Shprehjet thyesore janë të vështira për t'u kuptuar nga një fëmijë. Shumica e njerëzve kanë vështirësi me. Kur studion temën "shtimi i thyesave me numra të plotë", fëmija bie në hutim, duke e pasur të vështirë të zgjidhë problemin. Në shumë shembuj, përpara se të kryhet një veprim, duhet të kryhen një sërë llogaritjesh. Për shembull, konvertoni thyesat ose shndërroni një thyesë të papërshtatshme në një thyesë të duhur.
Le t'ia shpjegojmë qartë fëmijës. Marrim tre mollë, dy prej të cilave do të jenë të plota dhe e presim të tretën në 4 pjesë. Ndani një fetë nga molla e prerë dhe vendosni tre të tjerat pranë dy frutave të plota. Marrim ¼ e mollës nga njëra anë dhe 2¾ nga ana tjetër. Nëse i bashkojmë, fitojmë tre mollë. Le të përpiqemi të zvogëlojmë 2 ¾ mollë me ¼, domethënë të heqim një fetë tjetër, marrim 2 2/4 mollë.
Le të hedhim një vështrim më të afërt në veprimet me thyesat që përmbajnë numra të plotë:
Së pari, le të kujtojmë rregullin e llogaritjes për shprehjet thyesore me një emërues të përbashkët:
Në shikim të parë, gjithçka është e lehtë dhe e thjeshtë. Por kjo vlen vetëm për shprehjet që nuk kërkojnë konvertim.
Si të gjeni vlerën e një shprehjeje ku emëruesit janë të ndryshëm
Në disa detyra ju duhet të gjeni kuptimin e një shprehjeje ku emëruesit janë të ndryshëm. Le të shohim një rast specifik:
3 2/7+6 1/3
Le të gjejmë vlerën shprehje e dhënë, për këtë gjejmë për dy thyesa emërues i përbashkët.
Për numrat 7 dhe 3, kjo është 21. Pjesët e plota i lëmë të njëjta, dhe pjesët thyesore i sjellim në 21, për këtë shumëzojmë thyesën e parë me 3, të dytën me 7, marrim:
6/21+7/21, mos harroni se pjesët e tëra nuk mund të konvertohen. Si rezultat, marrim dy thyesa me emërues të njëjtë dhe llogarisim shumën e tyre:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Po sikur rezultati i mbledhjes të jetë një thyesë e gabuar që tashmë ka një pjesë të plotë:
2 1/3+3 2/3
NË në këtë rast I mbledhim pjesët e plota dhe pjesët thyesore, marrim:
5 3/3, siç e dini, 3/3 është një, që do të thotë 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Gjetja e shumës është gjithçka e qartë, le të shohim zbritjen:
Nga gjithë sa u tha, rregulli i veprimit ka përfunduar numra të përzier, e cila tingëllon si kjo:
- Nëse nga shprehje thyesoreështë e nevojshme të zbritet një numër i plotë, nuk ka nevojë të përfaqësohet numri i dytë si thyesë, mjafton të kryhet operacioni vetëm në pjesët e plota.
Le të përpiqemi të llogarisim vetë kuptimin e shprehjeve:
Le ta zgjidhim më shumë shembull nën shkronjën "m":
4 5/11-2 8/11, numëruesi i thyesës së parë është më i vogël se i dyti. Për ta bërë këtë, ne huazojmë një numër të plotë nga fraksioni i parë, marrim,
3 5/11+11/11=3 të plota 16/11, zbritni të dytën nga thyesa e parë:
3 16/11-2 8/11=1 e tërë 8/11
- Kini kujdes kur përfundoni detyrën, mos harroni të shndërroni thyesat e papërshtatshme në fraksione të përziera, duke theksuar të gjithë pjesën. Për ta bërë këtë, duhet të ndani vlerën e numëruesit me vlerën e emëruesit, atëherë ajo që ndodh zë vendin e të gjithë pjesës, pjesa e mbetur do të jetë numëruesi, për shembull:
19/4=4 ¾, le të kontrollojmë: 4*4+3=19, emëruesi 4 mbetet i pandryshuar.
Le të përmbledhim:
Para se të filloni të përfundoni një detyrë që lidhet me thyesat, duhet të analizoni se çfarë lloj shprehjeje është, çfarë transformimesh duhet të bëhen në thyesë në mënyrë që zgjidhja të jetë e saktë. Kërkoni më shumë mënyrë racionale zgjidhjet. Mos shkoni në rrugën e vështirë. Planifikoni të gjitha veprimet, zgjidhini ato fillimisht në formë drafti, më pas transferojini në fletoren tuaj të shkollës.
Për të shmangur konfuzionin gjatë zgjidhjes së shprehjeve thyesore, duhet të ndiqni rregullin e konsistencës. Vendosni gjithçka me kujdes, pa nxituar.
Oh ato thyesa! NË shkolla e mesme Në orët e matematikës, janë veprimet aritmetike me thyesa dhe problema ku pulsojnë numrat me numërues dhe emërues në kushtet që bëhen pengesë që shumë nxënës e kanë të vështirë ta kapërcejnë. Memorizimi dhe përdorimi është i mjaftueshëm rregulla të thjeshta, të cilit i nënshtrohen veprimet me thyesa, për disa nxënës pengesa për të nota të mira në matematikë. Pra, si i zgjidhni problemet me thyesat? Kjo është e mundur nëse e kuptoni saktë se çfarë është një thyesë.
Për shembull i qartë Le të marrim një tortë të zakonshme. Ju jeni duke pritur shtatë të ftuar për festën. Ju keni vetëm një tortë. Kjo do të thotë që duhet të ndahet në tetë (të ftuar plus personin e ditëlindjes). Kekun e prisni në pjesë të barabarta. Secila nga këto pjesë është vetëm 1/8 e të gjithë byrekut. Rezultati është një thyesë e thjeshtë natyrore, ku 1 është numëruesi dhe 8 është emëruesi. Një nga të ftuarit refuzoi byrekun, dhe ju vendosët të merrni një pjesë tjetër për veten tuaj. Tani ka 2 copa nga tetë pjesë të byrekut, ose 2/8.
Po sikur të gjithë të ftuarit tuaj të jenë në dietë, duke humbur peshë dhe nuk duan të hanë tortë? Atëherë ju merrni tetë pjesë nga tetë (8/8), domethënë një tortë e tërë!
Thyesat ku është numëruesi më pak se emëruesi, quhen të sakta. Dhe ato me numërues më të madh janë të pasakta.
Probleme me thyesat natyrore
Detyrat që përfshijnë fraksionet natyrore, më së shpeshti përfshijnë veprime me ta. Shumica opsion i lehtë Një problem i tillë është gjetja e thyesës së një numri që shprehet si thyesë. Ju dhanë 6 kilogramë mollë. Duhet të lini 2/3 e tyre për përgatitjen e mbushjes së byrekut. Shumëzojmë 6 me 2, pastaj pjesëtojmë me 3. Si rezultat kemi 4 kilogramë të nevojshëm për mbushjen.
Nëse ia vlen detyrë e vështirë gjeni një numër sipas pjesës së tij, shumëzojeni pjesën e numrit me thyesën, duke ndërruar numëruesin dhe emëruesin. Këtu ka 6 kilogramë mollë. Kjo është 3/5 e numri total mollët e mbledhura nga pema juaj e mollës. Kjo do të thotë që ne shumëzojmë shpejt 6 me 5 dhe pjesëtojmë me 3. Ajo del në 10 kilogramë.
Si ndahen dhe shumëzohen thyesat? Rregullat këtu janë të thjeshta. Kur shumëzojmë një thyesë me një thyesë, kryejmë veprime me numërues dhe emërues. Le të themi se duhet të shumëzoni 2/3 me 5/6. Ne e shumëzojmë numrin 2 me 5, dhe shumëzojmë 3 me 6. Rezultati: 10/18. Nëse keni nevojë të shumëzoni një thyesë me një numër të plotë, thjesht shumëzoni vetë numrin dhe numëruesin e thyesës. Pra 3*4/7=12/7. Shndërroje thyesën në të saktën: 12/7=1 dhe 5/7.
Pjesëtimin e thyesave mund ta zëvendësojmë lehtësisht me shumëzim. Duhet të pjesëtosh 5/6 me 2/3? Kjo do të thotë që thyesën e parë 5/6 e lëmë të pandryshuar, dhe në të dytën ndërrojmë numëruesin dhe emëruesin. 5/6:2/3=5/6*3/2=15/12. Rregulla të ngjashme ekzistojnë për pjesëtimin e një numri natyror me një thyesë. 2:4/7= 2*7/4=14/4. Nëse pjesëtojmë një thyesë me numri natyror, atëherë shumëzojmë emëruesin dhe vetë numrin. 4/7:2=4/14.
Është më e vështirë të kryhet zbritja dhe mbledhja me thyesa ku emëruesit janë të ndryshëm. Nëse duhet të shtoni fraksionin 2/8 në 3/8, kjo është më e lehtë. Shtoni numëruesit, duke i lënë emëruesit të pandryshuar. Ajo del 5/8. Me zbritjen, gjithçka është e njëjtë, ku numëruesi më i madh i zbritet më i vogli.
Si të zgjidhen problemat me thyesat ku emëruesit janë të ndryshëm? Sigurisht, fillimisht sillni ato në një. Për shembull, duhet të shtoni 5/8 dhe 2/3. Duke përdorur metodën e përzgjedhjes, ne kërkojmë një numër që është i plotpjesëtueshëm me 8 dhe 3. Ky numër është 24. Për të bërë një thyesë nga 5/8 me emërues 24, pjesëtojeni 24 me 8. Numri që marrim është 3 Shumëzoni numëruesin me 3. Si rezultat, 5/8 është e barabartë me 15/24. Ne bëjmë të njëjtën gjë me 2/3, duke marrë 16/24. Më pas mund të shtoni dhe zbritni emëruesit.
Morëm një thyesë të pasaktë 31/24. 24/24 është një numër i plotë. Zbrisni emëruesin nga numëruesi. Rezulton 1 e tërë dhe 7/24.
Çfarë duhet të bëni kur duhet të zbrisni një pjesë nga një numër i plotë? Ju keni tre ëmbëlsira që duhet t'i prisni në pesë pjesë secila dhe t'i jepni 2/5 e dikujt që njihni. 3 është 15 pjesëtuar me pesë. Pra, ju keni tortë 15/5. Zbrisni 2 nga 15, rezulton se ju kanë mbetur 13/5 e tortës, ose 2 të plota dhe 3/5.
Kështu mund t'i zgjidhni problemat me thyesa. Gjëja kryesore është të mbani mend se nuk mund të zbrisni një numërues më të madh nga një numërues më i vogël!
Numëruesi dhe ajo që pjesëtohet me është emëruesi.
Për të shkruar një thyesë, fillimisht shkruani numëruesin, më pas vizatoni një vijë horizontale nën numër dhe shkruani emëruesin poshtë vijës. Vija horizontale që ndan numëruesin dhe emëruesin quhet vijë thyese. Ndonjëherë përshkruhet si një "/" ose "∕" e zhdrejtë. Në këtë rast, numëruesi shkruhet në të majtë të rreshtit, dhe emëruesi në të djathtë. Kështu, për shembull, thyesa "dy të tretat" do të shkruhet si 2/3. Për qartësi, numëruesi zakonisht shkruhet në krye të rreshtit, dhe emëruesi në fund, domethënë, në vend të 2/3 mund të gjeni: ⅔.
Për të llogaritur prodhimin e thyesave, fillimisht shumëzoni numëruesin e një thyesat tek numëruesi është i ndryshëm. Shkruani rezultatin në numëruesin e të resë thyesat. Pas kësaj, shumëzoni emëruesit. Shkruani vlerën totale në të renë thyesat. Për shembull, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Për të pjesëtuar një thyesë me një tjetër, së pari shumëzoni numëruesin e së parës me emëruesin e të dytës. Bëni të njëjtën gjë me thyesën e dytë (pjesëtuesin). Ose, para se të kryeni të gjitha veprimet, së pari "rrokullisni" pjesëtuesin, nëse është më i përshtatshëm për ju: emëruesi duhet të shfaqet në vend të numëruesit. Pastaj shumëzoni emëruesin e dividendit me emëruesin e ri të pjesëtuesit dhe shumëzoni numëruesit. Për shembull, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Burimet:
- Problemet themelore të thyesave
Numrat thyesorë mund të shprehen në në forma të ndryshme vlerën e saktë të sasisë. Ju mund të bëni të njëjtat veprime matematikore me thyesa siç mundeni me numrat e plotë: zbritje, mbledhje, shumëzim dhe pjesëtim. Të mësosh të vendosësh thyesat, duhet të kujtojmë disa nga veçoritë e tyre. Ato varen nga lloji thyesat, prania e një pjese të plotë, një emërues i përbashkët. Disa operacione aritmetike kërkojnë që pjesa e pjesshme e rezultatit të reduktohet pas ekzekutimit.
Do t'ju duhet
- - kalkulator
Udhëzimet
Shikoni nga afër numrat. Nëse midis thyesave ka dhjetore dhe të parregullta, ndonjëherë është më e përshtatshme që fillimisht të kryhen veprime me dhjetore, dhe më pas t'i shndërroni ato në formën e parregullt. Mund të përktheni thyesat në këtë formë fillimisht, duke shkruar vlerën pas presjes dhjetore në numërues dhe duke vendosur 10 në emërues. Nëse është e nevojshme, zvogëlojeni thyesën duke pjesëtuar numrat sipër dhe poshtë me një pjesëtues. Thyesat në të cilat është e izoluar e gjithë pjesa duhet të shndërrohen në formën e gabuar duke e shumëzuar me emëruesin dhe duke shtuar numëruesin në rezultat. Vlera e dhënë do të bëhet numëruesi i ri thyesat. Për të zgjedhur një pjesë të plotë nga një fillimisht e pasaktë thyesat, ju duhet ta ndani numëruesin me emëruesin. Rezultati i plotë shkruani nga thyesat. Dhe pjesa e mbetur e pjesëtimit do të bëhet numëruesi i ri, emëruesi thyesat nuk ndryshon. Për thyesat me pjesë e tërëështë e mundur të kryhen veprime veçmas fillimisht për numrin e plotë dhe më pas për pjesët thyesore. Për shembull, shuma e 1 2/3 dhe 2 ¾ mund të llogaritet:
- Shndërrimi i thyesave në formën e gabuar:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Përmbledhja veçmas e numrave të plotë dhe pjesët e pjesshme kushtet:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Rishkruajini ato duke përdorur ndarësin “:” dhe vazhdoni ndarje e rregullt.
Për të marrë rezultati përfundimtar Zvogëloni thyesën që rezulton duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin me një numër të plotë, më i madhi i mundshëm në këtë rast. Në këtë rast, duhet të ketë numra të plotë mbi dhe poshtë vijës.
Ju lutemi vini re
Mos kryeni aritmetikë me thyesa, emëruesit e të cilëve janë të ndryshëm. Zgjidhni një numër të tillë që kur shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e secilës thyesë me të, rezultati është që emëruesit e të dy thyesave të jenë të barabartë.
Gjatë regjistrimit numrat thyesorë Dividenti shkruhet sipër vijës. Kjo sasi caktohet si numërues i thyesës. Pjesëtuesi ose emëruesi i thyesës shkruhet poshtë vijës. Për shembull, një kilogram e gjysmë oriz si pjesë do të shkruhet si më poshtë: 1 ½ kg oriz. Nëse emëruesi i një thyese është 10, thyesa quhet dhjetore. Në këtë rast, numëruesi (dividend) shkruhet në të djathtë të gjithë pjesës, i ndarë me presje: 1,5 kg oriz. Për lehtësinë e llogaritjes, një fraksion i tillë mund të shkruhet gjithmonë në në formën e gabuar: 1 2/10 kg patate. Për të thjeshtuar, ju mund të zvogëloni vlerat e numëruesit dhe emëruesit duke i ndarë ato me një numër të plotë. NË në këtë shembull mund të ndahet me 2. Rezultati do të jetë 1 1/5 kg patate. Sigurohuni që numrat me të cilët do të kryeni aritmetikë janë paraqitur në të njëjtën formë.
Kur një student zhvendoset në shkolla e mesme, matematika ndahet në 2 lëndë: algjebër dhe gjeometri. Ka gjithnjë e më shumë koncepte, detyrat janë gjithnjë e më të vështira. Disa njerëz kanë vështirësi të kuptojnë thyesat. Humba mësimin e parë mbi këtë temë, dhe voila. thyesa? Një pyetje që do të mundojë gjatë gjithë jetës sime shkollore.
Koncepti i një thyese algjebrike
Le të fillojmë me një përkufizim. Nën thyesa algjebrike i referohet shprehjeve P/Q, ku P është numëruesi dhe Q është emëruesi. Një numër, një shprehje numerike ose një shprehje numerike-alfabetike mund të fshihet nën hyrjen e shkronjave.
Para se të pyesni veten se si të vendosni thyesat algjebrike, fillimisht ju duhet ta kuptoni këtë shprehje e ngjashme- pjesë e së tërës.
Si rregull, një numër i plotë është 1. Numri në emërues tregon se në sa pjesë ndahet njësia. Numëruesi është i nevojshëm për të zbuluar se sa elementë janë marrë. Shiriti i thyesës korrespondon me shenjën e ndarjes. Lejohet të shkruhet një shprehje thyesore si një veprim matematikor "Ndarja". Në këtë rast, numëruesi është dividenti, emëruesi është pjesëtuesi.
Rregulla bazë e thyesave të zakonshme
Kur studentët kalojnë këtë temë në shkollë u jepen shembuj për t'u përforcuar. Për t'i zgjidhur dhe gjetur ato saktë mënyra të ndryshme nga situata të vështira, duhet të zbatoni vetinë bazë të thyesave.
Ajo shkon kështu: Nëse shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër ose shprehje (përveç zeros), vlera e thyesës së përbashkët nuk ndryshon. Një rast i veçantë nga të këtij rregulliështë pjesëtimi i të dy anëve të një shprehjeje me të njëjtin numër ose polinom. Transformime të tilla quhen barazi identike.
Më poshtë do të shohim se si të zgjidhim mbledhjen dhe zbritjen e thyesave algjebrike, duke shumëzuar, pjesëtuar dhe reduktuar thyesat.
Veprime matematikore me thyesa
Le të shohim se si të zgjidhim, vetinë kryesore të një thyese algjebrike dhe si ta zbatojmë atë në praktikë. Nëse ju duhet të shumëzoni dy thyesa, t'i shtoni ato, t'i ndani njëra me tjetrën ose të zbrisni, duhet të ndiqni gjithmonë rregullat.
Pra, për veprimin e mbledhjes dhe zbritjes, duhet gjetur një faktor shtesë për të sjellë shprehjet në një emërues të përbashkët. Nëse thyesat fillimisht janë dhënë me të njëjtat shprehje Q, atëherë ky paragraf duhet të hiqet. Pasi të gjendet emëruesi i përbashkët, si i zgjidhni thyesat algjebrike? Ju duhet të shtoni ose zbritni numërues. Por! Duhet mbajtur mend se nëse ka një shenjë "-" përpara thyesës, të gjitha shenjat në numërues janë të kundërta. Ndonjëherë nuk duhet të bëni asnjë zëvendësim dhe operacionet matematikore. Mjafton të ndryshosh shenjën përpara thyesës.
Koncepti përdoret shpesh si duke reduktuar thyesat. Kjo do të thotë si vijon: nëse numëruesi dhe emëruesi ndahen me një shprehje të ndryshme nga një (e njëjtë për të dyja pjesët), atëherë fitohet një thyesë e re. Dividenti dhe pjesëtuesi janë më të vogla se më parë, por për shkak të rregullit bazë të thyesave ato mbeten të barabarta me shembullin origjinal.
Qëllimi i këtij operacioni është të përftojë një shprehje të re të pareduktueshme. Vendosni këtë detyrëështë e mundur nëse zvogëloni numëruesin dhe emëruesin me më të madhin pjesëtues i përbashkët. Algoritmi i funksionimit përbëhet nga dy pika:
- Gjetja e gcd për të dy anët e thyesës.
- Pjesëtimi i numëruesit dhe emëruesi me shprehjen e gjetur dhe marrja fraksion i pareduktueshëm, i barabartë me atë të mëparshëm.
Më poshtë është një tabelë që tregon formulat. Për lehtësi, mund ta printoni dhe ta mbani me vete në një fletore. Sidoqoftë, në mënyrë që në të ardhmen, kur zgjidhni një test ose provim, të mos ketë vështirësi në pyetjen se si të zgjidhni thyesat algjebrike, këto formula duhet të mësohen përmendësh.
Disa shembuj me zgjidhje
ME pikë teorike Nga një këndvështrim, shqyrtohet çështja se si të zgjidhen thyesat algjebrike. Shembujt e dhënë në artikull do t'ju ndihmojnë të kuptoni më mirë materialin.
1. Shndërroni thyesat dhe sillni në një emërues të përbashkët.
2. Shndërroni thyesat dhe sillni ato në një emërues të përbashkët.
Pas studimit të pjesës teorike dhe shqyrtimit çështje praktike nuk duhet të ketë më.
Ky artikull diskuton se si të gjeni vlerat e shprehjeve matematikore. Le të fillojmë me shprehje të thjeshta numerike dhe më pas të shqyrtojmë rastet me rritjen e kompleksitetit të tyre. Në fund japim një shprehje që përmban emërtimet e shkronjave, kllapa, rrënjë, speciale shenja matematikore, gradat, funksionet etj. Sipas traditës, ne do të ofrojmë të gjithë teorinë me shembuj të bollshëm dhe të detajuar.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Si të gjeni vlerën e një shprehje numerike?
Shprehjet numerike, ndër të tjera, ndihmojnë në përshkrimin e gjendjes së problemit gjuha matematikore. fare shprehjet matematikore mund të jetë ose shumë e thjeshtë, e përbërë nga një palë numrash dhe simbole aritmetike, ose shumë komplekse, që përmban funksione, fuqi, rrënjë, kllapa, etj. Si pjesë e një detyre, shpesh është e nevojshme të gjesh kuptimin e një shprehjeje të caktuar. Si ta bëni këtë do të diskutohet më poshtë.
Rastet më të thjeshta
Këto janë raste kur shprehja nuk përmban asgjë përveç numrave dhe veprimet aritmetike. Për të gjetur me sukses vlerat e shprehjeve të tilla, do t'ju duhet njohuri për rendin e kryerjes së veprimeve aritmetike pa kllapa, si dhe aftësinë për të kryer veprime me numra të ndryshëm.
Nëse shprehja përmban vetëm numra dhe shenja aritmetike " + " , " · " , " - " , " ÷ " , atëherë veprimet kryhen nga e majta në të djathtë në rendin vijues: fillimisht shumëzim dhe pjesëtim, pastaj mbledhje dhe zbritje. Le të japim shembuj.
Shembulli 1: Vlera e një shprehjeje numerike
Le t'ju duhet të gjeni vlerat e shprehjes 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.
Le të bëjmë së pari shumëzimin dhe pjesëtimin. Ne marrim:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Tani kryejmë zbritjen dhe marrim rezultatin përfundimtar:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Shembulli 2: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
Së pari kryejmë shndërrimin, pjesëtimin dhe shumëzimin e thyesave:
0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Tani le të bëjmë disa mbledhje dhe zbritje. Le t'i grupojmë thyesat dhe t'i sjellim në një emërues të përbashkët:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Është gjetur vlera e kërkuar.
Shprehje me kllapa
Nëse një shprehje përmban kllapa, ato përcaktojnë rendin e veprimeve në atë shprehje. Veprimet në kllapa kryhen së pari, dhe më pas të gjitha të tjerat. Le ta tregojmë këtë me një shembull.
Shembulli 3: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të gjejmë vlerën e shprehjes 0,5 · (0,76 - 0,06).
Shprehja përmban kllapa, kështu që fillimisht kryejmë veprimin e zbritjes në kllapa dhe vetëm më pas shumëzimin.
0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.
Kuptimi i shprehjeve që përmbajnë kllapa brenda kllapave gjendet sipas të njëjtit parim.
Shembulli 4: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim vlerën 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.
Ne do të kryejmë veprime duke filluar nga kllapat më të brendshme, duke kaluar në ato të jashtme.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
Kur gjeni kuptimet e shprehjeve me kllapa, gjëja kryesore është të ndiqni sekuencën e veprimeve.
Shprehje me rrënjë
Shprehjet matematikore, vlerat e të cilave duhet të gjejmë, mund të përmbajnë shenja rrënjësore. Për më tepër, vetë shprehja mund të jetë nën shenjën e rrënjës. Çfarë duhet bërë në këtë rast? Së pari ju duhet të gjeni vlerën e shprehjes nën rrënjë, dhe më pas të nxirrni rrënjën nga numri i marrë si rezultat. Nëse është e mundur, është më mirë të heqësh qafe rrënjët në shprehjet numerike, duke zëvendësuar nga me vlerat numerike.
Shembulli 5: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim vlerën e shprehjes me rrënjë - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
Së pari, ne llogarisim shprehjet radikale.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Tani mund të llogarisni vlerën e të gjithë shprehjes.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5
Shpesh, gjetja e kuptimit të një shprehjeje me rrënjë shpesh kërkon fillimisht transformimin e shprehjes origjinale. Le ta shpjegojmë këtë me një shembull tjetër.
Shembulli 6: Vlera e një shprehjeje numerike
Çfarë është 3 + 1 3 - 1 - 1
Siç mund ta shihni, ne nuk kemi mundësi të zëvendësojmë rrënjën me një vlerë të saktë, gjë që e ndërlikon procesin e numërimit. Sidoqoftë, në këtë rast, mund të aplikoni formulën e shkurtuar të shumëzimit.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
Kështu:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Shprehje me fuqi
Nëse një shprehje përmban fuqi, vlerat e tyre duhet të llogariten përpara se të vazhdohet me të gjitha veprimet e tjera. Ndodh që vetë eksponenti ose baza e shkallës të jenë shprehje. Në këtë rast fillimisht llogaritet vlera e këtyre shprehjeve dhe më pas vlera e shkallës.
Shembulli 7: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të gjejmë vlerën e shprehjes 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.
Le të fillojmë të llogarisim sipas radhës.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.
Mbetet vetëm të kryeni operacionin e shtimit dhe të zbuloni kuptimin e shprehjes:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Gjithashtu shpesh këshillohet të thjeshtohet një shprehje duke përdorur vetitë e një shkalle.
Shembulli 8: Vlera e një shprehjeje numerike
Llogaritni vlerën e shprehjes së mëposhtme: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .
Eksponentët janë përsëri të tillë që vlerat e tyre të sakta numerike nuk mund të merren. Le të thjeshtojmë shprehjen origjinale për të gjetur vlerën e saj.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Shprehje me thyesa
Nëse një shprehje përmban thyesa, atëherë kur llogaritet një shprehje e tillë, të gjitha thyesat në të duhet të përfaqësohen në formën thyesat e zakonshme dhe llogaritni vlerat e tyre.
Nëse numëruesi dhe emëruesi i një fraksioni përmbajnë shprehje, atëherë së pari llogariten vlerat e këtyre shprehjeve dhe shënohet vlera përfundimtare e vetë fraksionit. Veprimet aritmetike kryhen sipas rendit standard. Le të shohim shembullin e zgjidhjes.
Shembulli 9: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të gjejmë vlerën e shprehjes që përmban thyesat: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
Siç mund ta shihni, ka tre fraksione në shprehjen origjinale. Le të llogarisim së pari vlerat e tyre.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
Le të rishkruajmë shprehjen tonë dhe të llogarisim vlerën e saj:
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1
Shpesh kur gjeni kuptimin e shprehjeve, është e përshtatshme të zvogëloni thyesat. ekziston rregull i pashprehur: përpara se të gjesh vlerën e saj, është mirë që çdo shprehje të thjeshtohet në maksimum, duke i reduktuar të gjitha llogaritjet në rastet më të thjeshta.
Shembulli 10: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim shprehjen 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.
Ne nuk mund ta nxjerrim plotësisht rrënjën e pesë, por mund ta thjeshtojmë shprehjen origjinale përmes transformimeve.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
Shprehja origjinale merr formën:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Le të llogarisim vlerën e kësaj shprehjeje:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Shprehje me logaritme
Kur logaritmet janë të pranishme në një shprehje, vlera e tyre llogaritet që në fillim, nëse është e mundur. Për shembull, në shprehjen log 2 4 + 2 · 4, mund të shkruani menjëherë vlerën e këtij logaritmi në vend të log 2 4 dhe më pas të kryeni të gjitha veprimet. Ne marrim: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Nën shenjën e vetë logaritmit dhe në bazën e tij mund të ketë gjithashtu shprehjet numerike. Në këtë rast, gjëja e parë që duhet të bëni është të gjeni kuptimet e tyre. Le të marrim shprehjen log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Ne kemi:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
Nëse është e pamundur të llogaritet vlera e saktë e logaritmit, thjeshtimi i shprehjes ndihmon për të gjetur vlerën e tij.
Shembulli 11: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të gjejmë vlerën e shprehjes log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .
Nga vetia e logaritmeve:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
Duke përdorur përsëri vetitë e logaritmeve, për thyesën e fundit në shprehje marrim:
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
Tani mund të vazhdoni me llogaritjen e vlerës së shprehjes origjinale.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Shprehje me funksione trigonometrike
Ndodh që shprehja të përmbajë funksionet trigonometrike të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, si dhe funksionet e tyre të anasjellta. Vlera llogaritet para se të kryhen të gjitha veprimet e tjera aritmetike. Përndryshe, shprehja thjeshtohet.
Shembulli 12: Vlera e një shprehjeje numerike
Gjeni vlerën e shprehjes: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Së pari, ne llogarisim vlerat e funksioneve trigonometrike të përfshira në shprehje.
mëkat - 5 π 2 = - 1
Ne i zëvendësojmë vlerat në shprehje dhe llogarisim vlerën e saj:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
Është gjetur vlera e shprehjes.
Shpesh për të gjetur kuptimin e një shprehjeje me funksionet trigonometrike, fillimisht duhet të konvertohet. Le të shpjegojmë me një shembull.
Shembulli 13: Vlera e një shprehjeje numerike
Duhet të gjejmë vlerën e shprehjes cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Për konvertim ne do të përdorim formulat trigonometrike kosinusi kënd i dyfishtë dhe kosinusin e shumës.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .
Rasti i përgjithshëm i një shprehjeje numerike
NË rast i përgjithshëm shprehje trigonometrike mund të përmbajë të gjithë elementët e përshkruar më sipër: kllapa, fuqi, rrënjë, logaritme, funksione. Le të formulojmë një rregull të përgjithshëm për gjetjen e kuptimeve të shprehjeve të tilla.
Si të gjeni vlerën e një shprehjeje
- Rrënjët, fuqitë, logaritmet etj. zëvendësohen nga vlerat e tyre.
- Veprimet në kllapa kryhen.
- Veprimet e mbetura kryhen sipas rendit nga e majta në të djathtë. Së pari - shumëzimi dhe pjesëtimi, pastaj - mbledhja dhe zbritja.
Le të shohim një shembull.
Shembulli 14: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim vlerën e shprehjes - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.
Shprehja është mjaft komplekse dhe e rëndë. Nuk ishte rastësisht që ne zgjodhëm vetëm një shembull të tillë, pasi u përpoqëm të futnim në të të gjitha rastet e përshkruara më sipër. Si të gjeni kuptimin e një shprehjeje të tillë?
Dihet se gjatë llogaritjes së vlerës së një kompleksi formë thyesore, fillimisht vlerat e numëruesit dhe emëruesit të thyesës gjenden përkatësisht veçmas. Ne do ta transformojmë dhe thjeshtojmë këtë shprehje në mënyrë sekuenciale.
Para së gjithash, le të llogarisim vlerën e shprehjes radikale 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni vlerën e sinusit dhe shprehjen që është argumenti i funksionit trigonometrik.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Tani mund të zbuloni vlerën e sinusit:
sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = mëkat π 6 + 2 π = mëkat π 6 = 1 2.
Ne llogarisim vlerën e shprehjes radikale:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Me emëruesin e thyesës gjithçka është më e thjeshtë:
Tani mund të shkruajmë vlerën e të gjithë thyesës:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .
Duke marrë parasysh këtë, ne shkruajmë të gjithë shprehjen:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Rezultati përfundimtar:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
Në këtë rast ne ishim në gjendje të llogarisnim vlerat e sakta rrënjët, logaritmet, sinuset etj. Nëse kjo nuk është e mundur, mund të përpiqeni t'i shpëtoni prej tyre përmes transformimeve matematikore.
Llogaritja e vlerave të shprehjes duke përdorur metoda racionale
Vlerat numerike duhet të llogariten në mënyrë të qëndrueshme dhe të saktë. Ky proces mund të thjeshtohet dhe përshpejtohet duke përdorur veti të ndryshme veprimet me numra. Për shembull, dihet se një produkt është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Duke marrë parasysh këtë veti, mund të themi menjëherë se shprehja 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 është e barabartë me zero. Në të njëjtën kohë, nuk është aspak e nevojshme të kryhen veprimet në rendin e përshkruar në artikullin e mësipërm.
Është gjithashtu e përshtatshme të përdoret vetia e zbritjes numra të barabartë. Pa kryer asnjë veprim, mund të urdhëroni që vlera e shprehjes 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 të jetë gjithashtu zero.
Një teknikë tjetër për të përshpejtuar procesin është përdorimi i transformimeve të identitetit si grupimi i termave dhe faktorëve dhe zbritja shumëzues i përbashkët jashtë kllapave. Një qasje racionale për llogaritjen e shprehjeve me thyesa është zvogëlimi i shprehjeve të njëjta në numërues dhe emërues.
Për shembull, merrni shprehjen 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Pa kryer veprimet në kllapa, por duke e zvogëluar thyesën, mund të themi se vlera e shprehjes është 1 3 .
Gjetja e vlerave të shprehjeve me ndryshore
Kuptimi shprehje fjalë për fjalë dhe shprehjet me variabla gjenden për vlera specifike të dhëna të shkronjave dhe variablave.
Gjetja e vlerave të shprehjeve me ndryshore
Për të gjetur vlerën e një shprehjeje fjalë për fjalë dhe një shprehje me ndryshore, duhet të zëvendësoni vendos vlerat shkronjat dhe variablat, dhe më pas llogarisni vlerën e shprehjes numerike që rezulton.
Shembulli 15: Vlera e një shprehjeje me variabla
Llogaritni vlerën e shprehjes 0, 5 x - y dhënë x = 2, 4 dhe y = 5.
Ne zëvendësojmë vlerat e variablave në shprehje dhe llogarisim:
0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.
Ndonjëherë mund të transformoni një shprehje në atë mënyrë që të merrni vlerën e saj pavarësisht nga vlerat e shkronjave dhe ndryshoreve të përfshira në të. Për ta bërë këtë, ju duhet të hiqni qafe shkronjat dhe variablat në shprehje, nëse është e mundur, duke përdorur transformimet e identitetit, vetitë e veprimeve aritmetike dhe të gjitha metodat e tjera të mundshme.
Për shembull, shprehja x + 3 - x ka padyshim vlerën 3, dhe për të llogaritur këtë vlerë nuk është e nevojshme të dihet vlera e ndryshores x. Vlera e kësaj shprehjeje është e barabartë me tre për të gjitha vlerat e ndryshores x nga diapazoni i vlerave të saj të lejuara.
Një shembull tjetër. Vlera e shprehjes x x është e barabartë me një për të gjitha x-të pozitive.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
