Gushchin trigonometrik denklemleri. Trigonometrik denklemler

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Sizden bilgilerinizi vermeniz istenebilir kişisel bilgiler bizimle iletişime geçtiğinizde.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerektiğinde - kanuna, adli prosedüre, hukuki işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Moldova Cumhuriyeti'nin Insarsky bölgesinin MBOU "Mordovsko-Paevskaya ortaokulu"

Tamamlayan: Pantileikina Nadezhda,

11. sınıf öğrencisi

Başkan: Kadyshkina N.V.,

matematik öğretmeni

İçindekiler

Giriiş……………………………………………………………………………………….

Bölüm I. Trigonometrik denklemler hakkında…………………………………..…5

1) Temel trigonometrik denklem türleri ve bunları çözme yöntemleri:

1. Denklemler en basitine indirgenmiştir. ……………………………..5

2. İkinci dereceden denklemler……………………………….5

3. Homojen denklemler acosx + b sin x = 0……………………………...6

4. acosx + b sin x = c, c≠ 0…………………………………7 formundaki denklemler

5. Çarpanlara ayırma ile çözülen denklemler……………………….7

6. Standart dışı denklemler………………………………………………….8

Bölüm II. Trigonometrinin temel kavramları ve formülleri…………………….8-10

Bölüm II BEN. Önerilen denklemler Geçmişin Birleşik Devlet Sınavları yıl…………………10-14

Sonuç………………………………………………………………………………….14

Ek………………………………………………………..………………………….15-17

Edebiyat……………………………………………………………………………………..18

giriiş

« Tek yol Bilgiye ulaşmak faaliyettir...”

Bernard Shaw

İşin alaka düzeyi.

Birkaç ay sonra okuldan mezun olacağım.

Böylece daha fazla seçimle ilgili herhangi bir sorun yaşanmaz hayat yolu, gerekli okul sertifikası alın ve okul sertifikası almak için iki sınavdan geçmeniz gerekir zorunlu sınav V Birleşik Devlet Sınavı formu- ve onlardan birimatematik. Ne söyleyebilirim? final sınavları- herhangi bir okul çocuğunun hayatında sadece bağlı olmadığı çok önemli bir dönem son not Sertifikada, aynı zamanda mesleki geleceği, geliri ve kariyeri de yer alıyor.

Bekar Devlet Sınavı- Bu taşınmadan önce önemli bir testtir yeni hayat ve bir üniversiteye veya koleje kabul. Bunu aktarmak özellikle önemlidir iyi puanlar. Matematikte Birleşik Devlet Sınavı ciddi bir sınavdır ve iyi bir temel olmadan öğrenci iyi bir sonuç elde edemez.

Sınavda başarısız olmaktan nasıl kaçınılır ve iyi puanlar alınır? Bunu yapmak için görevleri iyi çözmeniz gerekiyor. öyleymiş gibi yapmıyorum maksimum puan Ancak titizlikle hazırlanıyorum. Ve C bölümünün ilk görevinde, yani trigonometrik denklemleri ve sistemlerini çözerken bile hata yaptığımı fark ettim.İlk bakışta, C1 görevi nispeten basit denklem veya trigonometrik fonksiyonlar içerebilen bir denklem sistemi,Bunları çözmeye yönelik ana yaklaşımlardan biri, bunları bir veya daha fazla en basit olana indirgemek için bunları sırayla basitleştirmektir.Peki neden yanılıyorum?

Konunun alaka düzeyi Öğrencilerin trigonometrik denklemleri çözmenin belirli yöntemlerini anlamaları gerektiği gerçeğiyle belirlenir.

Bu nedenle kendime aşağıdakileri belirledimhedef:

Trigonometrik denklemleri çözmek için yöntemlerin kullanımına ilişkin bilgi ve becerileri sistematikleştirin ve genişletin.

Çalışmanın amacı Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde trigonometrik denklemlerin incelenmesidir.

Araştırma konusu- trigonometrik denklemlerin çözümü

Böylece, ana hedef bunu yazmak ders çalışması trigonometrik denklemlerin ve sistemlerinin, bunları çözme yöntemlerinin incelenmesidir.

Çalışmanın amacı, amacı ve konusu doğrultusunda aşağıdakiler tanımlanmıştır: görevler:

1). Trigonometrik denklemlerin çözümüyle ilgili tüm görevleri inceleyin Birleşik Devlet Sınavı çalışmalarıönceki yıllarda ve performans sergilerken teşhis çalışması;

2) Trigonometrik denklemlerin çözümüne yönelik yöntemleri inceleyin.

3). Ana olanı tanımlayın olası hatalar bu tür denklemleri çözerken;

4). Bu tür hataları yapmanın nedenini öğrenin.

6). Sonuç çıkarın.

Çalışmamda birkaç trigonometrik denklemi çözeceğim, bunları çözerken olası hataları göstereceğim ve aşağıdaki soruları cevaplamaya çalışacağım sorular:

1). C1 tipi görevleri gerçekleştirirken hatalardan kaçınmak mümkün müdür?

2) Bu tür denklemleri çözme alıştırması yaparsam,

Bu tür görevleri hatasız gerçekleştirmek mümkün mü?

Bu amaçla tüm demoları inceledim ve eğitim görevleri bizimle geçirdiğiniz, Birleşik Devlet Sınavı materyalleriönceki yıllar;

incelenen referans kaynakları;

İnternetten bağımsız olarak çözülmüş görevler;

zorluk durumunda öğretmenine danıştı;

Sonuçları analiz etmeyi ve doğru şekilde biçimlendirmeyi öğrendim.

Bölüm BEN. Trigonometrik denklemler hakkında.

1) Tanım 1. Trigonometrik denklem, işareti altında bir değişken içeren bir denklemdir trigonometrik fonksiyonlar.

En basit trigonometrik denklemler denklemlerdir günah yazın x = a,

çünkü x=a, tg x=a, ctg x = a.

Bu tür denklemlerde değişken trigonometrik fonksiyonun işareti altındadır ve verilen sayıdır.

Bir trigonometrik denklemin çözümü iki aşamadan oluşur: denklemin en basit formunu elde edecek şekilde dönüştürülmesi ve elde edilen en basit trigonometrik denklemin çözülmesi.

2) Trigonometrik denklemlerin temel türleri.

Denklemler en basitine indirgenmiştir.

Denklemi çöz

Çözüm:

Cevap:

İkinci dereceden denklemlere indirgeme.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 denklemini çözün.

Cevap:

Homojen denklemler: asinx + bcosx = 0

A günah 2 x + B sinxcosx + Cçünkü 2 x = 0.

2sinx – 3cosx = 0 denklemini çözün

Çözüm: cosx = 0 olsun, sonra 2sinx = 0 ve sinx = 0 olsun – bu çelişkili bir durumdur.

sin 2 x + cos 2 x = 1. Bu, cosx ≠ 0 anlamına gelir ve denklemi cosx'e bölebiliriz.

Aldık

Cevap:

Örnek: Denklemi çöz

Çözüm:

Cevap:

Çarpanlara ayırma yoluyla çözülen denklemler.

Priper: sin2x – sinx = 0 denklemini çözün.

Çözüm: sin2x = 2sinxcosx formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda ürün sıfıra eşittir.

Cevap:

Standart olmayan denklemler.

Cosx = denklemini çözün X 2 + 1.

Çözüm:

Fonksiyonlara bakalım

Bölüm II. Trigonometrinin temel kavramları ve formülleri.

Trigonometrik denklemler - gerekli konu herhangi bir matematik sınavı

HAKKINDAx, trigonometriyi öğrenmek öğrencilere ne kadar acı verir.

Yakınlarda öğretmen olsa bile bazı zorluklar ortaya çıkıyormatematikte ve her küçük ayrıntıyı açıklıyor. Bu anlaşılabilir bir durum ancak temel formüller yirmiden fazla var. Bir de türevlerini sayarsak... Öğrenci hesaplamalarda kafası karışır ve bu formüllerin hangi mekanizmaları bulmayı sağladığını hatırlayamaz, örneğin: .

Formülleri biliyorsunuz; karar vermeniz kolaydır. Bilmiyorsanız formülü verseler de anlayamazsınız.Sadece formülü bilmenize gerek yok, aynı zamanda nerede uygulanabileceğini, nasıl açılacağını ve formülün özünün ne olduğunu da bilmeniz gerekiyor ve bunun için özel olarak bu problemlere yönelik örnekleri çözmeniz gerekiyor. çözülmesi zor.

İlk başta bana öyle gelditrigonometri sıkıcı bir formül ve grafik dizisidir. Ancak trigonometrinin yeni kavramlarını ve trigonometrik denklemleri çözme yöntemlerini tanıdıkça, trigonometri dünyasının ne kadar ilginç ve büyüleyici olduğuna her seferinde ikna oldum.

İlk önce, trigonometrik denklemleri başarıyla çözmek için iyi bilmeniz gerekir trigonometrik formüller, yalnızca ana olanları değil, aynı zamanda ek olanları da (trigonometrik fonksiyonların toplamını bir ürüne ve ürünleri toplama, dereceleri azaltma formüllerine ve diğerlerine dönüştürmek),kullanıldığından beri Birleşik Devlet Sınavı hile sayfaları Ve cep telefonları yasak

(Ek1)

ikinci olarak , açıkça bilmeliyiz standart formüller En basit trigonometrik denklemlerin kökleri (hatırlanması faydalıdır veya kullanılarak elde edilebilir) trigonometrik daire denklemlerin kökleri için basitleştirilmiş formüller)

Bu denklemlerin her biri bilmeniz gereken formüller kullanılarak çözülür. Bunlar formüller:

a) İşlevsen= günahX. İşlev sınırlıdır: [-1; 1]. Bu, aşağıdaki gibi denklemleri çözerken anlamına gelir:sinx=2 veyasinxsinx

1) sinx =a,x= (-1) N yaygünah a +n,n Z

2) sinx = - a,x= (-1) n+1 yaygünah a +n,n Z

Ayrıca özel durumları da bilmeniz gerekir: 1) sinx =- 1,

2)sinx =0,

3)sinx = A,

Ayrıca çözebilmeniz gerekiyoriki dizi kök şeklinde

2. İşlev sen = çünkü X . İşlev sınırlıdır: [-1; 1]. Bu, aşağıdaki gibi denklemleri çözerken anlamına gelir:çünküX=2 veyaçünküX=-5 cevap şu şekilde ortaya çıkıyor: kök yok. y= fonksiyonu için formüllerçünküX:

1. cosx =a, X=± arccos a+2n,n Z

2.çünkü x=-a, X=±(  - arccos a)+2n,n Z

Özel durumlar: 1. cosx =-1, X =  +2 n, N Z

2. cosx =0,

3.cosx =1, X= 2n,n Z

3. İşlevsen= tgX.

Özel durumlar olmaksızın tek bir formül vardır:tgX = ± A .

X = ± arktan a+n,n Z

Üçüncüsü trigonometrik fonksiyonların değerlerini bilmeniz gerekiyor;

(Ek 2)

Dördüncüsü, Bir denklemde trigonometrik fonksiyon kök işaretinin altındaysa, o zaman böyle bir trigonometrik denklem irrasyonel olacaktır. Bu tür denklemlerde, sıradan denklemleri çözerken kullanılan tüm kurallara uymanız gerekir. irrasyonel denklemler(dikkate alınan alan kabul edilebilir değerler hem denklemin kendisi hem de çift dereceli bir kökten arındırıldığında).

V. Önceki yılların Birleşik Devlet Sınavında sunulan denklemler.

"Bir çözüm yöntemi, eğer bu yöntemi izleyerek hedefe ulaşacağımızı en baştan öngörebilir ve daha sonra bunu onaylayabilirsek iyidir."

Leibniz

1. İkinci dereceden denklemlere indirgenen denklemler.

C1. Denklemi çözün:

Çözüm: Temel trigonometrik özdeşliği kullanarak,denklemi formda yeniden yazıyoruz

Yenisiyle değiştirmeçünkü= Tdenklem ikinci dereceden indirgenir:2T 2 + 9 T-5 =0, kökleri olanT 1 = ½ veT 2 = -5. X değişkenine dönersek şunu elde ederiz:
,

|cosx |≥1 olduğundan ikinci denklemin kökü yoktur ve ilk x =±'dan itibaren +6k, k Z

Cevap: =± +6k, k Z

Çözüm: Yeni bir değişken eklerken sin x ve cos x değerlerinin segmentle sınırlı olduğunu dikkate almanız gerekir.
aksi takdirde yabancı kökler görünecektir.

2. Çarpanlara ayırma yoluyla çözülen denklemler

Görev C1 (2011)

a) Denklemi çözün

b) Parçaya ait denklemin köklerini belirtiniz

Çözüm: a) Sol tarafı çarpanlara ayırarak çözünüz:

gruplandırın ve dışarı çıkın ortak çarpan parantezlerin ötesinde, şunu elde ederiz

Denklem 1)'in çözümü yoktur.

İkinci denklem homojendir, terimi terime cosx ≠0'a bölerek çözülebilir, şunu elde ederiz:
, Neresi

Cevap: a)
B)

Çözüm:

1. Bu tür bir denklemi çözerken öncelikle |sin x|≤1 ve |cosx |≤1 olduğunu ve sinx =-2 denkleminin çözümü olmadığını bilmeniz gerekir;

2. İkinci olarak, bölmeyi cosx ≠о ile gerekçelendirin (çünkü eğer cosx = 0 ise sin x = 0 olur, ancak bu imkansızdır;

üçüncüsü, belirli bir aralığa ait kökleri seçmek mantıklıdır

3
. İndirgeme formüllerini uygulamak için denklem

C1 (2010) Verilen denklem

a) denklemi çözün;

B
) Segmente ait kökleri belirtin

Çözüm: İndirgeme formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:

günah 2 x – çünkü x =0,

2 sinx cosx- cosx =0,

İle osx (2 sinx -1)=0, dolayısıyla cosx= 0 veya sinx =½,

b) Köklerin ait olacağı k değerlerini bulalım

belirtilen aralık. Kökleri seçmek için. Belirli bir aralığa ait olan çözümü şu şekilde sunuyoruz:

B

) Köklerin belirtilen aralığa ait olacağı k değerlerini bulun.

Bu eşitsizliği çözersek bütün

k değerlerini alamayacağız.

Cevap: a)

Çözüm:

Bu tür bir denklemi çözerken, verilen denklemin formüllerini bilmek ve doğru bir şekilde uygulamak gerekir; çözüm sunabilmek
iki dizi köke; Belirli bir segmente ait doğru kökleri seçin.

4. Trigonometrik denklem sistemleri

C1 (2010). Denklem sistemini çözme

Çözüm: O.D.Z

Pay 0 ve payda 0 değilse kesir sıfıra eşittir.

2sin 2 x – 3 sinx +1 =0 denkleminden, yeni bir değişken ekleyerek çözerek şunu buluruz:

veya günah x =1.

1) izin ver
, Daha sonra
ve y = çünkü x = ›0 (temel kullanarak trigonometrik özdeşlik)

veya
Ve
- çözüm yok.

2) izin ver sinx = 1, o zaman y = cos x = 0 – çözüm yok.

Cevap:
ve y =

Sonuç: 1) trigonometrinin sınırlamalarını dikkate almak gerekir

işlevler

2) O.D.Z.'yi kaydedin ve dikkate alın.

5. C1 (Birleşik Devlet Sınavı 2011) Denklemi çözün:

O.D.Z. – çünkü x ≥ 0, sin x ≤ 0.

4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 veya cos x =0

sinx = t

4 t 2 + 12 t + 5=0, buradan itibaren t 1 = -½, t 2 = -

sinx = -½ sinx=- - çözümü yok

x =

O.D.Z'yi dikkate alarak. x =

Cevap: x =

Sonuç: O.D.Z'yi dikkate alarak cevabı yazın.

ÇÖZÜM

Yaptığım çalışmada trigonometrik denklemlerin çözümlerini inceledim, trigonometrik denklemleri çözmek için önerileri, trigonometrik denklemleri çözme yöntemlerini değerlendirdim ve bunları çözerken olası hataları değerlendirdim.

geldim aşağıdaki sonuçlar:

1. C1 tipi görevler trigonometrik denklemleri çözme yeteneğini test eder. Bu görevler aslında basittir, bu da aşırı özgüven verir ve dikkati dağıtır. Bu görevlerin tek zorluğu, bir denklemi veya denklem sistemini çözdükten sonra yabancı köklerin atılması gerekmesidir.

2. Görev C1 en çok basit görev grup C. Çözerken, hantal dönüşümler ve karmaşık hesaplamalar. Görünürlerse hemen durmanız, çözümü kontrol etmeniz ve burada neyin yanlış olduğunu anlamaya çalışmanız gerekir.

3. Sonuçta,Temel gereklilik, çözümün matematiksel açıdan okuryazar olması ve akıl yürütmenin gidişatının açık olması gerektiğidir.Kararınızı kısa ve net bir şekilde ama en önemlisi doğru bir şekilde yazmaya çalışmalısınız!

4. Ve en önemlisi, denklemleri hatasız çözmeyi öğrenmek için onları çözmeniz gerekir! Sonuçta Polya'nın dediği gibi, "Yüzmeyi öğrenmek istiyorsanız suya dalmaktan çekinmeyin, sorunları nasıl çözeceğinizi öğrenmek istiyorsanız onları çözmelisiniz!"

Ek 1 ( temel formüller trigonometri)

1) temel trigonometrik kimlikgünah 2 α + çünkü 2 a= 1,

Bu denklemi sırasıyla kosinüs ve sinüsün karesine bölerek şunu elde ederiz:

2) çift argümanlı formüllergünah2α =2günahα çünkü α,

çünkü 2α =çünkü 2 α -günah 2 α ,

Cos 2α = 1- 2sin 2 α,

3) dereceyi azaltmak için formüller:

4) iki argümanın toplamı ve farkı için formüller:

günah(α+ β )= günahα çünküβ + çünkü α günahβ

günah(α- β )= günahα çünkü β - çünkü α günah β

çünkü(α+ β )= çünküα çünkü β + günah α günah β

çünkü(α- β )= günahα çünkü β + günahα günah β

5) İndirgeme formülleri

İndirgeme formülleri aşağıdaki formdaki formüllerdir:

Trigonometrik denklemlerin toplamları ve farkları

Parite

Kosinüs-çift, sinüs, teğet ve kotanjant, yani:

Süreklilik

Sinüs ve kosinüs - . Teğet ve vardır

,kotanjant 0; ±π; ±2π;…

Periyodiklik

Fonksiyonlarsen = çünküX, sen = günahX -

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.