Bildiğiniz gibi ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri daima toplanır (a b *a c = a b+c). Bu matematik kanunu Arşimed tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen tamsayı üslerinden oluşan bir tablo oluşturdu. Logaritmanın daha fazla keşfedilmesine hizmet edenler onlardı. Bu işlevin kullanımına ilişkin örnekler, zahmetli çarpma işlemini basit toplama yoluyla basitleştirmenin gerekli olduğu hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumaya 10 dakikanızı ayırırsanız size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını anlatacağız. Basit ve erişilebilir bir dille.
Matematikte tanım
Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani herhangi bir sayının logaritması negatif olmayan sayı(yani herhangi bir pozitif) “b”, “a” tabanına göre “c”nin kuvveti olarak kabul edilir ve sonuçta “b” değerini elde etmek için “a” tabanının yükseltilmesi gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, diyelim ki log 2 8 ifadesi var. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir güç bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli güce 8 ulaşacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve bu doğru çünkü 2 üssü 3 cevabı 8 olarak veriyor.
Logaritma türleri
Birçok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar da korkutucu değil, asıl önemli olan genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç tane var bireysel türler logaritmik ifadeler:
- Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2,7).
- Tabanı 10 olan ondalık a.
- Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.
Her birine karar verildi standart bir şekilde Logaritmik teoremleri kullanarak basitleştirmeyi, indirgemeyi ve ardından bir logaritmaya indirgemeyi içerir. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, bunları çözerken özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamanız gerekir.
Kurallar ve bazı kısıtlamalar
Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve gerçek olan birçok kural-kısıtlama vardır. Örneğin sayıları sıfıra bölmek mümkün olmadığı gibi negatif sayıların çift kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların da kendi kuralları vardır; bunları takip ederek uzun ve kapsamlı logaritmik ifadelerle bile çalışmayı kolayca öğrenebilirsiniz:
- "a" tabanı her zaman olmalıdır sıfırdan büyük ve aynı zamanda 1'e eşit olamaz, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
- a > 0 ise a b >0 ise "c"nin de sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.
Logaritmalar nasıl çözülür?
Örneğin 10 x = 100 denkleminin cevabını bulma görevi veriliyor. Bu çok kolay, on sayısını artırarak 100'e ulaşacağımız bir kuvvet seçmeniz gerekiyor. Bu elbette 10 2 = 100.
Şimdi hayal edelim bu ifade logaritmik formda. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, belirli bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanına girmenin gerekli olduğu gücü bulmak için tüm eylemler pratik olarak birleşir.
Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Şuna benziyor:
Gördüğünüz gibi, eğer teknik bir aklınız ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak için büyük değerler bir derece tablosuna ihtiyacınız olacak. Karmaşık konular hakkında hiçbir şey bilmeyenler tarafından bile kullanılabilir. matematik konuları. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Kesişme noktasında hücreler cevap olan sayı değerlerini içerir (a c =b). Mesela 10 rakamının olduğu ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesişiminde gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlayacaktır!
Denklemler ve eşitsizlikler
Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle herhangi bir matematiksel sayısal ifadeler logaritmik denklem olarak yazılabilir. Örneğin 3 4 =81, 81'in 3 tabanlı logaritması dörde eşit (log 3 81 = 4) olarak yazılabilir. İçin negatif güçler kurallar aynı: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazıyoruz, log 2 (1/32) = -5 elde ediyoruz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri “logaritmalar” konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra aşağıdaki denklem örneklerine ve çözümlerine bakacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.
Aşağıdaki biçimde bir ifade verildiğinde: log 2 (x-1) > 3 - bu logaritmik eşitsizlikÇünkü bilinmeyen değer "x" logaritmanın işareti altındadır. Ayrıca ifadede iki nicelik karşılaştırılır: İstenilen sayının iki tabanına göre logaritması üç sayısından büyüktür.
Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritma içeren denklemlerin (örnek - logaritma 2 x = √9) bir veya daha fazla spesifik cevabı ima etmesidir. sayısal değerler eşitsizlikleri çözerken bölge olarak tanımlanırken kabul edilebilir değerler ve bu fonksiyonun kesme noktaları. Sonuç olarak cevap, bir denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar dizisi değil, sürekli bir dizi veya sayı dizisidir.
Logaritmalarla ilgili temel teoremler
Logaritmanın değerlerini bulma gibi ilkel görevleri çözerken özellikleri bilinmeyebilir. Ancak konu logaritmik denklemler veya eşitsizlikler olduğunda öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örneklerine bakacağız; önce her özelliğe daha ayrıntılı olarak bakalım.
- Ana kimlik şuna benzer: a logaB =B. Bu yalnızca a'nın 0'dan büyük olması, bire eşit olmaması ve B'nin sıfırdan büyük olması durumunda geçerlidir.
- Ürünün logaritması şu şekilde temsil edilebilir: aşağıdaki formül: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda zorunlu koşul: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritmik formülün ispatını örneklerle ve çözümle yapabilirsiniz. Log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 olsun, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2 olsun. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 sonucunu elde ederiz (özellikleri derece ) ve ardından tanım gereği: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
- Bölümün logaritması şuna benzer: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.
Bu formüle “logaritma derecesinin özelliği” denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve bu şaşırtıcı değildir çünkü tüm matematik doğal önermelere dayanmaktadır. Kanıta bakalım.
Log a b = t olsun, a t =b olur. Her iki parçayı da m kuvvetine çıkarırsak: a tn = b n ;
ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlandı.
Sorun ve eşitsizlik örnekleri
Logaritmalarla ilgili en yaygın problem türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Neredeyse tüm problem kitaplarında bulunurlar ve ayrıca zorunlu kısım matematik sınavları. Üniversiteye kabul veya geçme için giriş sınavları matematikte bu tür problemlerin nasıl doğru şekilde çözüleceğini bilmeniz gerekir.
Ne yazık ki logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur. matematiksel eşitsizlik veya logaritmik denklem uygulanabilir belirli kurallar. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini veya sonuçlanabileceğini öğrenmelisiniz. genel görünüm. Uzun olanları basitleştirin logaritmik ifadelerözelliklerini doğru kullanırsanız mümkündür. Onları hızlıca tanıyalım.
Karar verirken logaritmik denklemler, ne tür bir logaritmaya sahip olduğumuzu belirlememiz gerekir: örnek bir ifade, doğal bir logaritma veya ondalık bir logaritma içerebilir.
İşte ln100, ln1026 örnekleri. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı gücü belirlemeleri gerektiği gerçeğine dayanıyor. Çözümler için doğal logaritmalar logaritmik kimlikleri veya özelliklerini uygulamanız gerekir. Çözüme örneklerle bakalım logaritmik problemler farklı türleri.
Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle
Logaritmalarla ilgili temel teoremlerin kullanımına ilişkin örneklere bakalım.
- Bir ürünün logaritmasının özelliği, genişletilmesi gereken görevlerde kullanılabilir. büyük değer b sayılarını daha basit çarpanlara ayırın. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - görebileceğiniz gibi, logaritmanın kuvvetinin dördüncü özelliğini kullanarak, görünüşte karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Tabanı çarpanlara ayırmanız ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmanız yeterlidir.
Birleşik Devlet Sınavından Ödevler
Logaritmalar sıklıkla bulunur giriş sınavları, özellikle Birleşik Devlet Sınavında birçok logaritmik problem ( devlet sınavı tüm okuldan ayrılanlar için). Genellikle bu görevler yalnızca A bölümünde mevcut değildir (en kolayı) test bölümü sınav), ancak aynı zamanda C bölümünde (en karmaşık ve hacimli görevler). Sınav doğru ve doğru gerektirir mükemmel bilgi konular "Doğal logaritmalar".
Sorunlara ilişkin örnekler ve çözümler resmi kaynaklardan alınmıştır. Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.
Log 2 (2x-1) = 4 verildiğinde. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmanın tanımından 2x-1 = 2 4, dolayısıyla 2x = 17 elde ederiz; x = 8,5.
- Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmaların aynı tabana indirilmesi en iyisidir.
- Logaritmanın işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, dolayısıyla logaritmanın işaretinin altında olan bir ifadenin tabanı çarpan olarak üssü çıkarıldığında logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.
Logaritma nedir?
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Logaritma nedir? Logaritmalar nasıl çözülür? Bu sorular birçok mezunun kafasını karıştırıyor. Geleneksel olarak logaritma konusunun karmaşık, anlaşılmaz ve korkutucu olduğu düşünülür. Özellikle logaritmalı denklemler.
Bu kesinlikle doğru değil. Kesinlikle! Bana inanmıyor musun? İyi. Şimdi sadece 10 - 20 dakika içinde:
1. Anlayacaksınız logaritma nedir.
2. Karar vermeyi öğrenin bütün sınıf üstel denklemler. Onlar hakkında hiçbir şey duymamış olsanız bile.
3. Basit logaritmaları hesaplamayı öğrenin.
Üstelik bunun için çarpım tablosunu ve bir sayının üssünü nasıl yükselteceğinizi bilmeniz yeterli...
Şüphelerin varmış gibi hissediyorum... Peki, tamam, zamanı işaretle! Hadi gidelim!
Öncelikle şu denklemi kafanızda çözün:
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
log a r b r =log a b veya a b'yi günlüğe kaydet= log a r b r
Logaritmanın tabanı ile logaritmanın işaretinin altındaki sayının aynı kuvvete yükseltilmesi durumunda logaritmanın değeri değişmeyecektir.
Logaritma işaretinin altında yalnızca pozitif sayılar ve logaritmanın tabanı bire eşit değildir.
Örnekler.
1) Günlük 3 9 ile günlük 9 81'i karşılaştırın.
log 3 9=2, çünkü 3 2 =9;
log 9 81=2, çünkü 9 2 =81.
Yani log 3 9=log 9 81.
İkinci logaritmanın tabanının, birinci logaritmanın tabanının karesine eşit olduğuna dikkat edin: 9=3 2 ve ikinci logaritmanın işareti altındaki sayı, birincinin işareti altındaki sayının karesine eşittir. logaritma: 81=9 2. İlk logaritma log 3 9'un hem sayısının hem de tabanının ikinci kuvvetine yükseltildiği ve logaritmanın değerinin bundan değişmediği ortaya çıktı:
Sonraki, kökün çıkarılmasından bu yana N arasından üçüncü derece A bir sayının yükseltilmesidir A dereceye kadar ( 1/n), o zaman log 9 81'den, sayının karekökünü ve logaritmanın tabanından alarak log 3 9'u elde edebilirsiniz:
2) Eşitliği kontrol edin: log 4 25=log 0,5 0,2.
İlk logaritmaya bakalım. Haydi çıkaralım karekök tabandan 4 ve arasından 25 ; şunu elde ederiz: log 4 25=log 2 5.
İkinci logaritmaya bakalım. Logaritma tabanı: 0,5= 1/2. Bu logaritmanın işaretinin altındaki sayı: 0,2= 1/5. Bu sayıların her birini eksi birinci kuvvete yükseltelim:
0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;
0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.
Yani log 0,5 0,2=log 2 5. Sonuç: Bu eşitlik doğrudur.
Denklemi çözün:
log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Logaritmaları soldan tabana indirgeyelim 2 .
log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Sayının karekökünü ve ilk logaritmanın tabanını alın. Sayının dördüncü kökünü ve ikinci logaritmanın tabanını çıkarın.
log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Logaritmaların toplamını ürünün logaritmasına dönüştürün.
3x2 =5x+2. Güçlendirmeden sonra alındı.
3x2 -5x-2=0. Haydi karar verelim ikinci dereceden denklemİle genel formül tam ikinci dereceden bir denklem için:
a=3, b=-5, c=-2.
D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 gerçek kök.
Muayene.
x=2.
log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);
günlük 2 2 2 +günlük 2 3=günlük 2 12;
log 2 (4∙3)=log 2 12;
günlük 2 12=günlük 2 12;
a n b'yi kaydet=(1/
N)∙
a b'yi günlüğe kaydet
Bir sayının logaritması B dayalı BİR ürüne eşit kesirler 1/ N bir sayının logaritmasına B dayalı A.
Bulmak:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 eğer biliniyorsa günlük 2 3=b,log 5 2=c.
Çözüm.
Denklemleri çözün:
1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.
Çözüm.
Bu logaritmaları 2 tabanına indirgeyelim. Formülü uygulayın: a n b'yi kaydet=(1/ N)∙ a b'yi günlüğe kaydet
log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;
log 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. İşte benzer terimler:
(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;
1,75 log 2 x=5,25 |:1,75
log 2 x=3. Logaritmanın tanımı gereği:
2) 0,5 log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.
Çözüm. 16 tabanına göre logaritmayı 4 tabanına dönüştürelim.
0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5
log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Logaritmaların toplamını ürünün logaritmasına dönüştürelim.
log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;
log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;
log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Logaritmanın tanımı gereği:
x 2 -5x+4=0. Vieta teoremine göre:
x1 =1; x 2 =4. x = 1'de bu eşitliğin logaritmaları mevcut olmadığından x'in ilk değeri çalışmayacaktır, çünkü Logaritma işaretinin altında yalnızca pozitif sayılar bulunabilir.
Hadi kontrol edelim verilen denklem x=4'te.
Muayene.
0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25
0,5log 4 2+log 16 1=0,25
0,5∙0,5+0=0,25
log a b=log c b/log c a
Bir sayının logaritması B dayalı A logaritmaya eşit sayılar B yeni bir temelde İle, eski tabanın logaritmasına bölünür A yeni bir temelde İle.
Örnekler:
1) log 2 3=lg3/lg2;
2) log 8 7=ln7/ln8.
Hesaplamak:
1) günlük 5 7 eğer biliniyorsa lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.
C B / kayıt C A.
log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.
Cevap: günlük 5 7≈1,209 0≈1,209 .
2) günlük 5 7 eğer biliniyorsa ln7≈1,9459; In5≈1,6094.
Çözüm. Formülü uygulayın: log a b =log C B / kayıt C A.
log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.
Cevap: günlük 5 7≈1,209 1≈1,209 .
x'i bulun:
1) günlük 3 x=günlük 3 4+günlük 5 6/günlük 5 3+günlük 7 8/günlük 7 3.
Şu formülü kullanıyoruz: günlük C B / kayıt C bir = a b'yi günlüğe kaydet . Şunu elde ederiz:
günlük 3 x=günlük 3 4+günlük 3 6+günlük 3 8;
log 3 x=log 3 (4∙6∙8);
log 3 x=log 3 192;
x=192 .
2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.
Şu formülü kullanıyoruz: günlük C B / kayıt C bir = a b'yi günlüğe kaydet. Şunu elde ederiz:
log 7 x=lg143-lg11-lg13;
log 7 x=lg143- (lg11+lg13);
log 7 x=lg143-lg (11∙13);
log 7 x=lg143-lg143;
x=1.
Sayfa 1/1 1
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil e-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Tarafımızdan toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
