Вьетагийн теоремтой урвуу теорем. Виетийн теоремыг ашиглах жишээ

Өнөөдөр тэр яруу найргаар дуулагдах ёстой
Үндэсний шинж чанарын тухай Виетийн теорем.
Юу нь дээр вэ, надад хэлээч, тууштай байдал нь иймэрхүү:
Та үндсийг үржүүлэв - мөн фракц бэлэн боллоо
Тоолуур дотор -тай, хуваарьт А.
Мөн бутархайн язгуурын нийлбэр нь мөн тэнцүү байна
Энэ бутархайг хассан ч гэсэн
Ямар асуудал вэ
Тоолуураар В, хуваарьт А.
(Сургуулийн ардын аман зохиолоос)

Эпиграф дээр гайхалтай теоремФрансуа Виетаг бүрэн үнэн зөвөөр өгөөгүй. Үнэн хэрэгтээ бид үндэсгүй квадрат тэгшитгэлийг бичиж, тэдгээрийн нийлбэр, үржвэрийг бичиж болно. Жишээлбэл, x 2 + 2x + 12 = 0 тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй. Гэхдээ албан ёсны арга барилаар бид тэдгээрийн үржвэрийг (x 1 · x 2 = 12) болон нийлбэрийг (x 1 + x 2 = -2) бичиж болно. Манай шүлгүүд нь "хэрэв тэгшитгэл үндэстэй бол" гэсэн анхааруулга бүхий теоремтой тохирч байх болно. D ≥ 0.

Эхлээд практик хэрэглээЭнэ теорем нь үндсийг өгсөн квадрат тэгшитгэлийг байгуулах явдал юм. Хоёрдугаарт, энэ нь олон квадрат тэгшитгэлийг амаар шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Сургуулийн сурах бичиг нь эдгээр чадварыг хөгжүүлэхэд голлон анхаардаг.

Энд бид илүү ихийг авч үзэх болно нарийн төвөгтэй даалгавар, Виетийн теоремыг ашиглан шийдэв.

Жишээ 1.

5x 2 – 12x + c = 0 тэгшитгэлийн язгууруудын нэг нь хоёр дахьоос гурав дахин их байна. s олох.

Шийдэл.

Хоёрдахь үндэс нь x 2 байг.

Дараа нь эхний үндэс нь x1 = 3x 2.

Виетийн теоремын дагуу язгууруудын нийлбэр нь 12/5 = 2.4 байна.

3x 2 + x 2 = 2 тэгшитгэлийг байгуулъя.4.

Тиймээс x 2 = 0.6. Тиймээс x 1 = 1.8.

Хариулт: c = (x 1 x 2) a = 0.6 1.8 5 = 5.4.

Жишээ 2.

x 1 ба x 2 нь x 2 – 8x + p = 0, 3x 1 + 4x 2 = 29 тэгшитгэлийн үндэс болох нь мэдэгдэж байна. p-г ол.

Шийдэл.

Виетийн теоремын дагуу x 1 + x 2 = 8, нөхцөлөөр 3x 1 + 4x 2 = 29.

Эдгээр хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдсэний дараа бид x 1 = 3, x 2 = 5 утгыг олно.

Тиймээс p = 15.

Хариулт: p = 15.

Жишээ 3.

3x 2 + 8 x – 1 = 0 тэгшитгэлийн язгуурыг тооцохгүйгээр x 1 4 + x 2 4-ийг ол.

Шийдэл.

Виетийн теоремоор x 1 + x 2 = -8/3 ба x 1 x 2 = -1/3 бөгөөд илэрхийллийг хувиргана.

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2 (x 1 x) 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Хариулт: 4898/9.

Жишээ 4.

a параметрийн ямар утгуудад хамгийн том ба хоёрын ялгаа байна хамгийн жижиг үндэстэгшитгэл
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 нь тэдгээрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Шийдэл.

Энэ бол квадрат тэгшитгэл юм. Хэрэв D > 0 бол 2 өөр үндэстэй болно. Өөрөөр хэлбэл (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 эсвэл (a – 3) 2 > 0. Тиймээс бид бүх a, 2 үндэстэй болно. a = 3-аас бусад тохиолдолд.

Тодорхой байхын тулд бид x 1 > x 2 гэж үзээд x 1 + x 2 = (a + 1)/2 ба x 1 x 2 = (a – 1)/2 болно. Бодлогын нөхцөл дээр үндэслэн x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Бүх гурван нөхцлийг нэгэн зэрэг хангасан байх ёстой. Эхний болон сүүлчийн тэгшитгэлийг систем болгон авч үзье. Үүнийг алгебрийн нэмэлтээр амархан шийдэж болно.

Бид x 1 = a/2, x 2 = 1/2-ийг авна. Юу болохыг шалгацгаая Ахоёр дахь тэгш байдал хангагдана: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Хүлээн авсан утгуудыг орлуулъя: a/4 = (a - 1)/2. Тэгвэл a = 2. Энэ нь ойлгомжтой хэрэв a = 2 бол бүх нөхцөл хангагдсан болно.

Хариулт: a = 2 үед.

Жишээ 5.

Юутай тэнцүү вэ хамгийн бага утга a, тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 нь түүний язгууруудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү.

Шийдэл.

Юуны өмнө тэгшитгэлийг багасгаж үзье каноник хэлбэр: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. D/4 ≥ 0 бол үндэстэй болно. Иймд: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Эсвэл (a – 1) 2 ≥ 0. Мөн энэ нь ямар ч тохиолдолд хүчинтэй нөхцөл a.

Виетийн теоремыг хэрэгжүүлье: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Тооцоолъё.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Эсвэл орлуулсны дараа x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Бодлогын нөхцөлд тохирох тэгш байдлыг бий болгоход л үлддэг: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2. Бид дараахийг авна: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Энэ квадрат тэгшитгэл нь 2 үндэстэй: a 1 = 1, a 2 = 1/2. Тэдний хамгийн бага нь -1/2.

Хариулт: 1/2.

Жишээ 6.

Тэгшитгэлийн язгууруудын шоо нийлбэр нь эдгээр язгууруудын квадратуудын үржвэртэй тэнцүү бол ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг ол.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэл нь үндэстэй тул Виетийн теоремыг түүнд хэрэглэж болно гэж бид таамаглах болно.

Дараа нь бодлогын нөхцөлийг дараах байдлаар бичнэ: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Эсвэл: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

Хоёр дахь хүчин зүйлийг хөрвүүлэх шаардлагатай. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.

Бид (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2-ыг авна. Үндэсийн нийлбэр ба үржвэрийг коэффициентээр солих хэвээр байна.

(-б/а)((б/а) 2 – 3 в/а) = (в/а) 2 . Энэ илэрхийллийг маягт руу хялбархан хөрвүүлж болно b(3ac – b 2)/a = c 2.Харилцаа олдсон.

Сэтгэгдэл.Үүний үр дүнд үүссэн хамаарлыг зөвхөн нөгөө нь хангагдсаны дараа авч үзэх нь утга учиртай гэдгийг анхаарах хэрэгтэй: D ≥ 0.

Жишээ 7.

x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын нийлбэр хамгийн их утга болох a хувьсагчийн утгыг ол.

Шийдэл.

Хэрэв энэ тэгшитгэл нь x 1 ба x 2 үндэстэй бол тэдгээрийн нийлбэр нь x 1 + x 2 = -2a, үржвэр нь x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2 байна.

Бид x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 гэж тооцно. (a – 3) 2 + 22.

Одоо энэ илэрхийлэл авах нь тодорхой байна хамгийн өндөр үнэ цэнэ a = 3 үед.

Анхны квадрат тэгшитгэл үнэхээр a = 3 дээр үндэстэй эсэхийг шалгах л үлдлээ. Бид орлуулалтаар шалгаад: x 2 + 6x + 7 = 0, түүний хувьд D = 36 – 28 > 0 болно.

Тиймээс хариулт нь: a = 3-ын хувьд.

Жишээ 8.

2x 2 – 7x – 3 = 0 тэгшитгэл нь x 1 ба x 2 үндэстэй. Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд нь X 1 = 1/x 1 ба X 2 = 1/x 2 тоонуудын гурав дахин нэмэгдсэн нийлбэрийг ол. (*)

Шийдэл.

Мэдээжийн хэрэг, x 1 + x 2 = 7/2 ба x 1 x 2 = -3/2. Хоёр дахь тэгшитгэлийг язгуураас нь x 2 + px + q = 0 хэлбэрээр байгуулъя. Үүний тулд бид Виетийн теоремын эсрэг заалтыг ашиглана. Бид дараахийг авна: p = -(X 1 + X 2) ба q = X 1 · X 2.

Эдгээр томъёонд (*) үндэслэн орлуулалтыг хийсний дараа: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 ба q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

Шаардлагатай тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: x 2 + 7/3 · x – 2/3 = 0. Одоо бид түүний коэффициентүүдийн гурав дахин нийлбэрийг хялбархан тооцоолж болно:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Хариултыг хүлээн авлаа.

Асуулт хэвээр байна уу? Вьетагийн теоремыг хэрхэн ашиглахаа мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд -.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Хотын төсвийн боловсролын байгууллага

"Дундаж дунд сургууль№ 64" Брянск

Хотын шинжлэх ухаан, практикийн бага хурал

"Шинжлэх ухаанд анхны алхам"

Шинжлэх ухааны судалгааны ажил

"Гурав, дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийн Виегийн теорем"

Математик

Гүйцэтгэсэн: 11б ангийн сурагч

Шанов Илья Алексеевич

Эрдэм шинжилгээний удирдагч:

математикийн багш,

Физик, математикийн ухааны нэр дэвшигч шинжлэх ухаан

Быков Сергей Валентинович

Брянск 2012 он

ОРШИЛ ...................................................................................................................................................................................................................................... 3

Зорилго, зорилтууд …………………………………………………… 4

Товчхон түүхэн суурь ………………………………………… 4

Квадрат тэгшитгэл………………………………………………. 5

Куб тэгшитгэл…………………………………………………………. 6

Дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэл ……………………………………… 7

Практик хэсэг………………………………………………………. 9

Ашигласан материал………………………………………………… 12

Хавсралт……………………………………………………… 13

Танилцуулга

Алгебрийн үндсэн теорем нь талбар нь алгебрийн хувьд хаалттай, өөрөөр хэлбэл нийлмэл коэффициент бүхий n-р зэрэглэлийн тэгшитгэлүүд гэж заасан байдаг. ерөнхий тохиолдол) талбай дээр яг n байна нарийн төвөгтэй үндэс. Гурав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийг Корданогийн томъёогоор шийддэг. Феррари аргыг ашиглан дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэл. Үүнээс гадна хэрэв тэгвэл тэгшитгэлийн язгуур юм нь мөн энэ тэгшитгэлийн үндэс юм. Учир нь куб тэгшитгэлдараах тохиолдлууд боломжтой:

бүх гурван үндэс нь бодит;

хоёр үндэс нь нарийн төвөгтэй, нэг нь бодит.

Үүнээс үзэхэд аливаа куб тэгшитгэл дор хаяж нэг бодит язгууртай байдаг.

Дөрөв дэх зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хувьд:

Дөрвөн үндэс нь өөр өөр байдаг.

Хоёр үндэс нь бодит, хоёр нь төвөгтэй.

Бүх дөрвөн үндэс нь нарийн төвөгтэй байдаг.

Энэхүү ажил нь Вьетагийн теоремыг нарийвчлан судлахад зориулагдсан болно: түүний томъёолол, нотолгоо, мөн энэ теоремыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх.

Хийсэн ажил нь 11-р ангийн сурагчдад туслах зорилготой юм Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэн, түүнчлэн энгийн болон хайхрамжгүй ханддаггүй залуу математикчдад зориулсан үр дүнтэй аргууддахь шийдлүүд янз бүрийн бүс нутагматематик.

Энэхүү ажлын хавсралтад тулгамдсан асуудлын түүврийг оруулсан болно бие даасан шийдвэрмөн миний судалж байсан шинэ материалыг нэгтгэх.

Энэ асуудлыг үл тоомсорлож болохгүй, учир нь энэ нь математик, ерөнхийдөө шинжлэх ухаан, оюутнууд болон ийм асуудлыг шийдвэрлэх сонирхолтой хүмүүст чухал ач холбогдолтой юм.

Ажлын зорилго, зорилтууд:

Гурав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хувьд Виетийн теоремын аналогийг ол.

Гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийн хувьд Виетийн теоремын аналогийг батал.

Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хувьд Виетийн теоремын аналогийг ол.

Дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийн хувьд Виетийн теоремын аналогийг батал.

Эдгээр асуултыг практик асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах талаар бодож үзээрэй.

• Энэ теоремыг хэрэглэх нь практикт нийцэж байгаа эсэхийг шалгаарай.

Гүнзгийрүүлэх математикийн мэдлэгтэгшитгэл шийдвэрлэх чиглэлээр.

Математикийн сонирхлыг хөгжүүлэх.

Түүхийн товч мэдээлэл

Яруу найрагт дуулагдах нь зүй ёсны хэрэг

Үндэсний шинж чанарын тухай ВЬЕТТИЙН ТЕОРЕМ...

ФРАНСУА ВЬЕТ (1540-1603) - Францын математикч. Хуульч мэргэжилтэй. 1591 онд тэрээр танилцуулав үсгийн тэмдэглэгээзөвхөн үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд төдийгүй тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн хувьд; Үүний ачаар тэгшитгэлийн шинж чанар, тэдгээрийн үндсийг анх удаа илэрхийлэх боломжтой болсон ерөнхий томъёо. Тэрээр 2, 3, 4-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нэг төрлийн аргыг бий болгох үүрэгтэй байв. Нээлтүүдийн дунд Виет өөрөө тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тогтооход онцгой ач холбогдол өгчээ. -тэй тэгшитгэлийн ойролцоо шийдлийн хувьд тоон коэффициентуудВиет Ньютоны хожмын аргатай төстэй аргыг санал болгосон. Тригонометрийн хувьд Франсуа Виет өгсөн бүрэн шийдэлГурван өгөгдлөөс хавтгай эсвэл бөмбөрцөг гурвалжны бүх элементүүдийг тодорхойлох асуудал нь cos-ийн чухал өргөтгөлүүдийг олсон. nxмөн нүгэл nx cos-ийн эрх мэдэлд Xмөн нүгэл X.Тэрээр анх удаа хязгааргүй бүтээлүүдийг авч үзсэн. Вьетнамын бүтээлүүд бичигдсэн хэцүү хэлтиймээс цаг хугацаанд нь хүртэх ёстой хэмжээнээсээ бага хуваарилалт авсан .

Квадрат тэгшитгэл

Эхлээд хөтөлбөрт сурсан 2-р зэргийн тэгшитгэлийн Вьетагийн томъёог санацгаая. сургуулийн курссургалт.

Т
Вьетагийн теоремквадрат тэгшитгэлийн хувьд (8-р анги)

Э
Хэрэв ба нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс бол

өөрөөр хэлбэл бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь дараахаас авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна. эсрэг тэмдэг, ба үндэсийн бүтээгдэхүүн тэнцүү байна чөлөөт гишүүн.

Мөн теоремыг санаарай, Вьетагийн теоремын урвуу:

Хэрэв тоонууд - хТэгээд qийм байна

тэгвэл тэгшитгэлийн үндэс болно

Үндэсийг нь мэдэхгүй байж Виетийн теорем гайхалтай квадрат гурвалжин, бид тэдгээрийн нийлбэр ба үржвэрийг, өөрөөр хэлбэл хамгийн энгийн тэгш хэмтэй илэрхийллийг хялбархан тооцоолж чадна.

Виетийн теорем нь дөрвөлжин гурвалсан язгуурыг бүхэлд нь таах боломжийг олгодог.

Куб тэгшитгэл

Одоо Виетийн теоремыг ашиглан куб тэгшитгэлийн томъёолол, шийдэлд шууд шилжье.

Томъёо

TO
Хаа сайгүй байдаг тэгшитгэл нь хэлбэрийн гурав дахь эрэмбийн тэгшитгэл юм

Хаана a ≠ 0.

Хэрэв a = 1, тэгвэл тэгшитгэлийг багасгасан куб тэгшитгэл гэж нэрлэдэг:

Тиймээс бид тэгшитгэлийн хувьд үүнийг батлах хэрэгтэй

дараах теорем үнэн байна.

n
үндэс ургадаг өгөгдсөн тэгшитгэл, Дараа нь

Баталгаа

Олон гишүүнтийг төсөөлье

хувиргалтыг хийцгээе:

Тиймээс, бид үүнийг ойлгодог

Хоёр олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь харгалзах зэрэглэлд тэнцүү байвал тэнцүү байна.

Энэ нь гэсэн үг

Q.E.D.

Одоо теоремыг авч үзье, Гурав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийн Вьета теоремын урвуу.

Ф
томъёолол

Э
хэрэв тоонууд ийм байвал

Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэл

Одоо 4-р зэргийн тэгшитгэлийн хувьд Виетийн теоремыг ашиглан 4-р зэргийн тэгшитгэлийг тогтоох, шийдвэрлэх ажилд шилжицгээе.

Томъёо

У
дөрөв дэх зэргийн тэгшитгэл - хэлбэрийн тэгшитгэл

Г
де a ≠ 0.

Э
хэрэв a = 1, тэгвэл тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг

БА
тэгэхээр тэгшитгэлийн хувьд үүнийг баталъя

-тай
Дараах теорем үнэн: өгөгдсөн тэгшитгэлийн язгуурыг гаргая

Баталгаа

Олон гишүүнтийг төсөөлье

хувиргалтыг хийцгээе:

Тиймээс, бид үүнийг ойлгодог

Бид үүнийг мэднэ харгалзах зэрэглэл дэх коэффициентүүд нь тэнцүү байх тохиолдолд хоёр олон гишүүнт тэнцүү байна.

Энэ нь гэсэн үг

Q.E.D.

Теоремыг авч үзье, 4-р зэргийн тэгшитгэлийн хувьд Вьета теоремын урвуу.

Томъёо

Хэрэв ийм тоо байвал

тэгвэл эдгээр тоо нь тэгшитгэлийн үндэс болно

Практик хэсэг

Одоо гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлд зориулсан Виетийн теоремуудыг ашиглан асуудлын шийдлүүдийг авч үзье.

Даалгавар №1

Хариулт: 4, -4.

Даалгавар №2

Хариулт: 16, 24.

Эдгээр тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид Карданогийн томьёо болон Ферраригийн аргыг тус тус ашиглаж болох боловч Виетийн теоремыг ашигласнаар бид эдгээр тэгшитгэлийн язгуурын нийлбэр ба үржвэрийг мэддэг.

Даалгавар №3

Үндэсний нийлбэр нь 6, язгуурын хосолсон үржвэр нь 3, үржвэр нь -4 гэдгийг мэдэж байвал гуравдугаар зэргийн тэгшитгэл байгуул.

Тэгшитгэл хийцгээе, бид олж авна

Даалгавар No4

Үндэсний нийлбэр нь тэнцүү гэдгийг мэдэж байгаа бол гуравдугаар зэргийн тэгшитгэл бич 8 , үндэсийн хос үржвэр тэнцүү байна 4 , гурав дахин бүтээгдэхүүн тэнцүү байна 12 , бүтээгдэхүүн 20 .

Шийдэл: Виетийн томъёог ашиглан бид олж авна

Тэгшитгэл хийцгээе, бид олж авна

Виетийн теоремыг ашиглан бид язгуурыг ашиглан тэгшитгэлийг хялбархан зохиосон. Энэ бол хамгийн их оновчтой аргаэдгээр асуудлыг шийдвэрлэх.

Асуудал №5

Үүнд: a, b, c нь Хероны томъёо юм.

Хаалтуудыг нээж, илэрхийллийг хувиргацгаая, бид олж авна

З
радикал илэрхийлэл гэдгийг анхаарна уу куб илэрхийлэл. Харгалзах куб тэгшитгэлд Виетийн теоремыг ашиглая

З

Бид дараахь зүйлийг авах болно.

Энэ асуудлын шийдлээс харахад Виетийн теорем нь дараахь асуудлуудад хэрэглэгдэх боломжтой юм өөр өөр газар нутагматематик.

Дүгнэлт

Энэхүү нийтлэлд Виетийн теоремыг ашиглан гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг судалсан болно. Ажлын явцад олж авсан томъёог ашиглахад хялбар байдаг. Судалгааны явцад зарим тохиолдолд энэ арга нь гурав, дөрөв дэх зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хувьд Кордано томъёо болон Ферраригийн аргаас илүү үр дүнтэй байдаг нь тодорхой болсон.

Виетийн теоремыг практикт ашигласан. Шинэ материалыг илүү сайн нэгтгэхэд тусалсан хэд хэдэн асуудлыг шийдсэн.

Энэ судалгаа надад маш сонирхолтой, сургамжтай байсан. Математикийн мэдлэгээ гүнзгийрүүлснээр би олон сонирхолтой зүйлийг олж мэдсэн бөгөөд энэ судалгааг хийх дуртай байсан.

Гэхдээ тэгшитгэл шийдвэрлэх чиглэлээр хийсэн судалгаа маань дуусаагүй байна. Цаашид n-р зэргийн тэгшитгэлийн шийдлийг Виетийн теоремоор судлахаар төлөвлөж байна.

Би өөртөө гүнээ талархаж байгаагаа илэрхийлмээр байна шинжлэх ухааны удирдагч, физик-математикийн шинжлэх ухааны нэр дэвшигч, ийм боломж ер бусын судалгаамөн ажилдаа байнга анхаарал хандуулдаг.

Лавлагаа

Виноградов I.M. Математикийн нэвтэрхий толь бичиг. М., 1977.

В.Б.Лидский, Л.В.Овсянников, А.Н.Тулайков, М.И.Шабунин. Даалгаврууд анхан шатны математик, Физматлит, 1980.

Франсуа Виет 1540 онд Францын Фонтеней-ле-Комт хотод төржээ. Хуульч мэргэжилтэй. Тэрээр хуульчийн ажилд ихээхэн оролцож байсан бөгөөд 1571-1584 онд тэрээр III Жорж, IV Жорж хаадын зөвлөхөөр ажиллаж байжээ. Гэхдээ бүх зүйл чинийх чөлөөт цаг, тэрээр бүх чөлөөт цагаа математик, одон орон судлалд зориулжээ. Тэрээр 1584 онд албан тушаалаасаа чөлөөлөгдсөний дараа математикийн чиглэлээр ялангуяа эрчимтэй ажиллаж эхэлсэн. хааны шүүх. Виет эртний болон орчин үеийн математикчдын бүтээлийг нарийвчлан судалжээ.

Франсуа Виет үндсэндээ шинэ алгебрийг бий болгосон. Тэрээр цагаан толгойн үсгийн бэлгэдлийг оруулав. Түүний гол санааг "Аналитик урлагийн танилцуулга" бүтээлд толилуулжээ. Тэрээр: "Бүх математикчид юутай ч зүйрлэшгүй эрдэнэс нь алгебр, алмукабалагийн дор нуугдаж байдгийг мэддэг байсан ч яаж олохоо мэдэхгүй байв: тэдний хамгийн хэцүү гэж үзсэн асуудлуудыг манай урлагийн тусламжтайгаар амархан шийддэг."

Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь хичнээн амархан болохыг бид бүгд мэднэ. Тэдгээрийг шийдвэрлэхэд бэлэн томъёо байдаг. Ф.Вьетагаас өмнө квадрат тэгшитгэл бүрийн шийдлийг өөрийн дүрмийн дагуу маш урт аман аргумент, тайлбар хэлбэрээр, нэлээд чирэгдэлтэй үйлдлүүдийн хэлбэрээр гүйцэтгэдэг байв. Тэр ч байтугай тэгшитгэл нь өөрөө орчин үеийн хэлбэрбичиж чадсангүй. Энэ нь бас нэлээд урт бөгөөд төвөгтэй ажил шаарддаг аман тайлбар. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга техникийг эзэмшихийн тулд олон жил зарцуулсан. Ерөнхий дүрмүүд, орчин үеийнхтэй төстэй, тэр ч байтугай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо байхгүй байв. Тогтмол магадлалүсгээр заагаагүй. Зөвхөн тодорхой тоон коэффициент бүхий илэрхийлэлийг авч үзсэн.

Вьетнам алгебрт үсгийн тэмдгийг нэвтрүүлсэн. Виетийн шинэчлэлийн дараа дүрмийг томъёо хэлбэрээр бичих боломжтой болсон. Үнэн бол Вьетнам илтгэгчийг үгээр тэмдэглэсэн хэвээр байгаа бөгөөд энэ нь зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд тодорхой бэрхшээл учруулсан. Вьетнамын үед дугаарын нийлүүлэлт хязгаарлагдмал хэвээр байв. Франсуа Вьет бүтээлдээ нэгээс дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онолыг нарийвчлан тодорхойлсон байдаг.

Вьетагийн хамгийн том гавьяа бол дурын бууруулсан хэлбэрийн тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг нээсэн явдал байв. байгалийн зэрэг. Вьетагийн бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн алдартай теоремыг бид сайн мэднэ: "Багасгасан хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийн язгуурын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү бөгөөд энэ тэгшитгэлийн язгуурын үржвэр нь чөлөөт хугацаатай тэнцүү байна." Энэхүү теорем нь шийдлийн зөв эсэхийг амаар шалгах боломжийг олгодог квадрат тэгшитгэл, мөн хамгийн энгийн тохиолдолд тэгшитгэлийн үндсийг ол.

Виет Европ дахь π тооны анхны аналитик (томъёо ашиглан) дүрслэлийг өгсөн болохыг анхаарна уу.

Виет 1603 онд 63 насандаа таалал төгсөв.

Вьетагийн теорем.

x2 + px + q гурвалсан квадратын язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй түүний хоёр дахь коэффициент p-тэй тэнцүү бөгөөд үржвэр нь q чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.

Баталгаа.

x1 ба x2 нь квадрат гурвалсан x2 + px + q-ийн өөр үндэс байг. Виетийн теоремд дараах хамааралууд биелнэ гэж заасан: x1 + x2 = –p x1 x2 = q

Үүнийг батлахын тулд язгуур тус бүрийг квадрат гурвалжны илэрхийлэлд орлъё. Бид хоёр зөв тоон тэгшитгэлийг авна: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

Эдгээр тэгш байдлыг бие биенээсээ хасъя. Бид x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0-ийг авна

Квадратуудын зөрүүг өргөтгөж, хоёр дахь гишүүнийг баруун тийш шилжүүлье.

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Нөхцөлөөр x1 ба x2 язгуурууд өөр тул x1 – x2 ≠ 0 байх ба тэгш байдлыг x1 – x2 гэж хувааж болно. Бид теоремын эхний тэгшитгэлийг олж авна: x1 + x2 = –p

Хоёрдахь зүйлийг батлахын тулд дээр бичсэн тэгш байдлын аль нэгэнд (жишээлбэл, эхний) p коэффициентийн оронд тэнцүү тоог – (x1 + x2) орлъё: x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0.

Хувирч байна зүүн тал, бид дараахийг авна: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Буураагүй квадрат тэгшитгэлийн хувьд ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =

теорем, теоремын эсрэгВьетнам.

Хэрэв x1+x2 = ба x1x2 = тэнцэл хангагдсан бол x1 ба x2 тоонууд ax2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно.

Баталгаа.

x1+x2 = ба x1x2 = тэгшитгэлээс x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2 байна.

Харин x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) тэгэхээр x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

Эндээс x1 ба x2 нь x2 + x + = 0 тэгшитгэлийн үндэс, тэгэхээр ax2 + bx + c = 0 тэгшитгэлүүд болно.

Виетийн теоремын хэрэглээ.

Виетийн теоремыг 8-р ангид квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олоход ашигладаг. Та энэ теоремыг ашиглах хүрээг өргөжүүлж болно, жишээлбэл, 9-11-р ангийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх, квадрат тэгшитгэл, тэдгээрийн язгуурыг судлахтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх. Энэ нь цаг хугацааг багасгаж, системийг шийдвэрлэхэд хялбар болгодог.

Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Хэрэв бид язгууруудын нийлбэр нь 5, үржвэр нь 6-тай тэнцүү квадрат тэгшитгэлийн x ба у язгуур гэж үзвэл бид хоёр системийн олонлогийг олж авна.

Хариулт: (2;3), (3;2).

Оюутнууд шийдвэрлэх энэ аргыг хурдан эзэмшиж, дуртайяа ашигладаг. Цаашилбал, та системийг хүндрүүлж, суралцахдаа энэ техникийг ашиглаж болно янз бүрийн сэдэв 10-11-р ангид.

Тэгшитгэлийн системийг шийд:

x > 0 y > 0 нөхцөлөөр бид авна

Зарим бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба байг энэ системхоёр системийн хослолтой тэнцэнэ

Популяцийн хоёр дахь систем нь шийдэлгүй байна.

Хариулт: (9;4).

Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болох тэгшитгэлийн системийг доор харуулав.

Хариулт: (65;3),(5;63).

Хариулт: (23;11),(7;27).

Хариулт: (4;729),(81;4096).

Хариулт: (2; 2).

5. x + y =12 Хариулт: (8;4),(4;8).

Хариулт: (9;4),(4;9).

Үүнтэй төстэй тэгшитгэлийн системийг багш өөрөө эмхэтгэх эсвэл оюутнуудыг үүнд оролцуулж болох бөгөөд энэ нь тухайн сэдвийг сонирхоход хувь нэмэр оруулдаг.

Амаар шийдвэрлэх даалгавар.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр тэдгээрийн үндсийг ол.

1. x2 - 6x + 8 = 0 Хариулт: 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 Хариу: -1;6.

3. x2 + 2x - 24 = 0 Хариулт: -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 Хариулт: -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 Хариу: 2;5.

6. 2х2 + 7х + 5 = 0 Хариулт: -2.5;-1.

Виетийн теоремыг ашигласан асуудлуудыг авч үзье.

9x²+18x-8=0 тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр x1³+x2³, x1,x2 язгуурыг ол.

9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0

1) Ялгаварлан гадуурхах тэгээс их, D>0 нь x1,x2 нь бодит язгуур гэсэн үг.

Виетийн теоремын дагуу: x1+x2=-2 x1∙x2= -

3) x1³+x2³ илэрхийллийг хувирга: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –

X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).

Үр дүнгийн томъёонд бидний мэддэг утгыг орлуулж хариултыг авцгаая.

2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -

9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1 тэгшитгэлийн k-ийн ямар утгатай байх вэ.

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.

Виетийн теоремын дагуу: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1) бид хоёр тэгшитгэлийн системийг олж аваад x2-ын оронд 2x1-ийг орлуулсан.

2x12=-k│:2 x1²=-k

3x1=2(k-1)│:3 x1=k-

Гарсан тэгшитгэлүүдийг харьцуулж үзье:

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, k-г олцгооё.

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

Хариулт: k1=-1 ба k2=2.

x²+13x-17=0 квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь x1;x2 байг. Үндэс нь 2-x1 ба 2-x2 тоо байх тэгшитгэл зохио.

x²+13x-17=0 тэгшитгэлийг авч үзье.

1) Дискриминант D>0, x1 нь бодит язгуур гэсэн үг;

Виетийн теоремоор: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17

3) Энэ системд 2-х2 ба 2-х2 тоог орлуулна уу.

(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

Иймд Виетийн теоремыг хэрэглэвэл хүссэн тэгшитгэл нь x²-17x+13=0 болно.

Хариулт: x²-17x+13=0.

ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн бол x2>x1,x1>0,x2 бол b ба c-ийн тэмдгүүд ямар байх вэ?

x2 x1 тул b>0,c гэж гарна

Хариулт: b>0,с

6) ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн бол x1 0,x2>0 бол b ба c тэмдэгтүүд ямар байх вэ.

Виетийн теоремоор: x1+x2=-b x1∙x2=c

x1>0, x2>0, and x2>x1 тул b 0 байна.

Бие даасан шийдлийн даалгавар.

1) 2x²-3x-11=0 тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр +-г ол, энд x1;x2 түүний үндэс.

2) x1;x2 нь x²-18x+11=0 гурвалсан гишүүний үндэс байх + илэрхийллийн утгыг ол.

3) x²-7x-46=0 квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь x1;x2 байг.

Үндэс нь тоонуудын квадрат тэгшитгэлийг бич

2x1 +x2 ба 2x2 +x1.

Хариулт: 9х2-21х-481=0

4) k-ийн ямар бүхэл утга нь тэгшитгэлийн язгууруудын нэг байх болно

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 секундээс гурав дахин бага уу?

Хариулт: k=2.

5) ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн бол x1 0 бол b ба c ямар тэмдэгтэй байх вэ.

“Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ” - Шийдвэрлэх ур чадвар. Кострома. Ярославль. Ладыженская Ольга Александровна. Стеклов Владимир Андреевич. Тэгшитгэлээ шийдье. Тэгш байдал. Аман ажил. Казань. Хөдөлгөөний объект. Криптографийн хүснэгт. Нижний Новгород. Ляпунов Александр Михайлович. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Хурд. Автобус. Хөдөлгөөний даалгавар.

“Математик “Квадрат тэгшитгэл”” - е) тэгшитгэл нь а-ийн аль утгад нэг үндэстэй байх вэ? Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Квадрат тэгшитгэлийг амаар шийд. Үсгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлийг шийд. Оюун ухаандаа аль болох их хоол өгөхийг хичээ. Зорилго: Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх оновчтой аргыг олж харж сурах. М.В. Ломоносов. Дасгал хийж байна.

“Франсуа Вьет ба түүний теорем” - Хоёр олон гишүүнт ижил тэнцүү байна. Математикийн хичээл. Математикийн нээлтүүд. Вьетагийн томъёо. Франсуа Вьетнам. Багш нар. -аас олж мэдээрэй янз бүрийн эх сурвалжФрансуа Виет гэж хэн бэ? Ялгаварлан гадуурхагч. Виетийн теоремыг аль ч зэрэгтэй олон гишүүнтэд нэгтгэж болно. Квадрат тэгшитгэлийн хувьд Viethe-ийн гаргаж авсан томъёо.

“Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох” - Тэгшитгэлд үндэс байхгүй. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл. Тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн шинж чанарууд. Томьёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын тоог тодорхойлох. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олох. Ялгаварлагчийг олох. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга.

“Квадрат язгууртай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх” - Хавсралт. Зурах. "Шидэх" аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. График шийдэлквадрат тэгшитгэл. Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн шинж чанарууд. Factorization. Сонгох арга бүтэн дөрвөлжин. Тэгшитгэл. Коэффицент. Коэффициентуудын нийлбэр. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга. Чөлөөт гишүүн.

“Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх” - Бодлого шийдвэрлэх. Баримтуудын хуримтлал. Эдгээр тэгшитгэлийг 4 бүлэгт хуваарил. Үе тэнгийн үнэлгээ. Судалсан материалын анхан шатны ойлголт, хэрэглээ. Хичээлийн сэдэв. Юу ч сураагүй өдөр эсвэл цагийг азгүйтсэн гэж бод. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Асуулт. Сурах даалгавар тавих.

Энэ сэдвээр нийт 34 илтгэл тавигдсан