Sanat sorunuzu yanıtlıyor. 152.1 Rusya Federasyonu Medeni Kanunu:
1. Bir vatandaşın görselinin (fotoğrafı, video kayıtları veya tasvir edildiği güzel sanat eserleri dahil) ifşa edilmesine ve daha fazla kullanılmasına yalnızca bu vatandaşın rızası ile izin verilir. Bir vatandaşın ölümünden sonra imajı ancak çocukların ve hayatta kalan eşinin rızasıyla, onların yokluğunda ise ebeveynlerin rızasıyla kullanılabilir.
Aşağıdaki durumlarda böyle bir onay gerekli değildir:
1) görüntünün devlet, kamu veya diğer kamu çıkarları için kullanılması;
2) halka açık yerlerde veya açık havada gerçekleştirilen çekimler sırasında bir vatandaşın görüntüsü elde edildi Halka açık olaylar(toplantılar, kongreler, konferanslar, konserler, gösteriler, spor müsabakaları ve benzeri etkinlikler), bu tür bir görselin ana kullanım amacı olduğu durumlar hariç;
3) Vatandaş ücret karşılığında poz verdi.
2. 1. paragrafı ihlal ederek elde edilen veya kullanılan bir vatandaşın resmini içeren, dolaşımdaki maddi medyanın kopyalarının yanı sıra sivil dolaşıma sokmak amacıyla üretilmiştir. bu makalenin tabi mahkeme kararı herhangi bir tazminat ödenmeksizin dolaşımdan çekilme ve imha.
3. Bu maddenin 1. paragrafına aykırı olarak elde edilen veya kullanılan bir vatandaşın görseli internette dağıtılırsa, vatandaş bu görselin kaldırılmasını, ayrıca daha fazla yayınlanmasının engellenmesini veya yasaklanmasını talep etme hakkına sahiptir. dağıtım.
Buradaki durum biraz gerektiriyor hukuk okuryazarlığı senden bile değil, hakimden. Gördüğünüz gibi sizi koruyan birinci ve dördüncü paragraflar var. Çeşitli türler eğer istemezsen taahhüt eder. Aynı zamanda çok geniş bir yorumu olan ikinci bir paragraf var ve bunun sonucunda aslında yerlerin% 90'ında kayıt yapılabileceği ortaya çıkıyor. ANCAK! Kanun koyucunun bu istisna paragrafını özellikle şu amaçla getirdiğini anlamalısınız: belirtilen yerler Olası suçları kaydetmek için video gözetimi yapmak mümkündü.
Özellikle insanların yayınlanmadan filme alınmasıyla ilgiliyse, yasaya göre burada 2. paragraf geçerlidir: “kamuya açık yerlerde veya halka açık etkinliklerde gerçekleştirilen çekimler sırasında bir vatandaşın görüntüsü elde edilmiştir. böyle bir görüntünün ana kullanım nesnesi olduğu durumlar için." Yani, “bu tür bir görüntünün ana kullanım nesnesi olduğu durumlar hariç” dediği kısım - yani eğer halka açık bir yerde çekim yapıyorsanız, kamusal alanın kendisi ve karenin içinde bir kişi varsa o zaman o kişi çekim yapamaz. size karşı herhangi bir iddia var, ancak esas olarak halka açık bir yerde bir kişiyi filme alıyorsanız, bu zaten yasa dışıdır. Bir uzman tam olarak ne çektiğinizi belirleyebilir.
>görüntünün kullanımı devlet, kamu veya diğer kamu yararına gerçekleştiriliyorsa;
Konu tamamen belirsiz. Benim özel isteğim şudur: Girişte bir kişi sigara içiyor ve bu girişte yaşıyor. Bu idari maddeyle yasaklanmıştır, dolayısıyla ihlalde bulunmaktadır. Bu ihlali ancak fotoğraf malzemeleriyle kanıtlayabilirim: Aradığım yerel polis memuru girişe vardığında sigara içen kişinin sigarayı bırakıp evine gitmiş olması mantıklıdır. Sigara içerken fotoğrafını çekebilir miyim? Bunu yapmak yasal mı yoksa yasa dışı mı? Bu noktalara bakılırsa hayır. O zaman ne?
CEBİRİN TEMEL TEOREMİ n (n>0) dereceli her polinomun: f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + an, karmaşık sayılar alanı üzerinde a0 / 0'ın en az bir z1 köküne sahip olduğu teoremi yani f(z1)=0. O.T.A.'dan Bezout teoreminden, f(z) polinomunun karmaşık sayılar alanında (çoklukları dikkate alınarak) tam olarak n köke sahip olduğu sonucu çıkar. Aslında Bezout teoremine göre f(z), z – z1 (kalansız) ile bölünebilir; f(z) = f1(z)(z – z1) ve dolayısıyla O.T.A.'ya göre (n – 1) derecesinin f1(z) polinomu. ayrıca bir z2 kökü vb. vardır. Sonuçta f(z)'nin tam olarak n köke sahip olduğu sonucuna varacağız: f(z) = a0(z – z1)(z – z2) (z – zn). O.T.A. 17.-18. yüzyıllarda cebirin ana içeriği nedeniyle bu adı almıştır. denklem çözmeye geldi.
O.T.A. ilk kez 17. yüzyılda kanıtlandı. Fransız matematikçi Girard tarafından ve 1799'da Alman matematikçi Gauss tarafından kesin bir kanıt verildi. BEZOUT TEOREMİ Rastgele bir polinomun doğrusal bir binomla bölümünden kalan kısımla ilgili bir teorem şu şekilde formüle edilir: keyfi bir polinomun f(x) binom x – a'ya bölümünden kalan kısım f(a)'ya eşittir. ). T.B. Bunu ilk formüle eden ve kanıtlayan kişinin adını almıştır. Fransız matematikçi XVIII yüzyıl Bezu. T.B.'den aşağıdaki sonuçlar ortaya çıkar: 1) eğer f(x) polinomu x – a'ya bölünebilirse (kalansız), bu durumda a sayısı f(x)'in köküdür; 2) a sayısı f(x) polinomunun kökü ise, o zaman f(x), x – a binomuna bölünebilir (kalansız); 3) eğer bir f(x) polinomunun en az bir kökü varsa, o zaman bu polinomun tam olarak bu polinomun derecesi kadar kökü vardır (köklerin çokluğu dikkate alınır). CHEVA TEOREMİ Köşeleri birleştiren doğrular ABC üçgeni O noktası üçgenin düzleminde yer aldığında, karşılıklı kenarlar (veya bunların uzantıları) sırasıyla A' B' C' noktalarında kesişiyorsa, aşağıdaki eşitlik doğrudur: (*) Bu durumda, Segmentler aynı yöne sahipse pozitif, aksi takdirde negatif kabul edilir.
T.Ch. şu biçimde de yazılabilir: (ABC')*(BCA')*(CAB') = 1, burada (ABC') bir asaldır üç oranı A, B ve C' noktaları. Ters teorem de doğrudur: C', A', B' noktaları üçgenin sırasıyla AB, BC ve CA kenarlarında veya bunların uzantılarında eşitlik (*) sağlanacak şekilde bulunuyorsa, o zaman AA', BB' doğruları ve CC' aynı noktada veya paralelde kesişir (uygun olmayan bir noktada kesişir). Bir noktada kesişen ve üçgenin köşelerinden geçen AA', BB' ve CC' doğrularına Chevy çizgileri veya Chevyan çizgileri denir.
T.Ch. doğası gereği projektiftir. T.Ch. Menelaus teoremine metrik olarak dualdir.
T.Ch. Adını bunu kanıtlayan İtalyan geometrici Giovanni Ceva'dan almıştır (1678). KOSİN TEOREMİ 1. T.K. düzlem trigonometrisi - herhangi bir üçgende herhangi bir kenarının karesi olduğu ifadesi toplamına eşit diğer iki kenarın kareleri, bu kenarların çarpımı aralarındaki açının kosinüsü ile iki katına çıkarılmadan elde edilir: c2 = a2 + b2 – 2abcosC, burada a, b, c üçgenin kenarlarının uzunluklarıdır ve C, üçgenin kenar uzunluklarıdır. a ve b kenarları arasındaki açı. T.K. temel geometri ve trigonometri problemlerinin çözümünde sıklıkla kullanılır 2. T.K. küresel bir üçgenin tarafı için: küresel bir üçgenin bir tarafının kosinüsü, diğer iki tarafının kosinüslerinin çarpımına artı aynı tarafların sinüslerinin aralarındaki açının kosinüsüne çarpımına eşittir: cosa = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA 3. T.K. küresel bir üçgenin açısı için: küresel bir üçgenin açısının kosinüsü ürüne eşit diğer iki açının kosinüsleri, zıt işaret, artı diğer iki açının sinüslerinin çarpımı ile birinci açının karşısındaki tarafın kosinüsü: cosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa. EULER TEOREMİ 1. T.E. karşılaştırmalar teorisinde, eğer (a, m)=1 ise, o zaman f(m)'nin Euler fonksiyonu (tam sayıların sayısı) olduğu belirtilir. pozitif sayılar m'ye eş asal ve m'yi aşmayan). 2.T.E. çokyüzlüler hakkında, sıfır cinsin herhangi bir çokyüzlü için formülün geçerli olduğunu belirtir: B + G – P = 2, burada B, köşe sayısı, G, yüz sayısı, P, çokyüzlünün kenar sayısıdır.
Ancak böyle bir bağımlılığı ilk fark eden Descartes oldu.
Bu nedenle T.E. çokyüzlüler üzerinde Descartes-Euler teoremi demek tarihsel olarak daha doğrudur.
B + G – P sayısına çokyüzlünün Euler karakteristiği denir.
T.E. aynı zamanda kapalı grafikler için de geçerlidir. Thales teoremi Orantılı bölümlerle ilgili temel geometri teoremlerinden biri. Açının kenarlarından birinde tepe noktasından itibaren eşit bölümler ardı ardına yerleştirilirse ve bu bölümlerin açının ikinci tarafıyla kesişen uçlarından paralel çizgiler çizilirse, ikinci tarafa da eşit bölümler döşeneceğini belirtir. açının tarafı.
T.F.'nin özel bir durumu. bazı özellikleri ifade eder orta çizgiüçgen. Fermat'ın Son Teoremi P. Fermat'ın xn + yn = zn denkleminin (burada n ikiden büyük bir tamsayıdır) pozitif tamsayılarda çözümü olmadığını ifade etmesi. P. Fermat'ın şaşırtıcı bir B.F.T kanıtı bulmayı başardığını söylemesine rağmen. yer sıkıntısı nedeniyle alıntı yapmıyor (bu açıklama P. Fermat tarafından Diophantus'un kitabının kenarlarında yazılmıştır), yakın zamana kadar (90'ların ortası) W.T.F. V Genel görünüm kanıtlanmamıştır. FERMA'NIN KÜÇÜK TEOREMİ Euler teoreminin m=p modülü bir asal sayı olduğunda özel bir durumu.
M.T.F. şu şekilde formüle edilir: eğer p bir asal sayı ise ap=a(mod p). a'nın p'ye bölünememesi durumunda M.T.F. şu şekildedir: ap-1=1(mod p). M.T.F. Fransız bilim adamı Pierre Fermat tarafından keşfedildi. HÖLDER'İN EŞİTSİZLİĞİ nihai miktarlarşu forma sahiptir: , veya içinde integral formu: , burada p > 1 ve. N.G. matematiksel analizlerde sıklıkla kullanılır.
N.G. Cauchy eşitsizliğinin bir genellemesidir cebirsel form ve Bunyakovsky'nin integral formdaki eşitsizlikleri, burada N.G. p = 2'de tersine döner. CARDANO FORMÜLÜ Kökleri ifade eden formül kübik denklem: x3+px+q=0 (*) katsayıları aracılığıyla. Her kübik denklem (*) formuna indirgenir. şu şekilde yazılır: . Birinci kübik radikalin keyfi bir değerini seçerken, birinci radikalin seçilen değeriyle çarpımda (-p/3) veren ikinci radikalin değerini (olası üç değer arasından) seçmelisiniz. Bu şekilde denklemin (*) üç kökünü de elde ederiz. F.K.'nin kimin sahibi olduğu hala belli değil: G. Cardano, N. Tartaglie veya S. Ferro. F.K. 16. yüzyıla kadar uzanıyor. CAUCHY'NİN EŞİTSİZLİĞİ Sonlu toplamlar için geçerli olan bir eşitsizlik; çok önemli ve en sık kullanılan Çeşitli bölgeler matematik ve matematiksel fizik eşitsizlik.
İlk olarak 1821 yılında Cauchy tarafından kurulmuştur. N.K.'nin integral benzeri: Rus matematikçi V.Ya. Bunyakovski. MENELUS TEOREMİ Bir doğru ABC üçgeninin kenarlarını veya uzantılarını C', A' ve B' noktalarında kesiyorsa aşağıdaki ilişki geçerlidir: (*) Doğru ABC üçgeninin kenarlarını veya uzantılarını C', A' ve B' noktalarında kesiyorsa, doğru parçalarının oranı pozitif alınır. üçgenin ve eğer çizgi kenarın uzantısıyla kesişiyorsa negatiftir.
Adil ve ters ifade: eğer eşitlik (*) sağlanıyorsa, burada A, B, C üçgenin köşeleridir ve A', B', C' aynı düz çizgi üzerinde yer alır.
T.M, A', B' ve C' üç noktasının tek bir düz çizgi üzerindeki konumu için bir kriter şeklinde formüle edilebilir: 3 A', B' ve C' noktasının aynı düz çizgi üzerinde yer alması için, A, B, C üçgenin köşeleri olmak üzere ve A', B', C' sırasıyla BC, AC ve AB doğrularına ait olmak üzere ilişkinin sağlanması (*) gerekli ve yeterlidir. T.M., eski Yunan bilim adamı Menelaus (1. yüzyıl) tarafından küresel bir üçgen için kanıtlandı ve görünüşe göre Öklid (M.Ö. 3. yüzyıl) tarafından biliniyordu. T.M daha genel Carnot teoreminin özel bir durumudur. MINKOWSKI EŞİTSİZLİĞİ Eşitsizlik p'nin güçleri p>1 tamsayısı ve ak ve bk negatif olmayan sayılar olmak üzere: biçiminde sayılar.
N.M. bir üçgenin bir kenarının uzunluğunun diğer iki kenarının uzunluklarının toplamından büyük olmadığını belirten, iyi bilinen "üçgen eşitsizliğinin" bir genellemesidir; İçin n boyutlu uzay x=(x1, x2, …, xn) ve y=(y1, y2, …, yn) noktaları arasındaki mesafe N.M sayısı ile belirlenir. 1896 yılında Alman matematikçi G. Minkowski tarafından kurulmuştur. MOHLWEIDE FORMÜLLERİ Bir üçgenin kenarları (uzunlukları) ve açıları arasındaki aşağıdaki ilişkiyi ifade eden düzlem trigonometri formülleri: ; burada a, b, c kenarları ve A, B, C üçgenin açılarıdır.
F.M. Bu formüller diğer matematikçiler tarafından da bilinmesine rağmen, ismini bunları kullanan Alman matematikçi K. Molweide'den almıştır. NEWTON'UN BİNOMİSİ Bir a+b binomunun negatif olmayan tamsayı kuvvetini kuvvetlerinin toplamı olarak ifade eden formülün adı. şartları.
B.N. şu forma sahiptir: burada Cnk binom katsayılarıdır, sayıya eşit n elemanın k'ye göre kombinasyonları, yani. veya. Farklı n=0, 1, 2, ... için binom katsayıları ardışık satırlara yazılırsa Pascal üçgenine ulaşılır. Rastgele bir gerçek sayı durumunda (ve yalnızca negatif olmayan bir tam sayı değil) B.N. bir binom serisine genelleştirilir ve terim sayısının ikiden daha büyük bir sayıya çıkarılması durumunda bir polinom teoremine dönüştürülür. negatif olmayan bir tamsayı kuvveti n:'ye, burada sağ taraftaki toplam tüm olası tamsayı kümelerine genişletilir Negatif olmayan sayılar a1, a2, …, ak, toplam n'yi veriyor. A(n)a1, a2, …,ak katsayılarına polinom denir ve şu şekilde ifade edilir: k=2 olduğunda polinom katsayıları binom katsayıları haline gelir.
POLKE TEOREMİ Şu şekilde formüle edilmiştir: aynı düzlemde bulunan ve ortak nokta altında keyfi açılar birbirine karıştırılabilir paralel projeksiyon uzaysal ortogonal çerçeve i, j, k (|i| = |j| =|k|). Teorem, Alman geometri uzmanı K. Polke (1860) tarafından kanıt olmadan formüle edildi ve daha sonra temel kanıtını veren Alman matematikçi G. Schwarz tarafından genelleştirildi.
Polke-Schwartz teoremi şu şekilde formüle edilebilir: Dejenere olmayan herhangi bir dörtgen, köşegenleriyle birlikte, verilen herhangi bir tetrahedronun paralel izdüşümü olarak düşünülebilir.
T.P. büyük pratik öneme sahiptir (köşegenleriyle birlikte herhangi bir dörtgen, örneğin bir görüntü olarak alınabilir) düzenli tetrahedron) ve aksonometrinin ana teoremlerinden biridir. PTOLEMY TEOREMİ Herhangi bir daire içine yazılan bir dörtgenin kenarları ve köşegenleri arasındaki ilişkiyi kuran temel geometri teoremi. dışbükey dörtgen Bir daire içine yazılan köşegenlerin çarpımı, dairelerin çarpımlarının toplamına eşittir. zıt taraflar yani eşitlik geçerlidir: AC*BD = AB*CD + BC*AD Vb. Adını bu teoremi kanıtlayan antik Yunan bilim adamı Claudius Ptolemy'den almıştır.
T.P. Temel geometri problemlerini çözerken, sinüslerin eklenmesi teoreminin özel bir durumunu kanıtlarken kullanılır. SIMPSON FORMÜLÜ İkili cisimlerin hacimlerini hesaplamak için formül. paralel üsler: , burada Qн alt tabanın alanıdır, Qв üst tabanın alanıdır, Qс vücudun orta bölümünün alanıdır. Burada bir cismin ortalama kesiti, cismin taban düzlemlerine paralel bir düzlemle kesişmesinden elde edilen ve üzerinde bulunan bir şekil olarak anlaşılmaktadır. eşit mesafe bu uçaklardan.
h vücudun yüksekliğini ifade eder. F.S.'den özel durum, çok var ünlü formüller okulda incelenen cisimlerin hacimleri (kesik piramit, silindir, küre vb.). SİNÜS TEOREMİ a, b, c kenarları arasındaki ilişkiyi kuran düzlem trigonometri teoremi keyfi üçgen ve bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri: burada R, üçgenin etrafında çevrelenen dairenin yarıçapıdır.
Küresel trigonometri için T.S. analitik olarak şu şekilde ifade edilir: . STEWART TEOREMİ şu şekildedir: Eğer A, B, C bir üçgenin üç köşesiyse ve D, BC kenarında herhangi bir noktaysa, aşağıdaki ilişki geçerlidir: AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD* CD, T .İLE. Adını bunu kanıtlayan ve “Bazıları” adlı eserinde yayınlayan İngiliz matematikçi M. Stewart'tan almıştır. genel teoremler"(1746, Edinburg). Teorem, Stewart'a öğretmeni R. Simson tarafından anlatıldı ve o da bu teoremi ancak 1749'da yayınladı. Üçgenlerin kenarortaylarını ve açıortaylarını bulmak için kullanılır.
TANGENT TEOREMİ (REGIOMONTAN FORMÜLÜ) Bir üçgenin iki tarafının uzunlukları ile karşılarındaki açıların yarı toplamı ve yarı farkının teğetleri arasındaki ilişkiyi kuran düzlem trigonometri formülü. şu şekle sahiptir: burada a, b üçgenin kenarlarıdır, A, B sırasıyla bu kenarların karşısındaki açılardır. T.T. aynı zamanda bu formülü kuran Alman gökbilimci ve matematikçi Johannes Müller'in (Latince Regiomontanus'ta) anısına Regiomontanus formülü olarak da adlandırılmıştır. J. Müller'e "Königsberger" deniyordu: Almanca'da König kral, Berg dağ, Latince'de "kral" ve "dağ" genel durum– regis ve montis.
Dolayısıyla “Regiomontan”, I. Muller'in Latince soyadıdır. " Sözlük matematiksel terimler", O.V. VADIMSOFT-BEST'TE Manturov FORMÜLLERİ VE TEOREMLERİ. NAROD.RU.
Alınan materyalle ne yapacağız:
Bu materyal sizin için yararlı olduysa, onu sosyal ağlardaki sayfanıza kaydedebilirsiniz:
Bunu zaten gördük, eğer sayı dizisi Eğer bir sınırı varsa bu dizinin elemanları ona mümkün olduğu kadar yaklaşır. Çok küçük bir mesafede bile, mesafesi daha da küçük olan iki öğeyi her zaman bulabilirsiniz. denir temel dizi veya Cauchy dizisi. Bu dizinin bir limiti olduğunu söyleyebilir miyiz? Eğer üzerinde oluşmuşsa
Kenarı olan bir kare alırsak bire eşit, o zaman Pisagor teoremini kullanarak köşegenini kolayca hesaplayabiliriz: $d^2=1^2+1^2=2$, yani köşegenin değeri $\sqrt 2$'a eşit olacaktır. Artık iki doğru parçasıyla temsil edilen 1 ve $\sqrt 2$ olmak üzere iki sayımız var. Ancak aralarında eskisi gibi bir ilişki kuramayacağız. İmkansız
P noktasının nerede bulunduğunu belirlemek (belirli bir şeklin içinde veya dışında) bazen çok basittir, örneğin şekilde gösterilen şekilde: Ancak, aşağıda gösterilen gibi daha karmaşık şekiller için bunu yapmak daha zordur. . Bunu yapmak için kalemle bir çizgi çizmeniz gerekecek. Ancak soruların yanıtlarını ararken benzer sorular basit bir tane kullanabiliriz,
Genellikle şu şekilde formüle edilir: 1 dışındaki her doğal sayı benzersiz bir şekilde bir çarpım olarak temsil edilebilir asal sayılar veya bunun gibi: her doğal sayı, farklı asal sayıların kuvvetlerinin bir çarpımı olarak benzersiz bir şekilde temsil edilir; her zaman olmasa da, son genişlemeye genellikle kanonik denir ve bunu gerektirir. asal faktörler bu genişlemeye artan sırada girdi.
Bu teorem, sayılar teorisinden tamamen ciddi bir teorem olmasına ve teoride yer almamasına rağmen, kuvvetlerin kalanlarıyla ilgili problemleri çözmek için son derece faydalıdır. okul kursu, kanıtı normal olarak yapılabilir okul seviyesi. Gerçekleştirilebilir Farklı yollar ve en çok biri basit deliller binom formülüne veya Newton'un binomuna dayanır.
Çoğunlukla metodolojik literatür Dolaylı delillerin çelişkili deliller olduğu anlayışına rastlamak mümkündür. Aslında bu, kavramın çok dar bir yorumudur. Çelişki yoluyla ispat yöntemi, en ünlü dolaylı ispat yöntemlerinden biridir, ancak tek yöntem olmaktan uzaktır. Diğer dolaylı yöntemler Kanıtlar sıklıkla sezgisel düzeyde kullanılsa da bu uygulama nadiren gerçekleştirilir ve
Çoğu zaman, vektörlerin skaler çarpımını kullanan öğretmenler, Pisagor teoremini ve kosinüs teoremini neredeyse anında kanıtlarlar. Bu kesinlikle cazip. Ancak yorum yapılması zorunludur. Geleneksel sunumda dağıtıcılık nokta ürün vektörler Pisagor teoreminden daha sonra kanıtlanmıştır, çünkü ikincisi bu kanıtta en azından dolaylı olarak kullanılmıştır. Bu kanıtın çeşitleri mümkündür. Okul geometri ders kitaplarında,
Bu yılın Haziran ayında, dikkat çekici bir matematikçi ve öğretmen, parlak ve çekici bir kişi olan Dmitry Germanovich Von Der Flaass (1962–2010) zamansız öldü. Okuyucularımız bu isimle birden fazla kez karşılaştılar - Kvant dergisi sık sık onun sorunlarını yayınladı. Dmitry Germanovich başarıyla çalıştı büyük bilim ancak bu onun faaliyetinin yalnızca bir parçasıydı. İkincisi ise matematik olimpiyatları okul çocukları: All-Union jürisinde çalıştı ve Tüm Rusya Olimpiyatları, ve son yıllar- ve Uluslararası. Çeşitli matematik kamplarında ve okullarda dersler verdi, Uluslararası Matematik Olimpiyatlarında takımımızın koçlarından biri oldu.
D. Von Der Flaass'ın Tüm Rusya'da verdiği bir konferansın kaydını (hafif kısaltmalarla ve yazarın üslubu korunarak) dikkatinize sunuyoruz. çocuk merkezi 2009'da "Kartalcık".
Böyle eski bir sofist Gorgias vardı. Üç teoremi formüle etmesiyle ünlüdür. İlk teorem şu şekildedir: Dünyada hiçbir şey yoktur. İkinci teorem: Eğer bir şey varsa, o insanlar tarafından bilinemez. Üçüncü teorem: Bir şey yine de bilinebilirse, o zaman komşuya iletilemez.
Yani hiçbir şey yok, varsa da hiçbir şey bilmeyeceğiz, bir şey bulsak bile kimseye anlatamayacağız.
Ve bu dört teorem, kesin olarak konuşursak, ana problemlerdir. modern matematik.
Gorgias'ın ilk teoremi
İlkiyle başlayalım - dünyada hiçbir şey yoktur veya matematik diline çevrildiğinde matematik anlaşılmaz bir şey yapar. Bir bakıma bu doğrudur. Nihayet matematiksel nesneler dünyada yok. Her şeyin başladığı ve matematikçilerin her zaman kullandığı en basit şey şudur: tamsayılar. Hepimiz doğal sayıların ne olduğunu biliyoruz; bunlar 1, 2, 3, 4 vb. Ve hepimizin "ve benzeri" kelimelerinin anlamını anlıyor olmamız büyük bir gizemdir. Çünkü “ve benzeri” demek “sonsuz sayıda” sayının var olduğu anlamına gelir. Dünyamızda sonsuz miktarda bir şeyin var olmasına yer yoktur. Ancak doğal sayıları düşündüğümüzde hepimizin aynı şeyi düşündüğünden eminiz. Eğer benim 7'min ardından 8 geliyorsa, o zaman senin 7'nin ardından 8 gelecektir. Eğer benim 19'um bir asal sayı ise, o zaman senin 19'un da bir asal sayı olacaktır. Bu yüzden? Görünüşe göre bu nesne dünyada yok ama biz onu biliyoruz ve hepimiz aynı şeyi biliyoruz. Bu elbette matematiksel bir bilmece değil, felsefi bir bilmecedir ve bırakalım bunu filozoflar tartışsın. Neyse ki hala matematiksel nesneler hakkında bir fikrimizin olması bizim için yeterli ve bu onlar hakkında düşünmeye başlayan herkes için aynı. Ve bu nedenle matematik mümkündür. Ama büyük felsefi sorun kalıntılar.
Matematikçiler arasında alışılmış olduğu gibi, bunu ciddi bir şekilde düşünürseniz, yani bir şekilde titizlikle düşünmeye çalışırsanız, o zaman şimdi bahsedeceğim sorunlar ortaya çıkar. İnsanlığın anısına oldukça yakın zamanda, kelimenin tam anlamıyla son yüz yılda ortaya çıktılar.
Matematikte doğal sayıların yanı sıra çok daha fazlası var. Üzerine her türlü üçgeni, açıyı çizdiğimiz ve bunlarla ilgili teoremleri kanıtladığımız Öklid düzlemimiz var. Gerçek sayılar var, karmaşık sayılar var, işlevler var, daha da korkunç bir şey var... 19. ve 20. yüzyılın başlarında bir yerlerde pek çok çalışma yapıldı. büyük iş(elbette biraz daha erken başlamış olmasına rağmen), insanlar tüm matematiksel nesnelerin prensipte tek bir kavrama, küme kavramına indirgenebileceğini fark ettiler. Elbette, bir kümenin ne olduğuna ve "ve benzeri"nin ne olduğuna dair sezgisel bir fikrimiz varsa, temel olarak tüm matematiği oluşturabiliriz.
Set nedir? Pek çok şey var. Soru şu; setlerle ne yapabilirsiniz? Eğer bir tür setimiz varsa, o zaman ona sahip olmamız ne anlama geliyor? Bu, dünyamızın herhangi bir unsurunun, matematiksel nesneler dünyasının, bu kümenin içinde olup olmadığını sorabileceğimiz ve bir cevap alabileceğimiz anlamına gelir. Cevap açık, tamamen irademizden bağımsız. Bu, kümelerle yapabileceğiniz ilk temel şeydir; bir öğenin kümeye ait olup olmadığını öğrenin.
Elbette yine de bu setleri bir şekilde kendimiz oluşturmamız gerekiyor. Böylece sonunda matematiksel nesnelerin tüm zenginliği onlardan inşa edilecek. Nasıl inşa edilebilirler? Diyelim ki boş bir küme oluşturabiliriz: Ø. İlki, en basiti. Onun hakkında ne biliyoruz? Hangi öğenin bu kümeye ait olup olmadığını sorarsak soralım, cevap her zaman hayır, ait değil olacaktır. Ve bununla boş küme zaten benzersiz bir şekilde tanımlanmıştır. Bununla ilgili tüm sorulara anında cevap verilir. Yaşasın!
Şimdi zaten bu boş kümenin kendisine sahibiz. Ve boş kümeden (Ø) başka hiçbir şey içermeyen bir küme oluşturabiliriz. Tekrar ediyorum, bu sete sahip olmamız ne anlama geliyor? Bu, herhangi bir öğenin bu kümeye ait olup olmadığını sorabileceğimiz anlamına gelir. Ve eğer bu eleman boş küme ise cevap “evet” olacaktır. Ve eğer bu unsur başka bir unsur ise o zaman cevap “hayır” olacaktır. Yani bu set de verilmiştir.
Hepsi burada başlıyorlar. Kullanabileceğiniz birkaç sezgisel işlem daha var. İki setimiz varsa bunları birleştirebiliriz. Artık şu veya bu kümeden elemanların olacağı bir kümenin olacağını söyleyebiliriz. Yine bir elemanın sonuç kümesine ait olup olmadığı sorusunun cevabı da nettir. Bu, bir birlik kurabileceğimiz anlamına geliyor. Ve benzeri.
Bir noktada, sonuçta sonsuz sayıda elemanın bulunduğu bir tür kümeye sahip olduğumuzu ayrı ayrı beyan etmemiz gerekir. Doğal sayıların olduğunu bildiğimiz için şunu düşünüyoruz: iblis Sınırlı set var. Doğal sayılar kümesinin de bizim için mevcut olduğunu duyuruyoruz. Sonsuz bir küme ortaya çıktığı anda her türlü sıkıntıya girebilir ve istediğiniz her şeyi tanımlayabilirsiniz. Tamsayılar tanımlanabilir. Bir tamsayı, eksi işareti olsun ya da olmasın sıfır ya da bir doğal sayıdır. Bütün bunlar (belki de söylediğim kadar açık olmayabilir) küme teorisi diliyle yapılabilir.
Rasyonel sayılar tanımlanabilir. Rasyonel sayı nedir? Bu iki sayıdan oluşan bir çifttir: bir pay ve bir (sıfır olmayan) payda. Bunları nasıl ekleyeceğinizi, kendi aralarında nasıl çarpacağınızı belirlemeniz yeterli. Ve bu tür çiftlerin aynı rasyonel sayı olarak kabul edildiği koşullar nelerdir?
Gerçek sayı nedir? Burada ilginç adım. Örneğin sonsuz olduğunu söyleyebilirsiniz. ondalık. Bu çok iyi bir tanım olurdu. Bu ne anlama geliyor - sonsuz ondalık kesir? Bu, bir çeşit sonsuz sayı dizisine sahip olduğumuz anlamına gelir, yani her doğal sayı için, gerçek sayımızın bu yerinde hangi sayının durduğunu biliyoruz. Bu tür dizilerin tümü gerçek sayılar oluşturur. Yine bunları nasıl ekleyeceğimizi, nasıl çarpacağımızı vs. belirleyebiliriz.
Bu arada, matematikçiler gerçek sayıları bu şekilde değil, bu şekilde tanımlamayı tercih ediyorlar. Tüm rasyonel sayıları alalım; onlara zaten sahibiz. Şimdi bir reel sayının bunların kümesi olduğunu ilan edelim. rasyonel sayılar, kesinlikle bundan daha azdır. Bu çok zor tanım. Aslında öncekine çok benziyor. Örneğin, eğer elimizde 3,1415926 gerçek sayısı varsa (sonsuz bir sayı zinciri var, bunu ezbere bilmiyorum), o zaman örneğin ondan küçük rasyonel sayılar ne olacak? İkinci virgüldeki kesri keselim. 3.14 sayısını alıyoruz, bizimkinden az. Dördüncü virgüldeki kesri keselim - bizimkinden küçük başka bir rasyonel sayı olan 3,1415'i elde ederiz. Eğer tüm rasyonel sayıları kendi sayımızdan daha az biliyorsak, o zaman bu sayının benzersiz tanımlı olduğu açıktır. Şekil 1'dekine benzer bir resmi net bir şekilde hayal edebilirsiniz. Düz çizgi tüm gerçek sayılardır, bunların arasında bilinmeyenimiz bir yerlerdedir ve onun solunda ondan küçük çok ama çok sayıda rasyonel sayı vardır. Buna göre diğer tüm rasyonel olanlar ondan daha büyük olacaktır. Bu iki rasyonel sayı kümesi arasında tek bir boşluk olduğu sezgisel olarak açıktır ve biz bu boşluğa gerçel sayı adını vereceğiz. Bu, küme kavramından başlayarak tüm matematiğin nasıl yavaş yavaş çözüldüğünün bir örneğidir.
Bu neden gerekli? Pratikte elbette kimsenin bunu kullanmadığı açıktır. Bir matematikçi, örneğin karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarını incelerken, bunu her seferinde hatırlamaz. karmaşık sayı bir gerçek çiftidir, bir gerçek sonsuz bir rasyonel kümedir, bir rasyonel bir çift tamsayıdır, vb. Zaten tamamen biçimlendirilmiş nesnelerle çalışıyor. Ancak prensip olarak her şey en temeline kadar açıklanabilir. Çok uzun ve okunamaz olacak ama yine de prensipte mümkün.
Matematikçiler bundan sonra ne yapacak? Kanıtlıyorlar farklı özellikler bu nesneler. Bir şeyi kanıtlamak için zaten bir şeyi bilmeniz gerekir, tüm bu nesnelerin bazı başlangıç özellikleri. Dahası, matematikçiler hangi başlangıç özellikleriyle başlayacakları konusunda tam bir fikir birliğine varmalıdır. Böylece bir matematikçinin elde ettiği sonuç diğerleri tarafından da kabul edilir.
Bu başlangıç özelliklerinden birkaçını yazabilirsiniz - bunlara aksiyom denir - ve sonra bunları giderek daha karmaşık matematiksel nesnelerin tüm diğer özelliklerini kanıtlamak için kullanabilirsiniz. Ancak artık doğal sayılarla birlikte zorluklar başlıyor. Aksiyomlar vardır ve bunların doğru olduğunu sezgisel olarak hissederiz, ancak doğal sayılar hakkında bu aksiyomlardan türetilemeyen ancak yine de doğru olan ifadeler olduğu ortaya çıkar. Diyelim ki doğal sayılar belli bir özelliği sağlıyor ama temel kabul edilen aksiyomlardan elde edilemiyor.
Hemen şu soru ortaya çıkıyor: O halde bu özelliğin doğal sayılar için doğru olduğunu nasıl biliyoruz? Ya bunu alıp bu şekilde kanıtlayamazsak? Zor soru. Bunun gibi bir şey ortaya çıkıyor. Yalnızca doğal sayıların aksiyomlarıyla yetinirseniz, prensipte pek çok şeyden bahsetmek bile imkansızdır. Örneğin doğal sayıların keyfi sonsuz alt kümelerinden bahsetmek imkansızdır. Bununla birlikte, insanların bunun ne olduğu hakkında bir fikri vardır ve prensip olarak bu alt kümeleri hangi özelliklerin tanımladığını sezgisel olarak anlarlar. Dolayısıyla doğal sayıların aksiyomlardan çıkarılamayan bazı özelliklerinin doğru olduğunu insanlar bilebilir. Ve böylece, matematikçi Kurt Gödel, görünüşe göre, doğal sayıların sezgisel olarak doğru olan belirli bir özelliğini açıkça gösteren ilk kişiydi (yani matematikçiler bunun doğru olduğu gerçeğine itiraz etmiyorlar), ama aynı zamanda o zamanlar kabul edilen doğal sayılar aksiyomlarından çıkarılamaz.
Kısmen ve aslında oldukça fazla büyük ölçüde(matematiğin çoğu alanı için yeterlidir), bu problem, her şeyi dikkatli bir şekilde kümelere indirgeyerek ve küme teorisinin sezgisel olarak açık olan belirli bir dizi aksiyomunu yazarak çözüldü ve bu aksiyomların doğruluğu genel olarak matematikçiler tarafından tartışılmaz. .
Birleşme aksiyomunu söyleyelim. Eğer elimizde bazı kümelerden oluşan bir küme varsa o zaman şunu söyleyebiliriz: Bu kümeden bu kümelerin tüm elemanlarını içeren bir küme oluşturalım. Böyle bir kümenin varlığına makul bir itiraz yoktur. Ayrıca biraz daha fazla problemin olduğu daha kurnaz aksiyomlar da var. Şimdi küme teorisindeki, prensipte şüphelerin ortaya çıkabileceği üç zorlu aksiyoma bakacağız.
Örneğin böyle bir aksiyom var. Bazı elementlerden oluşan bir kümemiz olduğunu varsayalım ve bunların her biri için, bu element üzerindeki belirli bir fonksiyonun değerini benzersiz şekilde belirleyebildiğimizi varsayalım. Aksiyom, bu fonksiyonu bu kümenin her bir elemanına uygulayabileceğimizi ve birlikte olanların yine bir küme oluşturacağını söylüyor (Şekil 2). En basit örnek: x'i x2'ye dönüştüren bir fonksiyon, bunu nasıl hesaplayacağımızı biliyoruz. Diyelim ki, eğer elimizde bir dizi doğal sayı varsa, bunların her birinin karesini alabiliriz. Sonuç yine bir dizi doğal sayı olacaktır. Sezgisel olarak çok açık bir aksiyom, sen de aynı fikirde değil misin? Ancak sorun şu ki, bu işlevler çok iyi tanımlanabilir. karmaşık bir şekilde, setler çok büyük olabilir. Şöyle bir durum da var: Fonksiyonumuzun benzersiz tanımlı olduğunu nasıl kanıtlayacağımızı biliyoruz ama sayabiliriz. özel anlam kümenin her bir öğesi için bu işlev son derece zordur, hatta sonsuz derecede zordur. Her ne kadar kesinlikle bir cevap olduğunu bilsek de, bu kesindir. Böyle bir durumda bile zor durumlar Bu aksiyomun hala uygulanabilir olduğu düşünülmektedir ve bu çok genel biçimiyle küme teorisindeki sorunların kaynaklarından biri olarak hizmet etmektedir.
Bir yandan açık ama diğer yandan sorunlar getiren ikinci aksiyom, belirli bir kümenin tüm alt kümelerinin alınması aksiyomudur. Eğer bir tür kümemiz varsa, o zaman belirli bir kümenin tüm alt kümelerinden oluşan bir kümemiz de olur diyor. Sonlu kümeler için bu elbette açıktır. Eğer sonlu bir kümemiz varsa N elemanları varsa yalnızca 2 alt kümesi olur N. Prensip olarak eğer çok tembel değilsek hepsini yazabiliriz. En basit sonsuz kümeyle de hiçbir sorunumuz yok. Bakın: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ve benzeri doğal sayıları alalım. Doğal sayılar kümesinin tüm alt kümelerinden oluşan ailenin var olduğu bizim için neden açıktır? Çünkü bu unsurların ne olduğunu biliyoruz. Doğal sayıların bir alt kümesini nasıl hayal edebilirsiniz? Aldığımız öğelere birler, almadığımız öğelere sıfır koyalım, vb. Bunun sonsuz bir ikili kesir olduğunu hayal edebilirsiniz (Şekil 3). Küçük ayarlamalara kadar (bazı sayıların iki farklı sonsuz ikili kesirle temsil edilebilmesi gibi), gerçek sayıların doğal sayıların alt kümeleriyle kabaca aynı olduğu ortaya çıktı. Ve sezgisel olarak bunu bildiğimiz için gerçek sayılar her şey yolunda, varlar, görsel olarak sürekli bir çizgi olarak temsil edilebilirler, o zaman bu yerde, belirli bir kümenin tüm alt kümelerinin kümesi hakkındaki aksiyomumuza göre her şey yolundadır.
Daha fazla düşünürseniz, biraz korkutucu hale gelir. Yine de matematikçiler bu aksiyomun her zaman doğru olduğuna inanırlar: Eğer bir kümemiz varsa, o zaman onun tüm alt kümelerinden oluşan bir küme de vardır. Aksi takdirde bazı inşaatların yapılması çok zor olacaktır.
Ve en çok sorunun yaşandığı bir aksiyom daha çünkü ilk başta buna inanmıyorlardı. Belki adını bile duymuşsunuzdur: seçim aksiyomu. Birçok şekilde formüle edilebilir Farklı yollar Bazıları çok karmaşık, bazıları çok basit. şimdi sana en iyisini anlatacağım görsel yol Doğruluğunun gerçekten açık olacağı bir seçim aksiyomu formüle edin. Bazı setlerden oluşan bir setimiz olsun. Aslında birbirleriyle kesişebilirler, ancak bu önemli değil; basitlik adına, henüz kesişmelerine izin vermeyin. Daha sonra tüm bu kümelerin çarpımını oluşturabiliriz. Bu ne anlama gelir? Bu çalışmanın elemanları şu şeyler olacak; her birinden bir eleman alıp hepsinden bir set oluşturacağız (Şekil 4). Bir kümeden bir eleman seçmenin her yolu, bu kümelerin çarpımının bir elemanını verir.
Elbette bu kümeler arasında seçilecek hiçbir şeyin olmadığı boş bir küme varsa, o zaman hepsinin çarpımı da boş olacaktır. Ve seçim aksiyomu bunu kesinlikle ifade eder apaçık gerçek- Eğer tüm bu kümeler boş değilse o zaman çarpım da boş olmayacaktır. Gerçeğin apaçık olduğu fikrine katılıyor musunuz? Ve görünüşe göre bu, sonunda en çok yapılanlardan biri olarak hizmet etti. güçlü argümanlar seçim aksiyomunun gerçekten doğru olduğu gerçeğinin lehine. Diğer formülasyonlarda seçim aksiyomu buradaki kadar açık görünmüyor.
Tüm matematiği küme teorisi diline çevirmeye çalışan matematikçilerin ifadelerini nasıl kanıtladıklarına dair gözlemler, birçok yerde matematikçilerin farkına varmadan bu aksiyomu kullandıklarını gösterdi. Bu fark edilir edilmez, ayrı bir ifadeye ayrılması gerektiği hemen anlaşıldı - onu kullandığımıza göre, onu bir yerden almalıyız. Ya bunu kanıtlamalıyız ya da bunun aksiyom olarak aldığımız ve kullanılmasına izin verdiğimiz temel, açık bir gerçek olduğunu beyan etmeliyiz. Bunun gerçekten temel bir gerçek olduğu, yalnızca diğer tüm gerçekleri kullanarak kanıtlamanın imkansız olduğu, onu çürütmenin de imkansız olduğu ve bu nedenle, eğer onu kabul edeceksek, o zaman onu bir aksiyom olarak kabul ettiğimiz ortaya çıktı. Ve tabii ki kabul edilmesi gerekiyor çünkü bu haliyle gerçekten açık.
Burası onların ortaya çıktığı yer büyük problemlerçünkü bu gerçek açıkça formüle edilir edilmez ve "bunu kullanacağız" derlerse, matematikçiler hemen onu kullanmaya koştular ve onu kullanarak çok sayıda tamamen sezgisel olarak açık olmayan ifadeleri kanıtladılar. Ve hatta sezgisel olarak yanlış görünen ifadeler bile.
İşte o açık örnek seçim aksiyomu kullanılarak kanıtlanmış böyle bir ifade: bir topu alıp birkaç parçaya bölebilir ve bu parçalardan tamamen aynı iki topu ekleyebilirsiniz. Burada “birkaç parçaya bölmek” ne anlama geliyor, mesela 7? Bu, her nokta için bu yedi parçadan hangisine düştüğünü söylediğimiz anlamına gelir. Ancak bu, bir topu bıçakla kesmeye benzemez; çok daha zor olabilir. Örneğin, burada bir topu iki parçaya ayırmanın hayal edilmesi zor ama kolay açıklanabilen bir yolu var. Tüm rasyonel koordinatlara sahip tüm noktaları tek parça halinde, ve irrasyonel koordinatlara sahip tüm noktaları başka bir parça halinde ele alalım. Her nokta için hangi parçaya düştüğünü biliyoruz, yani bu, topun yasal olarak iki parçaya bölünmesidir. Ancak bunu açıkça hayal etmek çok zor. Bu parçaların her biri, uzaktan baktığınızda bütün bir top gibi görünecektir. Gerçi bu parçalardan biri aslında çok küçük, diğeri ise çok büyük olacak. Böylece, seçim aksiyomu yardımıyla bir topun 7 parçaya bölünebileceğini ve daha sonra bu parçaların biraz hareket ettirilebileceğini (yani uzayda hiçbir şekilde bozulmadan, bükülmeden hareket ettirilip) geri getirilebileceğini kanıtladılar. tekrar bir araya getirin, böylece iki top elde edersiniz, tıpkı bunun gibi, en baştakinin aynısı. Bu ifade kanıtlanmış olmasına rağmen kulağa bir şekilde çılgınca geliyor. Ama sonra nihayet, seçim aksiyomunun bu tür sonuçlarıyla uzlaşmanın, onu tamamen terk etmekten daha iyi olduğunu anladılar. Başka yolu yok: Ya seçim aksiyomunu terk ederiz ve o zaman onu hiçbir yerde kullanamayacağız ve birçok önemli, güzel ve sezgisel matematiksel sonucun kanıtlanamaz olduğu ortaya çıkacaktır. Ya alırız - sonuçlar kolayca kanıtlanabilir hale gelir, ancak aynı zamanda bu tür ucubelerle de karşılaşırız. Ama insan pek çok şeye alıştığı gibi bu ucubelere de alıştı. Genel olarak, seçim aksiyomuyla ilgili şu anda herhangi bir sorun yok gibi görünüyor.
Görünüşe göre küme teorisi için bir takım aksiyomlarımız var, matematiğimiz var. Ve az çok öyle görünüyor ki, insanların matematikte yapabileceği her şey küme teorisinin diliyle ifade edilebilir. Ancak Gödel'in aritmetikte keşfettiği sorunun aynısı burada da ortaya çıkıyor. Eğer kümeler dünyamızı (ki bu tüm matematiğin dünyasıdır) tanımlayan oldukça zengin bir aksiyomlar dizimiz varsa, bunların doğru olup olmadığını bilmemizin hiçbir yolu olmadığı ifadeler kesinlikle olacaktır. Bu aksiyomlardan kanıtlayamayacağımız ve çürütemeyeceğimiz ifadeler. Küme teorisi büyük ölçüde gelişiyor ve şimdi bu soruna en yakın olanı: Çoğu zaman bazı soruların oldukça doğal göründüğü bir durumla uğraşmak zorundayız, onlara bir cevap almak istiyoruz, ancak sorunun cevabını hiçbir zaman bilemeyeceğimiz kanıtlandı. Cevap, çünkü aksiyomlardan hem cevap hem de başka cevap çıkarılamaz.
Ne yapalım? Küme teorisinde bir şekilde bununla mücadele etmeye çalışıyorlar, yani bazı nedenlerden dolayı hala eklenebilecek yeni aksiyomlar bulmaya çalışıyorlar. Görünüşe göre, insanlık için sezgisel olarak açık olan her şey, 20. yüzyılın başında geliştirilen küme teorisi aksiyomlarına zaten indirgenmiş durumda. Ve şimdi hala başka bir şey istediğin ortaya çıktı. Matematikçiler sezgilerini daha da geliştirerek bazı yeni ifadelerin bir nedenden dolayı tüm matematikçiler için birdenbire sezgisel olarak açık görünmesini sağlarlar ve daha sonra bu soruların bazılarına onların yardımıyla yanıt alınabileceği umuduyla yeni aksiyomlar olarak kabul edilebilirler.
Elbette tüm bunların nasıl olduğunu size anlatamam, bu son derece karmaşık ifadeler ve ilk olarak ne iddia ettiklerini anlamak için ve ikinci olarak bu ifadelerin gerçekten de sezgisel olarak açık kabul edilebileceğini ve aksiyomlar olarak alınabileceğini anlamak için küme teorisini çok derinlemesine incelemeniz gerekir. Bu en çok olanlardan biri gizemli alanlar matematik - küme teorisi.
Gorgias'ın ikinci teoremi
Gorgias'ın ikinci teoremi şu şekildedir: Eğer bir şey varsa, o insanlar tarafından bilinemez. Şimdi bu kategoriye giren ifadelerin birkaç örneğini göstereceğim.
Küme teorisinde bir sorun vardı, şöyle sorular sormaya hakkımız var mı: “seçim aksiyomu doğru mu?” Eğer çelişkilere girmeden sadece matematik yapmak istiyorsak, o zaman prensipte hem seçim aksiyomunu hem de bunun doğru olmadığını kabul edebiliriz. Her iki durumda da, bir durumda bazı sonuçlar, başka bir durumda başka sonuçlar elde ederek matematiği geliştirebileceğiz, ancak asla bir çelişkiye varmayacağız.
Ama şimdi durum farklı. Görünüşe göre, cevabı açıkça mevcut olan ve açıkça tanımlanmış olan sonuçlar var, ancak insanlık bunu asla bilemeyebilir. En basit örnek sözde (3 N+1) şimdi bahsedeceğim bir problem. Herhangi bir doğal sayıyı alalım. Eşitse ikiye bölün. Ve eğer tek ise, o zaman 3 ile çarpın ve 1 ekleyin. Ortaya çıkan sayı için de aynısını yapıyoruz, vb. Örneğin üç ile başlarsak şunu elde ederiz:
Yedi ile başlarsak süreç biraz uzayacaktır. Zaten küçük sayılarla başlayan bu zincir oldukça uzun olabilir ama her zaman bir sayıyla bitecektir. Hangi sayıyla başlarsak başlayalım, eğer böyle bir zincir kurarsak her zaman 1'e ulaşacağımıza dair bir hipotez var. Bu ne (3) N+ 1)-problem – bu hipotez doğru mu?
Bana öyle geliyor ki günümüzün tüm matematikçileri bunun doğru olduğuna inanıyor. Ve en pervasızlardan bazıları bunu kanıtlamaya bile çalışıyor. Ama kimse için hiçbir şey yolunda gitmedi. Ve onlarca yıldır ortaya çıkmadı. Dolayısıyla bu, cazip zorluklardan biri. Ciddi matematikçiler elbette onu küçümserler; tıpkı eğlenceli bir bulmaca gibi. Orada ne olacağı bilinmiyor, orada ne olacağını kimin bilmesi gerekiyor. Ancak ciddi olmayan matematikçiler hala hipotezin doğru olup olmadığıyla ilgileniyorlar. Ve bu kanıtlanana kadar burada her şey olabilir. Öncelikle bu sorunun net bir cevabı olduğu aşikar: evet mi hayır mı? Herhangi bir doğal sayıdan başlayarak bire doğru kayacağımız ya doğrudur ya da doğru değildir. Burada cevabın herhangi bir aksiyom seçimine veya herhangi bir insan iradesine bağlı olmadığı sezgisel olarak açıktır. Dolayısıyla insanlığın bu sorunun cevabını asla bilemeyeceği varsayımı var.
Elbette birisi bu hipotezi kanıtlarsa cevabı bileceğiz. Ama kanıtlamak ne anlama geliyor? Bu, herhangi bir doğal sayının 1'e yakınsamasının nedenlerini bize açıklayacağı ve bu nedenlerin bizim için açık olacağı anlamına gelir.
Birisi yetmiş üç basamaklı bir sayının tam olarak öyle özelliklere sahip olduğunu kanıtlayabilir ki, bu zinciri ondan başlatarak kesinlikle istediğimiz kadar alacağız. büyük sayılar. Veya bu zincirin başka bir yerde döngüye gireceğinin ispatı olacaktır. Bu da yine hipotezin yanlış olmasının bir nedeni olabilir.
Ama örneğin öyle korkunç bir kabus görüyorum: Ya bu ifade doğruysa, ama sebepsizse? Doğru, ancak bu ifadenin bir kişinin anlayabileceği ve diğerine açıklayabileceği hiçbir nedeni yoktur. O zaman cevabı asla bilemeyeceğiz. Çünkü geriye kalan tek şey tüm doğal sayıları incelemek ve her biri için hipotezi test etmektir. Ve bu doğal olarak bizim gücümüzün ötesindedir. Enerjinin korunumu kanunu izin vermiyor sonsuz sayı için işlemler bitiş zamanı. Veya ışık hızının sonluluğu. Her şeyi hesaba katarak, fiziksel yasalar sınırlı bir sürede sonsuz sayıda işlem yapıp sonucunu öğrenmemize izin vermiyor.
Çözülmemiş sorunların çoğu tam olarak bu alanla ilgilidir, yani prensip olarak gerçekten çözülmek istiyorlar. Bazıları muhtemelen karar verecek. Muhtemelen hepiniz “Riemann hipotezi” adını duymuşsunuzdur. Belki bazılarınız bu hipotezin ne dediğini belli belirsiz anlıyor bile. Kişisel olarak bunu çok belirsiz anlıyorum. Ancak Riemann hipotezinin en azından doğru olduğu az çok açıktır. Tüm matematikçiler buna inanıyor ve yakın gelecekte bunun kanıtlanacağını umuyorum. Ve henüz kimsenin kanıtlayamayacağı ya da çürütemeyeceği bazı ifadeler vardır ve bir hipotezde bile iki yanıttan hangisinin doğru olduğuna dair kesinlik yoktur. İnsanlığın prensip olarak bu soruların bazılarına hiçbir zaman cevap alamaması mümkündür.
Gorgias'ın üçüncü teoremi
Üçüncü teorem şudur: Bir şey bilinebilirse komşusuna aktarılamaz. Bunlar kesinlikle modern matematiğin en acil ve belki de en abartılı problemleridir. İnsan bir şeyi ispatlamıştır ama bu ispatı bir başkasına anlatamamaktadır. Veya başka birini bunu gerçekten kanıtladığına ikna edin. Olur. Bu alandaki ilk örnek ve halk arasında en bilineni dört renk sorunudur. Ancak burada ortaya çıkan en zor durum bu değil. Şimdi dört renk probleminden biraz bahsedeceğim, sonra daha çılgın durumları göstereceğim.
Dört renk problemi nedir? Bu bir grafik teorisi sorusudur. Bir grafik, yalnızca kenarlarla bağlanabilen bazı köşelerden oluşur. Bu köşeleri bir düzlem üzerine çizip kenarlar birbiriyle kesişmeyecek şekilde kenarlarla birleştirirsek düzlemsel denilen bir grafik elde ederiz. Grafik renklendirme nedir? Üst kısımlarını farklı renklere boyuyoruz. Bunu bir kenara bitişik köşelerin her zaman farklı renkte olacağı şekilde yaptıysak, renklendirmeye düzenli renklendirme denir. Grafiği mümkün olduğunca az kullanarak doğru şekilde renklendirmek istiyorum çeşitli renkler. Örneğin, Şekil 5'te çiftler halinde bağlı üç köşemiz var - bu da kaçış olmadığı anlamına gelir, bu köşelerde kesinlikle üç tane olacaktır farklı renkler. Ancak genel olarak bu grafiği boyamak için dört renk yeterlidir (ve üçü eksik, kontrol edebilirsiniz).
Yüz yıldır bir sorun var: Düzlem üzerine çizilebilen herhangi bir grafiğin dört renge boyanabileceği doğru mu? Bazıları dört rengin her zaman yeterli olduğuna inandı ve kanıtlamaya çalıştı, bazıları ise inanmadı ve dört rengin yeterli olmadığı bir örnek ortaya koymaya çalıştı. Bir de şu sorun vardı: Sorunu formüle etmek çok kolay. Bu nedenle pek çok kişi, hatta ciddi olmayan matematikçiler bile bunun üzerine atladı ve bunu kanıtlamaya çalıştı. Ve çok büyük miktarda sözde kanıt ya da sözde çürütme sundular. Onları matematikçilere gönderdiler ve gazetelerde şöyle bağırdılar: “Yaşasın! Dört renk problemini kanıtladım! - ve hatta hatalı kanıtlarla kitaplar yayınladılar. Tek kelimeyle çok fazla gürültü vardı.
Sonunda K. Appel ve W. Haken tarafından kanıtlandı. Şimdi size ispat şemasını kabaca anlatacağım. Ve aynı zamanda bu kanıtın neden başkalarına aktarılamaz olduğunu da göreceğiz. İnsanlar düzlemsel grafiklerin nasıl yapılandırıldığını ciddi şekilde inceleyerek işe başladılar. Birkaç düzine konfigürasyondan oluşan bir liste sundular ve her düzlemsel grafiğin zorunlu olarak bu konfigürasyonlardan birini içerdiğini kanıtladılar. Bu kanıtın ilk yarısı. Kanıtın ikinci yarısı ise, bu konfigürasyonların her biri için grafiğimizde yer alıyorsa dört renkle renklendirilebileceğini kontrol edebilmemizdir.
Daha kesin olarak, ileriki kanıtlar çelişkiyle ilerler. Grafiğimizin dört renkle renklendirilemeyeceğini varsayalım. İlk yarıdan itibaren listeden bazı konfigürasyonlara sahip olduğunu biliyoruz. Bundan sonra bu konfigürasyonların her biri için aşağıdaki muhakeme yapılır. Grafiğimizin bu konfigürasyonu içerdiğini varsayalım. Hadi onu atalım. İndüksiyonla geriye kalanlar dört renge boyanır. Ve kalan dört rengi nasıl boyarsak boyayalım bu konfigürasyonu tamamlayabileceğimizi kontrol ediyoruz.
Yeniden boyanabilir konfigürasyonun en basit örneği, yalnızca diğer üç köşeye bağlı olan bir tepe noktasıdır. Grafiğimizde böyle bir tepe noktası varsa, onu renklendirmeyi sona bırakabileceğimiz açıktır. Geri kalan her şeyi renklendirelim ve sonra bu köşenin hangi renklere bağlı olduğunu görelim ve dördüncüyü seçelim. Diğer konfigürasyonlar için de mantık benzerdir ancak daha karmaşıktır.
Peki tüm bunlar nasıl yapıldı? Bu kadar çok sayıda konfigürasyonun her birinin her zaman elle tamamlandığını kontrol etmek imkansızdır - çok fazla zaman alır. Ve bu çek bilgisayara emanet edildi. Ve çok sayıda vakayı inceledikten sonra aslında bunun böyle olduğunu doğruladı. Sonuç, dört renk sorununun kanıtıydı.
Başlangıçta böyle görünüyordu. İnsan kısmı Kalın bir kitapta yazılmış ve ona iliştirilmiş olan muhakeme, her şeyin renklendirildiğine dair son kontrolün bilgisayara emanet edildiği ve hatta metnin bile eklendiği ifadelerdi. bilgisayar programı Alıntı yapıldı. Bu program her şeyi hesapladı ve her şeyi kontrol etti - aslında her şey yolunda ve bu da dört renk teoreminin kanıtlandığı anlamına geliyor.
Hemen bu tür delillere güvenilip güvenilemeyeceği konusunda bir kargaşa çıktı. Nihayet çoğu Kanıtlar bir kişi tarafından değil, bir bilgisayar tarafından gerçekleştirildi. “Ya bilgisayar bir hata yaparsa?” - böyle dar görüşlü insanlar dedi.
Ve bu kanıtla ilgili sorunlar gerçekten başladı, ancak bunların bilgisayar kısmında değil, insan kısmında olduğu ortaya çıktı. Kanıtlarda kusurlar bulundu. Karmaşık aramalar içeren bu kadar uzun bir metnin elbette hatalar içerebileceği açıktır. Bu hatalar bulundu, ancak neyse ki düzeltildi.
Geriye kalan, o zamandan beri birden fazla bilgisayarda test edilen, hatta aynı aramayı yaparak programları yeniden yazan bilgisayar kısmıydı. Sonuçta tam olarak neyin tekrarlanması gerektiği söylenirse o zaman herkes kendi programını yazıp sonucun olması gerektiği gibi olup olmayacağını kontrol edebilir. Ve bana öyle geliyor ki, örneğin, kanıtta bu kadar büyük bilgisayar aramalarının kullanılması sorun değil. Neden? Ancak dört renk sorunu örneğinde de ortaya çıkan aynı nedenden dolayı, bilgisayar kanıtlarına insan kanıtlarından çok daha fazla güven duyulur, daha az değil. Bilgisayar makinedir diye bağırdılar ama ya bir yerde bozulursa, yoldan çıkarsa, yanlış hesap yaparsa... Ama bu böyle olamaz. Çünkü bilgisayar yanlışlıkla bir yere çökerse ve bir hata meydana gelirse - sıfırın yanlışlıkla bir ile değiştirilmesi - bu yanlış bir sonuca yol açmaz. Bu hiçbir sonuca yol açmayacak, sadece program eninde sonunda bozulacaktır. Bir bilgisayarın gerçekleştirdiği tipik bir işlem nedir? Falanca bir sicilden şu kadar numarayı alıp, onun kontrolünü falan yere devretmişler. Doğal olarak, bu sayıda bir bitlik bir değişiklik olsaydı, kontrol bilinmeyen bir hedefe aktarılırdı; orada, çok geçmeden her şeyi yok edecek bazı komutlar yazılırdı.
Elbette bir bilgisayara program yazarken bir hata olabilir, ancak bu zaten insan hatası. Bir kişi programı okuyabilir ve doğru olup olmadığını kontrol edebilir. Bir kişi ayrıca başka birinin kanıtını okuyabilir ve doğru olup olmadığını kontrol edebilir. Ama bir insanın çok şeyi var daha fazla şans bilgisayardan daha fazla hata yapmak. Başka birinin yeterince uzun kanıtını okuyorsanız ve bunda bir hata varsa, o zaman onu fark etmeme ihtimaliniz çok yüksektir. Neden? Öncelikle ispatı yazanın kendisi bu hatayı yaptığı için psikolojik olarak haklı olduğu anlamına gelir. Yani, bunu bir nedenden dolayı, kazara yaptı - burası prensip olarak tipik bir insanın böyle bir hata yapabileceği bir yer. Bu, aynı hatayı bu pasajı okuyarak ve buna göre fark etmeden de yapabileceğiniz anlamına gelir. Bu nedenle insan doğrulaması, insan kanıtı çok daha azdır güvenilir yol doğrulama, bir bilgisayar programının sonucunu başka bir makinede tekrar çalıştırarak kontrol etmekten daha iyidir. İkincisi pratik olarak her şeyin yolunda olduğunu garanti eder ve ilki ne kadar şanslıdır.
Ve bu sorunla birlikte - insanlar tarafından yazılan bir matematik metninde hata bulmak - giderek zorlaşıyor, hatta bazen imkansız hale geliyor. ciddi problem modern matematik. Bununla savaşmamız gerekiyor. Nasıl - şimdi kimse bilmiyor. Ancak sorun büyük ve şu anda ciddi olarak ortaya çıktı; bunun birkaç örneği var. İşte belki daha az bilinen ama en modern olanlardan biri. Bu Kepler'in eski hipotezidir. Topları içeri sokmaktan bahsediyor üç boyutlu uzay.
Önce iki boyutlu uzayda yani düzlemde neler olduğuna bakalım. Aynı dairelerimiz olsun. Kesişmemeleri için bunları bir düzlem üzerinde çizmenin en yoğun yolu nedir? Bir cevap var - dairelerin merkezlerini altıgen kafesin düğümlerine yerleştirmeniz gerekiyor. Bu ifade tamamen önemsiz değildir, ancak kolaydır.
Ve üç boyutlu uzayda topları nasıl sıkı bir şekilde paketlersiniz? İlk olarak, topları Şekil 6'da gösterildiği gibi bir düzlem üzerine yerleştiriyoruz. Daha sonra, Şekil 7'de gösterildiği gibi, üstüne benzer bir katman daha koyup sonuna kadar bastırıyoruz. Daha sonra üstüne benzer bir katman daha koyuyoruz ve bu şekilde devam ediyor. Bunun, topları üç boyutlu uzayda paketlemenin en yoğun yolu olduğu sezgisel olarak açıktır. Kepler, bu paketlenmenin üç boyutlu uzaydaki en yoğun paket olması gerektiğini savundu (ve ilk formüle eden kişi gibi görünüyor).
Bu 17. yüzyılda oldu ve bu hipotez o zamandan beri varlığını sürdürüyor. 21. yüzyılın başında kanıtı ortaya çıktı. Ve herhangi biriniz onu alıp okuyabilirsiniz. İnternette halka açıktır. Bu iki yüz küsur sayfalık bir makale. Tek bir kişi tarafından yazılmıştır ve aynı zamanda hem bazı saf matematiksel akıl yürütmeleri hem de bilgisayar hesaplamalarını içermektedir.
İlk olarak yazar, problemi doğrulamaya indirgemek için matematiksel akıl yürütmeyi kullanır. sonlu sayı vakalar. Bundan sonra, bazen bir bilgisayar kullanarak bu sonuncuyu kontrol eder, ancak çok sayıda vaka, her şey eşleşir ve - yaşasın! - Kepler'in hipotezi kanıtlandı. Ve işte bu makaledeki sorun şu; onu kimse okuyamıyor. Çünkü ağırdır, çünkü bazı yerlerde bunun gerçekten aşırıya kaçıldığı tam olarak belli değildir, çünkü okumak sıkıcıdır. İki yüz sayfalık sıkıcı hesaplamalar. Bir kişi okuyamaz.
Genel olarak konuşursak, herkes bu makalenin bu teoremin bir kanıtını içerdiğine inanıyor. Ancak öte yandan, henüz kimse bunu dürüstçe doğrulamadı, özellikle bu makale herhangi bir hakemli dergide yayınlanmadı, yani. kendine saygısı olan hiçbir matematikçi “evet, her şey doğru, ve Kepler'in hipotezi kanıtlandı."
Ve tek durum bu değil; matematiğin diğer alanlarında da bu durum yaşanıyor. Son zamanlarda küme teorisinde, model teorisinde çözülmemiş problemlerin bir listesiyle karşılaştım. farklı bölgeler. Ve bir hipotez için şöyle yorumlar var: falanca makalede güya çürütülmüş ama kimse buna inanmıyor.
Durum bu. Bir kişi bir ifadeyi ispatlamıştır ama bunu bir başkasına aktarmayı, bir başkasına anlatmayı becerememektedir.
En korkunç örnek elbette sonlu basit grupların sınıflandırılmasıdır. Tam olarak ne olduğunu, grupların ne olduğunu, sonlu grupların ne olduğunu formüle etmeyeceğim, isterseniz kendiniz öğrenebilirsiniz. Sonlu gruplar bir anlamda basit grup adı verilen basit bloklardan bir araya getirilmişlerdir ve artık daha küçük bloklara ayrılamazlar. Bu sonlu basit gruplardan sonsuz sayıda vardır. Tam listeleri şuna benziyor: Bunlar on yedi sonsuz seri ve sonuna 26'sı ekleniyor ayrı gruplar bir şekilde inşa edilmiş olan ayrı bir şekilde ve hiçbir dizide yer almamaktadır. Bu listenin tüm sonlu basit grupları içerdiği belirtiliyor. Problem matematik için son derece gereklidir. Bu nedenle, 70'li yıllarda, bazı özel fikirler ve çözüm umutları ortaya çıktığında, birkaç yüz matematikçi Farklı ülkeler, itibaren farklı kurumlar, herkes kendi parçasını aldı. Tabiri caizse, bu projenin daha sonra nasıl bir araya getirileceğine dair kaba bir fikri olan mimarları vardı. tek kanıt. İnsanların acele içinde olduğu ve yarıştığı açık. Sonuç olarak, yaptıkları parçaların toplamı yaklaşık 10.000 dergi sayfasına ulaştı ve bu da yayınlandı. Ayrıca ön baskı veya daktilo edilmiş kopyalar halinde bulunan makaleler de var. Ben de bir ara böyle bir makale okumuştum; her ne kadar bu tam kanıtın dikkate değer bir kısmını içerse de, hiçbir zaman yayınlanmamıştı. Ve bu 10.000 sayfa farklı dergilere dağılmış, yazılmış farklı insanlar, İle değişen derecelerde anlaşılabilirlik ve bununla ilgisi olmayan ve bu teorinin mimarlarından biri olmayan sıradan bir matematikçi için, 10.000 sayfanın tamamını okumak imkansız olduğu gibi, ispatın yapısını anlamak da çok zordur. Üstelik bu mimarlardan bazıları o zamandan beri öldü.
Kanıtın yalnızca kimsenin okuyamayacağı metin biçiminde olmasına rağmen sınıflandırmanın tamamlandığını duyurdular ve bu da aşağıdaki sıkıntıya yol açtı. Yeni matematikçiler sonlu gruplar teorisine girmeye daha az istekliydiler. Daha az ve daha az daha az insan bunu yapar. Ve 50 yıl sonra Dünya'da bu kanıttan herhangi bir şey anlayabilecek tek bir kişi bile olmayabilir. Efsaneler olacak: Büyük atalarımız, tüm sonlu basit grupların bu listede yer aldığını ve başka grupların olmadığını kanıtlayabildiler, ancak artık bu bilgi kayboldu. Oldukça gerçekçi bir durum. Ama ne mutlu ki, bu durumu gerçekçi bulan tek kişi ben değilim, dolayısıyla buna karşı mücadele ediyorlar, hatta “Felsefi ve Felsefi” adlı özel bir proje bile düzenlediklerini duydum. Matematik problemleri sonlu basit grupların sınıflandırılmasının kanıtıyla ilgili." Bu kanıtı Türkiye'ye getirmeye çalışanlar var. okunabilir form ve belki bir gün gerçekten işe yarar. Bütün bu zorluklar karşısında ne yapacağını bulmaya çalışan insanlar var. İnsanlık bu görevi hatırlıyor ve bu da eninde sonunda bu işin üstesinden geleceği anlamına geliyor. Ancak yine de, kanıtlanabilen, ancak kanıtını kimsenin okuyamadığı, kimsenin kimseye söyleyemediği, eşit derecede karmaşık başka teoremler de ortaya çıkabilir.
Teorem dört
Şimdi size biraz anlatacağım dördüncü teorem en korkunç olanı bile olabilir - "sana anlatsa bile kimse ilgilenmeyecektir." Bu sorunun belirli bir kısmı zaten duyuldu. İnsanlar artık sonlu grupları incelemekle ilgilenmiyor. Bunu gittikçe daha az insan yapıyor ve metin biçiminde korunan bilgi yığınına artık kimse ihtiyaç duymuyor, kimse onu nasıl okuyacağını bilmiyor. Bu aynı zamanda matematiğin birçok alanını tehdit eden bir problemdir.
Matematiğin bazı alanlarının şanslı olduğu açıktır. Örneğin, aynı grafik teorisi ve kombinatorik. Bunları ciddi bir şekilde yapmaya başlamak için çok az şey bilmeniz gerekir. Biraz öğrendiniz, Olimpiyat problemlerini çözdünüz, bir adım - ve çözülmemiş bir problemle karşı karşıyasınız. Üstlenilecek bir şey var - yaşasın, üstleneceğiz, ilginç, üzerinde çalışacağız. Ancak matematiğin öyle alanları var ki, bu alanın gerçekten güzel olduğunu ve bu alanda çalışmak istediğinizi hissetmek için bile çok şey öğrenmeniz gerekiyor. Ve aynı zamanda yol boyunca daha birçok güzel şey öğreneceksiniz. Ama yol boyunca karşılaştığınız bu güzellikler dikkatinizi dağıtmamalı ve sonunda oraya ulaşıyorsunuz, vahşi doğanın ortasında, zaten oradaki güzelliği görüyorsunuz ve o zaman bile çok şey öğrendikten sonra bu alanı inceleyebilir hale geliyorsunuz. matematik. Ve bu zorluk bu tür alanlar için bir sorundur. Matematik alanının gelişmesi için pratik yapılması gerekmektedir. Yeterli sayıda insanın bu konuyla o kadar ilgilenmesi gerekiyor ki, tüm zorlukları aşsınlar, oraya ulaşsınlar ve bundan sonra da yapmaya devam etsinler. Ve şimdi matematik öyle bir karmaşıklık düzeyine ulaşıyor ki, bu birçok alan için temel sorun haline geliyor.
İnsanlığın tüm bu sorunlarla nasıl başa çıkacağını bilmiyorum ama görmek ilginç olacak.
Aslında hepsi bu.
Büyük bir olay
Yeni Yıl bülteninde nasıl tost yapılacağına dair bir kez, yirminci yüzyılın sonunda, pek çoğunun fark etmediği büyük bir olayın gerçekleştiğinden tesadüfen bahsetmiştim - sözde Fermat'ın Son Teoremi. Bununla ilgili olarak aldığım mektuplar arasında kızlardan iki yanıt buldum (hatırladığım kadarıyla bunlardan biri Zelenograd'dan dokuzuncu sınıf öğrencisi Vika idi), bu gerçeğe şaşırdılar.
Kızların modern matematiğin problemlerine bu kadar ilgi duymalarına şaşırdım. Bu nedenle sadece kızların değil, lise öğrencilerinden emeklilere kadar her yaştan erkek çocuğunun da Büyük Teoremin tarihini öğrenmekle ilgileneceğini düşünüyorum.
Fermat teoreminin ispatı büyük bir olaydır. Ve çünkü "Harika" kelimesiyle şaka yapmak alışılmış bir şey değil ama bana öyle geliyor ki, kendine saygısı olan her konuşmacı (ve konuştuğumuzda hepimiz konuşmacıyız) teoremin tarihini bilmekle yükümlüdür.
Eğer matematiği benim sevdiğim kadar sevmiyorsanız o zaman bazı ayrıntılara göz atın. Bültenimizin tüm okuyucularının matematik ormanında gezinmekle ilgilenmediğini fark ederek herhangi bir formül vermemeye (Fermat teoreminin denklemi dışında) ve bazı spesifik konuların kapsamını mümkün olduğunca basitleştirmeye çalıştım.
Fermat ortalığı nasıl karıştırdı?
Fransız avukat ve yarı zamanlı büyük matematikçi 17. yüzyılda Pierre Fermat (1601-1665), sayı teorisi alanında daha sonra Fermat'ın Büyük (veya Büyük) Teoremi olarak anılacak ilginç bir ifade ortaya koydu. Bu en ünlü ve olağanüstü matematik teoremlerinden biridir. Muhtemelen, Fermat'ın sık sık çalıştığı, geniş kenar boşluklarına notlar aldığı ve oğlu Samuel'in gelecek nesiller için nezaketle sakladığı İskenderiyeli Diophantus'un (III. Yüzyıl) “Aritmetik” kitabında, etrafındaki heyecan bu kadar güçlü olmazdı. Büyük matematikçinin yaklaşık olarak aşağıdaki notu keşfedilmemişti:
"Elimde çok şaşırtıcı bazı deliller var ama bunlar kenar boşluklarına sığmayacak kadar büyük."
Teorem etrafında daha sonra ortaya çıkan devasa yaygaranın nedeni de bu kayıttı.
Böylece ünlü bilim adamı teoremini kanıtladığını ilan etti. Kendimize soralım: Gerçekten bunu kanıtladı mı, yoksa sadece yalan mı söyledi? Yoksa sonraki nesillerin pek çok matematikçisinin huzur içinde uyumasına izin vermeyen bu notun kenarlarda görünmesini açıklayan başka versiyonlar var mı?
Büyük Teoremin hikayesi zaman içinde yapılan bir macera kadar büyüleyicidir. 1636'da Fermat, Xn+Yn=Zn şeklindeki bir denklemin n>2 üssü olan tamsayılarda çözümü olmadığını belirtti. Tam olarak bu Büyük TeoremÇiftlik. Evren, görünüşte basit olan bu matematiksel formülde inanılmaz karmaşıklığı gizledi.
Durum uzun süredir gelişmekte olduğundan, bazı nedenlerden dolayı teoremin geç ortaya çıkması biraz gariptir, çünkü n = 2 özel durumu bir başka ünlüdür. Matematik formülü- Pisagor teoremi yirmi iki yüzyıl önce ortaya çıktı. Fermat teoreminden farklı olarak, Pisagor teoreminin sonsuz sayıda tamsayı çözümü vardır, örneğin aşağıdaki Pisagor üçgenleri: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …
Büyük Teorem Sendromu
Kim Fermat'ın teoremini kanıtlamaya çalışmadı? Yeni mezun her öğrenci, Büyük Teoremi uygulamaya koymanın kendi görevi olduğunu düşündü, ancak kimse bunu kanıtlayamadı. İlk başta yüz yıl boyunca işe yaramadı. Sonra bir yüz tane daha. Matematikçiler arasında bir kitle sendromu gelişmeye başladı: "Bu nasıl olabilir Fermat, ama ne yapamam?" ve bazıları bu temelde çıldırdı Her anlamda bu kelime.
Teorem kaç kez test edilirse edilsin, her zaman doğru olduğu ortaya çıktı. Yüksek hızlı bir bilgisayar (o zamanlar daha yaygın olarak ana bilgisayar olarak adlandırılıyordu) kullanarak tamsayılar arasında arama yaparak en az bir çözüm bulmaya çalışarak Büyük Teoremi çürütme konusunda takıntılı olan hevesli bir programcı tanıyordum. Girişiminin başarısına inanıyordu ve şunu söylemeyi seviyordu: "Biraz daha - ve bir sansasyon ortaya çıkacak!" Gezegenimizin farklı yerlerinde bu tür cesur arayışçıların önemli sayıda olduğunu düşünüyorum. Elbette tek bir çözüm bulamadı. Ve hiçbir bilgisayar, inanılmaz hızlara sahip olsa bile teoremi doğrulayamaz çünkü bu denklemin tüm değişkenleri (üslü sayılar dahil) sonsuza kadar artabilir.
18. yüzyılın en virtüöz ve üretken matematikçisi, insanlığın neredeyse bir yüzyıldır araştırdığı kayıt arşivine sahip olan Leonard Euler, Fermat'ın 3 ve 4. kuvvetler teoremini kanıtladı (daha doğrusu Pierre Fermat'ın kayıp kanıtlarını tekrarladı). ; sayı teorisindeki takipçisi Legendre - 5. kuvvetler için; Dirichlet - 7. derece için. Ancak genel olarak teorem kanıtlanmadan kaldı.
20. yüzyılın başında (1907), Wolfskehl adında zengin bir Alman matematik aşığı, bu konuyu sunan herkese yüz bin mark miras bıraktı. tam kanıt Fermat'ın teoremleri. Heyecan başladı. Matematik bölümleri binlerce ispatla doluydu ama tahmin edebileceğiniz gibi bunların hepsi hatalar içeriyordu. Almanya'daki bazı üniversitelerde öyle diyorlar ki Büyük miktarlar Fermat teoreminin “kanıtları” alındı, yaklaşık olarak aşağıdaki içerikte formlar hazırlandı:
Canım __________________________!
Fermat teoreminin ispatında ____ sayfada üstteki ____ satırda
formülde şu hata tespit edildi:__________________________:,
Şanssız ödül adaylarına gönderildi.
O zamanlar matematikçiler arasında yarı aşağılayıcı bir takma ad ortaya çıktı - çiftçi. Bu, bilgiden yoksun, ancak Büyük Teoremi kanıtlamak için aceleyle şansını deneyecek kadar hırsı olan ve daha sonra farkına varmadan kendine güvenen yeni başlayanlara verilen addı. kendi hataları gururla göğsüne tokat atarak yüksek sesle şunu ilan eder: "Fermat'ın teoremini kanıtlayan ilk kişi bendim!" Her çiftçi, on binde biri olsa bile, kendisini ilk sayıyordu - bu komikti. Basit dış görünüş Büyük Teorem çiftçilere kolay avı o kadar hatırlattı ki, Euler ve Gauss'un bile bununla baş edememesinden hiç utanmadılar.
(Garip bir şekilde, Fermatistler bugün hala mevcut. İçlerinden biri, klasik bir Fermatist gibi teoremi kanıtladığını düşünmese de, yakın zamana kadar girişimlerde bulundu - ona Fermat'ın teoreminin zaten kanıtlanmış olduğunu söylediğimde bana inanmayı reddetti. kanıtlanmış).
Belki de en güçlü matematikçiler de ofislerinin sessizliğinde bu imkansız haltere dikkatlice yaklaşmaya çalıştılar, ancak çiftçi olarak damgalanmamak ve dolayısıyla yüksek otoritelerine zarar vermemek için bunun hakkında yüksek sesle konuşmadılar. .
O zamana kadar, n üssü için teoremin bir kanıtı ortaya çıktı
