Sembolik formda diferansiyel denklem
Klasik formda diferansiyel denklem
Homojen diferansiyel denklem
Karakteristik denklem
Karakteristik polinom
Aktarım işlevi
Kökler karakteristik denklem:
Diferansiyel denklemin genel çözümü
Kökler karmaşık ve ikili eşlenik olduğundan, geçiş sürecinin doğası monotonik değildir (salınımlı).
Karakteristik denklemin kökleri sol yarı düzlemdedir. Sistem stabildir.
Frekans transfer fonksiyonu veya karmaşık kazanç W(j), iki şekilde girilebilir:
1. Sinüzoidal (harmonik sinyal) yanıtı bularak.
2. Fourier dönüşümünü kullanma.
İlk yöntemle başlayalım ve üstel formda sunacağımız harmonik sinyale sistemin (2.2.1) tepkisini bulalım.
burada Xm ve genlik ve dairesel frekanstır.
O zamandan beri doğrusal sistem doğrusal olmayan bozulmalar yoksa, kararlı durumda çıkış aynı frekansta harmonik bir sinyale de sahip olacaktır. genel durum farklı genlik ve faza sahip, yani.
Genliği ve fazı belirlemek için, (2.4.11), (2.4.12) sinyallerinin ve türevlerinin ifadelerini diferansiyel denklemde ve ejt 0 ve ile indirgedikten sonra yerine koyarız. temel dönüşümler kimliği alıyoruz
Bu ilişkiler frekans transfer fonksiyonunun bir tanımı olarak düşünülebilir. İçerirler fiziksel anlam frekans transfer fonksiyonu ve bunlardan, giriş ve çıkıştaki harmonik sinyallerin genliklerinin ve aynı frekans için aralarındaki faz kaymasının ölçülmesi yoluyla deneysel olarak belirlenmesi için bir yöntem izlenir.
Frekans transfer fonksiyonunu belirlemenin ikinci yöntemi durumunda, (2.4.13) ve (2.2.15)'i karşılaştırın. Karşılaştırmadan şu sonuç çıkıyor: frekans transfer fonksiyonu p = j için Laplace transfer fonksiyonunun özel bir durumudur, yani
Laplace transfer fonksiyonu keyfi (herhangi) şekildeki sinyallere uygulanabildiğinden, frekans transfer fonksiyonu aynı zamanda bir sinyale verilen yanıtı bulmak için de uygulanabilir. serbest biçim ve mutlaka harmonik olması gerekmez. Reaksiyonun Fourier görüntüsü için (2.4.5)'ten elimizdeki
Reaksiyonun kendisi, yani orijinal, ters çevirme formülüne göre bulunur.
Dolayısıyla, frekans transfer fonksiyonunun ikinci tanımından, reaksiyonu bulmak için kullanılan frekans yöntemi (Fourier dönüşümü yöntemi) şu şekildedir:
1. Belirli bir giriş sinyali için görüntüyü Fourier kullanarak bulun
2. (2.4.16)'yı kullanarak reaksiyonun Fourier görüntüsünü bulun.
Y(j) = X(j)W(j). (2.4.20)
3. Tersine çevirme formülüne göre ( ters dönüşüm Fourier) reaksiyonu buluyoruz
Giriş sinyalinin bir bağlantı veya sistem tarafından dönüşümünün doğası, frekans transfer fonksiyonu veya karşılık gelen frekans özellikleri tarafından belirlenir. Frekans karakteristiklerinin türleri kayıt formlarıyla yakından ilgilidir. karmaşık sayılarçünkü frekans transfer fonksiyonu karmaşık bir sayıdır.
Ana frekans özellikleri (Şekil 2.4.3-2.4.6).
1. Genlik-faz karakteristiği (APC) - W(j)'nin bağımlılığı karmaşık düzlem-'den +'ya geçerken (Şek. 2.4.3). Wх() = Wх(-) olduğundan - eşit işlev, ve Wу() = Wу(-) - tek fonksiyon, ardından AFC için< 0 симметрична относительно вещественной оси характеристике для >0 ve genellikle tasvir edilmez.
2. Gerçek Wх() ve hayali Wу() frekans özellikleri (Şekil 2.4.4) - gerçek ve sanal parçaların frekansa bağımlılığı. Onlar için gerçek özelliğin eşitliği ile hayali özelliğin tuhaflığı akılda tutularak< 0 обычно не изображают. Четность Wх() и нечетность Wу() вытекают из правила (2.4.22) их выделения из W(j), так как в знаменателе четная функция, а в числителе j в четной степени - действительное число (отходит к Wх()), а в нечетной -мнимое (отходит к Wy()).
3. Genlik (AFC) ve faz (PFC) frekans özellikleri - A() ve ()'nin frekansa bağımlılığı (Şekil 2.4.5). A()'nın düzgünlüğü ve ()'nin tekliği nedeniyle, bunlar< 0 обычно не изображают. Амплитудная частотная характеристика определяет инерционность (пропускную способность) звена или системы. Фазовая частотная характеристика определяет величину фазового сдвига на соответствующей круговой частоте.
4. Ters frekans tepkisi W-1(j) = 1/ W(j). Kural (2.4.6)'ya göre kesrin genliğini ve argümanını (fazını) belirleyerek şunu buluruz:
Karmaşık sayıların yazım biçimleri arasındaki bağlantıdan, AFC'den Wх(), Wу() veya А(), ()'nin yanı sıra W-1(j) ve bunun tersini oluşturmanın mümkün olduğu sonucu çıkar. Şekil 2.4.6, Şekil 2.4.3'teki karakteristiğin ters karakteristiğini göstermektedir. Şekil birim yarıçaplı bir daireyi göstermektedir. Kural (2.4.22)'ye göre A() > 1'e karşılık gelen noktalar birim yarıçaplı bir çemberin içinde yer alır. A() = 1 noktası çemberin üzerinde kalır, ancak faz tersine (180°) değişir.
Ancak fiziksel fizibilite koşulunun sağlanmadığı bağlantılar dikkate alınır. Bu belli bir frekans aralığında geçerlidir. Bağlantının girişindeki sinyalin spektrumu bu aralığın dışına çıkarsa, yanıtta bağlantının transfer fonksiyonu tarafından sağlanmayan bozulmalar meydana gelecektir.
5. Logaritmik frekans özellikleri.
En yaygın kullanılan logaritmik özelliklerdir. Bunları açıklamak için frekans transfer fonksiyonunu üstel formda sunalım ve doğal logaritma itibaren:
Eşittir karmaşık ifade; gerçek kısmı modülün logaritması, hayali kısmı ise fazdır.
Pratikte alınır ondalık logaritma böylece logaritmik genlik (LAH) ve faz (LPH) özellikleri aşağıdaki ifadelerle belirlenir:
Grafiklerdeki apsis ekseni frekansı göstermektedir. logaritmik ölçek yani lg. Ancak doğrudan dairesel frekans değerlerinde sayısallaştırma yapılması tavsiye edilir ve işaretleme için Tablo 2.4.1'i kullanabilirsiniz. Değerler
Tablo 2.4.1
Genlik desibel cinsinden, faz ise derece cinsinden ölçülür. X eksenini doğrudan değerler (rad/s) cinsinden işaretlemek için üç ölçekten (temel, ikinci dereceden ve kübik) herhangi birini kullanabilirsiniz. sürgülü hesap cetveli(Şek.2.4.7).
D mm'yi on yıl olarak alırsak, örneğin 0,301 deka (= 2 rad/s'ye karşılık gelir) 0,301D mm olur, 1,301 deka (20 rad/s'ye karşılık gelir) D+0,301D mm olur, vb. . Böylece, 1'den 10'a kadar sayısallaştırmaya sahip noktalar on yıl kadar sağa kaydırılır ve 10'dan 100'e vb. sayısallaştırılır. (Şekil 2.4.7), orijinal konumdan bir on yıl sola kaydırın ve 0,1'den 1'e sayısallaştırın, vb.
2/1 = 10 ise frekanslar arasındaki mesafe bir onluğa (log10 = 1), 2/1 = 2 ise bir oktava eşittir.
log(= 0) = - olduğundan, = 0 noktası sonsuzda soldadır. Bu nedenle, ordinat ekseni ilgilenilen frekans aralığının grafikte yer alacağı herhangi bir yere çizilir. 20lg1 = 0 olduğundan, A()>1 ve L() ise L() > 0 olur< 0, если А() < 1. Если А() 0, то L() -.
Atalet bağlantısının LAC'sini ele alalım. Sahibiz
bir() = ; . (2.4.24)
Bağlantı frekansının 0 solunda, yani. 0 durumunda, 02'ye kıyasla 2 büyüklüğündeki radikalin işaretini ihmal ederiz. Daha sonra
L() 20lg(k). (2.4.25)
Sonuç olarak, 0'ın solunda asimptotik LAX, 20lg(k) yüksekliğinde yatay bir düz çizgidir. Eğer k = 1 ise bu düz çizgi frekans eksenine denk gelir.
Eşlenik frekansın (0) sağında, (0) log apsis ekseni boyunca çizildiğinden benzer şekilde -20 dB/dec eğime sahip düz bir çizgi elde ederiz.
L() 20lg(k) - 20lg, (2.4.26)
0 noktasında, tam (gerçek) karakteristiği aşağıdakine eşit asimptotik bir karakteristiğe değiştirmede bir hatamız var:
Lacc(0)=Lacc(0)+L(0),
O gerçek karakteristik 0 noktasında asimptotik olanın 3 dB altında bulunur. Uygulamada 3 dB'lik bir hata küçük kabul edilir ve dikkate alınmaz.
Bağlantıların logaritmik özellikleri
Tablo 2.4.6
Tablo 2.4.6'dan şu sonuç çıkıyor:
1. Düşük frekanslarda eğim ve buna bağlı olarak faz kayması ancak entegre veya farklılaştırıcı bağlantılar ile sağlanabilir. Örneğin, transfer fonksiyonunda r entegre bağlantı varsa, o zaman LAC'nin düşük frekanslardaki eğimi eşittir ve faz kayması da buna karşılık gelir.
2. Paydanın n kökleri (transfer fonksiyonunun kutupları), yani. n paydasının derecesi, yüksek frekanslarda LAC'nin eğimine karşılık gelir, buna eşit ve minimum faz sistemi durumunda - buna göre faz kayması yüksek frekanslar ah, eşittir.
3. Yüksek frekanslardaki payın kökleri (transfer fonksiyonunun sıfırları) benzer şekilde LAC'nin eğimine, eşittir ve faz kaymasına karşılık gelir.
4. Transfer fonksiyonu durumunda
n kutuplu ve n1 sıfırlı minimum faz sisteminde, yüksek frekanslarda LAC'ın eğimi eşittir ve faz kayması dereceye eşittir.
Sistemlerin logaritmik özelliklerinin oluşturulması
ve LAX'e göre transfer fonksiyonunun restorasyonu
Sistemin bağlantıları seri olarak bağlanmışsa, o zaman
ve açık döngü sisteminin karmaşık kazancının modülü ve argümanı için sırasıyla:
Açıkça,
Sonuç olarak, LAC ve LFC'yi oluşturmak için bireysel bağlantıların karşılık gelen özelliklerini toplamak gerekir.
Örnek 2.4.3. Transfer fonksiyonunu kullanarak LAC ve LFC'yi oluşturun
Nerede; İle; İle. Buna göre bağlantı frekansları eşittir; ;.
Transfer fonksiyonunu entegre bağlantının transfer fonksiyonlarının bir ürünü olarak temsil edelim.
eylemsiz bağlantılar
ve zorlamak
Logaritmik genlik ve faz özellikleri bireysel bağlantıların yanı sıra ortaya çıkan LAC ve LFC sistemleri Şekil 2.4.13 ve 2.4.14'te gösterilmektedir.
Şekil 2.4.13'te kalın çizgiler bağlantıların asimptotik LAC'sini göstermektedir. Transfer fonksiyonları ve grafiklerdeki iki eylemsiz bağlantının özellikleri birleşir, ancak bunların iki kez dikkate alınması gerekir. Bu aynı zamanda bu birimlerin fiziksel yönetimi için de geçerlidir. Ortaya çıkan LAC'ı oluşturmak için, kalan bağlantıların özellikleri, eşlenik frekanslar buluştukça frekans ekseni boyunca soldan sağa doğru hareket ederken entegre bağlantının LAC'sine sırayla eklendi. Bir sonraki birleştirme frekansından sonra LAC'ın eğimi değişti. Eğim artışı, eşleşme frekansının ait olduğu bağlantıya karşılık geldi.
Örneğin sonuçlarını ve tipik bağlantıların özelliklerini analiz ederek (Tablo 2.4.6), bir açık döngü sisteminin LAC'sinin, bağlantıların LAC'sinin ara yapısını ve bunların toplamını atlayarak hemen oluşturulabileceği sonucuna varabiliriz. kurala göre:
1. Eşlenik frekansları bulun ve bunları frekans eksenine çizin. Kolaylık sağlamak için y eksenini en düşük eşlenik frekansın soluna çizin.
2. u = 1'de, 20 logk'yi bir kenara koyun ve bu nokta boyunca, eğer sistem entegre bağlantılara sahipse -20 dB/dec'lik bir eğime sahip veya eğer sistem entegre bağlantılara sahipse +20 dB/dec'lik bir eğime sahip düz bir çizgi çizin. farklılaştırıcı bağlantılara sahiptir (= 0 düşük frekansta LAX asimptotu x eksenine paraleldir).
3. Her bir kuplaj frekansının soldan sağa geçişi sırasında, karakteristik -20 dB/dec (ataletsel bağlantı için), -40 dB/dec (salınımlı bağlantı için), +20 dB/'lik bir eğim artışı yaşar. dec (zorlama bağlantısı için), +40 dB /dec (salınımlı olanın karşısındaki bağlantı için). Birkaç bağlantının bağlantı frekansları aynıysa LAC eğimindeki artış, tüm bağlantılardaki toplam artışa eşittir. Birden küçük en az bir konjugasyon frekansı varsa, u = 1'deki 20lgk noktası sonuçtaki LAC üzerinde yer almayacaktır.
4. Salınımlı veya ters bağlantıların varlığında asimptotik LAC'ye bir düzeltme uygulayın.
LAC ve LFC yapısının doğruluğunu kontrol etmek için, yüksek frekans bölgesindeki (n > ?) LAC eğiminin 20 (m-n) dB/dec'e eşit olduğunu hatırlamakta fayda var; burada m sırayı gösterir. payın değeri, n sistem transfer fonksiyonunun paydasının mertebesidir. Ayrıca
burada entegre bağlantıların varlığında eksi işareti, farklılaştırıcı bağlantıların varlığında artı işareti alınır. LAC'yi transfer fonksiyonundan oluşturmaya yönelik metodolojinin analizinden, ters bir geçiş olasılığı, yani minimum fazlı sistemin transfer fonksiyonunun LAC'den geri yüklenmesi takip eder.
Minimum fazlı bir sistemin transfer fonksiyonunu LAC'a göre geri yüklerken, payını koyduğumuz kesiri yazıyoruz. genel katsayı güçlendiriyoruz ve ardından fraksiyonun dolgusunu yapıyoruz. Düşük frekans bölümünün eğimine bağlı olarak, entegre veya farklılaşan bağlantıların sayısını belirleriz (resmi olarak, negatif bir eğim entegre bağlantılara karşılık gelir ve buna göre paydadaki bir çarpan, pozitif bir eğim paydaki bir çarpana karşılık gelir) ve eğim faktörü 20 desibeldir). Sıfır eğim durumunda hiçbir bütünleştirici veya farklılaştırıcı bağlantı yoktur. Daha sonra, soldan sağa hareket ederken, konjugasyon frekansları buluştukça eğimin artışını (değişimini) analiz ederiz. Artış +20 dB/dec ise tipin forcing link payını, -20 dB/dec ise tipin atalet link payını yazıyoruz. +40 dB/dec'lik bir eğim artışı durumunda paydaya iki zorlayıcı bağlantı yazıyoruz; -20 dB/dec'lik bir eğim artışı durumunda paydaya formun iki atalet bağlantısını yazıyoruz. LAX sönümleme katsayısı için bir düzeltme gösterirse, o zaman iki zorlayıcı veya eylemsiz bağlantı yerine salınımlı veya salınımlı bağlantının (pay veya paydada bir çarpan) tersini yazarız. Eğim oranı 3 veya daha fazla ise, aynı konjugasyon frekanslarına sahip karşılık gelen bağlantı sayısını yazın. Kazancı belirlemek için, LAC'ın düşük frekanslı bölümünün devamının apsis ile dikey düz çizgi ile kesişme noktasını buluyoruz ve bu noktanın ordinatını kullanarak belirliyoruz.
Yukarıda belirtilen binom ve trinomiyallerde minimum faz sistemi olması durumunda “+” işaretini alıyoruz. Minimum fazlı olmayan bağlantılar olsaydı, “-“ işaretini almak gerekli olurdu. Bu durumda LAH aynı kalacak, LPH ise farklı olacaktır. Bu nedenle minimum fazlı sistem durumunda geri kazanım kesindir ve AFC'nin kontrol edilmesine gerek yoktur.
Örnek 2.4.4. Minimum faz sisteminin transfer fonksiyonunu LAC Şekil 2.4.15'e göre geri yükleyin.
Şekil 2.4.15.
Yukarıdaki hususlara uygun olarak, minimum faz sisteminin transfer fonksiyonu şuna eşit olacaktır:
Görev 1'in RLC devresini kullanarak frekans aktarım fonksiyonunu yazın ve analitik ifadeler frekans özellikleri.
5. Genlik-faz karakteristiğini (APC) oluşturun.
6. Genlik ve faz frekans karakteristiklerini oluşturun.
7. Gerçek ve sanal frekans karakteristiklerini oluşturabilecektir.
8. Logaritmik özellikleri (LAX ve LFC) oluşturun. Bu bağlantının hangi tür düzeltici bağlantılara ait olduğunu belirleyin (entegre edici, farklılaştırıcı, bütünleyici-farklılaştırıcı). Bu filtre hangi frekanslardadır?
9. AFC'yi kullanarak ters frekans tepkisini oluşturun.
Parametrik formda frekans aktarım fonksiyonu
Genlik frekans yanıtı
Faz frekans yanıtı
Gerçek frekans yanıtı
Devrenin serbest modu enerji kaynaklarına bağlı değildir, yalnızca devrenin yapısı ve elemanlarının parametreleri ile belirlenir. Bundan p1, p2,…, pn karakteristik denkleminin köklerinin herkes için aynı olacağı sonucu çıkar. değişken fonksiyonlar(akımlar ve gerilimler).
Karakteristik denklem yapılabilir çeşitli yöntemler. İlk yöntem, karakteristik denklemin kesinlikle diferansiyel denkleme uygun olarak derlendiği klasik yöntemdir. klasik şema. Karmaşık bir devrede geçici süreçleri hesaplarken, anahtarlamadan sonra devre şeması için Kirchhoff yasalarına göre bir "m" diferansiyel denklem sistemi derlenir. Karakteristik denklemin kökleri tüm değişkenler için ortak olduğundan sistemin çözümü diferansiyel denklemler herhangi bir değişkene göre gerçekleştirilir (isteğe bağlı). Çözüm sonucunda tek değişkenli homojen olmayan bir diferansiyel denklem elde edilir. Ortaya çıkan diferansiyel denkleme göre bir karakteristik denklem oluşturun ve köklerini belirleyin.
Örnek. Şekil 2'deki diyagramdaki değişkenler için karakteristik bir denklem çizin ve köklerini belirleyin. 59.1. Elemanların parametreleri genel bir biçimde belirtilir.
Kirchhoff yasalarına göre diferansiyel denklem sistemi:
i3 değişkeni için denklem sistemini çözelim, bunun sonucunda homojen olmayan bir diferansiyel denklem elde ederiz:
Karakteristik bir denklem derlemenin ikinci yolu, serbest bileşen değişkenleri için Kirchhoff denklem sisteminin ana determinantını sıfıra eşitlemektir.
Rastgele bir akımın serbest bileşeninin i ksw = A k e pt formuna sahip olmasına izin verin, o zaman:
Serbest bileşenler için denklem sistemi, değişkenlerin türevlerinin p faktörü ve integrallerin 1/p ile değiştirilmesiyle Kirchhoff diferansiyel denklem sisteminden elde edilir. Söz konusu örnek için, serbest bileşenlere ilişkin denklem sistemi şu şekildedir:
Karakteristik denklem ve kökü:
Karakteristik bir denklem (mühendislik) derlemenin üçüncü yolu, devrenin giriş operatörünün direncini herhangi bir dalına göre sıfıra eşitlemektir.
Bir elemanın operatör direnci, jω faktörünün p ile değiştirilmesiyle karmaşık direncinden elde edilir, dolayısıyla
Söz konusu örnek için:
Üçüncü yöntem en basit ve en ekonomik olanıdır, bu nedenle en çok elektrik devrelerindeki geçici süreçleri hesaplarken kullanılır.
Karakteristik denklemin kökleri, enerji kaynağı olmayan bir devredeki serbest geçici süreci karakterize eder. Bu süreç enerji kayıpları ile meydana gelir ve dolayısıyla zamanla bozunur. Bundan, karakteristik denklemin köklerinin negatif olması veya negatif bir gerçek kısma sahip olması gerektiği sonucu çıkar.
Genel durumda, devredeki geçici süreci tanımlayan diferansiyel denklemin sırası ve dolayısıyla karakteristik denklemin derecesi ve köklerinin sayısı, bağımsız başlangıç koşullarının sayısına veya bunların sayısına eşittir. bağımsız enerji depolama cihazları (bobinler L ve kapasitörler C). Devre şeması paralel bağlı kapasitörler C1, C2,... veya seri bağlı bobinler L1, L2,... içeriyorsa, geçici süreçleri hesaplarken bunların eşdeğer bir C E = C1 + C2+... elemanı ile değiştirilmesi gerekir. veya LE = L1 + L2+…
Böylece, genel görünüm Geçici bir süreci hesaplarken herhangi bir değişken için çözümler, bir diferansiyel denklem sistemini derlemeden ve çözmeden yalnızca devre şemasının analizinden derlenebilir.
Yukarıda tartışılan örnek için.
Bir adi diferansiyel denklemler sisteminin (SODE) matris gösterimi sabit katsayılar
Sabit katsayılı doğrusal homojen SODE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_ (n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right $,
burada $y_(1)\left(x\right),\; y_(2)\sol(x\sağ),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- bağımsız değişken $x$'ın gerekli fonksiyonları, katsayılar $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- verilen gerçek sayıları matris gösteriminde temsil ediyoruz:
- gerekli fonksiyonların matrisi $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
- türev çözümlerin matrisi $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
- SODE katsayı matrisi $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.
Şimdi, matris çarpımı kuralına dayanarak, bu SODE $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$ matris denklemi biçiminde yazılabilir.
SODE'yi sabit katsayılarla çözmek için genel yöntem
Bazı sayıların bir matrisi olsun $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n)) ) \end(array)\right)$.
SODE'nin çözümü şu biçimde bulunur: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. İÇİNDE matris formu: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n)) ) \end(array)\right )=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _(n) ) \end(array)\right)$.
Buradan şunu anlıyoruz:
Şimdi matris denklemi Bu SODA şu şekilde verilebilir:
Ortaya çıkan denklem aşağıdaki gibi temsil edilebilir:
Son eşitlik, $\alpha $ vektörünün, $A$ matrisi kullanılarak $k\cdot \alpha $ paralel vektörüne dönüştürüldüğünü gösterir. Bu, $\alpha $ vektörünün şu şekilde olduğu anlamına gelir: özvektör matris $A$, karşılık gelen özdeğer$k$.
$k$ sayısı $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) denkleminden belirlenebilir \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.
Bu denkleme karakteristik denir.
Karakteristik denklemin $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ köklerinin tümü farklı olsun. Sistemdeki her $k_(i) $ değeri için $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ bir değerler matrisi tanımlanabilir $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i) \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.
Bu matristeki değerlerden biri rastgele seçilir.
Son olarak bu sistemin matris formundaki çözümü şu şekilde yazılır:
$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x)) ) \end(array)\right)$,
burada $C_(i) $ isteğe bağlı sabitlerdir.
Görev
DE sistemini çözün $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_) ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right $.
Sistem matrisini yazıyoruz: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.
Matris formunda bu SODE şu şekilde yazılır: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (dizi)\sağ)=\left(\begin(dizi)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(dizi)\sağ)\cdot \left( \begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.
Karakteristik denklemi elde ederiz:
$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, yani $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.
Karakteristik denklemin kökleri şöyledir: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.
$\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left() hesaplamak için bir sistem oluşturalım 1\ right)) ) \end(array)\right)$, $k_(1) =1$ için:
\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (dizi)\sağ)=0,\]
yani, $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) )) =0$.
$\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$ koyarak, $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$ elde ederiz.
$\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left() hesaplamak için bir sistem oluşturalım 2\ right)) ) \end(array)\right)$, $k_(2) =9$ için:
\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (dizi)\sağ)=0, \]
yani, $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) )) =0$.
$\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$ koyarak, $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$ elde ederiz.
SODE'nin çözümünü matris formunda elde ediyoruz:
\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x)) ) \end(array)\right).\]
Her zamanki formda, SODE'nin çözümü şu şekildedir: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x)) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x )) ) \end(array )\right.$.
