Le të kujtojmë informacionin bazë nga trigonometria që është i nevojshëm për atë që vijon.

Funksionet trigonometrike konsiderohen fillimisht si funksione të këndit, pasi vlerë numerike secila prej tyre (nëse ka kuptim) përcaktohet duke specifikuar një kënd. Korrespondenca një-për-një ndërmjet harqeve të një rrethi dhe kënde qendrore ju lejon të konsideroni funksionet trigonometrike si funksione të harkut. Kështu, për shembull, argumenti i funksionit sinφ kemi mundësi ta interpretojmë si kënd ose si hark sipas dëshirës. Kështu, fillimisht argumenti i funksionit trigonometrik vepron si një objekt gjeometrik - një kënd ose një hark. Megjithatë, si në vetë matematikën ashtu edhe në aplikimet e saj, ekziston nevoja që funksionet trigonometrike të konsiderohen si funksione të argument numerik. Edhe në matematika e shkollës Argumenti i një funksioni trigonometrik nuk konsiderohet gjithmonë një kënd. Kështu, për shembull, harmonik lëvizje osciluese jepet duke përdorur ekuacionin: s = Një mëkat në. Këtu argumenti t është koha, jo këndi (koeficienti a është një numër që karakterizon frekuencën e lëkundjes).

Procesi i matjes së këndeve (ose harqeve) i cakton çdo këndi (harkut) një numër të caktuar si masë. Si rezultat i matjes së këndit (harkut), mund të merrni ndonjë numër real, pasi mund të konsiderojmë kënde (harqe) të drejtuar të çdo madhësie. Duke zgjedhur një njësi të caktuar matëse për këndet (harqet), mund të lidhni çdo kënd (hark) me një numër që e mat atë dhe, anasjelltas, çdo numër mund të shoqërojë një kënd (hark) të matur me një numër të caktuar. Kjo lejon që argumenti i një funksioni trigonometrik të interpretohet si numër. Le të shqyrtojmë disa funksione trigonometrike, për shembull, sinus. Le të jetë x çdo numër real, ky numër korrespondon plotësisht kënd të caktuar(hark), i matur me numrin x, dhe këndi që rezulton (harku) korrespondon me një vlerë shumë specifike të sinusit, sin x. Në fund, fitohet një korrespondencë midis numrave: çdo numër real x korrespondon me një numër real të mirëpërcaktuar y = sin x. Prandaj, sin x mund të interpretohet si një funksion argument numerik. Kur merret parasysh funksionet trigonometrike si funksion të një argumenti numerik, u ra dakord që të merren harqet dhe këndet si njësi matëse radian. Në bazë të kësaj konvente, simbolet sin x, cos x, tgx dhe ctg x duhet të interpretohen si sinus, kosinus, tangent dhe kotangjent i një këndi (harku), masa radian e të cilit shprehet me numrin x. Kështu, për shembull, mëkat 2është sinusi i një harku i matur në dy radianë *.

* (Vini re se në disa manuale masa e radianit quhet jashtëzakonisht pa sukses abstrakte, në kontrast me masën e shkallës. Midis të dy metodave të matjes asnjë ndryshim thelbësor, zgjidhen vetëm njësi të ndryshme matëse. Fatkeqësisht, edhe sot e kësaj dite kjo pyetje nganjëherë lind një bisedë boshe pseudoshkencore, të dëmshme "metodologjike".)

Zgjedhja e njësisë matëse për harqet dhe këndet nuk ka me rëndësi themelore. Zgjedhja e rrezeve jo e diktuar domosdoshmëri. Radiani rezulton të jetë vetëm njësia më e përshtatshme, pasi në matjen e radianit formulat analiza matematikore, në lidhje me funksionet trigonometrike, marrin formën më të thjeshtë *.

* (Ky thjeshtim shpjegohet me faktin se në masën radiane marrim, për shembull, një shkallë si njësi matëse të këndeve. Le të jenë t dhe x masa të shkallës dhe radianit, përkatësisht këndi i dhënë, atëherë kemi:

Ligji i korrespondencës midis vlerave të një argumenti dhe një funksioni trigonometrik nuk përcaktohet me tregues të drejtpërdrejtë operacionet matematikore(formula), e cila duhet të kryhet në argument, dhe gjeometrikisht *. Megjithatë, për të qenë në gjendje të flasim për një funksion, është e nevojshme të kemi një ligj të korrespondencës, në bazë të të cilit secili vlerë e pranueshme argumenti korrespondon me një vlerë specifike funksioni, por jo thelbësore si vendoset ky ligj.

* (Me mjete matematikë elementareështë e pamundur të ndërtohen formula që shprehin vlerat e funksioneve trigonometrike duke përdorur operacionet algjebrike mbi argumentin. Formulat e njohura nga matematikë e lartë, duke shprehur vlerat e funksioneve trigonometrike drejtpërdrejt përmes vlerës së argumentit,

Funksionet sin x dhe cos x kanë kuptim për çdo vlerë reale të x, dhe për këtë arsye domeni i tyre i përkufizimit është bashkësia e të gjitha numra realë.

Funksioni tg x është përcaktuar për të gjitha vlerat reale të x, të ndryshme nga numrat e trajtës π / 2 + kπ.

Funksioni ctg x është përcaktuar për të gjitha vlerat reale të x, të ndryshme nga numrat e formës kπ.

Pra, argumenti i një funksioni trigonometrik, sipas gjykimit tonë, mund të interpretohet si një kënd, ose si një hark, ose, së fundi, si një numër. Kur e quajmë një argument hark (ose kënd), me të mund të nënkuptojmë jo vetë harkun (ose këndin), por numrin që e mat atë. Duke ruajtur terminologjinë gjeometrike, ne i lejojmë vetes, për shembull, frazën e mëposhtme: "sinusi i numrit π / 2" të themi: "sinusi i harkut π / 2".

Terminologjia gjeometrike është e përshtatshme sepse na kujton imazhet gjeometrike përkatëse.

Një nga vetitë më të rëndësishme funksionet trigonometrike është periodiciteti i tyre. Funksionet sin x dhe cos x kanë një periudhë prej 2π. Kjo do të thotë se për çdo vlerë të x mbahen barazitë:

sin x = mëkat (x + 2π) = mëkat (x + 4π) = ... = mëkat (x + 2kπ);

cos x = cos (x + 2π) = cos (x + 4π) = ... = cos (x + 2kπ),

Ku k- çdo numër i plotë.

Në mënyrë të rreptë, funksionet sin x dhe cos x kanë grup i pafund periudhat:

±2π, ±4π, ±6π, ... ±2kπ,

numri 2tr, që është periudha më e vogël pozitive, zakonisht quhet thjesht një periudhë.

Vetia e periodicitetit ka këtë interpretim gjeometrik: kuptimi i funksioneve trigonometrike mëkat x Dhe cos x nuk ndryshon nëse harkut x i shtohet (ose i zbritet) një numër i plotë rrathësh. Nëse funksioni mëkat x ose cos x ka ndonjë veti për vlerën e argumentit x = a, atëherë ka të njëjtën veti për cilëndo nga vlerat a + 2kπ.

Funksionet tg x dhe ctg x janë gjithashtu periodike (pra më e vogla pozitive) është numri π.

Gjatë studimit të pronave funksion periodik mjafton ta konsiderojmë atë në një interval, të barabartë në madhësi me periudhën.

Le të rendisim vetitë kryesore të funksioneve trigonometrike.

1°. funksioni i mëkatit x në segment (Unë dhe unë tremujorët negativë) rritet. Vlerat e sinusit në skajet e segmentit, d.m.th. në x = π / 2 dhe në x = - π / 2 janë përkatësisht të barabarta me 1 dhe -1.

2°. Cilido qoftë numri real k, sipas vlerë absolute jo më shumë se 1, në segmentin - π / 2 ≤x≤ π / 2 ka një hark të vetëm x = x 1, sinusi i të cilit është i barabartë me k. Me fjalë të tjera, në segment sinusi ka, për një vlerë të vetme të argumentit x = x 1, një arbitrar vlera e vendosur, jo më shumë se 1 në vlerë absolute.

Në fakt, sipas vlerën e dhënë sinusi është i mundur në tremujorin I dhe I negativ rrethi trigonometrik(ne gjithmonë do të supozojmë se rrezja e rrethit trigonometrik është e barabartë me 1) ndërtoni harkun përkatës. Mjafton të vizatohet një segment me madhësi k në diametrin vertikal (lart për k>0 dhe poshtë për k

Vetitë 1° dhe 2° zakonisht kombinohen në formën e deklaratës së mëposhtme të kushtëzuar.

Në segmentin - π / 2 ≤x≤ π / 2 sinusi rritet nga -1 në 1.

Duke përdorur arsyetim të ngjashëm gjeometrik, ose duke përdorur formulën hedh mëkat(π - x) = sin x, është e lehtë të përcaktohet se në segmentin π / 2 ≤x≤ 3π / 2 (d.m.th. në tremujorin II dhe III) sinusi zvogëlohet nga 1 në -1. Segmentet - π/2 ≤x≤ π/2 dhe π/2 ≤x≤ 3π/2 së bashku përbëjnë rrethi i plotë, pra mbulon periudhën e plotë të sinusit. Studimi i mëtejshëm i sinusit bëhet i panevojshëm dhe mund të themi se në çdo segment [- π / 2 +2kπ, π / 2 +2kπ] sinusi rritet nga -1 në 1, dhe në çdo segment [π / 2 +2kπ, 3π / 2 +2kπ] sinus zvogëlohet nga 1 në -1. Grafiku i sinusit është paraqitur në figurën 11.

Studimi i kosinusit kryhet në mënyrë të ngjashme. Karakteristikat kryesore të kosinusit janë:

Funksioni cos x në një segment (d.m.th. në tremujorin e parë dhe të dytë) zvogëlohet nga 1 në -1. Në segmentin [π, 2π] (d.m.th. në tremujorin III dhe IV) kosinusi rritet nga -1 në 1. Për shkak të periodicitetit, kosinusi zvogëlohet nga 1 në -1 në segmente dhe rritet nga -1 në 1 në segmentet [(2k-1)π, 2kπ] (Fig. 12).

Konsideroni funksionin y = tan x në intervalin (- π / 2, π / 2).

Vlerat kufitare ±π/2 duhet të përjashtohen sepse tg(±π/2) nuk ekziston.

1°. Në intervalin (- π / 2, π / 2) funksioni tg x rritet.

2°. Cilido qoftë numri real k, në intervalin - - π / 2

Është e lehtë të verifikohet ekzistenca dhe unike e harkut x 1 nga ndërtimi gjeometrik, paraqitur në vizatimin 13.

Pra, në intervalin (- π / 2, π / 2) tangjentja rritet dhe, me një vlerë të vetme të argumentit, ka një të dhënë arbitrare vlerë reale. Vetitë 1° dhe 2° janë formuluar shkurtimisht si pohimi i mëposhtëm:

në intervalin (- π / 2, π / 2) tangjentja rritet nga -∞ në ∞.

Sido që të jetë dhënë (aq e madhe sa të doni) numër pozitiv N, vlerat tangjente janë më të mëdha se N për të gjitha vlerat x më të vogla se π/2 dhe mjaft afër π/2. Në mënyrë simbolike kjo deklaratë është shkruar kështu:

Për vlerat e x më të mëdha se - π / 2 dhe mjaft afër - π / 2 y vlerat e tg x

* (Shpesh ata shkruajnë tan π / 2 = ∞ dhe thonë se vlera e tangjentes π / 2 është e barabartë me ∞. Kjo deklaratë në një kurs të matematikës elementare mund të çojë vetëm në ide qesharake anti-shkencore. Simboli ∞ nuk është numër dhe nuk mund të jetë vlera e një funksioni. Kuptimi i saktë, në të cilën duhet të përdoren simbolet ±∞, shpjegohet në tekst.)

Studimi i mëtejshëm i tangjentes është i panevojshëm, sepse vlera e intervalit (- π / 2, π / 2) është e barabartë me π, d.m.th. periudhë e plotë tangjente Rrjedhimisht, në çdo interval (- π / 2 + π, π / 2 + π) tangjentja rritet nga -∞ në ∞, dhe në pikat x = (2k+1)π / 2 ka kuptim. Grafiku tangjent është paraqitur në figurën 14.

Funksioni ctg x në intervalin (0, π), si dhe në secilin nga intervalet (kπ, (k+1)π) zvogëlohet nga ∞ në -∞, dhe në pikat x = kπ kotangjentja nuk ka kuptim. . Grafiku kotangjent është paraqitur në Figurën 15.

Funksionet trigonometrike të një argumenti numerik. Vetitë dhe grafikët e funksioneve trigonometrike.

Përkufizimi 1: Funksioni numerik, dhënë nga formula y=sin x quhet sinus.

Kjo kurbë quhet - valë sinus.

Vetitë e funksionit y=sin x

2. Gama e vlerave të funksionit: E(y)=[-1; 1]

3. Funksioni i barazisë:

y=sin x – tek,.

4. Periodiciteti: sin(x+2πn)=sin x, ku n është një numër i plotë.

Ky funksion pas një periudhe të caktuar pranon të njëjtat vlera. Kjo veti e një funksioni quhet frekuenca. Intervali është periudha e funksionit.

Për funksionin y=sin x perioda është 2π.

Funksioni y=sin x është periodik, me periodë Т=2πn, n është një numër i plotë.

Më së paku periudhë pozitive T=2π.

Matematikisht, kjo mund të shkruhet si më poshtë: sin(x+2πn)=sin x, ku n është një numër i plotë.

Përkufizimi 2: Funksioni numerik i dhënë me formulën y=cosx quhet kosinus.

Vetitë e funksionit y=cos x

1. Fusha e funksionit: D(y)=R

2. Zona e vlerës së funksionit: E(y)=[-1;1]

3. Funksioni i barazisë:

y=cos x – çift.

4. Periodiciteti: cos(x+2πn)=cos x, ku n është një numër i plotë.

Funksioni y=cos x është periodik, me periodë Т=2π.

Përkufizimi 3: Funksioni numerik i dhënë me formulën y=tan x quhet tangjente.

Vetitë e funksionit y=tg x

1. Fusha e funksionit: D(y) - të gjithë numrat realë përveç π/2+πk, k – numër i plotë. Sepse në këto pika tangjentja nuk është e përcaktuar.

2. Gama e funksionit: E(y)=R.

3. Funksioni i barazisë:

y=tg x – tek.

4. Periodiciteti: tg(x+πk)=tg x, ku k është një numër i plotë.

Funksioni y=tg x është periodik me periodë π.

Përkufizimi 4: Funksioni numerik i dhënë me formulën y=ctg x quhet kotangjent.

Vetitë e funksionit y=ctg x

1. Fusha e përkufizimit të funksionit: D(y) - të gjithë numrat realë përveç πk, k është numër i plotë. Sepse në këto pika nuk është përcaktuar kotangjenti.

Në këtë mësim do të shikojmë funksionet bazë trigonometrike, vetitë dhe grafikët e tyre, dhe gjithashtu lista llojet kryesore ekuacionet trigonometrike dhe sistemet. Përveç kësaj, ne tregojmë zgjidhjet e përgjithshme të ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike dhe rastet e veçanta të tyre.

Ky mësim do t'ju ndihmojë të përgatiteni për një nga llojet e detyrave B5 dhe C1.

Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë

Eksperimentoni

Mësimi 10. Funksionet trigonometrike. Ekuacionet trigonometrike dhe sistemet e tyre.

Teoria

Përmbledhja e mësimit

Ne e kemi përdorur tashmë shumë herë termin "funksion trigonometrik". Në mësimin e parë të kësaj teme, ne i identifikuam ato duke përdorur trekëndësh kënddrejtë dhe beqare rrethi trigonometrik. Duke përdorur këto metoda të specifikimit të funksioneve trigonometrike, tashmë mund të konkludojmë se për ta një vlerë e argumentit (ose këndit) korrespondon saktësisht me një vlerë të funksionit, d.m.th. ne kemi të drejtë të quajmë funksione sinus, kosinus, tangjente dhe kotangjente.

Në këtë mësim, është koha të përpiqemi të abstragojmë nga metodat e diskutuara më parë për llogaritjen e vlerave të funksioneve trigonometrike. Sot do të kalojmë në të zakonshmen qasje algjebrike duke punuar me funksionet, do të shikojmë vetitë e tyre dhe do të vizatojmë grafikë.

Sa i përket vetive të funksioneve trigonometrike, atëherë vëmendje të veçantë duhet theksuar:

Fusha e përkufizimit dhe diapazoni i vlerave, sepse për sinusin dhe kosinusin ka kufizime në diapazonin e vlerave, dhe për tangjentën dhe kotangjentën ka kufizime në diapazonin e përkufizimit;

Periodiciteti i të gjitha funksioneve trigonometrike, sepse Tashmë kemi vërejtur praninë e argumentit më të vogël jo zero, shtimi i të cilit nuk e ndryshon vlerën e funksionit. Ky argument quhet perioda e funksionit dhe shënohet me shkronjën . Për sinus/kosinus dhe tangjentë/kotangjent këto periudha janë të ndryshme.

Konsideroni funksionin:

1) Fusha e përkufizimit;

2) Gama e vlerave ;

3) Funksioni është tek ;

Le të ndërtojmë një grafik të funksionit. Në këtë rast, është e përshtatshme të filloni ndërtimin me një imazh të zonës që kufizon grafikun nga lart me numrin 1 dhe nga poshtë me numrin, i cili shoqërohet me gamën e vlerave të funksionit. Për më tepër, për ndërtim është e dobishme të mbani mend vlerat e sinuseve të disa bazës kënde tavoline, për shembull, se Kjo do t'ju lejojë të ndërtoni "valën" e parë të plotë të grafikut dhe më pas ta rivizatoni atë djathtas dhe majtas, duke përfituar nga fakti që fotografia do të përsëritet me një zhvendosje për një periudhë, d.m.th. në .

Tani le të shohim funksionin:

Karakteristikat kryesore të këtij funksioni:

1) Fusha e përkufizimit;

2) Gama e vlerave ;

3) Edhe funksionin Kjo nënkupton që grafiku i funksionit është simetrik ndaj ordinatës;

4) Funksioni nuk është monoton në të gjithë fushën e tij të përkufizimit;

Le të ndërtojmë një grafik të funksionit. Ashtu si kur ndërtoni një sinus, është e përshtatshme të filloni me një imazh të zonës që kufizon grafikun në krye me numrin 1 dhe në fund me numrin , i cili shoqërohet me gamën e vlerave të funksionit. Ne gjithashtu do të vizatojmë koordinatat e disa pikave në grafik, për të cilat duhet të kujtojmë vlerat e kosinuseve të disa këndeve kryesore të tabelës, për shembull, që me ndihmën e këtyre pikave mund të ndërtojmë "valën e parë të plotë". ” të grafikut dhe më pas e rivizatojmë djathtas e majtas, duke përfituar nga fakti se fotografia do të përsëritet me një zhvendosje të pikës, d.m.th. në .

Le të kalojmë te funksioni:

Karakteristikat kryesore të këtij funksioni:

1) Domeni përveç , ku . Ne kemi treguar tashmë në mësimet e mëparshme se nuk ekziston. Ky pohim mund të përgjithësohet duke marrë parasysh periudhën tangjente;

2) Gama e vlerave, d.m.th. vlerat tangjente nuk janë të kufizuara;

3) Funksioni është tek ;

4) Funksioni rritet në mënyrë monotonike brenda të ashtuquajturave degë tangjente të tij, të cilat do t'i shohim tani në figurë;

5) Funksioni është periodik me një pikë

Le të ndërtojmë një grafik të funksionit. Në këtë rast, është e përshtatshme të filloni ndërtimin nga një imazh asimptota vertikale grafika në pika që nuk përfshihen në zonën e përkufizimit, d.m.th. etj. Më pas, ne përshkruajmë degët e tangjentës brenda secilës prej shiritave të formuar nga asimptotat, duke i shtypur ato në asimptotën e majtë dhe në atë të djathtë. Në të njëjtën kohë, mos harroni se çdo degë rritet në mënyrë monotone. Ne i përshkruajmë të gjitha degët në të njëjtën mënyrë, sepse funksioni ka një periudhë të barabartë me . Kjo mund të shihet nga fakti se çdo degë fitohet duke zhvendosur atë fqinje përgjatë boshtit të abshisave.

Dhe ne përfundojmë me një vështrim në funksionin:

Karakteristikat kryesore të këtij funksioni:

1) Domeni përveç , ku . Nga tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike, ne tashmë e dimë se ajo nuk ekziston. Ky pohim mund të përgjithësohet duke marrë parasysh periudhën kotangjente;

2) Gama e vlerave, d.m.th. vlerat kotangjente nuk janë të kufizuara;

3) Funksioni është tek ;

4) Funksioni zvogëlohet në mënyrë monotonike brenda degëve të tij, të cilat janë të ngjashme me degët tangjente;

5) Funksioni është periodik me një pikë

Le të ndërtojmë një grafik të funksionit. Në këtë rast, sa i përket tangjentës, është e përshtatshme të fillohet ndërtimi duke paraqitur asimptotat vertikale të grafikut në pika që nuk përfshihen në zonën e përkufizimit, d.m.th. etj. Më pas, ne përshkruajmë degët e kotangjentës brenda secilës prej shiritave të formuar nga asimptotat, duke i shtypur ato në asimptotën e majtë dhe në të djathtën. Në këtë rast, marrim parasysh se çdo degë zvogëlohet në mënyrë monotonike. Ne i përshkruajmë të gjitha degët në mënyrë të ngjashme me tangjenten në të njëjtën mënyrë, sepse funksioni ka një periudhë të barabartë me .

Më vete, duhet të theksohet se funksionet trigonometrike me argumente komplekse mund të kenë një periudhë jo standarde. Bëhet fjalë për rreth funksioneve të formës:

Periudha e tyre është e barabartë. Dhe në lidhje me funksionet:

Periudha e tyre është e barabartë.

Siç mund ta shihni, për të llogaritur një periudhë të re, periudha standarde thjesht ndahet me faktorin në argument. Nuk varet nga modifikimet e tjera të funksionit.

Ju mund të kuptoni më hollësisht dhe të kuptoni se nga vijnë këto formula në mësimin për ndërtimin dhe transformimin e grafikëve të funksioneve.

Kemi ardhur në një nga pjesët më të rëndësishme të temës "Trigonometria", të cilën do t'i kushtojmë zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike. Aftësia për të zgjidhur ekuacione të tilla është e rëndësishme, për shembull, kur përshkruani proceset osciluese në fizikë. Le të imagjinojmë se keni bërë disa xhiro në një kart në një makinë sportive, zgjidhja e një ekuacioni trigonometrik do t'ju ndihmojë të përcaktoni se sa kohë keni garuar në varësi të pozicionit të makinës në pistë.

Le të shkruajmë ekuacionin më të thjeshtë trigonometrik:

Zgjidhja e një ekuacioni të tillë janë argumentet sinusi i të cilëve është i barabartë me . Por ne tashmë e dimë se për shkak të periodicitetit të sinusit, ekziston një numër i pafund i argumenteve të tilla. Kështu, zgjidhja e këtij ekuacioni do të jetë, etj. E njëjta gjë vlen edhe për zgjidhjen e çdo ekuacioni tjetër të thjeshtë trigonometrik, do të ketë numër i pafund.

Ekuacionet trigonometrike ndahen në disa lloje kryesore. Më vete, duhet të ndalemi në ato më të thjeshtat, sepse gjithçka tjetër u takon atyre. Ekzistojnë katër ekuacione të tilla (sipas numrit të funksioneve bazë trigonometrike). Zgjidhjet e përgjithshme janë të njohura për to, ato duhet të mbahen mend.

Ekuacionet më të thjeshta trigonometrike dhe zgjidhjet e tyre të përgjithshme duken kështu:

Ju lutemi vini re se vlerat e sinusit dhe kosinusit duhet të marrin parasysh kufizimet e njohura për ne. Nëse, për shembull, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje dhe formula e specifikuar nuk duhet të zbatohet.

Për më tepër, formulat e specifikuara të rrënjës përmbajnë një parametër në formën e një numri të plotë arbitrar. NË kurrikula shkollore Ky është i vetmi rast kur zgjidhja e një ekuacioni pa parametër përmban një parametër. Ky numër i plotë arbitrar tregon se është e mundur të shkruani një numër të pafund rrënjësh të cilitdo prej ekuacioneve të mësipërme thjesht duke zëvendësuar të gjithë numrat e plotë me radhë.

Ju mund të njiheni me derivimin e detajuar të këtyre formulave duke përsëritur kapitullin "Ekuacionet trigonometrike" në programin e algjebrës së klasës së 10-të.

Më vete, është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje zgjidhjes së rasteve të veçanta të ekuacioneve më të thjeshta me sinus dhe kosinus. Këto ekuacione duken si:

Gjetja e formulave nuk duhet të zbatohet për to zgjidhjet e përgjithshme. Ekuacione të tilla zgjidhen më së miri duke përdorur rrethin trigonometrik, i cili jep një rezultat më të thjeshtë se formulat e zgjidhjeve të përgjithshme.

Për shembull, zgjidhja e ekuacionit është . Mundohuni ta merrni vetë këtë përgjigje dhe zgjidhni ekuacionet e mbetura të treguara.

Përveç llojit më të zakonshëm të ekuacioneve trigonometrike të treguara, ka edhe disa standarde të tjera. Ne i rendisim ato duke marrë parasysh ato që kemi treguar tashmë:

1) Protozoar, Për shembull, ;

2) Raste të veçanta të ekuacioneve më të thjeshta, Për shembull, ;

3) Ekuacione me argument kompleks, Për shembull, ;

4) Ekuacionet reduktohen në më të thjeshtat me prejardhje shumëzues i përbashkët , Për shembull, ;

5) Ekuacionet reduktohen në më të thjeshtat e tyre duke transformuar funksionet trigonometrike, Për shembull, ;

6) Ekuacionet reduktohen në më të thjeshtat me zëvendësim, Për shembull, ;

7) Ekuacionet homogjene , Për shembull, ;

8) Ekuacione që mund të zgjidhen duke përdorur vetitë e funksioneve, Për shembull, . Mos u shqetësoni nga fakti që ka dy variabla në këtë ekuacion;

Si dhe ekuacionet që mund të zgjidhen duke përdorur metoda të ndryshme.

Përveç zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike, duhet të jeni në gjendje të zgjidhni sistemet e tyre.

Llojet më të zakonshme të sistemeve janë:

1) Në të cilin një nga ekuacionet është fuqia, Për shembull, ;

2) Sistemet e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike, Për shembull, .

Në mësimin e sotëm shikuam funksionet bazë trigonometrike, vetitë dhe grafikët e tyre. U takuam edhe ne formulat e përgjithshme zgjidhjet e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike, treguan llojet kryesore të ekuacioneve të tilla dhe sistemet e tyre.

Në pjesën praktike të mësimit do të shqyrtojmë metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike dhe sistemet e tyre.

Kutia 1.Zgjidhja e rasteve të veçanta të ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike.

Siç kemi thënë tashmë në pjesën kryesore të mësimit, raste të veçanta të ekuacioneve trigonometrike me sinus dhe kosinus të formës:

kanë më shumë zgjidhje të thjeshta, çfarë japin formulat për zgjidhjet e përgjithshme.

Për këtë përdoret një rreth trigonometrik. Le të analizojmë metodën për zgjidhjen e tyre duke përdorur shembullin e ekuacionit.

Le të përshkruajmë në rrethin trigonometrik pikën në të cilën vlera e kosinusit është zero, e cila është gjithashtu koordinata përgjatë boshtit të abshisës. Siç mund ta shihni, ka dy pika të tilla. Detyra jonë është të tregojmë se çfarë këndi është i barabartë, që korrespondon me këto pika në rreth.

Fillojmë të numërojmë nga drejtimi pozitiv i boshtit të abshisës (boshti kosinus) dhe kur vendosim këndin arrijmë në pikën e parë të përshkruar, d.m.th. një zgjidhje do të ishte kjo vlerë këndi. Por ne jemi ende të kënaqur me këndin që korrespondon me pikën e dytë. Si të futeni në të?

Në këtë mësim do të shikojmë funksionet bazë trigonometrike, vetitë dhe grafikët e tyre, dhe gjithashtu lista llojet bazë të ekuacioneve dhe sistemeve trigonometrike. Përveç kësaj, ne tregojmë zgjidhjet e përgjithshme të ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike dhe rastet e veçanta të tyre.

Ky mësim do t'ju ndihmojë të përgatiteni për një nga llojet e detyrave B5 dhe C1.

Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë

Eksperimentoni

Mësimi 10. Funksionet trigonometrike. Ekuacionet trigonometrike dhe sistemet e tyre.

Teoria

Përmbledhja e mësimit

Ne e kemi përdorur tashmë shumë herë termin "funksion trigonometrik". Në mësimin e parë të kësaj teme, ne i përcaktuam ato duke përdorur një trekëndësh kënddrejtë dhe një rreth trigonometrik njësi. Duke përdorur këto metoda të specifikimit të funksioneve trigonometrike, tashmë mund të konkludojmë se për ta një vlerë e argumentit (ose këndit) korrespondon saktësisht me një vlerë të funksionit, d.m.th. ne kemi të drejtë të quajmë funksione sinus, kosinus, tangjente dhe kotangjente.

Në këtë mësim, është koha të përpiqemi të abstragojmë nga metodat e diskutuara më parë për llogaritjen e vlerave të funksioneve trigonometrike. Sot do të kalojmë në qasjen e zakonshme algjebrike për të punuar me funksionet, do të shikojmë vetitë e tyre dhe do të përshkruajmë grafikë.

Sa i përket vetive të funksioneve trigonometrike, vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet:

Konsideroni funksionin:

1) Fusha e përkufizimit;

2) Gama e vlerave ;

3) Funksioni është tek ;

Le të ndërtojmë një grafik të funksionit. Në këtë rast, është e përshtatshme të filloni ndërtimin me një imazh të zonës që kufizon grafikun nga lart me numrin 1 dhe nga poshtë me numrin, i cili shoqërohet me gamën e vlerave të funksionit. Për më tepër, për ndërtimin, është e dobishme të mbani mend vlerat e sinuseve të disa këndeve kryesore të tabelës, për shembull, se kjo do t'ju lejojë të ndërtoni "valën" e parë të plotë të grafikut dhe më pas ta rivizatoni atë në të djathtë dhe u largua, duke përfituar nga fakti se fotografia do të përsëritet me një zhvendosje me një pikë, d.m.th. në .

Tani le të shohim funksionin:

Karakteristikat kryesore të këtij funksioni:

1) Fusha e përkufizimit;

2) Gama e vlerave ;

3) Edhe funksionin Kjo nënkupton që grafiku i funksionit është simetrik ndaj ordinatës;

4) Funksioni nuk është monoton në të gjithë fushën e tij të përkufizimit;

Le të kalojmë te funksioni:

Karakteristikat kryesore të këtij funksioni:

1) Domeni përveç , ku . Ne kemi treguar tashmë në mësimet e mëparshme se nuk ekziston. Ky pohim mund të përgjithësohet duke marrë parasysh periudhën tangjente;

2) Gama e vlerave, d.m.th. vlerat tangjente nuk janë të kufizuara;

3) Funksioni është tek ;

4) Funksioni rritet në mënyrë monotonike brenda të ashtuquajturave degë tangjente të tij, të cilat do t'i shohim tani në figurë;

5) Funksioni është periodik me një pikë

Le të ndërtojmë një grafik të funksionit. Në këtë rast, është e përshtatshme të filloni ndërtimin duke përshkruar asimptotat vertikale të grafikut në pika që nuk përfshihen në domenin e përkufizimit, d.m.th. etj. Më pas, ne përshkruajmë degët e tangjentës brenda secilës prej shiritave të formuar nga asimptotat, duke i shtypur ato në asimptotën e majtë dhe në atë të djathtë. Në të njëjtën kohë, mos harroni se çdo degë rritet në mënyrë monotonike. Ne i përshkruajmë të gjitha degët në të njëjtën mënyrë, sepse funksioni ka një periudhë të barabartë me . Kjo mund të shihet nga fakti se çdo degë fitohet duke zhvendosur atë fqinje përgjatë boshtit të abshisave.

Dhe ne përfundojmë me një vështrim në funksionin:

Karakteristikat kryesore të këtij funksioni:

1) Domeni përveç , ku . Nga tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike, ne tashmë e dimë se ajo nuk ekziston. Ky pohim mund të përgjithësohet duke marrë parasysh periudhën kotangjente;

2) Gama e vlerave, d.m.th. vlerat kotangjente nuk janë të kufizuara;

3) Funksioni është tek ;

4) Funksioni zvogëlohet në mënyrë monotonike brenda degëve të tij, të cilat janë të ngjashme me degët tangjente;

5) Funksioni është periodik me një pikë

Më vete, duhet të theksohet se funksionet trigonometrike me argumente komplekse mund të kenë një periudhë jo standarde. Ne po flasim për funksionet e formës:

Periudha e tyre është e barabartë. Dhe në lidhje me funksionet:

Periudha e tyre është e barabartë.

Siç mund ta shihni, për të llogaritur një periudhë të re, periudha standarde thjesht ndahet me faktorin në argument. Nuk varet nga modifikimet e tjera të funksionit.

Ju mund të kuptoni më hollësisht dhe të kuptoni se nga vijnë këto formula në mësimin për ndërtimin dhe transformimin e grafikëve të funksioneve.

Le të shkruajmë ekuacionin më të thjeshtë trigonometrik:

Ekuacionet më të thjeshta trigonometrike dhe zgjidhjet e tyre të përgjithshme duken kështu:

Për më tepër, formulat e specifikuara të rrënjës përmbajnë një parametër në formën e një numri të plotë arbitrar. Në kurrikulën shkollore, ky është i vetmi rast kur zgjidhja e një ekuacioni pa parametër përmban një parametër. Ky numër i plotë arbitrar tregon se është e mundur të shkruani një numër të pafund rrënjësh të cilitdo prej ekuacioneve të mësipërme thjesht duke zëvendësuar të gjithë numrat e plotë me radhë.

Ju mund të njiheni me derivimin e detajuar të këtyre formulave duke përsëritur kapitullin "Ekuacionet trigonometrike" në programin e algjebrës së klasës së 10-të.

Më vete, është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje zgjidhjes së rasteve të veçanta të ekuacioneve më të thjeshta me sinus dhe kosinus. Këto ekuacione duken si:

Për to nuk duhet të aplikohen formula për gjetjen e zgjidhjeve të përgjithshme. Ekuacione të tilla zgjidhen më së miri duke përdorur rrethin trigonometrik, i cili jep një rezultat më të thjeshtë se formulat e zgjidhjeve të përgjithshme.

Për shembull, zgjidhja e ekuacionit është . Mundohuni ta merrni vetë këtë përgjigje dhe zgjidhni ekuacionet e mbetura të treguara.

Përveç llojit më të zakonshëm të ekuacioneve trigonometrike të treguara, ka edhe disa standarde të tjera. Ne i rendisim ato duke marrë parasysh ato që kemi treguar tashmë:

1) Protozoar, Për shembull, ;

2) Raste të veçanta të ekuacioneve më të thjeshta, Për shembull, ;

3) Ekuacione me argument kompleks, Për shembull, ;

4) Ekuacionet reduktohen në më të thjeshtat duke nxjerrë një faktor të përbashkët, Për shembull, ;

5) Ekuacionet reduktohen në më të thjeshtat e tyre duke transformuar funksionet trigonometrike, Për shembull, ;

6) Ekuacionet reduktohen në më të thjeshtat me zëvendësim, Për shembull, ;

7) Ekuacionet homogjene, Për shembull, ;

8) Ekuacione që mund të zgjidhen duke përdorur vetitë e funksioneve, Për shembull, . Mos u shqetësoni nga fakti që ka dy variabla në këtë ekuacion;

Si dhe ekuacionet që zgjidhen duke përdorur metoda të ndryshme.

Përveç zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike, duhet të jeni në gjendje të zgjidhni sistemet e tyre.

Llojet më të zakonshme të sistemeve janë:

1) Në të cilin një nga ekuacionet është fuqia, Për shembull, ;

2) Sistemet e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike, Për shembull, .

Në mësimin e sotëm shikuam funksionet bazë trigonometrike, vetitë dhe grafikët e tyre. Ne gjithashtu u njohëm me formulat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike, treguam llojet kryesore të ekuacioneve të tilla dhe sistemet e tyre.

Në pjesën praktike të mësimit do të shqyrtojmë metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike dhe sistemet e tyre.

Kutia 1.Zgjidhja e rasteve të veçanta të ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike.

Siç kemi thënë tashmë në pjesën kryesore të mësimit, raste të veçanta të ekuacioneve trigonometrike me sinus dhe kosinus të formës:

kanë zgjidhje më të thjeshta se ato të dhëna nga formulat e zgjidhjeve të përgjithshme.

Për këtë përdoret një rreth trigonometrik. Le të analizojmë metodën për zgjidhjen e tyre duke përdorur shembullin e ekuacionit.

Le të përshkruajmë në rrethin trigonometrik pikën në të cilën vlera e kosinusit është zero, e cila është gjithashtu koordinata përgjatë boshtit të abshisës. Siç mund ta shihni, ka dy pika të tilla. Detyra jonë është të tregojmë se me çfarë është i barabartë këndi që korrespondon me këto pika në rreth.

Grafikimi i funksioneve trigonometrike në klasën e 11-të

Mësuesi i matematikës së pari kategoria e kualifikimit MAOU "Gjimnazi nr 37", Kazan

Spiridonova L.V.

Funksionet trigonometrike të argumentit numerik
y=sin(x)+m Dhe y=cos(x)+m
Hartimi i grafikëve të funksioneve të formës y=sin(x+t) Dhe y=cos(x+t)
Hartimi i grafikëve të funksioneve të formës y=A · mëkat (x) Dhe y=A · cos(x)
Shembuj

Funksionet trigonometrike argument numerik.

y=sin(x)

y=cos(x)

Grafiku i një funksioni y = sinx .

Vetitë e funksionit y = mëkat ( x ) .

të gjithë numrat realë ( R )

2. Zona e ndryshimeve (Zona e vlerave) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Funksioni y = mëkat ( x) e çuditshme, sepse mëkat (-x ) = - mëkat x

π .

sin(x+2 π ) = mëkat (x).

5. Funksioni i vazhdueshëm

Në zbritje: [ π /2; 3 π /2 ] .

6. Në rritje: [ - π /2; π /2 ] .

Grafiku i një funksioni y = cos x .

Grafiku i funksionit y = cos x të marra me transferim

grafiku i funksionit y = mëkat x lënë nga π /2.

Vetitë e funksionit y = co s ( x ) .

1. Fusha e përcaktimit të një funksioni është bashkësia

të gjithë numrat realë ( R )

2. Zona e ndryshimit (Zona e vlerave), E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Funksioni y = cos (X) madje, sepse cos(- X ) = cos (X)

Funksioni është periodik, me periudhën kryesore 2 π .

si( X + 2 π ) = cos (X) .

5. Funksioni i vazhdueshëm

Në zbritje: [ 0 ; π ] .

6. Në rritje: [ π ; 2 π ] .

Ndërtimi

grafikët funksionet e formës

y = mëkat ( x ) + m

Dhe

y = cos (X) + m.

0 , ose poshtë nëse m " width="640"

Transferimi paralel i grafikut përgjatë boshtit Oy

Grafiku i një funksioni y=f(x) + m rezulton transferim paralel grafika e funksionit y=f(x) , lart m njësi nëse m 0 ,

ose poshtë nëse m .

0 y m 1 x" gjerësi = "640"

Konvertimi: y= mëkat ( x ) +m

Zhvendosja y= mëkat ( x ) përgjatë boshtit y lart nëse m 0

0 y m 1 x" gjerësi = "640"

Konvertimi: y= cos ( x ) +m

Zhvendosja y= cos ( x ) përgjatë boshtit y lart , Nëse m 0

Konvertimi: y=mëkat ( x ) +m

Zhvendosja y= mëkat ( x ) përgjatë boshtit y poshtë, Nëse m 0

Konvertimi: y=cos ( x ) + m

Zhvendosja y= cos ( x ) përgjatë boshtit y poshtë nëse m 0

Ndërtimi

grafikët funksionet e formës

y = mëkat ( x + t )

Dhe

y = cos ( X +t )

0 dhe djathtas nëse t 0." width="640"

Transferimi paralel i grafikut përgjatë boshtit Ox

Grafiku i një funksioni y = f(x + t) të fituara nga transferimi paralel i grafikut të funksionit y=f(x) përgjatë boshtit X në |t| njësitë e shkallës majtas, Nëse t 0

Dhe drejtë , Nëse t 0.

0 y 1 x t" gjerësi = "640"

Konvertimi: y = mëkat (x + t)

ndërrim y= f(x) përgjatë boshtit X majtas, Nëse t 0

0 y 1 x t" gjerësi = "640"

Konvertimi: y= cos(x + t)

ndërrim y= f(x) përgjatë boshtit X majtas, Nëse t 0

Konvertimi: y=sin(x+t)

ndërrim y= f(x) përgjatë boshtit X drejtë, Nëse t 0

Konvertimi: y= cos(x + t)

ndërrim y= f(x) përgjatë boshtit X drejtë, Nëse t 0

1 dhe 0 a 1" gjerësi = "640"

Hartimi i grafikëve të funksioneve të formës y = A · mëkat ( x ) Dhe y = A · cos ( x ) , në një 1 dhe 0 A 1

1 dhe ngjeshja në boshtin Ox me një koeficient prej 0 A." width="640"

Kompresimi dhe shtrirja përgjatë boshtit Ox

Grafiku i një funksioni y=A · f(x ) fitojmë duke shtrirë grafikun e funksionit y= f(x) me koeficient A përgjatë boshtit Ox, nëse A 1 Dhe ngjeshja në boshtin Ox me një koeficient prej 0 A .