İkinci dereceden denklemlere indirgenerek çözülebilecek çeşitli denklem sınıfları vardır. Böyle bir denklem iki ikinci dereceden denklemlerdir.
Biquadratic denklemler
Biquadratic denklemler- bunlar formun denklemleridir a*x^4 + b*x^2 + c = 0, a'nın 0'a eşit olmadığı yer.
Biquadratic denklemler x^2 =t ikamesi kullanılarak çözülür. Böyle bir ikameden sonra t için ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. a*t^2+b*t+c=0. Ortaya çıkan denklemi çözersek, genel durum t1 ve t2. Bu aşamada işe yararsa negatif kök t=x^2 aldığımızdan ve herhangi bir sayının karesi pozitif bir sayı olduğundan, bu çözümden çıkarılabilir.
Orijinal değişkenlere dönersek, x^2 =t1, x^2=t2 elde ederiz.
x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).
Küçük bir örneğe bakalım:
9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.
Şimdi t=x^2 değişimini tanıtalım. Daha sonra orijinal denklem aşağıdaki formu alacaktır:
9*t^2+5*t-4=0.
Haydi çözelim ikinci dereceden denklem herhangi biri bilinen yöntemler, şunu buluyoruz:
t1=4/9, t2=-1.
-1 kökü uygun değildir çünkü x^2 = -1 denklemi mantıklı değildir.
İkinci kök 4/9 kalır. Başlangıç değişkenlerine geçerek aşağıdaki denklemi elde ederiz:
x^2 = 4/9.
x1=-2/3, x2=2/3.
Bu denklemin çözümü olacaktır.
Cevap: x1=-2/3, x2=2/3.
İkinci dereceden denklemlere indirgenebilecek bir diğer denklem türü ise kesirli rasyonel denklemlerdir. Rasyonel denklemler, sol ve sağ tarafları eşit olan denklemlerdir. rasyonel ifadeler. Rasyonel bir denklemde sol veya sağ taraflar ise kesirli ifadeler o zaman böyle rasyonel bir denkleme kesirli denir.
Kesirli rasyonel denklemi çözme şeması
Kesirli çözümün genel şeması rasyonel denklem.
1. Denklemde yer alan tüm kesirlerin ortak paydasını bulun.
2. Denklemin her iki tarafını ortak bir paydayla çarpın.
3. Ortaya çıkan denklemin tamamını çözün.
4. Kökleri kontrol edin ve ortak paydayı ortadan kaldıranları hariç tutun.
Bir örneğe bakalım:
Kesirli rasyonel denklemi çözün: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
sadık kalacağız genel şema. Önce tüm kesirlerin ortak paydasını bulalım.
x*(x-5) elde ederiz.
Her kesri ortak bir paydayla çarpın ve elde edilen denklemin tamamını yazın.
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Ortaya çıkan denklemi basitleştirelim. Anlıyoruz,
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Kabul edilmiş basit indirgenmiş ikinci dereceden denklem. Bunu bilinen yöntemlerden herhangi biriyle çözersek, x=-2 ve x=5 köklerini elde ederiz. Şimdi elde edilen çözümleri kontrol ediyoruz. -2 ve 5 sayılarını ortak paydada değiştirin.
x=-2'de ortak payda x*(x-5) kaybolmaz, -2*(-2-5)=14. Bu, -2 sayısının orijinal kesirli rasyonel denklemin kökü olacağı anlamına gelir.
x=5 olduğunda ortak payda x*(x-5) olur sıfıra eşit. Dolayısıyla bu sayı orijinal kesirli rasyonel denklemin kökü değildir, çünkü sıfıra bölünme olacaktır.
Cevap: x=-2.
Biten işler
DERECE İŞLERİ
Çok şey geçti ve artık mezunsunuz, tabi ki tezinizi zamanında yazarsanız. Ama hayat öyle bir şey ki, öğrenci olmayı bıraktığınızda, çoğunu hiç denemediğiniz tüm öğrenci sevinçlerini kaybedeceğinizi, her şeyi erteleyeceğinizi ve daha sonraya erteleyeceğinizi ancak şimdi anlıyorsunuz. Şimdi de yetişmek yerine tezin üzerinde mi çalışıyorsun? Mükemmel bir çözüm var: İhtiyacınız olan tezi web sitemizden indirin - anında bol miktarda boş zamanınız olacak!
Tezler Kazakistan Cumhuriyeti'nin önde gelen üniversitelerinde başarıyla savunuldu.
İşin maliyeti 20.000 tenge'den başlıyor
DERS ÇALIŞMALARI
Kurs projesi ilk ciddi pratik çalışmadır. Gelişime hazırlık, dersin yazılmasıyla başlar. mezuniyet projeleri. Bir öğrenci bir konunun içeriğini doğru bir şekilde sunmayı öğrenirse kurs projesi ve doğru bir şekilde hazırlarsa, gelecekte ne rapor yazarken ne de hazırlarken sorun yaşamayacaktır. tezler veya başkalarının uygulanmasıyla pratik görevler. Bu tür öğrenci çalışmalarının yazılmasında öğrencilere yardımcı olmak ve hazırlık sırasında ortaya çıkan soruları açıklığa kavuşturmak için aslında bu bilgi bölümü oluşturulmuştur.
İşin maliyeti 2.500 tenge'den başlıyor
YÜKSEK LİSANS TEZLERİ
Şu anda daha yüksek eğitim kurumları Kazakistan ve BDT ülkelerinde yüksek öğrenim düzeyi çok yaygındır mesleki eğitim, bir lisans derecesinin ardından gelen bir yüksek lisans derecesidir. Yüksek lisans programında öğrenciler, dünyanın birçok ülkesinde lisans derecesinden daha fazla tanınan ve yabancı işverenler tarafından da tanınan bir yüksek lisans derecesi elde etme hedefiyle öğrenim görmektedir. Yüksek lisans programında çalışmanın sonucu savunmadır yüksek lisans tezi.
Size güncel analitik ve metinsel materyal sağlayacağız; fiyata 2 adet dahildir bilimsel makaleler ve soyut.
İşin maliyeti 35.000 tenge'den başlıyor
UYGULAMA RAPORLARI
Her türlü öğrenci stajını (eğitim, endüstri, mezuniyet öncesi) tamamladıktan sonra bir rapor gereklidir. Bu belge onay olacaktır pratik çalışmaöğrenci ve uygulama için bir değerlendirme oluşturmanın temeli. Genellikle stajla ilgili bir rapor hazırlamak için işletme hakkında bilgi toplamak ve analiz etmek, stajın yapıldığı kuruluşun yapısını ve çalışma rutinini dikkate almak ve bunları derlemek gerekir. takvim planı ve tanımlayın pratik aktiviteler.
Belirli bir işletmenin faaliyetlerinin özelliklerini dikkate alarak stajınız hakkında bir rapor yazmanıza yardımcı olacağız.
Denklemleri kullanarak problem çözmenin genel teorisi
Devam etmeden önce belirli türlerönce sorunları sıralayalım genel teori izin için çeşitli görevler denklemleri kullanma. Öncelikle ekonomi, geometri, fizik ve daha pek çok disiplindeki problemler denklemlere indirgenir. Genel prosedür Denklemleri kullanarak problemleri çözmek aşağıdaki gibidir:
- Sorun koşullarından aradığımız tüm miktarlar ve yardımcı miktarlar bizim için uygun değişkenlerle gösterilir. Çoğu zaman bu değişkenler son harfler Latin alfabesi.
- Verileri görevlerde kullanma sayısal değerler sözlü ilişkilerin yanı sıra bir veya daha fazla denklem derlenir (problemin koşullarına bağlı olarak).
- Ortaya çıkan denklemi veya sistemini çözüp “mantıksız” çözümleri atarlar. Örneğin, alanı bulmanız gerekiyorsa, o zaman negatif sayı, açıkça yabancı bir kök olacaktır.
- Son cevabı alıyoruz.
Cebirde örnek problem
Burada herhangi bir spesifik alana bağlı kalmadan ikinci dereceden denkleme indirgenen bir problem örneği vereceğiz.
Örnek 1
Böyle iki irrasyonel sayı bulun, kareleri toplanırsa sonuç beş olur ve bunlar birleştirildiğinde normal eklemeüçü birbiriyle.
Bu sayıları $x$ ve $y$ harfleriyle gösterelim. Problemin koşullarına göre $x^2+y^2=5$ ve $x+y=3$ olmak üzere iki denklem oluşturmak oldukça kolaydır. Bir tanesinin kare olduğunu görüyoruz. Bir çözüm bulmak için sistemi çözmeniz gerekir:
$\cases(x^2+y^2=5,\\x+y=3.)$
İlk önce ikinci $x$'dan ifade ediyoruz
İlkine ikame etme ve temel dönüşümleri gerçekleştirme
$(3-y)^2 +y^2=5$
$9-6y+y^2+y^2=5$
İkinci dereceden denklemin çözümüne geçtik. Bunu formüller kullanarak yapalım. Diskriminantı bulalım:
İlk kök
$y=\frac(3+\sqrt(17))(2)$
İkinci kök
$y=\frac(3-\sqrt(17))(2)$
İkinci değişkeni bulalım.
İlk kök için:
$x=3-\frac(3+\sqrt(17))(2)=\frac(3-\sqrt(17))(2)$
İkinci kök için:
$x=3-\frac(3-\sqrt(17))(2)=\frac(3+\sqrt(17))(2)$
Sayıların sırası bizim için önemli olmadığından bir çift sayı elde ederiz.
Cevap: $\frac(3-\sqrt(17))(2)$ ve $\frac(3+\sqrt(17))(2)$.
Fizikteki bir problem örneği
Fizikte ikinci dereceden bir denklemin çözümüne yol açan bir problem örneğini ele alalım.
Örnek 2
Sakin havada düzgün bir şekilde uçan bir helikopterin hızı 250 $ km/saattir. Üssünden 70$ km uzakta bulunan yangının olduğu yere uçması ve geri dönmesi gerekiyor. Bu sırada üsse doğru esen rüzgar helikopterin ormana doğru hareketini yavaşlatıyordu. Bu nedenle üsse 1 saat erken döndü. Rüzgar hızını bulun.
Rüzgar hızını $v$ ile gösterelim. Daha sonra helikopterin $250-v$ gerçek hızıyla ormana doğru uçacağını ve geriye doğru gerçek hızının $250+v$ olacağını elde ederiz. Oraya gidiş ve dönüş yolculuğunun süresini hesaplayalım.
$t_1=\frac(70)(250-v)$
$t_2=\frac(70)(250+v)$
Helikopter üsse 1$ saat erken döndüğüne göre,
$\frac(70)(250-v)-\frac(70)(250+v)=1$
Hadi verelim sol tarafİle ortak payda, orantı kuralını uygulayın ve temel dönüşümler yapın:
$\frac(17500+70v-17500+70v)((250-v)(250+v))=1$
$140v=62500-v^2$
$v^2+140v-62500=0$
Bu sorunu çözmek için ikinci dereceden bir denklem elde ettik. Hadi çözelim.
Bunu bir diskriminant kullanarak çözeceğiz:
$D=19600+250000=269600≈519^2$
Denklemin iki kökü vardır:
$v=\frac(-140-519)(2)=-329.5$ ve $v=\frac(-140+519)(2)=189.5$
Hızı aradığımız için (ki bu negatif olamaz), ilk kökün gereksiz olduğu açıktır.
Cevap: 189,5$
Geometride örnek problem
Geometride ikinci dereceden bir denklemin çözümüne yol açan bir problem örneğini ele alalım.
Örnek 3
Alanı bul dik üçgen, tatmin edici aşağıdaki koşullar: Hipotenüsü $25$'a eşittir ve kenarları $4$ ila $3$ oranındadır.
Gerekli alanı bulmak için bacakları bulmamız gerekiyor. Bacağın bir kısmını $x$ üzerinden işaretleyelim. Daha sonra bacakları bu değişken aracılığıyla ifade edersek uzunluklarının $4x$ ve $3x$'a eşit olduğunu buluruz. Böylece Pisagor teoreminden aşağıdaki ikinci dereceden denklemi oluşturabiliriz:
$(4x)^2+(3x)^2=625$
(Bacak negatif olamayacağı için kök $x=-5$ göz ardı edilebilir)
Bacakların sırasıyla $20$ ve $15$'a eşit olduğunu bulduk, bu da alan anlamına gelir
$S=\frac(1)(2)\cdot 20\cdot 15=150$
Ders #1
Ders türü: yeni materyal öğrenme dersi.
Ders formatı: konuşma.
Hedef:İkinci dereceden denklemlere indirgenmiş denklemleri çözme yeteneğini geliştirmek.
Görevler:
- öğrencilere denklem çözme yollarından birini tanıtmak;
- bu tür denklemleri çözme becerilerini geliştirmek;
- konuya ilginin oluşması ve mantıksal düşüncenin gelişimi için koşullar yaratmak;
- Eğitim sürecindeki katılımcılar arasında kişisel ve insani ilişkilerin sağlanması.
Ders planı:
1. Organizasyon anı.
3. Yeni materyalin incelenmesi.
4. Yeni malzemenin konsolidasyonu.
5. Ödev.
6. Ders özeti.
DERSİN İLERLEMESİ
1. Organizasyon anı
Öğretmen:“Arkadaşlar, bugün önemli ve ilginç konu"İkinci Dereceden Denklemlere İndirgenebilen Denklemler." İkinci dereceden denklem kavramını biliyorsunuz. Bu konu hakkında bildiklerimizi hatırlayalım."
Okul çocuklarına talimatlar verilir:
- Bu konuyla ilgili tanımları hatırlayın.
- Bilinen denklemleri çözme yöntemlerini hatırlayın.
- Buna "yakın" konulardaki görevleri tamamlarken karşılaştığınız zorlukları hatırlayın.
- Zorlukların üstesinden gelmenin yollarını unutmayın.
- Olası araştırma görevlerini ve bunları tamamlamanın yollarını düşünün.
- Daha önce çözülmüş problemlerin nerede uygulandığını hatırlayın.
Öğrenciler tam ikinci dereceden denklemin biçimini, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, tam ikinci dereceden denklem çözme koşullarını, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerini, tam denklem kavramını, derece kavramını hatırlar.
Öğretmen aşağıdaki denklemleri çözmeyi önerir (çiftler halinde çalışın):
a) x 2 – 10x + 21 = 0
b) 3x2 + 6x + 8 = 0
c) x (x – 1) + x 2 (x – 1) = 0
Öğrencilerden biri bu denklemlerin çözümünü yorumluyor.
3. Yeni materyal öğrenmek
Öğretmen aşağıdaki denklemi dikkate almayı ve çözmeyi önerir ( sorunlu görev):
(x 2 – 5x + 4) (x 2 – 5x + 6) = 120
Öğrenciler verilen bir denklemin derecesi hakkında konuşurlar ve bu çarpanların çarpılmasını önerirler. Ancak bu denklemde aynı terimleri fark eden öğrenciler var. Burada hangi çözüm yöntemi uygulanabilir?
Öğretmen öğrencileri ders kitabına (Yu. N. Makarychev “Cebir-9”, paragraf 11, s. 63) dönmeye ve bu denklemin çözümünü anlamaya davet eder. Sınıf iki gruba ayrılır. Çözüm yöntemini anlayan öğrenciler aşağıdaki görevleri yerine getirir:
a) (x 2 + 2x) (x 2 +2x + 2) = –1
b) (x 2 – 7) 2 – 4 (x 2 – 7) – 45 = 0,
geri kalanı çözüm algoritması Bu tür denklemleri çözün ve bir sonraki denklemin çözümünü öğretmenle birlikte analiz edin.
(2x 2 + 3) 2 – 12(2x 2 + 3) + 11 = 0.
Algoritma:
– yeni bir değişken girin;
– bu değişkeni içeren bir denklem oluşturun;
– denklemi çözün;
– bulunan kökleri ikameyle değiştirin;
– denklemi başlangıç değişkeniyle çözün;
– bulunan kökleri kontrol edin, cevabı yazın.
4. Yeni malzemenin konsolidasyonu
Çiftler halinde çalışın: “Güçlü” açıklar, “zayıf” tekrarlar, karar verir.
Denklemi çözün:
a) 9x3 – 27x2 = 0
b) x 4 – 13x 2 + 36 = 0
Öğretmen:"İkinci dereceden denklemleri çözmeyi başka nerede kullandığımızı hatırlayalım?"
Öğrenciler:“Eşitsizlikleri çözerken; bir fonksiyonun tanım tanım kümesini bulurken; Parametreli denklemleri çözerken.”
Öğretmen isteğe bağlı ödevler sunar. Sınıf 4 gruba ayrılır. Her grup kendi görevlerinin çözümünü açıklar.
a) Denklemi çözün:
b) Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun:
c) Hangi değerlerde A Denklemin kökleri yoktur:
d) Denklemi çözün: x + – 20 = 0.
5. Ödev
221(a, b, c), Sayı 222(a, b, c).
Öğretmen mesajların hazırlanmasını önerir:
1. " Tarihsel bilgi bu denklemlerin oluşturulması üzerine" (İnternetteki materyallere dayanarak).
2. Kvant dergisinin sayfalarındaki denklemleri çözme yöntemleri.
Görevler yaratıcı doğa Ayrı not defterlerinde istediğiniz gibi gerçekleştirin:
a) x 6 + 2x 4 – 3x 2 = 0
b) (x 2 + x) / (x 2 + x – 2) – (x 2 + x – 5) / (x 2 + x – 4) = 1
6. Ders özeti
Çocuklar derste yeni öğrendiklerini, hangi görevlerin zorluk çıkardığını, nerede uyguladıklarını, performanslarını nasıl değerlendirdiklerini anlatıyorlar.
Ders #2
Ders türü: Beceri ve yeteneklerin pekiştirilmesine ilişkin ders.
Ders formatı: ders atölyesi.
Hedef: Edinilen bilgileri pekiştirmek, bu konudaki denklemleri çözme yeteneğini geliştirmek.
Görevler:
- ikinci dereceden denklemlere indirgenmiş denklemleri çözme yeteneğini geliştirmek;
- bağımsız düşünme becerilerini geliştirmek;
- analiz yapma ve eksik bilgileri arama yeteneğini geliştirmek;
- Aktiviteyi, bağımsızlığı ve disiplini geliştirin.
Ders planı:
1. Organizasyon anı.
2. Öğrencilerin öznel deneyimlerinin güncellenmesi.
3. Sorun çözme.
4. Bağımsız çalışma.
5. Ödev.
6. Ders özeti.
DERSİN İLERLEMESİ
1. Organizasyon anı
Öğretmen:“Son derste ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen denklemleri öğrendik. Üçüncü ve dördüncü derece denklemlerin çözümüne hangi matematikçi katkıda bulundu?”
Mesajı hazırlayan öğrenci 16. yüzyıl İtalyan matematikçilerinden bahsediyor.
2. Öznel deneyimin gerçekleşmesi
1) Ödevleri kontrol etmek
Bir öğrenci tahtaya çağrılır ve evdekilere benzer denklemleri çözer:
a) (x 2 – 10) 2 – 3 (x 2 – 10) – 4 = 0
b) x 4 – 10 x 2 + 9 = 0
Şu anda bilgideki boşlukları kapatmak için "zayıf" öğrencilere kartlar veriliyor. “Zayıf” öğrenci “güçlü” öğrenciye çözümü yorumlar, “güçlü” öğrenci ise çözümü “+” veya “-” işaretleri ile işaretler.
2) Teorik materyalin tekrarı
Öğrencilerden aşağıdaki gibi bir tablo doldurmaları istenir:
Öğrenciler dersin sonundaki üçüncü sütunu doldururlar.
Panoda tamamlanan görev kontrol edilir. Tahtada örnek bir çözüm kalır.
3. Sorun çözme
Öğretmen iki denklem grubu seçeneği sunar. Sınıf iki gruba ayrılır. Biri modele göre görevleri yerine getirir, diğeri denklemleri çözmek için yeni yöntemler arar. Kararlar zorluklara neden oluyorsa, öğrenciler bir modele - akıl yürütmeye - başvurabilirler.
a) (2x 2 + 3) 2 – 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0 a) (5x – 63) (5 x – 18) = 550
b) x 4 – 4x 2 + 4 = 0 b) 2x 3 – 7 x 2 + 9 = 0
Birinci grup kendi çözümünü yorumlar, ikinci grup ise çözümü tepegözden kontrol ederek çözüm yöntemlerini yorumlar.
Öğretmen: Arkadaşlar, ilginç bir denkleme bakalım: (x 2 – 6 x – 9) 2 = x (x 2 – 4 x – 9).
– Bunu çözmek için hangi yöntemi önerirsiniz?
Öğrenciler problem problemini gruplar halinde tartışmaya başlarlar. Braketlerin açılmasını öneriyorlar, benzer terimler, dördüncü dereceden ve bölenler arasında bir cebirsel denklemin tamamını elde edin ücretsiz üye varsa bütün kökleri bulun; daha sonra bu denklemi çarpanlara ayırıp köklerini bulun.
Öğretmen çözüm algoritmasını onaylar ve başka bir çözüm yönteminin düşünülmesini önerir.
x 2 – 4x – 9 = t, sonra x 2 – 6x – 9 = t – 2x diyelim. t 2 – 5tx + 4x 2 = 0 denklemini elde edip t için çözüyoruz.
Orijinal denklem iki denklemden oluşan bir diziye ayrılır:
x 2 – 4 x – 9 = 4x x = – 1
x 2 – 4 x – 9 = x x = 9
x = (5 + 61)/2 x = (5 – 61)/2
4. Bağımsız çalışma
Öğrencilere aralarından seçim yapabilecekleri aşağıdaki denklemler sunulur:
a) x 4 – 6 x 2 + 5 = 0 a) (1 – y 2) + 7 (1 – y 2) + 12 = 0
b) (x 2 + x) 2 – 8 (x 2 + x) + 12 = 0 b) x 4 + 4 x 2 – 18 x 2 – 12 x + 9 = 0
c) x 6 + 27 x 4 – 28 = 0
Öğretmen her grubun denklemleri hakkında yorum yapar ve denklemin şu şekilde olduğuna dikkat çeker: c) noktası altındaÖğrencilerin bilgi ve becerilerini derinleştirmelerine olanak tanır.
Karbon kağıdı kullanılarak kağıt üzerinde bağımsız çalışma yapılır.
Öğrenciler dizüstü bilgisayarları değiştirdikten sonra çözümleri tepegöz aracılığıyla kontrol ederler.
5. Ödev
223(g, e, f), No. 224(a, b) veya No. 225, No. 226.
Yaratıcı görev.
Denklemin derecesini belirleyin ve bu denklem için Vieta formülünü türetin:
6. Ders özeti
Öğrenciler tablonun “Öğrendim” sütununu doldurmaya geri dönerler.
Ders #3
Ders türü: bilginin gözden geçirilmesi ve sistemleştirilmesi dersi.
Ders formatı: ders bir yarışmadır.
Dersin amacı: Bilgi ve becerilerinizi doğru bir şekilde değerlendirmeyi, yeteneklerinizi sunulan görevlerle doğru şekilde ilişkilendirmeyi öğrenin.
Görevler:
- bilginizi kapsamlı bir şekilde nasıl uygulayacağınızı öğretin;
- beceri ve yeteneklerin derinliğini ve gücünü belirlemek;
- terfi rasyonel organizasyon iş gücü;
- Faaliyeti ve bağımsızlığı teşvik edin.
Ders planı:
1. Organizasyon anı.
2. Öğrencilerin öznel deneyimlerinin güncellenmesi.
3. Sorun çözme.
4. Bağımsız çalışma.
5. Ödev.
6. Ders özeti.
DERSİN İLERLEMESİ
1. Organizasyon anı
Öğretmen:“Bugün alışılmadık bir ders, bir yarışma dersi yapacağız. İtalyan matematikçiler Fiori, N. Tartaglia, L. Ferrari, D. Cardano'yu son dersten zaten biliyorsunuz.
12 Şubat 1535'te Fiori ile N. Tartaglia arasında Tartaglia'nın parlak bir zafer kazandığı bilimsel bir düello gerçekleşti. İki saat içinde Fiori'nin önerdiği otuz sorunun tamamını çözdü, Fiori ise Tartaglia'nın tek bir sorununu çözemedi.
Bir derste kaç denklem çözebilirsiniz? Hangi yöntemleri seçmelisiniz? İtalyan matematikçiler size denklemlerini sunuyorlar.”
2. Öznel deneyimin gerçekleşmesi
Sözlü çalışma
1) – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 sayılarından hangisi denklemin kökleridir:
a) x 3 – x = 0 b) y 3 – 9 y = 0 c) y 3 + 4 y = 0?
– Üçüncü dereceden bir denklemin kaç çözümü olabilir?
– Bu denklemleri çözmek için hangi yöntemi kullanacaksınız?
2) Denklemin çözümünü kontrol edin. Yaptığınız hatayı bulun.
x 3 – 3x 2 + 4x – 12 = 0
x 2 (x – 3) + 4 (x – 3) = 0
(x – 3)(x 2 + 4) = 0
(x – 3)(x + 2)(x – 2) = 0
x = 3, x = – 2, x = 2.
Çiftler halinde çalışın. Öğrenciler denklemlerin nasıl çözüleceğini ve yaptıkları hataları açıklar.
Öğretmen:“Siz harikasınız! İtalyan matematikçilerin ilk görevini tamamladınız.”
3. Sorun çözme
Tahtadaki iki öğrenci:
a) Fonksiyonun grafiğinin koordinat eksenleri ile kesişme noktalarının koordinatlarını bulun: 
b) Denklemi çözün: 
Sınıftaki öğrenciler bir veya iki görevi tamamlamayı seçerler. Kuruldaki öğrenciler sürekli olarak eylemleri hakkında yorum yaparlar.
4. “Uçtan uca” bağımsız çalışma
Kart seti zorluk seviyesine göre ve cevap seçenekleriyle derlenmiştir.
1) x 4 – x 2 – 12 = 0
2) 16 x 3 – 32 x 2 – x + 2 = 0
3) (x 2 + 2 x) 2 – 7 (x 2 + 2 x) – 8 = 0
4) (x 2 + 3 x + 1) (x 2 + 3 x + 3) = – 1
5) x 4 + x 3 – 4 x 2 + x + 1 = 0
Olası cevaplar:
1) a) – 2;
2b) – 3; 3 c) çözüm yok
2) a) – 1/4;
1/4b) – 1/4; 1/4; 2c) 1/4; 2
3) a) – 4; 1;
5. Ödev
2b) –1; 1; – 4; 2 c) – 4; 2
4) a) – 2; – 1;. b) – 2; – 1; 1 c) 1; 2
5) a) – 1; (– 3 + 5) /2 b) 1; (– 3 – 5) /2 c) 1; (– 3 – 5)/2; (–3 + 5) /2.
Cebirde yazılı sınav için görevlerin toplanması: No. 72, No. 73 veya No. 76, No. 78.
Ek görev
x 4 + (a 2 – a + 1) x 2 – a 3 – a = 0 denklemine göre a parametresinin değerini belirleyin
Biquadratic denklemler
a) tek bir kökü vardır; b) iki farklı kökü vardır;
c) kökleri yoktur.
Denklemler ikinci dereceden indirgenmiştir.
Ön hazırlık
1) derse: ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen denklemlerin çözümüne yönelik yöntemlerin dikkate alınması;
2) eğitici: beceri eğitimi grup çalışması, bilinçli aktiviteöğrenciler;
3) gelişmekte: gelişim zihinsel aktiviteöğrenciler, öğrenciler arasındaki etkileşim becerileri, çalışılan gerçekleri genelleme yeteneği.
Teçhizat: Kartlardaki bulmaca ızgarası, kartlar, poster - seyahat planı, tahtadaki notlar, pozitif kod, karbon kopya.
Ders türü:Ülke çapında “Matematik” dersi gezisi.
Ders ilerlemesi
BEN. Organizasyon anı
İstasyon adlarının listelendiği gezi planı slaytta görüntülenir.
Bugün Matematik ülkesinde bir yolculuğa çıkacağız. Üçüncü ve dördüncü derece Denklemler şehrinde duralım, iki ikinci dereceden denklemlerle tanışmamıza devam edelim ve İtalyan matematikçiler hakkındaki raporları dinleyelim.
II. Ülkeyi dolaşmak "Matematik"
1. Bulmaca severler için istasyon.
Cevapların bulunduğu tablo, pozitif bir koda veya arka taraf tahtalar.
Her birinizin bulmaca tablosu ve soruları olan kartları var. Kartın altına yerleştirin boş sayfa ve bir karbon kopya. Cevaplarınızı yalnızca aday durum. Bulmacayı çözün, kartları verin ve kağıt üzerinde kendi kendine test yapın.
Yatay:
4. İfade nedir B 4 – 4ac katsayılı ikinci dereceden bir denklem için A, B, C? (Ayrımcı.)
6. Denklemin gerçek eşitliğe dönüştüğü değişkenin değeri. (Kök.)
8. Formun denklemi balta 4 + bx 2 + C = 0, burada A ≠ 0. (Bikad.)
9. Fransız matematikçi. (Viet.)
10. Sol ve sağ tarafları tam sayı ifadeleri olan bir denklem. (Tüm.)
11. Aynı kök kümesine sahip, tek değişkenli bir denklem. (Eş değer.)
Dikey:
1. Bir denklemin kökleri kümesi. (Çözüm.)
2. Denklemin çözümü Ah 2 = 0. (Sıfır.)
3. Değişken içeren eşitlik. (Denklem.)
5. Katsayılardan birinin olduğu ikinci dereceden denklem B veya C 0'a eşittir. (Eksik.)
7. Birinci katsayının olduğu ikinci dereceden denklem bire eşit. (Eklendi.)
2. İstasyon "Istoricheskaya".
Ev ödevlerini kontrol ediyorum.
Istoricheskaya istasyonunda sizlerleyiz. Büyük İtalyan matematikçiler hakkındaki öğrenci raporlarını dinleyeceğiz. Dikkatlice dinleyin. İlginç bir ekleme için “5” de alabilirsiniz.
Öğrenci. 16. yüzyılın İtalyan matematikçileri 3. ve 4. derece denklemlerin çözümü problemine büyük katkı sağladılar. N. Tartaglia, A. Fiore, D. Cardano, L. Ferrari ve diğerleri. 1535 yılında A. Fiore ile N. Tartaglia arasında, ikincisinin parlak bir zafer kazandığı bilimsel bir düello gerçekleşti. 2 saat içinde A. Fiore'nin önerdiği 30 problemi çözdü ve A. Fiore, N. Tartaglia'nın kendisine verdiği tek bir problemi bile çözemedi.
Öğretmen. Ekstralar var mı? İtalyan matematikçiler hakkında başka kim rapor hazırladı?
Öğrencilerin hazırladığı mesajlar dinlenir. Her mesaj 2-3 dakika sürecektir.
Öğretmen. Böylece N. Tartaglia 2 saatte 30 problemi çözdü. Kaç tane denklem çözebilirsin? Hangi çözümleri seçeceksiniz?
3. Denklemler Şehri ( sözlü kısım)
Burası sadece Denklemler şehri değil, üçüncü ve dördüncü derece denklemler şehri. Tüm soruları cevaplamanız gerekiyor. Sadece onlara cevap vererek devam edebilirsiniz.
Görev 1. Her grup için denklemleri nasıl çözersiniz?
1) X 3 – X = 0, X 3 + 9X = 0, X 4 – 4X 2 = 0, en 4 – 16 = 0.
2) 9en 3 - 18en 2 – y + 2 = 0, x 3 – 5X 2 + 16X – 80 = 0, 6en 4 – 3en 3 + 12en 2 – 6en = 0.
3) (en 2 – en + 1)(en 2 – en – 7) = 65, (X 2 + 2X) 2 – 2(X 2 + 2X) – 3 = 0,
(X 2 + X – 1)(X 2 + X + 2) = 40.
Cevaplar:
Grup 1) örnekleri en iyi şekilde ortak faktörü parantezlerden çıkararak veya kısaltılmış çarpma formülleri kullanarak çarpanlara ayırma yoluyla çözülür.
Grup 2) örnekleri en iyi şekilde gruplandırma ve çarpanlara ayırma yoluyla çözülür.
Grup 3) örnekleri, yeni bir değişken getirilerek ve ikinci dereceden bir denkleme geçilerek daha iyi çözülür.
Görev 2. Grup 1) görev 1 örneklerinde hangi faktörü parantezlerin dışına koyarsınız?
Cevaplar: X(X 2 – 1) = 0,
X(X 2 + 9) = 0,
X 2 (X 2 – 4) = 0.
Görev 3. Görev 1'in 2) grubu örneklerindeki terimleri nasıl gruplandırırsınız?
Cevaplar: (9en 3 – 18en 2) – (en – 2) = 0,
(X 3 – 5X 2) + (16X – 80) = 0,
(6en 4 – 3en 3) + (12en 2 – 6en) = 0.
Görev 4. Görev 1'in 3. gruptaki örneklerinde yeni bir değişkenle neyi belirtirsiniz?
Cevaplar: en 2 – en = T,
X 2 + 2X = T,
X 2 + X = T.
Görev 5. Bir polinomu nasıl çarpanlara ayırabilirsiniz? en 4 – 16 = 0?
Cevap: (en 2 – 4)(en 2 + 4) = (en – 2)(en + 2)(en 2 + 4) = 0.
4. Denklemler Şehri. Pratik kısım.
başa çıktın mı sözlü çalışma Denklemler şehrinde ve bu yolda daha da ileriye gitmek için yola çıktık ilginç şehir ve tanışmaya devam et ilginç denklemler.
Görev 6.
İki öğrenci tahtadaki görevleri aynı anda tamamlıyor.
A) Birinci öğrenci tahtada bir açıklama yaparak çözer.
9X 3 – 18X 2 – x + 2 = 0.
B) İkinci öğrenci denklemi sessizce çözer, ardından çözümü açıklar, sınıf dinler ve net olmayan bir şey varsa sorular sorar.
X 3 + X 2 – 4(X + 1) 2 = 0.
Görev 7. Denklemi çözün (eke bakın.)
Görev, seçeneklere göre bağımsız olarak tamamlanır. Daha önce öğretmenle birlikte yeni bir değişkenin tanıtılması için olası alternatifleri düşünürler. Ağızdan kontrol edildi.
SeçenekBEN.
(X 2 + 2X) 2 – 2(X 2 + 2X) – 3 = 0.
X 2 + 2X = T.
SeçenekII.
(X 2 – X + 1)(X 2 – X – 7) = 0.
Yeni bir değişken eklemek için ikame X 2 - X = T.
Görev 8.
Önceki denklemlerle daha erken başa çıkabilenler için ek bir görev.
(2X 2 + X – 1)(2X 2 + X – 4) + 2 = 0.
Yeni bir değişkenin tanıtılması için ikame 2 X 2 + X = T.
Görev 9. Denklemi çözün.
Öğrenciler oturdukları yerden çözümün gidişatını yorumluyorlar.
X 4 (X + 1) – 6X 2 (X + 1) + 5(X + 1) = 0.
Çözüm. Onu çıkaracağız ortak çarpan:
(X+ 1)(X 4 – 6X 2 + 5) = 0, dolayısıyla X+ 1 = 0 veya X 4 – 6X 2 + 5 = 0, yani veya X= -1 veya
X 4 – 6X 2 + 5 = 0. Son denklem iki ikinci derecedendir:
X 2 = T,
T 2 - 6 T + 5 = 0.
Teoreme göre, teoremin tersi Vieta T 1 + T 2 = 6, T 1 · T 2 = 5. Dolayısıyla T 1 =1, T 2 = 5. Yani X 2 = 1 veya X 2 = 5, dolayısıyla X 1,2 = ± 1, X 3,4 = ±.
Cevap:- 1, 1, -, .
Görev 10. Denklemi çözün.
İlk olarak öğretmen çözümü sınıfla tartışır. Öğrenci daha sonra tahtada örneğin bir kısmını çözer.
(X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 4) = 360.
Çözüm.Önce faktörleri gruplayalım:
((X + 1)(X+ 4)) · (( X + 2)(X + 3)) = 360,
(X 2 + 5X + 4)(X 2 + 5X + 6) = 360,
İzin vermek X 2 + 5X= T, Daha sonra ( T + 4) ( T + 6) = 360.
T 2 + 10T + 24 – 360 = 0,
T + 10T – 336 = 0,
D= 100 + 4 336 = 1444 = 38 2.
Nerede T 1 = = 14, T 2 = = - 24.
Araç, X 2 + 5X= 14 veya X 2 + 5X= -24, yani. X 2 + 5X– 14 = 0 veya X 2 + 5X + 24 = 0.
İkinci durumda D= 25 – 4 24 = -71
İlk durumda iki kök var X 1 = -7, X 2 = 2.
Cevap: - 7; 2.
Görev 11. Denklemi çözün. (Ek'e bakınız.)
En iki ikinci dereceden denklemleri 10 dakika içinde doğru çözen kişi “5” alacaktır. Öğrenciler bağımsız olarak çalışırlar ve ardından akran değerlendirmesi yaparlar.
A) X 4 – 5X 2 – 36 = 0,
B) en 4 – 6en 2 + 8 = 0,
c) 4 X 4 – 5X 2 + 1 = 0,
G) X 4 – 25X 2 + 144 = 0,
5 en 4 – 5en 2 + 2 = 0,
e) T 4 – 2T 2 – 3 = 0.
Görev 12. Hangi değerlerde A denklem T 2 + en+ 9 = 0, kökleri yok mu? (Ek'e bakınız.)
Bu örnek tekrarlama için.
5. Ana istasyon
Domashnyaya istasyonuna vardınız. Elde etmek Ev ödevi.
Görev 13.İtalyan matematikçilerin denklemini çözün:
(3X 2 + X – 4) 2 + 3X 2 + X= 4. (eke bakınız.)
Görev 14. A. Fiore ve N. Tartaglia tarafından önerilen 3-4 denklemi bulun ve çözün.
III. Dersi özetlemek.
Yolculuğumuz bitti. Her birinizin kaç tane denklem çözdüğünü sayın.
2 derste tüm sınıf denklemleri çözdü. Ders notları...
Başvuru
Çözümler
Görev 6.
A) Çözüm.
9X 2 (X – 2) – (X – 2) = 0,
(X – 2)(9X 2 – 1) = 0,
X– 2 = 0 veya 9 X 2 – 1 = 0,
X= 2 veya X 2 = , yani X 1,2 = ±.
Cevap: - ; ; 2.
B) Çözüm.
X 2 (X + 1) – 4(X + 1) 2 = 0,
(X + 1)(X 2 – 4X – 4) = 0,
X+ 1 = 0 veya X 2 – 4X – 4 = 0,
X= - 1 veya X 1,2 = = 2 .
Cevap: - 1; 2 - 2; 2 + 2.
Görev 7.
SeçenekBEN.
Çözüm. Yenisiyle değiştirme X 2 + 2X = T, Daha sonra:
T 2 – 2T – 3 = (T + 1)(T – 3) = 0.
X 2 + 2X= - 1 veya X 2 + 2X= 3,
X 2 + 2X+ 1 = 0 veya X 2 + 2X – 3 = 0,
(X+ 1) 2 = 0 veya ( X + 3)(X– 1) = 0.
Cevap: - 3; - 1, 1.
SeçenekII.
Çözüm. Yenisiyle değiştirme
