Matematični zapis(»jezik matematike«) - zapleten sistem grafičnih zapisov, ki se uporablja za predstavitev povzetka matematične ideje in sodbe v človeku berljivi obliki. Sestavlja (v svoji kompleksnosti in raznolikosti) pomemben delež negovornih znakovnih sistemov, ki jih uporablja človeštvo. Ta članek opisuje splošno sprejeto mednarodni sistem notacije, čeprav različne kulture preteklosti imeli svoje, nekateri pa so še danes omejeno uporabni.
Upoštevajte to matematični zapis, se praviloma uporabljajo v povezavi z pisno nekaj naravnih jezikov.
Poleg temeljne in uporabne matematike se matematične notacije pogosto uporabljajo v fiziki, pa tudi (v nepopolnem obsegu) v tehniki, računalništvu, ekonomiji in na vseh področjih. človeška dejavnost, kjer se uporabljajo matematični modeli. O razlikah med pravilnim matematičnim in uporabnim slogom zapisovanja bomo razpravljali v besedilu.
Enciklopedični YouTube
1 / 5
✪ Prijavite se pri matematiki
✪ Matematika 3. razred. Tabela činov večmestna števila
✪ Kompleti pri matematiki
✪ Matematika 19. Matematična zabava - Šiškina šola
Podnapisi
Zdravo! Ta video ne govori o matematiki, temveč o etimologiji in semiotiki. Toda prepričan sem, da vam bo všeč. Pojdi! Zavedate se, da iskanje rešitev kubičnih enačb v splošni pogled je matematikom vzelo več stoletij? To je delno zakaj? Ker ni bilo jasnih simbolov za jasne misli, ali je naš čas. Simbolov je toliko, da se lahko zmedeš. Ampak tebe in mene ne moremo pretentati, ugotovimo. To je velika narobe obrnjena črka A. To je pravzaprav angleška črka, navedena prva v besedah "all" in "any". V ruščini se ta simbol, odvisno od konteksta, lahko prebere takole: za vsakogar, za vse, za vse, za vse in tako naprej. Takšen hieroglif bomo imenovali univerzalni kvantifikator. In tu je še en kvantifikator, a že obstoj. Angleška črka e se v Paintu odraža od leve proti desni in s tem namiguje na čezmorski glagol "obstati", na naš način bomo prebrali: obstaja, obstaja, obstaja in na druge podobne načine. Klicaj takšnemu eksistencialnemu kvantifikatorju bo dodal edinstvenost. Če je to jasno, pojdimo naprej. Verjetno ste se z nedoločenimi integrali srečali v enajstem razredu, rad bi vas spomnil, da to ni samo nekakšen protiodvod, ampak celota vseh antiodvodov integranda. Torej ne pozabite na C - konstanto integracije. Mimogrede, sama integralna ikona je le podolgovata črka s, odmev latinska beseda vsota Prav to je geometrijski pomen določenega integrala: iskanje površine figure pod grafom s seštevanjem neskončno majhnih količin. Zame je to najbolj romantična dejavnost matematične analize. Toda šolska geometrija je najbolj uporabna, ker uči logično strogost. Do prvega leta bi morali jasno razumeti, kaj je posledica, kaj je enakovrednost. No, ne moreš se zamenjati glede nujnosti in zadostnosti, veš? Poskusimo celo kopati malo globlje. Če se odločite za višja matematika, potem si lahko predstavljam, kako slabo je z vašim osebnim življenjem, a zato se boste verjetno strinjali, da greste skozi malo vaje. Obstajajo tri točke, vsaka z levo in desno stranjo, ki jih morate povezati z enim od treh narisanih simbolov. Prosim, pritisnite premor, poskusite sami in nato poslušajte, kaj vam imam povedati. Če je x=-2, potem je |x|=2, vendar od leve proti desni lahko frazo sestavite na ta način. V drugem odstavku na levi in desni deli piše popolnoma isto stvar. In tretjo točko lahko komentiramo takole: vsak pravokotnik je paralelogram, ni pa vsak paralelogram pravokotnik. Ja, vem, da nisi več majhen, ampak vseeno moj aplavz za tiste, ki so opravili to vajo. No, v redu, dovolj je, spomnimo se številskih nizov. Pri štetju se uporabljajo naravna števila: 1, 2, 3, 4 itd. V naravi -1 jabolko ne obstaja, mimogrede pa nam cela števila omogočajo, da govorimo o takih stvareh. Črka ℤ nam kriči o tem pomembno vlogo nič, je množica racionalnih števil označena s črko ℚ in to ni naključje. V angleščini beseda "kvocient" pomeni "odnos". Mimogrede, če kje v Brooklynu pride do vas Afroameričan in reče: "Keep it real!", ste lahko prepričani, da je to matematik, občudovalec realnih števil. Pa preberi kaj o kompleksnih številih, bo bolj uporabno. Zdaj se bomo vrnili nazaj, vrnili se bomo v prvi razred najbolj običajne grške šole. Skratka, spomnimo se starodavne abecede. Prva črka je alfa, nato betta, ta kavelj je gama, nato delta, sledi epsilon in tako naprej, do zadnje črke omega. Lahko ste prepričani, da imajo Grki tudi velike tiskane črke, vendar ne bomo zdaj govorili o žalostnih stvareh. Boljši smo glede zabave – glede omejitev. Toda tu ni nobenih skrivnosti, takoj je jasno, iz katere besede se je pojavil matematični simbol. No, torej lahko preidemo na zadnji del videa. Poskusite izraziti definicijo omejitve številčno zaporedje, ki je zdaj napisana pred vami. Hitro kliknite na pavzo in pomislite in naj boste srečni kot enoletni otrok, ki prepozna besedo "mama". Če za kakšen epsilon Nad ničlo obstaja pozitivno celo število N, tako da za vsa števila številskega zaporedja, večja od N, velja neenakost |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, enako številu a. Tako je, fantje. Ni važno, če te definicije niste mogli prebrati, glavna stvar je, da jo pravočasno razumete. Na koncu ugotavljam: mnogi od tistih, ki so gledali ta videoposnetek, vendar se še vedno niso naročili na kanal, niso prazni. To me zelo žalosti, zato vam bom med končno glasbo pokazal, kako to popraviti. No, ostalim pa želim kritično razmišljanje in matematiko! Srečno! [Glasba / aplavz]
Splošne informacije
Sistem se je tako kot naravni jeziki razvil zgodovinsko (glej zgodovino matematičnih zapisov) in je organiziran kot pisava naravnih jezikov, od koder si je izposodil tudi številne simbole (predvsem iz latinske in grške abecede). Simboli so tako kot v običajni pisavi upodobljeni s kontrastnimi črtami na enotnem ozadju (črna na belem papirju, svetla na temni tabli, kontrastna na monitorju itd.), njihov pomen pa je določen predvsem z njihovo obliko in relativnim položajem. Barva se ne upošteva in se običajno ne uporablja, toda pri uporabi črk lahko njihove značilnosti, kot sta slog in celo pisava, ki ne vplivajo na pomen v običajnem pisanju, igrajo pomembno vlogo v matematičnem zapisu.
Struktura
Običajni matematični zapisi (predvsem t.i matematične formule) so običajno zapisani v vrstici od leve proti desni, vendar ne tvorijo nujno zaporednega niza znakov. Posamezni bloki znakov se lahko pojavijo v zgornji ali spodnji polovici vrstice, tudi če znaki ne prekrivajo navpičnic. Tudi nekateri deli se nahajajo povsem nad ali pod črto. S slovničnega vidika lahko skoraj vsako "formulo" štejemo za hierarhično organizirano drevesno strukturo.
Standardizacija
Matematični zapis predstavlja sistem v smislu medsebojne povezanosti njegovih komponent, na splošno pa ne tvorijo formalni sistem (v razumevanju same matematike). V nobenem zapletenem primeru jih ni mogoče niti programsko razčleniti. Kot vsak naravni jezik je tudi »matematični jezik« poln nedoslednih zapisov, homografov, različnih (med njegovimi govorci) interpretacij tega, kar se šteje za pravilno itd. Niti ni nobene vidne abecede matematičnih simbolov, še zlasti zato, ker vprašanje, ali dve označbi obravnavati kot različna simbola ali različno črkovanje istega simbola, ni vedno jasno rešeno.
Nekateri matematični zapisi (večinoma povezani z meritvami) so standardizirani v ISO 31-11, vendar splošne standardizacije zapisov precej manjka.
Elementi matematične notacije
Številke
Če je treba uporabiti številski sistem z osnovo, manjšo od deset, je osnova zapisana v indeksu: 20003 8. Številski sistemi z osnovami, večjimi od deset, se v splošno sprejetem matematičnem zapisu ne uporabljajo (čeprav jih seveda preučuje sama znanost), saj zanje ni dovolj števil. V povezavi z razvojem računalništva je postal aktualen šestnajstiški številski sistem, v katerem so številke od 10 do 15 označene s prvimi šestimi latinskimi črkami od A do F. Za označevanje takšnih števil se v računalniku uporablja več različnih pristopov. naravoslovje, vendar se niso prenesli v matematiko.
Nadpisani in podpisani znaki
Oklepaji, povezani simboli in ločila
Uporabljajo se oklepaji "()":
Oglati oklepaji "" se pogosto uporabljajo pri združevanju pomenov, ko je treba uporabiti več parov oklepajev. V tem primeru so nameščeni na zunanji strani in imajo (ob skrbni tipografiji) večjo višino kot nosilci na notranji strani.
Kvadrat "" in oklepaj "()" se uporablja za označevanje zaprtih oziroma odprtih prostorov.
Zavit oklepaj "()" se običajno uporablja za , čeprav zanje velja isto opozorilo kot za oglate oklepaje. Levi oklepaj "(" in desni ")" se lahko uporablja ločeno; je opisan njihov namen.
Znaki kotnih oklepajev " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle ) Pri urejeni tipografiji morajo imeti topi kot in se tako razlikovati od podobnih, ki imajo pravi ali ostri kot. V praksi tega ne bi smeli upati (zlasti pri ročnem pisanju formul) in jih je treba razlikovati po intuiciji.
Pari simetričnih (glede na navpično os) simbolov, vključno s tistimi, ki se razlikujejo od navedenih, se pogosto uporabljajo za poudarjanje dela formule. Opisan je namen parnih oklepajev.
Indeksi
Glede na lokacijo se razlikujejo zgornji in spodnji indeksi. Nadnapis je lahko (vendar ne pomeni nujno) potenciranje pri drugih uporabah.
Spremenljivke
V znanosti obstajajo nizi količin in katera koli od njih lahko sprejme bodisi niz vrednosti in se imenuje spremenljivka vrednost (različico) ali samo eno vrednost in jo imenujemo konstanta. V matematiki so količine pogosto abstrahirane od fizikalnega pomena in potem spremenljiva količina se spremeni v povzetek(ali številska) spremenljivka, označena z nekim simbolom, ki ni zaseden s posebnimi oznakami, omenjenimi zgoraj.
Spremenljivka X velja za dano, če je naveden niz vrednosti, ki jih sprejema (x). Konstantno količino je priročno obravnavati kot spremenljivko, katere ustrezen niz (x) sestoji iz enega elementa.
Funkcije in operaterji
Pri matematiki ni bistvene razlike med operater(enarni), zaslon in funkcijo.
Vendar se razume, da če je treba zapisati vrednost preslikave iz danih argumentov, potem simbol te preslikave označuje funkcijo; v drugih primerih pa govorijo o operatorju. Simboli za nekatere funkcije enega argumenta se uporabljajo z oklepaji ali brez njih. Številne osnovne funkcije, na primer sin x (\displaystyle \sin x) oz sin (x) (\displaystyle \sin(x)), vendar se vedno kličejo elementarne funkcije funkcije.
Operatorji in relacije (unarni in binarni)
Funkcije
Funkcijo lahko omenjamo v dveh pomenih: kot izraz njene vrednosti glede na podane argumente (pisno f (x), f (x, y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y)) itd.) ali kot funkcija sama. V slednjem primeru je vstavljen samo simbol funkcije, brez oklepajev (čeprav so pogosto napisani naključno).
Obstaja veliko zapisov za pogoste funkcije, ki se uporabljajo v matematičnem delu brez dodatne razlage. Sicer pa je treba funkcijo nekako opisati in v temeljni matematiki se bistveno ne razlikuje od in jo tudi označujemo s poljubno črko. Najbolj priljubljena črka za označevanje spremenljivih funkcij je f, g, pogosto pa se uporablja tudi večina grških črk.
Vnaprej določene (rezervirane) oznake
Enočrkovni oznaki pa lahko po želji dodamo drugačen pomen. Na primer, črka i se pogosto uporablja kot simbol indeksa v kontekstih, kjer se ne uporabljajo kompleksna števila, črka pa se lahko uporablja kot spremenljivka v nekaterih kombinatorikah. Prav tako simbole teorije nizov (kot je " ⊂ (\displaystyle \subset )"in" ⊃ (\displaystyle \supset )") in propozicijskih računov (kot je " ∧ (\displaystyle \wedge)"in" ∨ (\displaystyle \vee)") se lahko uporablja v drugem pomenu, običajno kot vrstni red in binarne operacije.
Indeksiranje
Indeksiranje je predstavljeno grafično (običajno z dnom, včasih z vrhovi) in je v nekem smislu način za razširitev informacijske vsebine spremenljivke. Vendar se uporablja v treh nekoliko različnih (čeprav prekrivajočih se) pomenih.
Dejanske številke
Možno je imeti več različnih spremenljivk, če jih označimo z isto črko, podobno kot z . Na primer: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\x_(2),\x_(3)\ldots ). Običajno jih povezuje nekakšna skupnost, vendar na splošno to ni potrebno.
Poleg tega se lahko kot "indeksi" uporabljajo ne samo številke, ampak tudi kateri koli simboli. Ko pa sta druga spremenljivka in izraz zapisana kot indeks, se ta vnos interpretira kot "spremenljivka s številom, določenim z vrednostjo izraza indeksa."
V tenzorski analizi
V linearni algebri se piše tenzorska analiza, diferencialna geometrija z indeksi (v obliki spremenljivk).
Tečaj uporablja geometrijski jezik, sestavljen iz zapisov in simbolov, sprejetih v tečaju matematike (zlasti v novem tečaju geometrije v srednji šoli).
Vso raznolikost oznak in simbolov ter povezav med njimi lahko razdelimo v dve skupini:
skupina I - oznake geometrijskih likov in razmerja med njimi;
skupina II oznake logičnih operacij, ki tvorijo sintaktično osnovo geometrijskega jezika.
Spodaj je popoln seznam matematičnih simbolov, uporabljenih v tem tečaju. Posebna pozornost je namenjena simbolom, ki se uporabljajo za označevanje projekcij geometrijskih likov.
Skupina I
SIMBOLI, KI OZNAČAJO GEOMETRIJSKE LIKE IN ODNOSE MED NJIMI
A. Označevanje geometrijskih likov
1. Označena je geometrijska figura - F.
2. Točke so označene z velikimi črkami latinske abecede ali arabskimi številkami:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Črte, ki se poljubno nahajajo glede na projekcijske ravnine, so označene z malimi črkami latinske abecede:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Nivojske črte so označene: h - vodoravno; f- spredaj.
Za ravne črte se uporabljajo tudi naslednji zapisi:
(AB) - ravna črta, ki poteka skozi točki A in B;
[AB) - žarek z začetkom v točki A;
[AB] - odsek ravne črte, omejen s točkama A in B.
4. Površine so označene z malimi črkami grške abecede:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Da bi poudarili način definiranja površine, je treba navesti geometrijske elemente, s katerimi je definirana, na primer:
α(a || b) - ravnino α določata vzporednici a in b;
β(d 1 d 2 gα) - površina β je določena z vodili d 1 in d 2, generatorjem g in ravnino vzporednosti α.
5. Označeni so koti:
∠ABC - kot z ogliščem v točki B, kot tudi ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Kotni: vrednost (stopinjska mera) je označena z znakom, ki je nameščen nad kotom:
Velikost kota ABC;
Velikost kota φ.
Pravi kot je označen s kvadratom s piko v notranjosti
7. Razdalje med geometrijske oblike so označeni z dvema navpičnima segmentoma - ||.
Na primer:
|AB| - razdalja med točkama A in B (dolžina segmenta AB);
|Aa| - razdalja od točke A do premice a;
|Aα| - razdalje od točke A do površine α;
|ab| - razdalja med premicama a in b;
|αβ| razdalja med površinama α in β.
8. Za projekcijske ravnine so sprejete naslednje oznake: π 1 in π 2, kjer je π 1 vodoravna projekcijska ravnina;
π 2 - čelna projekcijska ravnina.
Pri zamenjavi projekcijskih ravnin ali uvedbi novih ravnin so slednje označene s π 3, π 4 itd.
9. Projekcijske osi so označene: x, y, z, kjer je x abscisna os; y - ordinatna os; z - nanosna os.
Mongejev konstantni premični diagram je označen s k.
10. Projekcije točk, črt, površin, katere koli geometrijske figure so označene z enakimi črkami (ali številkami) kot izvirnik, z dodatkom nadnapisa, ki ustreza projekcijski ravnini, na kateri so bile pridobljene:
A", B", C", D", ... , L", M", N", vodoravne projekcije točk; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... čelne projekcije točk; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - vodoravne projekcije premic; a", b", c", d", ..., l", m " , n" , ... čelne projekcije daljic; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horizontalne projekcije površin; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... čelne projekcije ploskev.
11. Sledi ravnin (površin) so označene z enakimi črkami kot vodoravne ali frontalne, z dodatkom indeksa 0α, ki poudarja, da te premice ležijo v projekcijski ravnini in pripadajo ravnini (površini) α.
Torej: h 0α - vodoravna sled ravnine (površine) α;
f 0α - čelna sled ravnine (površine) α.
12. Sledi premic (črt) so označene z velikimi tiskanimi črkami, s katerimi se začnejo besede, ki določajo ime (v latinični transkripciji) projekcijske ravnine, ki jo premica seka, s podpisom, ki označuje pripadnost premici.
Na primer: H a - vodoravna sled ravne črte (črte) a;
F a - čelna sled ravne črte (črte) a.
13. Zaporedje točk, premic (poljubna figura) je označeno z indeksi 1,2,3,..., n:
A 1, A 2, A 3,..., A n;
a 1, a 2, a 3,...,a n;
α 1, α 2, α 3,...,α n;
Ф 1, Ф 2, Ф 3,..., Ф n itd.
Pomožna projekcija točke, dobljena kot rezultat transformacije za pridobitev dejanske vrednosti geometrijske figure, je označena z isto črko z indeksom 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
Aksonometrične projekcije
14. Aksonometrične projekcije točk, črt, površin so označene z enakimi črkami kot narava z dodatkom nadnapisa 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Sekundarne projekcije so označene z dodajanjem nadnapisa 1:
A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
Za lažje branje risb v učbeniku se pri oblikovanju ilustrativnega gradiva uporablja več barv, od katerih ima vsaka določen pomen: črne črte (pike) označujejo izvirne podatke; zelena barva se uporablja za črte pomožnih grafičnih konstrukcij; rdeče črte (pike) prikazujejo rezultate konstrukcij ali tiste geometrijske elemente, na katere je treba nameniti posebno pozornost.
| št. po por. | Imenovanje | Vsebina | Primer simbolnega zapisa |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Ujemanje | (AB)≡(CD) - ravna črta, ki poteka skozi točki A in B, sovpada s premico, ki poteka skozi točki C in D |
| 2 | ≅ | Skladno | ∠ABC≅∠MNK - kot ABC je skladen s kotom MNK |
| 3 | ∼ | Podobno | ΔАВС∼ΔMNK - trikotnika АВС in MNK sta si podobna |
| 4 | || | Vzporedno | α||β - ravnina α je vzporedna z ravnino β |
| 5 | ⊥ | Pravokotno | a⊥b - premici a in b sta pravokotni |
| 6 | Križanec | c d - premici c in d se sekata | |
| 7 | Tangente | t l - premica t se dotika premice l. βα - ravnina β, ki se dotika površine α |
|
| 8 | → | Prikazano | F 1 →F 2 - slika F 1 je preslikana na sliko F 2 |
| 9 | S | Projekcijski center. Če je središče projekcije neustrezna točka, potem je njegov položaj označen s puščico, ki označuje smer projekcije | - |
| 10 | s | Smer projekcije | - |
| 11 | p | Vzporedna projekcija | р s α Vzporedna projekcija - vzporedna projekcija na ravnino α v smeri s |
| št. po por. | Imenovanje | Vsebina | Primer simbolnega zapisa | Primer simbolnega zapisa v geometriji |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | Kompleti | - | - |
| 2 | A,B,C,... | Elementi kompleta | - | - |
| 3 | { ... } | Vsebuje... | Ф(A, B, C,...) | Ф(A, B, C,...) - lik Ф je sestavljen iz točk A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Prazen komplet | L - ∅ - množica L je prazna (ne vsebuje elementov) | - |
| 5 | ∈ | Pripada, je element | 2∈N (kjer je N množica naravna števila) - število 2 pripada množici N | A ∈ a - točka A pripada premici a (točka A leži na premici a) |
| 6 | ⊂ | Vključuje, vsebuje | N⊂M - množica N je del (podmnožica) množice M vseh racionalnih števil | a⊂α - premica a pripada ravnini α (razumljeno v smislu: množica točk premice a je podmnožica točk ravnine α) |
| 7 | ∪ | Združenje | C = A U B - množica C je unija množic A in B; (1, 2. 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5) | ABCD = ∪ [ВС] ∪ - lomljena črta, ABCD je združevanje segmentov [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Presečišče mnogih | M=K∩L - množica M je presečišče množic K in L (vsebuje elemente, ki pripadajo tako množici K kot množici L). M ∩ N = ∅ - presečišče množic M in N je prazna množica (množici M in N nimata skupnih elementov) | a = α ∩ β - premica a je presečišče ravnini α in β a ∩ b = ∅ - premici a in b se ne sekata (nimajo skupnih točk) |
| št. po por. | Imenovanje | Vsebina | Primer simbolnega zapisa |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | Povezovanje stavkov; ustreza vezniku "in". Stavek (p∧q) je resničen, če in samo če sta p in q resnična | α∩β = (К:K∈α∧K∈β) Presek ploskev α in β je množica točk (premica), sestavljen iz vseh tistih in samo tistih točk K, ki pripadajo tako površini α kot površini β |
| 2 | ∨ | Ločevanje stavkov; ujema z veznikom "ali". Stavek (p∨q) resničen, ko je vsaj eden od stavkov p ali q resničen (to je bodisi p ali q ali oba). | - |
| 3 | ⇒ | Implikacija je logična posledica. Stavek p⇒q pomeni: "če je p, potem q" | (a||c∧b||c)⇒a||b. Če sta dve premici vzporedni s tretjo, potem sta med seboj vzporedni |
| 4 | ⇔ | Stavek (p⇔q) razumemo v smislu: »če je p, potem tudi q, če je q, potem tudi p«; | А∈α⇔А∈l⊂α. Točka pripada ravnini, če pripada neki premici, ki pripada tej ravnini. Velja tudi obratna trditev: če točka pripada določeni premici, ki pripada ravnini, potem pripada ravnini sami |
| 5 | ∀ | Splošni kvantifikator se glasi: za vsakogar, za vsakogar, za kogarkoli. Izraz ∀(x)P(x) pomeni: "za vsak x velja lastnost P(x)" | ∀(ΔАВС)( = 180°) Za kateri koli (za kateri koli) trikotnik je vsota vrednosti njegovih kotov v ogliščih enaka 180° |
| 6 | ∃ | Eksistencialni kvantifikator se glasi: obstaja. Izraz ∃(x)P(x) pomeni: "obstaja x, ki ima lastnost P(x)" | (∀α)(∃a). Za vsako ravnino α obstaja premica a, ki ne pripada ravnini α in vzporedna z ravnino α |
| 7 | ∃1 | Kvantifikator enkratnosti obstoja se glasi: obstaja samo eden (-i, -th)... Izraz ∃1(x)(Рх) pomeni: »obstaja samo en (le en) x, imeti lastnost Px" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Za kateri koli dve različni točki A in B obstaja edinstvena premica a, ki poteka skozi te točke. |
| 8 | (Px) | Negacija izjave P(x) | ab(∃α)(α⊃a, b). Če se premici a in b sekata, potem ni ravnine a, ki ju vsebuje |
| 9 | \ | Negacija predznaka | ≠ -odsek [AB] ni enak odseku .a?b - premica a ni vzporedna premici b |
Abstraktna algebra povsod uporablja simbole za poenostavitev in skrajšanje besedila ter standardne zapise za nekatere skupine. Spodaj je seznam najpogostejših algebraičnih zapisov, ustreznih ukazov v ... Wikipediji
Matematični zapisi so simboli, ki se uporabljajo za kompakten zapis matematičnih enačb in formul. Poleg številk in črk različnih abeced (latinica, tudi v gotskem slogu, grščina in hebrejščina), ... ... Wikipedia
Članek vsebuje seznam pogosto uporabljenih okrajšav matematičnih funkcij, operatorjev in drugih matematičnih izrazov. Vsebina 1 Okrajšave 1.1 Latinica 1.2 Grška abeceda ... Wikipedia
Unicode ali Unicode je standard za kodiranje znakov, ki omogoča predstavitev znakov skoraj vseh pisnih jezikov. Standard je leta 1991 predlagala neprofitna organizacija Unicode Consortium, ... ... Wikipedia
Seznam specifičnih simbolov, ki se uporabljajo v matematiki, si lahko ogledate v članku Tabela matematičnih simbolov Matematični zapis (»jezik matematike«) je zapleten grafični sistem zapis, ki se uporablja za predstavitev povzetka ... ... Wikipedije
Ta izraz ima druge pomene, glejte Plus minus (pomeni). ± ∓ Znak plus minus (±) je matematični simbol, ki se postavi pred izraz in pomeni, da je vrednost tega izraza lahko pozitivna ali ... Wikipedia
Potrebno je preveriti kakovost prevoda in uskladiti članek s slogovnimi pravili Wikipedije. Lahko pomagate ... Wikipedia
Ali pa so matematični simboli znaki, ki s svojimi argumenti simbolizirajo določene matematične operacije. Najpogostejši so: Plus: + Minus: , − Znak za množenje: ×, ∙ Znak za deljenje: :, ∕, ÷ Povišaj znak na... ... Wikipedia
Operacijski znaki ali matematični simboli so znaki, ki s svojimi argumenti simbolizirajo določene matematične operacije. Najpogostejši so: plus: + minus: , − znak za množenje: ×, ∙ znak za deljenje: :, ∕, ÷ znak za konstrukcijo... ... Wikipedia
Neskončnost.J. Wallis (1655).
Prvič najdemo v razpravi angleškega matematika Johna Valisa "O koničnih prerezih".
Osnova naravnih logaritmov. L. Euler (1736).
Matematična konstanta, transcendentno število. Ta številka se včasih imenuje nepernati v čast škotskemu znanstvenik Napier, avtor dela "Opis neverjetne tabele logaritmov" (1614). Konstanta se prvič tiho pojavi v dodatku k angleškemu prevodu Napierjevega zgoraj omenjenega dela, objavljenega leta 1618. Samo konstanto je prvi izračunal švicarski matematik Jacob Bernoulli med reševanjem problema mejne vrednosti obrestnih prihodkov.
2,71828182845904523...
Prva znana uporaba te konstante, kjer je bila označena s črko b, ki ga najdemo v Leibnizovih pismih Huygensu, 1690-1691. Pismo e Euler ga je začel uporabljati leta 1727, prva objava s tem pismom pa je bilo njegovo delo "Mehanika ali znanost o gibanju, razložena analitično" leta 1736. Oziroma e navadno imenovani Eulerjevo število. Zakaj je bilo izbrano pismo? e, točno neznano. Morda je to posledica dejstva, da se beseda začne z njim eksponentno(»indikativno«, »eksponentno«). Druga domneva je, da slov a, b, c in d so že precej pogosto uporabljali za druge namene in e je bilo prvo "brezplačno" pismo.
Razmerje med obsegom in premerom. W. Jones (1706), L. Euler (1736).
Matematična konstanta, iracionalno število. Število "pi", staro ime je Ludolfovo število. Kot vsako iracionalno število je tudi π predstavljeno kot neskončni neperiodični decimalni ulomek:
π =3,141592653589793...
Prvič je oznako te številke z grško črko π uporabil britanski matematik William Jones v knjigi »Nov uvod v matematiko«, splošno sprejeta pa je postala po delu Leonharda Eulerja. Ta oznaka izvira iz začetne črke grških besed περιφερεια - krog, obod in περιμετρος - obod. Johann Heinrich Lambert je leta 1761 dokazal iracionalnost števila π, Adrienne Marie Legendre pa leta 1774 dokazala iracionalnost števila π 2. Legendre in Euler sta domnevala, da je π lahko transcendentalen, tj. ne more zadovoljiti nobene algebrske enačbe s celimi koeficienti, kar je na koncu leta 1882 dokazal Ferdinand von Lindemann.
Imaginarna enota. L. Euler (1777, v tisku - 1794).
Znano je, da enačba x 2 =1 ima dva korena: 1 in -1 . Imaginarna enota je eden od dveh korenov enačbe x 2 = -1, označeno z latinsko črko jaz, drug koren: -jaz. To oznako je predlagal Leonhard Euler, ki je za ta namen vzel prvo črko latinske besede imaginarius(namišljeno). Vse standardne funkcije je razširil tudi na kompleksno domeno, tj. niz števil, ki jih je mogoče predstaviti kot a+ib, Kje a in b- realna števila. Izraz "kompleksno število" je v široko uporabo uvedel nemški matematik Carl Gauss leta 1831, čeprav se je izraz že prej uporabljal v istem pomenu francoski matematik Lazare Carnot leta 1803.
Enotski vektorji. W. Hamilton (1853).
Enotski vektorji so pogosto povezani s koordinatnimi osemi koordinatnega sistema (zlasti z osemi kartezičnega koordinatnega sistema). Enotski vektor usmerjen vzdolž osi X, označeno jaz, enotski vektor usmerjen vzdolž osi Y, označeno j, enotski vektor pa je usmerjen vzdolž osi Z, označeno k. Vektorji jaz, j, k imenujemo enotski vektorji, imajo enotske module. Izraz "ort" je uvedel angleški matematik in inženir Oliver Heaviside (1892), zapis pa jaz, j, k- Irski matematik William Hamilton.
Celi del števila, antie. K.Gaussa (1808).
Celi del števila [x] števila x je največje celo število, ki ne presega x. Torej, =5, [-3,6]=-4. Funkcijo [x] imenujemo tudi "starost od x". Simbol funkcije celega dela je uvedel Carl Gauss leta 1808. Nekateri matematiki namesto tega raje uporabljajo zapis E(x), ki ga je leta 1798 predlagal Legendre.
Kot vzporednosti. N.I. Lobačevskega (1835).
Na ravnini Lobačevskega - kot med premicob, ki poteka skozi točkoOvzporedno s premicoa, ki ne vsebuje točkeO, in pravokotno odO na a. α - dolžina te navpičnice. Ko se točka odmikaO od ravne črte avzporedni kot se zmanjša od 90° do 0°. Lobačevski je dal formulo za kot vzporednostiP( α )=2arctg e - α /q , Kje q— neka konstanta, povezana z ukrivljenostjo prostora Lobačevskega.
Neznane ali spremenljive količine. R. Descartes (1637).
V matematiki je spremenljivka količina, za katero je značilen niz vrednosti, ki jih lahko sprejme. To lahko pomeni tako resnično fizikalno količino, ki se začasno obravnava ločeno od njenega fizičnega konteksta, kot neko abstraktno količino, ki nima analogij v resničnem svetu. Koncept spremenljivke se je pojavil v 17. stoletju. sprva pod vplivom zahtev naravoslovja, ki je v ospredje postavilo preučevanje gibanja, procesov in ne le stanj. Ta koncept je zahteval nove oblike za svoj izraz. Takšni novi obliki sta bili črkovna algebra in analitična geometrija Reneja Descartesa. Prvič je pravokotni koordinatni sistem in zapis x, y uvedel Rene Descartes v svojem delu "Diskurz o metodi" leta 1637. K razvoju koordinatne metode je prispeval tudi Pierre Fermat, vendar so bila njegova dela prvič objavljena po njegovi smrti. Descartes in Fermat sta uporabila koordinatno metodo le na ravnini. Koordinatno metodo za tridimenzionalni prostor je prvi uporabil Leonhard Euler že v 18. stoletju.
Vektor. O. Cauchy (1853).
Od samega začetka je vektor razumljen kot objekt, ki ima velikost, smer in (neobvezno) točko uporabe. Začetki vektorskega računa so se pojavili skupaj z geometrijskim modelom kompleksna števila v Gaussu (1831). Hamilton je objavil razvite operacije z vektorji kot del svojega kvaternionskega računa (vektor so tvorile imaginarne komponente kvaterniona). Hamilton je predlagal izraz vektor(iz latinske besede vektor, nosilec) in opisal nekatere operacije vektorske analize. Maxwell je ta formalizem uporabil v svojih delih o elektromagnetizmu in s tem pritegnil pozornost znanstvenikov na nov račun. Kmalu so izšli Gibbsovi Elementi vektorske analize (1880), nato pa je Heaviside (1903) podal vektorsko analizo moderen videz. Sam vektorski znak je v uporabo uvedel francoski matematik Augustin Louis Cauchy leta 1853.
Seštevanje, odštevanje. J. Widman (1489).
Znaka plus in minus sta očitno izumila nemška matematična šola »kosistov« (to je algebraistov). Uporabljajo se v učbeniku Jana (Johannesa) Widmanna Hiter in prijeten račun za vse trgovce, ki je izšel leta 1489. Prej je bilo seštevanje označeno s črko str(iz latinščine plus"več") ali latinska beseda et(veznik “in”), in odštevanje - črka m(iz latinščine minus"manj, manj") Za Widmanna simbol plus ne nadomešča samo seštevanja, ampak tudi veznik »in«. Izvor teh simbolov ni jasen, vendar so bili najverjetneje prej uporabljeni v trgovanju kot kazalniki dobička in izgube. Oba simbola sta kmalu postala običajna v Evropi – z izjemo Italije, ki je še približno stoletje uporabljala stare oznake.
Množenje. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).
Znak za množenje v obliki poševnega križa je leta 1631 uvedel Anglež William Oughtred. Pred njim je bila največkrat uporabljena črka M, čeprav so bili predlagani tudi drugi zapisi: simbol pravokotnika (francoski matematik Erigon, 1634), zvezdica (švicarski matematik Johann Rahn, 1659). Pozneje je Gottfried Wilhelm Leibniz križ zamenjal s piko (konec 17. stoletja), da ga ne bi zamenjal s črko x; pred njim so takšno simboliko našli nemški astronom in matematik Regiomontanus (15. stoletje) in angleški znanstvenik Thomas Herriot (1560 -1621).
Delitev. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).
William Oughtred je uporabil poševnico / kot znak za deljenje. Gottfried Leibniz je začel delitev označevati z dvopičjem. Pred njimi je bila pogosto uporabljena tudi črka D. Začenši s Fibonaccijem se uporablja tudi vodoravna črta ulomka, ki so jo uporabljali Heron, Diofant in v arabskih delih. V Angliji in ZDA se je razširil simbol ÷ (obelus), ki ga je leta 1659 predlagal Johann Rahn (po možnosti s sodelovanjem Johna Pella). Poskus ameriškega nacionalnega odbora za matematične standarde ( Nacionalni odbor za matematične zahteve) odstraniti obelus iz prakse (1923) ni uspelo.
Odstotek. M. de la Porte (1685).
Stotinka celote, vzeta kot enota. Sama beseda "odstotek" izhaja iz latinskega "pro centum", kar pomeni "na sto". Leta 1685 je v Parizu izšla knjiga "Manual of Commercial Aritmetic" Mathieu de la Porte. Na enem mestu so govorili o odstotkih, ki so jih takrat poimenovali »cto« (okrajšava za cento). Vendar je pisec ta "cto" zamenjal za ulomek in natisnil "%". Tako je zaradi tipkarske napake ta znak prišel v uporabo.
Stopnje. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).
Moderni zapis za eksponent je uvedel Rene Descartes v svojem Geometrija"(1637), vendar le za naravne potence z eksponenti, večjimi od 2. Kasneje je Isaac Newton to obliko zapisa razširil na negativne in delne eksponente (1676), katerih interpretacija je bila takrat že predlagana: flamski matematik in inženir Simon Stevin, angleški matematik John Wallis in francoski matematik Albert Girard.
Aritmetični koren n-ta potenca realnega števila A ≥0, - nenegativno število n-ta stopnja, ki je enaka A. Aritmetični koren 2. stopnje se imenuje kvadratni koren in ga lahko zapišemo brez oznake stopnje: √. Aritmetični koren 3. stopnje se imenuje kubni koren. Srednjeveški matematiki (na primer Cardano) so kvadratni koren označevali s simbolom R x (iz latinščine Radix, koren). Sodobno notacijo je leta 1525 prvi uporabil nemški matematik Christoph Rudolf iz Cossistične šole. Ta simbol izhaja iz stilizirane prve črke iste besede radix. Sprva ni bilo črte nad radikalnim izrazom; kasneje ga je uvedel Descartes (1637) za drugačen namen (namesto oklepaja) in ta lastnost se je kmalu združila s korenskim znakom. V 16. stoletju so kubični koren označevali takole: R x .u.cu (iz lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) je začel uporabljati znani zapis za koren poljubne stopnje. Ta oblika je nastala po zaslugi Isaaca Newtona in Gottfrieda Leibniza.
Logaritem, decimalni logaritem, naravni logaritem. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).
Izraz "logaritem" pripada škotskemu matematiku Johnu Napierju ( "Opis neverjetne tabele logaritmov", 1614); nastala je iz kombinacije grških besed λογος (beseda, razmerje) in αριθμος (število). J. Napierjev logaritem je pomožno število za merjenje razmerja dveh števil. Sodobna definicija Logaritem je prvi podal angleški matematik William Gardiner (1742). Po definiciji je logaritem števila b temelji na a (a ≠ 1, a > 0) - eksponent m, na katero bi bilo treba številko dvigniti a(imenovana baza logaritma), da dobimo b. Določeno dnevnik a b. Torej, m = dnevnik a b, če a m = b.
Prve tabele decimalnih logaritmov je leta 1617 objavil oxfordski profesor matematike Henry Briggs. Zato v tujini decimalni logaritmi pogosto imenovani brigs. Izraz »naravni logaritem« sta uvedla Pietro Mengoli (1659) in Nicholas Mercator (1668), čeprav je londonski učitelj matematike John Spidell že leta 1619 sestavil tabelo naravnih logaritmov.
prej konec XIX stoletja ni bilo splošno sprejetega zapisa za logaritem, osnovo a prikazano levo in nad simbolom dnevnik, nato nad njim. Na koncu so matematiki prišli do zaključka, da najbolj udobno mesto za osnovo - pod črto, za simbolom dnevnik. Znak za logaritem - rezultat okrajšave besede "logaritem" - najdemo v različne vrste skoraj istočasno s pojavom prvih tabel logaritmov, npr Dnevnik- I. Kepler (1624) in G. Briggs (1631), dnevnik- avtor B. Cavalieri (1632). Imenovanje ln Za naravni logaritem uvedel nemški matematik Alfred Pringsheim (1893).
Sinus, kosinus, tangens, kotangens. W. Outred (sredina 17. stoletja), I. Bernoulli (18. stoletje), L. Euler (1748, 1753).
Stenografski zapis za sinus in kosinus je uvedel William Oughtred leta sredi 17. stoletja stoletja. Okrajšave za tangens in kotangens: tg, ctg ki jih je v 18. stoletju predstavil Johann Bernoulli, so se razširile v Nemčiji in Rusiji. V drugih državah se uporabljajo imena teh funkcij tan, posteljica predlagal Albert Girard še prej, v začetku XVII stoletja. IN moderna oblika teorijo trigonometričnih funkcij je uvedel Leonhard Euler (1748, 1753) in dolgujemo mu utrditev prave simbolike.Izraz "trigonometrične funkcije" je leta 1770 uvedel nemški matematik in fizik Georg Simon Klügel.
Indijski matematiki so prvotno imenovali sinus "arha-jiva"("polstrune", to je polovica akorda), nato slov "archa" je bila zavržena in sinusna črta se je začela preprosto imenovati "jiva". arabski prevajalci ni prevedel besede "jiva" arabska beseda "vatar", ki označuje niz in akord, in transkribirano arabske črke in začeli so imenovati sinusno črto "jiba". Od leta arabsko kratki samoglasniki niso označeni, ampak dolgi "i" v besedi "jiba" označeno na enak način kot polglasnik "th", so Arabci začeli izgovarjati ime sinusne črte "jibe", kar dobesedno pomeni "votlina", "sinus". Pri prevajanju arabskih del v latinico so evropski prevajalci besedo prevajali "jibe" latinska beseda sinusov, ki imajo enak pomen.Izraz "tangenta" (iz lat.tangente- dotikanje) je uvedel danski matematik Thomas Fincke v svoji knjigi The Geometry of the Round (1583).
Arkusin. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).
Inverzne trigonometrične funkcije so matematične funkcije, ki so inverzne trigonometričnim funkcijam. Ime inverzne trigonometrične funkcije se tvori iz imena ustrezne trigonometrične funkcije z dodajanjem predpone "lok" (iz lat. lok- lok).Inverzne trigonometrične funkcije običajno vključujejo šest funkcij: arksinus (arcsin), arkkosinus (arccos), arktangens (arctg), arkotangens (arcctg), arksekant (arcsec) in arkkosekant (arccosec). Posebne simbole za inverzne trigonometrične funkcije je prvi uporabil Daniel Bernoulli (1729, 1736).Način označevanja inverznih trigonometričnih funkcij s predpono lok(iz lat. arcus, lok) se je pojavil z avstrijskim matematikom Karlom Scherferjem in se je utrdil po zaslugi francoskega matematika, astronoma in mehanika Josepha Louisa Lagrangea. Mišljeno je bilo, da na primer navadni sinus omogoča, da najdemo tetivo, ki jo povezuje vzdolž krožnega loka, inverzna funkcija pa rešuje nasprotna težava. angleščina in nemščina matematične šole do konca 19. stoletja so bile predlagane še druge oznake: sin -1 in 1/sin, vendar se ne uporabljajo široko.
Hiperbolični sinus, hiperbolični kosinus. V. Riccati (1757).
Zgodovinarji so prvi pojav hiperboličnih funkcij odkrili v delih angleškega matematika Abrahama de Moivreja (1707, 1722). Sodobno definicijo in njihovo podrobno študijo je izvedel Italijan Vincenzo Riccati leta 1757 v svojem delu "Opusculorum", predlagal je tudi njihove oznake: sh,pogl. Riccati je začel z upoštevanjem enotne hiperbole. Samostojno odkritje in nadaljnjo študijo lastnosti hiperboličnih funkcij je izvedel nemški matematik, fizik in filozof Johann Lambert (1768), ki je vzpostavil široko vzporednost formul navadne in hiperbolične trigonometrije. N.I. Lobačevski je pozneje uporabil ta paralelizem, da bi dokazal konsistentnost neevklidske geometrije, v kateri je navadna trigonometrija nadomeščena s hiperbolično.
Podoben trigonometrični sinus in kosinus sta koordinati točke na koordinatni krog, hiperbolični sinus in kosinus sta koordinati točke na hiperboli. Hiperbolične funkcije so izraženi s eksponentom in so tesno povezani z trigonometrične funkcije: sh(x)=0,5(e x -e -x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Po analogiji s trigonometričnimi funkcijami sta hiperbolični tangens in kotangens definirana kot razmerja hiperbolični sinus in kosinus, kosinus in sinus.
Diferencial. G. Leibniz (1675, objavljeno 1684).
Glavni, linearni del funkcijskega prirastka.Če funkcija y=f(x) eno spremenljivko x ima pri x=x 0izpeljanka in prirastekΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)funkcije f(x) lahko predstavimo v oblikiΔy=f"(x 0 )Δx+R(Δx) , kje je član R neskončno majhen v primerjavi zΔx. Prvi člandy=f"(x 0 )Δxv tej razširitvi in se imenuje diferencial funkcije f(x) na točkix 0. IN dela Gottfrieda Leibniza, Jacoba in Johanna Bernoullija slov"diferencia"je bil uporabljen v pomenu "prirastek", I. Bernoulli ga je označil z Δ. G. Leibniz (1675, objavljeno 1684) je uporabil zapis za "neskončno majhno razliko"d- prva črka besede"diferencial", ki ga je oblikoval iz"diferencia".
Nedoločen integral. G. Leibniz (1675, objavljeno 1686).
Besedo "integral" je v tisku prvi uporabil Jacob Bernoulli (1690). Morda izraz izhaja iz latinščine celo število- cela. Po drugi domnevi je bila osnova latinska beseda integro- spraviti v prejšnje stanje, obnoviti. Znak ∫ se uporablja za predstavitev integrala v matematiki in je stilizirana predstavitev prve črke latinske besede vsota - vsota Prvi ga je uporabil nemški matematik in utemeljitelj diferencialnega in integralnega računa Gottfried Leibniz l. konec XVII stoletja. Drugi od utemeljiteljev diferencialnega in integralnega računa, Isaac Newton, v svojih delih ni predlagal alternativne simbolike za integral, čeprav je preizkušal različne možnosti: navpično črto nad funkcijo ali kvadratni simbol, ki stoji pred funkcijo oz. meji nanj. Nedoločen integral za funkcijo y=f(x) je množica vseh antiodvodov dane funkcije.
Določen integral. J. Fourier (1819-1822).
Določen integral funkcije f(x) z nižjo mejo a in Zgornja meja b lahko opredelimo kot razliko F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Kje F(x)- nekaj antiderivat funkcije f(x) . Določen integral a ∫ b f(x)dx številčno enako površini figura, omejena z osjo x z ravnimi črtami x=a in x=b in graf funkcije f(x). Dekoracija določen integral v naši običajni obliki je predlagal francoski matematik in fizik Jean Baptiste Joseph Fourier leta začetku XIX stoletja.
Izpeljanka. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).
Odvod je osnovni koncept diferencialnega računa, ki označuje hitrost spremembe funkcije f(x) ko se argument spremeni x . Definirana je kot meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom njenega argumenta, ko se prirastek argumenta nagiba k ničli, če taka meja obstaja. Funkcija, ki ima na neki točki končni odvod, se na tej točki imenuje diferencibilna. Postopek izračuna odvoda imenujemo diferenciacija. Obratni proces je integracija. V klasiki diferencialni račun izpeljavo najpogosteje definiramo s koncepti teorije limitov, vendar se je zgodovinsko gledano teorija limitov pojavila pozneje kot diferencialni račun.
Izraz »izpeljanka« je uvedel Joseph Louis Lagrange leta 1797, uporablja tudi označevanje izpeljanke s črto (1770, 1779) in dy/dx- Gottfried Leibniz leta 1675. Način označevanja časovne izpeljanke s piko nad črko izhaja iz Newtona (1691).Ruski izraz "odvod funkcije" je prvi uporabil ruski matematikVasilij Ivanovič Viskovatov (1779-1812).
Delni derivat. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).
Za funkcije številnih spremenljivk so definirani delni odvodi - odvodi glede na enega od argumentov, izračunani ob predpostavki, da so preostali argumenti konstantni. Poimenovanja ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ l uvedel francoski matematik Adrien Marie Legendre leta 1786; fx",z x "- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ x ∂ l- delni odvodi drugega reda - nemški matematik Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).
Razlika, prirastek. I. Bernoulli (konec 17. stoletja - prva polovica 18. stoletja), L. Euler (1755).
Oznako prirastka s črko Δ je prvi uporabil švicarski matematik Johann Bernoulli. IN splošne medicine Uporaba simbola delta se je začela uporabljati po delu Leonharda Eulerja leta 1755.
vsota L. Euler (1755).
Vsota je rezultat seštevanja količin (števil, funkcij, vektorjev, matrik itd.). Za označevanje vsote n števil a 1, a 2, ..., a n se uporablja grška črka "sigma" Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i. Znak Σ za vsoto je uvedel Leonhard Euler leta 1755.
delo. K.Gaussa (1812).
Produkt je rezultat množenja. Za označevanje produkta n števil a 1, a 2, ..., a n se uporablja grška črka pi Π: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Na primer, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Znak Π za produkt je uvedel nemški matematik Carl Gauss leta 1812. V ruski matematični literaturi se je z izrazom "produkt" prvič srečal Leonty Filippovich Magnitsky leta 1703.
Faktorial. K. Crump (1808).
Faktoriel števila n (označeno z n!, izgovorjeno "en factorial") je produkt vseh naravnih števil do vključno n: n! = 1·2·3·...·n. Na primer, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Po definiciji je predpostavljena 0! = 1. Faktoriel je definiran samo za nenegativna cela števila. Faktoriel n je enak številu permutacij n elementov. Na primer 3! = 6, res,
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Vseh šest in samo šest permutacij treh elementov.
Izraz "faktorial" je uvedel francoski matematik in politična osebnost Louis François Antoine Arbogast (1800), oznaka n! - francoski matematik Christian Crump (1808).
Modul, absolutna vrednost. K. Weierstrassa (1841).
Absolutna vrednost realnega števila x je nenegativno število, definirano na naslednji način: |x| = x za x ≥ 0 in |x| = -x za x ≤ 0. Na primer |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modul kompleksnega števila z = a + ib - realno število, enako √(a 2 + b 2).
Domneva se, da je izraz "modul" predlagal angleški matematik in filozof, Newtonov učenec Roger Cotes. Tudi Gottfried Leibniz je uporabil to funkcijo, ki jo je poimenoval "modul" in označil: mol x. Skupna oznaka absolutna vrednost leta 1841 uvedel nemški matematik Karl Weierstrass. Za kompleksna števila sta ta koncept uvedla francoska matematika Augustin Cauchy in Jean Robert Argan na začetku 19. stoletja. Leta 1903 je avstrijski znanstvenik Konrad Lorenz uporabil enako simboliko za dolžino vektorja.
Norma. E. Schmidt (1908).
Norma je funkcija, določena na vektorski prostor in posploševanje koncepta dolžine vektorja ali modula števila. Znak "norma" (iz latinske besede "norma" - "pravilo", "vzorec") je leta 1908 uvedel nemški matematik Erhard Schmidt.
Omejitev. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), številni matematiki (do začetka 20. stoletja)
Limit je eden od osnovnih pojmov matematična analiza, kar pomeni, da se vrednost določene spremenljivke v procesu njenega obravnavanega spreminjanja neomejeno približuje določeni konstantna vrednost. Koncept meje je v drugi polovici 17. stoletja intuitivno uporabil Isaac Newton, pa tudi matematiki iz 18. stoletja, kot sta Leonhard Euler in Joseph Louis Lagrange. Prve stroge definicije meje zaporedja sta podala Bernard Bolzano leta 1816 in Augustin Cauchy leta 1821. Simbol lim (prve 3 črke iz latinske besede limes - meja) je leta 1787 pojavil švicarski matematik Simon Antoine Jean Lhuillier, vendar njegova uporaba še ni bila podobna sodobnim. Izraz lim v bolj znani obliki je prvi uporabil irski matematik William Hamilton leta 1853.Weierstrass je uvedel oznako, ki je blizu sodobnemu, vendar je namesto znane puščice uporabil znak enakosti. Puščica se je pojavila v začetku 20. stoletja med več matematiki hkrati - na primer angleški matematik Godfried Hardy leta 1908.
Zeta funkcija, d Riemannova zeta funkcija. B. Riemanna (1857).
Analitična funkcija kompleksne spremenljivke s = σ + it za σ > 1, absolutno in enakomerno določena s konvergentnim Dirichletovim nizom:
ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .
Za σ > 1 velja predstavitev v obliki Eulerjevega produkta:
ζ(s) = Π str (1-p -s) -s,
kjer je produkt prevzet nad vsemi praštevili p. Funkcija zeta igra veliko vlogo v teoriji števil.Kot funkcijo realne spremenljivke je funkcijo zeta leta 1737 uvedel (objavljeno 1744) L. Euler, ki je nakazal njeno razširitev v produkt. Nato je to funkcijo obravnaval nemški matematik L. Dirichlet in še posebej uspešno Ruski matematik in mehanik P.L. Chebysheva pri preučevanju distribucijskega zakona praštevila. Vendar pa so bile najgloblje lastnosti funkcije zeta odkrite pozneje, po delu nemškega matematika Georga Friedricha Bernharda Riemanna (1859), kjer je funkcija zeta obravnavana kot funkcija kompleksne spremenljivke; Leta 1857 je uvedel tudi ime »zeta funkcija« in oznako ζ(s).
Gama funkcija, Eulerjeva Γ funkcija. A. Legendre (1814).
Gama funkcija - matematična funkcija, ki razširi koncept faktoriala na polje kompleksnih števil. Običajno označeno z Γ(z). G-funkcijo je prvi uvedel Leonhard Euler leta 1729; določa se s formulo:
Γ(z) = limn→∞ n!·n z /z(z+1)...(z+n).
Izraženo skozi G-funkcijo velika številka integrali, neskončni produkti in vsote vrst. Široko uporabljen v analitično teorijoštevilke. Ime "funkcija gama" in zapis Γ(z) je leta 1814 predlagal francoski matematik Adrien Marie Legendre.
Beta funkcija, B funkcija, Eulerjeva B funkcija. J. Bineta (1839).
Funkcija dveh spremenljivk p in q, definirana za p>0, q>0 z enakostjo:
B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
Beta funkcijo lahko izrazimo preko Γ-funkcije: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Tako kot je funkcija gama za cela števila posplošitev faktoriala, je funkcija beta v nekem smislu posplošitev binomskih koeficientov.
Funkcija beta opisuje številne lastnostielementarni delci sodeluje pri močna interakcija. To lastnost je opazil italijanski teoretični fizikGabriele Veneziano leta 1968. To je pomenilo začetek teorija strun.
Ime »beta funkcija« in oznako B(p, q) je leta 1839 uvedel francoski matematik, mehanik in astronom Jacques Philippe Marie Binet.
Laplaceov operator, Laplakov. R. Murphy (1833).
Linearno diferencialni operatorΔ, ki dodeli funkcije φ(x 1, x 2, ..., x n) iz n spremenljivk x 1, x 2, ..., x n:
Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2.
Zlasti za funkcijo φ(x) ene spremenljivke Laplaceov operator sovpada z operatorjem 2. odvoda: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Enačbo Δφ = 0 običajno imenujemo Laplaceova enačba; Od tod izvirajo imena "Laplaceov operater" ali "Laplacian". Oznako Δ je leta 1833 uvedel angleški fizik in matematik Robert Murphy.
Hamiltonov operator, nabla operator, Hamiltonian. O. Heaviside (1892).
Vektorski diferencialni operator oblike
∇ = ∂/∂x jaz+ ∂/∂y · j+ ∂/∂z · k,
Kje jaz, j, In k- koordinatni enotski vektorji. Prek operaterja nabla na naraven način izražene so osnovne operacije vektorske analize ter Laplaceov operator.
Leta 1853 je irski matematik William Rowan Hamilton predstavil ta operator in si zanj izmislil simbol ∇ v obliki obrnjenega grško pismoΔ (delta). Pri Hamiltonu je konica simbola kazala v levo, kasneje pa je v delih škotskega matematika in fizika Petra Guthrieja Tatea simbol dobil sodobno obliko. Hamilton je ta simbol poimenoval "atled" (beseda "delta", prebrana nazaj). Kasneje so angleški učenjaki, vključno z Oliverjem Heavisideom, začeli ta simbol imenovati "nabla", po imenu črke ∇ v feničanski abecedi, kjer se pojavlja. Izvor pisma je povezan z glasbeni inštrument vrsta harfe, ναβλα (nabla) v stari grščini pomeni "harfa". Operator se je imenoval Hamiltonov operator ali operator nabla.
funkcija. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).
Matematični koncept, ki odraža odnos med elementi nizov. Lahko rečemo, da je funkcija »zakon«, »pravilo«, po katerem je vsak element ene množice (imenovan domena definicije) povezan z nekim elementom druge množice (imenovana domena vrednosti). Matematični koncept funkcije izraža intuitivno idejo o tem, kako ena količina v celoti določa vrednost druge količine. Izraz "funkcija" pogosto pomeni numerična funkcija; to je funkcija, ki postavi nekatera števila v korespondenco z drugimi. Za dolgo časa matematiki so določili argumente brez oklepajev, na primer takole - φх. Ta zapis je prvi uporabil švicarski matematik Johann Bernoulli leta 1718.Oklepaji so bili uporabljeni samo v primeru številnih argumentov in tudi, če je argument bil kompleksen izraz. Odmevi tistih časov so posnetki, ki so v uporabi še danessin x, log xitd. Toda postopoma se je začela uporabljati oklepaj, f(x). splošno pravilo. In glavna zasluga za to pripada Leonhardu Eulerju.
Enakopravnost. R. Zapis (1557).
Znak enačaja je leta 1557 predlagal valižanski zdravnik in matematik Robert Record; obris simbola je bil precej daljši od sedanjega, saj je posnemal podobo dveh vzporedni segmenti. Avtor je pojasnil, da na svetu ni nič bolj enakega kot dva vzporedno s segmentom enake dolžine. Pred tem so v starodavni in srednjeveški matematiki enakost označevali besedno (npr. est egale). V 17. stoletju je Rene Descartes začel uporabljati æ (iz lat. aequalis), A sodoben znak z enakostmi je pokazal, da je lahko koeficient negativen. François Viète je uporabil znak enačaja za označevanje odštevanja. Simbol Record ni takoj postal razširjen. Širjenje simbola zapisa je oviralo dejstvo, da se je isti simbol že od antičnih časov uporabljal za označevanje vzporednosti ravnih črt; Na koncu je bilo odločeno, da bo simbol paralelizma navpičen. V celinski Evropi je znak »=« uvedel Gottfried Leibniz šele na prehodu iz 17. v 18. stoletje, torej več kot 100 let po smrti Roberta Recorda, ki ga je prvi uporabil v ta namen.
Približno enako, približno enako. A.Gunther (1882).
znak " ≈ " je kot simbol za relacijo "približno enako" uvedel nemški matematik in fizik Adam Wilhelm Sigmund Günther leta 1882.
Več manj. T. Harriot (1631).
Ta dva znaka je v uporabo uvedel angleški astronom, matematik, etnograf in prevajalec Thomas Harriot leta 1631, pred tem sta bili uporabljeni besedi »več« in »manj«.
Primerljivost. K.Gaussa (1801).
Primerjava je razmerje med dvema celima številoma n in m, kar pomeni, da n-m razlika ta števila so deljena z danim celim številom a, imenovanim primerjalni modul; piše: n≡m(mod а) in se glasi “števili n in m sta primerljivi po modulu a”. Na primer, 3≡11(mod 4), ker je 3-11 deljivo s 4; števili 3 in 11 sta primerljivi po modulu 4. Kongruence imajo številne lastnosti, ki so podobne lastnostim enakosti. Tako lahko člen, ki se nahaja v enem delu primerjave, prenesemo z nasprotnim predznakom v drug del, primerjave z istim modulom pa lahko seštevamo, odštevamo, množimo, oba dela primerjave lahko množimo z istim številom itd. Na primer,
3≡9+2(mod 4) in 3-2≡9(mod 4)
Hkrati prave primerjave. In iz para pravilnih primerjav 3≡11(mod 4) in 1≡5(mod 4) sledi naslednje:
3+1≡11+5(mod 4)
3-1≡11-5(mod 4)
3·1≡11·5(mod 4)
3 2 ≡11 2 (mod 4)
3·23≡11·23(mod 4)
Teorija števil se ukvarja z metodami reševanja različnih primerjav, t.j. metode za iskanje celih števil, ki zadovoljijo primerjave enega ali drugega tipa. Modulo primerjave je prvi uporabil nemški matematik Carl Gauss v svoji knjigi Arithmetic Studies iz leta 1801. Predlagal je tudi simboliko za primerjave, ki je bila uveljavljena v matematiki.
Identiteta. B. Riemanna (1857).
Identiteta - enakost dveh analitični izrazi, pošteno za vse sprejemljive vrednostičrke, vključene v njej. Za vse velja enakost a+b = b+a številčne vrednosti a in b, in je torej identiteta. Za beleženje istovetnosti se v nekaterih primerih od leta 1857 uporablja znak »≡« (beri »identično enak«), katerega avtor v tej uporabi je nemški matematik Georg Friedrich Bernhard Riemann. Lahko zapišeš a+b ≡ b+a.
Pravokotnost. P. Erigon (1634).
Pravokotnost - medsebojni dogovor dve premici, ravnini ali premica in ravnina, v kateri navedene številke tvorijo pravi kot. Znak ⊥ za označevanje pravokotnosti je leta 1634 uvedel francoski matematik in astronom Pierre Erigon. Koncept pravokotnosti ima vrsto posplošitev, vendar vse praviloma spremlja znak ⊥.
Paralelizem. W. Outred (posmrtna izdaja 1677).
Paralelizem je razmerje med nekaterimi geometrijskimi liki; na primer naravnost. Različno definiran glede na različne geometrije; na primer v geometriji Evklida in v geometriji Lobačevskega. Znak vzporednosti je znan že od antičnih časov, uporabljala sta ga Heron in Papus iz Aleksandrije. Sprva je bil simbol podoben sedanjemu znaku enačaja (le bolj razširjen), s prihodom slednjega pa so simbol obrnili navpično ||, da bi se izognili zmedi. V tej obliki se je prvič pojavil v posmrtni izdaji del angleškega matematika Williama Oughtreda leta 1677.
Križišče, zveza. J. Peano (1888).
Presek množic je množica, ki vsebuje tiste in samo tiste elemente, ki hkrati pripadajo vsem danim množicam. Unija množic je množica, ki vsebuje vse elemente prvotnih množic. Presečišče in združevanje imenujemo tudi operacije na množicah, ki določenim množicam pripisujejo nove po zgoraj navedenih pravilih. Označeno z ∩ oziroma ∪. Na primer, če
A= (♠ ♣ ) in B= (♣ ♦),
to
A∩B= {♣ }
A∪B= {♠ ♣ ♦ } .
Vsebuje, vsebuje. E. Schroeder (1890).
Če sta A in B dve množici in v A ni elementov, ki ne pripadajo B, potem pravijo, da je A vsebovan v B. Zapišejo A⊂B ali B⊃A (B vsebuje A). na primer
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
Simbola »vsebuje« in »vsebuje« sta se leta 1890 pojavila s strani nemškega matematika in logika Ernsta Schroederja.
Pripadnost. J. Peano (1895).
Če je a element množice A, potem zapišite a∈A in preberite "a pripada A." Če a ni element množice A, zapišite a∉A in preberite "a ne pripada A." Sprva razmerja »vsebuje« in »pripada« (»je element«) niso razlikovali, sčasoma pa je bilo treba ta pojma razlikovati. Simbol ∈ je prvi uporabil italijanski matematik Giuseppe Peano leta 1895. Simbol ∈ izhaja iz prve črke grška besedaεστι - biti.
Kvantifikator univerzalnosti, kvantifikator obstoja. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).
Kvantifikator - pogosto ime za logične operacije, ki nakazujejo področje resnice predikata (matematične izjave). Filozofi že dolgo posvečajo pozornost logične operacije, ki omejuje domeno resnice predikata, vendar jih ni ločil v ločen razred operacij. Čeprav se kvantifikatorsko-logične konstrukcije pogosto uporabljajo tako v znanstvenem kot vsakdanjem govoru, se je njihova formalizacija zgodila šele leta 1879 v knjigi nemškega logika, matematika in filozofa Friedricha Ludwiga Gottloba Fregeja "Račun pojmov". Fregejev zapis je bil videti kot okorna grafična konstrukcija in ni bil sprejet. Kasneje je bilo predlaganih veliko več uspešnih simbolov, vendar sta bila splošno sprejeta zapisa ∃ za eksistencialni kvantifikator (beri »obstaja«, »obstaja«), ki ga je leta 1885 predlagal ameriški filozof, logik in matematik Charles Peirce, in ∀ za univerzalni kvantifikator (beri »vsak«, »vsak«, »vsakdo«), ki ga je oblikoval nemški matematik in logik Gerhard Karl Erich Gentzen leta 1935 po analogiji s simbolom eksistencialnega kvantifikatorja (obrnjene prve črke angleške besede Existence (obstoj) in Any (katero koli)). Na primer, zapis
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
se glasi takole: »za vsako ε>0 obstaja δ>0 tako, da za vse x, ki niso enaki x 0 in izpolnjujejo neenakost |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Prazen komplet. N. Bourbaki (1939).
Množica, ki ne vsebuje niti enega elementa. Znak za prazno množico je leta 1939 predstavil v knjigah Nicolas Bourbaki. Bourbaki je skupni psevdonim skupine francoskih matematikov, ustanovljene leta 1935. Eden od članov skupine Bourbaki je bil Andre Weil, avtor simbola Ø.
Q.E.D. D. Knuth (1978).
V matematiki dokaz razumemo kot zaporedje razmišljanj, ki temeljijo na določenih pravilih in dokazujejo, da je določena izjava resnična. Od renesanse so matematiki konec dokaza označevali s kratico "Q.E.D.", iz latinskega izraza "Quod Erat Demonstrandum" - "Kar je bilo potrebno dokazati." Ko je leta 1978 ustvaril računalniški sistem postavitve ΤΕΧ, je ameriški profesor računalništva Donald Edwin Knuth uporabil simbol: zapolnjen kvadrat, tako imenovani "Halmosov simbol", poimenovan po ameriškem matematiku Paulu Richardu Halmosu, rojenem na Madžarskem. Danes je dokončanje dokaza običajno označeno s simbolom Halmos. Kot alternativa se uporabljajo drugi znaki: prazen kvadrat, pravokotni trikotnik, // (dve poševnici), pa tudi ruska okrajšava "ch.t.d."
