтээх боломжийг олгодог. Эдгээр хувиргалтыг ихэвчлэн DFT болон ODFT гэж товчилдог.
DFT нь үечилсэн функцийг шинжлэхэд хэрэглэгддэг бөгөөд үүнийг Фурье цувралын онолоос авч болно. x0(t) тасралтгүй байг үечилсэн функц P үе ба давтамжтай f0 = 1/P тийм
x0(t) функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно.
Энд X0(n) тэлэлтийн коэффициентийг томъёогоор өгөгдсөн
Ихэвчлэн x0(t) байна бодит функц, тэгээд X0(n) нь нарийн төвөгтэй (гэхдээ энэ хязгаарлалт шаардлагагүй). Бид x0-ийг цаг хугацааны функц гэж үздэг тул X0(n)-ийг x0(t)-ийн цогц спектр гэж нэрлэж болно. X0(n)-ийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг ашиглан x0(t) хэлбэлзлийг үүсгэгч бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц ба фазыг олж болно.
Үелэх функц x0(t)-ын дискретжилтийг авч үзье. Энэ функцийг өвөрмөц байдлаар ялгахын тулд түүний спектр нь f1 давтамжаас өндөр давтамжтай бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг агуулж болохгүй, өөрөөр хэлбэл.
Энд n1 нь f1 давтамжийг заасан n-ийн бүхэл тоо юм.
Зураг дээр. 1 нь ийм хязгаарлагдмал спектр ба түүнд тохирох чичиргээг харуулж байна.
түүвэрлэлтийн интервал T тэнцүү байна
тиймээс нэг үе дэх дээжийн тоо байх болно
Зураг. 1. Хязгаарлагдмал давтамжийн зурвас бүхий үечилсэн функц x0(t) ба түүний спектр X0(n).
1 Дискретизацийн үр дүнд бид хэлбэрийн T-тэй харьцуулахад хэвийн болсон үечилсэн хэлбэлзлийг олж авдаг.
Энэ хэлбэлзэл нь түүний үетэй тэнцүү интервалаар тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл.
x(t/T) нь үечилсэн функц тул Фурье цувралын коэффициентийг тооцоолохдоо (2) хамаарлыг ашиглана.
(Хуваагчийн P-г /V-ээр солих ба интегралын хязгаар нь нормчлогдсон хувьсагч руу шилжихтэй тохирч байна.) Илэрхийллийг (3) орлуулснаар бид олж авна.
Энэ нь мэдэгдэж байна
Эцэст нь хэлэхэд, тодорхойлолтоор гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй
x(k)-ийг X(n)-тэй холбосон хамаарлыг t=kT-г орлуулж, x0(t) функцийн спектрийн хязгаарлагдмал өргөнтэй үед нийлбэр болохыг харгалзан үзвэл (1) томъёоноос шууд олж авч болно. хязгаарлагдмал тооны нэр томъёог агуулна. Тэгэхээр,
x(k) нь үечилсэн функц, i.e.
мөн адил
Спектр нь үечилсэн байдаг нь аливаа дискретжүүлсэн функцийн спектрийн үечлэлээр тайлбарлагдах ба салангид шинж чанар нь салангид функц нь өөрөө мөн үетэй байдагтай холбоотой юм.
Тиймээс, x0(t) үечилсэн функцийг ялгахдаа (4) хамаарал нь x0(t) дээжийг ашиглан 0 ≤ n ≤ N - 1 интервалд X0 спектртэй яг тэнцүү X(n) спектрийг олох боломжийг олгодог. (n) анхны үечилсэн функц. x(k) функц ба түүний спектрийг графикаар Зураг дээр үзүүлэв. 2. Түүвэрлэлтийн теоремын үндсэн дээр (5.4) хамаарлыг олж авсан тул анхны интеграл хамаарлын (2) үнэн зөв бөгөөд хэмнэлттэй (тооцоололд) эквивалент бөгөөд компьютер дээр тэлэлтийн коэффициентийг тооцоолоход ашиглаж болно. Бид (4) ба (5) харьцааг салангид Фурье хувиргалт (DFT) ба урвуу дискрет Фурье хувирал (IDFT) гэж нэрлэнэ. Энд n хувьсагч тэгээс N-1 хүртэл хэлбэлздэгийг анхаарна уу. Үүссэн спектрийг дараах байдлаар тайлбарлаж болно. Эхний (N/2-1) цэгүүд X(n) - (N/2 - 1)-тай тохирч байна. спектрийн шугамууд X0(n) эерэг давтамжтай, Зураг дээр үзүүлсэн шиг. 5.3, сүүлчийн (N/2-1) цэгүүд X(n) нь сөрөг давтамжийн спектрийн шугамд (N/2-1) тохирно.
Хэд хэдэн өөрчлөлт харилцаагаар өгөгдсөн(4) ба (5) нь өөр хэлбэрээр тохиолддог. Жишээлбэл, үржүүлэгч 1 / N ба илтгэгчийн хасах тэмдгийг шууд болон аль алинд нь бичиж болно. урвуу хувиргалт, ерөнхий утгаэнэ нь өөрчлөгдөхгүй.
Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд спектрийг (2) томъёогоор тодорхойлсон спектртэй шууд тодорхойлох боломжгүй юм. Заримдаа хоёр хувиргалтыг ижил хүчин зүйлээр өгдөг (1 / N)1/2.
Зураг. 2. Дискретчлэгдсэн үечилсэн функц x(k) ба түүний үечилсэн спектр X(n).
Зураг. 3. Фурье цувралын коэффициент ба DFT хоорондын хамаарал.
DFT-ийн шинж чанарууд
DFT-ийн зарим шинж чанарууд нь тоглодог практик асуудлуудДохио боловсруулах нь чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.
Шугаман байдал
Хэрэв xp(n) ба ur(n) нь үечилсэн дараалал (тус бүр нь N дээжийн хугацаатай), Xp(k) ба Yp(k) нь тэдгээрийн DFT нь бол xp(n) + дарааллын дискрет Фурье хувиргалт болно. + ur(n ) нь Хр(k) + Yp(k)-тай тэнцүү. Энэ нь хязгаарлагдмал урттай дарааллын хувьд бас үнэн юм.
Шилжилт
Хэрэв xp(n) дараалал нь N дээжийн үетэй үечилсэн бөгөөд түүний DFT нь Xp(k)-тэй тэнцүү бол xp(n-n0) хэлбэрийн үечилсэн дарааллын DFT тэнцүү байна.
Зураг. 4. Шилжүүлсэн дарааллын DFT-ийн тодорхойлолт руу.
Хязгаарлагдмал урттай дарааллыг шинжлэхдээ дарааллын цагийн шилжилтийн онцлог шинж чанарыг харгалзан үзэх шаардлагатай. Тиймээс, Зураг дээр. 4, a нь N дээжийн урттай x(n) төгсгөлтэй дарааллыг харуулж байна. Яг ижил газарт загалмайнууд нь x(n)-тэй ижил DFT-тэй тэнцэх xp(n) үечилсэн дарааллын дээжийг дүрсэлдэг. Шилжүүлсэн дарааллын DFT-ийг олохын тулд x(n - n0) ба n0< N, следует рассмотреть сдвинутую периодическую последовательность Хр(n - n0) и в качестве эквивалентной сдвинутой төгсгөлтэй дараалал(DFT j-тэй бол 0 ≤ n ≤ N - 1 интервалд xp(n - n0) дарааллын сегментийг хүлээн авна. Тиймээс DFT-ийн үүднээс x(n – n0) дарааллыг олж авна. x(n) дарааллын элементүүдийг n0 дээжээр дугуйлан шилжүүлэх замаар
Симметрийн шинж чанарууд
Хэрэв v/V дээжийн хугацаатай xp(n) үечилсэн дараалал бодит бол түүний DFT xp(k) хангана. дараах нөхцөлүүдтэгш хэм:
Үүнтэй төстэй тэгшитгэл нь N цэгийн DFT X(k) бүхий хязгаарлагдмал бодит x(n) дараалалд хүчинтэй. Хэрэв та орвол нэмэлт нөхцөл xp(n) дарааллын тэгш хэм, өөрөөр хэлбэл гэж үзье
тэгвэл Xp(k) нь зөвхөн бодит байж болно.
Бид ихэнхдээ бодит дарааллаар ажиллах шаардлагатай байдаг тул нэг DFT-ийг тооцоолсноор тэгш хэмийн шинж чанарыг ашиглан хоёр дарааллын DFT-ийг олж авах боломжтой (6). N дээжийн үетэй xp(n) ба yp(n) бодит үечилсэн дарааллыг авч үзье, N цэгийн DFTs Хр(k) ба Yp(k) тус тус авч үзье. Маягтын zp(n) цогц дарааллыг танилцуулъя
Түүний DFT нь тэнцүү байна
Тэгш байдлын бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тусгаарлаж (10) бид олж авна
Xp(k) ба Yp(k) бодит хэсгүүд нь тэгш хэмтэй, төсөөллийн хэсгүүд нь тэгш хэмийн эсрэг байдаг тул нэмэх, хасах үйлдлүүдийг ашиглан амархан салгаж болно.
Тиймээс нэг N цэгийн DFT-ийг тооцоолсноор N урттай хоёр бодит дарааллыг нэг дор хувиргах боломжтой. Хэрэв эдгээр дараалал нь тэгш хэмтэй байвал тэдгээрийн DFT-ийг авахад шаардагдах үйлдлүүдийн тоог бүр ч багасгаж болно.
Холбогдох мэдээлэл.
