Si të vendoset në katror universalja. Katrorja e një numri në Microsoft Excel

Sot do të mësojmë se si të katrorë shpejt shprehjet e mëdha pa një makinë llogaritëse. Në përgjithësi, dua të them numra që variojnë nga dhjetë në njëqind. Shprehje të mëdha Ato janë jashtëzakonisht të rralla në problemet reale, dhe ju tashmë dini si të numëroni vlerat më pak se dhjetë, sepse kjo është një tabelë e rregullt shumëzimi. Materiali në mësimin e sotëm do të jetë i dobishëm për studentët me mjaft përvojë, sepse studentët fillestarë thjesht nuk do ta vlerësojnë shpejtësinë dhe efektivitetin e kësaj teknike.

Së pari, le të kuptojmë se për çfarë po flasim ne po flasim për. Unë propozoj, si shembull, të ndërtojmë një arbitrar shprehje numerike, siç bëjmë zakonisht. Le të themi 34. E ngremë duke e shumëzuar në vetvete me një kolonë:

\[((34)^(2))=\herë \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 është katrori 34.

problem këtë metodë mund të përshkruhet në dy pika:

1) kërkon dokumentacion me shkrim;

2) është shumë e lehtë të bësh një gabim gjatë procesit të llogaritjes.

Sot do të mësojmë se si të shumëzojmë shpejt pa një kalkulator, me gojë dhe praktikisht pa gabime.

Pra, le të fillojmë. Për të punuar, na duhet formula për katrorin e shumës dhe diferencës. Le t'i shkruajmë ato:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

Çfarë na jep kjo? Fakti është se çdo vlerë në rangun nga 10 në 100 mund të përfaqësohet si numri $a$, i cili pjesëtohet me 10, dhe numri $b$, që është pjesa e mbetur e pjesëtimit me 10.

Për shembull, 28 mund të përfaqësohet si më poshtë:

\[\fillim(rreshtoj)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\fund (rreshtoj)\]

Ne i paraqesim shembujt e mbetur në të njëjtën mënyrë:

\[\fillim(rreshtoj)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\fund (rreshtoj)\]

\[\filloj(rreshtoj)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\fund (rreshtoj)\]

\[\fillim(rreshtoj)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\fund (rreshtoj)\]

\[\fillim(rreshtoj)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\fund (rreshtoj)\]

\[\fillo(rreshtoj)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\fund (rreshtoj)\]

\[\fillo(rreshtoj)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\fund (rreshtoj)\]

\[\fillim(rreshtoj)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\fund (rreshtoj)\]

Çfarë na thotë kjo ide? Fakti është se me një shumë ose një ndryshim, ne mund të zbatojmë llogaritjet e përshkruara më sipër. Sigurisht, për të shkurtuar llogaritjet, për çdo element duhet të zgjidhni shprehjen me termin e dytë më të vogël. Për shembull, nga opsionet $20+8$ dhe $30-2$, duhet të zgjidhni opsionin $30-2$.

Ne zgjedhim opsione në mënyrë të ngjashme për shembujt e mbetur:

\[\fillim(rreshtoj)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\fund (rreshtoj)\]

\[\fillim(rreshtoj)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\fund (rreshtoj)\]

\[\fillim(rreshtoj)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\fund (rreshtoj)\]

\[\fillim(rreshtoj)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\fund (rreshtoj)\]

\[\fillim(rreshtoj)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\fund (rreshtoj)\]

\[\fillim(rreshtoj)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\fund (rreshtoj)\]

\[\fillim(rreshtoj)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\fund (rreshtoj)\]

\[\fillim(rreshtoj)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\fund (rreshtoj)\]

Pse duhet të përpiqemi të reduktojmë mandatin e dytë kur shumëzim i shpejtë? Gjithçka ka të bëjë me llogaritjet fillestare të katrorit të shumës dhe diferencës. Fakti është se termi $2ab$ me një plus ose një minus është më i vështiri për t'u llogaritur kur zgjidhen probleme reale. Dhe nëse faktori $a$, një shumëfish i 10-ës, shumëzohet gjithmonë lehtësisht, atëherë me faktorin $b$, i cili është një numër që varion nga një deri në dhjetë, shumë studentë rregullisht kanë vështirësi.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Pra, në tre minuta bëmë shumëzimin e tetë shembujve. Kjo është më pak se 25 sekonda për shprehje. Në realitet, pas pak praktikë, do të numëroni edhe më shpejt. Do t'ju duhen jo më shumë se pesë deri në gjashtë sekonda për të llogaritur çdo shprehje dyshifrore.

Por kjo nuk është e gjitha. Për ata që teknika e treguar u duket e pamjaftueshme e shpejtë dhe mjaft e ftohtë, unë sugjeroj edhe më shumë mënyrë e shpejtë shumëzimi, i cili, megjithatë, nuk funksionon për të gjitha detyrat, por vetëm për ato që ndryshojnë me një nga shumëfishat e 10. Në mësimin tonë ka katër vlera të tilla: 51, 21, 81 dhe 39.

Do të dukej shumë më shpejt, ne i numërojmë ato fjalë për fjalë në disa rreshta. Por, në fakt, është e mundur të përshpejtohet, dhe kjo bëhet si më poshtë. Ne shkruajmë vlerën që është shumëfish i dhjetës, që është më afër asaj që na nevojitet. Për shembull, le të marrim 51. Prandaj, për të filluar, le të ndërtojmë pesëdhjetë:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Shumëfishat e dhjetë janë shumë më të lehta për t'u kuadruar. Dhe tani ne thjesht shtojmë pesëdhjetë dhe 51 në shprehjen origjinale.

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

Dhe kështu me të gjithë numrat që ndryshojnë nga një.

Nëse vlera që kërkojmë është më e madhe se ajo që po numërojmë, atëherë i shtojmë numra katrorit që rezulton. Nëse numri i dëshiruar është më i vogël, si në rastin e 39, atëherë kur kryeni veprimin, duhet të zbrisni vlerën nga katrori. Le të praktikojmë pa përdorur një kalkulator:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Siç mund ta shihni, në të gjitha rastet përgjigjet janë të njëjta. Për më tepër, kjo teknikë është e zbatueshme për çdo vlerë ngjitur. Për shembull:

\[\fillim(rreshtoj)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\fund (rreshtoj)\]

Në të njëjtën kohë, nuk kemi nevojë të kujtojmë llogaritjet e katrorëve të shumës dhe ndryshimit dhe të përdorim një kalkulator. Shpejtësia e punës është përtej lavdërimit. Prandaj, mbani mend, praktikoni dhe përdorni në praktikë.

Pikat kryesore

Me këtë teknikë ju lehtë mund të shumëzoni ndonjë numrat natyrorë duke filluar nga 10 deri në 100. Për më tepër, të gjitha llogaritjet kryhen me gojë, pa kalkulator dhe madje edhe pa letër!

Së pari, mbani mend katrorët e vlerave që janë shumëfish të 10:

\[\filloj(rreshtoj)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\fund (radhis)\]

\[\filloj(rreshtoj)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\fund (radhis)\]

\[\filloj(rreshtoj)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\fund (rreshtoj)\]

Si të numëroni edhe më shpejt

Por kjo nuk është e gjitha! Duke përdorur këto shprehje, ju mund të kuadroni menjëherë numrat "në afërsi" me ato të referencës. Për shembull, ne e dimë 152 ( vlera referuese), por duhet të gjejmë 142 (një numër ngjitur që është një më pak se numri i referencës). Le ta shkruajmë:

\[\fillo(rreshtoj)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\fund (rreshtoj)\]

Ju lutemi vini re: jo misticizëm! Sheshet e numrave që ndryshojnë me 1 fitohen duke shumëzuar me veten e tyre numrat e referencës, nëse zbrisni ose shtoni dy vlera:

\[\filloj(rreshtoj)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\fund (rreshtoj)\]

Pse po ndodh kjo? Le të shkruajmë formulën për katrorin e shumës (dhe diferencës). Le të jetë $n$ vlera jonë e referencës. Pastaj ato llogariten si kjo:

\[\filloj(rreshtoj)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\fund (rreshtoj)\]

- kjo është formula.

\[\filloj(rreshtoj)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\fund (rreshtoj)\]

- një formulë e ngjashme për numrat më të mëdhenj se 1.

Shpresoj se kjo teknikë do t'ju kursejë kohë në të gjitha testet dhe provimet tuaja të matematikës. Dhe kjo është e gjitha për mua. Shihemi!

Nëse shumëzoni numri në vetvete, rezultati do të jetë një ndërtim në katrore. Edhe një nxënës i klasës së parë e di se "dy herë dy është katër". Treshifror, katërshifror etj. Është më mirë të shumëzoni numrat në një kolonë ose në një kalkulator, por të trajtoni ato me dy shifra pa një asistent elektronik, duke u shumëzuar në kokën tuaj.

Udhëzimet

1. Ndani çdo dyshifror numri në komponentë, duke theksuar numrin e njësive. Në numrin 96, numri i njësive është 6. Për rrjedhojë, mund të shkruajmë: 96 = 90 + 6.

2. Ndërto brenda katrore i pari nga numrat: 90 * 90 = 8100.

3. Bëni të njëjtën gjë me të dytën. numri m: 6 * 6 = 36

4. Shumëzoni numrat së bashku dhe dyfishoni totalin: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

5. Mblidhni totalet e të dytit, të tretës dhe hapat e katërt: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Ky është rezultati i ndërtimit në katrore numri 96. Pas disa trajnimeve, do të jeni në gjendje të ndërmerrni shpejt hapa në mendjen tuaj, duke mahnitur prindërit dhe shokët e klasës. Derisa ta kuptoni, shkruani rezultatet e të gjithë hapit në mënyrë që të mos ngatërroheni.

6. Për të praktikuar, ngrihuni në katrore numri 74 dhe provoni veten në kalkulator. Sekuenca e veprimeve: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

7. Ngriteni në fuqinë e dytë numri 81. Veprimet tuaja: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

8. Mbani mend metodë jo standarde ndërtimi në katrore numra dyshifrorë që mbarojnë me numrin 5. Zgjidh numrin e dhjetësheve: në numrin 75 janë 7 të tillë.

9. Shumëzoni numrin e dhjetësheve me shifrën tjetër në numri në rreshtin e parë: 7 * 8 = 56.

10. Shkruani në të djathtë numri 25: 5625 - rezultati i ndërtimit në katrore numri 75.

11. Për praktikë, ngrihuni në fuqinë e dytë numri 95. Përfundon me numrin 5, pra sekuenca e veprimeve është: 9 * 10 = 90, 9025 është totali.

12. Mësoni të ndërtoni katrore numrat negativë: -95 in katrore e është e barabartë me 9025, si në hapin e njëmbëdhjetë. Ngjashëm me -74 inç katrore e është e barabartë me 5476, si në hapin e gjashtë. Kjo për faktin se kur shumëzohen 2 numra negativë pa ndryshim fitohet rezultati i saktë. numri: -95 * -95 = 9025. Rrjedhimisht, kur ngrihet në katrore ju lehtë mund të injoroni shenjën minus.

Ngritja e një numri në një fuqi është një nga më të thjeshtat operacionet algjebrike. NË jetën e përditshme ndërtimi përdoret rrallë, por në prodhim kur kryeni llogaritjet - praktikisht kudo, kështu që është e dobishme të mbani mend se si bëhet kjo.

Udhëzimet

1. Le të imagjinojmë se kemi një numër a, fuqia e të cilit është numri n. Për të ndërtuar një numër në një fuqi do të thotë që ju duhet të shumëzoni numrin a me vete n herë.

2. Le të shohim disa shembuj Për të ndërtuar numrin 2 në fuqinë e dytë, duhet të kryeni veprimin: 2x2 = 4

3. Për të ndërtuar numrin 3 në fuqinë e pestë, duhet të kryeni veprimin: 3x3x3x3x3 = 243

4. Ekziston një shënim përgjithësisht i pranuar për numrat e shkallës 2 dhe 3. Fraza "shkalla e dytë" zakonisht zëvendësohet me fjalën "katror", dhe në vend të frazës "shkalla e tretë" tradicionalisht thonë "kub".

5. Siç mund të shihet nga shembujt e mësipërm, kohëzgjatja dhe kompleksiteti i llogaritjeve varet nga vlera e eksponentit të numrit. Mjafton katrori ose kubiku detyrë e thjeshtë; Ngritja e një numri në fuqinë e pestë ose më të lartë kërkon shumë kohë dhe saktësi në llogaritje. Për të shpejtuar këtë proces Për të shmangur gabimet, mund të përdorni tabela të veçanta matematikore ose një kalkulator inxhinierik.

Për të shkruar shkurtimisht prodhimin e të njëjtit numër në vetvete, matematikanët dolën me paraqitjen e fuqisë. Për rrjedhojë, shprehja 16*16*16*16*16 mund të shkruhet më shumë metodë e shkurtër. Do të duket si 16^5. Shprehja do të lexohet si numri 16 në fuqinë e pestë.

Do t'ju duhet

• Letër, stilolaps.

Udhëzimet

1. Në përgjithësi shkallë shkruar si a^n. Ky shënim do të thotë se numri a shumëzohet me vetveten n herë Shprehja a^n quhet shkallë yu, a është numri bazë e shkallës,nështë një numër, një eksponent. Le të themi a = 4, n = 5, pastaj shkruajmë 4^5 = 4*4*4*4*4 = 1,024

2. Fuqia n mund të jetë një numër negativ = -1, -2, -3, etj. Për të llogaritur negativin shkallë numër, duhet të hiqet në emërues.a^(-n) = (1/a)^n = 1/a*1/a*1/a* … *1/a = 1/(a^n) Le të shohim shembullin2 ^(-3) = (1/2)^3 = 1/2*1/2*1/2 = 1/(2^3) = 1/8 = 0,125

3. Siç shihet nga shembulli, -3 shkallë numri 2 mund të llogaritet duke përdorur metoda të ndryshme.1) Së pari, llogaritni thyesën 1/2 = 0,5; dhe më pas ndërto shkallë 3, d.m.th. 0,5^3 = 0,5*0,5*0,5 = 0,1252) Së pari, ndërtoni emëruesin në shkallë 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 = 8, dhe më pas llogaritni fraksionin 1/8 = 0,125.

4. Tani le të llogarisim -1 shkallë për një numër, d.m.th. n = -1. Rregullat e diskutuara më sipër janë të përshtatshme për këtë rast.a^(-1) = (1/a)^1 = 1/(a^1) = 1/aPër shembull, ndërtoni numrin 5 në -1 shkallë 5^(-1) = (1/5)^1 = 1/(5^1) = 1/5 = 0,2.

5. Shembulli tregon qartë se një numër në fuqinë -1 është thyesë reciproke Nga numri Supozoni se numri 5 është në formën e një thyese 5/1, atëherë 5^(-1) nuk mund të numërohet në mënyrë aritmetike, por menjëherë shkruajeni thyesën e kundërt të 5/1, kjo është 1/5 , 15^(-1) = 1 /15.6^(-1) = 1/6.25^(-1) = 1/25

Kushtojini vëmendje!
Kur ngrini një numër në një fuqi negative, mbani mend se numri nuk mund të jetë i barabartë me zero. Sipas rregullit, ne duhet të heqim numrin në emërues. Dhe zero nuk mund të jetë në emërues, pasi është e pamundur të ndahet me zero.

Këshilla të dobishme
Herë pas here kur punoni me fuqi për të lehtësuar llogaritjet numër thyesor zëvendësuar qëllimisht nga një numër i plotë në fuqinë -11/6 = 6^(-1)1/52 = 52^(-1).

Gjatë zgjidhjes së aritmetikës dhe probleme algjebrike herë pas here kërkohet të ndërtohet fraksion V katrore. Është më e lehtë për të gjithë ta bëjnë këtë kur fraksion dhjetori është një kalkulator mjaft i zakonshëm. Megjithatë, nëse fraksion i zakonshëm ose i përzier, atëherë kur një numër i tillë rritet në katrore Mund të shfaqen disa vështirësi.

Do t'ju duhet

• kalkulator, kompjuter, aplikacion Excel.

Udhëzimet

1. Për të ndërtuar një dhjetore fraksion V katrore, merr kalkulator inxhinierik, shkruani mbi të atë që po ndërtohet katrore fraksion dhe shtypni ngritjen në tastin e dytë të ndezjes. Në shumicën e makinave llogaritëse ky buton emërtohet "x?". Në një kalkulator standard të Windows, funksioni i ngritjes në katrore duket si "x^2". Le të themi katrore thyesa dhjetore 3.14 do të jetë e barabartë me: 3.14? = 9,8596.

2. Për të ndërtuar në katrore dhjetore fraksion në një kalkulator të zakonshëm (të kontabilitetit), shumëzojeni këtë numër me vete. Nga rruga, disa modele të kalkulatorëve ofrojnë mundësinë e rritjes së një numri në katrore edhe në mungesë të një butoni të veçantë. Prandaj, ju lutemi lexoni udhëzimet për kalkulator specifik. Herë pas here, shembuj të fuqisë "të ndërlikuar" jepen në kapakun e pasmë ose në kutinë e makinës llogaritëse. Për shembull, në shumë kalkulatorë për të ngritur një numër katrore Thjesht shtypni butonat "x" dhe "=".

3. Për ndërtim në katrore thyesë e zakonshme(i përbërë nga një numërues dhe një emërues), ngriteni në katrore veçmas numëruesi dhe emëruesi i kësaj thyese. Kjo do të thotë, përdorni rregullin e mëtejshëm: (h/z)? = h? / z?, ku h është numëruesi i thyesës, z është emëruesi i thyesës Shembull: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Nëse ndërtohet katrore fraksion– i përzier (përbëhet nga një pjesë e plotë dhe një thyesë e zakonshme), më pas zvogëlojeni paraprakisht në pamje normale. Kjo është, aplikoni formulën e mëposhtme:(ts h/z)? = ((c*z+h) / z)? = (ts*z+h)? / z?, ku ц – pjesë e tërë thyesë e përzier Shembull: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Nëse është ndërtuar katrore thyesat e rregullta (jo dhjetore) shtohen vazhdimisht, pastaj përdorni MS Excel. Për ta bërë këtë, futni formulën e mëposhtme në një nga qelizat e tabelës: = DEGREE(A2;2) ku A2 është adresa e qelizës në të cilën do të futet vlera e ngritur katrore fraksion.Të informojë programin se numri i futur duhet të trajtohet si i zakonshëm fraksion yu (d.m.th. mos e konvertoni në formë dhjetore), shkruani më parë fraksion Kam numrin “0” dhe shenjën “hapësirë”. Kjo do të thotë, për të futur, të themi, fraksionin 2/3, duhet të futni: "0 2/3" (dhe shtypni Enter). Në këtë rast, paraqitja dhjetore e fraksionit të futur do të shfaqet në vijën hyrëse. Kuptimi dhe përfaqësimi i fraksionit të qetë në qelizë do të ruhet në forma fillestare. Përveç kësaj, kur përdorni funksionet matematikore, argumentet e të cilëve janë thyesa të zakonshme, rezultati do të paraqitet edhe në formën e një thyese të zakonshme. Rrjedhimisht katrore thyesa 2/3 do të paraqitet si 4/9.

Metoda e katrorit të një binomi përdoret për të thjeshtuar shprehjet masive, si dhe për të zgjidhur ekuacionet kuadratike. Në praktikë, tradicionalisht kombinohet me teknika të tjera, duke përfshirë faktorizimin, grupimin, etj.

Udhëzimet

1. Metoda për izolimin e katrorit të plotë të një binomi bazohet në përdorimin e 2 formulave për shumëzimin e shkurtuar të polinomeve. Këto formula janë raste të veçanta të Binomit të Njutonit për shkallën e dytë dhe na lejojnë të thjeshtojmë shprehjen e dëshiruar në mënyrë që të jetë e mundur të kryhet reduktimi ose faktorizimi i mëtejshëm: (m + n)² = m² + 2 m n + n²; (m - n)² = m² – 2·m·n + n².

2. Sipas kësaj metode, nga polinomi fillestar është e nevojshme të nxirren katrorët e 2 monomëve dhe shuma/diferenca e produktit të dyfishtë të tyre. Përdorimi i kësaj metode ka kuptim nëse shkalla më e lartë e termave nuk është më e vogël se 2. Imagjinoni, ju jepet detyra të faktorizoni shprehjen e mëposhtme në faktorë me shkallë në rënie: 4 y^4 + z^4

3. Për të zgjidhur problemin, duhet të përdorni metodën e zgjedhjes së një sheshi të plotë. Rezulton se shprehja përbëhet nga 2 monomë me ndryshore të shkallës çift. Rrjedhimisht, është e mundur që secili prej tyre të shënohet me m dhe n: m = 2·y²; n = z².

4. Tani duhet të sjellim shprehja fillestare në formën (m + n)². Tashmë përmban katrorët e këtyre termave, por i mungon produkti i dyfishtë. Është e nevojshme ta shtoni atë në mënyrë të panatyrshme dhe pastaj ta zbritni: (2 y²)² + 2 2 y² z² + (z²)² – 2 2 y² z² = (2 y² + z²)² - 4 y² z².

5. Në shprehjen që rezulton mund të shihni formulën për ndryshimin e katrorëve: (2 y² + z²)² – (2 y z)² = (2 y² + z² – 2 y z) (2 y² + z² + 2 y z).

6. Rezulton se metoda përbëhet nga 2 faza: izolimi i monomëve të një katrori të përsosur m dhe n, duke shtuar dhe zbritur produktin e tyre të dyfishtë. Metoda e izolimit të katrorit të plotë të një binomi mund të përdoret jo vetëm në mënyrë të pavarur, por edhe në kombinim me metoda të tjera: heqja e faktorit universal nga kllapat, zëvendësimi i një ndryshoreje, grupimi i termave, etj.

7. Shembulli 2: Zgjidh katror i përsosur në shprehjen: 4 y² + 2 y z + z² Zgjidhje 4 y² + 2 y z + z² = = (2 y)² + 2 y z + (z) ² – 2 y z = (2 y + z)². y z.

8. Metoda përdoret për gjetjen e rrënjëve ekuacioni kuadratik. Ana e majtë ekuacioni është një trinom i formës a·y? + b·y + c, ku a, b dhe c janë disa numra dhe a ? 0. a·y? + b y + c = a (y? + (b/a) y) + c = a (y? + 2 (b/(2 a)) y) + c = a ( y? + 2 (b/(2 a)) y + b?/(4 a?)) + c – b?/(4 a) = a (y + b/(2 a )) ? – (b? – 4 a c)/(4 a).

9. Këto llogaritje çojnë në paraqitjen e diskriminuesit, i cili është i barabartë me (b? – 4·a·c)/(4·a), dhe rrënjët e ekuacionit janë të barabarta me: y_1,2 = ±(b/( 2 a)) ± ? ((b? – 4 a c)/(4 a)).

Operacioni i ereksionit shkallëështë "binar", domethënë ka dy parametra të domosdoshëm hyrës dhe një parametër dalës. Një nga parametrat fillestarë quhet eksponent dhe specifikon numrin e herëve që operacioni i shumëzimit duhet të zbatohet në parametrin e dytë, radix. Arsyeja mund të jetë ose e saktë ose negative numri .

Udhëzimet

1. Kur ngrini një numër negativ në një fuqi, përdorni rregullat e zakonshme për këtë operacion. Sa për numra pozitiv, fuqizim nënkupton shumëzimin e vlerës fillestare me vete disa herë, një më pak se eksponenti. Le të themi, për të ndërtuar numrin -2 në fuqinë e katërt, duhet ta shumëzoni atë me vetveten tre herë: -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16.

2. Shumëzimi i 2 numrave negativë jep pa ndryshim një vlerë pozitive dhe rezultati i këtij veprimi për sasitë me shenja të ndryshme do të jetë një numër negativ. Nga kjo mund të konkludojmë se kur vlerat negative ngrihen në një fuqi me një eksponent çift, rezultati duhet të jetë gjithmonë një numër pozitiv, dhe me eksponentë tek rezultati do të jetë pa ndryshim më pak se zero. Përdoreni këtë cilësi për të kontrolluar llogaritjet tuaja. Le të themi -2 në fuqinë e pestë duhet të jetë një numër negativ -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32, dhe -2 në fuqinë e gjashtë duhet të jetë pozitiv -2 ?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.

3. Kur ngrihet një numër negativ në një fuqi, eksponenti mund të jepet në formatin e një thyese të përbashkët - le të themi, -64 në fuqi?. Ky tregues do të thotë që vlera fillestare duhet të ndërtohet në një fuqi të barabartë me numëruesin e fraksionit dhe rrënja e fuqisë duhet të nxirret prej saj, e barabartë me emëruesin. Një pjesë e këtij operacioni u diskutua në hapat e mëparshëm, por këtu duhet t'i kushtoni vëmendje një tjetre.

4. Nxjerrja e rrënjëve - funksion tek, pra për negative numra realë mund të përdoret vetëm me një eksponent tek. Nëse është çift, ky funksion nuk ka kuptim. Rrjedhimisht, nëse në kushtet e problemit kërkohet të ndërtohet një numër negativ në fuqia thyesore me emërues çift, atëherë problemi nuk ka zgjidhje. Në raste të tjera, fillimisht kryeni veprimet nga 2 hapat e parë, duke përdorur numëruesin e thyesës si eksponent dhe më pas nxirrni rrënjën me shkallën e emëruesit.

Formati i fuqisë së shkrimit të një numri është një formë e shkurtuar e shkrimit të veprimit të shumëzimit të një baze në vetvete. Me një numër të paraqitur në këtë formë, ju mund të kryeni të njëjtat operacione si me çdo numër tjetër, duke përfshirë ngritjen e tyre në shkallë. Le të themi se lejohet të ndërtohet në mënyrë arbitrare shkallë katrore numrat dhe marrja e rezultatit në nivelin modern të zhvillimit të teknologjisë nuk do të jetë ndonjë vështirësi.

Do t'ju duhet

• Qasje në internet ose kalkulator Windows.

Udhëzimet

1. Për ndërtim katrore dhe në shkallë përdorni rregullin e përgjithshëm të ndërtimit në shkallë numrat që tashmë i kanë eksponent fuqie. Me këtë operacion, treguesit shumëzohen, por baza mbetet e njëjtë. Nëse baza caktohet si x, dhe eksponentët fillestarë dhe shtesë caktohen si a dhe b, ky rregull mund të shkruhet në formë të përgjithshme si më poshtë: (x?)?=x??.

2. Për llogaritjet utilitare, është më e lehtë për të gjithë të përdorin motor kërkimi Google – ka një kalkulator shumë të lehtë për t'u përdorur të integruar në të. Le të themi, nëse keni nevojë të ndërtoni në të pestën shkallë katrore numri 6, shkoni në faqen kryesore të motorit të kërkimit dhe shkruani pyetjen e duhur. Mund të formulohet si më poshtë: (6^2)^5 – këtu do të thotë simboli ^ shkallë. Mund të llogarisni në mënyrë të pavarur eksponentin që rezulton në përputhje me formulën nga hapi i mëparshëm dhe të formuloni pyetjen si më poshtë: 6^10. Ose besoni Google për ta bërë këtë duke futur pyetjen e mëposhtme: 6^(2*5). Për secilin prej këtyre opsioneve, kalkulatori i motorit të kërkimit do të japë një rezultat identik: 60,466,176.

3. Nëse nuk ka qasje në internet, kalkulatori i Google mund të zëvendësohet, të themi, me një të integruar Llogaritësi i Windows. Nëse jeni duke përdorur versionet Seven ose Vista të këtij OS, hapni menunë kryesore të sistemit dhe shkruani dy shkronja për secilën: "ka". Sistemi do të shfaqë në menynë kryesore të gjitha programet dhe skedarët që ai lidh me këtë kombinim. Në rreshtin e parë do të ketë një lidhje "Llogaritësi" - klikoni mbi të me miun dhe aplikacioni do të hapet.

4. Shtypni kombinimin e tastit Alt + 2 në mënyrë që një buton me funksionin e ngritjes në arbitrare të shfaqet në ndërfaqen e aplikacionit shkallë. Pas kësaj, futni bazën - në shembullin nga hapi i dytë, ky është numri 6 - dhe së pari klikoni në butonin x, dhe pastaj në butonin x? Futni eksponentin në të cilin dëshironi të ndërtoni katrore– në shembullin e përdorur, ky numër është 5. Shtypni butonin Enter dhe kalkulatori do të shfaqë rezultatin përfundimtar të operacionit.

Video mbi temën

Këshilla të dobishme
Për ta bërë stërvitjen më pak të mërzitshme, telefononi një mik për të ndihmuar. Lëreni të shkruajë një numër dyshifror dhe ju shkruani përfundimin e katrorit të këtij numri. Pas kësaj, ndërroni vendet.

Siç e dini, sipërfaqja e një drejtkëndëshi llogaritet duke shumëzuar gjatësitë e dy të tij anët e ndryshme. Një katror i ka të gjitha anët të barabarta, kështu që ju duhet të shumëzoni anën në vetvete. Nga këtu erdhi shprehja "katrore". Ndoshta mënyra më e lehtë për të vendosur në katror çdo numër është të marrësh një kalkulator të rregullt dhe të shumëzosh numrin e dëshiruar në vetvete. Nëse nuk keni një kalkulator në dorë, mund të përdorni kalkulatorin e integruar telefon celular. Për përdoruesit më të avancuar, ne mund të rekomandojmë përdorimin e aplikacionit Office Microsoft Excel, veçanërisht nëse llogaritjet e tilla duhet të kryhen mjaft shpesh. Për ta bërë këtë, duhet të zgjidhni një qelizë arbitrare, për shembull G7, dhe të futni formulën =F7*F7 në të. Më pas, futni çdo numër në qelizën F7 dhe merrni rezultatin në qelizën G7.

Si të vendoset në katror një numër shifra e fundit që është 5. Për të vendosur në katror këtë numër, duhet të hiqni shifrën e fundit të numrit. Numri që rezulton duhet të shumëzohet me një numër më të madh me 1. Pastaj ju duhet të shtoni numrin 25 në të djathtë pas rezultatit. Shembull. Le të themi se dëshironi të merrni katrorin e numrit 35. Pasi të hiqet shifra e fundit 5, mbetet numri 3 Shtoni 1 dhe merrni numrin 4.3x4=12. Shtoni 25 dhe rezultati është 1225. 35x35=3*4 shtoni 25=1225.

Si të vendoset në katror një numër, shifra e fundit e të cilit është 6. Ky algoritëm është i përshtatshëm për ata që kanë kuptuar pyetjen se si të vendoset në katror një numër që mbaron me 5. Siç dihet nga matematika, katrori i një binomi mund të llogaritet duke përdorur formulën (A + B) x (A+B) =AxA+2xAxB + BxB. Në rastin e katrorit të një numri A, shifra e fundit e të cilit është 6, ky numër mund të përfaqësohet si A=B+1, ku B është numri që është 1. më pak numër Prandaj, shifra e fundit e saj është 5. Në këtë rast, formula mund të përfaqësohet në më shumë në formë të thjeshtë(B+1) x(B+1) =BxB+2xBx1+1x1=BxB + 2xB+1. Për shembull, le të jetë ky numër 16. Zgjidhja 16 x16=15 x15+2x15 x1+1x1=225+30+1=256 Rregulla gojore: për të gjetur katrorin e një numri që mbaron me 6: duhet të vendosni katrorin e mëparshëm. numrin, shtoni dyfishin e numrit të mëparshëm dhe shtoni 1.

Si të katroroni numrat nga 11 në 29. Në katrorin e numrave nga 11 në 19, duhet të shtoni numrin e njësheve në numrin origjinal, të shumëzoni rezultatin që rezulton me 10 dhe të shtoni numrin në katror të njësheve në të djathtë. Shembull. Katrori 13. Numri i njësheve në këtë numër është 3. Më pas, duhet të llogarisni numrin e ndërmjetëm 13+3=16. Më pas shumëzojeni me 10. Rezulton 160. Katrori i numrit të njësive është 3x3=9. Rezultati përfundimtar është 169. Për numrat në dhjetëshen e tretë, përdoret një algoritëm i ngjashëm, vetëm ju duhet të shumëzoni me 20 dhe të shtoni katrorin e njësive në vend që t'i shtoni ato. Shembull. Njehsoni katrorin e numrit 24. Gjendet numri i njësheve – 4. Njehsohet numri i ndërmjetëm – 24+4=28. Pas shumëzimit me 20, rezulton 560. Katrori i numrit të njësheve është 4x4=16. Rezultati përfundimtar është 560+16=576.

Si të kuadroni numrat nga 40 në 60. Algoritmi është mjaft i thjeshtë. Së pari ju duhet të gjeni se sa numri i dhënë më shumë ose më pak se mesi i diapazonit të numrit 50. Shto në rezultatin e marrë (nëse numri është më i madh se 50) ose zbrit (nëse numri është më i vogël se 50) 25. Shumëzoje shumën (ose ndryshimin) që rezulton me 100. Rezultatit që rezulton shtoni katrorin e diferencës ndërmjet numrit katrorin e të cilit duhet ta gjeni dhe numrin 50. Shembull: duhet të gjeni katrorin e numrit 46. Diferenca është 50-46=4.5-4= 1.1x100=0.4x4=6.0+16=2116. Rezultati: 46x46=2116.

Një truk tjetër është se si të katroroni numrat nga 40 në 60. Për të llogaritur katrorin e një numri nga 40 në 49, duhet të rrisni numrin e njësive me 15, të shumëzoni rezultatin që rezulton me 100 dhe në të djathtë të tij shtoni katrorin e diferencës ndërmjet shifrës së fundit numri i dhënë dhe 10. Shembull. Njehsoni katrorin e numrit 42. Numri i njësive të këtij numri është 2. Shtoni 15: 2+15=17. Diferenca midis të njëjtit numër njësish dhe 10 është gjetur. Është e barabartë me 8. Në katror: 8x8 = 64. Numri 64 i shtohet në të djathtë rezultatit të mëparshëm 17. Numri përfundimtar është 1764. Nëse numri është në rangun nga 51 deri në 59, atëherë i njëjti algoritëm përdoret për ta vendosur në katror, ​​numrit duhet t'i shtohet vetëm 25 e atyre.

Si të vendosni në katror një numër dyshifror në kokën tuaj. Nëse një person di të sheshojë numra njëshifror, me fjalë të tjera, nëse e njeh tabelën e shumëzimit, nuk do të ketë probleme në llogaritjen e katrorëve të numrave dyshifrorë. Shembull. Ju duhet të vendosni në katror numrin dyshifror 36. Ky numër shumëzohet me numrin e dhjetësheve të tij. 36x3=8. Më pas duhet të gjeni prodhimin e shifrave të numrit: 3x6=18. Më pas shtoni të dyja rezultatet. 108+18=126. Hapi tjetër: ju duhet të vendosni në katror njësitë e numrit origjinal: 6x6=36. Në produktin që rezulton, përcaktohet numri i dhjetëra - 3 dhe i shtohet rezultatit të mëparshëm: 126 + 3 = 129. Dhe hapi i fundit. Në të djathtë të rezultatit të marrë caktohet numri i njësive të numrit origjinal, në në këtë shembull - 6. Rezultati përfundimtar– numri 1296.

Ka shumë mënyra për të sheshuar numra të ndryshëm. Disa nga algoritmet e mësipërme janë mjaft të thjeshta, të tjerët janë mjaft të rëndë dhe të pakuptueshëm në shikim të parë. Njerëzit kanë përdorur shumë prej tyre për shekuj. Secili person mund të zhvillojë algoritmet e tij më të kuptueshme dhe interesante. Por nëse ka probleme me numërimi verbal ose lindin vështirësi të tjera, do t'ju duhet të tërheqni mjete teknike.

Aftësia për të numëruar katrorët e numrave në kokën tuaj mund të jetë e dobishme në të ndryshme situatat e jetës Për shembull, për vlerësimin e shpejtë të transaksioneve të investimeve, për llogaritjen e sipërfaqeve dhe vëllimeve, si dhe në shumë raste të tjera. Përveç kësaj, aftësia për të numëruar katrorët në kokën tuaj mund të shërbejë si një demonstrim i juaj aftësitë intelektuale. Ky artikull diskuton metodat dhe algoritmet që ju lejojnë të mësoni këtë aftësi.

Shuma në katror dhe diferenca në katror

Një nga mënyrat më të thjeshta për të vendosur në katror numrat dyshifrorë është një teknikë e bazuar në përdorimin e formulave të shumës në katror dhe diferencës në katror:

Për të përdorur këtë metodë, ju duhet të zbërtheni një numër dyshifror në shumën e një shumëfishi të 10 dhe një numër më të vogël se 10. Për shembull:

• 37 2 = (30+7) 2 = 30 2 + 2*30*7 + 7 2 = 900+420+49 = 1 369
• 94 2 = (90+4) 2 = 90 2 + 2*90*4 + 4 2 = 8100+720+16 = 8 836

Pothuajse të gjitha teknikat katrore (të cilat përshkruhen më poshtë) bazohen në formulat e shumës në katror dhe diferencës në katror. Këto formula bënë të mundur identifikimin e një numri algoritmesh që thjeshtojnë katrorin në disa raste të veçanta.

Një shesh afër një sheshi të njohur

Nëse numri në katror është afër një numri katrorin e të cilit ne e dimë, mund të përdorim një nga katër teknikat për aritmetikë të thjeshtuar mendore:

1 më shumë:

Metodologjia: në katrorin e një numri më pak shtojmë vetë numrin dhe numrin një më pak.

• 31 2 = 30 2 + 31 + 30 = 961
• 16 2 = 15 2 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

1 më pak:

Metodologjia: Nga katrori i një numri që është një më shumë, ne zbresim vetë numrin dhe numrin që është një më shumë.

• 19 2 = 20 2 - 19 - 20 = 400 - 39 = 361
• 24 2 = 25 2 - 24 - 25 = 625 - 25 - 24 = 576

edhe 2

Metodologjia: në katrorin e numrit 2 më pak shtojmë dyfishin e shumës së vetë numrit dhe numrin 2 më pak.

• 22 2 = 20 2 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
• 27 2 = 25 2 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

2 më pak

Metodologjia: nga katrori i një numri 2 më shumë, zbrit dy herë shumën e vetë numrit dhe numrin 2 më shumë.

• 48 2 = 50 2 - 2*(50+48) = 2500 - 196 = 2 304
• 98 2 = 100 2 - 2*(100+98) = 10 000 - 396 = 9 604

Të gjitha këto teknika mund të vërtetohen lehtësisht duke nxjerrë algoritme nga formulat e shumës në katror dhe diferencës në katror (të përmendura më sipër).

Sheshi i numrave që mbarojnë me 5

Në katrorin e numrave që mbarojnë me 5. Algoritmi është i thjeshtë. Numri deri në pesë të fundit shumëzohet me të njëjtin numër plus një. Numrit të mbetur i shtojmë 25.

• 15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225
• 25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625
• 85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Kjo është gjithashtu e vërtetë për shembujt më kompleks:

• 155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Sheshi i numrave afër 50

Numëroni katrorin e numrave që janë në variojnë nga 40 në 60, mundesh shume në një mënyrë të thjeshtë. Algoritmi është si më poshtë: në 25 shtojmë (ose zbresim) aq sa numri është më i madh (ose më i vogël) se 50. Këtë shumë (ose ndryshim) e shumëzojmë me 100. Këtij prodhimi i shtojmë katrorin e diferencës ndërmjet numri është në katror dhe pesëdhjetë. Shihni algoritmin në veprim duke përdorur shembuj:

• 44 2 = (25-6)*100 + 6 2 = 1900 + 36 = 1936
• 53 2 = (25+3)*100 + 3 2 = 2800 + 9 = 2809

Sheshi i numrave treshifrorë

katrore numra treshifrorë mund të bëhet duke përdorur një nga formulat e shkurtuara të shumëzimit:

Nuk mund të thuhet se kjo metodë është e përshtatshme për numërimi me gojë, por sidomos raste të vështira mund ta përdorni:

436 2 = (400+30+6) 2 = 400 2 + 30 2 + 6 2 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096

Trajnimi

Nëse dëshironi të përmirësoni aftësitë tuaja në këtë temë këtë mësim, mund të përdorni lojën e mëposhtme. Pikët që merrni ndikohen nga korrektësia e përgjigjeve tuaja dhe koha e kaluar për përfundimin. Ju lutemi vini re se numrat janë të ndryshëm çdo herë.

Libri "Magjia e numrave" flet për dhjetëra truke që thjeshtojnë të zakonshmen operacionet matematikore. Doli se shumëzimi dhe pjesëtimi i gjatë janë shekullit të kaluar, por ka shumë më tepër mënyra efektive ndarjet në mendje.

Këtu janë 10 truket më interesante dhe më të dobishme.

Duke shumëzuar "3 me 1" në kokën tuaj

Shumëzimi i numrave treshifrorë me numra njëshifror është shumë operacion i thjeshtë. Gjithçka që duhet të bëni është të thyeni detyrë e madhe për disa të vogla.

Shembull: 320×7

1. Ndani numrin 320 në dy të tjerë numrat e thjeshtë: 300 dhe 20.
2. Ne shumëzojmë 300 me 7 dhe 20 me 7 veçmas (2100 dhe 140).
3. Mblidhni numrat që rezultojnë (2240).

Katrorja e numrave dyshifrorë

Sheshi shifra të dyfishta jo shumë më e vështirë. Ju duhet ta ndani numrin me dy dhe të merrni një përgjigje të përafërt.

Shembull: 41^2

1. Zbrisni 1 nga 41 për të marrë 40 dhe shtoni 1 në 41 për të marrë 42.
2. Ne i shumëzojmë dy numrat që rezultojnë duke përdorur këshillën e mëparshme (40 × 42 = 1680).
3. E shtojmë katrorin e numrit me shumën me të cilën jemi ulur dhe rritur 41 (1,680 + 1^2 = 1,681).

Rregulli kryesor këtu është të ktheni numrin që kërkoni në disa numra të tjerë, të cilët janë shumë më të lehtë për t'u shumëzuar. Për shembull, për numrin 41 këta janë numrat 42 dhe 40, për numrin 77 - 84 dhe 70. Kjo do të thotë, ne zbresim dhe mbledhim të njëjtin numër.

Në çast katrore një numër që mbaron me 5

Me katrorët e numrave që mbarojnë me 5, nuk ka nevojë të tendoset fare. Gjithçka që duhet të bëni është të shumëzoni shifrën e parë me numrin një më të lartë dhe të shtoni 25 në fund të numrit.

Shembull: 75^2

Pjesëtimi me një numër njëshifror

Ndarja mendore është një aftësi mjaft e dobishme. Mendoni se sa shpesh i ndajmë numrat çdo ditë. Për shembull, një faturë në një restorant.

Shembull: 675: 8

1. Le të gjejmë përgjigje të përafërta duke shumëzuar 8 me numra të përshtatshëm që japin rezultate ekstreme (8 × 80 = 640, 8 × 90 = 720). Përgjigja jonë është më shumë se 80.
2. Zbrisni 640 nga 675. Pasi të keni marrë numrin 35, duhet ta ndani atë me 8 dhe të merrni 4 me një mbetje prej 3.
3. Përgjigja jonë përfundimtare është 84.3.

Nuk e marrim përgjigjen më të saktë (përgjigja e saktë është 84.375), por do të pajtoheni që edhe një përgjigje e tillë do të jetë më se e mjaftueshme.

Lehtë për të marrë 15%

Për të zbuluar shpejt 15% të çdo numri, së pari duhet të llogarisni 10% të tij (duke lëvizur numrin dhjetor një vend në të majtë), pastaj ndani numrin që rezulton me 2 dhe shtoni atë në 10%.

Shembull: 15% nga 650

1. Ne gjejmë 10% - 65.
2. Ne gjejmë gjysmën e 65 - kjo është 32.5.
3. Shtoni 32,5 në 65 dhe merrni 97,5.

Truk i parëndësishëm

Ndoshta të gjithë e kemi hasur këtë truk:

Mendoni për çdo numër. Shumëzojeni me 2. Shtoni 12. Pjestoni shumën me 2. Zbrisni numrin origjinal prej tij.

Ju keni 6, apo jo? Pavarësisht se çfarë dëshironi, do të merrni një 6. Ja pse:

1. 2x (dyfishoni numrin).
2. 2x + 12 (shtoni 12).
3. (2x + 12) : 2 = x + 6 (pjestojeni me 2).
4. x + 6 − x (zbrisni numrin origjinal).

Ky truk bazohet në rregullat elementare algjebër. Prandaj, nëse ndonjëherë dëgjoni se dikush është ngatërruar me të, vishni buzëqeshjen tuaj më arrogante, hidhni një vështrim përçmues dhe tregojini të gjithëve zgjidhjen. 🙂

Magjia e numrit 1089

Ky truk ka ekzistuar prej shekujsh.

Shkruani çdo numër treshifror, shifrat e të cilit janë në rend zbritës (për shembull, 765 ose 974). Tani shkruajeni atë rend i kundërt dhe zbres atë nga numri origjinal. Shtojini të njëjtën përgjigje përgjigjes që merrni, vetëm në rend të kundërt.

Çfarëdo numri të zgjidhni, rezultati do të jetë 1089.

Rrënjët e shpejta kubike

Pasi t'i mbani mend këto vlera, gjeni rrënjë kubike nga çdo numër do të jetë elementare e thjeshtë.

Shembull: rrënja kubike prej 19683

1. Marrim vlerën e mijërave (19) dhe shikojmë se mes cilit numra ndodhet (8 dhe 27). Prandaj, shifra e parë në përgjigje do të jetë 2, dhe përgjigja qëndron në intervalin 20+.
2. Çdo shifër nga 0 në 9 shfaqet një herë në tabelë si shifra e fundit e kubit.
3. Meqenëse shifra e fundit në problem është 3 (19,683), kjo korrespondon me 343 = 7^3. Prandaj, shifra e fundit e përgjigjes është 7.
4. Përgjigja është 27.

Shënim: truku funksionon vetëm kur numri origjinal është kubi i një numri të plotë.

Rregulli 70

Për të gjetur numrin e viteve që duhen që paratë tuaja të dyfishohen, ju pjesëtoni 70 me normën vjetore të interesit.

Shembull: numri i viteve që duhen që paratë të dyfishohen me një normë interesi vjetore prej 20%.

70:20 = 3.5 vjet

Rregulli 110

Për të gjetur numrin e viteve që duhen për të trefishuar paratë tuaja, ju pjesëtoni 110 me normën vjetore të interesit.

Shembull: Numri i viteve që duhen për të trefishuar paratë me një normë interesi vjetore prej 12%.

110: 12 = 9 vjet

Matematika është një shkencë magjike. Edhe nëse e tillë truket e thjeshta surprizë, çfarë truke të tjera mund të gjeni?