2 si dhjetore. Dhjetra, përkufizime, shënime, shembuj, veprime me numra dhjetorë

Në këtë artikull do të shohim se si shndërrimi i thyesave në dhjetore, dhe gjithashtu merrni parasysh procesin e kundërt - konvertimin e thyesave dhjetore në thyesa të zakonshme. Këtu do të përshkruajmë rregullat për konvertimin e thyesave dhe do të japim zgjidhje të detajuara shembuj tipikë.

Navigimi i faqes.

Shndërrimi i thyesave në dhjetore

Le të shënojmë sekuencën me të cilën do të merremi shndërrimi i thyesave në dhjetore.

Së pari, ne do të shohim se si të përfaqësojmë thyesat me emërues 10, 100, 1,000, ... si dhjetore. Kjo shpjegohet me faktin se thyesat dhjetore janë në thelb një formë kompakte e shkrimit të thyesave të zakonshme me emërues 10, 100, ....

Pas kësaj, do të shkojmë më tej dhe do të tregojmë se si të shkruajmë çdo thyesë të zakonshme (jo vetëm ato me emërues 10, 100, ...) si thyesë dhjetore. Kur thyesat e zakonshme trajtohen në këtë mënyrë, fitohen si thyesat dhjetore të fundme ashtu edhe thyesat dhjetore periodike të pafundme.

Tani le të flasim për gjithçka në rregull.

Shndërrimi i thyesave të zakonshme me emërues 10, 100, ... në dhjetore

Disa thyesa të duhura kërkojnë "përgatitje paraprake" përpara se të shndërrohen në dhjetore. Kjo vlen për thyesat e zakonshme, numri i shifrave në numëruesin e të cilave është më i vogël se numri i zerove në emërues. Për shembull, thyesa e zakonshme 2/100 duhet së pari të përgatitet për shndërrim në thyesë dhjetore, por thyesa 9/10 nuk ka nevojë për përgatitje.

"Përgatitja paraprake" e thyesave të zakonshme të duhura për shndërrimin në thyesa dhjetore konsiston në shtimin e kaq shumë zero në të majtë të numëruesit sa sasinë totale shifrat u bënë të barabarta me numrin e zeros në emërues. Për shembull, një fraksion pas shtimit të zerave do të duket si .

Pasi të keni përgatitur një fraksion të duhur, mund të filloni ta shndërroni atë në një dhjetore.

Le të japim rregulli për konvertimin e një thyese të zakonshme të duhur me një emërues 10, ose 100, ose 1000, ... në një thyesë dhjetore. Ai përbëhet nga tre hapa:

• shkruani 0;
• pas saj vendosim një pikë dhjetore;
• E shkruajmë numrin nga numëruesi (së bashku me zerat e shtuara, nëse i kemi shtuar).

Le të shqyrtojmë zbatimin e këtij rregulli kur zgjidhim shembuj.

Shembull.

Shndërroje thyesën e duhur 37/100 në një dhjetore.

Zgjidhje.

Emëruesi përmban numrin 100, i cili ka dy zero. Numëruesi përmban numrin 37, shënimi i tij ka dy shifra, prandaj, kjo fraksion nuk ka nevojë të përgatitet për shndërrim në një thyesë dhjetore.

Tani shkruajmë 0, vendosim një presje dhjetore dhe shkruajmë numrin 37 nga numëruesi dhe marrim thyesën dhjetore 0,37.

Përgjigje:

0,37 .

Për të forcuar aftësitë e shndërrimit të thyesave të zakonshme të rregullta me numërues 10, 100, ... në thyesa dhjetore, do të analizojmë zgjidhjen në një shembull tjetër.

Shembull.

Shkruani thyesën e duhur 107/10.000.000 si dhjetore.

Zgjidhje.

Numri i shifrave në numërues është 3, dhe numri i zerave në emërues është 7, kështu që kjo thyesë e zakonshme ka nevojë për përgatitje për shndërrim në dhjetor. Ne duhet të shtojmë 7-3=4 zero në të majtë në numërues në mënyrë që numri i përgjithshëm i shifrave atje të bëhet i barabartë me numrin e zerove në emërues. marrim.

Gjithçka që mbetet është të krijohet thyesa dhjetore e kërkuar. Për ta bërë këtë, së pari, shkruajmë 0, së dyti, vendosim presje, së treti, shkruajmë numrin nga numëruesi së bashku me zerat 0000107, si rezultat kemi një thyesë dhjetore 0.0000107.

Përgjigje:

0,0000107 .

Thyesat e pasakta nuk kërkojnë ndonjë përgatitje kur shndërrohen në dhjetore. Duhet të respektohen sa vijon rregullat për shndërrimin e thyesave të pasakta me emërues 10, 100, ... në dhjetore:

• shkruani numrin nga numëruesi;
• veçuar pikë dhjetore ka po aq shifra në të djathtë sa ka zero në emëruesin e thyesës origjinale.

Le të shohim zbatimin e këtij rregulli kur zgjidhim një shembull.

Shembull.

Shndërroje thyesën e papërshtatshme 56,888,038,009/100,000 në një dhjetore.

Zgjidhje.

Së pari, shkruajmë numrin nga numëruesi 56888038009, dhe së dyti, 5 shifrat në të djathtë i ndajmë me një pikë dhjetore, pasi emëruesi i thyesës origjinale ka 5 zero. Si rezultat, kemi thyesën dhjetore 568880.38009.

Përgjigje:

568 880,38009 .

Për të kthyer një numër të përzier në një thyesë dhjetore, emëruesi i pjesës thyesore të së cilës është numri 10, ose 100, ose 1000, ..., mund ta shndërroni numrin e përzier në një thyesë të zakonshme të pasaktë, dhe më pas të shndërroni atë që rezulton. thyesë në një thyesë dhjetore. Por mund të përdorni edhe sa vijon rregulli për shndërrimin e numrave të përzier me një emërues thyesor 10, ose 100, ose 1000, ... në thyesa dhjetore:

• nëse është e nevojshme, kryeni " përgatitje paraprake» pjesë thyesore e numrit origjinal të përzier, duke shtuar sasia e kërkuar zero në të majtë në numërues;
• shkruani pjesën e plotë të numrit të përzier origjinal;
• vendos një pikë dhjetore;
• Ne shkruajmë numrin nga numëruesi së bashku me zerot e shtuara.

Le të shohim një shembull në të cilin plotësojmë të gjithë hapat e nevojshëm për të paraqitur një numër të përzier si thyesë dhjetore.

Shembull.

Përkthejeni numër i përzier në një thyesë dhjetore.

Zgjidhje.

Emëruesi i pjesës thyesore ka 4 zero, dhe numëruesi përmban numrin 17, i përbërë nga 2 shifra, prandaj, duhet të shtojmë dy zero në të majtë në numërues në mënyrë që numri i shifrave atje të bëhet i barabartë me numrin e zero në emërues. Pasi ta keni bërë këtë, numëruesi do të jetë 0017.

Tani shkruajmë pjesën e plotë të numrit origjinal, domethënë numrin 23, vendosim një pikë dhjetore, pas së cilës shkruajmë numrin nga numëruesi së bashku me zerot e shtuara, domethënë 0017, dhe marrim dhjetorin e dëshiruar. fraksioni 23.0017.

Le të shkruajmë shkurtimisht të gjithë zgjidhjen: .

Pa dyshim, ishte e mundur që së pari të përfaqësohej një numër i përzier në formë thyesa e duhur, pastaj kthejeni atë në një thyesë dhjetore. Me këtë qasje, zgjidhja duket si kjo: .

Përgjigje:

23,0017 .

Shndërrimi i thyesave në dhjetore periodike të fundme dhe të pafundme

Jo vetëm thyesat e zakonshme me emërues 10, 100, ... mund të shndërrohen në thyesa dhjetore, por thyesat e zakonshme me emërues të tjerë. Tani do të kuptojmë se si bëhet kjo.

Në disa raste, thyesa e zakonshme origjinale reduktohet lehtësisht në një nga emëruesit 10, ose 100, ose 1000, ... (shih sjelljen e një thyese të zakonshme në një emërues të ri), pas së cilës nuk është e vështirë të përfaqësohet thyesa që rezulton si thyesë dhjetore. Për shembull, është e qartë se thyesa 2/5 mund të reduktohet në një thyesë me emërues 10, për këtë ju duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me 2, gjë që do të japë thyesën 4/10, e cila, sipas rregullat e diskutuara në paragrafin e mëparshëm, konvertohen lehtësisht në thyesën dhjetore 0, 4.

Në raste të tjera, ju duhet të përdorni një metodë tjetër të konvertimit të një thyese të zakonshme në një dhjetore, të cilën ne tani vazhdojmë ta shqyrtojmë.

Për të kthyer një thyesë të zakonshme në një thyesë dhjetore, numëruesi i fraksionit ndahet me emëruesin, numëruesi zëvendësohet fillimisht nga një thyesë dhjetore e barabartë me çdo numër zero pas pikës dhjetore (për këtë folëm në pjesën e barabartë dhe thyesat dhjetore të pabarabarta). Në këtë rast, pjesëtimi kryhet njësoj si pjesëtimi me një kolonë numrash natyrorë, dhe në herës vendoset një pikë dhjetore kur përfundon pjesëtimi i të gjithë pjesës së dividentit. E gjithë kjo do të bëhet e qartë nga zgjidhjet e shembujve të dhënë më poshtë.

Shembull.

Shndërroje thyesën 621/4 në një dhjetore.

Zgjidhje.

Le të paraqesim numrin në numëruesin 621 si thyesë dhjetore, duke shtuar një pikë dhjetore dhe disa zero pas saj. Së pari, le të shtojmë 2 shifra 0, më vonë, nëse është e nevojshme, gjithmonë mund të shtojmë më shumë zero. Pra, ne kemi 621.00.

Tani le ta ndajmë numrin 621,000 me 4 me një kolonë. Tre hapat e parë nuk ndryshojnë nga ndarja e gjatë numrat natyrorë, pas tyre vijmë në foton e mëposhtme:

Kështu arrijmë në pikën dhjetore në dividend, dhe pjesa e mbetur është e ndryshme nga zero. Në këtë rast, vendosim një pikë dhjetore në herës dhe vazhdojmë ndarjen në një kolonë, duke mos i kushtuar vëmendje presjeve:

Kjo plotëson ndarjen, dhe si rezultat marrim thyesën dhjetore 155,25, e cila korrespondon me thyesën e zakonshme origjinale.

Përgjigje:

155,25 .

Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjen e një shembulli tjetër.

Shembull.

Shndërroje thyesën 21/800 në një dhjetore.

Zgjidhje.

Për ta kthyer këtë thyesë të zakonshme në një dhjetore, ne e ndajmë me një kolonë të thyesës dhjetore 21,000 ... me 800. Pas hapit të parë, do të duhet të vendosim një pikë dhjetore në herës, dhe më pas të vazhdojmë ndarjen:

Më në fund, morëm pjesën e mbetur 0, kjo përfundon shndërrimin e thyesës së zakonshme 21/400 në një thyesë dhjetore dhe arritëm në thyesën dhjetore 0,02625.

Përgjigje:

0,02625 .

Mund të ndodhë që kur e pjesëtojmë numëruesin me emëruesin e një fraksioni të zakonshëm, ende nuk marrim një mbetje prej 0. Në këto raste, ndarja mund të vazhdojë pafundësisht. Sidoqoftë, duke filluar nga një hap i caktuar, mbetjet fillojnë të përsëriten periodikisht, dhe numrat në herës përsëriten gjithashtu. Kjo do të thotë që thyesa origjinale shndërrohet në një thyesë dhjetore periodike të pafundme. Le ta tregojmë këtë me një shembull.

Shembull.

Shkruaje thyesën 19/44 si dhjetore.

Zgjidhje.

Për të kthyer një thyesë të zakonshme në një dhjetore, kryeni pjesëtimin me kolonë:

Tashmë është e qartë se gjatë pjesëtimit filluan të përsëriten mbetjet 8 dhe 36, ndërsa në herës përsëriten numrat 1 dhe 8. Kështu, thyesa e zakonshme origjinale 19/44 shndërrohet në një thyesë dhjetore periodike 0,43181818...=0,43(18).

Përgjigje:

0,43(18) .

Për të përfunduar këtë pikë, do të kuptojmë se cilat thyesa të zakonshme mund të shndërrohen në thyesa dhjetore të fundme dhe cilat mund të shndërrohen vetëm në ato periodike.

Le të kemi një thyesë të zakonshme të pareduktueshme para nesh (nëse thyesa është e reduktueshme, atëherë së pari e zvogëlojmë thyesën), dhe duhet të zbulojmë se në cilën thyesë dhjetore mund të shndërrohet - e fundme ose periodike.

Është e qartë se nëse një thyesë e zakonshme mund të reduktohet në një nga emëruesit 10, 100, 1,000, ..., atëherë thyesa që rezulton mund të shndërrohet lehtësisht në një thyesë dhjetore përfundimtare sipas rregullave të diskutuara në paragrafin e mëparshëm. Por për emëruesit 10, 100, 1000, etj. Jo të gjitha thyesat e zakonshme janë dhënë. Vetëm thyesat, emëruesit e të cilëve janë të paktën një nga numrat 10, 100, ... mund të reduktohen në emërues të tillë Dhe cilët numra mund të jenë pjesëtues të 10, 100, ...? Numrat 10, 100, ... do të na lejojnë t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje, dhe ata janë si më poshtë: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1,000 = 2 2 2 5 5 5, .... Nga kjo rezulton se pjesëtuesit janë 10, 100, 1000, etj. mund të ketë vetëm numra zbërthimet e të cilëve në faktorët kryesorë përmbajnë vetëm numrat 2 dhe (ose) 5.

Tani mund të bëjmë përfundim i përgjithshëm rreth konvertimit të thyesave në dhjetore:

• nëse në zbërthimin e emëruesit në faktorë të thjeshtë ka vetëm numra 2 dhe (ose) 5, atëherë kjo thyesë mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore përfundimtare;
• nëse përveç dysheve dhe pesësheve ka edhe të tjera në zgjerimin e emëruesit numrat e thjeshtë, atëherë kjo thyesë shndërrohet në një thyesë periodike dhjetore të pafundme.

Shembull.

Pa i kthyer thyesat e zakonshme në dhjetore, më tregoni se cili nga thyesat 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 mund të shndërrohet në thyesë dhjetore përfundimtare dhe cilat mund të shndërrohen vetëm në thyesë periodike.

Zgjidhje.

Emëruesi i thyesës 47/20 faktorizohet në faktorë të thjeshtë si 20=2·2·5. Ky zgjerim përmban vetëm dy dhe pesë, kështu që kjo thyesë mund të reduktohet në një nga emëruesit 10, 100, 1000, ... (në këtë shembull, në emëruesin 100), pra, mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore përfundimtare.

Zbërthimi i emëruesit të thyesës 7/12 në faktorë të thjeshtë ka formën 12=2·2·3. Meqenëse përmban një faktor kryesor prej 3, të ndryshëm nga 2 dhe 5, kjo thyesë nuk mund të përfaqësohet si dhjetore e fundme, por mund të shndërrohet në një dhjetor periodik.

Fraksioni 21/56 – kontraktues, pas tkurrjes merr formën 3/8. Faktorizimi i emëruesit në faktorë të thjeshtë përmban tre faktorë të barabartë me 2, prandaj, thyesa e përbashkët 3/8, dhe për këtë arsye thyesa e barabartë 21/56, mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore përfundimtare.

Së fundi, zgjerimi i emëruesit të thyesës 31/17 është vetë 17, prandaj kjo thyesë nuk mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore të fundme, por mund të shndërrohet në një thyesë periodike të pafundme.

Përgjigje:

47/20 dhe 21/56 mund të konvertohen në një thyesë dhjetore të fundme, por 7/12 dhe 31/17 mund të konvertohen vetëm në një thyesë periodike.

Thyesat e zakonshme nuk shndërrohen në dhjetore të pafundme jo periodike

Informacioni në paragrafin e mëparshëm lind pyetjen: "A mund të rezultojë pjesëtimi i numëruesit të një thyese me emëruesin në një thyesë të pafundme jo periodike?"

Përgjigje: jo. Kur konvertohet një thyesë e zakonshme, rezultati mund të jetë ose një thyesë dhjetore e fundme ose një thyesë dhjetore periodike e pafundme. Le të shpjegojmë pse është kështu.

Nga teorema e pjesëtueshmërisë me mbetje është e qartë se mbetja është gjithmonë më pak se pjesëtuesi, domethënë, nëse pjesëtojmë një numër të plotë me një numër të plotë q, atëherë pjesa e mbetur mund të jetë vetëm një nga numrat 0, 1, 2, ..., q−1. Nga kjo rrjedh se pasi kolona të ketë përfunduar pjesëtimin e pjesës së plotë të numëruesit të një thyese të zakonshme me emëruesin q, në jo më shumë se q hapat do të lindë një nga dy situatat e mëposhtme:

• ose do të marrim një mbetje prej 0, kjo do të përfundojë pjesëtimin dhe do të marrim thyesën dhjetore përfundimtare;
• ose do të marrim një mbetje që tashmë është shfaqur më parë, pas së cilës mbetjet do të fillojnë të përsëriten si në shembullin e mëparshëm (që kur ndahet numra të barabartë Mbetjet e barabarta fitohen në q, që rrjedh nga teorema e pjesëtueshmërisë e përmendur tashmë), kjo do të rezultojë në një thyesë dhjetore periodike të pafundme.

Nuk mund të ketë opsione të tjera, prandaj, kur konvertohet një thyesë e zakonshme në një thyesë dhjetore, nuk mund të merret një thyesë dhjetore e pafundme jo periodike.

Nga arsyetimi i dhënë në këtë paragraf rezulton gjithashtu se gjatësia e periudhës së një thyese dhjetore është gjithmonë më e vogël se vlera e emëruesit të thyesës së zakonshme përkatëse.

Shndërrimi i numrave dhjetorë në thyesa

Tani le të kuptojmë se si të shndërrojmë një thyesë dhjetore në një fraksion të zakonshëm. Le të fillojmë me konvertimin e thyesave dhjetore përfundimtare në thyesa të zakonshme. Pas kësaj, ne do të shqyrtojmë një metodë për përmbysjen e thyesave dhjetore periodike të pafundme. Si përfundim, le të themi për pamundësinë e shndërrimit të thyesave dhjetore të pafundme jo periodike në thyesa të zakonshme.

Shndërrimi i numrave dhjetorë në thyesa

Marrja e një thyese që shkruhet si dhjetore përfundimtare është mjaft e thjeshtë. Rregulli për shndërrimin e një thyese dhjetore përfundimtare në një thyesë të zakonshme përbëhet nga tre hapa:

• së pari, shkruani thyesën dhjetore të dhënë në numërues, pasi të keni hequr më parë pikën dhjetore dhe të gjitha zerat në të majtë, nëse ka;
• së dyti, shkruani një në emërues dhe shtoni atij aq zero sa ka shifra pas presjes dhjetore në thyesën dhjetore origjinale;
• së treti, nëse është e nevojshme, zvogëloni fraksionin që rezulton.

Le të shohim zgjidhjet e shembujve.

Shembull.

Shndërroni numrin dhjetor 3,025 në një thyesë.

Zgjidhje.

Nëse heqim pikën dhjetore nga thyesa dhjetore origjinale, marrim numrin 3,025. Nuk ka zero në të majtë që do t'i hidhnim. Pra, ne shkruajmë 3,025 në numëruesin e thyesës së dëshiruar.

Ne shkruajmë numrin 1 në emërues dhe shtojmë 3 zero në të djathtë të tij, pasi në thyesën dhjetore origjinale ka 3 shifra pas presjes dhjetore.

Pra, ne morëm thyesën e përbashkët 3,025/1,000. Kjo pjesë mund të zvogëlohet me 25, marrim .

Përgjigje:

.

Shembull.

Shndërroje thyesën dhjetore 0,0017 në një thyesë.

Zgjidhje.

Pa një pikë dhjetore, thyesa dhjetore origjinale duket si 00017, duke hedhur poshtë zerot në të majtë, marrim numrin 17, i cili është numëruesi i fraksionit të zakonshëm të dëshiruar.

Ne shkruajmë një me katër zero në emërues, pasi thyesa dhjetore origjinale ka 4 shifra pas presjes dhjetore.

Si rezultat, kemi një fraksion të zakonshëm 17/10,000. Kjo thyesë është e pareduktueshme dhe shndërrimi i një thyese dhjetore në një thyesë të zakonshme është i plotë.

Përgjigje:

.

Kur pjesë e tërë thyesa dhjetore përfundimtare origjinale është e ndryshme nga zero, atëherë ajo mund të shndërrohet menjëherë në një numër të përzier, duke anashkaluar thyesën e zakonshme. Le të japim Rregulli për shndërrimin e një thyese dhjetore përfundimtare në një numër të përzier:

• numri para presjes dhjetore duhet të shkruhet si pjesë e plotë e numrit të përzier të dëshiruar;
• në numëruesin e pjesës thyesore duhet të shkruani numrin e marrë nga pjesa thyesore e thyesës dhjetore origjinale pasi të keni hedhur të gjitha zerot në të majtë;
• në emëruesin e pjesës thyesore duhet të shkruani numrin 1, të cilit i shtoni aq zero djathtas sa ka shifra pas presjes dhjetore në thyesën dhjetore origjinale;
• nëse është e nevojshme, zvogëloni pjesën e pjesshme të numrit të përzier që rezulton.

Le të shohim një shembull të konvertimit të një thyese dhjetore në një numër të përzier.

Shembull.

Shprehni thyesën dhjetore 152.06005 si numër të përzier

Tashmë kemi thënë se ka thyesa e zakonshme Dhe dhjetore. Aktiv për momentin I kemi studiuar pak thyesat. Mësuam se ka thyesa të rregullta dhe të pasakta. Mësuam gjithashtu se thyesat e zakonshme mund të zvogëlohen, shtohen, zbriten, shumëzohen dhe pjesëtohen. Dhe mësuam gjithashtu se ekzistojnë të ashtuquajturat numra të përzier, të cilët përbëhen nga një numër i plotë dhe një pjesë thyesore.

Ne ende nuk i kemi hulumtuar plotësisht thyesat e zakonshme. Ka shumë hollësi dhe detaje për të cilat duhen folur, por sot do të fillojmë të studiojmë dhjetore thyesat, pasi thyesat e zakonshme dhe dhjetore shpesh duhet të kombinohen. Kjo do të thotë, kur zgjidhni probleme duhet të përdorni të dy llojet e thyesave.

Ky mësim mund të duket i ndërlikuar dhe konfuz. Kjo është krejt normale. Këto lloj mësimesh kërkojnë që ato të studiohen dhe jo të skremohen sipërfaqësisht.

Shprehja e sasive në formë thyesore

Ndonjëherë është e përshtatshme të tregosh diçka formë thyesore. Për shembull, një e dhjeta e një decimetri shkruhet kështu:

Kjo shprehje do të thotë se një decimetër u nda në dhjetë pjesë dhe nga këto dhjetë pjesë u mor një pjesë:

Siç mund ta shihni në figurë, një e dhjeta e një decimetri është një centimetër.

Le të shqyrtojmë shembulli tjetër. Tregoni 6 cm dhe 3 mm të tjera në centimetra në formë të pjesshme.

Pra, duhet të shprehni 6 cm dhe 3 mm në centimetra, por në formë të pjesshme. Tashmë kemi 6 centimetra të plota:

por kanë mbetur edhe 3 milimetra. Si t'i tregojmë këto 3 milimetra, dhe në centimetra? Fraksionet vijnë në shpëtim. 3 milimetra është pjesa e tretë e një centimetri. Dhe pjesa e tretë e një centimetri shkruhet cm

Një fraksion do të thotë se një centimetër është ndarë në dhjetë pjesë të barabarta dhe nga këto dhjetë pjesë janë marrë tre pjesë (tre nga dhjetë).

Si rezultat, ne kemi gjashtë centimetra të plota dhe tre të dhjetat e një centimetri:

Në këtë rast, 6 tregon numrin e centimetrave të plota, dhe fraksioni tregon numrin e centimetrave të pjesshëm. Kjo thyesë lexohet si "gjashtë pikë tre centimetra".

Thyesat, emëruesi i të cilave përmban numrat 10, 100, 1000, mund të shkruhen pa emërues. Fillimisht shkruani të gjithë pjesën, e më pas numëruesin e pjesës thyesore. Pjesa e plotë ndahet nga numëruesi i pjesës thyesore me presje.

Për shembull, le ta shkruajmë pa emërues. Për ta bërë këtë, së pari le të shkruajmë të gjithë pjesën. Pjesa e plotë është numri 6. Fillimisht shkruajmë këtë numër:

E gjithë pjesa është e regjistruar. Menjëherë pasi shkruajmë të gjithë pjesën vendosim presje:

Dhe tani shkruajmë numëruesin e pjesës thyesore. Në një numër të përzier, numëruesi i pjesës thyesore është numri 3. Shkruajmë një tre pas presjes dhjetore:

Çdo numër që paraqitet në këtë formë quhet dhjetore.

Prandaj, mund të tregoni 6 cm dhe 3 mm të tjera në centimetra duke përdorur një fraksion dhjetor:

6.3 cm

Do të duket kështu:

Në fakt, numrat dhjetorë janë të njëjtë me thyesat e zakonshme dhe numrat e përzier. E veçanta e thyesave të tilla është se emëruesi i pjesës së tyre thyesore përmban numrat 10, 100, 1000 ose 10000.

Ashtu si një numër i përzier, një thyesë dhjetore ka një pjesë të plotë dhe një pjesë thyesore. Për shembull, në një numër të përzier pjesa e plotë është 6, dhe pjesë thyesore Kjo .

Në thyesën dhjetore 6.3, pjesa e plotë është numri 6, dhe pjesa thyesore është numëruesi i thyesës, domethënë numri 3.

Ndodh gjithashtu që thyesat e zakonshme në emëruesin e të cilave numrat 10, 100, 1000 jepen pa pjesë të plotë. Për shembull, një thyesë jepet pa një pjesë të plotë. Për të shkruar një thyesë të tillë si dhjetore, fillimisht shkruani 0, pastaj vendosni presje dhe shkruani numëruesin e thyesës. Një thyesë pa emërues do të shkruhet si më poshtë:

Lexohet si "zero pikë pesë".

Shndërrimi i numrave të përzier në dhjetorë

Kur shkruajmë numra të përzier pa emërues, në këtë mënyrë i shndërrojmë në thyesa dhjetore. Kur konvertoni thyesat në dhjetore, ka disa gjëra që duhet të dini, për të cilat do të flasim tani.

Pasi të shkruhet e gjithë pjesa, është e nevojshme të numërohet numri i zerove në emëruesin e pjesës thyesore, pasi numri i zerove të pjesës thyesore dhe numri i shifrave pas presjes dhjetore në thyesën dhjetore duhet të jetë sa njëjtë. Çfarë do të thotë? Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm:

Në fillim

Dhe mund të shkruani menjëherë numëruesin e pjesës thyesore dhe thyesa dhjetore është gati, por patjetër që duhet të numëroni numrin e zerave në emëruesin e pjesës thyesore.

Pra, ne numërojmë numrin e zerove në pjesën thyesore të një numri të përzier. Emëruesi i pjesës thyesore ka një zero. Kjo do të thotë se në një thyesë dhjetore do të ketë një shifër pas presjes dhjetore dhe kjo shifër do të jetë numëruesi i pjesës thyesore të numrit të përzier, domethënë numri 2.

Kështu, kur konvertohet në një thyesë dhjetore, një numër i përzier bëhet 3.2.

Kjo thyesë dhjetore lexohet kështu:

"Tre pika dy"

"Të dhjetat" sepse numri 10 është në pjesën thyesore të një numri të përzier.

Shembulli 2. Shndërroni një numër të përzier në një dhjetor.

Shkruani të gjithë pjesën dhe vendosni presje:

Dhe mund të shkruani menjëherë numëruesin e pjesës thyesore dhe të merrni thyesën dhjetore 5.3, por rregulli thotë që pas presjes dhjetore duhet të ketë aq shifra sa ka zero në emëruesin e pjesës thyesore të numrit të përzier. Dhe shohim se emëruesi i pjesës thyesore ka dy zero. Kjo do të thotë që thyesa jonë dhjetore duhet të ketë dy shifra pas presjes dhjetore, jo një.

Në raste të tilla, numëruesi i pjesës thyesore duhet të modifikohet pak: shtoni një zero para numëruesit, domethënë para numrit 3.

Tani mund ta shndërroni këtë numër të përzier në një thyesë dhjetore. Shkruani të gjithë pjesën dhe vendosni presje:

Dhe shkruani numëruesin e pjesës thyesore:

Thyesa dhjetore 5.03 lexohet si më poshtë:

"Pesë pikë tre"

"Qindra" sepse emëruesi i pjesës thyesore të një numri të përzier përmban numrin 100.

Shembulli 3. Shndërroni një numër të përzier në një dhjetor.

Nga shembujt e mëparshëm, mësuam se për të kthyer me sukses një numër të përzier në një dhjetor, numri i shifrave në numëruesin e thyesës dhe numri i zerove në emëruesin e thyesës duhet të jenë të njëjta.

Para se të konvertohet një numër i përzier në një thyesë dhjetore, pjesa e tij thyesore duhet të modifikohet pak, domethënë, të sigurohet që numri i shifrave në numëruesin e pjesës thyesore dhe numri i zerove në emëruesin e pjesës thyesore janë njëjtë.

Para së gjithash, ne shikojmë numrin e zerove në emëruesin e pjesës thyesore. Ne shohim se ka tre zero:

Detyra jonë është të organizojmë tre shifra në numëruesin e pjesës thyesore. Tashmë kemi një shifër - ky është numri 2. Mbetet të shtojmë edhe dy shifra të tjera. Ata do të jenë dy zero. Shtojini ato para numrit 2. Si rezultat, numri i zerave në emërues dhe numri i shifrave në numërues do të jenë të njëjta:

Tani mund të filloni ta konvertoni këtë numër të përzier në një thyesë dhjetore. Fillimisht shkruajmë të gjithë pjesën dhe vendosim presje:

dhe shënoni menjëherë numëruesin e pjesës thyesore

3,002

Shohim se numri i shifrave pas presjes dhjetore dhe numri i zerove në emëruesin e pjesës thyesore të numrit të përzier janë të njëjtë.

Thyesa dhjetore 3.002 lexohet si më poshtë:

"Tre pikë dy mijëshe"

"Mijërat" sepse emëruesi i pjesës thyesore të numrit të përzier përmban numrin 1000.

Shndërrimi i thyesave në dhjetore

Thyesat e zakonshme me emërues 10, 100, 1000 ose 10000 mund të shndërrohen gjithashtu në dhjetore. Meqenëse një thyesë e zakonshme nuk ka një pjesë të plotë, fillimisht shkruani 0, pastaj vendosni presje dhe shkruani numëruesin e pjesës thyesore.

Edhe këtu numri i zerove në emërues dhe numri i shifrave në numërues duhet të jenë të njëjtë. Prandaj, duhet të jeni të kujdesshëm.

Shembulli 1.

E gjithë pjesa mungon, kështu që fillimisht shkruajmë 0 dhe vendosim presje:

Tani shikojmë numrin e zeros në emërues. Ne shohim që ka një zero. Dhe numëruesi ka një shifër. Kjo do të thotë që ju mund të vazhdoni me siguri thyesën dhjetore duke shkruar numrin 5 pas pikës dhjetore

Në thyesën dhjetore që rezulton 0.5, numri i shifrave pas pikës dhjetore dhe numri i zerove në emëruesin e thyesës janë të njëjta. Kjo do të thotë se thyesa është përkthyer saktë.

Thyesa dhjetore 0.5 lexohet si më poshtë:

"Zero pikë pesë"

Shembulli 2. Shndërroni një thyesë në një dhjetore.

Mungon një pjesë e tërë. Fillimisht shkruajmë 0 dhe vendosim presje:

Tani shikojmë numrin e zeros në emërues. Ne shohim se ka dy zero. Dhe numëruesi ka vetëm një shifër. Për ta bërë numrin e shifrave dhe numrin e zeros të njëjtë, shtoni një zero në numërues para numrit 2. Atëherë thyesa do të marrë formën . Tani numri i zerave në emërues dhe numri i shifrave në numërues janë të njëjtë. Kështu që ju mund të vazhdoni thyesën dhjetore:

Në thyesën dhjetore që rezulton 0,02, numri i shifrave pas pikës dhjetore dhe numri i zerave në emëruesin e thyesës janë të njëjta. Kjo do të thotë se thyesa është përkthyer saktë.

Thyesa dhjetore 0.02 lexohet si më poshtë:

"Pika dy zero."

Shembulli 3. Shndërroni një thyesë në një dhjetore.

Shkruani 0 dhe vendosni një presje:

Tani numërojmë numrin e zerove në emëruesin e thyesës. Ne shohim se ka pesë zero, dhe ka vetëm një shifër në numërues. Për ta bërë numrin e zerove në emërues dhe numrin e shifrave në numërues të njëjtë, duhet të shtoni katër zero në numërues para numrit 5:

Tani numri i zerave në emërues dhe numri i shifrave në numërues janë të njëjtë. Kështu mund të vazhdojmë me thyesën dhjetore. Shkruani numëruesin e thyesës pas presjes dhjetore

Në thyesën dhjetore që rezulton 0,00005, numri i shifrave pas presjes dhjetore dhe numri i zerave në emëruesin e thyesës janë të njëjta. Kjo do të thotë se thyesa është përkthyer saktë.

Thyesa dhjetore 0.00005 lexohet si më poshtë:

"Pikë zero pesëqind e mijëra."

Shndërrimi i thyesave të pasakta në dhjetore

Një thyesë e papërshtatshme është një thyesë në të cilën numëruesi është më i madh se emëruesi. Ka thyesa të papërshtatshme në të cilat emëruesi përmban numrat 10, 100, 1000 ose 10000. Thyesat e tilla mund të shndërrohen në dhjetore. Por para se të shndërrohen në një thyesë dhjetore, thyesat e tilla duhet të ndahen në të gjithë pjesën.

Shembulli 1.

Thyesa është një thyesë e papërshtatshme. Për të kthyer një thyesë të tillë në një dhjetore, fillimisht duhet të zgjidhni të gjithë pjesën e saj. Le të kujtojmë se si të izolojmë të gjithë pjesën e fraksioneve të pahijshme. Nëse e keni harruar, ju këshillojmë të ktheheni dhe ta studioni.

Pra, le të theksojmë të gjithë pjesën në thyesën e papërshtatshme. Kujtojmë se një fraksion do të thotë pjesëtim - në në këtë rast duke pjesëtuar numrin 112 me numrin 10

Le të shohim këtë foto dhe të mbledhim një numër të ri të përzier, si një grup ndërtimi për fëmijë. Numri 11 do të jetë pjesa e plotë, numri 2 do të jetë numëruesi i pjesës thyesore dhe numri 10 do të jetë emëruesi i pjesës thyesore.

Ne morëm një numër të përzier. Le ta kthejmë atë në një thyesë dhjetore. Dhe ne tashmë dimë se si t'i shndërrojmë numra të tillë në thyesa dhjetore. Fillimisht shkruani të gjithë pjesën dhe vendosni presje:

Tani numërojmë numrin e zerove në emëruesin e pjesës thyesore. Ne shohim që ka një zero. Dhe numëruesi i pjesës thyesore ka një shifër. Kjo do të thotë se numri i zerave në emëruesin e pjesës thyesore dhe numri i shifrave në numëruesin e pjesës thyesore janë të njëjta. Kjo na jep mundësinë që menjëherë të shkruajmë numëruesin e pjesës thyesore pas pikës dhjetore:

Në thyesën dhjetore që rezulton 11.2, numri i shifrave pas presjes dhjetore dhe numri i zerave në emëruesin e thyesës janë të njëjta. Kjo do të thotë se thyesa është përkthyer saktë.

Mjetet thyesë e papërshtatshme kur shndërrohet në thyesë dhjetore bëhet 11.2

Thyesa dhjetore 11.2 lexohet si më poshtë:

"Njëmbëdhjetë pikë dy."

Shembulli 2. Shndërroni thyesën e gabuar në dhjetore.

Është një thyesë e papërshtatshme sepse numëruesi është më i madh se emëruesi. Por mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore, pasi emëruesi përmban numrin 100.

Fillimisht, le të zgjedhim të gjithë pjesën e kësaj thyese. Për ta bërë këtë, ndani 450 me 100 me një qoshe:

Le të mbledhim një numër të ri të përzier - marrim . Dhe ne tashmë dimë se si t'i shndërrojmë numrat e përzier në thyesa dhjetore.

Shkruani të gjithë pjesën dhe vendosni presje:

Tani numërojmë numrin e zerove në emëruesin e pjesës thyesore dhe numrin e shifrave në numëruesin e pjesës thyesore. Shohim se numri i zerave në emërues dhe numri i shifrave në numërues janë të njëjtë. Kjo na jep mundësinë që menjëherë të shkruajmë numëruesin e pjesës thyesore pas pikës dhjetore:

Në thyesën dhjetore që rezulton 4.50, numri i shifrave pas presjes dhjetore dhe numri i zerave në emëruesin e thyesës janë të njëjta. Kjo do të thotë se thyesa është përkthyer saktë.

Kjo do të thotë që një thyesë e gabuar bëhet 4.50 kur shndërrohet në dhjetor.

Gjatë zgjidhjes së problemeve, nëse ka zero në fund të thyesës dhjetore, ato mund të hidhen poshtë. Le të hedhim edhe zeron në përgjigjen tonë. Pastaj marrim 4.5

Ky është një nga karakteristika interesante thyesat dhjetore. Ai qëndron në faktin se zerot që shfaqen në fund të një thyese nuk i japin peshë kësaj thyese. Me fjalë të tjera, dhjetoret 4.50 dhe 4.5 janë të barabarta. Le të vendosim një shenjë të barabartë mes tyre:

4,50 = 4,5

Shtrohet pyetja: pse ndodh kjo? Në fund të fundit, duket si 4.50 dhe 4.5 thyesa të ndryshme. I gjithë sekreti qëndron në vetinë themelore të thyesave, të cilat i studiuam më herët. Ne do të përpiqemi të vërtetojmë pse thyesat dhjetore 4.50 dhe 4.5 janë të barabarta, por pasi të studiojmë temën tjetër, e cila quhet "shndërrimi i një thyese dhjetore në një numër të përzier".

Shndërrimi i një numri dhjetor në një numër të përzier

Çdo thyesë dhjetore mund të kthehet përsëri në një numër të përzier. Për ta bërë këtë, mjafton të jeni në gjendje të lexoni thyesat dhjetore. Për shembull, le të konvertojmë 6.3 në një numër të përzier. 6.3 është gjashtë pikë tre. Së pari shkruajmë gjashtë numra të plotë:

dhe afër tre të dhjetave:

Shembulli 2. Shndërroni numrin dhjetor 3.002 në numër të përzier

3.002 është tre të plota dhe dy të mijta. Së pari shkruajmë tre numra të plotë

dhe pranë tij shkruajmë dy të mijëtat:

Shembulli 3. Shndërroni numrin dhjetor 4.50 në numër të përzier

4.50 është katër pikë pesëdhjetë. Shkruani katër numra të plotë

dhe pesëdhjetë e qindtat e ardhshme:

Meqë ra fjala, le të kujtojmë shembulli i fundit nga tema e mëparshme. Thamë se dhjetoret 4.50 dhe 4.5 janë të barabarta. Ne gjithashtu thamë se zeroja mund të hidhet. Le të përpiqemi të vërtetojmë se dhjetoret 4.50 dhe 4.5 janë të barabarta. Për ta bërë këtë, ne i kthejmë të dy thyesat dhjetore në numra të përzier.

Kur konvertohet në një numër të përzier, dhjetori 4.50 bëhet , dhe dhjetori 4.5 bëhet

Kemi dy numra të përzier dhe . Le t'i kthejmë këta numra të përzier në thyesa jo të duhura:

Tani kemi dy thyesa dhe . Është koha të kujtojmë vetinë bazë të një thyese, e cila thotë se kur shumëzoni (ose pjesëtoni) numëruesin dhe emëruesin e një thyese me të njëjtin numër, vlera e thyesës nuk ndryshon.

Pjesëtojmë thyesën e parë me 10

Morëm , dhe kjo është fraksioni i dytë. Kjo do të thotë që të dy janë të barabartë me njëri-tjetrin dhe të barabartë me të njëjtën vlerë:

Provoni të përdorni një kalkulator për të ndarë fillimisht 450 me 100, dhe më pas 45 me 10. Do të jetë një gjë qesharake.

Shndërrimi i një thyese dhjetore në një thyesë

Çdo thyesë dhjetore mund të kthehet përsëri në një thyesë. Për ta bërë këtë, përsëri, mjafton të jeni në gjendje të lexoni thyesat dhjetore. Për shembull, le të konvertojmë 0.3 në një fraksion të përbashkët. 0.3 është zero pikë tre. Së pari shkruajmë zero numra të plotë:

dhe afër tre të dhjetave 0. Zero tradicionalisht nuk shkruhet, kështu që përgjigja përfundimtare nuk do të jetë 0, por thjesht .

Shembulli 2. Shndërroje thyesën dhjetore 0,02 në një thyesë.

0.02 është zero pikë dy. Ne nuk e shkruajmë zero, kështu që shkruajmë menjëherë dy të qindtat

Shembulli 3. Shndërroni 0.00005 në thyesë

0.00005 është zero pikë pesë. Ne nuk e shkruajmë zero, kështu që shkruajmë menjëherë pesëqind mijëtat

Ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me tonën grup i ri VKontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja

Në formën:

± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …

ku ± është shenja e thyesës: ose +, ose -,

, është një pikë dhjetore që shërben si ndarës midis pjesëve të plota dhe thyesore të një numri,

dk- numra dhjetorë.

Në të njëjtën kohë, renditja e numrave para pikës dhjetore (në të majtë të saj) ka një fund (si min 1 për shifër), dhe pas pikës dhjetore (në të djathtë) mund të jetë edhe e fundme (përndryshe, atje mund të mos ketë fare shifra pas presjes dhjetore) dhe të pafundme.

Vlera dhjetore ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … është një numër real:

e cila është e barabartë me shumën e të fundme ose numër i pafund kushtet.

Performanca numra realë përdorimi i thyesave dhjetore është një përgjithësim i shkrimit të numrave të plotë në sistemi dhjetor Duke llogaritur. Paraqitja dhjetore e një numri të plotë nuk ka shifra pas pikës dhjetore, kështu që paraqitja duket si kjo:

± d m … d 1 d 0 ,

Dhe kjo përkon me shkrimin e numrit tonë në sistemin e numrave dhjetorë.

dhjetore- ky është rezultat i ndarjes së 1 në 10, 100, 1000 e kështu me radhë pjesë. Këto fraksione janë mjaft të përshtatshme për llogaritje, sepse ato bazohen në të njëjtin sistem pozicionor mbi të cilin bazohet numërimi dhe regjistrimi i numrave të plotë. Falë kësaj, regjistrimi dhe rregullat e veprimit me dhjetore pothuajse njësoj si për numrat e plotë.

Kur shkruani thyesa dhjetore, nuk keni nevojë të shënoni emëruesin, ai përcaktohet nga vendi i zënë nga shifra përkatëse. Fillimisht shkruajmë të gjithë pjesën e numrit, më pas vendosim një pikë dhjetore në të djathtë. Shifra e parë pas pikës dhjetore tregon numrin e të dhjetave, e dyta - numrin e të qindtave, e treta - numrin e të mijëtave, e kështu me radhë. Numrat që ndodhen pas presjes dhjetore janë dhjetore.

Për shembull:

Një nga avantazhet e thyesave dhjetore është se ato mund të reduktohen shumë lehtë në thyesa të zakonshme: numri pas presjes dhjetore (për ne është 5047) është numërues; emërues barazohet n-fuqia e 10, ku n- numri i numrave dhjetorë (për ne ky është n=4):

Kur nuk ka pjesë të plotë në një thyesë dhjetore, vendosim një zero para pikës dhjetore:

Vetitë e thyesave dhjetore.

1. Dhjetorja nuk ndryshon kur zerat shtohen djathtas:

13.6 =13.6000.

2. Dhjetorja nuk ndryshon kur hiqen zerot në fund të dhjetorit:

0.00123000 = 0.00123.

Kujdes! Ju nuk mund të hiqni zerat që NUK ndodhen në fund të thyesës dhjetore!

3. Thyesa dhjetore rritet me 10, 100, 1000 e kështu me radhë, kur e zhvendosim pikën dhjetore në 1, 2, 2 dhe kështu me radhë pozicionet në të djathtë, përkatësisht:

3,675 → 367,5 (fraksioni u rrit njëqind herë).

4. Thyesa dhjetore bëhet dhjetë, njëqind, mijë, e kështu me radhë herë më e vogël kur e zhvendosim pikën dhjetore në 1, 2, 3 dhe kështu me radhë pozicionet në të majtë, përkatësisht:

1536,78 → 1,53678 (fraksioni u bë një mijë herë më i vogël).

Llojet e thyesave dhjetore.

Thyesat dhjetore ndahen në përfundimtar, pafund Dhe dhjetore periodike.

Thyesa dhjetore përfundimtare është kjo është një fraksion që përmban një numër të fundëm shifrash pas presjes dhjetore (ose nuk ka fare), d.m.th. duket si kjo:

Një numër real mund të paraqitet si një thyesë dhjetore e fundme vetëm nëse ky numër është racional dhe kur shkruhet fraksion i pareduktueshëm p/q emërues q nuk ka faktorët kryesorë, të cilat janë të ndryshme nga 2 dhe 5.

Dhjetë e pafundme.

Përmban një grup numrash që përsëriten pafundësisht të thirrur periudhë. Periudha shkruhet në kllapa. Për shembull, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

Dhjetore periodike- kjo është një thyesë dhjetore e pafundme në të cilën sekuenca e shifrave pas pikës dhjetore, duke filluar nga një vend i caktuar, është një grup shifrash që përsëriten periodikisht. Me fjalë të tjera, fraksion periodik- një thyesë dhjetore që duket kështu:

Një fraksion i tillë zakonisht shkruhet shkurtimisht si më poshtë:

Grupi i numrave b 1 … b l, e cila përsëritet, është periudha e fraksionit, numri i shifrave në këtë grup është gjatësia e periudhës.

Kur në një thyesë periodike periudha vjen menjëherë pas presjes dhjetore, kjo do të thotë se thyesa është periodike e pastër. Kur ka numra midis pikës dhjetore dhe pikës së parë, atëherë thyesa është periodike të përziera, dhe grupi i shifrave pas presjes dhjetore deri në shifrën e 1-rë të periudhës është paraperiudha e fraksionit.

Për shembull, thyesa 1,(23) = 1,2323... është periodike e pastër, dhe fraksioni 0,1(23) = 0,12323... është periodik i përzier.

Prona kryesore thyesat periodike , për shkak të së cilës dallohen nga tërësia e thyesave dhjetore, qëndron në faktin se thyesat periodike dhe vetëm ato paraqesin numra racional. Më saktësisht, ndodh si më poshtë:

Çdo thyesë dhjetore pafundësisht periodike përfaqëson numër racional. Në të kundërt, kur një numër racional zgjerohet në një thyesë dhjetore të pafundme, kjo do të thotë se kjo thyesë do të jetë periodike.

Thyesat e shkruara në formën 0,8; 0,13; 2.856; 5.2; 0.04 quhet dhjetore. Në fakt, thyesat dhjetore janë një shënim i thjeshtuar thyesat e zakonshme. Ky shënim është i përshtatshëm për t'u përdorur për të gjitha thyesat, emëruesit e të cilëve janë 10, 100, 1000, e kështu me radhë.

Le të shohim shembuj (0.5 lexohet si, pika zero pesë);

(0.15 lexohet si, zero pikë pesëmbëdhjetë);

(5.3 lexohet si, pesë pika tre).

Ju lutemi vini re se në shënimin e një thyese dhjetore, një presje ndan pjesën e plotë të një numri nga pjesa thyesore, pjesa e plotë e një thyese të duhur është 0. Shënimi i pjesës thyesore të një thyese dhjetore përmban aq shifra sa ka zero në shënimin e emëruesit të thyesës së zakonshme përkatëse.

Le të shohim një shembull, , , .

Në disa raste, mund të jetë e nevojshme të trajtohet një numër natyror si dhjetor, pjesa thyesore e të cilit është zero. Është zakon të shkruhet se 5 = 5.0; 245 = 245.0 e kështu me radhë. Vini re se në shënimin dhjetor të një numri natyror, njësia e shifrës më pak të rëndësishme është 10 herë më e vogël se njësia e shifrës më domethënëse ngjitur. E njëjta veti vlen edhe për shkrimin e thyesave dhjetore. Prandaj, menjëherë pas pikës dhjetore ka një vend të dhjetave, pastaj një vend të qindsheve, pastaj një vend të njëmijëve, e kështu me radhë. Më poshtë janë emrat e shifrave të numrit 31.85431, dy kolonat e para janë pjesa e plotë, kolonat e mbetura janë pjesa thyesore.

Kjo thyesë lexohet si tridhjetë e një pikë tetëdhjetë e pesë mijë e katërqind e tridhjetë e njëqind e mijë.

Mbledhja dhe zbritja e numrave dhjetorë

Mënyra e parë është shndërrimi i thyesave dhjetore në thyesa të zakonshme dhe kryerja e mbledhjes.

Siç shihet nga shembulli, kjo metodë është shumë e papërshtatshme dhe është më mirë të përdoret metoda e dytë, e cila është më e saktë, pa i kthyer thyesat dhjetore në të zakonshme. Për të shtuar dy thyesa dhjetore, duhet:

• barazojnë numrin e shifrave pas presjes dhjetore në terma;
• shkruani termat njëri nën tjetrin në mënyrë që çdo shifër e termit të dytë të jetë nën shifrën përkatëse të termit të parë;
• shtoni numrat që rezultojnë në të njëjtën mënyrë që shtoni numrat natyrorë;
• Vendosni një presje në shumën që rezulton nën presjet në terma.

Le të shohim shembuj:

• barazojnë numrin e shifrave pas presjes dhjetore në minuend dhe subtrahend;
• shkruaje subtrahend nën minuend në mënyrë që çdo shifër e subtrahend është nën shifrën përkatëse të minuend;
• të kryejë zbritjen në të njëjtën mënyrë si zbriten numrat natyrorë;
• vendosni një presje në ndryshimin që rezulton nën presjet në minuend dhe subtrahend.

Le të shohim shembuj:

Në shembujt e diskutuar më sipër, mund të shihet se mbledhja dhe zbritja e thyesave dhjetore është kryer pak nga pak, domethënë në të njëjtën mënyrë siç kemi kryer veprime të ngjashme me numrat natyrorë. Ky është avantazhi kryesor i formës dhjetore të shkrimit të thyesave.

Shumëzimi i numrave dhjetorë

Për të shumëzuar një thyesë dhjetore me 10, 100, 1000, e kështu me radhë, duhet të zhvendosni pikën dhjetore në këtë thyesë djathtas me përkatësisht 1, 2, 3 dhe kështu me radhë. Prandaj, nëse presja zhvendoset në të djathtë me 1, 2, 3 e kështu me radhë shifra, atëherë fraksioni do të rritet në përputhje me rrethanat me 10, 100, 1000 e kështu me radhë herë. Për të shumëzuar dy thyesa dhjetore, duhet:

• shumëzojini ato si numra natyrorë, duke shpërfillur presjet;
• në produktin që rezulton, ndani me presje në të djathtë aq shifra sa ka pas presjeve në të dy faktorët së bashku.

Ka raste kur një vepër përmban më pak numra, nga sa dëshironi të ndani me presje, shtoni numrin e kërkuar të zerave majtas përpara këtij produkti dhe më pas zhvendoseni presjen majtas me numrin e kërkuar të shifrave.

Le të shohim shembuj: 2 * 4 = 8, pastaj 0.2 * 0.4 = 0.08; 23 * 35 = 805, pastaj 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Ka raste kur njëri prej shumëzuesve është i barabartë me 0.1; 0,01; 0.001 e kështu me radhë, më i përshtatshëm për t'u përdorur rregullin e mëposhtëm.

• Për të shumëzuar një dhjetore me 0,1; 0,01; 0,001 e kështu me radhë, ju duhet të zhvendosni pikën dhjetore majtas në këtë thyesë dhjetore me përkatësisht 1, 2, 3 dhe kështu me radhë.

Le të shohim shembuj: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Vetitë e shumëzimit të numrave natyrorë vlejnë edhe për thyesat dhjetore.

• ab = ba- vetia komutative e shumëzimit;
• (ab) c = a (bc) — veti asociative shumëzimi;
• a (b + c) = ab + ac — pronë distributive shumëzimi në lidhje me mbledhjen.

Ndarja dhjetore

Dihet se nëse pjesëtoni një numër natyror a në një numër natyror b do të thotë të gjesh një numër të tillë natyror c, e cila kur shumëzohet me b jep një numër a. Ky rregull mbetet i vërtetë nëse të paktën një nga numrat a, b, cështë një thyesë dhjetore.

Le të shohim një shembull: ju duhet të ndani 43.52 me 17 me një kënd, duke injoruar presjen. Në këtë rast, presja në herës duhet të vendoset menjëherë përpara shifrës së parë pasi të përdoret pika dhjetore në divident.

Ka raste kur dividenti është më i vogël se pjesëtuesi, atëherë pjesa e plotë e herësit është e barabartë me zero. Le të shohim një shembull:

Le të shohim një shembull tjetër interesant.

Procesi i ndarjes ka ndaluar sepse shifrat e dividentit kanë mbaruar dhe pjesa e mbetur nuk ka zero. Dihet se një thyesë dhjetore nuk do të ndryshojë nëse i shtohet ndonjë numër zero në të djathtë. Atëherë bëhet e qartë se numrat e dividentit nuk mund të mbarojnë.

Për të ndarë një thyesë dhjetore me 10, 100, 1000, e kështu me radhë, duhet të zhvendosni pikën dhjetore në këtë thyesë majtas me 1, 2, 3, e kështu me radhë. Le të shohim një shembull: 5.14: 10 = 0.514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Nëse dividenti dhe pjesëtuesi rriten njëkohësisht me 10, 100, 1000 e kështu me radhë herë, atëherë herësi nuk do të ndryshojë.

Merrni një shembull: 39,44: 1,6 = 24,65, rriteni dividentin dhe pjesëtuesin me 10 herë 394,4: 16 = 24,65 Është e drejtë të theksohet se pjesëtimi i një thyese dhjetore me një numër natyror në shembullin e dytë është më e lehtë.

Për të ndarë një thyesë dhjetore me një dhjetore, ju duhet:

• zhvendosni presjet në dividend dhe pjesëtues djathtas me aq shifra sa ka pas presjes dhjetore në pjesëtues;
• pjesëtojeni me një numër natyror.

Le të shqyrtojmë një shembull: 23.6: 0.02, vini re se pjesëtuesi ka dy shifra dhjetore, prandaj i shumëzojmë të dy numrat me 100 dhe marrim 2360: 2 = 1180, pjesëtojmë rezultatin me 100 dhe marrim përgjigjen 11.80 ose 23.6: 0, 02 = 11.8.

Krahasimi i numrave dhjetorë

Ka dy mënyra për të krahasuar numrat dhjetorë. Metoda e parë, duhet të krahasoni dy thyesa dhjetore 4.321 dhe 4.32, të barazoni numrin e numrave dhjetorë dhe të filloni të krahasoni vend pas vendi, të dhjetat me të dhjetat, të qindtat me të qindtat, e kështu me radhë, në fund marrim 4.321 > 4.320.

Mënyra e dytë për të krahasuar thyesat dhjetore bëhet duke përdorur shumëzimin e shembullit të mësipërm me 1000 dhe krahasoni 4321 > 4320. Cila metodë është më e përshtatshme, secili zgjedh vetë.

Ky artikull ka të bëjë me dhjetore. Këtu do të merremi me shënim dhjetor numrat thyesorë, prezantojmë konceptin e një thyese dhjetore dhe japim shembuj të thyesave dhjetore. Më pas do të flasim për shifrat e thyesave dhjetore dhe do të japim emrat e shifrave. Pas kësaj, ne do të fokusohemi në thyesat dhjetore të pafundme, le të flasim për thyesat periodike dhe jo periodike. Më pas rendisim veprimet bazë me thyesat dhjetore. Si përfundim, le të vendosim pozicionin e thyesave dhjetore në rrezen e koordinatave.

Navigimi i faqes.

Shënimi dhjetor i një numri thyesor

Leximi i numrave dhjetorë

Le të themi disa fjalë për rregullat e leximit të thyesave dhjetore.

Thyesat dhjetore, të cilat korrespondojnë me thyesat e duhura të zakonshme, lexohen në të njëjtën mënyrë si këto thyesa të zakonshme, së pari shtohet vetëm "zero numër i plotë". Për shembull, thyesa dhjetore 0.12 korrespondon me thyesën e zakonshme 12/100 (lexohet "dymbëdhjetë të qindtat"), prandaj, 0.12 lexohet si "pika zero dymbëdhjetë të qindtat".

Thyesat dhjetore që u përgjigjen numrave të përzier lexohen saktësisht njësoj si këta numra të përzier. Për shembull, thyesa dhjetore 56.002 korrespondon me një numër të përzier, kështu që thyesa dhjetore 56.002 lexohet si "pesëdhjetë e gjashtë pikë dy mijëshe".

Vendet në numra dhjetorë

Në shkrimin e thyesave dhjetore, si dhe në shkrimin e numrave natyrorë, kuptimi i secilës shifër varet nga pozicioni i saj. Në të vërtetë, numri 3 në thyesën dhjetore 0,3 do të thotë tre të dhjetat, në thyesën dhjetore 0,0003 - tre dhjetë të mijta, dhe në thyesën dhjetore 30,000,152 - tre dhjetëra mijëra. Kështu që ne mund të flasim për vende dhjetore, si dhe për shifrat në numrat natyrorë.

Emrat e shifrave në thyesën dhjetore deri në pikën dhjetore përputhen plotësisht me emrat e shifrave në numra natyrorë. Dhe emrat e numrave dhjetorë pas presjes dhjetore mund të shihen nga tabela e mëposhtme.

Për shembull, në thyesën dhjetore 37.051, shifra 3 është në vendin e dhjetësheve, 7 është në vendin e njësive, 0 është në vendin e dhjetë, 5 është në vendin e qindtave dhe 1 është në vendin e njëmijtë.

Vendet në thyesat dhjetore ndryshojnë gjithashtu në përparësi. Nëse me shkrimin e një thyese dhjetore kalojmë nga shifra në shifër nga e majta në të djathtë, atëherë do të lëvizim nga të moshuarit te gradat e vogla. Për shembull, vendi i qindra është më i vjetër se vendi i dhjetës, dhe vendi i miliontë është më i ulët se vendi i qindëshit. Në një thyesë dhjetore përfundimtare të dhënë, mund të flasim për shifrat e mëdha dhe të vogla. Për shembull, në thyesën dhjetore 604.9387 i moshuar (më i larti) vendi është vendi i qindrave, dhe i ri (më i ulëti)- shifra dhjetëmijëshe.

Për thyesat dhjetore, bëhet zgjerimi në shifra. Është e ngjashme me zgjerimin në shifra të numrave natyrorë. Për shembull, zgjerimi në numra dhjetore prej 45,6072 është si vijon: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Dhe vetitë e mbledhjes nga zbërthimi i një thyese dhjetore në shifra ju lejojnë të kaloni në paraqitjet e tjera të kësaj thyese dhjetore, për shembull, 45,6072=45+0,6072, ose 45,6072=40,6+5,007+0,0002, ose 45,65,072= 0.6.

Dhjetore që mbarojnë

Deri në këtë pikë, kemi folur vetëm për thyesat dhjetore, në shënimin e të cilave ka një numër të kufizuar shifrash pas presjes dhjetore. Thyesat e tilla quhen dhjetore të fundme.

Përkufizimi.

Dhjetore që mbarojnë- Këto janë thyesa dhjetore, rekordet e të cilave përmbajnë një numër të kufizuar karakteresh (shifrash).

Këtu janë disa shembuj të thyesave dhjetore përfundimtare: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45.

Megjithatë, jo çdo thyesë mund të përfaqësohet si dhjetore përfundimtare. Për shembull, thyesa 5/13 nuk mund të zëvendësohet me një thyesë të barabartë me një nga emëruesit 10, 100, ..., prandaj, nuk mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore përfundimtare. Ne do të flasim më shumë për këtë në seksionin e teorisë, duke i kthyer thyesat e zakonshme në dhjetore.

Thyesat e pafundme: Thyesat periodike dhe thyesat jo periodike

Kur shkruani një thyesë dhjetore pas pikës dhjetore, mund të supozoni mundësinë e një numri të pafund shifrash. Në këtë rast, do të marrim parasysh të ashtuquajturat thyesa dhjetore të pafundme.

Përkufizimi.

Dhjetore të pafundme- këto janë thyesa dhjetore, regjistrimi i të cilave përmban grup i pafund numrat

Është e qartë se ne nuk mund të shkruajmë thyesa dhjetore të pafundme në formë të plotë, kështu që në regjistrimin e tyre jemi të kufizuar vetëm në disa numër i kufizuar numrat pas presjes dhjetore dhe vendosni një elipsë që tregon një sekuencë numrash që vazhdon pafundësisht. Këtu janë disa shembuj të thyesave dhjetore të pafundme: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Nëse shikoni me vëmendje dy thyesat e fundit dhjetore të pafundme, atëherë në thyesën 2.111111111... shihet qartë numri 1 që përsëritet pafundësisht, dhe në thyesën 69.74152152152..., duke filluar nga numri i tretë dhjetor, një grup numrash përsëritës. 1, 5 dhe 2 janë qartë të dukshme. Thyesat dhjetore të tilla të pafundme quhen periodike.

Përkufizimi.

Dhjetore periodike(ose thjesht thyesat periodike) janë thyesa dhjetore të pafundme, në regjistrimin e të cilave, duke filluar nga një numër dhjetor i caktuar, përsëritet pafund një numër ose grup numrash, i cili quhet. periudha e fraksionit.

Për shembull, periudha e thyesës periodike 2.111111111... është shifra 1, dhe periudha e fraksionit 69.74152152152... është një grup shifrash të formës 152.

Për thyesat dhjetore periodike të pafundme pranohet formë të veçantë rekorde. Për shkurtësi, ne ramë dakord që të shkruajmë periudhën një herë, duke e përfunduar atë në kllapa. Për shembull, thyesa periodike 2.111111111... shkruhet si 2,(1) , dhe thyesa periodike 69.74152152152... shkruhet si 69.74(152) .

Vlen të përmendet se periudha të ndryshme mund të specifikohen për të njëjtën thyesë dhjetore periodike. Për shembull, thyesa periodike dhjetore 0,73333... mund të konsiderohet si një thyesë 0,7(3) me një periudhë 3, dhe gjithashtu si një thyesë 0,7(33) me një periudhë 33, dhe kështu me radhë 0,7(333), 0.7 (3333), ... Ju gjithashtu mund të shikoni thyesën periodike 0.73333 ... si kjo: 0.733 (3), ose si kjo 0.73 (333), etj. Këtu, për të shmangur paqartësitë dhe mospërputhjet, ne biem dakord të konsiderojmë si periudhën e një thyese dhjetore më të shkurtër nga të gjitha sekuencat e mundshme të shifrave të përsëritura, dhe duke filluar nga më së shumti pozicion i ngushtë deri në pikën dhjetore. Domethënë, perioda e thyesës dhjetore 0,73333... do të konsiderohet sekuencë me një shifër 3, dhe periodiciteti fillon nga pozicioni i dytë pas presjes dhjetore, pra 0,73333...=0,7(3). Shembull tjetër: thyesa periodike 4.7412121212... ka periodë 12, periodiciteti fillon nga shifra e tretë pas presjes dhjetore, pra 4.7412121212...=4.74(12).

Thyesat periodike dhjetore të pafundme fitohen duke i kthyer në thyesa dhjetore thyesat e zakonshme, emëruesit e të cilëve përmbajnë faktorë të thjeshtë të ndryshëm nga 2 dhe 5.

Këtu vlen të përmenden thyesat periodike me një periudhë 9. Le të japim shembuj të thyesave të tilla: 6.43(9) , 27, (9) . Këto thyesa janë një tjetër shënim për thyesat periodike me periudhë 0, dhe zakonisht zëvendësohen nga thyesat periodike me periodë 0. Për ta bërë këtë, periudha 9 zëvendësohet me periodën 0 dhe vlera e shifrës tjetër më të lartë rritet me një. Për shembull, një thyesë me pikën 9 të formës 7.24(9) zëvendësohet nga një thyesë periodike me pikën 0 të formës 7.25(0) ose një thyesë dhjetore përfundimtare e barabartë 7.25. Një shembull tjetër: 4,(9)=5,(0)=5. Barazia e një thyese me periodën 9 dhe e thyesës përkatëse me periodën 0 përcaktohet lehtësisht pasi të zëvendësohen këto thyesa dhjetore me thyesa të zakonshme të barabarta.

Së fundi, le t'i hedhim një vështrim më të afërt thyesave dhjetore të pafundme, të cilat nuk përmbajnë një sekuencë shifrash që përsëriten pafundësisht. Ato quhen jo periodike.

Përkufizimi.

Dhjetore jo të përsëritura(ose thjesht thyesat jo periodike ) janë thyesa dhjetore të pafundme që nuk kanë pikë.

Ndonjëherë thyesat jo periodike kanë një formë të ngjashme me atë të thyesave periodike, për shembull, 8.02002000200002... është një thyesë jo periodike. Në këto raste, duhet të jeni veçanërisht të kujdesshëm për të vënë re ndryshimin.

Vini re se thyesat joperiodike nuk shndërrohen në thyesa të zakonshme të pafundme, jo periodike, paraqesin numra iracionalë.

Veprimet me dhjetore

Një nga veprimet me thyesat dhjetore është krahasimi, dhe janë përcaktuar edhe katër funksionet bazë aritmetike. veprimet me dhjetore: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim. Le të shqyrtojmë veçmas secilin nga veprimet me thyesa dhjetore.

Krahasimi i numrave dhjetorë në thelb bazuar në krahasimin e thyesave të zakonshme që korrespondojnë me thyesat dhjetore që krahasohen. Sidoqoftë, shndërrimi i thyesave dhjetore në thyesa të zakonshme është një proces mjaft i mundimshëm dhe fraksionet e pafundme jo periodike nuk mund të përfaqësohen si një fraksion i zakonshëm, kështu që është i përshtatshëm të përdoret një krahasim vend pas shifror i thyesave dhjetore. Krahasimi në vend i thyesave dhjetore është i ngjashëm me krahasimin e numrave natyrorë. Për informacion më të detajuar, ju rekomandojmë të studioni artikullin: krahasimi i thyesave dhjetore, rregulla, shembuj, zgjidhje.

Le të kalojmë në hapin tjetër - duke shumëzuar numrat dhjetorë. Shumëzimi i thyesave dhjetore të fundme kryhet në mënyrë të ngjashme me zbritjen e thyesave dhjetore, rregullat, shembujt, zgjidhjet e shumëzimit me një kolonë numrash natyrorë. Në rastin e thyesave periodike, shumëzimi mund të reduktohet në shumëzim të thyesave të zakonshme. Nga ana tjetër, shumëzimi i thyesave dhjetore të pafundme jo periodike pas rrumbullakimit të tyre reduktohet në shumëzimin e thyesave dhjetore të fundme. Ne rekomandojmë për studim të mëtejshëm materialin në artikull: shumëzimin e thyesave dhjetore, rregulla, shembuj, zgjidhje.

Numrat dhjetorë në një rreze koordinative

Ekziston një korrespondencë një-për-një midis pikave dhe numrave dhjetorë.

Le të kuptojmë se si janë ndërtuar pikat në rrezen e koordinatave që korrespondojnë me një fraksion dhjetor të caktuar.

Mund të zëvendësojmë thyesat dhjetore të fundme dhe thyesat dhjetore periodike të pafundme me thyesa të zakonshme të barabarta, dhe më pas të ndërtojmë thyesat e zakonshme përkatëse në rrezen e koordinatave. Për shembull, thyesa dhjetore 1.4 korrespondon me thyesën e përbashkët 14/10, kështu që pika me koordinatë 1.4 hiqet nga origjina në drejtim pozitiv me 14 segmente të barabarta me një të dhjetën e një segmenti njësi.

Thyesat dhjetore mund të shënohen në një rreze koordinative, duke filluar nga zbërthimi i një thyese dhjetore të caktuar në shifra. Për shembull, le të na duhet të ndërtojmë një pikë me koordinatën 16.3007, pasi 16.3007=16+0.3+0.0007, pastaj në këtë pikë mund të arrihet duke vonuar në mënyrë sekuenciale nga origjina e koordinatave 16 segmente të vetme, 3 segmente, gjatësia e të cilëve është e barabartë me një të dhjetën e një segmenti njësi dhe 7 segmente, gjatësia e të cilave është e barabartë me një të dhjetën e njëmijtë e një segmenti njësi.

Kjo mënyrë ndërtimi numra dhjetorë në rreze koordinative ju lejon të afroheni sa të doni me pikën që korrespondon me thyesën dhjetore të pafundme.

Ndonjëherë është e mundur të vizatohet saktësisht pika që korrespondon me një fraksion dhjetor të pafund. Për shembull, , atëherë kjo thyesë dhjetore e pafundme 1.41421... i përgjigjet një pike në rreze koordinative, e largët nga origjina e koordinatave për nga gjatësia e diagonales së një katrori me brinjë prej 1 segmenti njësi.

Procesi i kundërt i marrjes së thyesës dhjetore që korrespondon me një pikë të caktuar në një rreze koordinative është i ashtuquajturi matja dhjetore e një segmenti. Le të kuptojmë se si është bërë.

Le të jetë detyra jonë të arrijmë nga origjina në një pikë të caktuar të vijës së koordinatave (ose t'i afrohemi pafundësisht nëse nuk mund ta arrijmë atë). Me matjen dhjetore të një segmenti, në mënyrë sekuenciale mund të heqim nga origjina çdo numër segmentesh njësi, pastaj segmente gjatësia e të cilëve është e barabartë me një të dhjetën e njësisë, pastaj segmentet gjatësia e të cilëve është e barabartë me një të qindtën e njësisë, etj. Duke regjistruar numrin e segmenteve të secilës gjatësi të vendosur mënjanë, marrim thyesën dhjetore që korrespondon me një pikë të caktuar në rrezen koordinative.

Për shembull, për të arritur në pikën M në figurën e mësipërme, duhet të lini mënjanë 1 segment njësi dhe 4 segmente, gjatësia e të cilave është e barabartë me një të dhjetën e njësisë. Kështu, pika M i përgjigjet thyesës dhjetore 1.4.

Është e qartë se pikat e rrezes së koordinatave që nuk mund të arrihen në procesin e matjes dhjetore korrespondojnë me thyesa dhjetore të pafundme.

Referencat.

• Matematika: tekst shkollor për klasën e 5-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Botimi 21, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 f.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. Klasa e 6-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [N. Ya. Vilenkin dhe të tjerët]. - Botimi i 22-të, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për ata që hyjnë në shkollat ​​teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.