1. ve 2. tür eğrisel denklemlerin uygulamaları. Eğrisel İntegrallerin Hesaplanması: Teori ve Örnekler

Ders 5 1. ve 2. tür eğrisel integraller, özellikleri.

Eğri kütle problemi. 1. türden eğrisel integral.

Eğri kütle problemi. Parçalı düzgün L:(AB) malzeme eğrisinin her noktasında yoğunluğu belirtilsin. Eğrinin kütlesini belirleyin.

Düz bir bölgenin kütlesini belirlerken yaptığımız gibi aynı şekilde ilerleyelim ( çift ​​katlı integral) ve uzaysal bir cisim (üçlü integral).

1. L yay bölgesinin elemanlarına (temel yaylar) bölünmesini düzenliyoruz, böylece bu elemanların ortak özellikleri yoktur. iç noktalar Ve( koşul A )

3. Yayın uzunluğunu gösteren integral toplamını oluşturun (genellikle yay ve uzunluğu için aynı gösterim kullanılır). Bu - yaklaşık değer kütle eğrisi. Basitleştirme, ark yoğunluğunun her elemanda sabit olduğunu varsaymamız ve son sayı unsurlar.

Sağlanan sınıra doğru hareket etme (koşul B ), integral toplamlarının limiti olarak birinci türden eğrisel bir integral elde ederiz:

.

Varlık teoremi.

Fonksiyonun parçalı düzgün bir L yayı üzerinde sürekli olmasına izin verin. Bu durumda, integral toplamlarının limiti olarak birinci türden bir çizgi integrali mevcuttur.

Yorum. Bu sınır şunlara bağlı değildir:

Birinci türden eğrisel bir integralin özellikleri.

1. Doğrusallık
a) süperpozisyon özelliği

b) homojenlik özelliği .

Kanıt. Eşitliklerin sol tarafındaki integrallerin integral toplamlarını yazalım. İntegral toplamının sonlu sayıda terimi olduğundan, eşitliğin sağ tarafları için integral toplamlarına geçiyoruz. Daha sonra limite geçiyoruz, eşitlikte limite geçiş teoremini kullanarak istenilen sonucu elde ediyoruz.

2. Toplanabilirlik.
Eğer , O = +

3. Burada yay uzunluğu verilmiştir.

4. Yay üzerinde eşitsizlik sağlanıyorsa, o zaman

Kanıt. İntegral toplamlarının eşitsizliğini yazıp limite geçelim.

Özellikle bunun mümkün olduğunu unutmayın.

5. Tahmin teoremi.

Eğer sabitler varsa, o zaman

Kanıt. Eşitsizliği entegre etmek (özellik 4), şunu elde ederiz . Özellik 1 ile sabitler integrallerden çıkarılabilir. Özellik 3'ü kullanarak istenen sonucu elde ederiz.

6. Ortalama değer teoremi(integralin değeri).

Bir nokta var , Ne

Kanıt. Fonksiyon kapalı bir düzlemde sürekli olduğundan sınırlı set, o zaman var alt kenar ve üst kenar . Eşitsizlik tatmin oldu. Her iki tarafı da L'ye bölersek şunu elde ederiz: . Ama sayı fonksiyonun alt ve üst sınırları arasına alınır. Fonksiyon kapalı sınırlı bir L kümesi üzerinde sürekli olduğundan, bir noktada fonksiyonun bu değeri alması gerekir. Buradan, .

Birinci türden eğrisel integralin hesaplanması.

L yayını parametreleştirelim: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). t 0'ın A noktasına ve t 1'in B noktasına karşılık gelmesine izin verin. O zaman birinci türden çizgi integrali şuna indirgenir: belirli integral (- yay uzunluğunun diferansiyelini hesaplamak için 1. yarıyıldan beri bilinen formül):

Örnek. Homojen (yoğunluğu k'ya eşit) bir sarmalın bir turunun kütlesini hesaplayın: .

2. tür eğrisel integral.

Kuvvet çalışması sorunu.

1. AB yayı bölgesinin elemanlara - temel yaylara bölünmesini düzenliyoruz, böylece bu elemanların ortak iç noktaları olmaz ve( koşul A )

2. Bölümün elemanları üzerindeki “işaretli noktaları” M i işaretleyelim ve içlerindeki fonksiyonun değerlerini hesaplayalım.

3. İntegral toplamını oluşturalım , -arc'ın altındaki akor boyunca yönlendirilen vektör nerede.

4. Sağlanan limite gitmek (koşul B ), integral toplamlarının (ve kuvvet işinin) limiti olarak ikinci türden eğrisel bir integral elde ederiz:

. Genellikle belirtilir

Varlık teoremi.

Vektör fonksiyonu parçalı düzgün bir L yayı üzerinde sürekli olsun. Bu durumda, integral toplamlarının limiti olarak ikinci türden bir eğrisel integral mevcuttur.

.

Yorum. Bu sınır şunlara bağlı değildir:

A koşulu karşılandığı sürece bölüm seçme yöntemi

Partition elemanları üzerinde “işaretli noktaların” seçilmesi,

B koşulu karşılandığı sürece bölmeyi iyileştirmek için bir yöntem

2. tür eğrisel integralin özellikleri.

1. Doğrusallık
a) süperpozisyon özelliği

b) homojenlik özelliği .

Kanıt. Eşitliklerin sol tarafındaki integrallerin integral toplamlarını yazalım. İntegral toplamında terim sayısı sonlu olduğundan, bu özellik kullanılarak nokta çarpım Eşitliklerin sağ taraflarının integral toplamlarına geçelim. Daha sonra limite geçiyoruz, eşitlikte limite geçiş teoremini kullanarak istenilen sonucu elde ediyoruz.

2. Toplanabilirlik.
Eğer , O = + .

Kanıt. L bölgesinin bir bölümünü seçelim ki, bölüm elemanlarından hiçbiri (başlangıçta ve bölüm iyileştirildiğinde) aynı anda hem L 1 hem de L 2 öğelerini içersin. Bu, varlık teoremi kullanılarak yapılabilir (teoreme açıklama). Daha sonra ispat, paragraf 1'de olduğu gibi integral toplamlar aracılığıyla gerçekleştirilir.

3. Yönlendirilebilirlik.

= -

Kanıt. –L yayı üzerinde integral, yani. V olumsuz yön Yayın çapraz geçişi, () olan terimlerdeki integral toplamların sınırıdır. Skaler çarpımdan ve sonlu sayıda terimin toplamından “eksi”yi çıkarıp limite geçerek istenilen sonucu elde ederiz.

Teorik minimum

Eğrisel ve yüzey integralleri fizikte sıklıkla bulunur. İlki burada tartışılan iki türde gelirler. Bu
integrallerin türü şuna göre inşa edilir: genel şema, bununla kesin, çift ve üçlü integraller. Bu şemayı kısaca hatırlayalım.
Üzerinde entegrasyonun gerçekleştirildiği bir nesne vardır (tek boyutlu, iki boyutlu veya üç boyutlu). Bu nesne küçük parçalara bölünür.
Her parçada bir nokta seçilir. Bu noktaların her birinde integrandın değeri hesaplanır ve bu kısmın ölçüsü ile çarpılır.
ait verilen nokta(bir segmentin uzunluğu, kısmi bir bölgenin alanı veya hacmi). Daha sonra bu tür tüm ürünler toplanır ve limit karşılanır
nesneyi sonsuz küçük parçalara ayırmaya geçiş. Ortaya çıkan limite integral denir.

1. Birinci türden eğrisel integralin tanımı

Bir eğri üzerinde tanımlı bir fonksiyonu ele alalım. Eğrinin düzeltilebilir olduğu varsayılmaktadır. Kabaca söylemek gerekirse bunun ne anlama geldiğini hatırlayalım.
keyfi olarak küçük bağlantılara sahip kesikli bir çizginin bir eğriye yazılabileceği ve limitte sonsuz olduğu büyük sayı bağlantılar, kesikli çizginin uzunluğu kalmalıdır
final. Eğri, kısmi uzunluktaki yaylara bölünür ve yayların her birinde bir nokta seçilir. Bir çalışma derleniyor
toplama tüm kısmi yaylar üzerinde gerçekleştirilir . Daha sonra sınıra geçiş, en büyük uzunluğun eğilimi ile gerçekleştirilir.
kısmi yaylardan sıfıra. Limit birinci türden eğrisel bir integraldir
.
Bu integralin tanımından doğrudan çıkan önemli bir özelliği, integralin yönünden bağımsız olmasıdır;
.

2. Birinci türden yüzey integralinin tanımı

Pürüzsüz veya parçalı pürüzsüz bir yüzey üzerinde tanımlanmış bir fonksiyonu düşünün. Yüzey kısmi alanlara bölünmüştür
Alanlarda bu alanların her birinde bir nokta seçilir. Bir çalışma derleniyor , toplama gerçekleştirilir
tüm kısmi alanlar üzerinde . Daha sonra sınıra geçiş, tüm kısmi parçaların en büyüğünün çapının eğilimi ile gerçekleştirilir.
alanlar sıfırdır. Limit birinci türden bir yüzey integralidir
.

3. Birinci tür eğrisel integralin hesaplanması

Birinci türden eğrisel bir integralin hesaplanmasına yönelik yöntem, biçimsel gösteriminden zaten görülebilir, ancak aslında doğrudan aşağıdaki gibidir:
tanımlar. İntegral belirli bir değere indirgenir; sadece entegrasyonun gerçekleştirildiği eğri yayının diferansiyelini yazmanız gerekir.
Şununla başlayalım: basit durum açık bir denklemle verilen bir düzlem eğrisi boyunca entegrasyon. Bu durumda ark farkı
.
Daha sonra integralde değişken değişikliği yapılır ve integral şu ​​şekli alır:
,
burada segment, eğrinin entegrasyonun gerçekleştirildiği kısmı boyunca değişkendeki değişime karşılık gelir.

Çoğu zaman eğri parametrik olarak belirtilir; formun denklemleri Daha sonra ark farkı
.
Bu formül çok basit bir şekilde gerekçelendirilmiştir. Aslında bu Pisagor teoremidir. Yay diferansiyeli aslında eğrinin sonsuz küçük kısmının uzunluğudur.
Eğri düzgünse, sonsuz küçük kısmı doğrusal olarak kabul edilebilir. Düz bir çizgi için şu ilişkiye sahibiz
.
Eğrinin küçük bir yayında gerçekleştirilebilmesi için sonlu artışlardan diferansiyellere geçilmesi gerekir:
.
Eğri parametrik olarak belirtilirse, farklar basitçe hesaplanır:
vesaire.
Buna göre integraldeki değişkenler değiştirildikten sonra çizgi integrali şu şekilde hesaplanır:
,
burada entegrasyonun gerçekleştirildiği eğrinin kısmı, parametre değişikliğinin segmentine karşılık gelir.

Eğrinin şu şekilde belirtildiği durumda durum biraz daha karmaşıktır: eğrisel koordinatlar. Bu konu genellikle diferansiyel çerçevesinde tartışılmaktadır.
geometri. Verilen eğri boyunca integrali hesaplamak için bir formül verelim. kutupsal koordinatlar denklem:
.
Yayın diferansiyeli için kutupsal koordinatlarda bir gerekçe verelim. Izgara inşaatının ayrıntılı tartışması kutup sistemi koordinatlar
santimetre. . Şekil 2'de gösterildiği gibi koordinat çizgilerine göre konumlanan eğrinin küçük bir yayını seçelim. 1. Öne çıkanların hepsinin küçük olması nedeniyle
yine Pisagor teoremini uygulayıp şunu yazabiliriz:
.
Buradan yayın diferansiyeli için istenen ifade gelir.

Saf ile teorik nokta Görsel açıdan bakıldığında, birinci türden eğrisel bir integralin kendi özel durumuna indirgenmesi gerektiğini basitçe anlamak yeterlidir -
belirli bir integrale. Aslına bakılırsa, integralin hesaplandığı eğrinin parametrelendirilmesinin gerektirdiği değişikliği yaparak şunu belirleriz:
Belirli bir eğrinin bir kısmı ile parametre değişikliğinin bir kısmı arasındaki bire bir eşleme. Ve bu integrale bir azalmadır
ile çakışan düz bir çizgi boyunca koordinat ekseni- belirli bir integral.

4. Birinci türden yüzey integralinin hesaplanması

Önceki noktadan sonra, birinci türden bir yüzey integralini hesaplamanın ana kısımlarından birinin yüzey elemanını yazmak olduğu açık olmalıdır,
entegrasyonun gerçekleştirildiği yer. Yine açık bir denklemle tanımlanan yüzeyin basit durumuyla başlayalım. Daha sonra
.
İntegralde bir değişiklik yapılır ve yüzey integrali ikiye indirgenir:
,
üzerine entegrasyonun gerçekleştirildiği yüzeyin bir kısmının yansıtıldığı düzlemin bölgesi neresidir?

Bununla birlikte, bir yüzeyi açık bir denklemle tanımlamak çoğu zaman imkansızdır ve daha sonra parametrik olarak tanımlanır; formun denklemleri
.
Bu durumda yüzey elemanı daha karmaşık yazılmıştır:
.
Yüzey integrali buna göre yazılabilir:
,
entegrasyonun gerçekleştirildiği yüzey kısmına karşılık gelen parametre değişikliklerinin aralığı nerede?

5. Birinci tür eğrisel ve yüzey integrallerinin fiziksel anlamı

Tartışılan integrallerin çok basit ve açık bir anlamı vardır. fiziksel anlam. Doğrusal yoğunluğu olmayan bir eğri olsun.
sabittir ve noktanın bir fonksiyonudur . Bu eğrinin kütlesini bulalım. Eğriyi birçok küçük öğeye bölelim,
yoğunluğu yaklaşık olarak sabit kabul edilebilir. Bir eğrinin küçük bir parçasının uzunluğu eşitse kütlesi
, burada eğrinin seçilen parçasının herhangi bir noktası (yoğunluk şu aralıkta olduğundan herhangi biri)
bu parçanın yaklaşık olarak sabit olduğu varsayılır). Buna göre, tüm eğrinin kütlesi, tek tek parçalarının kütlelerinin toplanmasıyla elde edilir:
.
Eşitliğin doğru olması için, eğriyi sonsuz küçük parçalara bölme sınırına kadar gidilmelidir, ancak bu birinci türden bir eğrisel integraldir.

Doğrusal yük yoğunluğu biliniyorsa eğrinin toplam yükü sorusu benzer şekilde çözülür. .

Bu argümanlar, düzgün olmayan yüklü bir yüzey durumuna kolaylıkla aktarılabilir. yüzey yoğunluğuşarj . Daha sonra
yüzey yükü birinci türden bir yüzey integralidir
.

Not. Parametrik olarak tanımlanan bir yüzey elemanı için hantal bir formülün hatırlanması sakıncalıdır. Diferansiyel geometride başka bir ifade elde edilir,
sözde kullanır Birinci ikinci dereceden form yüzeyler.

Birinci türden eğrisel integrallerin hesaplanmasına örnekler

Örnek 1. Bir çizgi boyunca integral.
İntegrali hesapla

noktalarından geçen bir doğru parçası boyunca ve .

İlk önce entegrasyonun gerçekleştirildiği düz çizginin denklemini yazıyoruz: . için bir ifade bulalım:
.
İntegrali hesaplıyoruz:

Örnek 2. Düzlemdeki bir eğri boyunca integral.
İntegrali hesapla

noktadan noktaya bir parabol yayı boyunca.

Ayar noktaları ve parabol denkleminden bir değişkeni ifade etmenize izin verir: .

İntegrali hesaplıyoruz:
.

Ancak eğrinin değişkene göre çözülmüş bir denklemle verilmesi gerçeğinden yararlanarak hesaplamaları başka bir şekilde yapmak mümkündü.
Bir değişkeni parametre olarak alırsak, bu şuna yol açacaktır: küçük değişiklik yay diferansiyeli için ifadeler:
.
Buna göre integral biraz değişecek:
.
Bu integral, diferansiyelin altındaki değişkeni değiştirerek kolayca hesaplanır. Sonuç, ilk hesaplama yöntemindeki ile aynı integraldir.

Örnek 3. Düzlemdeki bir eğri boyunca integral (parametrizasyon kullanılarak).
İntegrali hesapla

dairenin üst yarısı boyunca .

Elbette değişkenlerden birini bir daire denkleminden ifade edebilir ve ardından hesaplamaların geri kalanını standart şekilde gerçekleştirebilirsiniz. Ama aynı zamanda kullanabilirsiniz
parametrik eğri spesifikasyonu. Bildiğiniz gibi bir daire denklemlerle tanımlanabilir. Üst yarım daire
içindeki parametredeki bir değişikliğe karşılık gelir. Ark farkını hesaplayalım:
.
Böylece,

Örnek 4. Kutupsal koordinatlarla belirtilen bir düzlemdeki eğri boyunca integral.
İntegrali hesapla

lemniskatın sağ lobu boyunca .

Yukarıdaki çizim bir lemniskatı göstermektedir. Entegrasyon sağ lobu boyunca yapılmalıdır. Eğrinin yay diferansiyelini bulalım :
.
Bir sonraki adım, kutup açısı üzerindeki entegrasyonun sınırlarını belirlemektir. Eşitsizliğin sağlanması gerektiği açıktır ve bu nedenle
.
İntegrali hesaplıyoruz:

Örnek 5. Uzayda bir eğri boyunca integral.
İntegrali hesapla

parametre değişikliğinin sınırlarına karşılık gelen sarmalın dönüşü boyunca

Parametrik denklemlerle tanımlanan bir AB eğrisine, eğer fonksiyonlar ve parça üzerinde sürekli türevleri varsa ve parça üzerinde sonlu sayıda noktada bu türevler mevcut değilse veya aynı anda yok oluyorsa, o zaman eğri parçalı düzgün olarak adlandırılır. AB düz bir eğri, düzgün veya parçalı düzgün olsun. f(M) AB eğrisi üzerinde veya bu eğriyi içeren bazı D bölgesinde tanımlı bir fonksiyon olsun. A B eğrisinin noktalara göre parçalara bölünmesini düşünelim (Şekil 1). Yayların her birinde A^At+i'yi seçiyoruz keyfi nokta Mk'yi bulun ve Alt'ın yayın uzunluğu olduğu bir toplam yapın ve buna f(M) fonksiyonunun eğri yayının uzunluğu boyunca integral toplamı adını verin. Kısmi yayların uzunluklarının en büyüğü D / olsun, yani Uzay eğrileri için 1. tür eğrisel integrallerin özellikleri 2. tür eğrisel integraller Eğrisel bir integralin hesaplanması Özellikler Tanımlar Arası İlişki. İntegral toplamında (I) varsa son sınır AB eğrisini parçalara ayırma yöntemine veya bölümün yaylarının her birindeki noktaların seçimine bağlı olmayan bu limite, f( fonksiyonunun \'inci türünün eğrisel integrali denir. M) AB eğrisi boyunca (eğrinin yayının uzunluğu boyunca integral) ve sembolüyle gösterilir. Bu durumda, /(M) fonksiyonuna ABU eğrisi boyunca integrallenebilir olduğu söylenir; A B eğrisine kontur denir; İntegral, A başlangıç ​​noktası, B ise integralin bitiş noktasıdır. Dolayısıyla, tanım gereği, Örnek 1. Değişken doğrusal yoğunluğa sahip J(M) bir kütlenin düzgün bir L eğrisi boyunca dağıtıldığını varsayalım. L eğrisinin m kütlesini bulun. (2) L eğrisini n adet isteğe bağlı parçaya bölelim ve her parçanın yoğunluğunun sabit ve herhangi bir noktadaki yoğunluğa eşit olduğunu varsayarak her parçanın kütlesini yaklaşık olarak hesaplayalım. , örneğin en sol noktada /(Af*). Bu durumda, D/d'nin D'inci kısmın uzunluğu olduğu toplam ksh, m kütlesinin yaklaşık bir değeri olacaktır. L eğrisinin bölümü ne kadar küçük olursa, kesin değeri de o kadar küçük elde edeceğimiz açıktır. L eğrisinin tamamının kütlesi, yani. AB eğrisi üzerinde 0 varsa, o zaman 5'tir. Fonksiyon AB eğrisi üzerinde integrallenebilirse, || fonksiyonu aynı zamanda A B üzerinde integrallenebilir ve aynı zamanda b'dir. Ortalama formül. Eğer / fonksiyonu AB eğrisi boyunca sürekli ise, bu eğri üzerinde L'nin AB eğrisinin uzunluğu olduğu bir Mc noktası vardır. 1.3. 1. tür eğrisel integralin hesaplanması AB eğrisinin, A noktası t = ila değerine ve B noktası değere karşılık gelecek şekilde parametrik denklemlerle verilsin. Fonksiyonların türevleriyle birlikte sürekli olduğunu ve eşitsizliğin sağlandığını varsayacağız. Daha sonra, özellikle AB eğrisi açık bir denklemle veriliyorsa, eğrinin yayının diferansiyeli hesaplanır. [a, b] üzerinde türevlenebilir ve A noktası x = a değerine ve B noktası - değer x = 6'ya karşılık gelir, o zaman x'i parametre olarak alarak 1.4 elde ederiz. Uzaysal eğriler için 1. tür eğrisel integraller Yukarıda bir düzlem eğri için formüle edilen 1. türden eğrisel integralin tanımı, f(M) fonksiyonunun bir AB uzaysal eğrisi boyunca verildiği duruma tam anlamıyla aktarılır. AB eğrisi parametrik denklemlerle verilsin Uzamsal eğriler için 1. tür eğrisel integrallerin özellikleri 2. tür eğrisel integraller Eğrisel bir integralin hesaplanması Özellikler Arasındaki İlişki Daha sonra bu eğri boyunca alınan eğrisel integral aşağıdaki formül kullanılarak belirli bir integrale indirgenebilir: aşağıdaki formülü kullanın: Örnek 2. L'nin, köşeleri bir noktada olan bir üçgenin konturu olduğu eğrisel integrali hesaplayın* (Şekil 3). Toplanabilirlik özelliği sayesinde her bir integrali ayrı ayrı hesaplayalım. OA segmentinde elimizde: , sonra AN segmentinde elimizde var, burada ve sonra Şekil 1. Son olarak, Bu nedenle, Not. İntegralleri hesaplarken, buna göre özellik 1'i kullandık. 2. türden eğrisel integraller A B, xOy düzleminde düzgün veya parçalı düzgün yönelimli bir eğri olsun ve AB eğrisini içeren bir D alanında tanımlanan bir vektör fonksiyonu olsun. AB eğrisini koordinatlarını sırasıyla ile gösterdiğimiz noktalara sahip parçalara bölelim (Şekil 4). AkAk+\ temel yaylarının her birinde rastgele bir nokta alıp toplamını alıyoruz. Yayların en büyüğünün uzunluğu D/ olsun. Toplamda (1), AB eğrisini bölme yöntemine veya temel yaylar üzerindeki rjk) noktalarının seçimine bağlı olmayan sonlu bir limite sahipse, bu limite vektörün 2-kenarının eğrisel integrali denir. AB eğrisi boyunca fonksiyondur ve tanımı gereği So sembolü ile gösterilir. Teorem 2. AB eğrisini içeren bazı D bölgesinde fonksiyonlar sürekli ise, bu durumda 2-kentin eğrisel integrali mevcuttur. M(x, y) noktasının yarıçap vektörü olsun. Bu durumda formül (2)'deki integral, F(M) ve dr vektörlerinin skaler çarpımı olarak temsil edilebilir. Yani bir vektör fonksiyonunun 2. tür AB eğrisi boyunca integrali kısaca şu şekilde yazılabilir: 2.1. 2. tür eğrisel integralin hesaplanması AB eğrisinin parametrik denklemlerle tanımlanmasına izin verin; burada fonksiyonlar segment üzerindeki türevlerle birlikte süreklidir ve t parametresindeki t0'dan t\'ye bir değişiklik bir hareketine karşılık gelir. A noktasının AB eğrisi boyunca B noktasına kadar olan noktadan B noktasına kadar. AB eğrisini içeren bir D bölgesinde fonksiyonlar sürekli ise, o zaman 2. türden eğrisel integral aşağıdaki belirli integrale indirgenir: Böylece, 2. tür eğrisel integral de belirli integralin hesaplanmasına indirgenebilir. О) Örnek 1. Noktaları birleştiren düz bir çizgi parçası boyunca integrali hesaplayın 2) aynı noktaları birleştiren bir parabol boyunca) Bir çizgi parametresinin denklemi, buradan So 2) AB çizgisinin denklemi: Dolayısıyla, dikkate alınan örnek, 2. türden bir eğri integrali genel anlamda integrasyon yolunun şekline bağlıdır. 2.2. 2. tür eğrisel integralin özellikleri 1. Doğrusallık. Uzay eğrileri için 1. tür eğrisel integrallerin özellikleri varsa 2. tür eğrisel integraller Eğrisel bir integralin hesaplanması Özellikler O zaman herhangi bir gerçek a ve /5 için bir integral vardır, burada 2. Additenost. AB eğrisi AC ve SB kısımlarına bölünmüşse ve bir eğrisel integral mevcutsa, o zaman integraller de vardır. 2. türden bir eğrisel integralin fiziksel yorumunun son özelliği işe yarar. kuvvet alanı Belirli bir yol boyunca F: Bir eğri boyunca hareketin yönü değiştiğinde, bu eğri boyunca kuvvet alanının işi ters yönde işaret değiştirir. 2.3. 1. ve 2. türden eğrisel integraller arasındaki ilişki Yönlendirilmiş AB (A -) eğrisinin bulunduğu 2. türden eğrisel bir integrali düşünün. başlangıç ​​noktası, İÇİNDE - bitiş noktası) vektör denklemiyle verilir (burada I, AB eğrisinin yönlendirildiği yönde ölçülen eğrinin uzunluğudur) (Şekil 6). O halde dr veya burada r = m(1) - birim vektör AB eğrisine M(1) noktasında teğettir. O zaman bu formüldeki son integralin 1. türden eğrisel bir integral olduğuna dikkat edin. AB eğrisinin yönü değiştiğinde, r teğetinin birim vektörü, işaretinde bir değişiklik gerektiren karşıt vektör (-r) ile değiştirilir. integrand ve dolayısıyla integralin işareti.

Eğri kütle problemi. Parçalı düzgün L:(AB) malzeme eğrisinin her noktasında yoğunluğu belirtilsin. Eğrinin kütlesini belirleyin.

Düz bir bölgenin (çift katlı integral) ve uzaysal bir cismin (üçlü integral) kütlesini belirlerken yaptığımız gibi aynı şekilde ilerleyelim.

1. Alan yayı L'nin elemanlara (temel yaylar) bölünmesini düzenliyoruz böylece bu elemanların ortak iç noktaları olmaz ve
(koşul A )

2. Bölümün elemanları üzerindeki “işaretli noktaları” M i işaretleyelim ve içlerindeki fonksiyonun değerlerini hesaplayalım.

3. İntegral toplamını oluşturalım
, Nerede - yay uzunluğu (genellikle yay ve uzunluğu için aynı gösterimler kullanılır). Bu, eğrinin kütlesi için yaklaşık bir değerdir. Basitleştirme, yay yoğunluğunun her elemanda sabit olduğunu varsaymamız ve sonlu sayıda eleman almamızdır.

Sağlanan sınıra doğru hareket etme
(koşul B ), integral toplamlarının limiti olarak birinci türden eğrisel bir integral elde ederiz:

.

Varlık teoremi 10 .

Fonksiyona izin ver
parçalı düzgün bir yay L 11 üzerinde süreklidir. O zaman integral toplamlarının limiti olarak birinci türden bir çizgi integrali vardır.

Yorum. Bu sınır şunlara bağlı değildir:

A koşulu karşılandığı sürece bölüm seçme yöntemi

bölüm elemanları üzerinde “işaretli noktaların” seçilmesi,

B koşulu karşılandığı sürece bölmeyi iyileştirme yöntemi

Birinci türden eğrisel bir integralin özellikleri.

1. Doğrusallık a) süperpozisyon özelliği

b) homojenlik özelliği
.

Kanıt. Eşitliklerin sol tarafındaki integrallerin integral toplamlarını yazalım. İntegral toplamının sonlu sayıda terimi olduğundan, eşitliğin sağ tarafları için integral toplamlarına geçiyoruz. Daha sonra limite geçiyoruz, eşitlikte limite geçiş teoremini kullanarak istenilen sonucu elde ediyoruz.

2. Toplanabilirlik. Eğer
, O
=
+

Kanıt. L bölgesinin bir bölümünü seçelim, böylece bölümün elemanlarından hiçbiri (başlangıçta ve bölümü geliştirirken) aynı anda hem L 1 elemanlarını hem de L 2 elemanlarını içermez. Bu, varlık teoremi kullanılarak yapılabilir (teoreme açıklama). Daha sonra ispat, paragraf 1'de olduğu gibi integral toplamlar aracılığıyla gerçekleştirilir.

3.
.Burada – yay uzunluğu .

4. Bir yay üzerindeyse eşitsizlik sağlanırsa, o zaman

Kanıt. İntegral toplamlarının eşitsizliğini yazıp limite geçelim.

Özellikle bunun mümkün olduğunu unutmayın.

5. Tahmin teoremi.

Sabitler mevcutsa
, bir şey

Kanıt. Eşitsizliği entegre etmek
(özellik 4), şunu elde ederiz
. Sabitin 1. özelliğine göre
integrallerin altından çıkarılabilir. Özellik 3'ü kullanarak istenen sonucu elde ederiz.

6. Ortalama değer teoremi(integralin değeri).

Bir nokta var
, Ne

Kanıt. Fonksiyondan beri
kapalı sınırlı bir kümede sürekli , o zaman onun infimumu var
ve üst kenar
. Eşitsizlik tatmin oldu. Her iki tarafı da L'ye bölersek şunu elde ederiz:
. Ama sayı
fonksiyonun alt ve üst sınırları arasına alınır. Fonksiyondan beri
kapalı sınırlı bir L kümesi üzerinde süreklidir ve bir noktada
fonksiyonun bu değeri kabul etmesi gerekir. Buradan,
.