Problemi i parë i Hilbertit. VIVOS VOCO: David Hilbert, "Probleme matematikore"

Në vitin 1900 u mbajt Kongresi i Dytë Ndërkombëtar i Matematikanëve në Paris. Ajo u trajtua nga një shkencëtar gjerman, profesor David Hilbert, i cili në raportin e tij ngriti 23 nga më të rëndësishmet në atë kohë, problemet domethënëse që lidhen me matematikën, gjeometrinë, algjebrën, topologjinë, teorinë e numrave dhe teorinë e probabilitetit.

Aktiv për momentin 16 nga 23 probleme të zgjidhura. 2 të tjerat nuk janë probleme të sakta matematikore (njëra është formuluar shumë e paqartë për të kuptuar nëse është zgjidhur apo jo, tjetra, larg të qenit e zgjidhur, është fizike, jo matematikore). Nga pesë problemet e mbetura, dy nuk janë zgjidhur në asnjë mënyrë dhe tre janë zgjidhur vetëm për disa raste.

Lista e plotë e problemeve të Hilbertit dhe statusi i tyre:

1. Vazhdim-hipoteza. A ka një numër kardinal të pafundëm në mënyrë rigoroze midis kardinalëve të grupeve të numrave të plotë dhe numra realë? Zgjidhur nga Paul Cohen në 1963 - përgjigja e pyetjes varet nga cilat aksioma përdoren në teorinë e grupeve.

2. Konsistenca logjike e aritmetikës. Vërtetoni se aksiomat standarde të aritmetikës nuk mund të çojnë në një kontradiktë. Zgjidhur nga Kurt Gödel në 1931: me aksiomat e zakonshme të teorisë së grupeve një provë e tillë është e pamundur.

3. Përbërja e barabartë e tetraedrave të barabarta. Nëse dy katërkëndëshe kanë të njëjtin vëllim, a është gjithmonë e mundur të pritet një prej tyre numri përfundimtar shumëkëndëshat dhe të mblidhni një të dytë prej tyre? E zgjidhur në 1901 nga Max Dehn, përgjigja është negative.

4. Drejtpërdrejt si distanca më e shkurtër mes dy pikave. Formuloni aksiomat e gjeometrisë bazuar në këtë përkufizim të një vije të drejtë dhe shikoni se çfarë rrjedh nga kjo. Detyra është shumë e paqartë për t'u mbështetur zgjidhje e prerë, por është bërë shumë.

5. Grupet e gënjeshtrës pa mbështetje për diferencim. Çështje teknike në teorinë e grupeve të transformimit. Në një nga interpretimet u zgjidh nga Andrew Gleason në vitet 1950, në një tjetër nga Hidehiko Yamabe.

6. Aksiomat e fizikës. Zhvilloni një sistem rigoroz të aksiomave për fushat matematikore të fizikës, si teoria e probabilitetit ose mekanika. Një sistem aksiomash për probabilitetet u ndërtua nga Andrei Kolmogorov në 1933.

7. Numrat irracionalë dhe transhendentalë. Vërtetoni këtë numra të caktuar janë irracionale ose transcendentale. Zgjidhur në 1934 nga Alexander Gelfond dhe Theodor Schneider.

8. Hipoteza e Riemann-it. Vërtetoni se të gjitha zerot jo të parëndësishme të funksionit zeta Riemannian shtrihen në vijën kritike. Shih kapitullin 9.

9. Ligjet e reciprocitetit në fushat numerike. Përmblidhni ligji klasik reciprociteti kuadratik (rreth modulit katror) në shkallë më të larta. Pjesërisht e zgjidhur.

10. Kushtet për ekzistimin e zgjidhjeve të ekuacioneve diofantine. Gjeni një algoritëm që ju lejon të përcaktoni nëse një e dhënë ekuacioni polinomial me shumë variablat e vendimit në numër të plotë. Pamundësia u vërtetua nga Yuri Matiyasevich në 1970.

11. Format kuadratike me koeficientë numrat algjebrikë. Çështje teknike të zgjidhjes së ekuacioneve diofantine me shumë ndryshore. Pjesërisht e zgjidhur.

12. Teorema e Kronecker-it mbi fushat Abeliane. Çështjet teknike të përgjithësimit të teoremës së Kronecker-it. Nuk është provuar ende.

13. Zgjidhja e ekuacioneve të shkallës së shtatë duke përdorur funksionet lloj i veçantë. Vërtetoni se një ekuacion i përgjithshëm i shkallës shtatë nuk mund të zgjidhet duke përdorur funksionet e dy ndryshoreve. Në një nga interpretimet, mundësia e një zgjidhjeje të tillë u vërtetua nga Andrei Kolmogorov dhe Vladimir Arnold.

14. Kufizimi i një sistemi të plotë funksionesh. Zgjeroni teoremën e Hilbertit mbi invariantet algjebrike në të gjitha grupet e transformimit. Refuzuar nga Masayoshi Nagata në 1959

15. Gjeometria llogaritëse e Shubertit. Hermann Schubert gjeti një metodë jo rigoroze për llogaritjen e konfigurimeve të ndryshme gjeometrike. Sfida është që kjo metodë të bëhet rigoroze. Nuk ka ende një zgjidhje të plotë.

16. Topologjia e kthesave dhe e sipërfaqeve. Sa komponentë të lidhur mund të ketë një kurbë algjebrike e një shkalle të caktuar? Sa cikle periodike të ndryshme mund të ketë një ekuacion diferencial algjebrik i një shkalle të caktuar? Promovim i kufizuar.

17. Paraqitja e formave të caktuara si shumë katrorësh. Nëse një funksion racional merr gjithmonë vlera jo negative, atëherë a duhet të shprehet domosdoshmërisht si një shumë katrorësh? Zgjidhur nga Emil Artin, D. Dubois dhe Albrecht Pfister. E vërtetë për numrat realë, e gabuar në disa sisteme të tjera numrash.

18. Mbushja e hapësirës me poliedra. Pyetje të përgjithshme mbi mbushjen e hapësirës me poliedra kongruente. Lidhet me hipotezën e Keplerit, e provuar tani (shih Kapitullin 5).

19. Analiticiteti i zgjidhjeve në llogaritjen e variacioneve. Llogaritja e variacioneve u përgjigjet pyetjeve të tilla si "gjeni kurbën më të shkurtër me vetitë e dhëna". Nëse detyrë e ngjashmeështë formuluar duke përdorur funksione të bukura, atëherë a duhet të jetë edhe zgjidhja e bukur? Provuar nga Ennio de Giorgi në 1957 dhe John Nash.

20. Probleme me vlerën kufitare. Të kuptojnë zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale të fizikës në një rajon të caktuar të hapësirës, ​​nëse vetitë e zgjidhjes janë të specifikuara në sipërfaqen që kufizon këtë rajon. Kryesisht i zgjidhur (shumë matematikanë kontribuan).

21. Ekzistenca e ekuacioneve diferenciale me monodromi të caktuar. Një lloj i veçantë ekuacioni diferencial kompleks që mund të kuptohet duke përdorur të dhëna për pikat e tij të singularitetit dhe grupin monodromi. Vërtetoni se çdo kombinim i këtyre të dhënave mund të ekzistojë. Përgjigja është "po" ose "jo" në varësi të interpretimit.

22. Uniformizimi duke përdorur funksionet automorfike. Pyetje teknike për thjeshtimin e ekuacioneve. Paul Koebe vendosi menjëherë pas vitit 1900.

23. Zhvillimi i llogaritjes së variacioneve. Hilberti bëri thirrje për ide të reja në fushën e llogaritjes së variacioneve. Është bërë shumë, por formulimi është shumë i paqartë që problemi të konsiderohet i zgjidhur.

PARATHËNIE

Koleksioni i ofruar në vëmendjen e lexuesit përmban tekstin e përkthyer në Rusisht për herë të parë raport i famshëm Gilbert" Probleme matematikore", shqiptuar më II Kongresi Ndërkombëtar Matematikanë, mbajtur në Paris nga 6 deri më 12 gusht 1900.

Në Kongres morën pjesë 226 persona: 90 persona nga Franca, 25 nga Gjermania, 17 nga Shtetet e Bashkuara, 15 nga Italia, 13 nga Belgjika, 9 nga Rusia, 8 nga Austria dhe Zvicra, 7 nga Anglia dhe Suedia, 4 nga Danimarka, 3 nga Holanda, Spanja dhe Rumania, 2 nga Serbia dhe Portugalia, 4 nga Amerika e Jugut, Turqia, Greqia, Norvegjia, Kanadaja, Japonia dhe Meksika dërguan nga një delegat secila.

Gjuhët kryesore të Kongresit ishin anglishtja, frëngjishtja, gjermanishtja dhe italishtja.

Kryetar i Kongresit u zgjodh Henri Poincaré, kryetar nderi u zgjodh Charles Hermite i munguar (1822 - 1901), E. Chuber (Vjenë), K. Geyser (Zyrich), P. Gordan (Erlangen), A. Greenhill (Londër) u zgjodhën nënkryetarë , L. Lindelof (Helsingfors), F. Lindemann (Mynih), G. Mittag-Leffler (Stokholm), mungojnë E. Moore (Chicago), M. A. Tikhomandritsky (Kharkov), V. Volterra (Torino). , G. Zeiten (Kopenhagë), sekretarët e Kongresit - I. Bendikson (Stokholm), A. Capelli (Napoli), G. Minkowski (Zyrich), I. L. Ptashitsky (Shën Petersburg) dhe A. Whitehead (Cambridge) që mungonte. ).

Sekretar i Përgjithshëm i Kongresit u zgjodh E. Duporcq (Paris).

Kishte gjashtë seksione: 1) aritmetika dhe algjebra (kryetari D. Hilbert, sekretari E. Cartan),

Seksionet e 5-të dhe të 6-të u ulën së bashku.

Në ditën e hapjes së Kongresit, në seancën e përgjithshme u mbajtën raporte dy orëshe: M. Cantor "Për historiografinë e matematikës", në të cilën ai shqyrtoi punimet për historinë e matematikës, duke filluar nga J. Montucle dhe G. Libri, dhe V. Volterra në veprimtaria shkencore E. Betti, F. Brioschi dhe F. Casorati.

Më pas filluan seancat e shkëputjes, në të cilat u bënë 46 raporte, duke përfshirë L. Dixon, G. Mittag-Leffler, D. Gilbert, J. Hadamard, A. Capelli, I. Fredholm, I. Bendixson, V. Volterra dhe të tjerë. .

Matematika ruse u përfaqësua në Kongres me një mesazh të vetëm nga M.A. Tikhomandritsky "Për zhdukjen e funksionit N disa variabla”.

Në mbledhjen e përgjithshme përfundimtare foli G. Mittag-Leffler, i cili foli për vitet e fundit jeta e Weierstrass sipas letrave të tij drejtuar S.V. Kovalevskaya dhe A. Poincaré, i cili bëri një raport "Mbi rolin e intuitës dhe logjikës në matematikë".

Kështu u zhvillua Kongresi, ku më 8 gusht, në një mbledhje të përbashkët të seksioneve 5 dhe 6, D. Hilbert lexoi raportin e tij “Probleme matematikore”.

Siç shkruan D. Sintsov*, "Mesazhi i Hilbertit shkaktoi një sërë komentesh nga të pranishmit, të cilët treguan se disa nga problemet e listuara nga Hilberti ishin zgjidhur plotësisht ose pjesërisht prej tyre".**. Në atë kohë, Hilberti, një profesor 38-vjeçar në Göttingen, ishte tashmë i njohur gjerësisht për punën e tij në teorinë e invarianteve dhe teorinë e numrave algjebrikë. Në vitin 1899 u botuan "Themelet e gjeometrisë" të tij të famshme, të cilat përbënin një epokë në themelet e matematikës. Shkathtësia e mahnitshme dhe fuqia përgjithësuese e talentit të Gilbert e lejuan atë të lundronte lehtësisht fusha të ndryshme matematikë, në pothuajse të gjitha të cilat ai mori rezultate të jashtëzakonshme dhe shtroi një sërë problemesh të rëndësishme.

* D. M. Sintsov, Kongresi i Dytë Ndërkombëtar Matematik, Fiz.-Math. Sciences (2) 1, Nr. 5 (1901), 129-137.

** Ndoshta numri i problemeve në tekstin origjinal të raportit i ka kaluar njëzet e tre.

Problemet më interesante, sipas Hilbertit, janë “hulumtimi i të cilave mund të stimulojë ndjeshëm zhvillimin e mëtejshëm shkencë", Kjo është ajo që ai u propozoi matematikanëve në raportin e tij. Që atëherë kanë kaluar dy të tretat e një shekulli. Gjatë gjithë kësaj periudhe, problemet e Hilbertit nuk e humbën rëndësinë e tyre, përpjekjet e matematikanëve më të talentuar u zbatuan për zgjidhjen e tyre. Zhvillimi i ideve që lidhen me përmbajtjen e këtyre problemeve përbënin një pjesë të rëndësishme të matematikës në shekullin e 20-të.

Përkthimi i pjesës kryesore të raportit (duke përjashtuar tekstin e problemave të 15-të dhe 23-të dhe përfundimin) u krye nga M. G. Shestopal nga teksti i botuar në Gottinger Nachrichten (1900, 253-297) dhe u rishikua nga I. N. Bronstein dhe I. M., i cili bëri një sërë ndryshimesh editoriale në të. Teksti i problemeve të 15-të dhe 23-të, si dhe pjesa e fundit e raportit, u përkthye nga A. V. Dorofeeva. Përkthimi përfshin shtesat e bëra nga Hilberti për botimin e një raporti të vendosur në vëllimin e tretë të Veprave të tij të Mbledhura (Gesammelte Abhandlungen, Berlin, Springer, 1932-1935) - në tekst ato janë mbyllur në kllapa katrore. Përkthimi u verifikua me përkthimin në anglisht (Bull. Amer. Math. Soc. 8, Nr. 10 (1902), 403-479), gjithashtu me përkthimin e kryer në zyrën e historisë së matematikës dhe mekanikës së shtetit të Moskës. Universiteti nga A. V. Dorofeeva dhe M. V. Chirikov *.

* Ky përkthim shërbeu si fillimi i punës për analizën historike dhe matematikore të problemeve të Hilbertit, të kryera në zyrën e historisë së matematikës dhe mekanikës të Universitetit Shtetëror të Moskës nën drejtimin e prof. K. A. Rybnikova.

Një vështirësi e njohur ishte përkthimi i disa termave të vjetër matematikorë. Në disa raste, pranë transferimit në kllapaështë përfshirë një term gjerman, dhe në një rast termi (Polarenprocess) ka mbetur pa përkthim. Përkthyesit punuan shumë për t'i përcjellë lexuesit rus gjuhën e veçantë, ndonjëherë edhe patetike të raportit të Hilbertit. Autorët e komenteve të çështjes ranë dakord të rishikonin përkthimet e çështjeve përkatëse dhe bënë një sërë korrigjimesh të rëndësishme.

Vlerësoni rëndësinë e jashtëzakonshme që raporti i Hilbertit luajti për matematikën në shekullin e 20-të. do të lejojë, shpresojmë, komente mbi problemet që përbëjnë pjesën e dytë të koleksionit. Krijimi i komenteve të tilla, që përmbajnë një pasqyrë të rezultateve kryesore të arritura në drejtim të zgjidhjes së problemeve të Hilbertit, tashmë është ndërmarrë nga autorë individualë *. Megjithatë, një punë e tillë me përfshirjen e specialistëve të njohur në fushat përkatëse të matematikës po kryhet, me sa dimë, për herë të parë.

* L. Bieberbach, Dber die Einfluss von Hilbert Pariser Vortrag liber "Mathematische Probleme", auf die Entwicklung der Matbematik in den letzen dreissig Jabren, Naturwissenschaften 18 (1930), 1101-1111; S.S. Demidov, Mbi historinë e problemeve të Hilbertit. IMI, vëll. 17, “Shkenca”, 1967, 91-121.

Botimi i këtij libri u lehtësua shumë nga vëmendja dhe ndihma e shumë njerëzve, ndër të cilët është e nevojshme të përmenden pjesëmarrësit në seminarin mbi historinë e matematikës dhe mekanikës të Universitetit Shtetëror të Moskës, veçanërisht drejtuesit e tij, profesorët I.G. Bashmakov, K.A. Rybnikova, A.P. Jushkevich, i ndjeri S.A. Yanovskaya, si dhe punonjës Instituti Matematik me emrin V.A. Steklov Akademia e Shkencave e BRSS A.N. Parshin, këshillat dhe ndihma e të cilit ndihmuan shumë në përmirësimin e botimit.

S. S. Demidov

DISA FJALË PËR PROBLEMET E HILBERTIT

Në Kongresin Ndërkombëtar të Matematikës në Paris në vitin 1900, matematikani i shquar gjerman David Hilbert mbajti një prezantim me titull "Probleme matematikore". Ky raport u botua disa herë në origjinal dhe në përkthime *; Botimi i fundit i origjinalit gjendet në vëllimin e tretë të veprave të mbledhura të Gilbertit **.

* Botuar për herë të parë në Arcbiv f. Math. u Phys., Ill series, 1 (1901), 44-63, 213-237.

** D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, vol.

Përkthimi rusisht i raportit të Gilbertit është shtypur në faqet në vijim.

As para raportit të Hilbertit të vitit 1900 dhe as pas këtij raporti, matematikanët, me sa di unë, nuk dolën përpara me raportet shkencore, duke mbuluar problemet e matematikës në përgjithësi*. Kështu, raporti i Hilbertit rezulton të jetë një fenomen krejtësisht unik në historinë e matematikës dhe në literaturën matematikore. Dhe tani, pothuajse 70 vjet pasi Hilbert dha raportin e tij, ai ruan interesin dhe rëndësinë e tij.

* Raporti i matematikanit amerikan J. von Neumann në Kongresin Ndërkombëtar Matematik në Amsterdam në 1954 nuk është një përgënjeshtrim i kësaj deklarate: është e vërtetë që raporti i von Neumann quhej "Probleme të pazgjidhura në matematikë", por folësi filloi raportin e tij. me një deklaratë se do të konsideronte të imitonte çmendurinë Hilberti flet për problemet e matematikës në përgjithësi, por synon të kufizohet vetëm në probleme në disa fusha të matematikës (kryesisht në fusha afër analizës funksionale). Raporti i Von Neumann-it nuk u publikua - e vetmja gjë që u botua në lidhje me të në Procedurat e Kongresit të Amsterdamit ishte se dorëshkrimi i raportit nuk ishte në dispozicion të botuesve; me sa duket nuk ekziston. Prandaj, ky raport aktualisht mund të gjykohet vetëm nga kujtimet e atyre që e dëgjuan.

Për të gjithë zhvillimin matematikë moderne Hilberti pati një ndikim të jashtëzakonshëm, duke mbuluar pothuajse të gjitha fushat e mendimit matematik; kjo shpjegohet me faktin se Hilberti ishte një matematikan në të cilin fuqia e mendimit matematik ishte e kombinuar me gjerësinë dhe shkathtësinë e rrallë. Kjo shkathtësi ishte, si të thuash, mjaft e vetëdijshme: Hilberti thekson vazhdimisht se matematika është e unifikuar, se pjesët e ndryshme të saj janë në ndërveprim të vazhdueshëm me njëra-tjetrën dhe me shkencat e natyrës, dhe se në këtë ndërveprim nuk është vetëm çelësi për të kuptuar thelbin. vetë matematika, por edhe ilaçi më i mirë kundër ndarjes së matematikës në pjesë të veçanta, të palidhura - një rrezik që në kohën tonë të rritjes së madhe sasiore dhe specializimit të frikshëm të kërkimit matematikor
vazhdimisht ju bën të mendoni për veten tuaj. ME forcë e madhe dhe Hilberti flet me bindje, veçanërisht në fund të raportit të tij të mrekullueshëm, për natyrën holistike të matematikës si bazë e të gjitha njohurive të sakta të shkencës natyrore. Bindja e tij për këtë shërben në një masë të madhe si filli drejtues i këtij raporti në tërësi dhe, padyshim, në shumë raste e ka udhëhequr autorin në përzgjedhjen e problemeve matematikore që parashtronte.

Raporti fillon me një pjesë hyrëse të përgjithshme interesante, do të thosha të frymëzuar, e shkruar, e cila flet jo vetëm për rëndësinë për matematikën e një problemi të veçantë “të shtruar mirë”, por bën edhe gjykime për ashpërsinë matematikore, për lidhjen e matematikës me shkenca natyrore, dhe për gjëra të tjera që lidhen me çdo matematikan që mendon në mënyrë aktive për shkencën e tij. Në përfundim të kësaj pjese hyrëse, Hilberti, me dallim dhe bindje të habitshme, shpreh tezën e tij kryesore, “aksiomën” e vendosshmërisë në në një kuptim të gjerë fjalët e çdo problemi matematikor janë një tezë, përmbajtja e së cilës është besim i thellë në fuqinë e pakufizuar të dijes njerëzore dhe një luftë e papajtueshme kundër çdo agnosticizmi - kundër absurdit. "Ignorabimus" *, siç thotë Gilbert diku tjetër.

* "Ignorabimus"(lat.) - "nuk do ta dimë"- një nga fjalimet e famshme përfundoi fiziologu E. Dubois-Reymond (siç zbatohet për disa të paqarta çështje shkencore) pasthirrma: "Ignoramus et ignorabimus" - ne nuk e dimë dhe nuk do ta dimë!

Më pas vijnë vetë problemet. Ato fillojnë me teorinë e grupeve (problemi i vazhdimësisë) dhe themeli i matematikës, kalojnë në themelet e gjeometrisë, teorinë e grupeve të vazhdueshme (problemi i pestë i famshëm për çlirimin e konceptit të një grupi të vazhdueshëm nga kërkesa e diferencimit) , te teoria e numrave, algjebra dhe gjeometria algjebrike dhe përfundojnë me analiza (ekuacionet diferenciale, veçanërisht me derivatet e pjesshme, llogaritja e variacioneve). Një vend i veçantë zë problemin e gjashtë - në lidhje me aksiomatikën e teorisë së probabilitetit dhe mekanikës.

Nga natyra e tyre, problemet e Hilbertit janë shumë heterogjene. Ndonjëherë kjo është një pyetje e parashtruar në mënyrë specifike për të cilën kërkohet një përgjigje e qartë - po ose jo - siç është, për shembull, problemi i tretë gjeometrik ose problemi i shtatë aritmetik për numrat transcendental. Ndonjëherë problemi shtrohet më pak qartë, si, për shembull, në problemin e dymbëdhjetë (Hilbert i kushtoi vëmendje të veçantë e rëndësishme), në të cilën kërkohet të gjendet edhe përgjithësimi i vetë teoremës së Kronecker-it dhe klasa përkatëse e funksioneve që duhet të zëvendësojnë ato eksponenciale dhe modulare.

Problemi i pesëmbëdhjetë është, në thelb, problemi i vërtetimit të të gjithë teorisë së varieteteve algjebrike.

Ndonjëherë problemi nën këtë numër në të vërtetë përmban disa probleme të ndryshme, megjithëse të lidhura ngushtë. Së fundi, problemi i njëzet e tretë është, në thelb, problemi i zhvillimit të mëtejshëm të llogaritjes së variacioneve.

Tani, shumë vite pasi Hilberti shtroi problemet e tij, mund të themi se ato u shtruan mirë. Ata rezultuan të ishin një objekt i përshtatshëm për fokusimin e përpjekjeve krijuese të matematikanëve nga fusha dhe shkolla të ndryshme shkencore. Cilat ishin këto përpjekje dhe cilat rezultate çuan ato, cilat nga problemet e Hilbertit janë zgjidhur dhe cilat jo ende - lexuesi mund të mësojë për këtë, edhe pse jo në detaje shteruese, nga komentet e këtyre problemeve.

Natyra e këtyre komenteve është disi heterogjene (e cila diktohet kryesisht nga vetë natyra e problemeve) - disa prej tyre mund të kuptohen nga një lexues i njohur me matematikën në dy kurset e para të fakulteteve mekanikë-matematikë ose fizikë-matematikë të universiteteve. ose institutet pedagogjike, ndërsa të tjerat kërkojnë kulturë mjaft të lartë matematikore. Unë mendoj, në çdo rast, se lexuesi do t'u jetë mirënjohës autorëve të komenteve,
gjë që lehtësoi ndjeshëm njohjen me atë vepër vërtet të shquar të literaturës së përgjithshme matematikore që është raporti i Hilbertit; Për më tepër, nga komentet, më duket, mund të kuptohet ndikimi i këtij raporti në zhvillimin e mëtejshëm të matematikës.

P. S. Alexandrov

Kush prej nesh nuk do të dëshironte të heqë velin pas së cilës fshihet e ardhmja jonë, për të depërtuar të paktën me një shikim në sukseset e ardhshme të dijes sonë dhe sekretet e zhvillimit të saj në shekujt e ardhshëm? Cilat do të jenë synimet e veçanta që do t'i vendosin vetes mendjet kryesore matematikore të brezit të ardhshëm? Cilat metoda dhe fakte të reja do të zbulohen në shekullin e ri në fushën e gjerë dhe të pasur të mendimit matematik?

Historia mëson se zhvillimi i shkencës është i vazhdueshëm. Ne e dimë se çdo epokë ka problemet e veta, të cilat epoka e mëvonshme ose i zgjidh ose i lë mënjanë si të pafrytshme për t'i zëvendësuar me të reja. Për të imagjinuar natyrën e mundshme të zhvillimit njohuri matematikore në të ardhmen e afërt, ne duhet të zgjidhim në imagjinatën tonë pyetjet që mbeten ende të hapura, të analizojmë problemet që shtron shkenca moderne dhe zgjidhjet e të cilave presim nga e ardhmja. Një rishikim i tillë i problemeve më duket sot, në kapërcyell të shekullit të ri, veçanërisht në kohë. Në fund të fundit, takimet e mëdha jo vetëm që na bëjnë të shikojmë prapa në të kaluarën, por gjithashtu i drejtojmë mendimet tona në të ardhmen e panjohur.

Është e pamundur të mohohet rëndësia e thellë që kanë disa probleme për përparimin e shkencës matematikore në përgjithësi dhe rol të rëndësishëm, të cilën ata e luajnë në punën e një studiuesi individual. Çdo fushë shkencore është e zbatueshme për sa kohë që ka një bollëk problemesh të reja. Mungesa e problemeve të reja do të thotë tharje ose ndërprerje zhvillim i pavarur. Ashtu si në përgjithësi çdo përpjekje njerëzore është e lidhur me një qëllim ose një tjetër, ashtu edhe krijimtaria matematikore është e lidhur me formulimin e problemeve. Forca e studiuesit mësohet në zgjidhjen e problemeve: ai gjen metoda të reja, këndvështrime të reja, ai hap horizonte më të gjera e më të lira.

Është e vështirë, dhe shpesh e pamundur, të vlerësohet saktë rëndësia e një detyre të caktuar paraprakisht; sepse në fund të fundit vlera e tij do të përcaktohet nga përfitimet që i sjell shkencës. Këtu lind pyetja: A ka veçori të përbashkëta që karakterizojnë një problem të mirë matematikor?

Një i vjetër Matematikan francez tha: " Teoria matematikore mund të konsiderohet i përsosur vetëm kur e keni bërë aq të qartë sa të merrni përsipër t'ia shpjegoni përmbajtjen e tij personit të parë që takoni." Kjo kërkesë e qartësisë dhe aksesit të lehtë, e cila është shprehur kaq prerë këtu në lidhje me një teori matematikore, do të E thënë edhe më qartë në lidhje me një problem matematikor, nëse pretendon të jetë i përsosur, në fund të fundit, qartësia dhe aksesueshmëria e lehtë na tërheqin, ndërsa kompleksiteti dhe ndërlikimi na trembin;

Një problem matematikor, më tej, duhet të jetë aq i vështirë sa të na tërheqë, dhe në të njëjtën kohë jo plotësisht i paarritshëm, për të mos i bërë përpjekjet tona të pashpresa; duhet të jetë një shenjë udhëzuese në shtigjet e ngatërruara që të çojnë drejt të vërtetave të fshehura; dhe më pas ajo duhet të na shpërblejë me gëzimin e gjetjes së një zgjidhjeje.

Matematikanët e shekullit të kaluar iu përkushtuan me zell pasion zgjidhjes së problemeve individuale të vështira; ata e dinin vlerën e një detyre të vështirë. Do të kujtoj vetëm atë të paraqitur nga Johann Bernoulli problemi për vijën e rënies më të shpejtë."Siç tregon përvoja," thotë Bernoulli, duke shpallur detyrën e tij, "asgjë nuk i motivon aq fuqishëm mendjet e larta për të punuar në pasurimin e njohurive sa formulimi i një të vështirë dhe në të njëjtën kohë. detyrë e dobishme“Dhe kështu ai shpreson të fitojë mirënjohje bota matematikore, nëse ai, duke ndjekur shembullin e njerëzve të tillë si Mersenne, Pascal, Fermat, Viviani dhe të tjerë që (para tij) bënë të njëjtën gjë, ua propozon problemin analistët e shquar të kohës së tij, në mënyrë që ata ta provojnë atë si një gur prove. meritat e metodave tuaja dhe matni pikat tuaja të forta. Llogaritja e variacioneve ia detyron origjinën këtij problemi të Bernulit dhe problemeve të tjera të ngjashme.

Deklarata e njohur e Fermatit është se ekuacioni i Diofantinës

x n + y n = z n

i pavendosur në numra të plotë x, y, z, duke përjashtuar disa përjashtime të dukshme. Problemi i vërtetimit të kësaj pavendosmërie jep një shembull të mrekullueshëm të ndikimit stimulues që një problem i veçantë dhe, në shikim të parë, i parëndësishëm mund të ketë në shkencë. Sepse, i nxitur nga problemi i Fermatit, Kummer arriti në prezantimin e numrave idealë dhe në zbulimin e teoremës mbi zbërthimin unik të numrave në fushat ciklotomike në faktorë idealë të thjeshtë - një teoremë e cila, falë përgjithësimeve të çdo algjebrike domeni numerik, marrë nga Dedekind dhe Kronecker, është qendror për teori moderne numrat dhe rëndësia e të cilëve shkon përtej teorisë së numrave në fushën e algjebrës dhe teorisë së funksionit.

Më lejoni t'ju kujtoj një problem tjetër interesant - problem me tre trupa. Fakti që Poincaré ndërmori një ekzaminim të ri dhe e përparoi shumë këtë detyrë të vështirë, çoi në metodat e frytshme dhe parimet e gjera të prezantuara nga ky shkencëtar në mekanika qiellore, metoda dhe parime që tani njihen dhe zbatohen edhe në astronominë praktike.

Të dyja problemet e përmendura - problemi i Fermatit dhe problemi i tre trupave - janë, si të thuash, pole të kundërta në stokun tonë të problemeve: e para përfaqëson arritjen e lirë të arsyes së pastër, që i përket fushës së teorisë së numrave abstraktë, e dyta vendoset. përpara nga astronomia dhe është e nevojshme për njohjen e dukurive më të thjeshta themelore të natyrës.

Megjithatë, shpesh ndodh që i njëjti problem i veçantë shfaqet në fusha shumë të ndryshme të matematikës. Pra, problemi i linjës më të shkurtër luan një rol të rëndësishëm historik dhe themelor njëkohësisht në themelet e gjeometrisë, në teorinë e kthesave dhe sipërfaqeve, në mekanikë dhe në llogaritjen e variacioneve. Dhe siç tregon bindshëm F. Klein në librin e tij mbi ikozaedrin *, problem rreth poliedra të rregullta është e rëndësishme njëkohësisht për gjeometrinë elementare, teorinë e grupeve, teorinë algjebrike dhe teorinë e ekuacioneve diferenciale lineare!

* F. Klein, Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen von funften Grade, Leipzig, 1884.- Shënim ed.

Për të theksuar rëndësinë e problemeve individuale, do t'i lejoj vetes t'i referohem Weierstrass-it, i cili e konsideroi një sukses të madh për veten e tij që kombinimi i rrethanave e lejoi atë të trajtonte një problem kaq të rëndësishëm në fillim të karrierës së tij shkencore. si problemi i Jacobit për përmbysjen e një integrali eliptik.

Pasi kemi konsideruar kuptimi i përgjithshëm problemet në matematikë, le t'i drejtohemi pyetjes se nga cili burim i nxjerr matematika problemat e saj. Nuk ka dyshim se problemet e para dhe më të vjetra të secilës fushë të dijes matematikore dolën nga përvoja dhe na u paraqitën nga bota e dukurive të jashtme. Edhe rregullat për numërimin me numra të plotë u zbuluan në një fazë të hershme përgjatë kësaj rruge. zhvillimin kulturor njerëzimit, ashtu si tani një fëmijë mëson zbatimin e këtyre rregullave me metodën empirike. E njëjta gjë vlen edhe për problemet e para të gjeometrisë - problemet e dyfishimit të kubit, katrorit të rrethit, që na erdhën nga kohërat e lashta, si dhe problemet më të vjetra teoria e ekuacioneve numerike, teoria e kurbave, llogaritja diferenciale dhe integrale, llogaritja e variacioneve, teoria e serive Furier dhe teoria e potencialit, për të mos përmendur tërë pasurinë e problemeve në mekanikën e duhur, astronominë dhe fizikën.

Me zhvillimin e mëtejshëm të çdo disipline matematikore, mendja e njeriut, e inkurajuar nga suksesi, tashmë tregon pavarësi; ai vetë shtron probleme të reja dhe të frytshme, shpesh pa ndikim të dukshëm bota e jashtme, me ndihmën e vetëm krahasimit logjik, përgjithësimit, specializimit, ndarjes dhe grupimit të suksesshëm të koncepteve dhe më pas ai vetë del në plan të parë si konstatim problematikash. Kështu u ngritën problemi i numrit të thjeshtë dhe probleme të tjera të aritmetikës, teoria Galois, teoria e invarianteve algjebrike, teoria e funksioneve abeliane dhe automorfike, dhe kështu pothuajse u ngritën në përgjithësi të gjitha pyetjet delikate të teorisë moderne të numrave dhe teorisë së funksionit.

Ndërkohë gjatë aksionit fuqi krijuese Duke menduar të pastër, bota e jashtme përsëri insiston në të drejtat e saj: ajo na imponon pyetje të reja me faktet e saj reale dhe na hap fusha të reja të njohurive matematikore. Dhe në procesin e sjelljes së këtyre fushave të reja të dijes në sferën e mendimit të pastër, ne shpesh gjejmë përgjigje për problemet e vjetra të pazgjidhura dhe në këtë mënyrë avancojmë më së miri teoritë e vjetra. Në këtë lojë që përsëritet dhe ndryshon vazhdimisht mes të menduarit dhe përvojës, më duket se bazohen ato analogji të shumta dhe goditëse dhe ajo harmoni në dukje e paravendosur që matematikani zbulon aq shpesh në problemet, metodat dhe konceptet e fushave të ndryshme të dijes.

Le të ndalemi shkurtimisht në pyetjen se cilat mund të jenë kërkesat e përgjithshme që kemi të drejtë të paraqesim për zgjidhjen e një problemi matematikor. E kam fjalën, para së gjithash, kërkesat që bëjnë të mundur verifikimin e saktësisë së përgjigjes me ndihmën e një numri të kufizuar përfundimesh dhe, për më tepër, në bazë të një numri të kufizuar premisash që përbëjnë bazën e çdo problemi dhe të cilat duhet të formulohen saktësisht në çdo rast. Kjo kërkesë e deduksionit logjik me ndihmën e një numri të kufizuar përfundimesh nuk është gjë tjetër veçse një kërkesë për ashpërsinë e provave. Në të vërtetë, kërkesa e ashpërsisë, e cila tashmë është bërë një proverb në matematikë, korrespondon me nevojën e përgjithshme filozofike të mendjes sonë; nga ana tjetër, vetëm përmbushja e kësaj kërkese çon në identifikimin kuptimin e plotë thelbi i detyrës dhe frytshmëria e saj. Një detyrë e re, veçanërisht nëse vihet në jetë nga fenomene të botës së jashtme, është si një filiz i ri që mund të rritet dhe të japë fryte vetëm nëse ushqehet me kujdes dhe sipas rregullave strikte të artit të kopshtarisë mbi një trung të vjetër. - themeli i fortë i njohurive tona matematikore.

Do të ishte një gabim i madh të mendosh se ashpërsia në provë është armiku i thjeshtësisë. Shembuj të shumtë na bindin për të kundërtën: metodat strikte janë në të njëjtën kohë më të thjeshtat dhe më të arritshmet. Dëshira për ashpërsi çon pikërisht në kërkimin e provave më të thjeshta. E njëjta dëshirë shpesh i hap rrugën metodave që rezultojnë më frytdhënëse se metodat më të vjetra dhe më pak rigoroze. Kështu, teoria e kurbave algjebrike, falë metodave më rigoroze të teorisë së funksioneve të një ndryshoreje komplekse dhe përdorimit të përshtatshëm të mjeteve transcendentale, u thjeshtua ndjeshëm dhe fitoi integritet më të madh. Më tej, një dëshmi e ligjshmërisë së aplikimit të katër operacioneve elementare aritmetike në seritë e fuqisë, si dhe diferencimi dhe integrimi term pas termi i këtyre serive dhe njohja e bazuar në këtë. seri fuqie [si një mjet për analizën matematikore - P.A. ], padyshim që e thjeshtoi shumë të gjithë analizën, në veçanti teorinë e përjashtimit dhe teorinë e ekuacioneve diferenciale (së bashku me teoremat e ekzistencës së saj).

Por një shembull veçanërisht i mrekullueshëm që ilustron mendimin tim është llogaritja e variacioneve. Studimi i variacioneve të parë dhe të dytë të një integrali të caktuar çoi në jashtëzakonisht llogaritjet komplekse, dhe kërkimeve përkatëse të matematikanëve të vjetër i mungonte ashpërsia e nevojshme. Weierstrass na tregoi rrugën drejt një themeli të ri dhe plotësisht të besueshëm për llogaritjen e variacioneve. Duke përdorur shembullin e një integrali të thjeshtë dhe të dyfishtë, unë do të përshkruaj shkurtimisht në fund të raportit tim se si ndjekja e kësaj rruge çon në të njëjtën kohë në një thjeshtim mahnitës të llogaritjes së variacioneve për shkak të faktit se për të vendosur të nevojshmen dhe kritere të mjaftueshme për maksimum dhe minimum, llogaritja e variacionit të dytë bëhet e panevojshme dhe madje eliminon pjesërisht nevojën për konkluzione të lodhshme në lidhje me variacionin e parë. Nuk po flas as për avantazhet që lindin nga fakti se nuk ka nevojë të merren parasysh vetëm ato variacione për të cilat vlerat e derivateve të funksioneve ndryshojnë në mënyrë të parëndësishme.

Duke paraqitur kërkesën e rigorozitetit në provë për një zgjidhje të plotë të problemit, nga ana tjetër do të doja të përgënjeshtroja mendimin se arsyetimi plotësisht rigoroz është i zbatueshëm vetëm për konceptet e analizës apo edhe vetëm për aritmetikën. Këtë mendim, ndonjëherë të mbështetur nga mendje të shquara, e konsideroj krejtësisht të rremë. Një interpretim i tillë i njëanshëm i kërkesës së ashpërsisë çon shpejt në injorimin e të gjitha koncepteve që dalin nga gjeometria, mekanika, fizika dhe ndalon rrjedhën e [në matematikë - P.A. ] material i ri nga bota e jashtme dhe, në fund, çon edhe në refuzimin e konceptit të vazhdimësisë dhe numrit irracional. A ka një nerv jetik më të rëndësishëm se ai që do të shkëputej nga matematika nëse gjeometria do të hiqej prej saj dhe fizikës matematikore? Përkundrazi, unë besoj se sa herë që konceptet matematikore burojnë nga teoria e dijes ose në teoritë e gjeometrisë ose të shkencave natyrore, matematika përballet me detyrën e hetimit të parimeve që qëndrojnë në themel të këtyre koncepteve, dhe kështu të vërtetojë këto koncepte me ndihmën e një informacioni të plotë dhe të plotë. sisteme të thjeshta aksiomash, kështu që ashpërsia e koncepteve të reja dhe zbatueshmëria e tyre në deduksion nuk është në asnjë mënyrë inferiore ndaj koncepteve të vjetra aritmetike.

Konceptet e reja përfshijnë gjithashtu emërtime të reja. Ne i zgjedhim në atë mënyrë që të ngjajnë me dukuritë që shërbyen si arsye për formimin e këtyre koncepteve. Kështu, figurat gjeometrike janë imazhe për të kujtuar konceptet hapësinore dhe si të tilla përdoren nga të gjithë matematikanët. Kush nuk lidhet me dy pabarazi a>b>c ndërmjet tri sasive a, b, c, imazhi i një treshe pikash të vendosura në një vijë të drejtë dhe pas njëra-tjetrës si një interpretim gjeometrik i konceptit "ndërmjet"? Kush nuk e përdor imazhin e segmenteve dhe drejtkëndëshave të mbivendosur brenda njëri-tjetrit nëse dikush duhet të kryejë një vërtetim të plotë dhe rigoroz të një teoreme të vështirë mbi vazhdimësinë e funksioneve ose ekzistencën e një pike kufi? Kush mund të bëjë pa figurën e një trekëndëshi, një rrethi me një qendër të caktuar ose pa një treshe boshtesh pingule reciproke? Ose kush do të donte të hiqte dorë nga imazhi fushë vektoriale apo familjet e kthesave, apo sipërfaqet me mbështjelljet e tyre - koncepte që luajnë një rol kaq thelbësor në gjeometrinë diferenciale, në teorinë e ekuacioneve diferenciale, në themelet e llogaritjes së variacioneve dhe në fusha të tjera thjesht matematikore të njohurive?

Shenjat aritmetike janë figura gjeometrike të shkruara, dhe figurat gjeometrike janë formula të vizatuara, dhe asnjë matematikan nuk mund të bënte pa këto formula të vizatuara, ashtu siç nuk mund të refuzonte të vendoste në kllapa ose t'i hapte ato ose të përdorte shenja të tjera analitike gjatë llogaritjes.

Aplikimi forma gjeometrike si një mjet provues i rreptë, ai presupozon njohjen e saktë dhe zotërimin e plotë të atyre aksiomave që qëndrojnë në themel të teorisë së këtyre figurave, dhe për këtë arsye, me qëllim që këto figura gjeometrike të përfshihen në thesarin e përgjithshëm të shenjave matematikore, një studim i rreptë aksiomatik i përmbajtja e tyre vizuale është e nevojshme.

Ashtu si kur mblidhni dy numra nuk mund të nënshkruani shifrat e termave në rendin e gabuar, por duhet të ndiqni me përpikëri rregullat, d.m.th ato aksioma të aritmetikës që rregullojnë veprimet aritmetike, ashtu edhe veprimet në imazhet gjeometrike përcaktohen nga ato aksioma që qëndrojnë në themel të gjeometrisë. konceptet dhe lidhjet ndërmjet tyre.

Ngjashmëria midis të menduarit gjeometrik dhe aritmetik manifestohet edhe në faktin se në studimet aritmetike ne, po aq pak sa në konsideratat gjeometrike, e gjurmojmë zinxhirin e arsyetimit logjik deri në fund, deri në aksioma. Përkundrazi, veçanërisht në qasjen e parë ndaj një problemi, në aritmetikë, ashtu si në gjeometri, ne fillimisht përdorim një kombinim të shkurtër, të pavetëdijshëm, jo ​​plotësisht të qartë, bazuar në besimin në ndonjë instinkt aritmetik, në efektivitetin e shenjave aritmetike, - pa këtë ne nuk mund të përparojmë në aritmetikë ashtu siç nuk mund të përparojmë në gjeometri pa u mbështetur në fuqitë e imagjinatës gjeometrike. Një shembull i një teorie aritmetike që funksionon në mënyrë strikte me konceptet gjeometrike dhe shenjat * mund të shërbejnë si vepra e Minkowskit "Gjeometria e numrave" **.

** Leipzig, 1896.

Le të bëjmë edhe disa vërejtje për vështirësitë që mund të paraqesin problemet matematikore dhe për tejkalimin e këtyre vështirësive.

Nëse nuk arrijmë të gjejmë një zgjidhje për një problem matematikor, arsyeja për këtë është shpesh se ne nuk kemi arritur ende një këndvështrim mjaft të përgjithshëm nga i cili problemi në shqyrtim duket të jetë vetëm një hallkë e veçantë në një zinxhir problemesh të lidhura. Duke gjetur këtë këndvështrim, ne shpesh jo vetëm që e bëjmë problemin e dhënë më të aksesueshëm për kërkimin, por gjithashtu zotërojmë një metodë të zbatueshme për problemet e lidhura. Shembujt përfshijnë hyrjen e Cauchy në teori integral i caktuar integrimi përgjatë një shtegu curvilinear dhe vendosja e Kummer-it të konceptit të një ideali në teorinë e numrave. Kjo mënyrë e gjetjes së metodave të përgjithshme është më e përshtatshme dhe më e besueshme, sepse nëse dikush kërkon metoda të përgjithshme pa pasur në mendje ndonjë detyrë specifike, atëherë këto kërkime janë, në pjesën më të madhe, të kota.

Në studimin e problemeve matematikore, specializimi, besoj, luan një rol edhe më të rëndësishëm se përgjithësimi. Është e mundur që në shumicën e rasteve, kur kërkojmë më kot përgjigjen e një pyetjeje, arsyeja e dështimit tonë është se problemet më të thjeshta dhe më të lehta se kjo nuk janë zgjidhur ende ose nuk janë zgjidhur plotësisht. Atëherë e gjithë çështja është të gjejmë ato probleme më të lehta dhe të zbatojmë zgjidhjen e tyre me mjetet më të avancuara, me ndihmën e koncepteve që mund të përgjithësohen. Ky rregull është një nga levat më të fuqishme për tejkalimin e vështirësive matematikore dhe më duket se në shumicën e rasteve kjo levë vihet në veprim, ndonjëherë edhe pa vetëdije.

Në të njëjtën kohë, ndodh edhe që të arrijmë një përgjigje me parakushte të pamjaftueshme, ose duke shkuar në drejtim të gabuar dhe si rrjedhojë nuk ia arrijmë qëllimit. Atëherë lind detyra e vërtetimit të pazgjidhshmërisë së këtij problemi nën premisat e pranuara dhe drejtimin e zgjedhur. Prova të tilla të pamundësisë u kryen nga matematikanët e vjetër, për shembull, kur ata zbuluan se raporti i hipotenuzës së një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh me anën e tij është numër irracional. Në matematikën moderne, provat e pamundësisë së zgjidhjeve të problemeve të caktuara luajnë një rol të spikatur; aty themi se probleme të tilla të vjetra dhe të vështira si prova e aksiomës së paraleleve, katrorimi i rrethit ose zgjidhja e një ekuacioni të shkallës së pestë në radikale, megjithatë kanë marrë një zgjidhje rigoroze që na kënaq plotësisht, megjithëse në një drejtim i ndryshëm nga ai që u supozua fillimisht.

Kjo fakt mahnitës Së bashku me bazat e tjera filozofike, ajo krijon tek ne një besim që padyshim ndahet nga çdo matematikan, por që askush nuk e ka konfirmuar ende me prova - besimin se çdo problem specifik matematikor duhet patjetër të jetë i arritshëm për një zgjidhje rigoroze * ose në kuptimin se është e mundur të merret një përgjigje për pyetjen e shtruar, ose në kuptimin që do të vërtetohet pamundësia e zgjidhjes së saj dhe në të njëjtën kohë do të vërtetohet pashmangshmëria e dështimit të të gjitha përpjekjeve për zgjidhjen e saj.

* Ne e konsiderojmë të nevojshme ta paraqesim këtë deklaratë, aq vendimtare për të gjithë botëkuptimin shkencor të Hilbertit, në origjinal. "...die uberzeugung, dass ein jedes bestimmte matematike Problem einer strengen Erieitung notwendig fahig sein muss." - Shënim P.A.

Le të imagjinojmë disa problem i pazgjidhur, le të themi, çështja e irracionalitetit të konstantes ME Euler - Mascheroni ose çështja e ekzistencës së një numri të pafund numrash të thjeshtë të formës 2n + 1 . Pavarësisht se sa të paarritshme na duken këto probleme dhe sado të pafuqishëm të qëndrojmë përpara tyre, ne ende kemi bindjen e fortë se zgjidhja e tyre me ndihmën e një numri të kufizuar përfundimesh logjike duhet të jetë ende e mundur.

A është kjo aksiomë e zgjidhshmërisë së çdo problemi të caktuar vetëm një veçori karakteristike të menduarit matematik apo, ndoshta, ekziston një ligj i përgjithshëm që lidhet me thelbin e brendshëm të mendjes sonë, sipas të cilit të gjitha pyetjet që ajo shtron mund të zgjidhen prej tij? Në fund të fundit, në fusha të tjera të dijes ka probleme të vjetra që janë zgjidhur në mënyrën më të kënaqshme dhe në dobinë më të madhe të shkencës duke vërtetuar pamundësinë e zgjidhjes së tyre. Më kujtohet problemi për perpetuum mobile(makinë me lëvizje të përhershme) *. Pas përpjekjeve të kota për të projektuar makinë me lëvizje të përhershme filloi, përkundrazi, të eksploronte marrëdhëniet që duhet të ekzistojnë midis forcave të natyrës, nën supozimin se perpetuum mobile e pamundur. Dhe ky formulim i problemit të anasjelltë çoi në zbulimin e ligjit të ruajtjes së energjisë, nga i cili rrjedh pamundësia perpetuum mobile në kuptimin origjinal të kuptimit të tij.

Ky besim në zgjidhshmërinë e çdo problemi matematikor është një ndihmë e madhe për ne në punën tonë; Ne dëgjojmë një thirrje të vazhdueshme brenda vetes: kur ka një problem, kërkoni një zgjidhje. Ju mund ta gjeni atë përmes të menduarit të pastër; sepse në matematikë nuk ka Injorabimus! **

* Të mërkurën. H. HeImholtz, Uber die Wechselwirkung der Naturkrafte und die darauf bezuglichen neuesten ErmittIungen der Physik, raport në Konigsberg, 1854 (Përkthimi rusisht: “Mbi ndërveprimin e forcave të natyrës”, në koleksionin G. Helmholtz, Fjalimet popullore, bot. 2, pjesë, bot. , Shën Petersburg , 1898. - Shënim ed. ).

**Shih fusnotën. - Shënim ed.

Ka probleme të panumërta në matematikë, dhe pasi zgjidhet një problem, problemet e reja të panumërta shfaqen për të zënë vendin e saj. Më lejoni që në të ardhmen, si provë, të përmend disa probleme specifike nga disiplina të ndryshme matematikore, probleme studimi i të cilave mund të stimulojë ndjeshëm zhvillimin e mëtejshëm të shkencës.

Le të kthehemi te bazat e analizës dhe gjeometrisë. Ngjarjet më domethënëse dhe më të rëndësishme të shekullit të kaluar në këtë fushë janë, më duket, zotërimi aritmetik i konceptit të vazhdimësisë në veprat e Cauchy, Bolzano, Cantor dhe zbulimi i gjeometrisë jo-Euklidiane nga Gauss, Bolyai dhe. Lobachevsky. Prandaj tërheq vëmendjen tuaj për disa probleme që i përkasin këtyre zonave.<...>

1. Problemi i Kantorit për fuqinë e vazhdimësisë

2. Konsistenca e aksiomave aritmetike

3. Barazia e dy tetraedrave me baza të barabarta dhe lartësi të barabarta.

4. Problemi i drejtëzës si lidhja më e shkurtër e dy pikave.

5. Koncepti i një grupi të vazhdueshëm transformimesh Lie, pa supozimin e diferencibilitetit të funksioneve që përcaktojnë grupin.

6. Paraqitja matematikore e aksiomave të fizikës.

7. Irracionaliteti dhe tejkalimi i disa numrave.

8. Problemi i numrave të thjeshtë.

9. Dëshmi e më e drejta e zakonshme reciprociteti në çdo fushë numerike.

10. Problemi i zgjidhshmërisë së ekuacionit të Diofantit.

11. Forma kuadratike me koeficientë numerik algjebrikë arbitrare.

12. Zgjerimi i teoremës së Kronecker-it mbi fushat Abeliane në një fushë arbitrare algjebrike të racionalitetit.

13. Pamundësia e zgjidhjes së një ekuacioni të përgjithshëm të shkallës së shtatë duke përdorur një funksion që varet vetëm nga dy ndryshore.

14. Vërtetimi i fundshmërisë së disa sistemit të plotë funksionesh.

15. Arsyetimi rigoroz i gjeometrisë llogaritëse të Schubert.

16. Problemi i topologjisë së kthesave dhe sipërfaqeve algjebrike.

17. Paraqitja e formave të caktuara si shumë katrorësh.

18. Ndërtimi i hapësirës nga poliedra kongruente.

19. A janë tretësirat të rregullta? problem variacional nevojiten analitike?

20. Detyrë e përgjithshme rreth kushteve kufitare.

21. Vërtetim i ekzistencës së ekuacioneve diferenciale lineare me një grup të caktuar monodromi.

22. Uniformizimi i varësive analitike duke përdorur funksionet automorfike.

23. Zhvillimi i metodave të llogaritjes së variacioneve

Unë nuk e besoj dhe nuk e dua. Shkenca matematikore për mendimin tim ai përfaqëson një tërësi të pandashme, një organizëm qëndrueshmëria e të cilit përcaktohet nga koherenca e pjesëve të tij. Në të vërtetë, pavarësisht nga të gjitha ndryshimet në materialin matematikor në veçanti, ne ende shohim shumë qartë identitetin e mjeteve ndihmëse logjike, ngjashmërinë e formimit të ideve në matematikë në përgjithësi dhe analogji të shumta në fusha të ndryshme të saj. Vëmë re gjithashtu se sa më tej zhvillohet teoria matematikore, aq më harmonike dhe e unifikuar merr formë struktura e saj dhe hapen lidhje të papritura midis zonave të ndara deri më tani. Rezulton se me zgjerimin e matematikës, karakteri i saj i unifikuar nuk humbet, por bëhet gjithnjë e më i dallueshëm.

Por – pyesim ne – me zgjerimin e njohurive matematikore, a nuk bëhet përfundimisht e pamundur që studiuesi individual të mbulojë të gjitha pjesët e saj? Si përgjigje, dua t'i referohem faktit se thelbi i shkencës matematikore është i tillë që çdo sukses i vërtetë në të shkon paralelisht me zbulimin e ndihmësve më të fortë dhe metodave më të thjeshta, të cilat në të njëjtën kohë lehtësojnë kuptimin e më shumë. teoritë e hershme dhe hiqni arsyetimet e vjetra të vështira; pra, studiuesi individual, falë faktit që do t'i brendësojë këto më të fortë ndihmat dhe metoda më të thjeshta, do të jetë më e lehtë për të lundruar në fusha të ndryshme të matematikës se sa është rasti për çdo shkencë tjetër.

Natyra e unifikuar e matematikës është për shkak të thelbit të brendshëm të kësaj shkence; Në fund të fundit, matematika është baza e të gjithë shkencës ekzakte. Dhe për të përmbushur në mënyrë të përsosur këtë qëllim të lartë, le të gjejë në shekullin e ardhshëm mjeshtër të shkëlqyer dhe pasues të shumtë që digjen nga zelli fisnik *.

* Në origjinal këto fjalë tingëllojnë kështu: "Der einheitliche Charakter der Mathematik liegt imneren Wesen dieser Wissenschaft begrundet; denn die Mathematik ist die Grundlage alles exakten naturwissenschaftlichen Erkennens hlreiche in edlem Eifer ergluhende Jungerl" - Shënim ed.

Plani:

Hyrje

• 1 Lista e problemeve
• Problemi 2 24
• 3 Shënime
• 4 Tekste në internet
Letërsia

Hyrje

Problemet e Hilbertit- lista me 23 probleme kardinale matematika, paraqitur nga David Hilbert në Kongresin e Dytë Ndërkombëtar të Matematikanëve në Paris në 1900. Në atë kohë, këto probleme (që mbulonin themelet e matematikës, algjebrës, teorisë së numrave, gjeometrisë, topologjisë, gjeometrisë algjebrike, grupeve të gënjeshtrës, analizës reale dhe komplekse, ekuacioneve diferenciale, fizikës matematikore dhe teorisë së probabilitetit, si dhe llogaritjen e variacioneve) nuk u zgjidhën. Për momentin, 16 problema nga 23 janë zgjidhur, 2 të tjera nuk janë probleme të sakta matematikore (njëra është formuluar shumë e paqartë për të kuptuar nëse është zgjidhur apo jo, tjetra, larg zgjidhjes, është fizike, jo matematikore). . Nga 5 problemet e mbetura, dy nuk janë zgjidhur në asnjë mënyrë dhe tre janë zgjidhur vetëm për disa raste.

1. Lista e problemeve

2. Problemi i 24-të

Fillimisht, lista përmbante 24 probleme, por në procesin e përgatitjes së raportit, Gilbert braktisi një prej tyre. Ky problem lidhej me teorinë e provave të kriterit të thjeshtësisë dhe metodat e përgjithshme. Ky problem u zbulua në shënimet e Gilbertit historian gjerman shkenca nga Rüdiger Thiele në 2000.

3. Shënime

1. Rezultatet e Gödel dhe Cohen tregojnë se as hipoteza e vazhdimësisë dhe as mohimi i saj nuk kundërshtojnë sistemin e aksiomës Zermelo-Fraenkel (sistemi standard i aksiomave të teorisë së grupeve). Kështu, hipoteza e vazhdimësisë në këtë sistem aksiomash as nuk mund të provohet dhe as të hidhet poshtë (me kusht që ky sistem aksiomash të jetë konsistent). Ka disa debate nëse rezultati i Cohen është një zgjidhje e plotë e problemit.
2. Kurt Gödel vërtetoi se qëndrueshmëria e aksiomave të aritmetikës nuk mund të vërtetohet bazuar në vetë aksiomat e aritmetikës. Në vitin 1936, Gerhard Gentzen provoi qëndrueshmërinë e aritmetikës, por për ta bërë këtë ai duhej të shtonte një formë të dobësuar të induksionit transfinit në listën e aksiomave.
3. Sipas Rowe dhe Grey (shih më poshtë), shumica e problemeve janë zgjidhur. Megjithatë, disa prej tyre nuk ishin formuluar me saktësi të mjaftueshme rezultatet e arritura lejojnë që ato të konsiderohen "të zgjidhura". Moat dhe Grey i referohen problemit të katërt si një problem shumë i paqartë për të gjykuar nëse është zgjidhur apo jo.
4. Zgjidhur nga Siegel dhe Gelfond (dhe në mënyrë të pavarur nga Schneider) në më shumë pamje e përgjithshme: Nëse a ≠ 0, 1 - numër algjebrik, Dhe b- algjebrike, por irracionale, pra a b- numër transcendental
5. Problemi numër 8 përmban dy çështje të njohura, që të dyja mbeten të pazgjidhura. E para nga këto, Hipoteza e Riemanit, është një nga shtatë Problemet e Mijëvjeçarit që janë cilësuar si "Problemet e Hilbertit" të shekullit të 21-të.
6. Problemi #9 është zgjidhur për rastin Abelian; çështja jo-abeliane mbetet e pazgjidhur.
7. Yuri Matiyasevich në 1970 vërtetoi pavendosmërinë algoritmike të pyetjes nëse një ekuacion arbitrar Diofantine ka të paktën një zgjidhje. Fillimisht, problemi u formulua nga Hilberti jo si një dilemë, por si një kërkim për një algoritëm: në atë kohë, me sa duket, ata as që menduan për atë që mund të ekzistonte. vendim negativ probleme të ngjashme.
8. Pohimi për gjenerimin e fundëm të algjebrës së invarianteve vërtetohet për grupet reduktive. Nagata në vitin 1958 ndërtoi një shembull të një grupi unipotent algjebra e invarianteve të të cilit nuk është krijuar përfundimisht. V.L. Popov vërtetoi se nëse algjebra e invarianteve të çdo veprimi të një grupi algjebrik G në një varietet afinal algjebrik gjenerohet përfundimisht, atëherë grupi G është reduktues.
9. Pjesa e parë (algjebrike) e problemës nr. 16 është formuluar më saktë si më poshtë. Harnack e vërtetoi këtë numri maksimal ovale është e barabartë me M=(n-1)(n-2)/2+1, dhe se kurba të tilla ekzistojnë - ato quhen M-lakore. Si mund të renditen ovalet e kurbës M? Ky problem është bërë deri në shkallën n=6 përfshirëse, dhe për shkallën n=8 dihet mjaft (edhe pse ende nuk është përfunduar). Për më tepër, ka pohime të përgjithshme që kufizojnë mënyrën se si mund të rregullohen ovalet e kthesave M - shih veprat e Gudkov, Arnold, Roon, vetë Hilbert (megjithatë, vlen të merret parasysh se ka një gabim në provën e Hilbertit për n= 6: një nga rastet, të cilat ai e konsideroi të pamundur, doli të ishte i mundur dhe u ndërtua nga Gudkov). Pjesa e dytë (diferenciale) mbetet e hapur edhe për fushat vektoriale kuadratike - nuk dihet as sa mund të ketë, dhe se ekziston një kufi i sipërm. Edhe teorema individuale e fundshmërisë (që çdo fushë vektoriale polinomiale ka një numër të kufizuar ciklesh kufi) u vërtetua vetëm kohët e fundit. Ajo u konsiderua e provuar nga Dulac, por u zbulua një gabim në vërtetimin e tij, dhe kjo teoremë u vërtetua më në fund nga Ilyashenko dhe Ecal, për të cilat secili prej tyre duhej të shkruante një libër.
10. Përkthimi i emrit origjinal të problemit të dhënë nga Hilberti është dhënë: “16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen" - www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html (gjermanisht). Megjithatë, më saktë përmbajtja e tij (siç konsiderohet sot) mund të përcillet me titullin e mëposhtëm: “Numri dhe vendndodhja e ovaleve të një kurbë reale algjebrike të një shkalle të caktuar në rrafsh; numri dhe vendndodhja e cikleve kufitare të një fushe vektoriale polinomiale të një shkalle të caktuar në plan." Ndoshta (siç mund të shihet nga përkthimi në anglisht teksti i njoftimit - aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob16 (anglisht) ), Hilberti besonte se pjesa diferenciale (në realitet, e cila doli të ishte shumë më e vështirë se pjesa algjebrike) do të ishte e tretshme me të njëjtat metoda si ajo algjebrike, dhe për këtë arsye nuk e përfshiu atë në titull.
11. Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.-Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400-412.
12. Rove dhe Grey gjithashtu e quajnë problemin #18 "të hapur" në librin e tyre të vitit 2000, sepse problemi i paketimit të topit (i njohur gjithashtu si problemi i Keplerit) nuk ishte zgjidhur në atë kohë, por tani raportohet se është zgjidhur (shih më poshtë). Përparime në zgjidhjen e problemit nr. 16 janë bërë kohët e fundit, si dhe në vitet 1990.
13. http://www.maa.org/news/Thiele.pdf - www.maa.org/news/Thiele.pdf

4. Tekste në internet

• Teksti origjinal në gjermanisht i raportit të Hilbertit - www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html
• Përkthimi rusisht i raportit të Gilbert - vivovoco.rsl.ru/VV/PAPERS/NATURE/GILBERT_R.HTM (pjesa hyrëse dhe përfundimi)

Letërsia

• Bolibrukh A. A. Problemet e Hilbertit (100 vjet më vonë) - www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2. - MCNMO, 1999. - T. 2. - 24 f. - (Biblioteka “Edukimi Matematik”).
• Demidov S. S. Mbi historinë e problemeve të Hilbertit // Kërkim historik dhe matematikor. - M.: Nauka, 1966. - Nr 17. - F. 91-122.
• Lyashko S. I., Nomirovsky D. A., Petunin Yu I., Semenov V. V. Problemi i njëzetë i Hilbertit. Zgjidhje të përgjithësuara të ekuacioneve të operatorëve - shtonda.blogspot.com/2009/01/twentieth-problem-hilbert.html. - M.: “Dialektika”, 2009. - 192 f. - ISBN 978-5-8459-1524-5
• Problemet e Hilbertit - ilib.mccme.ru/djvu/klassik/gilprob.htm, Koleksioni i redaktuar nga P. S. Aleksandrov, M., Nauka, 1969, 240 f.

Përshkrimi i prezantimit sipas sllajdeve individuale:

1 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

2 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Informacione të përgjithshme Problemet e Hilbertit janë një listë me 23 probleme kryesore në matematikë të paraqitura nga David Hilbert në Kongresin e Dytë Ndërkombëtar të Matematikanëve në Paris në 1900. Në atë kohë, këto probleme (që mbulonin themelet e matematikës, algjebrës, teorisë së numrave, gjeometrisë, topologjisë, gjeometrisë algjebrike, grupeve të gënjeshtrës, analizës reale dhe komplekse, ekuacioneve diferenciale, fizikës matematikore dhe teorisë së probabilitetit, si dhe llogaritjen e variacioneve) nuk u zgjidhën. Për momentin, 16 problema nga 23 janë zgjidhur, 2 të tjera nuk janë probleme të sakta matematikore (njëra është formuluar shumë e paqartë për të kuptuar nëse është zgjidhur apo jo, tjetra, larg zgjidhjes, është fizike, jo matematikore). . Nga 5 problemet e mbetura, dy nuk janë zgjidhur në asnjë mënyrë dhe tre janë zgjidhur vetëm për disa raste.

3 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

4 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Lista e problemave (vazhdim) Nr. Statusi Formulim i shkurtër Rezultati Viti i zgjidhjes 11 i zgjidhur pjesërisht Studimi i formave kuadratike me koeficientë numerik algjebrikë arbitrare 12 i pazgjidhur Zgjerimi i teoremës së Kronecker-it mbi fushat Abeliane në një fushë arbitrare algjebrike të racionalitetit 13 është e mundur e zgjidhur zgjidh një ekuacion të përgjithshëm të shkallës së shtatë duke përdorur funksione që varen vetëm në dy variabla Po 1957 14 i zgjidhur Vërtetim i gjenerimit të fundëm të algjebrës së pandryshueshme të një grupi algjebrik linear Përgënjeshtrohet 1959 15 i zgjidhur pjesërisht Arsyetim rigoroz i llogaritjes së Schubert-it gjeometria e zgjidhur pjesërisht Top1 kthesa algjebrike dhe sipërfaqet 17 të zgjidhura Disa forma mund të paraqiten si katrorë Po 1927

5 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Lista e problemave (vazhdim) Nr. Gjendja Formulim i shkurtër Rezultati Viti i zgjidhjes 18 i zgjidhur A është numri i grupeve algjebrike të fundme? A ka mbushje të parregullta të hapësirës me poliedra kongruente? A janë paketimet gjashtëkëndore dhe kubike të sferave në qendër të faqes më të dendura? Po Po Po (a)1927 (b)1998 19 zgjidhur A janë gjithmonë analitike zgjidhjet e problemit variacional të Lagranzhit? Po 1957 20 zgjidhur A kanë zgjidhje të gjitha problemet variacionale me kushte të caktuara kufitare? Po? 21 i zgjidhur Vërtetimi i ekzistencës së ekuacioneve diferenciale lineare me një grup të caktuar monodromi A kërkon sqarim formulimi? 22 zgjidhur Uniformizimi i varësive analitike duke përdorur funksionet automorfike? 23 i pazgjidhur Zhvillimi i metodave të llogaritjes së variacioneve

6 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

24 - Problemi I Fillimisht lista përmbante 24 probleme, por në procesin e përgatitjes së raportit, Gilbert braktisi njërën prej tyre. Ky problem lidhej me teorinë e provave të kriterit të thjeshtësisë dhe metodat e përgjithshme. Ky problem u zbulua në shënimet e Hilbertit nga historiani gjerman i shkencës Rüdiger Thiele në 2000.

E dyta nga problemet e famshme matematikore që David Hilbert parashtroi në 1900 në Paris në Kongresin II Ndërkombëtar të Matematikanëve. Nuk ka ende një konsensus midis komunitetit matematikor nëse është zgjidhur apo jo. Problemi tingëllon si ky: A janë aksiomat e aritmetikës kontradiktore apo jo? Kurt Gödel vërtetoi se qëndrueshmëria e aksiomave të aritmetikës nuk mund të vërtetohet nga vetë aksiomat e aritmetikës (përveç nëse aritmetika është në të vërtetë jokonsistente). Përveç Gödel, shumë të tjerë matematikanë të shquar u mor me këtë problem.

Fondacioni Wikimedia.

2010.

Shihni se çfarë është "Problemi i dytë i Hilbertit" në fjalorë të tjerë:

Problemi i gjashtëmbëdhjetë i Hilbertit është një nga 23 problemet që David Hilbert propozoi më 8 gusht 1900 në Kongresin e Dytë Ndërkombëtar të Matematikanëve. Fillimisht problemi u quajt “Problemi i topologjisë së kthesave dhe sipërfaqeve algjebrike”... ... Wikipedia

Problemet e Hilbertit janë një listë me 23 probleme kryesore në matematikë, të paraqitura nga David Hilbert në Kongresin e Dytë Ndërkombëtar të Matematikanëve në Paris në 1900. Pastaj këto probleme (që mbulojnë themelet e matematikës, algjebrës, teorisë... ... Wikipedia

Ky artikull propozohet për fshirje. Një shpjegim i arsyeve dhe diskutimi përkatës mund të gjendet në faqen e Wikipedia: Për t'u fshirë / 22 nëntor 2012. Ndërsa procesi i diskutimit është ... Wikipedia

Problemet e Hilbertit janë një listë me 23 probleme kryesore në matematikë, të paraqitura nga David Hilbert në Kongresin e Dytë Ndërkombëtar të Matematikanëve në Paris në 1900. Pastaj këto probleme (që mbulojnë themelet e matematikës, algjebrës, teorisë së numrave, ... ... Wikipedia NË përkufizimi klasik teoria algjebrike (nganjëherë e quajtur edhe teoria algjebrike), e cila studion algjebrike shprehje (polinome, funksionet racionale ose kombinimet e tyre), duke ndryshuar në një mënyrë të caktuar për lineare jo të degjeneruara... ...

Enciklopedia Matematikore Në teori sistemet dinamike

dhe ekuacionet diferenciale, cikli kufi i një fushe vektoriale në një plan ose, në përgjithësi, në çdo manifold dydimensional është një trajektore e mbyllur (periodike) e kësaj fushe vektoriale, në ... ... Wikipedia- LOGJIK (nga greqishtja logik (logos) fjalë, arsye, arsyetim) shkenca e arsyetimit të saktë (të saktë). Tradicionalisht, arsyetimi përbëhet nga një sekuencë fjalish, të quajtura premisa, nga e cila rrjedh një fjali e vetme... ... Enciklopedia e Epistemologjisë dhe Filozofisë së Shkencës

Teoria e numrave është një degë e matematikës që merret kryesisht me studimin e numrave natyrorë dhe të plotë dhe vetive të tyre, shpesh duke përdorur metoda analiza matematikore dhe degë të tjera të matematikës. Teoria e numrave përmban shumë probleme... ... Wikipedia

Degë e filozofisë që studion natyrën objekte matematikore dhe problemet epistemologjike të njohjes matematikore. Filozofia Problemet në matematikë mund të ndahen në dy grupe kryesore: ontologjike dhe epistemologjike. Personazhi abstrakt...... Enciklopedia Filozofike

- (Anglisht teorema e Wolstenholme-it) pohon se për ndonjë numër i thjeshtë krahasimi bëhet aty ku mesatarja koeficienti binomial. Krahasimi ekuivalent Nuk ka numra të njohur të përbërë që plotësojnë teoremën e Wolstenhall ... Wikipedia

libra

• Teoria analitike e ekuacioneve diferenciale. Vëllimi 1, Ilyashenko Yu.S.. Libri i propozuar është vëllimi i parë i një monografie me dy vëllime kushtuar teori analitike ekuacionet diferenciale. Pjesa e parë e këtij vëllimi paraqet teorinë formale dhe analitike...