Özelliğin doğrusal fonksiyonu. GIA

Fonksiyonların türevlerini almayı öğrenin. Türev, bir fonksiyonun grafiğinde yer alan belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. İÇİNDE bu durumda Grafik düz veya eğri bir çizgi olabilir. Yani türev, bir fonksiyonun zaman içinde belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. Hatırlamak genel kurallar, hangi türevlerin alındığı ve ancak bundan sonra bir sonraki adıma geçin.

• Makaleyi okuyun.
• En basit türevler nasıl alınır, örneğin türev üstel denklem, anlatıldı. Aşağıdaki adımlarda sunulan hesaplamalar burada açıklanan yöntemlere dayalı olacaktır.

Eğimin bir fonksiyonun türevi aracılığıyla hesaplanması gereken problemleri birbirinden ayırmayı öğrenin. Problemler sizden her zaman bir fonksiyonun eğimini veya türevini bulmanızı istemez. Örneğin sizden bir fonksiyonun A(x,y) noktasındaki değişim oranını bulmanız istenebilir. Ayrıca A(x,y) noktasındaki teğetin eğimini bulmanız da istenebilir. Her iki durumda da fonksiyonun türevini almak gerekir.

Doğrusal fonksiyon formun bir fonksiyonudur

x-argümanı (bağımsız değişken),

y-fonksiyonu (bağımlı değişken),

k ve b bazı sabit sayılardır

Doğrusal bir fonksiyonun grafiği dümdüz.

Grafik oluşturmak için yeterli iki puan çünkü iki noktadan düz bir çizgi ve üstelik yalnızca bir çizgi çizebilirsiniz.

Eğer k˃0 ise grafik 1. ve 3. koordinat bölgelerinde yer alır. Eğer k˂0 ise grafik 2. ve 4. koordinat bölgelerinde yer alır.

k sayısına denir eğim y(x)=kx+b fonksiyonunun düz grafiği. Eğer k˃0 ise, y(x)= kx+b düz çizgisinin Ox pozitif yönüne olan eğim açısı dardır; k˂0 ise bu açı geniştir.

Katsayı b, grafiğin op-amp ekseni (0; b) ile kesişme noktasını gösterir.

y(x)=k∙x-- özel durum tipik fonksiyon doğru orantılılık denir. Grafik orijinden geçen düz bir çizgidir, dolayısıyla bu grafiği oluşturmak için bir nokta yeterlidir.

Doğrusal Bir Fonksiyonun Grafiği

Katsayısı k = 3 olduğunda, dolayısıyla

Fonksiyonun grafiği artacak ve dar açı eksenli Oh çünkü k katsayısı artı işaretine sahiptir.

OOF doğrusal fonksiyonu

Doğrusal bir fonksiyonun OPF'si

Şu durum hariç

Ayrıca formun doğrusal bir fonksiyonu

Genel formun bir fonksiyonudur.

B) k=0 ise; b≠0,

Bu durumda grafik Ox eksenine paralel ve (0; b) noktasından geçen düz bir çizgidir.

B) k≠0 ise; b≠0 ise doğrusal fonksiyon y(x)=k∙x+b formuna sahiptir.

Örnek 1 . y(x)= -2x+5 fonksiyonunun grafiğini çizin

Örnek 2 . y=3x+1, y=0; fonksiyonunun sıfırlarını bulalım.

– fonksiyonun sıfırları.

Cevap: veya (;0)

Örnek 3 . x=1 ve x=-1 için y=-x+3 fonksiyonunun değerini belirleyin

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Cevap: y_1=2; y_2=4.

Örnek 4 . Kesişme noktalarının koordinatlarını belirleyin veya grafiklerin kesişmediğini kanıtlayın. y 1 =10∙x-8 ve y 2 =-3∙x+5 fonksiyonları verilsin.

Fonksiyonların grafikleri kesişiyorsa fonksiyonların bu noktadaki değerleri eşittir

x=1'i yerine koyarsak, y 1 (1)=10∙1-8=2 olur.

Yorum. Ayrıca argümanın sonuç değerini y 2 =-3∙x+5 fonksiyonunda da yerine koyabilirsiniz, o zaman aynı cevabı y 2 (1)=-3∙1+5=2 elde ederiz.

y=2- kesişme noktasının koordinatı.

(1;2) - y=10x-8 ve y=-3x+5 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişme noktası.

Cevap: (1;2)

Örnek 5 .

y 1 (x)= x+3 ve y 2 (x)= x-1 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturun.

Her iki fonksiyon için de k=1 katsayısının olduğunu görebilirsiniz.

Yukarıdan, doğrusal bir fonksiyonun katsayıları eşitse, koordinat sistemindeki grafiklerinin paralel olduğu anlaşılmaktadır.

Örnek 6 .

Fonksiyonun iki grafiğini oluşturalım.

İlk grafikte formül var

İkinci grafikte formül var

Bu durumda elimizde (0;4) noktasında kesişen iki doğrunun grafiği var. Bu, eğer x = 0 ise grafiğin Ox ekseni üzerindeki yükselişinden sorumlu olan katsayı b anlamına gelir. Bu, her iki grafiğin b katsayısının 4'e eşit olduğunu varsayabileceğimiz anlamına gelir.

Editörler: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

"Bir fonksiyonun kritik noktaları" - Kritik noktalar. Kritik noktalar arasında ekstrem noktalar bulunmaktadır. Önkoşul ekstremum. Cevap: 2. Tanım. Ancak f"(x0) = 0 ise x0 noktasının bir uç nokta olmasına gerek yoktur. Ekstrem noktalar (tekrar). Fonksiyonun kritik noktaları. Ekstrem noktalar.

“Koordinat düzlemi 6. sınıf” - Matematik 6. sınıf. 1. X. 1. Koordinatları bulun ve yazın A, B noktaları, C,D: -6. Koordinat düzlemi. O.-3. 7.Ü.

“Fonksiyonlar ve grafikleri” - Süreklilik. En büyük ve en küçük değer işlevler. Konsept ters fonksiyon. Doğrusal. Logaritmik. Monoton. Eğer k > 0 ise oluşan açı akut eğer k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

“Fonksiyonlar 9. sınıf” - Kabul edilebilir aritmetik işlemler aşırı işlevler. [+] – toplama, [-] – çıkarma, [*] – çarpma, [:] – bölme. Böyle durumlarda konuşuruz grafik görevi işlevler. Eğitim sınıfı temel işlevler. Güç fonksiyonu y=x0,5. Iovlev Maxim Nikolaevich, RMOU Raduzhskaya Ortaokulu 9. sınıf öğrencisi.

“Ders Teğet Denklemi” - 1. Bir fonksiyonun grafiğine teğet kavramını açıklayın. Leibniz keyfi bir eğriye teğet çizme problemini değerlendirdi. y=f(x) FONKSİYONUNUN GRAFİĞİNE Teğet Bir Denklem Geliştirme Algoritması. Ders konusu: Test: Bir fonksiyonun türevini bulun. Teğet denklemi. Akı. 10. sınıf. Isaac Newton'un türev fonksiyonu dediği şeyin şifresini çözün.

“Bir fonksiyonun grafiğini oluşturun” - y=3cosx fonksiyonu verilir. y=m*sin x fonksiyonunun grafiği. Fonksiyonun grafiğini çizin. İçerik: Verilen fonksiyon: y=sin (x+?/2). y=cosx grafiğinin y ekseni boyunca uzatılması. Devam etmek için l'ye tıklayın. Fare düğmesi. y=cosx+1 fonksiyonu verildiğinde. Dikey olarak grafik yer değiştirmesi y=sinx. y=3sinx fonksiyonu verildiğinde. y=cosx grafiğinin yatay yer değiştirmesi.

Konuda toplam 25 sunum bulunmaktadır.

Talimatlar

Grafik, koordinatların orijininden geçen ve OX ekseni ile bir α açısı oluşturan düz bir çizgi ise (düz çizginin pozitif yarı eksen OX'a eğim açısı). Bu satırı tanımlayan fonksiyon y = kx biçiminde olacaktır. Orantılılık katsayısı k tan α'ya eşittir. Düz bir çizgi 2. ve 4. koordinat çeyreğinden geçerse, o zaman k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 ve fonksiyon artarsa ​​koordinat eksenlerine göre farklı konumlarda bulunan bir doğruyu temsil etsin. Bu doğrusal bir fonksiyondur ve y = kx + b formuna sahiptir; burada x ve y değişkenleri birinci kuvvettir ve k ve b pozitif ya da negatif olabilir. negatif değerler veya sıfıra eşittir. Doğru y = kx doğrusuna paraleldir ve |b| ekseninde kesilmektedir. birimler. Doğru apsis eksenine paralelse k = 0, ordinat ekseni ise denklem x = sabit şeklindedir.

Farklı çeyreklerde bulunan ve koordinatların orijinine göre simetrik olan iki daldan oluşan bir eğri hiperboldür. Bu grafik ters ilişki x'ten y değişkeni ve y = k/x denklemiyle tanımlanır. Burada k ≠ 0 orantılılık katsayısıdır. Ayrıca k > 0 ise fonksiyon azalır; eğer k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в koordinat açıları.

İkinci dereceden fonksiyon y = ax2 + bx + c formundadır; burada a, b ve c sabit miktarlardır ve a  0. b = c = 0 koşulu karşılanırsa fonksiyon denklemi y = ax2 ( gibi görünür) en basit durum) ve grafiği orijinden geçen bir paraboldür. y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği, fonksiyonun en basit durumuyla aynı forma sahiptir, ancak tepe noktası (OY ekseniyle kesişme noktası) orijinde yer almaz.

Grafik aynı zamanda bir paraboldür güç fonksiyonu, denklemle ifade edilir y = xⁿ, eğer n herhangi bir çift sayı ise. Eğer n herhangi ise tek sayı Böyle bir güç fonksiyonunun grafiği kübik bir parabol gibi görünecektir.
Eğer n herhangi bir ise fonksiyon denklemi şu şekli alır. Tek n için fonksiyonun grafiği bir hiperbol olacaktır ve çift n için dalları op eksenine göre simetrik olacaktır.

Geri dön okul yılları Fonksiyonlar detaylı olarak incelenerek grafikleri oluşturulmuştur. Ancak ne yazık ki pratikte bir fonksiyonun grafiğinin nasıl okunacağını ve sunulan çizimden tipinin nasıl bulunacağını öğretmiyorlar. Temel fonksiyon türlerini hatırlarsanız aslında oldukça basittir.

Talimatlar

Sunulan grafik, koordinatların orijininden geçen ve OX ekseni ile α açısı (bu, düz çizginin pozitif yarı eksene eğim açısıdır) ise, o zaman böyle bir düz çizgiyi tanımlayan fonksiyon şöyle olacaktır: y = kx olarak sunulur. Bu durumda orantı katsayısı k teğete eşit açı α.

Belirli bir doğru ikinci ve dördüncü koordinat çeyreğinden geçerse k 0'a eşit olur ve fonksiyon artar. Sunulan grafiğin koordinat eksenlerine göre herhangi bir şekilde konumlandırılmış düz bir çizgi olmasına izin verin. O zaman bunun işlevi grafikler y = kx + b formuyla temsil edilen doğrusal olacaktır, burada y ve x değişkenleri ilk sırada yer alır ve b ve k hem negatif hem de negatif alabilir pozitif değerler veya .

Doğru, y = kx grafiğine paralelse ve ordinat ekseninde b birimlerini kesiyorsa, denklem x = const biçimindedir, eğer grafik apsis eksenine paralelse, o zaman k = 0 olur.

Orijine göre simetrik ve farklı çeyreklerde bulunan iki daldan oluşan eğri bir çizgiye hiperbol denir. Böyle bir grafik, y değişkeninin x değişkenine ters bağımlılığını gösterir ve k'nin olmaması gereken y = k/x formundaki bir denklemle tanımlanır. sıfıra eşit bir katsayı olduğundan ters orantı. Ayrıca k'nin değeri sıfırdan büyük, fonksiyon azalıyor; eğer k sıfırdan az– artar.

Önerilen grafik orijinden geçen bir parabol ise, b = c = 0 koşuluna bağlı olarak fonksiyonu y = ax2 biçiminde olacaktır. Bu ikinci dereceden bir fonksiyonun en basit durumudur. Y = ax2 + bx + c formundaki bir fonksiyonun grafiği en basit durumla aynı forma sahip olacaktır, ancak tepe noktası (grafiğin ordinat ekseniyle kesiştiği nokta) orijinde olmayacaktır. Y = ax2 + bx + c formuyla temsil edilen ikinci dereceden bir fonksiyonda a, b ve c'nin değerleri sabittir, a ise sıfıra eşit değildir.

Bir parabol, yalnızca n'nin herhangi bir çift sayı olması durumunda, y = xⁿ formundaki bir denklemle ifade edilen bir kuvvet fonksiyonunun grafiği de olabilir. Eğer n'nin değeri tek bir sayı ise, böyle bir güç fonksiyonunun grafiği kübik bir parabol ile temsil edilecektir. N değişkeninin herhangi olması durumunda negatif sayı fonksiyonun denklemi formunu alır.

Konuyla ilgili video

Düzlemdeki kesinlikle herhangi bir noktanın koordinatı, iki miktarıyla belirlenir: apsis ekseni ve ordinat ekseni boyunca. Bu tür birçok noktanın toplanması fonksiyonun grafiğini temsil eder. Buradan X değerindeki değişime bağlı olarak Y değerinin nasıl değiştiğini görebilirsiniz. Ayrıca fonksiyonun hangi bölümde (aralıkta) arttığını, hangisinde azaldığını da belirleyebilirsiniz.

Talimatlar

Grafiği düz bir çizgi olan bir fonksiyon hakkında ne söyleyebilirsiniz? Bu çizginin koordinat başlangıç ​​noktasından (yani X ve Y değerlerinin 0'a eşit olduğu noktadan) geçip geçmediğine bakın. Eğer geçerse, böyle bir fonksiyon y = kx denklemiyle tanımlanır. K değeri ne kadar büyük olursa, bu düz çizginin ordinat eksenine o kadar yakın olacağını anlamak kolaydır. Ve Y ekseninin kendisi aslında sonsuzluğa karşılık gelir büyük önem taşıyan k.

Uygulamada görüldüğü gibi, ikinci dereceden bir fonksiyonun özellikleri ve grafikleri ile ilgili görevler ciddi zorluklara neden olur. Bu oldukça garip çünkü 8. sınıfta ikinci dereceden fonksiyonu inceliyorlar ve ardından 9. sınıfın ilk çeyreği boyunca parabolün özelliklerine "eziyet ediyorlar" ve çeşitli parametrelere göre grafiklerini oluşturuyorlar.

Bunun nedeni, öğrencileri parabol oluşturmaya zorlarken pratikte grafikleri "okumaya" zaman ayırmamaları, yani resimden alınan bilgileri kavrama pratiği yapmamalarıdır. Görünüşe göre, bir düzine kadar grafik oluşturduktan sonra akıllı bir öğrencinin formüldeki katsayılar arasındaki ilişkiyi kendisinin keşfedip formüle edeceği varsayılmaktadır. dış görünüş grafikler. Pratikte bu işe yaramıyor. Böyle bir genelleme için, dokuzuncu sınıf öğrencilerinin çoğunun elbette sahip olmadığı matematiksel mini araştırma konusunda ciddi bir deneyim gereklidir. Bu arada Devlet Müfettişliği, programı kullanarak katsayıların işaretlerini belirlemeyi teklif ediyor.

Okul çocuklarından imkansızı talep etmeyeceğiz ve sadece bu tür sorunları çözmek için algoritmalardan birini sunacağız.

Yani formun bir fonksiyonu y = eksen 2 + bx + c ikinci dereceden denir, grafiği bir paraboldür. Adından da anlaşılacağı gibi ana terim balta 2. yani A sıfıra eşit olmamalıdır, kalan katsayılar ( B Ve İle) sıfıra eşit olabilir.

Katsayılarının işaretlerinin bir parabolün görünümünü nasıl etkilediğini görelim.

Katsayı için en basit bağımlılık A. Çoğu okul çocuğu güvenle cevap verir: “eğer A> 0 ise parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir ve eğer A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

Bu durumda A = 0,5

Ve şimdi A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Bu durumda A = - 0,5

Katsayının etkisi İle Takip edilmesi de oldukça kolaydır. Bir fonksiyonun değerini bir noktada bulmak istediğimizi düşünelim. X= 0. Formülde sıfırı yerine koyun:

sen = A 0 2 + B 0 + C = C. Görünüşe göre y = c. yani İle parabolün y ekseniyle kesişme noktasının koordinatıdır. Genellikle bu noktayı grafikte bulmak kolaydır. Ve sıfırın üstünde mi yoksa altında mı olduğunu belirleyin. yani İle> 0 veya İle < 0.

İle > 0:

y = x 2 + 4x + 3

İle < 0

y = x 2 + 4x - 3

Buna göre eğer İle= 0 ise parabol mutlaka orijinden geçecektir:

y = x 2 + 4x

Parametreyle daha zor B. Onu bulacağımız nokta yalnızca şuna bağlı değildir: B ama aynı zamanda A. Burası parabolün tepesi. Apsis (eksen koordinatı) X) formülle bulunur x'te = - b/(2a). Böylece, b = - 2ax inç. Yani şu şekilde ilerliyoruz: Grafikte parabolün tepe noktasını buluyoruz, apsisinin işaretini belirliyoruz, yani sıfırın sağına bakıyoruz ( x giriş> 0) veya sola ( x giriş < 0) она лежит.

Ancak hepsi bu değil. Katsayının işaretine de dikkat etmemiz gerekiyor. A. Yani parabolün dallarının nereye yönlendirildiğine bakın. Ve ancak bundan sonra formüle göre b = - 2ax inç işareti belirlemek B.

Bir örneğe bakalım:

Dallar yukarı doğru yönlendirilir, yani A> 0, parabol eksenle kesişiyor en sıfırın altında yani İle < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x giriş> 0. Yani b = - 2ax inç = -++ = -. B < 0. Окончательно имеем: A > 0, B < 0, İle < 0.