Karakteristikat e përgjithshme të lëvizjes. Teorema themelore e lëvizjeve

Prezantimi.

Transformimet gjeometrike janë një degë mjaft e vonë e matematikës. Transformimet e para gjeometrike filluan të konsiderohen në shekullin e 17-të, dhe transformimet projektive u shfaqën vetëm në fillimi i XIX shekulli.

Mbulesat e algjebrës funksione të ndryshme. Funksioni f i cakton çdo numri x nga fusha e përkufizimit të funksionit një numër të caktuar f(x) - vlerën e funksionit f në pikën x. Në gjeometri konsiderohen funksione që kanë fusha të ndryshme përkufizimi dhe grupe vlerash. Ata caktojnë një pikë për secilën pikë. Këto funksione quhen transformime gjeometrike.

Shndërrimet gjeometrike kanë rëndësi të madhe në gjeometri. Përdorimi i transformimeve gjeometrike, kaq i rëndësishëm konceptet gjeometrike, si barazi dhe ngjashmëri figurash. Falë transformimet gjeometrike, shumë fakte të ndryshme të gjeometrisë përshtaten në një teori koherente.

Abstrakti do të fokusohet kryesisht në transformimet hapësinore. Do të merren parasysh të gjitha lëvizjet, ngjashmëritë, transformimet rrethore dhe afine të hapësirës, ​​si dhe transformimet afine dhe projektive të rrafshit. Për çdo transformim, do të merren parasysh vetitë e tij dhe shembujt e aplikimit në zgjidhjen e problemeve gjeometrike.

Së pari, le të shohim disa koncepte bazë që do të na duhen për të punuar me transformimet. Le të përqendrohemi në dy terma: distancë dhe transformim. Pra, çfarë kuptojmë me këto fjalë:

Përkufizimi. Largësia ndërmjet dy pikave do ta quajmë gjatësinë e segmentit me skaje në këto pika.

Përkufizimi. Transformimi set ne do ta quajmë një përshkrim një-për-një të këtij grupi në vetvete.

Tani le të vazhdojmë të shqyrtojmë specie individuale transformimet gjeometrike.

Pjesa I. Lëvizjet e hapësirës.

Karakteristikat e përgjithshme të lëvizjeve.

Përkufizimi. Shndërrimi i hapësirës quhet lëvizjes, nëse ruan distancat ndërmjet pikave.

Vetitë e lëvizjeve.

1. E kundërta e lëvizjes është transformimi.
2. Përbërja e lëvizjeve - lëvizja.
3. Kur lëviz, një vijë e drejtë shndërrohet në një vijë të drejtë, një rreze në një rreze, një segment në një segment, një plan në një plan, një gjysmë rrafsh në një gjysmë rrafsh.
4. Imazhi i një këndi të rrafshët në lëvizje është një kënd i rrafshët me të njëjtën madhësi.
5. Lëvizja ruan madhësinë e këndit ndërmjet vijave të drejta, ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit, ndërmjet rrafsheve.
6. Lëvizja ruan paralelizmin e vijave të drejta, një vijë të drejtë dhe një rrafsh, plane.

Dëshmitë e pronave.

1 dhe 2. Ndiqni nga përkufizimi i lëvizjes.

1. Le të shtrihen pikat A, X dhe B në të njëjtën drejtëz, dhe pika X shtrihet midis A dhe B. Pastaj AX + XB = AB. Le të jenë pikat A´, X´, B´ imazhe të pikave A, X, B gjatë lëvizjes. Pastaj А´Х´+Х´В´=А´В´ (nga përkufizimi i lëvizjes). Dhe nga kjo rrjedh se pikat A´, X´, B´ shtrihen në të njëjtën drejtëz dhe X´ shtrihet midis A´ dhe B´.
   Nga thënia e provuar menjëherë rrjedh se kur lëviz, një vijë e drejtë shndërrohet në një vijë të drejtë, një rreze në një rreze dhe një segment në një segment.

Për një aeroplan, prova mund të bëhet si më poshtë. Le të jenë a, b dy drejtëza të kryqëzuara të rrafshit tonë α, a´, b´ imazhet e tyre. Natyrisht, a' dhe b' kryqëzohen. Le të jetë α´ rrafshi që përmban drejtëzat a´, b´. Le të vërtetojmë se α´ është imazhi i rrafshit α. Le të M - pikë arbitrare rrafshi α, jo i shtrirë në vijat a dhe b. Le të vizatojmë një drejtëz c përmes M vijave prerëse a dhe b në pika të ndryshme. Imazhi i kësaj vije është drejtëza c´, ​​që pret drejtëzat a´, b´ në pika të ndryshme. Kjo do të thotë se M´, imazhi i pikës M, shtrihet në rrafshin α´. Pra, imazhi i çdo pike në rrafshin α shtrihet në rrafshin α´. Është vërtetuar në mënyrë të ngjashme se imazhi i anasjelltë i çdo pike në rrafshin α´ qëndron në rrafshin α. Prandaj α´ është imazhi i rrafshit α.

Tani nuk është e vështirë të vërtetosh deklaratën për gjysmëplanin. Thjesht duhet të plotësoni gjysmë rrafshin me një rrafsh, të merrni parasysh drejtëzën a, e cila kufizon gjysmërrafshin, dhe imazhin e saj a´, dhe më pas të provoni me kontradiktë se imazhet e çdo dy pikash të gjysmëplanit qëndrojnë në të njëjtën anë të a'.

1. Pason nga prona 3.
2. Ai rrjedh nga vetia 4 dhe përcaktimi i këndit ndërmjet drejtëzave (një drejtëz dhe një rrafsh, dy rrafshe) në hapësirë.
3. Le të supozojmë të kundërtën, d.m.th. le të kryqëzohen imazhet e vijave tona paralele (një drejtëz dhe një rrafsh, plane) (në rastin e drejtëzave paralele, është ende e nevojshme të tregohet se imazhet e tyre nuk mund të jenë drejtëza kryqëzuese, por kjo rrjedh menjëherë nga fakti se rrafshi që përmban këto vija do të kthehen në një plan). Pastaj merrni parasysh pikën e tyre të përbashkët. Ai do të ketë dy prototipa, gjë që është e pamundur nga përkufizimi i transformimit.

Përkufizimi. Figura F quhet e barabartë me figura Ф´, nëse ka një lëvizje që e shndërron Ф në Ф´.

Llojet e lëvizjeve.

3.1. Transformim identik.

Përkufizimi. Me transformim identik E e hapësirës quhet një transformim në të cilin çdo pikë në hapësirë ​​shndërrohet në vetvete.

Natyrisht, transformimi i identitetitështë një lëvizje.

3.2. Transferimi paralel.

Përkufizimi. Le të jepet një vektor në hapësirë. Transferimi paralel hapësira në një vektor është një transformim në të cilin secila pikë M paraqitet në një pikë M´ të tillë që .

Teorema 3.2. Transferimi paralel - lëvizja.

Dëshmi. Le të jenë A´, B´ imazhet e pikave A, B kur transferohen paralelisht në vektor. Mjafton të tregohet se AB = A´B´, që rrjedh nga barazia:

Transferimi i pronës. Një përkthim paralel transferon një vijë të drejtë (rrafsh) në vetvete ose në një vijë të drejtë (rrafsh) paralel me të.

Dëshmi. Në vërtetimin e Teoremës 3.2, ne vërtetuam se transferimi paralel ruan vektorët. Kjo do të thotë se ruhen vektorët drejtues të drejtëzave dhe vektorët normalë të planeve. Këtu vijon deklarata jonë.

Simetria qendrore.

Përkufizimi. Simetria në lidhje me pikën O ( simetria qendrore ) i hapësirës është një transformim hapësinor që harton një pikë O në vetvete dhe çdo pikë tjetër M në një pikë M´ ashtu që pika O të jetë mesi i segmentit MM´. Pika O quhet qendra e simetrisë.

Teorema 3.4. Simetria qendrore është lëvizja.

Dëshmi.

Le të A, B - dy pika arbitrare, A´, B´ - imazhet e tyre, O - qendra e simetrisë. Pastaj .

Veti e simetrisë qendrore. Simetria qendrore shndërron një drejtëz (rrafsh) në vetvete ose në një drejtëz (rrafsh) paralel me të.

Dëshmi. Në vërtetimin e teoremës 3.4, vërtetuam se gjatë transferimit paralel vektorët janë të kundërt. Kjo do të thotë se vektorët e drejtimit të drejtëzave dhe vektorët normalë të planeve me simetri qendrore ndryshojnë vetëm drejtimet. Këtu vijon deklarata jonë.

Teorema rreth specifikimit të lëvizjes.

Teorema 5.1. (teorema për specifikimin e lëvizjes) Nëse jepen respektivisht dy tetraedra ABCD dhe A´B´C´D skajet e barabarta, atëherë ka një dhe vetëm një lëvizje të pikave të hartës së hapësirës A, B, C, D, përkatësisht, në pikat A´, B´, C´, D´.

Dëshmi.

I. Ekzistenca. Nëse A përkon me A´, B - me B´, C - me C´, D - me D´, atëherë jepet një transformim i thjeshtë identiteti. Nëse jo, atëherë le të supozojmë për saktësi se A nuk përkon me A´. Le të shqyrtojmë rrafshin α të simetrisë së pikave A dhe A´. Lëreni simetrinë S α të transformojë tetraedrin ABCD në tetraedrin A´B 1 C 1 D 1 .

Tani, nëse B 1 përkon me B´, C 1 - me C´, D 1 - me D´, atëherë vërtetimi është i plotë. Nëse jo, atëherë mund të supozojmë pa humbur përgjithësinë se pikat B´ dhe B 1 nuk përkonin. Le të shqyrtojmë rrafshin β të simetrisë së pikave B 1 dhe B´. Pika A´ është e barabartë nga pikat B 1 dhe B´, prandaj shtrihet në rrafshin β. Lëreni simetrinë S β të transformojë tetraedrin A´B 1 C 1 D 1 në tetraedrin A´B´C 2 D 2.

Tani, nëse C 2 përkon me C´, dhe D 2 përkon me D´, atëherë vërtetimi është i plotë. Nëse jo, atëherë mund të supozojmë pa humbur përgjithësinë se pikat C´ dhe C2 nuk përkonin. Le të shqyrtojmë rrafshin e simetrisë γ të pikave C 2 dhe C´. Pikat A´, B´ janë të barabarta nga pikat C 2 dhe C´, prandaj ato shtrihen në rrafshin γ. Lëreni simetrinë S γ të transformojë tetraedrin A´B´C 2 D 2 në tetraedrin A´B´C´D 3.

Tani, nëse D 3 përkon me D´, atëherë vërtetimi është i plotë. Nëse jo, atëherë merrni parasysh rrafshin δ të simetrisë së pikave D 3 dhe D´. Pikat A´, B´, C´ janë të barabarta nga pikat D 3 dhe D´, prandaj ato shtrihen në rrafshin δ. Kjo do të thotë se simetria S δ e transformon tetraedrin A´B´C´D 3 në tetraedrin A´B´C´D´.

Pra, përbërja e numrit të kërkuar të simetrive të reduktuara të pasqyrës e transformon tetraedrin ABCD në tetraedrin A´B´C´D´. Dhe ky transformim është një lëvizje (veti e 2 lëvizjeve).

II. Unike. Le të ketë 2 lëvizje f dhe g, duke transferuar A në A´, B në B´, C në C´, D në D´. Atëherë lëvizja është një transformim identik, pasi lë pikat A, B, C, D të palëvizshme. Pra f=g.

Kur vërtetohet Teorema 5.1 (ekzistenca), në fakt u vërtetua

Teorema 5.2.Çdo lëvizje e hapësirës është një përbërje me jo më shumë se katër simetri pasqyre.

Homoteiteti i hapësirës.

Le të shqyrtojmë së pari të rëndësishmen rast i veçantë ngjashmëri - homoteti.

Përkufizimi. Homoteiteti me qendër O dhe koeficient është një transformim hapësinor në të cilin imazhi i secilës pikë X është një pikë X´ e tillë që .

Vetitë e homoteitetit.

Dëshmitë e pronave.

1 dhe 2. Ndiqni nga përkufizimi i homoteitetit.

3. E vërtetuar në mënyrë të ngjashme me teoremën përkatëse në rrafsh. Në të vërtetë, nëse marrim parasysh një pikë arbitrare X në hapësirë, do të na mjaftojë të vërtetojmë teoremën tonë për rrafshin (AHB).

4. E vërtetuar me kontradiktë.

1. Pason nga prona 1.

Vetitë e ngjashmërisë.

Teorema 2.1. Ngjashmëria e hapësirës mund të përfaqësohet nga përbërja e homoteitetit dhe lëvizjes f:

Dëshmi. Le të kryejmë një homoteti me qendrën në një pikë arbitrare. Konsideroni një transformim f të tillë që (ekzistenca e një transformimi të tillë rrjedh nga përkufizimi i një transformimi). Shndërrimi f do të jetë lëvizje sipas përkufizimit të lëvizjes.

Vini re se duke zgjedhur lëvizjen për f, ne mund të marrim një paraqitje të ngjashmërisë sonë në këtë formë.

Vetitë e ngjashmërisë.

Dëshmitë e pronave.

1 dhe 2. Pasojat nga teorema 2.1.

3. Rrjedhim nga përkufizimi i ngjashmërisë.

4. Për një kub teorema është padyshim e vërtetë. Për një trup të përbërë nga kube, sigurisht, gjithashtu.

Një poliedron arbitrar M mund të mbivendoset në një rrjetë kub. Ne do ta bluajmë këtë grilë. Kur ana e një kubi të rrjetës sonë tenton në zero, vëllimet e dy trupave: trupi I, i përbërë nga kube të shtrirë plotësisht brenda M, dhe trupi S, i përbërë nga kube që kanë pikat e përbashkëta me M - priren në vëllimin e shumëkëndëshit M (kjo rrjedh nga fakti se për secilën faqe të shumëkëndëshit tonë M vëllimi i kubeve që e kryqëzojnë këtë faqe do të priret në zero). Për më tepër, për imazhin M´ të shumëfaqëshit M, me ngjashmërinë tonë, vëllimet e trupave I´, S´ (imazhet e trupave I, S) priren në vëllimin e shumëkëndëshit M´. Teorema jonë është e vërtetë për trupat I dhe S, që do të thotë se është e vërtetë edhe për poliedrin M.

Vëllimi organ arbitrar përcaktohet përmes vëllimeve të poliedrit përkatës, kështu që teorema është e vërtetë edhe për një trup arbitrar.

Teorema 2.2. (në lidhje me specifikimin e ngjashmërisë së hapësirës) Nëse dy tetraedra ABCD dhe A´B´C´D jepen të tilla që , atëherë ekziston saktësisht një ngjashmëri e hapësirës për të cilën A→A´, B→B´, C→C´, D→D´.

Dëshmi. Fakti që ekziston një ngjashmëri e tillë rrjedh nga teorema 2.1 dhe teorema për specifikimin e lëvizjes së hapësirës (Pjesa I, Teorema 5.1). Le të ketë dy shndërrime të tilla: P dhe Р´. Atëherë transformimi është një lëvizje që ka pika fikse A, B, C, D, d.m.th. f – transformimi i identitetit. Prandaj P=P´.

Detyra 1.

Pikat M, N, P ndodhen në anët AB, BC, AC trekëndëshi ABC. Pikat M´, N´, P´ janë simetrike me pikat M, N, P në lidhje me brinjët AB, BC, AC. Vërtetoni se sipërfaqet e trekëndëshave MNP dhe M´N´P´ janë të barabarta.

Zgjidhje.

Për trekëndëshi i rregullt deklarata është e qartë.

Në të njëjtën mënyrë, çdo trapezoid mund të shndërrohet nga një transformim afinik në një izosceles, d.m.th. mjafton të vërtetohet ndonjë deklaratë afine për trapezoid isosceles.

Detyra 2.

Në trapezin ABCD me baza AD dhe BC, vizatohet një vijë e drejtë përmes pikës B, paralel me anën CD dhe diagonale prerëse AC në pikën P, dhe përmes pikës C një drejtëz paralele me anën AB dhe diagonale ndërprerëse BD në pikën Q. Vërtetoni se drejtëza PQ është paralele me bazat e trapezit.

Zgjidhje.

Për një trapezoid isosceles, deklarata është e qartë.

Kompresimi në një vijë të drejtë.

Përkufizimi. Me ngjeshje në një vijë të drejtëℓ me koeficient k () është një transformim që çon një pikë arbitrare M në një pikë M´ të tillë që dhe , ku .

Teorema 2.1. Kompresimi në një vijë të drejtë është një transformim afin.

Dëshmi. Me verifikim të drejtpërdrejtë jemi të bindur se drejtëza kthehet në drejtëz. Madje mund të vëreni se ngjeshja në një vijë të drejtë është një rast i veçantë dizajn paralel(kur drejtimi i projektimit është pingul me vijën e kryqëzimit të planeve).

Teorema 2.2. Për këdo transformimi afin ka një rrjetë katrore, e cila, nën këtë transformim, kthehet në një rrjetë drejtkëndëshe.

Dëshmi. Le të marrim një rrjetë katrore arbitrare dhe të shqyrtojmë një nga katrorët e saj OABC. Gjatë transformimit tonë, ai do të kthehet në një paralelogram O´A´B´C´. Nëse О´А´В´С' është një drejtkëndësh, atëherë vërtetimi ynë është i plotë. Përndryshe, le të supozojmë për saktësi se këndi А´О´В´ është akut. Ne do të rrotullojmë katrorin OABC dhe të gjithë rrjetën tonë rreth pikës O. Kur katrori OABC rrotullohet (në mënyrë që pika A të jetë zhvendosur në pikën B), pika A´ do të zhvendoset në pikën B´ dhe B´ në kulmin e paralelogramit ngjitur me O´A´ В´С´. Ato. këndi А´О´В´ do të bëhet i mpirë. Sipas parimit të vazhdimësisë, në një moment ishte i drejtë. Në këtë moment, katrori OABC u kthye në një drejtkëndësh, dhe rrjeta jonë u kthye në një rrjetë drejtkëndëshe, etj.

Teorema 2.3. Një transformim afinik mund të përfaqësohet si një përbërje e ngjeshjes në një vijë të drejtë dhe ngjashmëri.

Dëshmi. Rrjedhim nga teorema 2.2.

Teorema 2.4. Një transformim afinik që shndërron një rreth të caktuar në një rreth është një ngjashmëri.

Dëshmi. Le të përshkruajmë një katror rreth rrethit tonë dhe ta rrotullojmë në mënyrë që gjatë transformimit tonë të kthehet në një drejtkëndësh (Teorema 2.2.). Rrethi ynë do të shkojë në rrethin e gdhendur në këtë drejtkëndësh, kështu që ky drejtkëndësh është një katror. Tani mund të specifikojmë një rrjetë katrore që shndërrohet në një rrjetë katrore gjatë transformimit tonë. Natyrisht, transformimi ynë është ngjashmëri.

3. Shndërrimet afinale të hapësirës.

Përkufizimi. Afine Një transformim hapësinor është një transformim hapësinor që transformon çdo plan në një plan.

Vetitë.

1. Me një transformim afine, linjat e drejta bëhen vija të drejta.
2. Një transformim afinal i hapësirës shkakton një hartë afinale të çdo rrafshi në imazhin e tij.
3. Nën transformimin e afinës plane paralele(drejtëza) shndërrohen në rrafshe paralele (drejtëza).

Dëshmitë e pronave.

1. Kjo rrjedh nga fakti se një vijë e drejtë është kryqëzimi i dy rrafsheve, dhe nga përkufizimi i një transformimi afin.
2. Rrjedhim nga përkufizimi i një transformimi afinal dhe vetisë 1.
3. Për rrafshet kjo vërtetohet me kontradiktë, për vijat - përmes vetive 2 dhe vetisë së transformimit afinal të një rrafshi.

Teorema 3.1. (në lidhje me specifikimin e një transformimi afinal të hapësirës) Për çdo tetraedrë të caktuar ABCD dhe A´B´C´D´, ekziston një transformim afinal unik që çon A në A´, B në B´, C në C´, D në D´.

Dëshmi. Prova është e ngjashme me Teoremën 1.1. (ndërtohen grilat paralelopipedësh).

Nga vërtetimi i teoremës 3.1 rezulton se nëse kemi një sistem të zhdrejtë koordinativ W, dhe W´ është imazhi i tij nën një transformim afin, atëherë koordinatat e një pike arbitrare në hapësirë ​​në sistemin koordinativ W janë të barabarta me koordinatat e tij. imazh në sistemin koordinativ W´.

Disa të tjera vijnë menjëherë nga kjo Vetitë transformimi afin.

1. Anasjellta e një transformimi afine është afine.
2. Shndërrimet afinike ruajnë raportin e gjatësive të segmenteve paralele.

Tani le të jepet një sistem koordinativ (O, , , ) në hapësirë ​​dhe transformimi afinal f shndërron O në O´, dhe vektorët bazë në vektorë, përkatësisht. Le të gjejmë koordinatat x´, y´, z´ të figurës M´(x´,y´,z´) të pikës M(x,y,z) nën transformimin f.

Do të supozojmë se pika M në sistemin koordinativ (O, , , ) ka të njëjtat koordinata si pika M´ në sistemin koordinativ (O´, , , ). Nga këtu

Prandaj kemi barazi (*):

Gjithashtu vlen të theksohet se , sepse vektorët , , janë linearisht të pavarur.

Kjo përcaktor quhet përcaktues i një transformimi afin.

Teorema 3.2. Transformimi i dhënë nga barazitë (*) është afin.

Dëshmi. Mjafton të kontrollohet nëse transformimi i anasjelltë i transformimit(*) është afin (vetia 4). Le të marrim një plan arbitrar Ax´+By´+Cz´+D=0, ku A, B, C nuk janë të barabarta me zero në të njëjtën kohë. Duke kryer zëvendësimet (*), marrim ekuacionin e imazhit të tij të kundërt:

Mbetet vetëm të kontrollojmë që në ekuacionin që rezulton koeficientët e x, y, z nuk janë njëkohësisht të barabartë me zero. Kjo është e vërtetë, sepse... përndryshe sistemi

me një përcaktor jozero do të kishte vetëm një zgjidhje zero: A=B=C=0, që është e pasaktë.

Teorema 3.3. Për vëllimet V dhe V´ që korrespondojnë me transformimin afinal të trupave, ndodh varësia.

Dëshmi. Le të formohen vektorët jokoplanarë , , bazë vektoriale hapësirë, dhe le të jepen vektorët në hapësirë , Dhe . Pasi kemi llogaritur produktin e përzier të këtyre vektorëve, marrim:

.

Le të përfitojmë nga fakti se vëllimi i një paralelipipedi të orientuar, i ndërtuar mbi vektorë si skaje, është i barabartë me punë e përzier këta vektorë:

,

ku V 0 është vëllimi i një paralelepipedi të ndërtuar mbi vektorë bazë.

Një transformim afinik nuk ndryshon koordinatat e vektorëve përkatës në bazat përkatëse. Prandaj, për vëllimin V´ të figurës së një paralelipipedi të vëllimit V kemi:

,

ku është vëllimi i një paralelipipedi të ndërtuar mbi vektorë, si në buzë.

Nga këtu marrim: . Me tutje , pra për vëllime të paorientuara kemi . Kjo barazi mund të shtrihet në të gjitha trupat në mënyrë të ngjashme me vërtetimin e vetive të 4 ngjashmërive (Pjesa II, §2).

Detyrë.

Kulmi i paralelopipedit lidhet me qendrat e tri faqeve që nuk e përmbajnë atë. Gjeni raportin e vëllimit të tetraedrit që rezulton me vëllimin e paralelepipedit të dhënë.

Zgjidhje.

Le të bëjmë matematikën këtë qëndrim për një kub dhe, pasi e kemi shndërruar kubin në një paralelipiped nga një transformim afin, ne përfitojmë nga fakti që transformimi afinik ruan raportin e vëllimit. Për një kub, raporti është i lehtë për t'u llogaritur. Është e barabartë me 1:12.

Përgjigje: 1:12.

Lidhja farefisnore e hapësirës.

Përkufizimi. Transformimi afin i hapësirës që ka një plan pika fikse, thirri transformim i lidhur ρ (farefisnore), dhe quhet rrafshi i pikave fikse të tij rrafshi i farefisnisë. Elementet që i përgjigjen lidhjes farefisnore quhen të lidhura.

Përkufizimi. Drejtimi i vijave të drejta që lidhin pikat e lidhura quhet drejtimi i marrëdhënies.

Vetitë e farefisnisë.

1. Vijat (rrafshet) e ndërlidhura priten në rrafshin e marrëdhënies ose janë paralele me të.
2. (Saktësia e përcaktimit të drejtimit të marrëdhënies) Vijat e drejta, secila prej të cilave lidh dy pika të lidhura, janë paralele.
3. Nëse drejtimi i lidhjes farefisnore nuk është paralel me rrafshin e kësaj lidhjeje, atëherë çdo segment që lidh dy pika të lidhura ndahet me rrafshin e farefisnisë në të njëjtin raport.
4. Çdo rrafsh paralel me drejtimin e farefisnisë është i palëvizshëm në këtë lidhje farefisnore. Në të, induktohet afiniteti i rrafshit (një transformim afinik që ka një vijë të drejtë pikash fikse, të quajtur boshti i afinitetit), boshti i të cilit është vija e drejtë e kryqëzimit të tij me rrafshin e afinitetit të caktuar të hapësirës.

Dëshmitë e pronave.

1. Prova është e ngjashme me vërtetimin e pasurisë simetria e pasqyrës(Pjesa I, §3.5).

2. Le të jenë A, B dy pika të ndryshme; A´, B´ janë imazhet e tyre të farefisnisë, α është rrafshi i farefisnisë. Le . Pastaj (vetia e transformimit afine), d.m.th. AA´||BB´, etj.

3 dhe 4. Ndiqni nga vërtetimi i pasurisë 2.

Përkufizimi. Sipërfaqja e përfaqësuar nga ekuacioni , thirri elipsoid. Një rast i veçantë i një elipsoid është një sferë.

Ekziston fakti i mëposhtëm, të cilin ne nuk do ta vërtetojmë, megjithatë, do të na duhet kur vërtetojmë teoremat e mëposhtme:

Teorema 4.1. Një transformim afinik shndërron një elipsoid në një elipsoid.

Teorema 4.2. Një transformim afinal arbitrar i hapësirës mund të përfaqësohet nga një përbërje ngjashmërie dhe farefisnore.

Dëshmi. Lëreni një transformim afinal f të hartojë një sferë σ në një elipsoid σ´. Nga teorema 3.1 rrjedh se f mund të përkufizohet nga këto figura. Le të shqyrtojmë rrafshin α´ që përmban qendrën e elipsoidit dhe që e pret atë përgjatë një rrethi të caktuar ω´ (ekzistenca e një rrafshi të tillë është e lehtë të vërtetohet nga konsideratat e vazhdimësisë). Le të jetë α imazhi i anasjelltë i α´, imazhi i anasjelltë i ω´, β sfera që ka rrethin ω´ si rreth diametral të saj. Ekziston një lidhje farefisnore ρ që lidh β me σ´, dhe ka një ngjashmëri P që harton σ me β. Pastaj - përfaqësimi i kërkuar.

Nga vërtetimi i teoremës së mëparshme, teorema 4.3 rrjedh menjëherë:

Teorema 4.3. Një transformim afinik që ruan një sferë është një ngjashmëri.

Pjesa IV. Transformimet projektive.

1. Shndërrimet projektive të rrafshit.

Përkufizimi. Plani projektues– një rrafsh i zakonshëm (Euklidian), i plotësuar me pika në pafundësi dhe një vijë të drejtë në pafundësi, i quajtur gjithashtu elemente jo të duhura. Në këtë rast, çdo vijë e drejtë plotësohet nga një pikë e gabuar, i gjithë rrafshi plotësohet nga një vijë e pahijshme; vijat paralele plotësohen nga një pikë e zakonshme e papërshtatshme, vijat joparalele plotësohen me të ndryshme; Pikat e pahijshme që plotësojnë të gjitha drejtëzat e mundshme të rrafshit i përkasin vijës së papërshtatshme.

Përkufizimi. Shndërrimi i rrafshit projektues që shndërron çdo drejtëz në drejtëz quhet projektive.

Pasoja. Një transformim projektiv që ruan vijën në pafundësi është afin; çdo transformim afinik është projektiv, duke ruajtur vijën në pafundësi.

Përkufizimi. Dizajn qendror rrafshi α në rrafshin β me qendër në një pikë O, jo i shtrirë në këto rrafshe, quhet një hartë që lidh çdo pikë A të rrafshit α me pikën A´ të prerjes së drejtëzës OA me rrafshin β.

Për më tepër, nëse rrafshit α dhe β nuk janë paralel, atëherë në rrafshin α ekziston një drejtëz ℓ e tillë që rrafshi që kalon nëpër pikën O dhe drejtëza ℓ është paralel me rrafshin β. Do të supozojmë se gjatë projeksionit tonë ℓ shkon në vijën pafundësisht të largët të rrafshit β (në këtë rast, çdo pikë B e drejtëzës ℓ shkon në atë pikë të vijës pafundësisht të largët që plotëson drejtëzat paralele me OB). Në rrafshin β ekziston një drejtëz ℓ´ e tillë që rrafshi që kalon në pikën O dhe drejtëzën ℓ´ është paralel me rrafshin α. Ne do ta konsiderojmë ℓ´ të jetë imazhi i drejtëzës α në pafundësi. Vijat e drejta do t'i quajmë ℓ dhe ℓ´ të theksuara.

Mund të themi se jepet një shndërrim i thjeshtë i rrafshit projektues (nëse bashkojmë rrafshet α dhe β).

Nga përkufizimi rrjedh menjëherë Vetitë projeksion qendror :

1. Dizajni qendror - transformim projektiv.
2. Transformimi i kundërt në dizajn qendror është dizajn qendror me të njëjtën qendër.
3. Vijat paralele me vijat e zgjedhura bëhen paralele.

Përkufizimi. Le të shtrihen pikat A, B, C, D në të njëjtën drejtëz. Qëndrim i dyfishtë(AB; CD) e këtyre pikave quhet vlera. Nëse njëra nga pikat është pafundësisht e largët, atëherë gjatësia e segmenteve fundi i të cilëve është kjo pikë mund të zvogëlohet.

Teorema 1.1. Projeksioni qendror ruan marrëdhënien e dyfishtë.

Dëshmi. Le të jetë O qendra e projektimit, A, B, C, D të jenë katër pika që shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, A´, B´, C´, D´ të jenë imazhet e tyre.

Po kështu .

Duke pjesëtuar një barazi me tjetrën, marrim .

Në mënyrë të ngjashme, në vend të pikës C, duke marrë parasysh pikën D, marrim .

Nga këtu , d.m.th. .

Për ta bërë vërtetimin të plotë, mbetet të theksohet se të gjitha segmentet, zonat dhe këndet mund të konsiderohen të orientuara.

Teorema 1.2. Le të jenë katër pika A, B, C, D të rrafshit π që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz dhe katër pika M, N, P, Q të rrafshit π´ që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz. Pastaj ekziston një përbërje e projeksionit qendror (paralel) dhe ngjashmërisë që çon A në M, B në N, C në P, D në Q.

Dëshmi.

Për lehtësi, do të themi se ABCD dhe MNPQ janë katërkëndëshe, megjithëse në fakt kjo nuk është e nevojshme (për shembull, segmentet AB dhe CD mund të kryqëzohen). Nga prova do të jetë e qartë se ne nuk përdorim askund që pikat A, B, C, D dhe M, N, P, Q në në rendin e specifikuar formojnë katërkëndësha.

Le të vizatojmë tani përmes pikave A, B, C, D vijat AK, BL, CF, DG, paralele me X 1 X 2 (K, L shtrihen në DC; G, F - në AB), dhe përmes pikave N, M - linjat NT , MS, paralele me Y 1 Y 2 (T, S shtrihen në PQ). Duke përdorur projeksionin qendror (paralel) f, ne e transformojmë trapezin ABLK në trapezoidin A´B´L´K´ të rrafshit π´, i ngjashëm me trapezin MNTS (kjo është e mundur sipas Pjesës I të provës sonë). Në këtë rast, nga zgjedhja e pikave X 1, X 2 del se drejtëza X 1 X 2 është një drejtëz e zgjedhur e rrafshit π´. Le të shënojmë pikat C´, D´ në drejtëzën L´K´ ashtu që trapezi ABCD të jetë i ngjashëm me trapezin A´B´C´D´. Le të vizatojmë drejtëza C´F´, D´G´ paralele me drejtëzën B´L´ (F´, G´ shtrihen në А´В´), dhe të shënojmë një pikë Y 1´ në drejtëzën А´В´ të tillë se , . Në rreshtin C´D´ shënojmë një pikë Y 2 ´ të tillë që Y 1 ´Y 2 ´||A´K´ (shih figurën). Nga zgjedhja e pikave Y 1 ´ dhe Y 2 ´ del se drejtëza Y 1 ´Y 2 ´ është një drejtëz e zgjedhur e rrafshit π´. Gjatë transformimit të f, pika E shkon në pikën E' të prerjes së drejtëzave A'B' dhe L'K'. Pika C shkon në një pikë C 0 ´ të drejtëzës C´D´.

Le të vërtetojmë se C 0 përkon me C´. Nga fakti se X 2 kur transformohet f shkon në pafundësi pikë e largët vijë e drejtë C´D', dhe Y 2 ´ - imazhi është i pafund pikë e largët CD e drejtpërdrejtë dhe projeksioni qendror ruajnë marrëdhënie të dyfishta, rrjedhimisht , ku . Tani merrni parasysh transformimin g, përbërjen e projeksionit qendror dhe ngjashmërisë, duke e transformuar trapezoidin CDGF në trapezoidin C´D´G´F´. Për transformimin g, mund të tregohet në mënyrë të ngjashme . Nga këtu do të vijojë që pikat C 0 dhe C' përkojnë. Në mënyrë të ngjashme, mund të tregohet se D 0 - imazhi i pikës D nën transformimin f - përkon me D´. Pra, transformimi f e shndërron katërkëndëshin ABCD në një katërkëndësh A´B´C´D´, i ngjashëm me katërkëndëshin MNPQ, që është ajo që kërkohej.

Teorema 1.3. Le të jepen katër pika, nga të cilat asnjë tre nuk shtrihet në të njëjtën drejtëzë: A, B, C, D dhe A´, B´, C´, D´. Pastaj ka një transformim unik projektues që çon A në A´, B në B´, C në C´, D në D´.

Ekzistenca Ky transformim rrjedh nga teorema 1.1.

Unike mund të vërtetohet në të njëjtën mënyrë si veçantia e një transformimi afinal (teorema 1.1, pjesa III): shqyrtoni një rrjetë katrore, ndërtoni imazhin e saj dhe më pas përsojeni atë. Për të kapërcyer vështirësitë që kemi hasur

Leksioni 10 . Vetitë e lëvizjes pamje e përgjithshme. Teorema themelore e lëvizjeve. Barazia forma gjeometrike.

Letërsia. § 41.

Teorema 1. Lëvizjet e aeroplanit formojnë një grup transformimesh.

Dëshmi.Mjafton që ne të kontrollojmë se produkti i çdo dy lëvizjesh është një lëvizje, dhe konvertimi i anasjelltë te lëvizja paraqet edhe lëvizjen e rrafshit. Konsideroni dy lëvizje vullnetare g dhe h . Pastaj për çdo dy pikë A dhe B plan janë të vlefshme relacionet e mëposhtme: dhe. Meqenëse dhe, produkti ruan distancën ndërmjet pikave, d.m.th. është një lëvizje.

Le të f - lëvizje arbitrare e avionit. Konsideroni dy pika A dhe B dhe shënoni me A" dhe B" imazhet e tyre nën transformimin e kundërt: Pastaj. Sepse f lëvizja e aeroplanit, atëherë: . Kjo është arsyeja pse. Shndërrimi i kundërt në lëvizje është gjithashtu lëvizje. Teorema është e vërtetuar.

Përkthimi dhe rrotullimi paralel janë lloje të veçanta të lëvizjeve. Mund të vërtetohet segrupet e të gjitha përkthimeve paralele, si dhe grupi i të gjitha rrotullimeve me një qendër fikse, formojnë nëngrupe në grupin e lëvizjeve në rrafsh.. Nuk është e vështirë të tregosh se grupi i të gjitha lëvizjeve që përkthejnë një figurë F në vetvete, formon një nëngrup në grupin e lëvizjeve. Nëse një lëvizje e tillë është e ndryshme nga ajo identike, atëherë quhetsimetria e figurës F, dhe nëngrupi i specifikuar ështëgrup simetrish të tij. Provoni vetë këto deklarata.

Le të zbulojmë se cilat grupe shërbejnë si imazhe të vijave të drejta, segmenteve, rrezeve, këndeve dhe rrathëve gjatë lëvizjes.

Prona 1. Le të jetë f lëvizja e rrafshit, A", B" dhe C" janë imazhet e pikave A, B dhe C gjatë lëvizjes së f. Atëherë pikat A", B" dhe C" shtrihen në të njëjtën drejtëz nëse dhe vetëm nëse pika A, B dhe C janë kolineare.

Dëshmi.Siç e dini nga një kurs gjeometrie shkollore, tre pikë A, B dhe C shtrihuni në të njëjtën vijë të drejtë nëse dhe vetëm nëse për njërën prej tyre, për shembull B , plotësohet kushti: . Në këtë rast, pika B shtrihet midis A dhe C (Fig. 130, a). Le të pretendojmë se, A, B dhe C janë kolineare dhe B shtrihet midis A dhe C . Meqenëse distancat midis pikave mbahen gjatë lëvizjes, atëherë:

". Prandaj pikat A", B" dhe C" janë kolineare.

Le të lëmë pikat A, B dhe C mos u shtrini në të njëjtën vijë të drejtë. Pastaj ato janë të vendosura në kulmet e trekëndëshit (Fig. 130, b). Prandaj, distancat midis tyre plotësojnë pabarazitë:. Për faktin se f ruan largësitë ndërmjet pikave, atëherë: . Prandaj pikat A", B" dhe C" shtrihen edhe në kulmet e trekëndëshit. Kështu, nëse pikat A", B" dhe C" janë kolineare, atëherë imazhet e tyre të anasjellta nuk mund të qëndrojnë në kulmet e trekëndëshit. Prona eshte e vertetuar.

Gjatë lëvizjes, pikat kolineare shndërrohen në ato kolineare, dhe pikat që nuk shtrihen në të njëjtën vijë shndërrohen në pika që nuk shtrihen në të njëjtën linjë.

Prona 2. Kur lëvizni, imazhi i një vije të drejtë është një vijë e drejtë.

Dëshmi . Le të jetë l një vijë e drejtë, A dhe B dy nga pikat e tij arbitrare, disa lëvizje, . Le të shënojmë me l" drejt A" B". Në përputhje me vetinë 1, pikat që i përkasin vijës AB, shndërrohen në pika që shtrihen në një vijë A"B". Kjo është arsyeja pse. Le të tregojmë se imazhi i anasjelltë i çdo pike C" rreshti l" shtrihet në rreshtin l. Kjo do ta vërtetojë atë. Le te jete. Kur vërtetuam teoremën 1, kontrolluam që transformimi është gjithashtu një lëvizje. Që, një pikë A", B" dhe C"- kolinear, atëherë A, B dhe C

gjithashtu shtrihuni në të njëjtën vijë të drejtë. Prona eshte e vertetuar. Për të gjetur imazhe të segmenteve, rrezeve dhe këndeve gjatë lëvizjes, duhet të përdorim vetitë marrëdhënie e thjeshtëpikat e një vije të drejtë. Le të kujtojmë këtë koncept. Le të jenë A, B dhe C pika të ndryshme që i përkasin së njëjtës drejtëz. Numri quhet raporti i tyre i thjeshtë (  = (AB,C)), nëse. Në të njëjtën kohë, pikat A dhe B quhen bazë, një pikë Me atë ndarëse. Pika C nëse dhe vetëm nëse shtrihet në segment AB, kur. Pika C nëse dhe vetëm nëse shtrihet në vijën e rrezes AB duke filluar në një pikë B që nuk përmban A, Kur. Dhe së fundi, pika shtrihet në një rreze të drejtë nëse dhe vetëm nëse shtrihet në vijën e rrezes AB A , që nuk përmban një pikë NË , nëse dhe vetëm nëse (Fig. 131).

Prona 3. Kur lëvizni, ruhet një marrëdhënie e thjeshtë pikash.

Dëshmi.Le të jetë pika C e segmentit. Në përputhje me vetinë 1, pikat që i përkasin vijës . Pastaj. Meqenëse, në bazë të përkufizimit të tij, një lidhje e thjeshtë jepet nga relacioni i vektorëve dhe, më pas në në këtë rastështë e barabartë me raportin e gjatësive të segmenteve: . Konsideroni një lëvizje arbitrare f , tregojnë me Imazhet A", B" dhe C" të pikave A, B dhe C me këtë lëvizje. Pika, Kur. Dhe së fundi, pika i përket segmentit. Në përputhje me vetinë 1, pikat që i përkasin vijës , pra shtrihet midis këtyre pikave, pra. Meqenëse lëvizja ruan distancat midis pikave, atëherë. Nga kjo rrjedh se pika C shtrihet midis A  dhe B , dhe

Le të supozojmë tani se pika B shtrihet midis A dhe C (shih figurën 131). Pastaj, dhe, siç vijon nga përkufizimi i një relacioni të thjeshtë, . Për faktin se f - lëvizje,. Prandaj pikë B" shtrihet midis A" dhe C" dhe Për rastin në shqyrtim prona është e provuar. Vërtetimi për pikat kryhet në mënyrë të ngjashme A, B dhe C , me kusht që pika A shtrihet midis C dhe B . Kryeni vetë provën.

Prona 4. Kur lëviz, një segment shndërrohet në një segment të barabartë.

Dëshmi.Le të shqyrtojmë një segment arbitrar. Le f disa lëvizje... Pika, Kur. Dhe së fundi, pika i përket segmentit nëse dhe vetëm nëse këto pika janë kolineare dhe. Le të shënojmë me C" imazhi i pikës C gjatë lëvizjes f . Nga vetitë 1 dhe 3 rezulton se pikat dhe janë kolineare dhe. Prandaj pikë ME" i përket segmentit. Kështu,. Është e lehtë të shihet se prototipi i çdo pike C" i përket edhe segmenti. Në të vërtetë, transformimi i anasjelltë është gjithashtu një lëvizje, prandaj rrjedh se ai shtrihet në segment. Kjo është arsyeja pse. Meqenëse distancat midis pikave ruhen gjatë lëvizjes, segmentet dhe janë të barabarta me njëri-tjetrin. Prona eshte e vertetuar.

Prona 5. Gjatë lëvizjes, trau shndërrohet në një rreze.

Dëshmi.Vërtetimi i kësaj prone është i ngjashëm me atë të mëparshëm. Merrni parasysh rrezen l AB A . Le të shënojmë me Në një pikë rreze l të ndryshme nga A. Le të f - lëvizje vullnetare, . Le të kalojë një rreze me origjinë në një pikë. Nëse, Kur. Dhe së fundi, pika një pikë në rreze l , atëherë ose shtrihet në segment ose në vazhdimin e tij. Nëse, atëherë në përputhje me vetinë 4, imazhi i tij qëndron në segment. Le, Kur. Dhe së fundi, pika i takon vazhdimit të segmentit. Pastaj. Meqë gjatë lëvizjes ruhet lidhja e thjeshtë e pikave, atëherë. Nga kjo rrjedh se pika C" i takon vazhdimit të segmentit rreze. Kështu,. Për të vërtetuar pohimin, mbetet të kontrollohet se imazhi i kundërt i çdo pike C" rreze l" i përket rrezes l . Kryeni vetë arsyetimin, duke përfituar nga fakti se edhe transformimi i anasjelltë është lëvizje.

Siç dihet nga kursi i gjeometrisë së shkollës, një kënd i referohet dy rrezeve që kanë fillimi i përgjithshëm.

Prona 6. Kur lëviz, një kënd shndërrohet në një kënd të barabartë me të.

Dëshmi.Le të shqyrtojmë rrezet m dhe n , duke pasur një origjinë të përbashkët në pikë A. Kur lëviz f ato shndërrohen në rreze m" dhe n" duke filluar në një pikë. Prandaj, këndi shndërrohet në një kënd. Le të zgjedhim në rrezet m dhe n pika B dhe C : . Le të shënojmë me B" dhe C" imazhet e tyre kur lëvizin f . Pastaj (Fig. 131). Sepse është një trekëndësh ABC e barabartë me një trekëndësh A"B"C". Prandaj  ABC =  A"B"C" . Prona eshte e vertetuar.

Le të zbulojmë se çfarë përfaqëson imazhi i një rrethi kur lëviz.

Prona 7. Le të jepet një rreth me rreze r me qendër në pikën O. Më pas, kur lëviz, ai shndërrohet në një rreth me rreze të njëjtë, me një qendër në një pikë që përkon me imazhin e qendrës O.

Dëshmi. Le të f lëvizje vullnetare, imazhi i qendrës RRETH gjatë kësaj lëvizjeje rrethore , rrezja e së cilës është e barabartë. Le të shënojmë me "Rrethi me qendër në pikë O" i rrezes r. Merrni pikën C, që i përket  . Le te jete. Që atëherë pikë C" i përket rrethit ". Anasjelltas, le C" - pikë arbitrare në rreth ", prototipi i tij gjatë lëvizjes. Meqenëse transformimi i kundërt është lëvizja, atëherë, d.m.th., pika, Kur. Dhe së fundi, pika i përket rrethit . Kështu “.Prona është e provuar.

Ne prezantojmë konceptin e një standardi që na nevojitet.

Përkufizimi 2. Me një kornizë afine të një rrafshi nënkuptojmë një treshe të renditur pikash jo-kolineare.

Në vijim, kornizën afinale R do ta shënojmë si më poshtë, ku dhe janë përkatësisht pikat e saj të para, të dyta dhe të treta. Ne shpesh do ta heqim fjalën "afine", duke e kuptuar kornizën si një kornizë afine. Nëse pikat e referencës plotësojnë kushtin: , dhe këndi është drejtëz, atëherë do të thirret pika e referencësortonormale.

Ne shoqërojmë një sistem koordinativ afine me secilën pikë referimi. Nëse na jepet një pikë referimi, atëherë do ta lidhim atë me sistemin: , ku (Fig. 133, a). Dhe anasjelltas, secili sistemi afin koordinatat do t'i përgjigjemi një pikë referimi që plotëson kushtet e specifikuara. Natyrisht, një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor korrespondon me një kornizë ortonormale (Fig. 133, b), dhe një kornizë ortonormale korrespondon me një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor. Në të ardhmen, nënkoordinatat e pikës në lidhje me pikën referuesekoordinatat e tij do t'i kuptojmë në sistemin koordinativ përkatës.

Është e lehtë të shihet se një veçori tjetër e lëvizjes është e vërtetë.

Prona 7. Gjatë lëvizjes, pika e referencës shndërrohet në një pikë referimi, dhe pika e referencës ortonormale shndërrohet në një pikë referimi ortonormale.

Deklarata rrjedh drejtpërdrejt nga vetitë 4 dhe 6 të lëvizjes.

Vetia themelore e mëposhtme është e vërtetë, nga e cila rezulton se çdo lëvizje përcaktohet plotësisht nga dy korniza ortonormale.

Teorema 2 (vetia kryesore e lëvizjeve).Lëri kornizat ortonormale dhe jepen në aeroplan. Pastaj ka e vetmja lëvizje g, duke e shndërruar kornizën R në R": .

Dëshmi.Le të tregojmë se një lëvizje e tillë ekziston. Konsideroni dy drejtkëndëshe Sistemet karteziane koordinatat që korrespondojnë me këto pika referimi ortonormale. Sistemi i parë formohet nga një pikë dhe vektorë: dhe i dyti. Siç ishte zakon në pjesën e parë të lëndës së gjeometrisë, ne do të furnizojmë koordinatat e pikave në këto sisteme me indekset 1 dhe 2: . Le të caktojmë çdo pikë M plane me koordinata x dhe y në lidhje me pikën e parë të sistemit M" me të njëjtat koordinata x dhe y në raport me sistemin e dytë të koordinatave. Është e qartë se çfarë është pajtueshmëria g është një hartë një-për-një e aeroplanit në vetvete. Le të tregojmë se g është lëvizja e pikave në rrafsh. Merrni parasysh pikat arbitrare M dhe N , koordinatat e të cilit në sistemin e parë janë të barabarta me: , , Meqenëse sistemi i koordinatave është drejtkëndor kartezian, distanca ndërmjet këtyre pikave llogaritet me formulën: Nëse M "dhe N" imazhe të M dhe N kur konvertohet g , atëherë këto pika kanë të njëjtat koordinata në raport me sistemin e dytë: , . Sistemi i dytë i koordinatave është gjithashtu kartezian drejtkëndor. Prandaj: Kështu, g lëvizja e pikave të planit. Meqenëse ky transformim ruan koordinatat e pikave, atëherë ( i =1,2,3). Ekzistenca e një lëvizjeje që përkthen referencën R në R" është vërtetuar.

Le të vërtetojmë veçantinë e tij. Supozoni se ka dy lëvizje f dhe g , duke përkthyer standardin R në R ": , e tillë që për një moment M aeroplan. Sepse f lëvizjen e aeroplanit, atëherë. Ne anen tjeter, g edhe lëvizje, pra: . Rrjedhimisht, pika është e barabartë nga pikat dhe, d.m.th. i takon përgjysmues pingul nga

prerje (Fig. 134). Në mënyrë të ngjashme, tregohet se dhe gjithashtu shtrihen në këtë pingul. Kemi arritur në një kontradiktë, pasi nga përkufizimi 2 rrjedhin se pikat dhe pikat e referencës R" nuk mund t'i përkasë të njëjtës linjë. Supozimi i ekzistencës së dy lëvizje të ndryshme, duke përkthyer standardin R në R" , - i rremë. Teorema është e vërtetuar.

Pasoja. Nëse f është lëvizja e rrafshit: transformimi i kornizës ortonormale R në kornizën ortonormale R", atëherë çdo pikë M e planit me koordinata x dhe y në lidhje me kornizën R i korrespondon një pike M"= f(M) me të njëjtat koordinata x dhe y në lidhje me kornizën R".

Në të vërtetë, në vërtetimin e teoremës 1 ndërtuam një lëvizje g që plotëson vetinë e treguar. Meqenëse ekziston një lëvizje e vetme që transferon kornizën R në R”, atëherë lëvizjet f dhe g përputhen. Le të prezantojmë përkufizimin e mëposhtëm.

Përkufizimi 3. Me flamur plani nënkuptojmë një pikë, një rreze me fillim në këtë pikë dhe një gjysmë rrafsh, kufiri i së cilës përmban këtë rreze.

Flamurin do ta shënojmë si më poshtë: , ku Pika M, l rreze, a është gjysma e rrafshit të flamurit. Çdo flamur korrespondon në mënyrë unike me një kornizë ortonore, ku M - një pikë e flamurit, shtrihet në rrezen e tij, a i përket gjysmërrafshit të flamurit (Fig. 135). Është e qartë se çdo flamur korrespondon me një kornizë ortonormale dhe anasjelltas, sipas rregullit të specifikuar, çdo kornizë e tillë korrespondon në mënyrë unike me një flamur.

Teorema 3. Le dy flamuj dhe jepen. Pastaj ka një lëvizje unike g që e shndërron flamurin F në flamurin F": , .

Dëshmi.Merrni parasysh kornizat ortonomale R dhe R" , që korrespondon me flamujt F dhe F". Koordinatat x dhe y të pikës M, pikat e rrezeve l dhe flamur gjysmë avionë F në kornizën R respektivisht plotësojnë kushtet: , dhe. Koordinatat e pikës i nënshtrohen të njëjtave kushte M ", pikat e rrezes l" dhe gjysmë avioni "flamur F" në referencën R" . Nga teorema 2 dhe rrjedhojë e saj rrjedh se ka një lëvizje unike g, duke marrë R në R ", në të cilën ruhen koordinatat e pikave në lidhje me këto pika referimi. Nga kjo rrjedh se ekziston një lëvizje e vetme që përkthen flamurin F në flamurin F" . Teorema është e vërtetuar.

Ne kryejmë përcaktimin e mëposhtëm.

Përkufizimi 4. Ne i quajmë dy figura të një rrafshi gjeometrikisht të barabarta (ose thjesht të barabarta) nëse ka një lëvizje të rrafshit që transferon figurën e parë tek e dyta.

Është e qartë se shifra të barabarta kanë veti që nuk ndryshojnë (invariante) me shndërrime nga grupi i lëvizjeve. Përkufizimi i paraqitur është plotësisht në përputhje me konceptin e barazisë së figurave gjeometrike të paraqitur në shumicën kurse shkollore gjeometria.

Koment. Shpesh quhen figura të barabarta gjeometrike kongruente

Në gjeometrinë elementare rëndësi themelore ka konceptin e barazisë së trekëndëshave, shenjat e të cilit përdoren në vërtetim numer i madh teorema planimetrike dhe stereometrike. Duke zbatuar vetinë bazë të lëvizjeve, do të tregojmë se dy trekëndësha janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse plotësohet kriteri i parë për barazinë e trekëndëshave.

Teorema 4. Dy trekëndësha janë kongruentë nëse dhe vetëm nëse brinjët e tyre përkatëse dhe këndet ndërmjet tyre janë të barabarta.

Dëshmi. Nga përkufizimi i barazisë së figurave gjeometrike rrjedh menjëherë se dy trekëndësha të barabartë përkthehen në njëri-tjetrin nga disa lëvizje të pikave të rrafshit. E njëjta lëvizje shndërron të gjithë elementët përkatës të trekëndëshave në njëri-tjetrin. Prandaj, brinjët dhe këndet përkatëse të trekëndëshave të barabartë janë të barabartë me njëra-tjetrën.

Mbrapa. Le të jepen dy trekëndësha ABC dhe A"B"C" , brinjët dhe këndet e të cilave plotësojnë kushtin: , . Le të vërtetojmë se një lëvizje e tillë ekziston g aeroplan, në të cilin: . Bashkangjitni në trekëndësh ABC flamur, në mënyrë që pika e flamurit të përputhet me kulmin A, tra l përmbante majën B, një kulm C i përkiste gjysmë-avionit. Në mënyrë të ngjashme, bashkëngjitni flamurin në trekëndësh A"B"C" (Fig. 136). Le të themi R dhe R" - standardet ortonomale që korrespondojnë me flamujt F dhe F" . Pastaj koordinatat e kulmeve të trekëndëshit të parë në lidhje me pikën referuese R kanë formën: , ku, është këndi i orientuar BAC trekëndëshi ABC . Që nga kushti, dhe, pastaj në kornizë R  kulmet A", B" dhe C" trekëndëshi i dytë ka të njëjtat koordinata. Nga teorema 3 rrjedh se ka lëvizje g , duke përkthyer standardin R në R" , në të cilën, në të cilën, siç vijon nga përfundimi i teoremës 2, ruhen koordinatat e pikave. Kjo është arsyeja pse. Teorema është e vërtetuar.

Mund të tregohet gjithashtu se për çdo dy shumëkëndësha të barabartë pohimi i mëposhtëm është i vërtetë:dy shumëkëndësha janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse brinjët dhe këndet e tyre përkatëse janë të barabarta.

Tema e këtij mësimi video do të jenë vetitë e lëvizjes, si dhe përkthimi paralel. Në fillim të mësimit, ne do të përsërisim edhe një herë konceptin e lëvizjes, llojet kryesore të tij - simetria boshtore dhe qendrore. Pas kësaj, ne do të shqyrtojmë të gjitha vetitë e lëvizjes. Le të shohim konceptin e "transferimit paralel", për çfarë përdoret dhe të emërtojmë vetitë e tij.

Tema: Lëvizja

Mësimi: Lëvizja. Vetitë e lëvizjes

Le të vërtetojmë teoremën: kur lëviz segmenti kthehet në segment.

Le të deshifrojmë formulimin e teoremës duke përdorur Fig. 1. Nëse skajet e një segmenti të caktuar MN gjatë lëvizjes janë hartuar në disa pika M 1 dhe N 1, përkatësisht, atëherë çdo pikë P e segmentit MN do të shkojë domosdoshmërisht në një pikë P 1 të segmentit M 1 N 1, dhe anasjelltas, në secilën pikë Q 1 të segmentit M 1 N 1 do të shfaqet domosdoshmërisht një pikë e caktuar Q e segmentit MN.

Dëshmi.

Siç shihet nga figura, MN = MP + PN.

Le të shkojë pika P në një pikë P 1 "të planit. Nga përkufizimi i lëvizjes rezulton se gjatësitë e segmenteve janë të barabarta MN = M 1 N 1, MP = M 1 P 1 ", PN = P 1 " N 1. Nga këto barazime del se M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, pra pika Р 1 " i përket segmentit M. 1 N 1 dhe përkon me pikën P 1, përndryshe në vend të barazisë së mësipërme do të ishte e vërtetë mosbarazimi i trekëndëshit M 1 P 1 "+ P 1 "N 1 > M 1 N 1 duke lëvizur, çdo pikë P e segmentit MN do të shkojë domosdoshmërisht në një pikë P 1 të segmentit M 1. N 1. Pjesa e dytë e teoremës (në lidhje me pikën Q 1) vërtetohet absolutisht në të njëjtën mënyrë.

Teorema e provuar është e vlefshme për çdo lëvizje!

Teorema: kur lëviz, një kënd shndërrohet në një kënd të barabartë me të.

Le të jepet RAOB (Fig. 2). Dhe le të jepet një lëvizje në të cilën kulmi РО shkon në pikën O 1, dhe pikat A dhe B - përkatësisht në pikat A 1 dhe B 1.

Konsideroni trekëndëshat AOB dhe A 1 O 1 B 1. Sipas kushteve të teoremës, pikat A, O dhe B lëvizin kur kalohen në pikat A 1, O 1 dhe B 1, përkatësisht. Rrjedhimisht, ekziston barazia e gjatësive AO = A 1 O 1, OB = O 1 B 1 dhe AB = A 1 B 1. Kështu, AOB = A 1 O 1 B 1 në tre anët. Nga barazia e trekëndëshave del se këndet përkatëse O dhe O 1 janë të barabarta.

Pra, çdo lëvizje ruan kënde.

Shumë pasoja rrjedhin nga vetitë themelore të lëvizjes, veçanërisht nga fakti që çdo figurë kur lëviz është e shënuar në një figurë të barabartë.

Le të shqyrtojmë një lloj tjetër lëvizjeje - transferimin paralel.

Transferimi paralel për disa vektor i dhënë Kjo quhet një hartë e rrafshit në vetvete, në të cilën çdo pikë M e rrafshit shkon në një pikë M 1 të të njëjtit rrafsh në mënyrë që (Fig. 3).

Le ta vërtetojmë këtë përkthimi paralel është një lëvizje.

Dëshmi.

Le të shqyrtojmë një segment arbitrar MN (Fig. 4). Le të kalojë, gjatë një transferimi paralel, pika M në pikën M 1 dhe pika N në pikën N 1. Në këtë rast plotësohen kushtet për bartje paralele: dhe . Konsideroni një katërkëndësh

MM 1 N 1 N. Dy anët e tij të kundërta (MM 1 dhe NN 1) janë të barabarta dhe paralele, siç diktohen nga kushtet e transferimit paralel. Për rrjedhojë, ky katërkëndësh është paralelogram sipas një prej karakteristikave të këtij të fundit. Nga kjo rezulton se dy brinjët e tjera (MN dhe M 1 N 1) të paralelogramit kanë gjatësi të barabarta, që ishte ajo që duhej vërtetuar.

Kështu, përkthimi paralel është me të vërtetë një lëvizje.

Le të përmbledhim. Tashmë jemi njohur me tre lloje lëvizjesh: simetria boshtore, simetria qendrore dhe transferim paralel. Ne vërtetuam se kur lëviz, një segment shkon në një segment dhe një kënd në një kënd të barabartë me të. Përveç kësaj, mund të tregohet se kur lëviz, një vijë e drejtë kthehet në një vijë të drejtë dhe një rreth kthehet në një rreth me të njëjtën rreze.

1. Atanasyan L. S. et al. Klasat e Gjeometrisë 7-9. Tutorial për institucionet arsimore. - M.: Arsimi, 2010.

2. Farkov A.V Testet e gjeometrisë: klasa e 9-të. Tek libri shkollor nga L. S. Atanasyan dhe të tjerët - M.: Provim, 2010.

3. Pogorelov A.V. Gjeometri, libër shkollor. për klasat 7-11. arsimi i përgjithshëm themelimi - M.: Arsimi, 1995.

1. rusisht portali i arsimit të përgjithshëm ().

2. Festivali ide pedagogjike « Mësimi publik» ().

1. Atanasyan (shih listën e referencave), f. 293, § 1, paragrafi 114.

Lëvizjet ruajnë distancat dhe për këtë arsye ruajnë të gjitha vetitë gjeometrike të figurave, pasi ato përcaktohen nga distancat. Në këtë pikë do të marrim maksimumin vetitë e përgjithshme lëvizjet, duke ofruar prova në rastet kur nuk është e dukshme.

Vetia 1. Kur lëvizin, tre pika që shtrihen në të njëjtën drejtëz shndërrohen në tre pika që shtrihen në të njëjtën vijë, dhe tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën linjë shndërrohen në tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë.

Lëreni lëvizjen të shndërrojë pikat në pika, përkatësisht, atëherë barazimet plotësohen

Nëse pikat A, B, C shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, atëherë njëra prej tyre, për shembull, pika B, shtrihet midis dy të tjerave. Në këtë rast, dhe nga barazitë (1) del se . Dhe kjo barazi do të thotë se pika B shtrihet midis pikave A dhe C. Pohimi i parë është vërtetuar. E dyta vjen nga e para dhe kthyeshmëria e lëvizjes (në mënyrë të kundërt).

Vetia 2. Një segment shndërrohet në segment me lëvizje.

Lëvizja f lidh pikat A dhe B me skajet e segmentit AB. Pastaj, si në vërtetimin e vetive 1, mund të vërtetojmë se imazhi i saj - një pikë shtrihet në segmentin AB midis pikave A dhe B. Më tej, çdo pikë

Y i segmentit A B është imazhi i një pike Y të segmentit AB. Domethënë, ajo pikë Y, e cila largohet nga pika A me një distancë A Y. Rrjedhimisht, segmenti AB bartet me lëvizje në segmentin AB.

Vetia 3. Gjatë lëvizjes, një rreze shndërrohet në rreze, një vijë e drejtë në një vijë të drejtë.

Provoni vetë këto deklarata. Vetia 4. Trekëndëshi me lëvizje shndërrohet në trekëndësh, gjysmërrafsh në gjysmërrafsh, rrafsh në rrafsh, rrafshe paralele në rrafshe paralele.

Trekëndëshi ABC është i mbushur me segmente që lidhin kulmin A me pikat X ana e kundert BC (Fig. 26.1). Lëvizja do të lidhë një segment BC me një segment të caktuar B C dhe një pikë A me një pikë A që nuk shtrihet në vijën e drejtë BC. Për çdo segment AX, kjo lëvizje do të shoqërojë një segment AX, ku pika X shtrihet në BC. Të gjithë këta segmente AX do të mbushin trekëndëshin ABC.

Trekëndëshi hyn në të

Një gjysmë rrafshi mund të përfaqësohet si një bashkim trekëndëshash që zgjerohen pafundësisht, njëra anë e të cilëve shtrihet në kufirin e gjysmërrafshit

(Fig. 26.2). Prandaj, gjysmëplani do të shndërrohet në gjysmëplan kur lëviz.

Në mënyrë të ngjashme, një rrafsh mund të përfaqësohet si një bashkim trekëndëshash që zgjerohen pafundësisht (Fig. 26.3). Prandaj, kur lëvizni, aeroplani vihet në hartë në aeroplan.

Meqenëse lëvizja ruan distancat, distancat midis figurave nuk ndryshojnë kur lëvizin. Nga kjo rrjedh, në veçanti, se gjatë lëvizjeve, aeroplanët paralelë do të kthehen në paralele.

Vetia 5. Kur lëviz, imazhi i një katërkëndëshi është një katërkëndor, imazhi i një gjysmë hapësire është një gjysmë hapësire, imazhi i një hapësire është e gjithë hapësira.

Tetraedri ABCD është një bashkim segmentesh që lidhin pikën D me të gjitha pikat e mundshme X trekëndëshi ABC(Fig. 26.4). Kur lëvizni, segmentet vihen në hartë në segmente, dhe për këtë arsye tetraedri do të kthehet në një katërkëndor.

Gjysma e hapësirës mund të përfaqësohet si një bashkim i tetraedrave në zgjerim, bazat e të cilave shtrihen në rrafshin kufitar të gjysmëhapësirës. Prandaj, kur lëvizni, imazhi i një gjysmë hapësire do të jetë një gjysmë hapësire.

Hapësira mund të imagjinohet si një bashkim i tetraedrave që zgjerohen pafundësisht. Prandaj, kur lëvizni, hapësira vendoset në të gjithë hapësirën.

Vetia 6. Kur lëvizni, këndet ruhen, d.m.th., çdo kënd vihet në hartë në një kënd të të njëjtit lloj dhe të së njëjtës madhësi. E njëjta gjë vlen edhe për këndet dihedrale.

Kur lëvizni, një gjysmë rrafsh vihet në hartë në një gjysmëplan. Sepse kënd konveksështë kryqëzimi i dy gjysmërrafsheve, dhe një kënd jo konveks dhe një kënd dihedral janë bashkimi i gjysmëplanëve, atëherë kur lëviz, një kënd konveks shndërrohet në një kënd konveks dhe një kënd jo konveks

këndi dhe këndi dihedral, përkatësisht - në një kënd jo konveks dhe dihedral.

Le të vihen në hartë rrezet a dhe b, që dalin nga pika O, në rrezet a dhe b, që dalin nga pika O. Merrni një trekëndësh OAB me kulme A në rreze a dhe B në rreze b (Fig. 26.5). Do të shfaqet në trekëndësh i barabartë OAB me kulme A në rreze a dhe B në rreze b. Kjo do të thotë që këndet ndërmjet rrezeve a, b dhe a, b janë të barabarta. Prandaj, kur lëvizni, vlerat e këndit ruhen.

Rrjedhimisht, pinguliteti i drejtëzave, dhe rrjedhimisht i drejtëzës dhe rrafshit, ruhet. Kujtimi i përkufizimeve të këndit midis një drejtëze dhe një rrafshi dhe madhësisë kënd dihedral, konstatojmë se vlerat e këtyre këndeve janë ruajtur.

Vetia 7. Lëvizjet ruajnë sipërfaqet dhe vëllimet e trupave.

Në të vërtetë, meqenëse lëvizja ruan pingulësinë, lëvizja e lartësive (trekëndëshat, katërkëndëshat, prizmat, etj.) përkthehet në lartësi (imazhe të këtyre trekëndëshave, katërkëndëshave, prizmave, etj.). Në këtë rast, gjatësitë e këtyre lartësive do të ruhen. Prandaj, zonat e trekëndëshave dhe vëllimet e tetraedroneve ruhen gjatë lëvizjeve. Kjo do të thotë se si zonat e shumëkëndëshave ashtu edhe vëllimet e poliedrës do të ruhen. Zonat e sipërfaqeve të lakuara dhe vëllimet e trupave të kufizuar nga sipërfaqe të tilla fitohen duke kufizuar kalimet nga zonat e sipërfaqeve shumëedrale dhe vëllimet e trupave shumëkëndësh. Prandaj, ato ruhen gjatë lëvizjeve.

Vetia 1. Le të jetë f lëvizja e pikave në rrafsh, A", B" dhe C" janë imazhet e pikave A, B dhe C gjatë lëvizjes së f. Pastaj pikat A", B" dhe C" shtrihen në e njëjta drejtëz nëse dhe vetëm nëse rasti kur pikat A, B dhe C janë kolineare.

Vetia 4. Kur lëviz, ajo shndërrohet në një segment të barabartë me të. Vetia 5. Gjatë lëvizjes, një rreze shndërrohet në rreze.

Vetia 7. Le të jepet një rreth me rreze r me qendër në pikën O. Pastaj, kur lëviz, ai shndërrohet në një rreth me rreze të njëjtë, me qendër në një pikë që përkon me imazhin e qendrës O.

Me një kornizë afine të një rrafshi nënkuptojmë një treshe të renditur pikash jo-kolineare. Vetia 7. Gjatë lëvizjes, korniza shndërrohet në kornizë dhe korniza ortonormale shndërrohet në kornizë ortonormale.

Teorema (Teorema themelore e lëvizjeve). Lëri kornizat ortonormale dhe jepen në aeroplan. Pastaj ka një lëvizje unike g që e shndërron kornizën R në R": .

Pasoja. Nëse f është lëvizja e rrafshit: duke e shndërruar kornizën ortonormale R në kornizën ortonormale R", atëherë çdo pikë M e planit me koordinata x dhe y në lidhje me R i korrespondon një pikë M"= f(M) me të njëjtën koordinatat x dhe y në lidhje me R".