3 üstel fonksiyon, özellikleri ve grafiği. Fonksiyonlar ve grafikler

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Güç fonksiyonları. Özellikler. Grafikler"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

11. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Trigonometri"
10-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Logarithms"

Güç fonksiyonları, tanım alanı.

Örnek. Denklemi çözün: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Çözüm. $y=x^(\frac(4)(3))$ fonksiyonunun grafiği artar ve $y=24-x$ fonksiyonunun grafiği azalır. Arkadaşlar, siz ve ben biliyoruz: eğer bir fonksiyon artarken diğeri azalırsa, o zaman bunlar yalnızca bir noktada kesişir, yani tek bir çözümümüz olur.
Not:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Yani, $x=8$ ile $16=16$ doğru eşitliğini elde ettik, denklemimizin çözümü budur.
Cevap: $x=8$.

Örnek.
Fonksiyonun grafiğini çizin: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Çözüm.
Fonksiyonumuzun grafiği, $y=x^(\frac(3)(4))$ fonksiyonunun grafiğinden 3 birim sağa ve 2 birim yukarı kaydırılarak elde edilir.

Örnek. $y=x^(-\frac(4)(5))$ doğrusuna $x=1$ noktasındaki teğet için bir denklem yazın.
Çözüm. Teğet denklemi bildiğimiz formülle belirlenir:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Bizim durumumuzda $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Türevini bulalım:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Hesaplayalım:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Teğet denklemini bulalım:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Cevap: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

1. Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafiği;

2. Dönüşümler:

Paralel aktarım;

Koordinat eksenlerine göre simetri;

Kökenle ilgili simetri;

y = x düz çizgisine göre simetri;

Koordinat eksenleri boyunca germe ve sıkıştırma.

3. Üstel fonksiyon, özellikleri ve grafiği, benzer dönüşümler;

4. Logaritmik fonksiyon, özellikleri ve grafiği;

5. Trigonometrik fonksiyon, özellikleri ve grafiği, benzer dönüşümler (y = sin x; y = cos x; y = tan x);

Fonksiyon: y = x\n - özellikleri ve grafiği.

Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafiği

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1/x vb. Tüm bu işlevler güç fonksiyonunun özel durumlarıdır, yani fonksiyon y = x p p verilmiştir gerçek sayı.
Bir güç fonksiyonunun özellikleri ve grafiği, gerçek üslü bir gücün özelliklerine ve özellikle de hangi değerlere önemli ölçüde bağlıdır? X Ve P derece mantıklı xp. Duruma bağlı olarak çeşitli durumları benzer şekilde ele alalım.
üs P.

1. Gösterge p = 2n- eşit doğal sayı.

y = x2n, Nerede N- bir doğal sayı, aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - tüm gerçek sayılar, yani R kümesi;
• birçok anlam - Negatif olmayan sayılar yani y 0'dan büyük veya ona eşittir;
• işlev y = x2n hatta çünkü x 2n = (-x) 2n
• fonksiyon aralıkta azalıyor X< 0 ve aralıkta artıyor x > 0.

Bir fonksiyonun grafiği y = x2nörneğin bir fonksiyonun grafiğiyle aynı forma sahiptir y = x 4.

2. Gösterge p = 2n - 1- tek doğal sayı

Bu durumda güç fonksiyonu y = x2n-1 Bir doğal sayı olan , aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - R kümesi;
• değerler kümesi - R'yi ayarlayın;
• işlev y = x2n-1 tuhaf çünkü (- x) 2n-1= x2n-1;
• fonksiyon tüm reel eksende artmaktadır.

Bir fonksiyonun grafiği y = x2n-1 y = x 3.

3. Gösterge p = -2n, Nerede N- doğal sayı.

Bu durumda güç fonksiyonu y = x -2n = 1/x 2n aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• birçok anlam - pozitif sayılar y>0;
• fonksiyon y = 1/x 2n hatta çünkü 1/(-x)2n= 1/x 2n;
• fonksiyon x0 aralığında artıyor.

y fonksiyonunun grafiği = 1/x 2nörneğin y fonksiyonunun grafiğiyle aynı forma sahiptir = 1/x2.

4. Gösterge p = -(2n-1), Nerede N- doğal sayı.
Bu durumda güç fonksiyonu y = x -(2n-1) aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - R kümesi, x = 0 hariç;
• değerler kümesi - y = 0 hariç R'yi ayarlayın;
• işlev y = x -(2n-1) tuhaf çünkü (- x) -(2n-1) = -x -(2n-1);
• fonksiyon aralıklarla azalıyor X< 0 Ve x > 0.

Bir fonksiyonun grafiği y = x -(2n-1)örneğin bir fonksiyonun grafiğiyle aynı forma sahiptir y = 1/x3.

Güç fonksiyonunu dikkate almanın kolaylığı için 4'ü ele alacağız. bireysel vakalar: ile güç fonksiyonu doğal gösterge, tamsayı üslü kuvvet fonksiyonu, rasyonel üslü kuvvet fonksiyonu ve rasyonel üslü kuvvet fonksiyonu irrasyonel gösterge.

Doğal üslü kuvvet fonksiyonu

Öncelikle doğal üssü olan derece kavramını tanıtalım.

Tanım 1

Doğal üssü $n$ olan bir $a$ gerçek sayısının kuvveti sayıdır ürüne eşit Her biri $a$ sayısına eşit olan $n$ faktörler.

Şekil 1.

$a$ derecenin temelidir.

$n$ üstür.

Şimdi doğal üssü, özellikleri ve grafiği olan bir kuvvet fonksiyonunu ele alalım.

Tanım 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$, doğal üssü olan bir kuvvet fonksiyonu olarak adlandırılır.

Daha fazla kolaylık sağlamak için, $f\left(x\right)=x^(2n)$ çift üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu ve $f\left(x\right)=x^ tek üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu ayrı ayrı ele alıyoruz. (2n-1)$ ($n\in N)$.

Doğal çift üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- fonksiyon çifttir.

Değer alanı -- $\

Fonksiyon $x\in (-\infty ,0)$ kadar azalır ve $x\in (0,+\infty)$ kadar artar.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$

Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca dışbükeydir.

Etki alanının uçlarındaki davranış:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Grafik (Şekil 2).

Şekil 2. $f\left(x\right)=x^(2n)$ fonksiyonunun grafiği

Doğal tek üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri

Tanım alanı tüm gerçek sayılardır.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- fonksiyon tektir.

$f(x)$ tüm tanım alanı boyunca süreklidir.

Aralığın tamamı gerçek sayılardır.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca artar.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ için.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Fonksiyon $x\in (-\infty ,0)$ için içbükeydir ve $x\in (0,+\infty)$ için dışbükeydir.

Grafik (Şekil 3).

Şekil 3. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ fonksiyonunun grafiği

Tamsayı üslü kuvvet fonksiyonu

Öncelikle tam sayı üssü olan derece kavramını tanıtalım.

Tanım 3

$n$ tamsayı üssüne sahip bir $a$ gerçek sayısının kuvveti aşağıdaki formülle belirlenir:

Şekil 4.

Şimdi tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu, özelliklerini ve grafiğini ele alalım.

Tanım 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$, tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonu olarak adlandırılır.

Eğer derece sıfırdan büyük sonra doğal üssü olan bir kuvvet fonksiyonu durumuna geliriz. Yukarıda zaten tartışmıştık. $n=0$ için şunu elde ederiz doğrusal fonksiyon$y=1$. Değerlendirmesini okuyucuya bırakıyoruz. Geriye negatif tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özelliklerini dikkate almak kalıyor

Negatif tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri

Tanımın etki alanı $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$'dır.

Üs çift ise fonksiyon çifttir; tek ise fonksiyon tektir.

$f(x)$ tüm tanım alanı boyunca süreklidir.

Kapsam:

Üs çift ise $(0,+\infty)$; tek ise $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Tek bir üs için fonksiyon $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ olarak azalır. Çift bir üs için fonksiyon $x\in (0,+\infty)$ olarak azalır. ve $x\in \left(-\infty ,0\right)$ olarak artar.

Tanımın tüm alanı boyunca $f(x)\ge 0$

Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri sunulmuştur. farklı anlamlarüs. Temel formüller, tanım alanları ve değer kümeleri, parite, monotonluk, artan ve azalan, ekstremum, dışbükeylik, bükülmeler, koordinat eksenleriyle kesişim noktaları, limitler, belirli değerler.

Güç fonksiyonlarına sahip formüller

Güç fonksiyonunun tanım alanında y = x p elimizde var aşağıdaki formüller:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri

Üssü sıfıra eşit olan güç fonksiyonu, p = 0

Güç fonksiyonunun üssü y = x p ise sıfıra eşit, p = 0 ise güç fonksiyonu tüm x ≠ 0 için tanımlanır ve birliğe eşit bir sabittir:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Doğal tek üslü kuvvet fonksiyonu, p = n = 1, 3, 5, ...

Doğal tek üssü n = 1, 3, 5, ... olan bir y = x p = xn güç fonksiyonunu düşünün.

Bu gösterge şu şekilde de yazılabilir: n = 2k + 1, burada k = 0, 1, 2, 3, ... negatif olmayan bir tam sayıdır. Aşağıda bu tür fonksiyonların özellikleri ve grafikleri verilmiştir.

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Kapsam: -∞ < y < ∞
Çoklu anlamlar: Parite:
tek, y(-x) = - y(x) Monoton:
monoton olarak artar Aşırılıklar:
HAYIR
Dışbükey:< x < 0 выпукла вверх
-∞'da< x < ∞ выпукла вниз
0'da Bükülme noktaları:
Bükülme noktaları:
x = 0, y = 0
;
Sınırlar:
Özel değerler:
x = -1'de,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0'da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = 1 için fonksiyon onun tersidir: x = y

n ≠ 1 için ters fonksiyon n derecesinin köküdür:

Doğal çift üslü kuvvet fonksiyonu, p = n = 2, 4, 6, ...

Doğal çift üssü n = 2, 4, 6, ... olan bir y = x p = xn güç fonksiyonunu düşünün.

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Kapsam: Bu gösterge şu şekilde de yazılabilir: n = 2k, burada k = 1, 2, 3, ... - doğal. Bu fonksiyonların özellikleri ve grafikleri aşağıda verilmiştir.< ∞
Çoklu anlamlar:Üssün çeşitli değerleri için doğal çift üslü y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 2, 4, 6, ....
tek, y(-x) = - y(x)
0 ≤ y
çift, y(-x) = y(x)
monoton olarak artar x ≤ 0 için monoton olarak azalır
HAYIR x ≥ 0 için monoton olarak artar
0'da Aşırılıklar:
minimum, x = 0, y = 0 Bükülme noktaları:
x = 0, y = 0
;
Sınırlar:
aşağı dışbükey Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0'da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
x = -1'de, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1:
n = 2 için,

karekök

n ≠ 2 için, n derecesinin kökü: Negatif tam sayı üslü kuvvet fonksiyonu, p = n = -1, -2, -3, ... Bir tam sayı ile y = x p = x n kuvvet fonksiyonunu düşünün

Üssün çeşitli değerleri için negatif tamsayı üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = -1, -2, -3, ... .

Tek üs, n = -1, -3, -5, ...

Aşağıda tek negatif üssü n = -1, -3, -5, ... olan y = x n fonksiyonunun özellikleri verilmiştir.

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, .... x ≠ 0
Kapsam: y ≠ 0
Çoklu anlamlar: Parite:
tek, y(-x) = - y(x) monoton olarak azalır
monoton olarak artar Aşırılıklar:
HAYIR
x'te< 0 : выпукла вверх
x > 0 için: aşağı doğru dışbükey
0'da Aşırılıklar:
minimum, x = 0, y = 0 Aşırılıklar:
İmza:
x'te< 0, y < 0
x > 0 için, y > 0
x = 0, y = 0
; ; ;
Sınırlar:
x = 0'da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
n = -1 olduğunda,
n'de< -2 ,

Çift üs, n = -2, -4, -6, ...

Aşağıda çift negatif üslü n = -2, -4, -6, ... olan y = x n fonksiyonunun özellikleri verilmiştir.

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, .... x ≠ 0
Kapsam: y > 0
Çoklu anlamlar:Üssün çeşitli değerleri için doğal çift üslü y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 2, 4, 6, ....
tek, y(-x) = - y(x)
x'te< 0 : монотонно возрастает
x > 0 için: monoton olarak azalır
monoton olarak artar Aşırılıklar:
HAYIR x ≥ 0 için monoton olarak artar
0'da Aşırılıklar:
minimum, x = 0, y = 0 Aşırılıklar:
İmza: y > 0
x = 0, y = 0
; ; ;
Sınırlar:
x = 0'da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
n = -2'de,
n'de< -2 ,

Rasyonel (kesirli) üslü kuvvet fonksiyonu

Rasyonel (kesirli) üssü olan bir y = x p kuvvet fonksiyonunu düşünün; burada n bir tamsayı, m > 1 ise bir doğal sayıdır. Üstelik n, m yok ortak bölenler.

Kesirli göstergenin paydası tektir

Payda olsun kesirli gösterge tek dereceler: m = 3, 5, 7, ... . Bu durumda kuvvet fonksiyonu x p hem pozitif hem de pozitif için tanımlanır. negatif değerler argüman x. p üssü şu şekilde olduğunda bu tür güç fonksiyonlarının özelliklerini ele alalım:.

belirli sınırlar dahilinde< 0

P değeri negatiftir, p Rasyonel üs olsun (paydası tek olan m = 3, 5, 7, ...): .

sıfırdan az

Üssün çeşitli değerleri için rasyonel bir negatif üsle güç fonksiyonlarının grafikleri, burada m = 3, 5, 7, ... - tek.

Tek pay, n = -1, -3, -5, ...

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, .... x ≠ 0
Kapsam: y ≠ 0
Çoklu anlamlar: Parite:
tek, y(-x) = - y(x) monoton olarak azalır
monoton olarak artar Aşırılıklar:
HAYIR
x'te< 0 : выпукла вверх
x > 0 için: aşağı doğru dışbükey
0'da Aşırılıklar:
minimum, x = 0, y = 0 Aşırılıklar:
İmza:
x'te< 0, y < 0
x > 0 için, y > 0
x = 0, y = 0
; ; ;
Sınırlar:
Y = x p kuvvet fonksiyonunun özelliklerini rasyonel bir negatif üsle sunuyoruz; burada n = -1, -3, -5, ... tek bir negatif tam sayıdır, m = 3, 5, 7 ... bir tek doğal tamsayı.
x = 0'da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1

x = -1'de, y(-1) = (-1) n = -1

Çift pay, n = -2, -4, -6, ...

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, .... x ≠ 0
Kapsam: y > 0
Çoklu anlamlar:Üssün çeşitli değerleri için doğal çift üslü y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 2, 4, 6, ....
tek, y(-x) = - y(x)
x'te< 0 : монотонно возрастает
x > 0 için: monoton olarak azalır
monoton olarak artar Aşırılıklar:
HAYIR x ≥ 0 için monoton olarak artar
0'da Aşırılıklar:
minimum, x = 0, y = 0 Aşırılıklar:
İmza: y > 0
x = 0, y = 0
; ; ;
Sınırlar:
Rasyonel negatif üslü y = x p güç fonksiyonunun özellikleri; burada n = -2, -4, -6, ... çift negatif bir tam sayıdır, m = 3, 5, 7 ... tek bir doğal tam sayıdır .
x = 0'da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1

x = -1'de, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1

P değeri pozitif, birden küçük, 0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Rasyonel üssü (0) olan bir güç fonksiyonunun grafiği

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Kapsam: -∞ < y < +∞
Çoklu anlamlar: Parite:
tek, y(-x) = - y(x) Monoton:
monoton olarak artar Aşırılıklar:
HAYIR
x'te< 0 : выпукла вниз
Tek pay, n = 1, 3, 5, ...
0'da Bükülme noktaları:
minimum, x = 0, y = 0 Bükülme noktaları:
İmza:
x'te< 0, y < 0
x > 0 için, y > 0
x = 0, y = 0
;
Sınırlar:
x > 0 için: yukarı doğru dışbükey
x = -1'de, y(-1) = -1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1

x = 1 için, y(1) = 1

Çift pay, n = 2, 4, 6, ...< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Kapsam: Bu gösterge şu şekilde de yazılabilir: n = 2k, burada k = 1, 2, 3, ... - doğal. Bu fonksiyonların özellikleri ve grafikleri aşağıda verilmiştir.< +∞
Çoklu anlamlar:Üssün çeşitli değerleri için doğal çift üslü y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 2, 4, 6, ....
tek, y(-x) = - y(x)
x'te< 0 : монотонно убывает
Rasyonel üssü 0 olan y = x p güç fonksiyonunun özellikleri sunulmuştur.
monoton olarak artar x > 0 için: monoton olarak artar
HAYIR x = 0'da minimum, y = 0
0'da Aşırılıklar:
minimum, x = 0, y = 0 Bükülme noktaları:
İmza: x ≠ 0 için yukarı doğru dışbükey
x = 0, y = 0
;
Sınırlar:
x ≠ 0 için, y > 0
x = -1'de, y(-1) = -1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1

x = -1'de, y(-1) = 1

Üssün çeşitli değerleri için rasyonel üslü (p > 1) bir güç fonksiyonunun grafiği, burada m = 3, 5, 7, ... tektir.

Tek pay, n = 5, 7, 9, ...

Rasyonel üssü birden büyük olan y = x p kuvvet fonksiyonunun özellikleri: .

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Kapsam: -∞ < y < ∞
Çoklu anlamlar: Parite:
tek, y(-x) = - y(x) Monoton:
monoton olarak artar Aşırılıklar:
HAYIR
Dışbükey:< x < 0 выпукла вверх
-∞'da< x < ∞ выпукла вниз
0'da Bükülme noktaları:
minimum, x = 0, y = 0 Bükülme noktaları:
x = 0, y = 0
;
Sınırlar:
x > 0 için: yukarı doğru dışbükey
x = -1'de, y(-1) = -1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1

Burada n = 5, 7, 9, ... - tek doğal, m = 3, 5, 7 ... - tek doğal.

Çift pay, n = 4, 6, 8, ...

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Kapsam: Bu gösterge şu şekilde de yazılabilir: n = 2k, burada k = 1, 2, 3, ... - doğal. Bu fonksiyonların özellikleri ve grafikleri aşağıda verilmiştir.< ∞
Çoklu anlamlar:Üssün çeşitli değerleri için doğal çift üslü y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 2, 4, 6, ....
tek, y(-x) = - y(x)
x'te< 0 монотонно убывает
Rasyonel üssü birden büyük olan y = x p kuvvet fonksiyonunun özellikleri: .
monoton olarak artar x > 0 için: monoton olarak artar
HAYIR x ≥ 0 için monoton olarak artar
0'da Aşırılıklar:
minimum, x = 0, y = 0 Bükülme noktaları:
x = 0, y = 0
;
Sınırlar:
x ≠ 0 için, y > 0
x = -1'de, y(-1) = -1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1

Burada n = 4, 6, 8, ... - çift doğal, m = 3, 5, 7 ... - tek doğal.

x > 0 için monoton olarak artar

Kesirli göstergenin paydası çifttir

Kesirli üssün paydası çift olsun: m = 2, 4, 6, ... . Bu durumda argümanın negatif değerleri için x p kuvvet fonksiyonu tanımlanmaz. Özellikleri, irrasyonel üslü bir kuvvet fonksiyonunun özellikleriyle örtüşmektedir (sonraki bölüme bakınız). İrrasyonel üslü kuvvet fonksiyonuİrrasyonel p üssüne sahip bir y = x p kuvvet fonksiyonunu düşünün.

Bu tür fonksiyonların özellikleri yukarıda tartışılanlardan farklıdır çünkü x argümanının negatif değerleri için tanımlanmamıştır.

İçin< 0

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, .... pozitif değerler
Kapsam: y > 0
tek, y(-x) = - y(x) monoton olarak azalır
HAYIR x ≥ 0 için monoton olarak artar
0'da Aşırılıklar:
minimum, x = 0, y = 0 Aşırılıklar:
x = 0, y = 0 ;
argümanında, özellikler yalnızca p üssünün değerine bağlıdır ve p'nin tam sayı, rasyonel veya irrasyonel olmasına bağlı değildir. p üssünün farklı değerleri için y = x p.

Negatif üslü p ile kuvvet fonksiyonu

x > 0< p < 1

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, ....Özel anlamı:
Kapsam: x = 1 için y(1) = 1 p = 1
tek, y(-x) = - y(x) Monoton:
HAYIR Pozitif üssü p > 0 olan kuvvet fonksiyonu
0'da Aşırılıklar:
minimum, x = 0, y = 0 Bükülme noktaları:
x = 0, y = 0
Sınırlar: Gösterge birden az 0
p üssünün farklı değerleri için y = x p.

x ≥ 0

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, ....Özel anlamı:
Kapsam: x = 1 için y(1) = 1 p = 1
tek, y(-x) = - y(x) Monoton:
HAYIR x ≥ 0 için monoton olarak artar
0'da Aşırılıklar:
minimum, x = 0, y = 0 Bükülme noktaları:
x = 0, y = 0
Sınırlar: Gösterge birden az 0
p üssünün farklı değerleri için y = x p.

y ≥ 0
yukarı doğru dışbükey