Бичсэн ба хүрээлэгдсэн дөрвөн өнцөгт ба тэдгээрийн шинж чанарууд - Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх материал. Гурвалжнаас шулуун шугамаар зүссэн дөрвөн өнцөгтийг тодорхой тойрогт бичдэг гэсэн шалгуур

Дөрвөн өнцөгтийн бүх талууд тойрогтой шүргэгч байвал тойрог нь дөрвөлжин дотор бичээстэй гэж нэрлэгддэг.

Энэ тойргийн төв нь дөрвөн өнцөгтийн булангийн биссектрисын огтлолцлын цэг юм. Энэ тохиолдолд шүргэгч цэгүүдэд зурсан радиусууд нь дөрвөн өнцөгтийн талуудтай перпендикуляр байна.

Тойрог бүх оройгоороо дайран өнгөрвөл дөрвөлжингийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг.

Энэ тойргийн төв нь дөрвөн өнцөгтийн хажуугийн перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг юм.

Дөрвөн өнцөгт бүрийг тойрогтой, дөрвөн өнцөгт бүрийг тойрог хэлбэрээр бичиж болохгүй.

БИЧИГТЭЙ БОЛОН ТОЙРОГ ДӨРВӨНГӨНИЙ ШИНЖ

ТЕОРЕМ Гүдгэр бичээстэй дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь хоорондоо тэнцүү ба 180°-тай тэнцүү байна.

ТЕОРЕМ Үүний эсрэгээр: хэрэв дөрвөлжинд эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр тэнцүү бол дөрвөлжингийн эргэн тойронд тойрог дүрсэлж болно. Түүний төв нь талуудтай перпендикуляр биссектрисын огтлолцох цэг юм.

ТЕОРЕМ Хэрэв тойрог дөрвөлжин дотор бичигдсэн бол түүний эсрэг талын нийлбэрүүд тэнцүү байна.

ТЕОРЕМ Үүний эсрэгээр: хэрэв дөрвөлжин дээр эсрэг талын нийлбэрүүд тэнцүү бол тойрог дотор нь зурж болно. Түүний төв нь биссектрисын огтлолцлын цэг юм.

Үр дүн: бүх параллелограммуудаас зөвхөн тэгш өнцөгтийн эргэн тойронд (ялангуяа дөрвөлжингийн эргэн тойронд) тойргийг дүрсэлж болно.

Бүх параллелограммуудаас зөвхөн ромб (ялангуяа дөрвөлжин) тойрог бичиж болно (төв нь диагональуудын огтлолцлын цэг, радиус нь хагастай тэнцүүөндөр).

Хэрэв трапецын эргэн тойронд тойрог дүрслэх боломжтой бол энэ нь тэгш өнцөгт юм. Дурын тэгш өнцөгт трапецийг тойрог гэж тодорхойлж болно.

Хэрэв тойрог нь трапец хэлбэрээр бичигдсэн бол түүний радиус нь өндрийн хагастай тэнцүү байна.

Шийдэл бүхий даалгавар

1. Радиус нь 5 бол тойрог дотор сийлсэн тэгш өнцөгтийн диагональыг ол.

Тэгш өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь түүний диагональуудын огтлолцох цэг юм. Тиймээс диагональ АСтэнцүү 2 Р. Тэр нь АС=10
Хариулт: 10.

2. Суурь нь 6 см ба 8 см, өндөр нь 7 см хэмжээтэй трапецын эргэн тойронд тойргийг дүрсэлсэн байна.

Болъё DC=6, AB=8. Тойрог нь трапецын эргэн тойронд хүрээлэгдсэн байдаг тул энэ нь тэгш өнцөгт юм.

Хоёр өндрийг зурцгаая DM болон CN.Трапец нь ижил хажуу талтай тул AM=NB=

Дараа нь АН=6+1=7

Гурвалжингаас ANSПифагорын теоремыг ашиглан бид олдог АС.

Гурвалжингаас CВNПифагорын теоремыг ашиглан бид олдог Нар.

Трапецын хүрээлэгдсэн тойрог нь мөн гурвалжны хүрээлэгдсэн тойрог юм. ШШГЕГ

Талбайг олцгооёЭнэ гурвалжинг томьёог ашиглан хоёр аргаар

Хаана h- өндөр ба - гурвалжны суурь

Энд R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.

Эдгээр илэрхийллээс бид тэгшитгэлийг олж авна. Хаана

Тойргийн талбай нь тэнцүү байх болно

3. Өнцөг ба дөрвөн өнцөгт нь . Өгөгдсөн дөрвөлжингийн эргэн тойронд тойрог дүрслэх боломжтой бол өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү

Энэ нь .Дөрвөн өнцөгтийг тойруулан тойргийг дүрсэлж болохоор байгаа тул

Бид тэгшитгэлийг авдаг . Дараа нь . Дөрвөн өнцөгтийн бүх өнцгийн нийлбэр нь 360º байна. Дараа нь

. бид үүнийг хаанаас авах вэ

4. Тойрог тойруулан хүрээлэгдсэн трапецын талууд нь 3 ба 5. Трапецын дунд шугамыг ол.

Дараа нь дунд шугамтэнцүү байна

5. Периметр тэгш өнцөгт трапецтойргийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн нь 22, түүний том тал нь 7. Тойргийн радиусыг ол.

Трапец хэлбэрийн хувьд бичээстэй тойргийн радиус нь өндрийн хагастай тэнцүү байна. SC-ийн өндрийг олъё.

Дараа нь .

Тойрог трапец хэлбэрээр бичдэг тул уртын нийлбэр эсрэг талуудтэнцүү байна. Дараа нь

Дараа нь периметр

Бид тэгшитгэлийг авдаг

6. Хоёр талт трапецын суурь нь 8 ба 6. Хязгаарлагдсан тойргийн радиус 5. Трапецын өндрийг ол.

Трапецын эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төвийг О болгоё. Дараа нь .

О цэгээр дамжуулан KH өндрийг зуръя

Дараа нь , энд KO ба OH нь өндөр ба нэгэн зэрэг медиан юм тэгш өнцөгт гурвалжин DOC ба AOB. Дараа нь

Пифагорын теоремын дагуу.

Бичсэндөрвөлжин - оройнууд нь бүгд нэг тойрог дээр байрладаг дөрвөн өнцөгт.
Энэ тойрог гэж нэрлэгдэх нь ойлгомжтой тодорхойлсондөрвөлжингийн эргэн тойронд.

дүрсэлсэнДөрвөн өнцөгт нь түүний бүх талууд нэг тойрогт хүрдэг. Энэ тохиолдолд тойрог бичээстэйдөрвөлжин хэлбэртэй.

Зураг дээр бичээстэй, хүрээлэгдсэн дөрвөлжин ба тэдгээрийн шинж чанарыг харуулав.

Эдгээр шинж чанаруудыг Улсын нэгдсэн шалгалтын асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглаж байгааг харцгаая.

1. Тойрог дотор сийлсэн дөрвөн өнцөгтийн хоёр өнцөг нь 82° ба 58° байна. Үлдсэн хамгийн том өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.

Бичсэн дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180° байна. А өнцгийг 82° болгоё. Дараа нь түүний эсрэг 98 градусын өнцөг байна. Хэрэв B өнцөг 58 ° бол D өнцөг нь 180 ° - 58 ° = 122 ° байна.

Хариулт: 122.

2. Тойрог тойруулан хүрээлэгдсэн дөрвөн өнцөгтийн гурван тал нь 1:2:3 харьцаатай (дараалсан дарааллаар) байна. Хэрэв периметр нь 32 бол энэ дөрвөн өнцөгтийн хамгийн урт талыг ол.

AB тал нь x, AD нь 2х, DC нь 3х байна. Тайлбарласан дөрвөлжингийн шинж чанарын дагуу эсрэг талын нийлбэрүүд тэнцүү, тиймээс
x + 3x = BC + 2x.
BC нь 2x-тэй тэнцүү байна. Дараа нь дөрвөн өнцөгтийн периметр нь 8x байна. Бид x = 4 гэдгийг олж авна том тал 12-той тэнцүү.

3. Тойрог тойруулан дүрсэлсэн трапецын периметр нь 40. Дунд шугамыг ол.

Трапецын дунд шугам нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү гэдгийг бид санаж байна. Трапецын сууриуд нь а ба в-тэй тэнцүү байг, мөн талууд- б ба г. Тайлбарласан дөрвөлжингийн өмчийн дагуу,
a + c = b + d, энэ нь периметр нь 2 (a + c) гэсэн үг юм.
Бид a + c = 20, дунд шугам нь 10 байна.

Бичсэн ба хүрээлэгдсэн дөрвөлжингийн шинж чанарыг дахин давтъя.

Дөрвөн өнцөгтийг зөвхөн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180°-тай тэнцүү байхад л тойрог дотор бичиж болно.

Дөрвөн өнцөгтийг зөвхөн эсрэг талын уртын нийлбэр тэнцүү байх тохиолдолд тойргийг тойрон хүрээлж болно.

"Тойрог"Ямар ч гурвалжны эргэн тойронд тойрог тойрч болохыг бид харсан. Өөрөөр хэлбэл, гурвалжин бүрийн хувьд гурвалжны гурван орой бүгд "суух" тойрог байдаг. Үүнтэй адил:

Асуулт: Дөрвөн өнцөгтийн талаар ижил зүйлийг хэлж болох уу? Дөрвөн өнцөгтийн дөрвөн орой бүгд "суух" тойрог үргэлж байх болно гэж үнэн үү?

Энэ нь ҮНЭН БИШ болох нь тодорхой боллоо! Дөрвөн өнцөгтийг үргэлж тойрог дотор бичиж болохгүй. Маш чухал нөхцөл бий:

Манай зурган дээр:

Хараач, өнцгүүд нь бие биенийхээ эсрэг талд байрладаг бөгөөд энэ нь эсрэг талынх гэсэн үг юм. Тэгвэл өнцгүүдийн талаар юу хэлэх вэ? Тэд ч эсрэг тэсрэг хүмүүс бололтой? Өнцгийн оронд болон өнцгийг авах боломжтой юу?

Мэдээж та чадна! Хамгийн гол нь дөрвөн өнцөгт нь хоёр талтай эсрэг өнцөг, нийлбэр нь байх болно. Дараа нь үлдсэн хоёр өнцөг нь өөрөө нэмэгдэх болно. Надад итгэхгүй байна уу? Баталгаажуулъя. Хараач:

Байг. Аливаа дөрвөн өнцөгтийн дөрвөн өнцгийн нийлбэр хэд байдгийг та санаж байна уу? Мэдээж, . Энэ нь - үргэлж! . Гэхдээ, → .

Яг тэнд ид шид!

Тиймээс үүнийг маш сайн санаарай:

Хэрэв дөрвөн өнцөгтийг тойрог дотор бичсэн бол түүний эсрэг талын аль ч хоёр өнцгийн нийлбэр нь тэнцүү байна.

ба эсрэгээр:

Хэрэв дөрвөн өнцөгт нь нийлбэр нь тэнцүү хоёр эсрэг өнцөгтэй бол дөрвөлжин нь мөчлөгтэй байна.

Бид энэ бүгдийг энд нотлохгүй (хэрэв та сонирхож байгаа бол дараах онолын түвшнийг харна уу). Гэхдээ энэ нь хаашаа хөтөлж байгааг харцгаая гайхалтай баримтбичээстэй дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр тэнцүү байна.

Жишээлбэл, асуулт гарч ирдэг: параллелограммын тойргийг дүрслэх боломжтой юу? Эхлээд "нудрах арга" -ыг туршиж үзье.

Яагаад ч юм бүтэхгүй.

Одоо мэдлэгээ хэрэгжүүлье:

Бид ямар нэгэн байдлаар параллелограмм дээр тойрог суулгаж чадсан гэж бодъё. Дараа нь заавал байх ёстой: , тэр нь.

Одоо параллелограммын шинж чанаруудыг санацгаая.

Параллелограмм бүр ижил эсрэг өнцөгтэй байна.

Энэ нь тодорхой болсон

Харин өнцгүүдийн талаар юу хэлэх вэ? За, мэдээж ижил зүйл.

→ → бичээстэй

Параллелограмм→ →

Гайхалтай, тийм үү?

Хэрэв параллелограммыг тойрог дотор бичвэл түүний бүх өнцөг тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тэгш өнцөгт болно!

Үүний зэрэгцээ - тойргийн төв нь энэ тэгш өнцөгтийн диагональуудын огтлолцох цэгтэй давхцаж байна. Үүнийг урамшуулал болгон оруулсан байгаа юм.

Энэ нь тойрог дотор бичээстэй параллелограмм гэдгийг олж мэдсэн гэсэн үг юм тэгш өнцөгт.

Одоо трапецын талаар ярилцъя. Хэрэв трапецийг тойрог дотор бичвэл юу болох вэ?Гэхдээ байх нь тодорхой болсон тэгш өнцөгт трапец . Яагаад?

Трапецийг тойрог хэлбэрээр бичнэ. Дараа нь дахин, гэхдээ шугамуудын параллель байдлаас шалтгаалан ба.

Энэ нь бидэнд: → → хоёр талт трапец байна гэсэн үг.

Тэгш өнцөгтөөс ч хялбар, тийм үү? Гэхдээ та хатуу санаж байх хэрэгтэй - энэ нь хэрэг болно:

Хамгийн чухал зүйлийг дахин жагсаацгаая үндсэн мэдэгдлүүдтойрог дотор бичээстэй дөрвөн өнцөгт шүргэгч:

Дөрвөн өнцөгтийг зөвхөн эсрэг талын хоёр өнцгийн нийлбэр нь тэнцүү бол тойрог дотор бичнэ.
Тойрог дотор бичсэн параллелограмм - мэдээж тэгш өнцөгтба тойргийн төв нь диагональуудын огтлолцох цэгтэй давхцдаг
Тойрог дотор бичсэн трапец нь тэгш талт байна.

Дөрвөн өнцөгт бичээстэй. Дунд түвшний

Гурвалжин бүрийн хувьд хүрээлэгдсэн тойрог байдаг нь мэдэгдэж байна (бид үүнийг "Хийрэг тойрог" сэдвээр нотолсон). Дөрвөн өнцөгтийн талаар юу хэлж болох вэ? Энэ нь харагдаж байна Дөрвөн өнцөгт бүрийг тойрог хэлбэрээр бичиж болохгүй, мөн ийм теорем байдаг:

Дөрвөн өнцөгтийг зөвхөн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь тэнцүү бол тойрог дотор бичнэ..

Бидний зурган дээр -

Яагаад ийм байдгийг ойлгохыг хичээцгээе? Өөрөөр хэлбэл, бид одоо энэ теоремыг батлах болно. Гэхдээ үүнийг батлахаасаа өмнө мэдэгдэл өөрөө хэрхэн ажилладагийг ойлгох хэрэгтэй. Та мэдэгдэлд "тэр үед, зөвхөн дараа нь" гэсэн үгсийг анзаарсан уу? Ийм үгс нь хортой математикчид хоёр мэдэгдлийг нэг дор нэгтгэсэн гэсэн үг юм.

Шифрлэцгээе:

"Тэгвэл" гэдэг нь: Хэрэв дөрвөн өнцөгтийг тойрог дотор бичсэн бол түүний эсрэг талын аль ч хоёр өнцгийн нийлбэр тэнцүү байна.
"Зөвхөн дараа нь" гэдэг нь: Хэрэв дөрвөн өнцөгт нь нийлбэр нь тэнцүү хоёр эсрэг өнцөгтэй бол ийм дөрвөн өнцөгтийг тойрог дотор бичиж болно.

Яг л Алис шиг: "Би хэлсэн зүйлээ боддог" ба "Би бодсоноо хэлдэг".

Одоо яагаад 1 ба 2 хоёулаа үнэн болохыг олж мэдье?

Эхний 1.

Дөрвөн өнцөгтийг тойрог дотор бичье. Түүний төвийг тэмдэглээд радиусыг зуръя. Юу болох вэ? Бичсэн өнцөг нь харгалзах төв өнцгийн хагастай тэнцүү гэдгийг санаж байна уу? Хэрэв та санаж байгаа бол бид үүнийг одоо хэрэгжүүлэх болно, хэрэв үгүй бол сэдвийг харна уу "Тойрог. Бичсэн өнцөг".

Бичсэн

Гэхдээ хараарай: .

Хэрэв - гэж бичсэн бол бид үүнийг олж авна

За, энэ нь бас нэмэгдэх нь ойлгомжтой. (та бас анхаарч үзэх хэрэгтэй).

Одоо "эсрэгээр", өөрөөр хэлбэл 2.

Дөрвөн өнцөгт хоёр эсрэг талын өнцгийн нийлбэр тэнцүү байна. Больё гэж хэлье

Түүнийг тойрсон тойргийг дүрсэлж чадах эсэхээ бид хараахан мэдэхгүй байна. Гэхдээ бид гурвалжны эргэн тойрон дахь тойргийг дүрслэх чадвартай гэдгээ баттай мэдэж байна. Ингээд хийцгээе.

Хэрэв цэг нь тойрог дээр "суухгүй" бол энэ нь гарцаагүй гадна эсвэл дотор нь дуусдаг.

Хоёр тохиолдлыг хоёуланг нь авч үзье.

Гол нь эхлээд гаднаа байг. Дараа нь сегмент нь тойрогтой ямар нэгэн цэгээр огтлолцоно. Холбогдох ба. Үр дүн нь бичээстэй (!) дөрвөлжин юм.

Үүний эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл бидний нөхцөл байдлын дагуу гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн.

Энэ нь тийм байх ёстой нь харагдаж байна.

Гэхдээ энэ нь байж болохгүй, учир нь - гадаад булантөлөө болон гэсэн үг.

Дотор нь яах вэ? Үүнтэй төстэй зүйлсийг хийцгээе. Гол нь дотор нь байг.

Дараа нь сегментийн үргэлжлэл нь тойргийг нэг цэг дээр огтолно. Дахин хэлэхэд - бичээстэй дөрвөлжин бөгөөд нөхцөлийн дагуу үүнийг хангасан байх ёстой, гэхдээ - гадаад өнцөг ба гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл дахин тийм байж болохгүй.

Өөрөөр хэлбэл, цэг нь тойргийн гадна эсвэл дотор байж болохгүй - энэ нь тойрог дээр байна гэсэн үг юм!

Теорем бүхэлдээ батлагдсан!

Одоо энэ теорем ямар сайн үр дагавар авчрахыг харцгаая.

Дүгнэлт 1

Тойрог дотор бичсэн параллелограмм нь зөвхөн тэгш өнцөгт байж болно.

Яагаад ийм байдгийг ойлгоцгооё. Параллелограммыг тойрог дотор бичье. Дараа нь хийх ёстой.

Гэхдээ параллелограммын шинж чанаруудаас бид үүнийг мэднэ.

Мэдээжийн хэрэг, өнцгийн хувьд мөн адил.

Тэгэхээр энэ нь тэгш өнцөгт болж хувирав - бүх булангууд нь хамт байна.

Гэхдээ үүнээс гадна нэмэлт таатай баримт бий: тэгш өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь диагональуудын огтлолцох цэгтэй давхцаж байна.

Яагаад гэдгийг нь ойлгоцгооё. Диаметрт хамаарах өнцөг нь шулуун шугам гэдгийг сайн санаж байгаа байх гэж найдаж байна.

Диаметр,

Диаметр

Энэ нь төв гэсэн үг. Ингээд л болоо.

Дүгнэлт 2

Тойрог дотор бичээстэй трапец нь тэгш өнцөгт юм.

Трапецийг тойрог хэлбэрээр бичнэ. Дараа нь.

Мөн адил.

Бид бүгдийг ярилцсан уу? Үнэхээр биш. Үнэн хэрэгтээ, бичээстэй дөрвөн өнцөгтийг таних өөр нэг "нууц" арга бий. Бид энэ аргыг маш хатуу биш (гэхдээ ойлгомжтой) томъёолох болно, бид үүнийг зөвхөн нотлох болно сүүлийн түвшинонолууд.

Хэрэв дөрвөлжин дээр зураг дээрх шиг ийм зургийг ажиглаж чадвал (энд өнцөг нь цэгүүдийн хажуу тал руу "харж" тэнцүү байна) ийм дөрвөн өнцөгт бичээстэй байна.

Энэ бол маш чухал зураг юм - асуудалд ихэвчлэн олоход хялбар байдаг тэнцүү өнцөг, өнцгийн нийлбэрээс ба.

Бидний томъёололд хатуу ширүүн байхгүй ч гэсэн энэ нь зөв бөгөөд үүнээс гадна Улсын нэгдсэн шалгалтын шалгуулагчид үүнийг үргэлж хүлээн зөвшөөрдөг. Та иймэрхүү зүйлийг бичих хэрэгтэй:

"- бичээстэй" - тэгээд бүх зүйл сайхан болно!

Үүнийг битгий мартаарай чухал тэмдэг- зургийг санаарай, магадгүй энэ нь асуудлыг шийдэх үед таны анхаарлыг татах болно.

Дөрвөн өнцөгт бичээстэй. Товч тайлбар ба үндсэн томъёо

Хэрэв дөрвөн өнцөгтийг тойрог дотор бичсэн бол түүний эсрэг талын аль ч хоёр өнцгийн нийлбэр нь тэнцүү байна.

ба эсрэгээр:

Дөрвөн өнцөгт нь нийлбэр нь тэнцүү хоёр эсрэг өнцөгтэй бол дөрвөлжин нь мөчлөгтэй байна.

Дөрвөн өнцөгт нь түүний эсрэг талын хоёр өнцгийн нийлбэр тэнцүү байвал тойрог дотор бичнэ.

Тойрог дотор бичсэн параллелограмм- мэдээж тэгш өнцөгт бөгөөд тойргийн төв нь диагональуудын огтлолцлын цэгтэй давхцдаг.

Тойрог дотор бичээстэй трапец нь тэгш өнцөгт юм.

БИЧИГТЭЙ БОЛОН дугуй хэлбэртэй олон өнцөгт,

§ 106. БИЧИГТЭЙ БОЛОН ТОДОРХОЙЛСОН ДӨРВӨНГӨНИЙ ШИНЖ.

Теорем 1. Цикл дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180°.

ABCD дөрвөн өнцөгтийг О төвтэй тойрог дотор бичье (Зураг 412). Үүнийг нотлох шаардлагатай / A+ / C = 180 ° ба / B + / D = 180 °.

/ О тойрогт бичсэн A нь BCD 1/2 хэмжээтэй байна.
/ C, ижил тойрогт бичээстэй, 1/2 BAD хэмждэг.

Иймээс A ба C өнцгийн нийлбэрийг BCD ба BAD нумын хагасын нийлбэрээр хэмждэг бөгөөд эдгээр нумууд нь тойрог үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл 360 ° байна.
Эндээс / A+ / C = 360 °: 2 = 180 °.

Үүний нэгэн адил энэ нь батлагдсан / B + / D = 180 °. Гэсэн хэдий ч үүнийг өөр аргаар дүгнэж болно. Дотоод өнцгийн нийлбэр гэдгийг бид мэднэ гүдгэр дөрвөлжин 360 ° -тай тэнцүү. А ба С өнцгийн нийлбэр нь 180°-тай тэнцүү бөгөөд энэ нь дөрвөн өнцөгтийн бусад хоёр өнцгийн нийлбэр нь мөн 180° хэвээр байна гэсэн үг юм.

Теорем 2(урвуу). Дөрвөн өнцөгт хоёр эсрэг талын өнцгийн нийлбэр тэнцүү бол 180° , тэгвэл ийм дөрвөн өнцөгтийг тойруулан тойргийг дүрсэлж болно.

ABCD дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180°-тай тэнцүү байг.
/ A+ / C = 180 ° ба / B + / D = 180 ° (зураг 412).

Ийм дөрвөлжингийн эргэн тойронд тойрог дүрсэлж болохыг баталцгаая.

Баталгаа. Энэ дөрвөлжингийн дурын 3 оройгоор тойрог зурж болно, жишээ нь A, B, C цэгүүдээр дамжуулан. D цэг хаана байрлах вэ?

D цэг нь зөвхөн нэгийг эзлэх боломжтой дараагийн гуравбайрлал: тойрог дотор байх, тойргийн гадна байх, тойргийн тойрог дээр байх.

Орой нь тойрог дотор байх ба D байрлалыг эзэлнэ гэж үзье" (Зураг 413). Дараа нь ABCD" дөрвөн өнцөгт бид дараах байдалтай байна:

/ B + / D" = 2 г.

"AD" талыг E цэгийн тойрогтой огтлолцох ба E ба C цэгүүдийг холбосноор бид шууд теоремоор ABCE мөчлөгт дөрвөн өнцөгтийг олж авна.

/ B+ / E = 2 г.

Эдгээр хоёр тэгшитгэлээс дараахь зүйл гарч ирнэ.

/ D" = 2 г - / B;
/ E=2 г - / B;

/ D" = / Э,

гэхдээ ийм байж болохгүй, учир нь / D" нь CD"E гурвалжинтай харьцуулахад гадаад байх ёстой илүү өнцөг E. Иймд D цэг тойрог дотор байж болохгүй.

Мөн D орой нь тойргийн гаднах D" байрлалыг авч чадахгүй нь батлагдсан (Зураг 414).

D орой нь тойргийн тойрог дээр байх ёстой, өөрөөр хэлбэл E цэгтэй давхцах ёстой бөгөөд энэ нь ABCD дөрвөлжингийн эргэн тойронд тойргийг дүрсэлж болно гэсэн үг юм.

Үр дагавар. 1. Аливаа тэгш өнцөгтийг тойруулан тойргийг дүрсэлж болно.

2. Хоёр талт трапецын эргэн тойронд тойрог дүрсэлж болно.

Аль ч тохиолдолд эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 ° байна.

Теорем 3.Хязгаарлагдмал дөрвөлжинд эсрэг талын нийлбэрүүд тэнцүү байна. ABCD дөрвөн өнцөгтийг тойргийн тухай тайлбарлая (Зураг 415), өөрөөр хэлбэл түүний AB, BC, CD, DA талууд нь энэ тойрогт шүргэгч байна.

AB + CD = AD + BC гэдгийг батлах шаардлагатай. Шүргэх цэгүүдийг M, N, K, P үсгээр тэмдэглэе. Нэг цэгээс тойрог руу татсан шүргэгчийн шинж чанарт үндэслэн (§ 75) бид:

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

Эдгээр тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмье. Бид авах:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

өөрөөр хэлбэл AB + CD = AD + BC, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Дасгал.

1. Бичсэн дөрвөн өнцөгт хоёр эсрэг талын өнцөг 3:5 харьцаатай,
нөгөө хоёр нь 4:5 харьцаатай байгаа бөгөөд эдгээр өнцгийн хэмжээг тодорхойл.

2. Тайлбарласан дөрвөлжинд хоёр эсрэг талын нийлбэр нь 45 см, үлдсэн хоёр тал нь 0.2: 0.3 харьцаатай байна. Эдгээр талуудын уртыг ол.

Даалгавар 6:тэгш өнцөгт трапецын суурь нь 21 ба 9 сантиметр, өндөр нь 8 сантиметр юм. Хязгаарлагдсан тойргийн радиусыг ол.

1. Гүйцэе перпендикуляр биссектрис H ба K сууриуд хүртэл О тойргийн төв нь NK шулуун дээр байрлана.

2. AO=OB=R. O цэг нь NK сегментийг хоёр хэсэгт хуваана: HO = x, дараа нь OK = 8 - x.

3. AO 2 = AK 2 + KO 2; OB 2 = VN 2 + NO 2;

OA 2 = OB 2 тул бид дараахь зүйлийг авна.

AK 2 + KO 2 = VN 2 + NO 2

90 + 64 - 16x = 0

OB 2 = HV 2 + NO 2

Хариулт: OB = 10.625

Дөрвөн өнцөгт бичээстэй тойрогтой холбоотой асуудлууд

Даалгавар 7: R радиустай тойрог нь ромб дотор бичигдсэн байгаа бол ромбын талбайг ол том диагональ 4 удаа радиусаас ихбичээстэй тойрог.

Өгөгдсөн: ромбо, дугуйрсан радиус - R, BD r 4 удаа

1. OE = R, BD = 4OE = 4R гэж үзье

Асуудал 8:Хэрэв трапецын хажуу тал нь 10 бол 4 радиустай тойргийг тойрон хүрээлэгдсэн ижил өнцөгт трапецын талбайг ол.

Өгөгдсөн: ABCD - ижил өнцөгт трапец, r = 4, AB = 10

1. Нөхцөлөөр AB = CD = 10

2. incircle шинж чанараар AB + CD = AD + BC

3. МЭ + МЭӨ = 10 + 10 = 20

4. FE = 2r = 2 4 = 8

Асуудал 9:дотор тогтмол гурвалжина талтай бол гурав байна тэнцүү тойрог, тус бүр нь гурвалжны хоёр тал болон бусад хоёр тойрогт хүрдэг. Эдгээр тойргийн гадна байрлах гурвалжны хэсгийн талбайг ол.

1. AB = BC = АС = a гэж үзье.

2. O 1 E = O 1 K = ED = r, тэгвэл AD = AE + ED = AE + r = гэж тэмдэглэе.

3. AO 1 нь А өнцгийн биссектриса, тиймээс ? O 1 AE = 30? мөн тэгш өнцөгт?AO 1 E-д бид AO 1 = 2O 1 E = 2r ба AE === байна. Дараа нь AE + r = == , эндээс.

Асуудал 10: R радиустай тойргийн нумыг бүхэлд нь 4 том, 4 жижиг хэсэгт хувааж, ээлжлэн солигдоно. Ихэнхжижигээс хоёр дахин урт. Оройнууд нь дугуй нумыг хуваах цэгүүд болох найман өнцөгтийн талбайг тодорхойл.

1. ?AOB = 2x, ?BOC = x, дараа нь нөхцөлөөр 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ?AOB = 60°, ?BOC = 30° байна.

Асуудал 11:Гурвалжны талууд 12 м, 16 м, 20 м байна. Том өнцгийн оройноос авсан өндрийг ол.

1. 202 = 122 + 162

400 = 400 зөв, тиймээс? ABC - тэгш өнцөгт (теоремын дагуу, теоремын эсрэгПифагор)