www.site bulmanızı sağlar. Hesaplamayı site gerçekleştirir. Birkaç saniye içinde sunucu yayınlanacak doğru karar. Matrisin karakteristik denklemi olacak cebirsel ifade, determinantın hesaplanmasına ilişkin kural tarafından bulunur matrisler matrisler ana köşegen boyunca çapraz elemanların ve değişkenin değerlerinde farklılıklar olacaktır. Hesaplarken çevrimiçi matris için karakteristik denklem, her bir öğe matrisler karşılık gelen diğer öğelerle çarpılacaktır matrisler. Modunda bul çevrimiçi yalnızca kare için mümkün matrisler. İşlem bulma çevrimiçi matris için karakteristik denklem hesaplamaya geliyor cebirsel toplam elementlerin ürünleri matrisler determinantın bulunması sonucunda matrisler yalnızca belirlemek amacıyla çevrimiçi matris için karakteristik denklem. Bu operasyon almak özel yer teoride matrisler, kökleri kullanarak özdeğerleri ve vektörleri bulmanızı sağlar. Bulmak görevi çevrimiçi matris için karakteristik denklemçoğalan unsurlardan oluşur matrisler ardından bu çarpımların toplanmasıyla belli bir kural. www.site bulur matris için karakteristik denklem modunda verilen boyut çevrimiçi. Hesaplama çevrimiçi matris için karakteristik denklem boyutu göz önüne alındığında, bu, determinantı hesaplama kuralına göre bulunan sayısal veya sembolik katsayılara sahip bir polinomun bulunmasıdır. matrisler- karşılık gelen elemanların çarpımlarının toplamı olarak matrisler yalnızca belirlemek amacıyla çevrimiçi matris için karakteristik denklem. İkinci dereceden bir değişken için bir değişkene göre polinom bulma matrisler tanım olarak matris için karakteristik denklem teoride ortak matrisler. Bir polinomun köklerinin anlamı çevrimiçi matris için karakteristik denklemözvektörleri belirlemek için kullanılır ve özdeğerlerİçin matrisler. Ayrıca eğer determinant matrisler sıfıra eşit olacak, o zaman matrisin karakteristik denklemi tersinin aksine hala var olacak matrisler. Hesaplamak için matris için karakteristik denklem veya aynı anda birkaçını bulun matris karakteristik denklemleri, çok fazla zaman ve çaba harcamanız gerekiyor, sunucumuz ise birkaç saniye içinde bulacaktır çevrimiçi matris için karakteristik denklem. Bu durumda bulmanın cevabı çevrimiçi matris için karakteristik denklem bulurken sayılar doğru ve yeterli doğrulukta olacaktır. çevrimiçi matris için karakteristik denklem mantıksız olacaktır. Web sitesinde www.siteÖğelerde karakter girişlerine izin verilir matrisler yani çevrimiçi matris için karakteristik denklem hesaplanırken genel sembolik formda gösterilebilir matrisin karakteristik denklemi çevrimiçi. Bulma problemini çözerken elde edilen cevabı kontrol etmekte fayda var. çevrimiçi matris için karakteristik denklem siteyi kullanma www.site. Bir polinom hesaplama işlemini gerçekleştirirken - matrisin karakteristik denklemi, bu sorunu çözerken dikkatli olmanız ve son derece odaklanmış olmanız gerekir. Buna karşılık sitemiz konuyla ilgili kararınızı kontrol etmenize yardımcı olacaktır. çevrimiçi bir matrisin karakteristik denklemi. Çözülmüş sorunları uzun süre kontrol etmek için zamanınız yoksa, o zaman www.site Kesinlikle bulurken ve hesaplarken kontrol etmek için uygun bir araç olacaktır. çevrimiçi matris için karakteristik denklem.
Tanım
Belirli bir matris için , burada e- kimlik matrisi bir polinomdur ve buna denir karakteristik polinom matrisler A(bazen “seküler denklem” de denir).
Karakteristik polinomun değeri şudur: özdeğerler matrisler onun kökleridir. Gerçekten de denklemin sıfırdan farklı bir çözümü varsa, matris tekildir ve determinantı sıfıra eşittir.
İlgili tanımlar
Özellikler
.Bağlantılar
- V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina. Yüksek matematik. Doğrusal cebir. - Ivanovo Devlet Enerji Üniversitesi.
Wikimedia Vakfı.
- 2010.
- Referans eğrisi
Harald III (Norveç Kralı)
Diğer sözlüklerde “Bir matrisin karakteristik polinomunun” ne olduğuna bakın: Karakteristik polinom - Matematikte, karakteristik bir polinom şu anlamlara gelebilir: bir matrisin karakteristik bir polinomu, doğrusal tekrarlayan bir dizinin karakteristik bir polinomu, sıradan bir matrisin karakteristik bir polinomu diferansiyel denklem
.… … Vikipedi KARAKTERİSTİK POLİNOMİ - K alanı üzerinde matrisler K alanı üzerinde polinomun derecesi X mertebesine eşittir. kare matris A, b1 katsayısı matrisin izine eşittir (b1 = tr A = a11+ a 22+ ... +a pp), katsayı b t. toplamına eşit inci mertebeden tüm majör reşit olmayanlar, özellikle bn=detA...
Matematik Ansiklopedisi Minimum matris polinomu - Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Minimum polinom. Minimum matris polinomu yok edici üniter polinom asgari derece
. Özellikler Minimal polinom, matrisin karakteristik polinomunu böler... ... Vikipedi Lambda matrisleri
- Ana madde: Matrislerin fonksiyonları Lambda matrisi (λ matrisi, polinom matrisi), elemanları belirli bir sayı alanı üzerinde polinom olan bir kare matristir. Eğer polinom olan bir matris elemanı varsa... Vikipedi MATRİS SPEKTRUMU inci mertebeden tüm majör reşit olmayanlar, özellikle bn=detA...
- özdeğerlerinin kümesi. Ayrıca bkz. Bir matrisin karakteristik polinomu...- Kırmızıyla belirtilmiştir özvektör. Maviden farklı olarak deformasyon sırasında yön ve uzunluk değiştirmedi, bu nedenle λ = 1 özdeğerine karşılık gelen bir özvektördür. Kırmızı vektöre paralel herhangi bir vektör... ... Vikipedi
Benzer matrisler- Aynı dereceden tekil olmayan bir P matrisi varsa, aynı mertebeden A ve B kare matrislerine benzer denir: Benzer matrisler aynı belirtilerek elde edilir doğrusal dönüşüm farklı matrisler... ... Vikipedi
Karakteristik matris
Karakteristik denklem- Karakteristik bir polinom, bir matrisin özdeğerlerini belirleyen bir polinomdur. Başka bir anlam: Doğrusal tekrarlayanın karakteristik polinomu bir polinomdur. İçindekiler 1 Tanım ... Vikipedi
Hamilton teoremi- Hamilton Cayley teoremi ünlü teorem William Hamilton ve Arthur Cayley'in adını taşıyan matris teorisinden. Hamilton Cayley teoremi Herhangi bir kare matris karakteristik denklemini karşılar. Eğer... Vikipedi
İzin vermek A- n'inci dereceden kare gerçek veya karmaşık matris. Matris
herhangi birini kabul eden A değişkeni ile sayısal değerler, isminde karakteristik matris matrisler A. Onun belirleyicisi
A dereceli bir değişkendeki bir polinomu temsil eder P. Bu polinom denir karakteristik polinom matrisler A.
Karakteristik polinomun aslında A değişkenindeki bir polinom olduğu gerçeği, doğrudan determinantın tanımından kaynaklanmaktadır. En yüksek derece, n'ye eşit, determinantın tüm terimleri arasında A - Eürün var
Determinantın geri kalan terimleri en az iki matris elemanı içermez A- A e A değişkenli ve bu nedenle daha yüksek olmayan bir dereceye sahip P - 2. Bu nedenle polinomun derecesi şuna eşittir: P.(5.9) çarpımının sadece karakteristik polinomun derecesini değil, aynı zamanda daha yüksek güçlere sahip iki terimini de belirlediğine dikkat edin.
Karakteristik polinomun serbest terimi A = 0'daki değeriyle çakışır ve şuna eşittir: |A - A e= |L|, yani matrisin determinantı A.
Yani matrisin karakteristik polinomu A emir Nşu şekle sahiptir (bkz. s.83 ve s.55):
Nerede Pk- matrisin A>'inci mertebesindeki ana küçüklerin toplamı A,özellikle, Pi= ac + «22 + - - +ftnn - matrisin ana köşegeninin elemanlarının toplamı A, bu matrisin izi denir ve Sp ile gösterilir Uygulama- determinant |L| matrisler A.
Karakteristik polinomun kökleri |bir - O isminde karakteristik kökler veya karakteristik sayılar matrisler A.Çokluk g'ye Bir karakteristik polinomdaki karakteristik kök A*'ya denir cebirsel çokluk bu kök. Herkesten bol miktarda karakteristik kökler Her karakteristik kökün çokluğu kadar tekrarlandığı matrislere denir A matrisinin spektrumu. Matrisin tüm karakteristik kökleri basitse (yani birim çokluğa sahipse), o zaman matrisin spektrumu denir. basit.
Vieta formüllerine göre karakteristik polinomun katsayıları karakteristik köklerle şu şekilde ilişkilidir:
Bu formüllerden özellikle sıklıkla kullanılan ilişkiler aşağıdaki gibidir:
Son eşitliğe göre, bir matrisin karakteristik polinomunun sıfır karakteristik kökleri vardır, ancak ve ancak bu matrisin determinantı sıfıra eşitse, yani. matris tekil olduğunda.
Örnek 5.5. Bir matrisin karakteristik polinomunu hesaplayın
Çözüm. Karakteristik polinomun tanımına uygun olarak şunu elde ederiz:
Eğer (5.10) formülünü kullanırsak, önce şunu buluruz:
ve sonra yaz
Karakteristik polinomu hesaplama yöntemleri için kitabın sonundaki eke bakın.
Teorem 5.7.Bu tür matrislerin karakteristik polinomları çakışır.
> Matrisler ise A Ve İÇİNDE benzer, o zaman bazı tekil olmayan matrisler için Q eşitlik geçerlidir İÇİNDE = Q~ l AQ. Buradan,
Keyfi bir polinoma
L değişkeni yerine bir kare matris kullanabilirsiniz A emir P. Sonuç olarak matrisi elde ederiz. P(A) = A'da p + a A p ~ 1 --
N----+ a n _ 1 A + a p E polinomun değeri denir P( L)
L'de = A. Belirli bir matris için ise A eşitlik doğrudur P(A)= O (polinomun değeri P( A) L = A sıfır matristir), o zaman A isminde matris, polinomun kökü P( A) ve P(A) polinomunun kendisi A matrisi tarafından yok edilen bir polinom.
Teorem 5.8. Her kare matris sıfırdan farklı bir polinomun köküdür.
> Tüm kare matrislerin kümesi N sahadan unsurlarla Rüzerinde doğrusal bir uzay var R boyutlar n 2. bunda doğrusal uzay en azından herhangi bir sistem n 2+1 elementler doğrusal olarak bağımlıdır. Bu nedenle sistem bir p , bir p -1 , ..., A, e itibaren p 2 + 1 matris doğrusal olarak bağımlıdır, yani. böyle bir sayı dizisi var ao, itibaren, ..., bir p 2 aynı anda kaybolmazlar, böylece eşitlik
Bu eşitlik şu anlama gelir: matris A polinomun köküdür
Teoremin ispatı aslında aşağıdaki ifadeden kaynaklanmaktadır.
Teorem 5.9 (Hamilton teoremi - Kaley).
Herhangi bir kare matris, karakteristik polinomunun köküdür.
Bu teoremi kanıtlamadan önce kavramı tanıtalım. X matrisleri- elemanları A değişkenindeki polinomlar olan bir matris. Herhangi bir A matrisi, katsayıları uygun düzendeki kare matrisler olan A değişkenindeki bir polinom olarak temsil edilebilir. Örneğin,
> İzin ver A- n'inci dereceden kare matris. Ek matrisi düşünün İLE matrise A - E. Onun unsurları cebirsel eklemeler determinantın unsurları | A - e|, derecesi polinomlardan daha yüksek olmayan P- 1. Yukarıda belirtildiği gibi matris İLEşeklinde temsil edilebilir
burada Ci, C2, ..., Cp- bazı sayısal matrisler. Birleşik matrisin ana özelliğine göre (bkz. Bölüm 3.S, Sonuç 3.2):
Bu eşitlikte, C matrisini toplam (5.11) ile, karakteristik polinomu ise toplam (5.10) ile değiştiririz. O zaman eşitliği elde ederiz
Eşitliğin her iki tarafındaki parantezlerin açılması ve katsayıların eşitlenmesi eşit derece L'den bir sistem elde ediyoruz N+ 1 eşitlikler: 
Sistemin ilk eşitliğini şu şekilde çarpalım: bir p, ikincisi - L p_1 vb. üzerinde, hayır eşitlik - açık bir, (p+ 1)'inci eşitlik - açık bir° = e:
Bu eşitlikleri sol tarafta topladığımızda sıfır matrisi, sağ tarafta ise ifadeyi elde ederiz.
Bu yüzden f(A) = 0. ?
5.6. Karakteristik ve minimal polinom
Baş katsayısı bire eşit olan ve matris tarafından yok edilen, minimum dereceden bir polinom 92(A) A, isminde minimum polinom bu matris.
Teorem 5 . 10 . A matrisi tarafından iptal edilen herhangi bir polinom, bu matrisin minimum polinomuna tamamen bölünebilir. Özellikle bir matrisin karakteristik polinomu, minimal polinomuna bölünür.
O Polinomu bölme P( A) kalanlı minimum polinom 9?(A)'ya: P( A) = 99(A) g(A) + g(A), burada g(A) polinomu 92(A) dereceden daha küçük bir dereceye sahiptir. A değişkenini bir matrisle değiştirmek A,şunu elde ederiz:
Çünkü P(A)= p(A) = 0 , Daha sonra G (A) = 0 . Ancak bu eşitlik ancak polinomun g (A) hükümsüz. Aksi takdirde minimal polinomun tanımıyla çelişki ortaya çıkar. Eşitlik G = 0 polinom anlamına gelir P( A), 92(A)'ya tamamen bölünebilir. ?
Sonuçlar 5 .1 . Bir matrisin minimal polinomunun herhangi bir kökü, karakteristik polinomunun köküdür.
O Teoremin ispatında belirtildiği gibi, karakteristik polinom /(A), minimal polinom 92(A) ile /(A) = 99(A) eşitliği ile ilişkilidir. Q(). Sonuç ifadesi bu eşitlikten çıkar. ?
Birkaç tane daha not edelim faydalı gerçekler(santimetre. [ 7 ], İle. 100 ).
Karakteristik polinom | A - O A matrisi ve onun minimal polinomu 92(A) şu ilişkiyle ilişkilidir:
Nerede Dn- 1 - en büyük ortak bölen matrisin tüm küçükleri A - A E, sahip (n - 1 )'inci sipariş.
Minimal polinom 92(A)'nın kökleri, karakteristik polinomun farklı kökleridir | A- A e ve eğer
nerede 1^ p'ye ^ t k: k = 1,2
Formül (5.12), matrisin minimum polinomunu bulmanızı sağlar. Minimal matris polinomunu oluşturmanın başka bir yolu aşağıda tartışılmaktadır (bkz. Bölüm 6.5).
Örnek 5.6. Bir matrisin minimum polinomunu bulun
Çözüm. Matris için önceki örneklerde A karakteristik polinom bulundu A - E= - A 3 + 2 L 2 + L - 2. Genel en büyük bölen D2 matrisin tüm ikinci dereceden küçükleri
küçükleri olduğundan bire eşittir
karşılıklı olarak basit. Bu yüzden
Örnek 5.7. Matrislerin karakteristik ve minimum polinomlarını bulun
Çözüm: Bir matris için A doğrudan hesaplama determinantın karakteristik polinomunu buluruz
Matrisin ikinci mertebesindeki tüm küçükleri yazalım A - A E:
Ortak en büyük bölen D2 tüm bu küçüklerin arasında A - 4 var. Bu nedenle, matrisin minimum polinomu Aşu forma sahiptir:
Dikkat D2 farklı bulunabilir. Aslında matriste ise A - E A = 4'ü yerine koyarsak matrisi elde ederiz
rütbe G - 1. Sonuç olarak, bu matrisin tüm ikinci dereceden küçükleri sıfıra eşittir. Bu, matrisin tüm ikinci dereceden küçüklerinin olduğu anlamına gelir A - L e A - 4'e bölünebilir ve bu küçüklerin tümü bölünemez daha yüksek derece binom A - 4, çünkü örneğin küçük
yalnızca bu binomun birinci kuvvetine bölünebilir. Sonuç olarak ?>2, A-4 faktörünün birinci kuvvetine dahildir. Diğer çarpanlar | A - A?^1,?>2'ye dahil değildir, çünkü örneğin az önce yazılan ikinci dereceden küçük onlara bölünemez. Bu nedenle Dg = A - 4.
Matris için A2 Ayrıca determinantı doğrudan hesaplayarak karakteristik polinomu buluruz.
ikinci dereceden küçükler
karşılıklı olarak basit. Bu yüzden D2 = 1 ve
Ele alınan örnek şunu göstermektedir: farklı matrisler aynı karakteristik fakat farklı minimal polinomlara sahip olabilir.
Belirli bir doğrusal operatörün farklı tabanlardaki matrislerinin benzer olduğu ve aynı karakteristik polinomlara sahip olduğu göz önüne alındığında, bu polinom olarak adlandırmak mantıklıdır. doğrusal bir operatörün karakteristik polinomu, ve kökleri doğrusal bir operatörün karakteristik kökleri.
Ayrıca aktarılan matrisin AT matris ile aynı şeye sahiptir A karakteristik polinomlar ve karakteristik sayılar.
Doğrusal operatörün özvektörleri ve özdeğerleri
A'nın doğrusal bir operatör olmasına izin verin. Numara aranır operatör özdeğeri A, eğer sıfırdan farklı bir vektör varsa, öyle ki A . Bu durumda vektör denir operatörün özvektörü A, kendi değerine karşılık gelir. Doğrusal bir operatör A'nın tüm özdeğerlerinin kümesine denir spektrum.
Doğrusal operatörün determinantı Ve detA'ya det denir A burada A, herhangi bir temelde A doğrusal operatörünün matrisidir. Polinom bağıl ben isminde operatörün karakteristik polinomu C. Baz seçimine bağlı değildir.
Denklem
isminde karakteristik(veya asırlık) operatör denklemi A.
Numarayı alabilmek için ben A operatörünün bir özdeğeri ise, bu sayının A operatörünün karakteristik denkleminin (7.7) kökü olması gerekli ve yeterlidir.
İçin birebir aynı operatör Tüm uzayın sıfır olmayan vektörleri özvektörlerdir (özdeğer ile, bire eşit). İçin sıfır operatör Tüm uzayın sıfır olmayan vektörleri özvektörlerdir (özdeğer ile, sıfıra eşit). En basit form, doğrusal bir operatörün matrisi tarafından alınır. N doğrusal bağımsız vektörler.
Teorem 7.2. Matris içinAdoğrusal operatör A tabanda köşegen olduğundan, taban vektörlerinin bu operatörün özvektörleri olması gerekli ve yeterlidir.
Ancak her doğrusal operatör N-boyutlu vektör uzayı sahip olmak N doğrusal bağımsız özvektörler. Özvektörlerin tabanına genellikle "öztaban" adı verilir. Özdeğerler olsun 
doğrusal operatör A farklıdır. Bu durumda karşılık gelen özvektörler doğrusal olarak bağımsızdır. Dolayısıyla bu durumda bir “kendi temeli” mevcuttur.
Yani, eğer doğrusal bir A operatörünün karakteristik polinomu N farklı kökler, daha sonra bazı temellerde matris A A operatörü köşegen bir forma sahiptir.
Doğrusal bir dönüşümün özvektörlerini bulurken, bunların keyfi bir faktöre kadar belirlendiği akılda tutulmalıdır; eğer bir vektör bir özvektör ise, o zaman vektör aynı zamanda bir özvektördür. Böylece, belirli bir doğrusal dönüşüm altında değişmeden kalan doğru yön veya uygun düz çizgi aslında belirlenir.
Karakteristik polinom
keyfi bir kare matris için 1 olarak tanımlanır) 
, burada aynı dereceden bir kimlik matrisi var.
Örnek.İçin :
Teorem.
Mecazi anlamda konuşursak, at katsayısı, ana köşegeninin elemanları üzerine inşa edilen matrisin inci mertebesindeki tüm küçüklerin toplanmasıyla elde edilir.
