Logaritma örneklerinin eklenmesi. Logaritmik İfadeleri Dönüştürme

Doğal logaritmanın temel özellikleri, grafik, tanım kümesi, değerler kümesi, temel formüller, türev, integral, açılımı güç serisi ve ln x fonksiyonunun karmaşık sayılar kullanılarak temsili.

Tanım

Doğal logaritma fonksiyon y = x olarak, üstel sayının tersi, x = e y ve e sayısının tabanının logaritmasıdır: ln x = log e x.

Doğal logaritma matematikte yaygın olarak kullanılır çünkü türevi en basit forma sahiptir: (ln x)' = 1/ x.

Temelli tanımlar doğal logaritmanın tabanı sayıdır e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

y = fonksiyonunun grafiği x olarak.

Doğal logaritmanın grafiği (fonksiyonlar y = x olarak) üstel grafikten elde edilir aynadaki görüntü y = x düz çizgisine göre.

Doğal logaritma şu şekilde tanımlanır: pozitif değerler değişken x. Tanım alanında monoton bir şekilde artar.

x'te → 0 doğal logaritmanın sınırı eksi sonsuzdur (-∞).

X → + ∞ olduğundan doğal logaritmanın sınırı artı sonsuzdur (+ ∞). Büyük x için logaritma oldukça yavaş artar. Herhangi güç fonksiyonu Pozitif üssü a olan x a, logaritmadan daha hızlı büyür.

Doğal logaritmanın özellikleri

Tanım alanı, değerler kümesi, ekstrema, artış, azalma

Doğal logaritma monotonik olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur. Doğal logaritmanın temel özellikleri tabloda sunulmaktadır.

ln x değerleri

1 = 0

Doğal logaritmalar için temel formüller

Ters fonksiyonun tanımından aşağıdaki formüller:

Logaritmanın temel özelliği ve sonuçları

Baz değiştirme formülü

Herhangi bir logaritma, baz ikame formülü kullanılarak doğal logaritma cinsinden ifade edilebilir:

Bu formüllerin ispatları Logaritma bölümünde sunulmuştur.

Ters fonksiyon

Doğal logaritmanın tersi üstür.

Eğer öyleyse

Eğer öyleyse.

Türev lnx

Doğal logaritmanın türevi:
.
Modül x'in doğal logaritmasının türevi:
.
N'inci dereceden türev:
.
Formüllerin türetilmesi > > >

İntegral

İntegral, parçalara göre entegrasyonla hesaplanır:
.
Bu yüzden,

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler

Karmaşık z değişkeninin fonksiyonunu düşünün:
.
Karmaşık değişkeni ifade edelim z modül aracılığıyla R ve tartışma φ :
.
Logaritmanın özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
.
Veya
.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. Eğer koyarsan
n bir tamsayı olmak üzere,
farklı n'ler için aynı sayı olacaktır.

Bu nedenle, karmaşık bir değişkenin fonksiyonu olarak doğal logaritma, tek değerli bir fonksiyon değildir.

Kuvvet serisi genişletmesi

Genişleme gerçekleştiğinde:

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

İfadeleri logaritmalarla dönüştürürken, hem sağdan sola hem de soldan sağa listelenen eşitlikler kullanılır.

Özelliklerin sonuçlarını ezberlemenin gerekli olmadığını belirtmekte fayda var: dönüşümleri gerçekleştirirken, logaritmanın temel özelliklerini ve diğer gerçekleri (örneğin, b≥0 için olduğu gerçeği) idare edebilirsiniz; karşılık gelen sonuçlar aşağıdadır. " Yan etki"Bu yaklaşım ancak çözümün biraz daha uzun sürmesinde kendini gösteriyor. Örneğin, formülle ifade edilen sonuç olmadan yapmak için ve yalnızca logaritmanın temel özelliklerinden başlayarak, aşağıdaki biçimde bir dönüşüm zinciri gerçekleştirmeniz gerekecektir: .

Aynı şey yukarıdaki listede yer alan ve aşağıdaki formülle yanıtlanan son özellik için de söylenebilir. çünkü aynı zamanda logaritmanın temel özelliklerinden de kaynaklanır. Anlaşılması gereken en önemli şey, üssünde logaritması olan pozitif bir sayının kuvvetinin, kuvvetinin tabanını ve logaritma işaretinin altındaki sayıyı değiştirmesinin her zaman mümkün olduğudur. Adil olmak gerekirse, bu tür dönüşümlerin uygulanmasını ima eden örneklerin pratikte nadir olduğunu belirtiyoruz. Aşağıda metin içerisinde birkaç örnek vereceğiz.

Sayısal ifadeleri logaritmalarla dönüştürme

Logaritmanın özelliklerini hatırladık, şimdi bunları pratikte ifadeleri dönüştürmek için nasıl uygulayacağımızı öğrenmenin zamanı geldi. Değişkenli ifadeler yerine sayısal ifadeleri dönüştürmekle başlamak doğaldır çünkü bunlar daha kullanışlıdır ve temel bilgileri öğrenmesi daha kolaydır. Yapacağımız şey bu ve çok iyi bir başlangıç yapacağız. basit örnekler Logaritmanın istenen özelliğini nasıl seçeceğinizi öğrenmek için, ancak örnekleri yavaş yavaş elde edilecek noktaya kadar karmaşıklaştıracağız. son sonuç birkaç özelliği arka arkaya uygulamanız gerekecektir.

Logaritmanın istenilen özelliğini seçme

Logaritmanın birçok özelliği vardır ve uygun olanı seçebilmeniz gerektiği açıktır, bu özel durumda gerekli sonuca yol açacaktır. Genellikle dönüştürülmüş logaritmanın veya ifadenin türünü, logaritmanın özelliklerini ifade eden formüllerin sol ve sağ kısımlarının türleri ile karşılaştırarak bunu yapmak zor değildir. Eğer bırakılırsa veya sağ kısım formüllerden biri belirli bir logaritma veya ifadeyle çakışıyorsa, büyük olasılıkla dönüşüm sırasında kullanılması gereken bu özelliktir. Aşağıdaki örnekler bu açıkça kanıtlanmıştır.

a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 formülüne karşılık gelen logaritmanın tanımını kullanarak ifade dönüştürme örnekleriyle başlayalım.

Örnek.

Mümkünse hesaplayın: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Çözüm.

a) harfinin altındaki örnekte a log a b yapısı açıkça görülmektedir, burada a=5, b=4. Bu sayılar a>0, a≠1, b>0 koşullarını karşılar, dolayısıyla a log a b =b eşitliğini güvenle kullanabilirsiniz. Elimizde 5 log 5 4=4 var.

b) Burada a=10, b=1+2·π, a>0, a≠1, b>0 koşulları sağlanmaktadır. Bu durumda 10 log(1+2·π) =1+2·π eşitliği gerçekleşir.

c) Ve bu örnekte a log a b formunda ve b=ln15 şeklinde bir dereceyle uğraşıyoruz. Bu yüzden .

a log a b (burada a=2, b=−7) ile aynı türe ait olmasına rağmen, g) harfinin altındaki ifade a log a b =b formülü kullanılarak dönüştürülemez. Bunun nedeni logaritmanın işareti altında negatif bir sayı içermesi nedeniyle anlamsız olmasıdır. Üstelik b=−7 sayısı b>0 koşulunu sağlamaz, bu da a>0, a≠1, b> koşullarının yerine getirilmesini gerektirdiğinden a log a b =b formülüne başvurmayı imkansız hale getirir. 0. Dolayısıyla 2 log 2 (−7) değerinin hesaplanmasından söz edemeyiz. Bu durumda 2 log 2 (−7) =−7 yazmak hata olur.

Benzer şekilde e) harfi altındaki örnekte formun çözümünü vermek imkansızdır. , çünkü orijinal ifade bir anlam ifade etmiyor.

Cevap:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) ifadeleri anlamlı değildir.

Pozitif bir sayının, üssünde logaritması olan bazı pozitif ve birlik olmayan sayıların kuvveti olarak temsil edildiği bir dönüşüm genellikle faydalıdır. a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 logaritmasının aynı tanımına dayanmaktadır, ancak formül sağdan sola, yani b=a log a b biçiminde uygulanır. . Örneğin, 3=e ln3 veya 5=5 log 5 5.

İfadeleri dönüştürmek için logaritmanın özelliklerini kullanmaya devam edelim.

Örnek.

İfadenin değerini bulun: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Çözüm.

a), b) ve c) harflerinin altındaki örneklerde log −2 1, log 1 1, log 0 1 ifadeleri verilmiş olup, logaritmanın tabanının negatif sayı içermemesi gerektiğinden bir anlam ifade etmemektedir, sıfır veya bir, çünkü logaritmayı yalnızca pozitif ve birlikten farklı bir taban için tanımladık. Dolayısıyla a) - c) örneklerinde ifadenin anlamını bulma sorunu olamaz.

Diğer tüm görevlerde, açıkçası, logaritmaların tabanları sırasıyla pozitif ve birlik olmayan sayılar 7, e, 10, 3,75 ve 5·π 7'yi içerir ve logaritmanın işaretleri altında her yerde birimler vardır. Ve birliğin logaritmasının özelliğini biliyoruz: herhangi bir a>0, a≠1 için log a 1=0. Böylece b) – e) ifadelerinin değerleri sıfıra eşittir.

Cevap:

a), b), c) ifadeleri anlamsızdır, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0.

Örnek.

Hesaplayın: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Çözüm.

a>0, a≠1 için log a a=1 formülüne karşılık gelen tabanın logaritması özelliğini kullanmamız gerektiği açıktır. Nitekim tüm harflerin altındaki görevlerde logaritma işaretinin altındaki sayı tabanına denk gelir. Dolayısıyla verilen ifadelerin her birinin değerinin 1 olduğunu hemen belirtmek isterim. Ancak aceleyle sonuca varmamalısınız: a) - d) harflerinin altındaki görevlerde ifadelerin değerleri gerçekten bire eşittir ve e) ve f) görevlerinde orijinal ifadeler anlamlı değildir, bu nedenle bu ifadelerin değerlerinin 1'e eşit olduğu söylenemez.

Cevap:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) ifadeleri anlamlı değildir.

Örnek.

Değeri bulun: a) log 3 3 11, b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Çözüm.

Açıkçası, logaritmanın işaretleri altında tabanın bazı kuvvetleri vardır. Buna dayanarak, burada tabanın derecesi özelliğine ihtiyacımız olacağını anlıyoruz: log a a p =p, burada a>0, a≠1 ve p herhangi bir değerdir gerçek Numara. Bunu hesaba katarsak aşağıdaki sonuçları elde ederiz: a) log 3 3 11 =11, b) ,V) . Benzer bir eşitliği log −10 (−10) 6 =6 formunun d) harfi altındaki örnek için yazmak mümkün müdür? Hayır, yapamazsınız çünkü log −10 (−10) 6 ifadesi bir anlam ifade etmiyor.

Cevap:

a) log 3 3 11 =11, b) ,V) , d) ifadenin anlamlı olmaması.

Örnek.

İfadeyi aynı tabanı kullanarak logaritmaların toplamı veya farkı olarak gösterin: a) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Çözüm.

a) Logaritmanın işaretinin altında bir çarpım var ve çarpımın logaritmasının özelliğini biliyoruz log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. Bizim durumumuzda logaritmanın tabanındaki sayı ve çarpımdaki sayılar pozitiftir, yani seçilen özelliğin koşullarını sağlarlar, dolayısıyla bunu güvenle uygulayabiliriz: .

b) Burada bölüm logaritmasının özelliğini kullanacağız; burada a>0, a≠1, x>0, y>0. Bizim durumumuzda logaritmanın tabanı pozitif bir e sayısıdır, pay ve payda π pozitiftir, bu da onların özelliğin koşullarını karşıladıkları anlamına gelir, dolayısıyla seçilen formülü kullanma hakkına sahibiz: .

c) Öncelikle log((−5)·(−12)) ifadesinin anlamlı olduğuna dikkat edin. Ancak aynı zamanda, log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y çarpımının logaritması formülünü uygulama hakkımız da yok. >0, sayılar −5 ve −12 – negatif olduğundan ve x>0, y>0 koşullarını karşılamadığından. Yani böyle bir dönüşümü gerçekleştiremezsiniz: log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). Yani ne yapmalıyız? Bu gibi durumlarda, negatif sayılardan kaçınmak için orijinal ifadenin bir ön dönüşüme ihtiyacı vardır. Hakkında benzer vakalar Logaritma işareti altındaki negatif sayılarla ifadelerin dönüşümünü sayfalardan birinde detaylı olarak ele alacağız ancak önceden açık ve açıklama gerektirmeyen bu örneğin çözümünü şimdilik vereceğiz: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

Cevap:

A) , B) , c) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Örnek.

İfadeyi basitleştirin: a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, b) .

Çözüm.

Burada, önceki örneklerde kullandığımız çarpım logaritmasının ve bölümün logaritmasının tüm aynı özellikleri bize yardımcı olacaktır, ancak şimdi bunları sağdan sola uygulayacağız. Yani logaritmaların toplamını çarpımın logaritmasına, logaritmaların farkını bölümün logaritmasına dönüştürüyoruz. Sahibiz
A) günlük 3 0,25+günlük 3 16+günlük 3 0,5=günlük 3 (0,25 16 0,5)=günlük 3 2.
B) .

Cevap:

A) günlük 3 0,25+günlük 3 16+günlük 3 0,5=günlük 3 2, B) .

Örnek.

Logaritma işaretinin altındaki dereceden kurtulun: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Çözüm.

log a b p formundaki ifadelerle uğraştığımızı görmek kolaydır. Logaritmanın karşılık gelen özelliği log a b p =p·log a b biçimindedir; burada a>0, a≠1, b>0, p - herhangi bir gerçek sayı. Yani, a>0, a≠1, b>0 koşulları karşılanırsa, log a b p kuvvetinin logaritmasından p·log a b çarpımına geçebiliriz. Bu dönüşümü verilen ifadelerle gerçekleştirelim.

a) Bu durumda a=0.7, b=5 ve p=11. Yani log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5.

b) Burada a>0, a≠1, b>0 koşulları sağlanmaktadır. Bu yüzden

c) log 3 (−5) 6 ifadesi log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 ile aynı yapıya sahiptir. Ancak b için b>0 koşulu sağlanmaz, bu da log a b p =p·log a b formülünün kullanılmasını imkansız hale getirir. Peki ne, görevle baş edemiyor musun? Mümkün ama ifadenin bir ön dönüşümü gerekiyor ki bunu aşağıda başlık altındaki paragrafta detaylı olarak ele alacağız. Çözüm şu şekilde olacaktır: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Cevap:

a) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5,
B)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5.

Çoğu zaman, dönüşümleri gerçekleştirirken, bir kuvvetin logaritması formülünün sağdan sola p·log a b=log a b p şeklinde uygulanması gerekir (aynı koşullar a, b ve p için karşılanmalıdır). Örneğin, 3·ln5=ln5 3 ve log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Örnek.

a) log2≈0.3010 ve log5≈0.6990 olduğu biliniyorsa log 2 5'in değerini hesaplayın. b) Kesri 3 tabanına göre logaritma olarak ifade edin.

Çözüm.

a) Yeni bir logaritma tabanına geçiş formülü, bu logaritmayı, değerleri bizim tarafımızdan bilinen ondalık logaritmaların oranı olarak sunmamızı sağlar: . Geriye kalan tek şey hesaplamaları yapmaktır, elimizde .

b) Burada yeni bir tabana geçme formülünü kullanıp sağdan sola yani formda uygulamak yeterlidir. . Aldık .

Cevap:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

Bu aşamada, en çok dönüşümü oldukça dikkatli bir şekilde değerlendirdik. basit ifadeler Logaritmanın temel özelliklerini ve logaritmanın tanımını kullanma. Bu örneklerde tek bir özelliği uygulamamız gerekti, daha fazlasını uygulamadık. Şimdi birlikte temiz vicdan dönüşümü logaritmanın çeşitli özelliklerinin ve diğerlerinin kullanılmasını gerektiren örneklere geçebilirsiniz. ek dönüşümler. Bir sonraki paragrafta onlarla ilgileneceğiz. Ancak bundan önce, logaritmanın temel özelliklerinden sonuçların uygulanmasına ilişkin örneklere kısaca bakalım.

Örnek.

a) Logaritma işaretinin altındaki kökten kurtulun. b) Kesri 5 tabanlı logaritmaya dönüştürün. c) Logaritmanın işareti ve tabanındaki kuvvetlerden kendinizi kurtarın. d) İfadenin değerini hesaplayın . e) İfadeyi 3 tabanlı bir kuvvetle değiştirin.

Çözüm.

a) Derecenin logaritmasının özelliğinden sonucu hatırlarsak , o zaman hemen cevabı verebilirsiniz: .

b) Burada formülü kullanıyoruz sağdan sola elimizde .

c)B bu durumda formül sonucu verir . Aldık .

d) Ve burada formülün karşılık geldiği sonucu uygulamak yeterlidir. . Bu yüzden .

e) Logaritmanın özelliği İstenilen sonucu elde etmemizi sağlar: .

Cevap:

A) . B) . V) . G) . D) .

Birden çok özelliğin art arda uygulanması

Logaritmanın özelliklerini kullanarak ifadeleri dönüştürmeye ilişkin gerçek görevler genellikle önceki paragrafta ele aldığımızdan daha karmaşıktır. Bunlarda, kural olarak, sonuç tek bir adımda elde edilmez, ancak çözüm zaten bir özelliğin birbiri ardına sıralı uygulanmasından ve parantez açma, döküm gibi ek özdeş dönüşümlerden oluşur. benzer terimler, kesirlerin azaltılması vb. O halde bu tür örneklere biraz daha yaklaşalım. Bunda karmaşık bir şey yok, asıl önemli olan, eylemlerin sırasını gözlemleyerek dikkatli ve tutarlı hareket etmektir.

Örnek.

Bir ifadenin değerini hesaplama (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Çözüm.

Bölüm logaritmasının özelliğine göre parantez içindeki logaritmalar arasındaki fark, log 3 (15:5) logaritması ile değiştirilebilir ve daha sonra log 3 (15:5)=log 3 3=1 değeri hesaplanabilir. Ve 7 log 7 5 ifadesinin değeri logaritmanın tanımı gereği 5'e eşittir. Bu sonuçları orijinal ifadede yerine koyarsak, şunu elde ederiz: (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

İşte açıklama gerektirmeyen bir çözüm:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5 .

Cevap:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Örnek.

Log 3 log 2 2 3 −1 sayısal ifadesinin değeri nedir?

Çözüm.

İlk önce logaritmayı logaritma işareti altında, kuvvetin logaritması formülünü kullanarak dönüştürürüz: log 2 2 3 =3. Böylece, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 ve ardından log 3 3=1 olur. Yani log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Cevap:

günlük 3 günlük 2 2 3 −1=0 .

Örnek.

Ifadeyi basitleştir.

Çözüm.

Yeni bir logaritma tabanına geçme formülü, logaritmaların bir tabana oranının log 3 5 olarak temsil edilmesine olanak tanır. Bu durumda orijinal ifade biçimini alacaktır. Logaritmanın tanımına göre 3 log 3 5 =5, yani ve ortaya çıkan ifadenin değeri, logaritmanın aynı tanımı nedeniyle ikiye eşittir.

Burada kısa versiyon genellikle verilen çözümler: .

Cevap:

Bir sonraki paragraftaki bilgilere sorunsuz bir şekilde geçiş yapmak için 5 2+log 5 3 ve log0.01 ifadelerine göz atalım. Yapıları logaritmanın hiçbir özelliğine uymamaktadır. Peki ne olur, logaritmanın özellikleri kullanılarak dönüştürülemezler mi? Logaritmanın özelliklerinin uygulanması için bu ifadeleri hazırlayan ön dönüşümleri gerçekleştirirseniz mümkündür. Bu yüzden 5 2+günlük 5 3 =5 2 5 günlük 5 3 =25 3=75, ve log0,01=log10 −2 =−2. Daha sonra bu tür ifade hazırlamanın nasıl yapıldığına ayrıntılı olarak bakacağız.

Logaritmanın Özelliklerini Kullanmaya Yönelik İfadeler Hazırlama

Dönüştürülmekte olan ifadedeki logaritmalar, notasyonun yapısında, logaritmanın özelliklerine karşılık gelen formüllerin sol ve sağ kısımlarından çok sık farklılık gösterir. Ancak daha az sıklıkla, bu ifadelerin dönüşümü logaritmanın özelliklerinin kullanılmasını içerir: bunları kullanmak için yalnızca ihtiyacınız vardır ön hazırlık. Ve bu hazırlık belli başlı eylemlerin gerçekleştirilmesinden ibarettir. kimlik dönüşümleri Logaritmaların özelliklerin uygulanmasına uygun bir forma getirilmesi.

Adil olmak gerekirse, benzer terimlerin sıradan indirgenmesinden trigonometrik formüllerin kullanımına kadar ifadelerdeki hemen hemen her dönüşümün ön dönüşüm görevi görebileceğini not ediyoruz. Dönüştürülen ifadeler herhangi bir matematiksel nesneyi içerebileceğinden bu anlaşılabilir bir durumdur: parantezler, modüller, kesirler, kökler, kuvvetler vb. Bu nedenle logaritmanın özelliklerinden daha fazla yararlanabilmek için gerekli her türlü dönüşümü gerçekleştirmeye hazırlıklı olmanız gerekir.

Hemen söyleyelim ki, bu noktada logaritmanın özelliklerini veya bir logaritmanın tanımını daha sonra uygulamamıza izin verecek akla gelebilecek tüm ön dönüşümleri sınıflandırma ve analiz etme görevini üstlenmiyoruz. Burada bunlardan en tipik ve pratikte en sık karşılaşılanlardan yalnızca dördüne odaklanacağız.

Ve şimdi her biri hakkında ayrıntılı olarak, bundan sonra konumuz çerçevesinde geriye kalan tek şey, logaritma işaretleri altında değişkenli ifadelerin dönüşümünü anlamak.

Logaritma işareti altında ve tabanındaki kuvvetlerin belirlenmesi

Hemen bir örnekle başlayalım. Logaritmayı alalım. Açıkçası, bu haliyle yapısı logaritmanın özelliklerinin kullanımına elverişli değildir. Bir şekilde dönüştürmek mümkün mü bu ifade basitleştirmek mi, yoksa daha iyisi değerini hesaplamak mı? Bu soruyu cevaplamak için örneğimiz bağlamında 81 ve 1/9 sayılarına daha yakından bakalım. Burada bu sayıların 3'ün kuvvetleri olarak temsil edilebileceğini fark etmek kolaydır, aslında 81 = 3 4 ve 1/9 = 3 −2. Bu durumda orijinal logaritma formda sunulur ve formülün uygulanması mümkün hale gelir. . Bu yüzden, .

Analiz edilen örneğin analizi şu düşünceye yol açmaktadır: Mümkünse, derecenin logaritmasının özelliğini veya sonuçlarını uygulamak için dereceyi logaritmanın işareti altında ve tabanında izole etmeye çalışabilirsiniz. Geriye sadece bu derecelerin nasıl ayırt edileceğini bulmak kalıyor. Bu konuyla ilgili bazı öneriler verelim.

Bazen, yukarıda tartışılan örnekte olduğu gibi, logaritma işaretinin altındaki ve/veya tabanındaki sayının bir tam sayı kuvvetini temsil ettiği oldukça açıktır. Neredeyse sürekli olarak ikinin kuvvetleriyle uğraşmak zorundayız ki bunlar oldukça tanıdık: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. Aynı şey üçün kuvvetleri için de söylenebilir: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Genel olarak gözünüzün önünde olursa zararı olmaz doğal sayıların kuvvetleri tablosu bir düzine içinde. On, yüz, bin gibi tam sayıların kuvvetleriyle çalışmak da zor değil.

Örnek.

Değeri hesaplayın veya ifadeyi basitleştirin: a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.

Çözüm.

a) Açıkçası, 216=6 3, yani log 6 216=log 6 6 3 =3.

b) Doğal sayıların kuvvetleri tablosu, 343 ve 1/243 sayılarını sırasıyla 7 3 ve 3 −4 kuvvetleri olarak göstermenize olanak tanır. Bu nedenle, belirli bir logaritmanın aşağıdaki dönüşümü mümkündür:

c) 0,000001=10 −6 ve 0,001=10 −3 olduğuna göre, log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Cevap:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2.

Daha fazlası zor vakalar sayıların güçlerini ayırt etmek için başvurmak gerekir.

Örnek.

İfadeyi daha fazlasına dönüştür basit görünüm günlük 3 648 günlük 2 3 .

Çözüm.

648 sayısının neye ayrıştırıldığını görelim. asal faktörler:

Yani 648=2 3 ·3 4. Böylece, günlük 3 648 günlük 2 3=günlük 3 (2 3 3 4) günlük 2 3.

Şimdi ürünün logaritmasını logaritmaların toplamına dönüştürüyoruz, ardından kuvvetin logaritmasının özelliklerini uyguluyoruz:
günlük 3 (2 3 3 4)günlük 2 3=(günlük 3 2 3 +günlük 3 3 4)günlük 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

Formüle karşılık gelen gücün logaritmasının özelliğinden elde edilen bir sonuç sayesinde log32·log23 çarpımı ise bilindiği gibi bire eşittir. Bunu dikkate alarak şunu elde ederiz: 3 günlük 3 2 günlük 2 3+4 günlük 2 3=3 1+4 günlük 2 3=3+4 günlük 2 3.

Cevap:

günlük 3 648 günlük 2 3=3+4 günlük 2 3.

Çoğunlukla, logaritmanın işareti altındaki ve tabanındaki ifadeler, bazı sayıların köklerinin ve/veya kuvvetlerinin çarpımlarını veya oranlarını temsil eder; örneğin, , . Benzer ifadeler kuvvetler olarak da ifade edilebilir. Bunun için köklerden güçlere geçiş yapılır ve ve kullanılır. Bu dönüşümler, logaritmanın işareti altındaki ve tabanındaki kuvvetlerin izole edilmesini ve daha sonra logaritmanın özelliklerinin uygulanmasını mümkün kılar.

Örnek.

Hesaplayın: a) , B) .

Çözüm.

a) Logaritmanın tabanındaki ifade, şuna göre aynı tabanlara sahip kuvvetlerin çarpımıdır: karşılık gelen özellik derecelerimiz var 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Şimdi kesri logaritma işaretine dönüştürelim: kökten kuvvete doğru ilerleyeceğiz, ardından aynı tabanlara sahip kuvvetlerin oranı özelliğini kullanacağız: .

Elde edilen sonuçları orijinal ifadeyle değiştirmek için kalır, formülü kullanın ve dönüşümü tamamlayın:

b) 729 = 3 6 ve 1/9 = 3 −2 olduğundan orijinal ifade şu şekilde yeniden yazılabilir.

Daha sonra, bir kuvvetin kökü özelliğini uygularız, kökten kuvvete doğru hareket ederiz ve logaritmanın tabanını bir kuvvete dönüştürmek için kuvvetler oranı özelliğini kullanırız: .

Düşünen son sonuç, sahibiz .

Cevap:

A) , B) .

Açıkça görülüyor ki Genel dava Logaritmanın işareti altında ve tabanında kuvvetler elde etmek için çeşitli dönüşümler gerekebilir çeşitli ifadeler. Birkaç örnek verelim.

Örnek.

İfadenin anlamı nedir: a) , B) .

Çözüm.

Ayrıca verilen ifadenin A=2, B=x+1 ve p=4 olmak üzere log A B p formuna sahip olduğunu da not ediyoruz. Bu türden sayısal ifadeleri log a b p =p·log a b kuvvetinin logaritmasının özelliğine göre dönüştürdük, bu nedenle, belirli bir ifadeyle aynısını yapmak ve log 2 (x+1) 4'ten log 2 (x+1) 4'e geçmek istiyorum. 4·log 2 (x+1) . Şimdi orijinal ifadenin ve dönüşüm sonrasında elde edilen ifadenin (örneğin x=−2 olduğunda) değerini hesaplayalım. Log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 elimizde ve 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- anlamsız bir ifade. Bu mantıklı bir soruyu gündeme getiriyor: "Neyi yanlış yaptık?"

Bunun nedeni şudur: log a b p =p·log a b formülüne dayanarak log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) dönüşümünü gerçekleştirdik, ancak bu formül yalnızca koşullar karşılanırsa başvuru yapma hakkına sahibiz: a>0, a≠1, b>0, p - herhangi bir gerçek sayı. Yani yaptığımız dönüşüm x+1>0 ise gerçekleşir, bu da x>−1 ile aynıdır (A ve p için koşullar sağlanır). Ancak bizim durumumuzda orijinal ifade için x değişkeninin ODZ'si yalnızca x>−1 aralığından değil aynı zamanda x aralığından da oluşur.<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

DL'yi dikkate alma ihtiyacı

Seçtiğimiz log 2 (x+1) 4 ifadesinin dönüşümünü analiz etmeye devam edelim ve şimdi 4 · log 2 (x+1) ifadesine geçtiğimizde ODZ'ye ne olacağını görelim. Önceki paragrafta orijinal ifadenin ODZ'sini bulduk - bu (−∞, −1)∪(−1, +∞) kümesidir. Şimdi 4·log 2 (x+1) ifadesi için x değişkeninin kabul edilebilir değer aralığını bulalım. (−1, +∞) kümesine karşılık gelen x+1>0 koşuluyla belirlenir. Log 2 (x+1) 4'ten 4·log 2 (x+1)'e geçerken izin verilen değer aralığının daraldığı açıktır. Ve DL'nin daralmasına yol açacak dönüşümlerden kaçınma konusunda anlaştık çünkü bu çeşitli olumsuz sonuçlara yol açabilir.

Burada OA'yı dönüşümün her adımında kontrol etmenin ve daralmasını önlemenin faydalı olduğunu kendi başınıza belirtmekte fayda var. Ve eğer dönüşümün bir aşamasında aniden DL'de bir daralma meydana gelirse, o zaman bu dönüşüme izin verilip verilmediğine ve bunu gerçekleştirme hakkımız olup olmadığına çok dikkatli bakmaya değer.

Adil olmak gerekirse, diyelim ki pratikte genellikle değişkenlerin değişken değerinin, dönüşümleri gerçekleştirirken logaritmanın özelliklerini zaten bildiğimiz biçimde kısıtlama olmaksızın kullanabileceğimiz ifadelerle çalışmak zorunda olduğumuzu varsayalım. soldan sağa ve sağdan sola. Buna hızla alışıyorsunuz ve dönüşümleri gerçekleştirmenin mümkün olup olmadığını düşünmeden mekanik olarak gerçekleştirmeye başlıyorsunuz. Ve böyle anlarda, şans eseri, logaritmanın özelliklerinin dikkatsiz uygulanmasının hatalara yol açtığı daha karmaşık örnekler gözden kaçar. Bu nedenle her zaman tetikte olmanız ve ODZ'de herhangi bir daralma olmadığından emin olmanız gerekir.

Çok dikkatli yapılması gereken, ODZ'nin daralmasına ve sonuç olarak hatalara yol açabilecek logaritmanın özelliklerine dayanan ana dönüşümleri ayrı ayrı vurgulamaktan zarar gelmez:

Logaritmanın özelliklerine dayanan bazı ifade dönüşümleri de ODZ'nin ters yönde genişlemesine yol açabilir. Örneğin, 4·log 2 (x+1)'den log 2 (x+1)4'e geçiş, ODZ'yi (−1, +∞) kümesinden (−∞, −1)∪(−1,) kümesine genişletir. +∞) . Orijinal ifade çerçevesinde kaldığımız takdirde bu tür dönüşümler gerçekleşir. Dolayısıyla az önce bahsedilen 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 dönüşümü, orijinal 4·log 2 (x+1) ifadesi için x değişkeninin ODZ'sinde gerçekleşir; x+1> 0, (−1, +∞) ile aynıdır.

Artık logaritmanın özelliklerini kullanarak değişkenli ifadeleri dönüştürürken dikkat etmeniz gereken nüansları tartıştığımıza göre, bu dönüşümlerin doğru şekilde nasıl gerçekleştirileceğini bulmaya devam ediyoruz.

X+2>0 . Bizim durumumuzda işe yarıyor mu? Bu soruyu cevaplamak için x değişkeninin ODZ'sine bir göz atalım. Eşitsizlik sistemi tarafından belirlenir x+2>0 koşuluna eşdeğerdir (gerekirse makaleye bakın) eşitsizlik sistemlerini çözme). Böylece kuvvetin logaritması özelliğini güvenle uygulayabiliriz.

Sahibiz
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

ODZ bunu yapmanıza izin verdiği için farklı davranabilirsiniz, örneğin:

Cevap:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Peki ODZ'de logaritmanın özelliklerine eşlik eden koşullar karşılanmadığında ne yapmalı? Bunu örneklerle anlayacağız.

log(x+2) 4 − log(x+2) 2 ifadesini basitleştirmemiz istensin. Bu ifadenin dönüşümü, önceki örnekteki ifadeden farklı olarak, kuvvetin logaritması özelliğinin serbestçe kullanılmasına izin vermez. Neden? Bu durumda x değişkeninin ODZ'si, x>−2 ve x olmak üzere iki aralığın birleşimidir.<−2 . При x>−2 Bir kuvvetin logaritması özelliğini kolaylıkla uygulayabilir ve yukarıdaki örnekteki gibi davranabiliriz: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Ancak ODZ bir x+2 aralığı daha içeriyor<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 ve ayrıca k lg|x+2| derecesinin özelliklerinden dolayı 4 −lg|x+2| 2. Sonuçta elde edilen ifade, değişkenin herhangi bir değeri için |x+2|>0 olduğundan, bir kuvvetin logaritması özelliği kullanılarak dönüştürülebilir. Sahibiz log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Artık işini yaptığı için kendinizi modülden kurtarabilirsiniz. Dönüşümü x+2 noktasında gerçekleştirdiğimiz için<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Modüllerle çalışmayı tanıdık hale getirmek için bir örneğe daha bakalım. ifadesinden yola çıkalım x−1, x−2 ve x−3 doğrusal binomlarının logaritmasının toplamına ve farkına gidin. İlk önce ODZ'yi buluyoruz:

(3, +∞) aralığında x−1, x−2 ve x−3 ifadelerinin değerleri pozitiftir, dolayısıyla toplam ve farkın logaritmasının özelliklerini kolayca uygulayabiliriz:

Ve (1, 2) aralığında x−1 ifadesinin değerleri pozitif, x−2 ve x−3 ifadelerinin değerleri ise negatiftir. Bu nedenle, söz konusu aralıkta x−2 ve x−3'ü modülü −|x−2| olarak kullanarak temsil ediyoruz. ve −|x−3| sırasıyla. burada

Artık ürünün logaritmasının ve bölümün özelliklerini uygulayabiliriz, çünkü dikkate alınan aralıkta (1, 2) x−1 , |x−2| ifadelerinin değerleri bulunur. ve |x−3| - pozitif.

Sahibiz

Elde edilen sonuçlar birleştirilebilir:

Genel olarak, benzer akıl yürütme, ürünün logaritması, oran ve derece formüllerine dayanarak, kullanımı oldukça uygun olan pratik olarak yararlı üç sonuç elde edilmesini sağlar:

log a (X·Y) formundaki iki keyfi X ve Y ifadesinin çarpımının logaritması, log a |X|+log a |Y| logaritmalarının toplamı ile değiştirilebilir. , a>0 , a≠1 .
Belirli logaritma log a (X:Y), log a |X|−log a |Y| logaritmalarının farkıyla değiştirilebilir. , a>0, a≠1, X ve Y keyfi ifadelerdir.
Bir B ifadesinin logaritmasından log a B p formundaki çift kuvvet p'ye kadar p·log a |B| ifadesine gidebiliriz. burada a>0, a≠1, p bir çift sayıdır ve B keyfi bir ifadedir.

Benzer sonuçlar, örneğin üstel ve üstel denklemlerin çözümüne yönelik talimatlarda verilmiştir. logaritmik denklemler M. I. Skanavi tarafından düzenlenen, üniversitelere girenler için matematik problemleri koleksiyonunda.

Örnek.

Ifadeyi basitleştir .

Çözüm.

Kuvvet, toplam ve farkın logaritmasının özelliklerini uygulamak iyi olurdu. Ama bunu burada yapabilir miyiz? Bu soruyu cevaplamak için DZ'yi bilmemiz gerekiyor.

Bunu tanımlayalım:

x değişkeninin izin verilen değerler aralığındaki x+4, x−2 ve (x+4)13 ifadelerinin hem pozitif hem de negatif değerler alabileceği oldukça açıktır. Dolayısıyla modüller üzerinden hareket etmemiz gerekecek.

Modül özellikleri onu şu şekilde yeniden yazmanıza izin verir;

Ayrıca, bir kuvvetin logaritmasının özelliğini kullanmanıza ve ardından benzer terimleri getirmenize hiçbir şey engel değildir:

Başka bir dönüşüm dizisi aynı sonuca yol açar:

ve ODZ'de x−2 ifadesi hem pozitif hem de negatif değerler alabildiğinden, çift üs 14 yerleştirildiğinde

ana özellikler.

logax + logay = loga(x y);
logax – logay = loga (x: y).

aynı gerekçeler

Log6 4 + log6 9.

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım.

Logaritma çözme örnekleri

Ya bir logaritmanın tabanı veya argümanı bir kuvvet ise? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Elbette, logaritmanın ODZ'sine uyulursa tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x >

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Yeni bir temele geçiş

Logaritmanın logax'ı verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Ayrıca bakınız:

Logaritmanın temel özellikleri

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Üs 2,718281828…. Üssü hatırlamak için kuralı inceleyebilirsiniz: üs 2,7'ye eşittir ve Leo Nikolaevich Tolstoy'un doğum yılının iki katıdır.

Logaritmanın temel özellikleri

Bu kuralı bilerek, bileceksiniz ve Kesin değer katılımcılar ve Leo Tolstoy'un doğum tarihi.

Logaritma örnekleri

Logaritma ifadeleri

Örnek 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 özelliklerini kullanarak hesaplıyoruz

4. Nerede .

Örnek 2. Eğer x'i bulun

Örnek 3. Logaritmanın değeri verilsin

Log(x)'i hesaplayın, eğer

Logaritmanın temel özellikleri

Logaritmalar da diğer sayılar gibi her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar tam olarak doğru olmadığından normal sayılar, burada kurallar var, bunlara ana özellikler.

Kesinlikle bu kuralları bilmeniz gerekiyor - onlar olmadan tek bir ciddi sorun çözülemez. logaritmik problem. Ayrıca bunlardan çok azı var - her şeyi bir günde öğrenebilirsiniz. Öyleyse başlayalım.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı düşünün: logax ve logay. Daha sonra bunlar eklenebilir ve çıkarılabilir ve:

logax + logay = loga(x y);
logax – logay = loga (x: y).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Not: önemli an Burada - aynı gerekçeler. Sebepler farklıysa bu kurallar işe yaramaz!

Bu formüller hesaplamanıza yardımcı olacaktır logaritmik ifade tek tek parçaları sayılmasa bile (“Logaritma nedir” dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve şunu görün:

Logaritmaların tabanları aynı olduğundan toplam formülünü kullanırız:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Görev. İfadenin değerini bulun: log2 48 − log2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Görev. İfadenin değerini bulun: log3 135 − log3 5.

Tabanlar yine aynı olduğundan elimizde:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı olarak hesaplanmayan “kötü” logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra tamamen normal sayılar elde edilir. Birçoğu bu gerçek üzerine inşa edilmiştir sınav kağıtları. Peki ya kontroller? benzer ifadeler Birleşik Devlet Sınavında tüm ciddiyetiyle (bazen neredeyse hiç değişiklik yapılmadan) sunulmaktadır.

Üslü logaritmadan çıkarma

Bunu fark etmek kolaydır son kural ilk ikisini takip ediyor. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Elbette, logaritmanın ODZ'sine uyulursa tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde uygulamayı öğrenin. yani Logaritma işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Görev. İfadenin değerini bulun: log7 496.

İlk formülü kullanarak argümandaki dereceden kurtulalım:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Paydanın, tabanı ve argümanının tam kuvvetleri olan bir logaritma içerdiğine dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. Elimizde:

sanırım son örnek açıklama gerekli. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece paydayla çalışıyoruz.

Logaritma formülleri. Logaritma örnek çözümleri.

Orada duran logaritmanın temelini ve argümanını kuvvetler şeklinde sunduk ve üsleri çıkardık - “üç katlı” bir kesir elde ettik.

Şimdi ana kesirlere bakalım. Pay ve payda aynı sayıyı içerir: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dörtlü paya aktarılabilir ki yapılan da budur. Sonuç şuydu: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsederken bunların sadece aynı tabanlarla çalıştığını özellikle vurguladım. Peki ya sebepler farklıysa? Peki ya bunlar aynı sayının tam kuvvetleri değilse?

Yeni bir vakfa geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Bunları bir teorem şeklinde formüle edelim:

Logaritmanın logax'ı verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle c = x değerini ayarlarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanı ve argümanının değiştirilebileceği anlaşılmaktadır, ancak bu durumda ifadenin tamamı "tersine çevrilmiştir", yani. logaritma paydada görünür.

Bu formüller nadiren geleneksel olarak bulunur. sayısal ifadeler. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklem ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyen sorunlar var. Bunlardan birkaçına bakalım:

Görev. İfadenin değerini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam güçler içerdiğini unutmayın. Göstergeleri çıkaralım: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı “tersine çevirelim”:

Faktörleri yeniden düzenlerken çarpım değişmediğinden, sakince dört ve ikiyi çarptık ve ardından logaritmalarla uğraştık.

Görev. İfadenin değerini bulun: log9 100 lg 3.

Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam kuvvetlerdir. Bunu bir kenara yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözüm sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritması olarak gösterilmesi gerekir. Bu durumda aşağıdaki formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı argümandaki üs haline gelir. N sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir çünkü bu yalnızca bir logaritma değeridir.

İkinci formül aslında başka kelimelerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna şöyle denir: .

Aslında b sayısı, b sayısının bu kuvveti a sayısını verecek şekilde yükseltilirse ne olur? Doğru: sonuç aynı a sayısıdır. Bu paragrafı dikkatlice tekrar okuyun; birçok kişi buna takılıp kalıyor.

Yeni bir temele geçiş formülleri gibi, ana logaritmik özdeşlik bazen mümkün olan tek çözüm budur.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

log25 64 = log5 8 - basitçe tabandan ve logaritmanın argümanından kareyi aldığını unutmayın. Güçleri çarpma kurallarını göz önünde bulundurarak aynı temel, şunu elde ederiz:

Bilmeyen varsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi :)

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması pek mümkün olmayan iki kimlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli problemlerle karşı karşıya kalırlar ve şaşırtıcı bir şekilde “ileri düzey” öğrenciler için bile problem yaratırlar.

logaa = 1'dir. Bir kez ve tamamen hatırlayın: o tabanın herhangi bir a tabanının logaritması bire eşit.
loga 1 = 0'dır. A tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir tane içeriyorsa - logaritma sıfıra eşit! Çünkü a0 = 1 doğrudan sonuç tanımından.

Tüm özellikler bu kadar. Bunları uygulamaya koymayı unutmayın! Dersin başındaki kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.

Ayrıca bakınız:

b'nin a tabanına göre logaritması ifadeyi belirtir. Logaritmayı hesaplamak, eşitliğin sağlandığı x () kuvvetini bulmak anlamına gelir

Logaritmanın temel özellikleri

Logaritmalarla ilgili hemen hemen tüm problemler ve örnekler temel alınarak çözüldüğü için yukarıdaki özellikleri bilmek gerekir. Egzotik özelliklerin geri kalanı bu formüllerle matematiksel manipülasyonlar yoluyla elde edilebilir.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmaların toplamı ve farkı formülünü (3.4) hesaplarken oldukça sık karşılaşırsınız. Geri kalanı biraz karmaşıktır ancak bazı görevlerde karmaşık ifadeleri basitleştirmek ve değerlerini hesaplamak için vazgeçilmezdirler.

Yaygın logaritma durumları

Yaygın logaritmalardan bazıları, tabanın on, üstel veya iki olduğu logaritmalardır.
On tabanına göre logaritmaya genellikle ondalık logaritma denir ve basitçe lg(x) ile gösterilir.

Kayıtta esasların yazılmadığı kayıttan anlaşılıyor. Örneğin

Doğal logaritma, tabanı bir üs olan (ln(x) ile gösterilir) bir logaritmadır.

Üs 2,718281828…. Üssü hatırlamak için kuralı inceleyebilirsiniz: üs 2,7'ye eşittir ve Leo Nikolaevich Tolstoy'un doğum yılının iki katıdır. Bu kuralı bildiğinizde hem üssün tam değerini hem de Leo Tolstoy'un doğum tarihini bileceksiniz.

Ve iki tabanının bir diğer önemli logaritması şu şekilde gösterilir:

Bir fonksiyonun logaritmasının türevi, birin değişkene bölünmesine eşittir

İntegral veya ters türev logaritması ilişkiyle belirlenir.

Verilen materyal, logaritma ve logaritmalarla ilgili çok çeşitli problemleri çözmeniz için yeterlidir. Materyali anlamanıza yardımcı olmak için, sadece birkaç yaygın örnek vereceğim. Okul müfredatı ve üniversiteler.

Logaritma örnekleri

Logaritma ifadeleri

Örnek 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 özelliklerini kullanarak hesaplıyoruz

2.
Logaritma farkının özelliği ile elimizdeki

3.
Bulduğumuz özellikler 3.5'i kullanarak

4. Nerede .

Görünüşe göre karmaşık ifade bir dizi kuralın kullanılması basitleştirilmiştir

Logaritma değerlerini bulma

Örnek 2. Eğer x'i bulun

Çözüm. Hesaplama için son terim 5 ve 13'ün özelliklerine başvuruyoruz.

Bunu kayda geçirdik ve yas tuttuk

Tabanlar eşit olduğundan ifadeleri eşitliyoruz

Logaritmalar. İlk seviye.

Logaritmanın değeri verilsin

Log(x)'i hesaplayın, eğer

Çözüm: Değişkenin logaritmasını alarak terimlerinin toplamı üzerinden logaritmasını yazalım.

Bu, logaritmalar ve özellikleriyle tanışmamızın sadece başlangıcıdır. Hesaplamalar yapın, pratik becerilerinizi zenginleştirin; yakında logaritmik denklemleri çözmek için edindiğiniz bilgilere ihtiyacınız olacak. Bu tür denklemleri çözmenin temel yöntemlerini inceledikten sonra, bilginizi eşit derecede önemli başka bir konuya, logaritmik eşitsizliklere genişleteceğiz...

Logaritmanın temel özellikleri

Logaritmalar da diğer sayılar gibi her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar tam olarak sıradan sayılar olmadığından burada kurallar vardır. ana özellikler.

Bu kuralları kesinlikle bilmeniz gerekir - onlar olmadan tek bir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca bunlardan çok azı var - her şeyi bir günde öğrenebilirsiniz. Öyleyse başlayalım.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı düşünün: logax ve logay. Daha sonra bunlar eklenebilir ve çıkarılabilir ve:

logax + logay = loga(x y);
logax – logay = loga (x: y).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta aynı gerekçeler. Sebepler farklıysa bu kurallar işe yaramaz!

Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmasa bile logaritmik bir ifadeyi hesaplamanıza yardımcı olacaktır (“Logaritma nedir” dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve şunu görün:

Görev. İfadenin değerini bulun: log6 4 + log6 9.

Logaritmaların tabanları aynı olduğundan toplam formülünü kullanırız:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Görev. İfadenin değerini bulun: log2 48 − log2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Görev. İfadenin değerini bulun: log3 135 − log3 5.

Tabanlar yine aynı olduğundan elimizde:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı olarak hesaplanmayan “kötü” logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra tamamen normal sayılar elde edilir. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, Birleşik Devlet Sınavında test benzeri ifadeler tüm ciddiyetiyle (bazen neredeyse hiç değişiklik yapılmadan) sunulmaktadır.

Üslü logaritmadan çıkarma

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya bir logaritmanın tabanı veya argümanı bir kuvvet ise? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Logaritmalar nasıl çözülür?

En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Görev. İfadenin değerini bulun: log7 496.

İlk formülü kullanarak argümandaki dereceden kurtulalım:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Paydanın, tabanı ve argümanının tam kuvvetleri olan bir logaritma içerdiğine dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. Elimizde:

Son örneğin biraz açıklama gerektirdiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece paydayla çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın temelini ve argümanını kuvvetler şeklinde sunduk ve üsleri çıkardık - “üç katlı” bir kesir elde ettik.

Yeni bir temele geçiş

Yeni bir vakfa geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Bunları bir teorem şeklinde formüle edelim:

Logaritmanın logax'ı verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle c = x değerini ayarlarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanı ve argümanının değiştirilebileceği anlaşılmaktadır, ancak bu durumda ifadenin tamamı "tersine çevrilmiştir", yani. logaritma paydada görünür.

Bu formüllere sıradan sayısal ifadelerde nadiren rastlanır. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklem ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyen sorunlar var. Bunlardan birkaçına bakalım:

Görev. İfadenin değerini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam güçler içerdiğini unutmayın. Göstergeleri çıkaralım: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı “tersine çevirelim”:

Faktörleri yeniden düzenlerken çarpım değişmediğinden, sakince dört ve ikiyi çarptık ve ardından logaritmalarla uğraştık.

Görev. İfadenin değerini bulun: log9 100 lg 3.

Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam kuvvetlerdir. Bunu bir kenara yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözüm sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritması olarak gösterilmesi gerekir. Bu durumda aşağıdaki formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı argümandaki üs haline gelir. N sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir çünkü bu yalnızca bir logaritma değeridir.

İkinci formül aslında başka kelimelerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna şöyle denir: .

Yeni bir tabana geçiş formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik de bazen mümkün olan tek çözümdür.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

log25 64 = log5 8 - basitçe tabandan ve logaritmanın argümanından kareyi aldığını unutmayın. Aynı tabanla kuvvetleri çarpma kurallarını hesaba katarsak şunu elde ederiz:

Bilmeyen varsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi :)

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

logaa = 1'dir. Bir kere şunu unutmayın: o tabanın herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
loga 1 = 0'dır. A tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir içeriyorsa logaritma sıfıra eşittir! Çünkü a0 = 1 tanımın doğrudan sonucudur.

Tüm özellikler bu kadar. Bunları uygulamaya koymayı unutmayın! Dersin başındaki kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Tarafımızca toplandı kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerektiğinde - kanuna, adli prosedüre, hukuki işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

İle başlayalım bir logaritmasının özellikleri. Formülasyonu şu şekildedir: Birliğin logaritması sıfıra eşittir, yani, 1=0'ı günlüğe kaydet herhangi bir a>0 için a≠1. Kanıt zor değildir: Yukarıdaki a>0 ve a≠1 koşullarını karşılayan herhangi bir a için a 0 = 1 olduğundan, kanıtlanacak log a 1=0 eşitliği logaritmanın tanımından hemen çıkar.

Dikkate alınan özelliğin uygulamasına örnekler verelim: log 3 1=0, log1=0 ve .

Konusuna geçelim aşağıdaki mülke: sayının logaritması, tabana eşit, bire eşit, yani, log a=1 a>0 için a≠1. Aslında, herhangi bir a için a 1 =a olduğundan logaritmanın tanımı gereği log a a=1 olur.

Logaritmaların bu özelliğini kullanma örnekleri log 5 5=1, log 5,6 5,6 ve lne=1 eşitlikleridir.

Örneğin, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ve .

İki çarpımının logaritması pozitif sayılar x ve y ürüne eşit bu sayıların logaritmaları: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Bir çarpımın logaritmasının özelliğini kanıtlayalım. Derecenin özelliklerinden dolayı a log a x+log a y =a log a x ·a log a y ve ana logaritmik özdeşliğe göre a log a x =x ve a log a y =y olduğundan, a log a x ·a log a y =x·y. Böylece, logaritmanın tanımına göre eşitliğin kanıtlandığı log a x+log a y =x·y olur.

Bir çarpımın logaritması özelliğinin kullanımına ilişkin örnekler gösterelim: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ve .

Bir çarpımın logaritmasının özelliği çarpıma genelleştirilebilir sonlu sayı n pozitif sayılar x 1 , x 2 , …, x n olarak log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Bu eşitlik sorunsuz bir şekilde kanıtlanabilir.

Örneğin bir çarpımın doğal logaritması üç sayının toplamı ile değiştirilebilir. doğal logaritmalar sayılar 4 , e ve .

İki pozitif sayının bölümünün logaritması x ve y farka eşit bu sayıların logaritmaları. Bir bölümün logaritmasının özelliği, a>0, a≠1, x ve y'nin bazı pozitif sayılar olduğu formdaki bir formüle karşılık gelir. Bu formülün geçerliliği, bir çarpımın logaritması formülünün yanı sıra kanıtlanmıştır: çünkü , daha sonra bir logaritmanın tanımı gereği.

Logaritmanın bu özelliğini kullanmanın bir örneği: .

Konusuna geçelim kuvvetin logaritmasının özelliği. Bir derecenin logaritması, üssün çarpımına ve bu derecenin tabanının modülünün logaritmasına eşittir. Bir kuvvetin logaritmasının bu özelliğini formül olarak yazalım: log a b p =p·log a |b| burada a>0, a≠1, b ve p, b p derecesi anlamlı ve b p >0 olacak şekilde sayılardır.

Öncelikle bu özelliği pozitif b için kanıtlayalım. Temel logaritmik özdeşlik, b sayısını a log a b, ardından b p =(a log a b) p olarak temsil etmemize olanak tanır ve ortaya çıkan ifade, kuvvet özelliği nedeniyle a p·log a b'ye eşittir. Böylece b p =a p·log a b eşitliğine ulaşıyoruz ve bundan logaritmanın tanımına göre log a b p =p·log a b sonucunu çıkarıyoruz.

Geriye bu özelliği negatif b için kanıtlamak kalıyor. Burada, negatif b için log a b p ifadesinin yalnızca çift p üsleri için anlamlı olduğunu görüyoruz (çünkü b p derecesinin değeri Sıfırın üstünde aksi takdirde logaritma anlamlı olmayacaktır) ve bu durumda b p =|b| P. Daha sonra bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, buradan log a b p =p·log a |b| .

Örneğin, ve ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Önceki mülkten kaynaklanmaktadır kökten logaritmanın özelliği: n'inci kökün logaritması, 1/n kesrinin radikal ifadenin logaritması ile çarpımına eşittir, yani, , burada a>0, a≠1, n – doğal sayı, birden büyük, b>0.

Kanıt, herhangi bir pozitif b için geçerli olan eşitliğe (bkz.) ve kuvvetin logaritmasının özelliğine dayanmaktadır: .

Bu özelliği kullanmanın bir örneğini burada bulabilirsiniz: .

Şimdi kanıtlayalım yeni bir logaritma tabanına geçme formülü tür . Bunu yapmak için log c b=log a b·log c a eşitliğinin geçerliliğini kanıtlamak yeterlidir. Temel logaritmik kimlik, b sayısını a log a b olarak temsil etmemize ve ardından log c b=log ca log a b olarak göstermemize olanak tanır. Derecenin logaritmasının özelliğini kullanmaya devam ediyor: log c a log a b =log a b log c a. Bu, log c b=log a b·log c a eşitliğini kanıtlar; bu, yeni bir logaritma tabanına geçme formülünün de kanıtlanmış olduğu anlamına gelir.

Logaritmanın bu özelliğini kullanmaya ilişkin birkaç örnek gösterelim: ve .

Yeni bir tabana geçme formülü, "uygun" bir tabana sahip logaritmalarla çalışmaya devam etmenizi sağlar. Örneğin, onun yardımıyla doğal veya ondalık logaritmalar böylece logaritma değerini logaritma tablosundan hesaplayabilirsiniz. Yeni bir logaritma tabanına geçme formülü, bazı durumlarda, bazı logaritmaların diğer tabanlarla değerleri bilindiğinde belirli bir logaritmanın değerini bulmayı da sağlar.

Sıklıkla kullanılır özel durum formun c=b olduğu yeni bir logaritma tabanına geçiş formülleri . Bu, log a b ve log b a – olduğunu gösterir. Örneğin, .

Formül de sıklıkla kullanılır Logaritma değerlerini bulmak için uygundur. Sözlerimizi doğrulamak için, formun logaritmasının değerini hesaplamak için nasıl kullanılabileceğini göstereceğiz. Sahibiz . Formülü kanıtlamak için logaritmanın yeni bir tabanına geçiş için formülü kullanmak yeterlidir: .

Logaritmaların karşılaştırılması özelliklerini kanıtlamak için kalır.

Herhangi bir pozitif sayı için b 1 ve b 2, b 1 olduğunu kanıtlayalım. log a b 2 ve a>1 için – eşitsizlik log a b 1

Son olarak, logaritmanın listelenen özelliklerinin sonuncusunu kanıtlamak kalıyor. Kendimizi bunun ilk kısmının ispatıyla sınırlayalım, yani a 1 >1, a 2 >1 ve a 1 ise ispatlayacağız. 1 doğrudur log a 1 b>log a 2 b . Logaritmanın bu özelliğinin geri kalan ifadeleri benzer bir prensibe göre kanıtlanmıştır.

Tam tersi yöntemi kullanalım. 1 >1, 2 >1 ve 1 için olduğunu varsayalım. 1 doğrudur log a 1 b≤log a 2 b . Logaritmanın özelliklerine dayanarak bu eşitsizlikler şu şekilde yeniden yazılabilir: Ve sırasıyla log b a 1 ≤log b a 2 ve log b a 1 ≥log b a 2 olur. O halde aynı tabanlara sahip kuvvetlerin özelliklerine göre b log b a 1 ≥b log b a 2 ve b log b a 1 ≥b log b a 2 eşitlikleri geçerli olmalıdır, yani a 1 ≥a 2 . Böylece a 1 koşuluyla çelişkiye geldik

Kaynakça.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).