Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce en çok gezginimize dikkat edin. faydalı kaynakİçin

Derecelere neden ihtiyaç duyulur? Onlara nerede ihtiyacınız olacak? Bunları incelemek için neden zaman ayırmalısınız?

Dereceler hakkında her şeyi, ne işe yaradıklarını, bilginizi eğitimde nasıl kullanacağınızı öğrenmek için günlük yaşam bu makaleyi okuyun.

Ve elbette derece bilgisi sizi başarıya yaklaştıracaktır OGE'yi geçmek veya Birleşik Devlet Sınavı ve hayallerinizdeki üniversiteye kabul.

Hadi gidelim... (Hadi gidelim!)

GİRİŞ SEVİYESİ

Bir güce yükselmek aynıdır matematiksel işlem toplama, çıkarma, çarpma veya bölme gibi.

Şimdi her şeyi açıklayacağım insan diliçok basit örnekler. Dikkat olmak. Örnekler basit ama önemli şeyleri açıklıyor.

Eklemeyle başlayalım.

Burada açıklanacak bir şey yok. Zaten her şeyi biliyorsun: sekiz kişiyiz. Herkesin iki şişe kolası var. Ne kadar kola var? Bu doğru - 16 şişe.

Şimdi çarpma.

Kola ile aynı örneği farklı şekilde yazabiliriz: . Matematikçiler kurnaz ve tembel insanlardır. Önce bazı kalıpları fark ediyorlar, sonra bunları daha hızlı "saymanın" bir yolunu buluyorlar. Bizim durumumuzda sekiz kişiden her birinin aynı sayıda kola şişesine sahip olduğunu fark ettiler ve çarpma adı verilen bir teknik geliştirdiler. Katılıyorum, bundan daha kolay ve daha hızlı kabul ediliyor.

Yani daha hızlı, daha kolay ve hatasız saymak için sadece şunu hatırlamanız gerekir: çarpım tablosu. Elbette her şeyi daha yavaş, daha zor ve hatalarla yapabilirsiniz! Ancak…

İşte çarpım tablosu. Tekrarlamak.

Ve bir tane daha, daha güzeli:

Tembel matematikçiler başka hangi zekice sayma hilelerini buldular? Sağ - bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek.

Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek

Bir sayıyı kendisiyle beş kez çarpmak gerekiyorsa matematikçiler bu sayının beşinci kuvvetine çıkarmanız gerektiğini söylerler. Örneğin, . Matematikçiler ikinin beşinci kuvvetinin... Ve bu tür sorunları kafalarında çözüyorlar - daha hızlı, daha kolay ve hatasız.

Tek yapmanız gereken sayıların kuvvetleri tablosunda neyin renkli olarak vurgulandığını hatırlayın. İnanın bu hayatınızı çok kolaylaştıracak.

Bu arada neden ikinci derece deniyor? kare sayılar ve üçüncüsü - küp? Bu ne anlama geliyor? Çok iyi soru. Artık hem karelere hem de küplere sahip olacaksınız.

Gerçek hayattan örnek #1

Sayının karesi veya ikinci kuvvetiyle başlayalım.

Bir metreye bir metre ölçülerinde kare bir havuz hayal edin. Havuz sizin kulübenizde. Hava sıcak ve gerçekten yüzmek istiyorum. Ama... havuzun dibi yok! Havuzun altını fayanslarla kaplamanız gerekiyor. Kaç tane fayansa ihtiyacınız var? Bunu belirlemek için havuzun taban alanını bilmeniz gerekir.

Havuzun tabanının metre metre küplerden oluştuğunu parmağınızla işaret ederek kolayca hesaplayabilirsiniz. Bir metreye bir metrelik fayanslarınız varsa parçalara ihtiyacınız olacaktır. Çok kolay... Peki bu tür fayansları nerede gördünüz? Fayans büyük olasılıkla cm x cm olacak ve sonra "parmağınızla sayarak" işkence göreceksiniz. O zaman çoğalmanız gerekir. Böylece havuzun tabanının bir tarafına fayans (parçalar), diğer tarafına da fayans yerleştireceğiz. İle çarptığınızda fayans () elde edersiniz.

Havuz tabanının alanını belirlemek için aynı sayıyı kendisiyle çarptığımızı fark ettiniz mi? Bu ne anlama geliyor? Aynı sayıyı çarptığımız için “üs alma” tekniğini kullanabiliriz. (Elbette, yalnızca iki sayınız olduğunda, yine de bunları çarpmanız veya bir üssüne çıkarmanız gerekir. Ancak sayıların çoğuna sahipseniz, o zaman onları bir üssüne yükseltmek çok daha kolaydır ve ayrıca hesaplamalarda daha az hata olur. . Birleşik Devlet Sınavı için bu çok önemlidir).
Yani otuz üzeri ikinci kuvvet () olacaktır. Ya da otuzun karesi olacak diyebiliriz. Başka bir deyişle, bir sayının ikinci kuvveti her zaman kare olarak gösterilebilir. Ve tam tersi, eğer bir kare görürseniz, bu HER ZAMAN bir sayının ikinci kuvvetidir. Kare, bir sayının ikinci kuvvetinin görüntüsüdür.

Gerçek hayattan örnek #2

İşte size bir görev: Sayının karesini kullanarak satranç tahtasında kaç kare olduğunu sayın... Hücrelerin bir tarafında ve diğer tarafında da. Sayılarını hesaplamak için sekizi sekizle çarpmanız gerekir veya... eğer satranç tahtasının bir kenarı olan bir kare olduğunu fark ederseniz, o zaman sekizin karesini alabilirsiniz. Hücreleri alacaksınız. () Bu yüzden?

Gerçek hayattan örnek #3

Şimdi bir sayının küpü veya üçüncü kuvveti. Aynı havuz. Ama şimdi bu havuza ne kadar su dökülmesi gerektiğini öğrenmeniz gerekiyor. Hacmi hesaplamanız gerekir. (Bu arada hacimler ve sıvılar ölçülür metreküp. Beklenmedik, değil mi?) Bir havuz çizin: bir metre ölçülerinde bir taban ve bir metre derinlikte ve havuzunuza bir metreye bir metre ölçülerinde kaç küpün sığacağını saymaya çalışın.

Sadece parmağınızı doğrultun ve sayın! Bir, iki, üç, dört...yirmi iki, yirmi üç...Kaç tane aldın? Kayıp değil mi? Parmağınızla saymak zor mu? İşte bu! Matematikçilerden bir örnek alın. Tembeller, bu yüzden havuzun hacmini hesaplamak için uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini birbiriyle çarpmanız gerektiğini fark ettiler. Bizim durumumuzda havuzun hacmi küplere eşit...daha kolay değil mi?

Şimdi bunu da basitleştirirlerse matematikçilerin ne kadar tembel ve kurnaz olacağını hayal edin. Her şeyi tek bir eyleme indirgedik. Uzunluk, genişlik ve yüksekliğin eşit olduğunu ve aynı sayının kendisiyle çarpıldığını fark ettiler... Bu ne anlama geliyor? Bu, derecenin avantajlarından yararlanabileceğiniz anlamına gelir. Yani bir zamanlar parmağınızla saydığınız şeyi tek bir hareketle yapıyorlar: Üçün küpü eşittir. Şu şekilde yazılmıştır: .

Geriye kalan tek şey derece tablosunu hatırla. Tabii matematikçiler kadar tembel ve kurnaz değilseniz. Çok çalışmayı ve hata yapmayı seviyorsanız parmağınızla saymaya devam edebilirsiniz.

Nihayet sizi derecelerin pes edenler ve kurnaz insanlar tarafından kendi sorunlarını çözmek için icat edildiğine ikna etmek için hayat problemleri ve size sorun yaratmamak için işte hayattan birkaç örnek daha.

Gerçek hayattan örnek #4

Bir milyon rublen var. Her yılın başında kazandığınız her milyona karşılık bir milyon daha kazanırsınız. Yani, sahip olduğunuz her milyon, her yılın başında iki katına çıkar. Yıllar içinde ne kadar paranız olacak? Eğer şimdi oturuyorsanız ve "parmağınızla sayıyorsanız" o zaman çok çalışkan bir insansınız ve... aptalsınız. Ama büyük olasılıkla birkaç saniye içinde cevap vereceksiniz çünkü akıllısınız! Yani, ilk yılda - iki çarpı iki... ikinci yılda - ne oldu, ikiyle daha, üçüncü yılda... Durun! Sayının kendisi ile çarpıldığını fark ettiniz. Yani ikinin beşinci kuvveti bir milyondur! Şimdi hayal edin, bir yarışmanız var ve en hızlı sayabilen bu milyonları alacak... Sayıların kuvvetlerini hatırlamakta fayda var değil mi?

Gerçek hayattan örnek #5

Bir milyonun var. Her yılın başında kazandığınız her milyona karşılık iki tane daha kazanırsınız. Harika değil mi? Her milyon üçe katlanır. Bir yılda ne kadar paran olacak? Hadi sayalım. İlk yıl - çarpın, sonra sonucu başka biriyle çarpın... Zaten sıkıcı, çünkü zaten her şeyi anladınız: üç, kendisiyle çarpılır. Yani dördüncü kuvveti bir milyona eşittir. Sadece üçün dördüncü kuvvetinin veya olduğunu hatırlamanız gerekiyor.

Artık bir sayıyı bir kuvvete yükselterek hayatınızı çok daha kolaylaştıracağınızı biliyorsunuz. Derecelerle neler yapabileceğinize ve bunlar hakkında bilmeniz gerekenlere daha detaylı bir göz atalım.

Terimler ve kavramlar... kafanızın karışmaması için

O halde öncelikle kavramları tanımlayalım. Sizce üs nedir? Çok basit; sayının kuvvetinin "en üstünde" olan sayıdır. Bilimsel değil ama açık ve hatırlanması kolay...

Peki aynı zamanda ne böyle bir derece temeli? Daha da basit - bu, tabanda aşağıda bulunan sayıdır.

İşte iyi bir önlem için bir çizim.

Peki genel görünüm, genelleme yapmak ve daha iyi hatırlamak adına... Tabanı " " ve üssü " " olan derece, "dereceye" olarak okunur ve şu şekilde yazılır:

c sayısının kuvveti doğal gösterge

Muhtemelen zaten tahmin etmişsinizdir: çünkü üs doğal sayı. Evet ama nedir bu doğal sayı? İlköğretim! Doğal sayılar, nesneleri sıralarken saymada kullanılan sayılardır: bir, iki, üç... Nesneleri sayarken “eksi beş”, “eksi altı”, “eksi yedi” demeyiz. Ayrıca “üçte bir” ya da “sıfır nokta beş” demiyoruz. Bunlar doğal sayılar değil. Sizce bunlar hangi rakamlar?

“Eksi beş”, “eksi altı”, “eksi yedi” gibi sayılar tam sayılar. Genel olarak tamsayılar, tüm doğal sayıları, doğal sayıların karşısındaki sayıları (yani eksi işaretiyle alınan) ve sayıları içerir. Sıfırın anlaşılması kolaydır; hiçbir şeyin olmadığı zamandır. Negatif (“eksi”) sayılar ne anlama geliyor? Ancak bunlar öncelikle borçları belirtmek için icat edildi: Telefonunuzda ruble cinsinden bakiyeniz varsa, bu, operatöre ruble borçlu olduğunuz anlamına gelir.

Tüm kesirler rasyonel sayılar. Sizce nasıl ortaya çıktılar? Çok basit. Birkaç bin yıl önce atalarımız uzunluk, ağırlık, alan vb. ölçmek için doğal sayıların eksik olduğunu keşfettiler. Ve şunu buldular rasyonel sayılar... İlginç, değil mi?

Daha fazlası var irrasyonel sayılar. Bu sayılar nedir? Kısacası sonsuz ondalık. Örneğin bir dairenin çevresini çapına bölerseniz irrasyonel bir sayı elde edersiniz.

Sürdürmek:

Üssü doğal sayı (yani tamsayı ve pozitif) olan derece kavramını tanımlayalım.

1. Herhangi bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir:
2. Bir sayının karesini almak, onu kendisiyle çarpmak anlamına gelir:
3. Bir sayının küpü, onu kendisiyle üç kez çarpmak anlamına gelir:

Tanım. Sayıyı yükseltin doğal derece- bir sayının kendisi ile çarpılması anlamına gelir:
.

Derecelerin özellikleri

Bu özellikler nereden geldi? Şimdi sana göstereceğim.

Bakalım: nedir bu Ve ?

Tanım gereği:

Toplamda kaç çarpan var?

Çok basit: Faktörlere çarpanlar ekledik ve sonuç çarpanlardı.

Ancak tanım gereği bu, üslü bir sayının kuvvetidir, yani: kanıtlanması gereken şey budur.

Örnek: İfadeyi basitleştirin.

Çözüm:

Örnek:İfadeyi basitleştirin.

Çözüm: Kurallarımızda şunu belirtmek önemlidir: mutlaka olmalıdır aynı gerekçeler!
Bu nedenle güçleri tabanla birleştiriyoruz ancak bu ayrı bir faktör olarak kalıyor:

sadece güçlerin ürünü için!

Hiçbir durumda bunu yazamazsınız.

2. işte bu bir sayının kuvveti

Bir önceki özellikte olduğu gibi derecenin tanımına dönelim:

İfadenin kendisi ile çarpıldığı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvveti olduğu ortaya çıktı:

Buna özünde “göstergeyi parantez dışına çıkarmak” da denilebilir. Ancak bunu asla toplamda yapamazsınız:

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik?

Ama sonuçta bu doğru değil.

Negatif tabanlı güç

Buraya kadar sadece üssün ne olması gerektiğini tartıştık.

Ama temeli ne olmalı?

yetkilerinde doğal gösterge temel olabilir herhangi bir sayı. Aslında pozitif, negatif ve hatta herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz.

Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların derecelerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin sayı pozitif mi negatif mi? A? ? İlkinde her şey açık: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. 6. sınıftan kalma basit kuralı hatırlıyoruz: “eksi eksiye artı verir.” Yani ya da. Ama eğer çarparsak işe yarar.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

Başarabildin mi?

İşte yanıtlar: İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Basitçe tabana ve üsse bakıp uygun kuralı uyguluyoruz.

Örnek 5'te her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: sonuçta tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece çifttir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir.

Tabanın sıfır olduğu durumlar hariç. Taban eşit değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil!

Uygulamaya yönelik 6 örnek

Çözümün analizi 6 örnek

Tüm doğal sayılara, onların karşıtlarına (yani " " işaretiyle alınanlara) ve sayı diyoruz.

tüm pozitif sayı ve doğal olandan hiçbir farkı yok, o zaman her şey tam olarak önceki bölümdeki gibi görünüyor.

Şimdi yeni vakalara bakalım. Eşit bir göstergeyle başlayalım.

Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir:

Her zaman olduğu gibi kendimize şu soruyu soralım: Neden böyle?

Bir tabanı olan bir dereceyi düşünelim. Örneğin şunu alın ve şununla çarpın:

Yani sayıyı ile çarptık ve - ile aynı sonucu elde ettik. Hiçbir şeyin değişmemesi için hangi sayıyla çarpmanız gerekir? Aynen öyle. Araç.

Aynısını isteğe bağlı bir sayıyla da yapabiliriz:

Kuralı tekrarlayalım:

Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir.

Ancak birçok kuralın istisnaları vardır. Ve burada da orada - bu bir sayıdır (temel olarak).

Bir yandan herhangi bir dereceye eşit olmalı - sıfırı kendisiyle ne kadar çarparsanız çarparsanız çarpın yine sıfır elde edeceksiniz, bu açık. Ancak öte yandan herhangi bir sayının sıfır üssü gibi eşit olması gerekir. Peki bunun ne kadarı doğru? Matematikçiler bu işe karışmamaya karar verdiler ve sıfırın sıfır kuvvetini yükseltmeyi reddettiler. Yani artık sadece sıfıra bölmekle kalmıyoruz, aynı zamanda sıfırıncı kuvvetine de çıkarıyoruz.

Devam edelim. Tam sayılar, doğal sayılar ve sayıların yanı sıra negatif sayıları da içerir. Ne olduğunu anlamak için negatif derece, olduğu gibi yapalım son kez: normal bir sayıyı aynı sayının negatif kuvvetiyle çarpın:

Buradan aradığınızı ifade etmek kolaydır:

Şimdi ortaya çıkan kuralı keyfi bir dereceye kadar genişletelim:

O halde bir kural oluşturalım:

Bir sayının negatif kuvveti aynı sayının tersidir pozitif derece. Ama aynı zamanda Taban boş olamaz:(çünkü bölemezsiniz).

Özetleyelim:

Bağımsız çözüm için görevler:

Her zamanki gibi bağımsız çözümlere örnekler:

Bağımsız çözüm için problemlerin analizi:

Biliyorum, rakamlar korkutucu ama Birleşik Devlet Sınavında her şeye hazırlıklı olmalısınız! Bu örnekleri çözün veya çözemediyseniz çözümlerini inceleyin, sınavda bunlarla kolayca baş etmeyi öğreneceksiniz!

Üslü olarak “uygun” sayı aralığını genişletmeye devam edelim.

Şimdi düşünelim rasyonel sayılar. Hangi sayılara rasyonel denir?

Cevap: Kesir olarak temsil edilebilecek her şey, burada ve tam sayıdır ve.

Ne olduğunu anlamak için "kesirli derece", kesri düşünün:

Denklemin her iki tarafının da üssünü alalım:

Şimdi şu kuralı hatırlayalım: "dereceden dereceye":

Almak için hangi sayının bir güce yükseltilmesi gerekir?

Bu formülasyon inci derecenin kökünün tanımıdır.

Size hatırlatmama izin verin: bir sayının () inci kuvvetinin kökü, bir kuvvete yükseltildiğinde eşit olan bir sayıdır.

Yani, inci kuvvetin kökü, bir kuvvete yükseltme işleminin ters işlemidir: .

Öyle görünüyor. Açıkçası bu özel durum genişletilebilir: .

Şimdi payı ekliyoruz: nedir bu? Güç-güç kuralını kullanarak cevabı elde etmek kolaydır:

Peki taban herhangi bir sayı olabilir mi? Sonuçta tüm sayıların kökü çıkarılamaz.

Hiçbiri!

Kuralı hatırlayalım: Çift kuvvete yükseltilen herhangi bir sayı pozitif bir sayıdır. Yani negatif sayılardan çift kök çıkarmak imkansızdır!

Bu, bu sayıların yükseltilemeyeceği anlamına gelir. kesirli güç eşit bir paydayla, yani ifadenin bir anlamı yoktur.

Peki ya ifade?

Ancak burada bir sorun ortaya çıkıyor.

Bir sayı, örneğin veya gibi diğer indirgenebilir kesirler olarak temsil edilebilir.

Ve var olduğu, ancak olmadığı ortaya çıktı, ancak bunlar aynı sayının sadece iki farklı kaydı.

Veya başka bir örnek: Bir kez, sonra yazabilirsiniz. Ancak göstergeyi farklı yazarsak başımız yine belaya girer: (yani tamamen farklı bir sonuç elde ettik!).

Bu tür paradokslardan kaçınmak için şunu düşünüyoruz: kesirli üssü olan tek pozitif taban üssü.

Yani eğer:

• — doğal sayı;
• - tamsayı;

Örnekler:

Dereceler rasyonel gösterge Kökleri olan ifadeleri dönüştürmek için çok kullanışlıdır, örneğin:

Uygulamaya yönelik 5 örnek

Eğitim için 5 örneğin analizi

Eh, şimdi en zor kısım geliyor. Şimdi çözeceğiz irrasyonel üslü derece.

Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, istisna dışında, rasyonel üslü bir dereceyle tamamen aynıdır.

Sonuçta, tanım gereği irrasyonel sayılar, kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır; burada ve tamsayılardır (yani, irrasyonel sayıların rasyonel olanlar dışında tümü gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayılı ve rasyonel üslü dereceleri incelerken, her seferinde daha tanıdık terimlerle belirli bir "görüntü", "analoji" veya açıklama yarattık.

Örneğin, doğal üslü bir derece, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır;

...sayının sıfırıncı kuvveti- bu, kendisiyle bir kez çarpılmış bir sayıdır, yani onu çarpmaya henüz başlamamışlardır, bu da sayının henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle sonuç yalnızca belirli bir "boş sayıdır" yani bir sayı;

...tamsayılı derece negatif gösterge - sanki bir tür "tersine süreç" gerçekleşmiş gibi, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş gibi.

Bu arada, bilimde karmaşık göstergeli bir derece sıklıkla kullanılır, yani gösterge bile değildir gerçek sayı.

Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatı bulacaksınız.

NEREYE GİDECEĞİNİZDEN EMİN OLDUĞUMUZ! (bu tür örnekleri çözmeyi öğrenirseniz :))

Örneğin:

Kendiniz karar verin:

Çözümlerin analizi:

1. Bir gücü bir güce yükseltmek için olağan kuralla başlayalım:

İLERİ SEVİYE

Derecenin belirlenmesi

Derece, şu formun bir ifadesidir: , burada:

• — derece tabanı;
• - üs.

Doğal göstergeli derece (n = 1, 2, 3,...)

Bir sayıyı n'nin doğal kuvvetine yükseltmek, sayıyı kendisi ile çarpmak anlamına gelir:

Tam sayı üssü olan derece (0, ±1, ±2,...)

Üs ise pozitif tamsayı sayı:

Yapı sıfır dereceye kadar:

İfade belirsizdir, çünkü bir yandan herhangi bir dereceye kadar bu, diğer yandan da herhangi bir sayının onuncu dereceye kadar bu olur.

Üs ise negatif tamsayı sayı:

(çünkü bölemezsiniz).

Bir kez daha sıfırlar hakkında: ifade bu durumda tanımlanmamıştır. Eğer öyleyse.

Örnekler:

Rasyonel üslü kuvvet

• — doğal sayı;
• - tamsayı;

Örnekler:

Derecelerin özellikleri

Sorunları çözmeyi kolaylaştırmak için şunu anlamaya çalışalım: Bu özellikler nereden geldi? Bunları kanıtlayalım.

Bakalım: nedir ve?

Tanım gereği:

Yani bu ifadenin sağ tarafında aşağıdaki çarpımı elde ederiz:

Ancak tanım gereği bu, üssü olan bir sayının kuvvetidir, yani:

Q.E.D.

Örnek : İfadeyi basitleştirin.

Çözüm : .

Örnek : İfadeyi basitleştirin.

Çözüm : Kurallarımızda şunu belirtmek önemlidir: mutlaka aynı sebepler olmalı. Bu nedenle güçleri tabanla birleştiriyoruz ancak bu ayrı bir faktör olarak kalıyor:

Bir şey daha önemli not: kural budur - yalnızca güçlerin ürünü için!

Hiçbir durumda bunu yazamazsınız.

Bir önceki özellikte olduğu gibi derecenin tanımına dönelim:

Bu çalışmayı şu şekilde yeniden düzenleyelim:

İfadenin kendisi ile çarpıldığı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvveti olduğu ortaya çıktı:

Buna özünde “göstergeyi parantez dışına çıkarmak” da denebilir. Ancak bunu asla toplamda yapamazsınız: !

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik? Ama sonuçta bu doğru değil.

Negatif tabanlı güç.

Bu noktaya kadar sadece nasıl olması gerektiğini tartıştık. gösterge derece. Ama temeli ne olmalı? yetkilerinde doğal gösterge temel olabilir herhangi bir sayı .

Aslında pozitif, negatif ve hatta herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz. Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların derecelerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin sayı pozitif mi negatif mi? A? ?

İlkinde her şey açık: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. 6. sınıftan kalma basit kuralı hatırlıyoruz: “eksi eksiye artı verir.” Yani ya da. Ancak () ile çarparsak - elde ederiz.

Ve bu böyle sonsuza kadar devam eder: Sonraki her çarpmada işaret değişecektir. Aşağıdakileri formüle edebiliriz basit kurallar:

1. eşit derece, - sayı pozitif.
2. Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı negatif.
3. Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı pozitif bir sayıdır.
4. Sıfırın herhangi bir kuvveti sıfıra eşittir.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

Başarabildin mi? İşte yanıtlar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Basitçe tabana ve üsse bakıp uygun kuralı uyguluyoruz.

Örnek 5'te her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: sonuçta tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece çifttir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir. Tabanın sıfır olduğu durumlar hariç. Taban eşit değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil. Burada hangisinin daha az olduğunu bulmanız gerekiyor: veya? Bunu hatırlarsak, netleşir ve dolayısıyla temel sıfırdan az. Yani kural 2'yi uyguluyoruz: sonuç negatif olacak.

Ve yine derecenin tanımını kullanıyoruz:

Her şey her zamanki gibi - derecelerin tanımını yazıyoruz ve bunları birbirine bölüyoruz, çiftlere ayırıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Onu ayırmadan önce son kural, birkaç örnek çözelim.

İfadeleri hesaplayın:

Çözümler :

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Şimdi son kural:

Bunu nasıl kanıtlayacağız? Elbette her zamanki gibi: Derece kavramını genişletelim ve basitleştirelim:

Şimdi parantezleri açalım. Toplamda kaç harf var? çarpanlara göre çarpı - bu size neyi hatırlatıyor? Bu bir operasyonun tanımından başka bir şey değil çarpma: Orada sadece çarpanlar vardı. Yani, tanım gereği bu, üssü olan bir sayının kuvvetidir:

Örnek:

İrrasyonel üslü derece

Ortalama seviye için derecelerle ilgili bilgilere ek olarak, dereceyi irrasyonel bir üsle analiz edeceğiz. Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, rasyonel üslü bir derece ile tamamen aynıdır - sonuçta, tanım gereği, irrasyonel sayılar kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır, burada ve tamsayılardır (yani irrasyonel sayılar, rasyonel sayılar dışında tüm gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayılı ve rasyonel üslü dereceleri incelerken, her seferinde daha tanıdık terimlerle belirli bir "görüntü", "analoji" veya açıklama yarattık. Örneğin, doğal üslü bir derece, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır; sıfır üssü bir sayı, olduğu gibi, kendisiyle bir kez çarpılmış bir sayıdır, yani onu çarpmaya henüz başlamamışlardır, bu da sayının kendisinin henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle sonuç yalnızca belirlidir “boş sayı”, yani bir sayı; tamsayı negatif üssü olan bir derece - sanki bir tür "ters süreç" gerçekleşmiş gibi, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş gibi.

İrrasyonel bir üste sahip bir dereceyi hayal etmek son derece zordur (tıpkı 4 boyutlu bir uzayı hayal etmenin zor olması gibi). Daha ziyade matematikçilerin derece kavramını tüm sayılar uzayına yaymak için yarattığı tamamen matematiksel bir nesnedir.

Bu arada, bilimde karmaşık üslü bir derece sıklıkla kullanılır, yani üs gerçek bir sayı bile değildir. Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatı bulacaksınız.

Peki görürsek ne yapacağız? irrasyonel gösterge derece? Bundan kurtulmak için elimizden geleni yapıyoruz :)

Örneğin:

Kendiniz karar verin:

Cevaplar:

BÖLÜMÜN ÖZETİ VE TEMEL FORMÜLLER

Derece formun bir ifadesi olarak adlandırılır: , burada:

Tamsayı üssü olan derece

üssü bir doğal sayı olan (yani tamsayı ve pozitif) bir derece.

Rasyonel üslü kuvvet

Üssü negatif ve kesirli sayılar olan derece.

İrrasyonel üslü derece

üssü sonsuz bir ondalık kesir veya kök olan bir derece.

Derecelerin özellikleri

Derecelerin özellikleri.

• Negatif sayı yükseltildi eşit derece, - sayı pozitif.
• Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı negatif.
• Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı pozitif bir sayıdır.
• Sıfır herhangi bir kuvvete eşittir.
• Herhangi bir sayının sıfır kuvveti eşittir.

ARTIK SÖZ SİZDE...

Makaleyi nasıl buldunuz? Beğenip beğenmediğinizi aşağıya yorum olarak yazın.

Derece özelliklerini kullanma deneyiminizi bize anlatın.

Belki sorularınız vardır. Veya öneriler.

Yorumlara yazın.

Ve sınavlarınızda iyi şanslar!

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

İçin başarılı tamamlama Birleşik Devlet Sınavı, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

Alınan insanlar iyi eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha açık yollar olduğu için daha fazla olasılık ve hayat daha mı parlaklaşıyor? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Ve sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Hesap makinesi, bir sayıyı çevrimiçi olarak hızlı bir şekilde bir güce yükseltmenize yardımcı olur. Derecenin tabanı herhangi bir sayı olabilir (hem tam sayılar hem de gerçek sayılar). Üs aynı zamanda bir tam sayı ya da reel olabilir, ayrıca pozitif ya da negatif de olabilir. Negatif sayılar için tamsayı olmayan bir kuvvete yükseltmenin tanımsız olduğunu, dolayısıyla bunu yapmaya çalıştığınızda hesap makinesinin bir hata bildireceğini unutmayın.

Derece hesaplayıcı

Güce yükseltin

Üslü sayılar: 24601

Bir sayının doğal kuvveti nedir?

p, a sayısının kendisiyle n kez çarpılmasına eşitse, p sayısına o sayının n'inci kuvveti denir: p = a n = a·...·a
n - çağrıldı üs ve a sayısı derece esası.

Bir sayının doğal kuvvetine nasıl yükseltilir?

Nasıl inşa edileceğini anlamak için farklı sayılar Doğal güçlere ilişkin birkaç örneği ele alalım:

Örnek 1. Üç rakamını dördüncü kuvvete yükseltin. Yani 3 4'ü hesaplamak gerekiyor
Çözüm: yukarıda belirtildiği gibi, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Cevap: 3 4 = 81 .

Örnek 2. Beş sayısını beşinci kuvvetine yükseltin. Yani 5 5'i hesaplamak gerekiyor
Çözüm: benzer şekilde, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Cevap: 5 5 = 3125 .

Dolayısıyla bir sayıyı doğal kuvvete yükseltmek için onu kendisiyle n kez çarpmanız yeterlidir.

Bir sayının negatif kuvveti nedir?

Bu durumda, negatif kuvvet yalnızca sıfır olmayan sayılar için mevcuttur, aksi takdirde sıfıra bölme meydana gelir.

Bir sayının negatif tam sayı kuvvetine nasıl yükseltilir?

Sıfır olmayan bir sayıyı negatif kuvvete yükseltmek için bu sayının değerini aynı pozitif kuvvete göre hesaplayıp sonuca bölmeniz gerekir.

Örnek 1. İki sayısını negatif dördüncü kuvvete yükseltin. Yani 2 -4'ü hesaplamanız gerekir

Cevap: 2 -4 = 0.0625 .

0'dan 32'ye kadar 2 (ikili) kuvvetler tablosu

Aşağıdaki tablo, ikinin katlarına ek olarak bir bilgisayarın saklayabileceği maksimum sayıları göstermektedir. verilen numara biraz. Üstelik hem tamsayılar hem de işaretli sayılar için.

Tarihsel olarak bilgisayarlar ikili sayı sistemini ve buna bağlı olarak veri depolamayı kullanıyordu. Böylece herhangi bir sayı, sıfırlar ve birler (bilgi bitleri) dizisi olarak temsil edilebilir. Sayıları ikili dizi olarak temsil etmenin birkaç yolu vardır.

En basitlerini ele alalım - bu pozitif bir tam sayıdır. Sonra ne daha büyük sayı yazmamız gerekiyorsa, ihtiyacımız olan bit dizisi ne kadar uzun olursa.

Aşağıda 2 numaralı kuvvetler tablosu. Bize sayıları saklamamız gereken gerekli bit sayısının bir temsilini verecektir.

Nasıl kullanılır iki numaralı kuvvetler tablosu?

İlk sütun ikinin gücü, aynı anda sayıyı temsil eden bit sayısını belirtir.

İkinci sütun - değer ikinin uygun kuvveti (n).

2'nin kuvvetini bulma örneği. İlk sütunda 7 sayısını buluyoruz. Sağdaki çizgiye bakıp değeri buluyoruz. ikinin yedinci kuvveti(2 7) 128'dir

Üçüncü sütun - belirli sayıda bit kullanılarak temsil edilebilecek maksimum sayı(ilk sütunda).

Maksimum işaretsiz tam sayının belirlenmesine bir örnek. Önceki örnekteki verileri kullanarak 2 7 = 128 olduğunu biliyoruz. Ne olduğunu anlamak istiyorsak bu doğrudur. sayıların sayısı, yedi bit kullanılarak temsil edilebilir. Ama o zamandan beri ilk sayı sıfırdır ise yedi bit kullanılarak temsil edilebilecek maksimum sayı 128 - 1 = 127'dir. Bu üçüncü sütunun değeridir.

Stafilokok fırsatçı bir mikroorganizma olarak kabul edilir. Ancak fazlalığı hastanın sağlık durumunun kötü olduğunun göstergesidir. Bulaşıcı süreçleri zamanında önlemek için bu bakterinin incelenmesi gereklidir.

Bu nasıl bir mikroorganizma?

Bu, insanların karşılaştığı en yaygın mikroorganizmadır. Bakterilerin pek çok alt türü vardır. altın, epidermal ve diğerleri. Deride, mukozalarda ve insan bağırsaklarında yaşar. Gelişmiş lokal bağışıklık ve normal mikroflora dengesi ile stafilokok hasta için tehlikeli değildir.

Bağışıklık sistemini zayıflatan herhangi bir faktör varsa veya hasta karşılaşıyorsa çok sayıda bakteriler (çoğu ortak örnek- gıda zehirlenmesi) ve ayrıca mukoza zarında hasar meydana gelir, stafilokokların neden olduğu inflamatuar süreçler meydana gelir.

Stafilokok analizi, gelişme riskinin ne kadar büyük olduğunu değerlendirmenizi sağlar bakteriyel enfeksiyonlar. Çoğunlukla bakterilerin aktif büyümesi hiçbir şekilde kendini göstermez ve hiçbir etkisi yoktur. dış işaretler ve varlığı yalnızca laboratuvar yöntemleriyle belirlenebilir.

Araştırma türleri

Stafilokok her yerde yaşadığı için onu tespit edebilecek çok sayıda test vardır. Her tür için vardır belirli kurallar materyalin toplanması ve hazırlanması. Bir tanesi genel kurallar– Testten iki hafta önce antibiyotik almamalısınız.

1. Kan testi. Venöz kan gereklidir ve bağışlanır tıbbi kurum. Endikasyonları: sepsis, şüphesi, vücutta geniş bir enfeksiyon odağının varlığı.
2. Yara akıntısının incelenmesi. Tıbbi bir tesiste analiz için smear alınır. Endikasyonları: cerahatli bir yaranın varlığı.
3. İdrar ve dışkı muayenesi. Hastanın materyali bağımsız olarak toplaması için steril bir laboratuvar kabı gereklidir. Sterilite – önemli durum yabancı mikroorganizmaların sonucu bozmaması için. Endikasyonları: genitoüriner sistem hastalıkları ve bağırsak enfeksiyonları.
4. Mukoza zarlarından, çoğunlukla burun veya vajinadan alınan bir çubukla. Malzemenin doktor tarafından muayene sırasında toplanması hızlı ve ağrısız bir işlemdir. Endikasyonları: KBB organlarının veya kadınlarda genital sistemin bulaşıcı hastalıkları.

Bu testlerin her biri bakteriyel aşırı çoğalmanın varlığını doğrular veya reddeder. Aynı malzemeye antibiyotik duyarlılık testi de yapılabilmektedir. Bulaşıcı hastalıkların varlığında, doktorun takdirine bağlı olarak önleyici muayene sırasında derhal yapılır.

Norm ne olmalı?

Normal sonuç smearın alındığı ortama bağlıdır. Temel kural şudur; ne kadar az olursa o kadar iyidir.

• Kan ve idrar sağlıklı insan Sterildir, bakteri içermez.
• Sağlıklı bir hastanın dışkısı az miktarda mikroorganizma içerir - stafilokoklar bağırsak mikroflorasının temeli değildir. Olumlu sonuç bakteriyel taşıyıcılık veya cerahatli hastalıktan söz eder.
• Yarada enfeksiyonun varlığı, pürülan bir enfeksiyonu veya gelişme riskinin yüksek olduğunu gösterir.
• Mukoza zarlarında normalin üst sınırı 10*6 derece olarak kabul edilir - daha fazla bakteri varsa bu bir hastalığın varlığını gösterir.

Seçilen göstergeler

Sonuç bir sayı olarak verilir - bu, 1 ml ortam başına koloninin (CFU) temeli haline gelen bakteri hücrelerinin sayısıdır. Test şu tarihte gerçekleştirilir: besin ortamı bakteriler için - incelenen materyal özel bir kapalı kaba yerleştirilir ve patojenler mevcutsa aktif olarak çoğalmaya başlarlar.

Bir malzeme örneğinden ortaya çıkan kolonilerin sayısı, sürecin ciddiyetinin bir göstergesidir. Numune başına 10 koloniden daha az bir büyüme, mukoza zarları ve cilt için normal kabul edilir. 10 ila 100 koloni, patojenin asemptomatik taşınmasının bir göstergesidir. 100'den fazla koloni var açık bir işaret hastalıklar.

10'un 2. kuvveti

• Deride, burunda veya boğazda böyle bir gösterge bulunursa, bu normun çeşidi. Bu durumda herhangi bir işlem yapılmasına gerek yoktur. Herhangi bir cilt problemi varsa, bunlar diğer mikroorganizmalardan kaynaklanmaktadır.
• Dışkıda böyle bir konsantrasyon bulunursa, o zaman iyi hissetmek bu norm olarak kabul edilir. Doktorunuz size diyet önerileri verebilir. Hazımsızlık belirtileri varsa, hasta disbiyoz tedavisine başlamalıdır.
• Vajinada bu sonuç, saflık seviyesi 3 veya 4 olan bir yayma için tipiktir. Bu hastalık anlamına gelmez, ancak hastalığa yatkınlık yaratır. Vajinal temizlik yapılması tavsiye edilir, ancak bu acil değildir. Bu sonuç yalnızca hamilelik sırasında tehlikeli hale gelir.
• İdrarda küçük miktar stafilokok, inflamatuar bir süreci veya kısa süreli bakteriüriyi gösterebilir. 2-3 gün sonra idrar numunesinin tekrarlanması gerekir.
• Kanda herhangi bir sayıda mikroorganizma bulunması tehlikeli bir işarettir. Sepsis belirtileri yoksa sonuçların alınmasından 2-3 gün sonra testin tekrarlanması gerekir.
• Bir yarada bu kadar çok sayıda mikroorganizmanın ortaya çıkması önemli bir teşhis işareti değildir. Yeniden analiz gerekli.

10'dan 3'e

• Bu değer cilt için oldukça normaldir. Ağız ve burun mukozası bu sonucu hem normal hem de yeni başlayan hastalıklarda gösterir.
• Dışkıda bakterinin olası bir taşıyıcısının tespiti tekrarlanan analiz gerektirir;
• Vajinada da durum bir önceki noktaya benzer.
• İdrarda - büyük olasılıkla idrar yollarında inflamatuar bir süreç vardır (ürolitiyazis, daha az sıklıkla sistit).
• Yarada bir işaret var yüksek risk pürülan enfeksiyonun gelişimi.

10'da 4

• Akne için cilde sabitlenir hafif derece ancak normal olarak gözlemlenebilir.
• Burun ve farenks mukozası kronik solunum yolu enfeksiyonlarının bir belirtisidir.
• Dışkıda - bakteri taşıyıcılığı veya disbakteriyoz ile hastanın çalışması önerilmez; gıda ürünleri veya çocuklarla temas (temizlik gereklidir), diğer durumlarda gerekli değildir.
• Vajinada - gösterge aktif büyüme patojenik mikroflora.
• İdrarda remisyondaki ürolitiyazis ve sistitin karakteristiğidir.
• Yarada - bulaşıcı bir sürecin başladığını gösterir.

10'da 5

• Ciltte - akne Sağlıklı insanlarda furunküloz görülebilir.
• Nazofarenks – kronik solunum yolu patolojileri, komplikasyon riski olan soğuk algınlığı.
• Dışkı taşıyıcı veya aktif bir enfeksiyondur.
• Vajinada - bakteriyel vajinit.
• İdrar – akut sistit.

10'da 6'da

• Ciltte - üst sınır normal değerler sivilce ile ortaya çıkabilir değişen derecelerde ifade gücü.
• Nazofarenkste - bulaşıcı hastalıklar için.
• Diğer ortamlar – akut inflamatuar süreç.

Çözüm

Çeşitli sağlık sorunlarının tedavisi ve önlenmesi için patojenin zamanında tespiti gereklidir. Her şeyden önce bu, cilt ve mukoza zarlarıyla ilgilidir, çünkü patojenik mikrofloranın en sık tespit edildiği yer burasıdır. Antibiyotikler ve bağışıklığı artıran maddelerle (genel ve yerel) mücadele edebilirsiniz. Ayrıca kişisel hijyeninizi de unutmayın. doğru beslenme ve sertleşme.