İki vektör olsun ve uzayda verilsin. Keyfi bir noktadan erteleyelim Ö vektörler ve . Açı Vektörler arasındaki açıya açıların en küçüğü denir. Belirlenmiş 
.
Ekseni düşünün ben ve üzerine bir birim vektör (yani uzunluğu bire eşit olan bir vektör) çizin.
Vektör ile eksen arasında bir açıda ben ve vektörleri arasındaki açıyı anlayın.
Öyleyse izin ver ben bir eksendir ve bir vektördür.
ile belirtelim 1 Ve B1 eksen üzerine projeksiyonlar ben sırasıyla puan A Ve B. Öyleymiş gibi yapalım 1 bir koordinatı var x 1, A B1– koordinat x 2 eksende ben.
Daha sonra projeksiyon eksen başına vektör ben fark denir x 1 – x 2 vektörün sonu ve başlangıcının bu eksen üzerindeki çıkıntılarının koordinatları arasında.
Vektörün eksene izdüşümü ben belirteceğiz.
Vektör ile eksen arasındaki açının eğer olduğu açıktır. ben o zaman baharatlı x 2> x 1 ve projeksiyon x 2 – x 1> 0; eğer bu açı genişse, o zaman x 2< x 1 ve projeksiyon x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси ben, O x 2= x 1 Ve x 2– x 1=0.
Böylece vektörün eksene izdüşümü ben segmentin uzunluğu bir 1 B 1, belirli bir işaretle alınır. Bu nedenle vektörün eksene izdüşümü bir sayı veya skalerdir.
Bir vektörün diğerine izdüşümü de benzer şekilde belirlenir. Bu durumda bu vektörün uçlarının 2. vektörün bulunduğu doğruya izdüşümleri bulunur.
Bazı temel bilgilere bakalım projeksiyonların özellikleri.
DOĞRUSAL BAĞIMLI VE DOĞRUSAL BAĞIMSIZ VEKTÖR SİSTEMLER
Birkaç vektörü ele alalım.
Doğrusal kombinasyon Bu vektörlerden herhangi biri, bazı sayıların yer aldığı formdaki herhangi bir vektördür. Sayılara doğrusal kombinasyon katsayıları denir. Ayrıca bu durumda bu vektörler aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiğini de söylüyorlar, yani. onlardan doğrusal eylemler kullanılarak elde edilir.
Örneğin, üç vektör verilirse, aşağıdaki vektörler bunların doğrusal birleşimi olarak düşünülebilir: 
Bir vektör bazı vektörlerin doğrusal birleşimi olarak temsil ediliyorsa buna denir. ortaya konuldu bu vektörler boyunca.
Vektörler denir doğrusal bağımlı, eğer sayıların tümü sıfıra eşit değilse, öyle ki 
. Bu vektörlerden herhangi biri diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilirse, verilen vektörlerin doğrusal olarak bağımlı olacağı açıktır.
Aksi takdirde, yani. oran ne zaman yalnızca şu durumlarda gerçekleştirilir: 
, bu vektörlere denir Doğrusal bağımsız.
Teorem 1. Herhangi iki vektör ancak ve ancak aynı doğrultuda olmaları durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.
Kanıt:
Aşağıdaki teorem benzer şekilde kanıtlanabilir.
Teorem 2.Üç vektör ancak ve ancak aynı düzlemde olmaları durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.
Kanıt.
TEMEL
Temel sıfır olmayanların doğrusal olarak toplanmasıdır bağımsız vektörler. Temelin unsurlarını ile göstereceğiz.
Önceki paragrafta bir düzlem üzerinde doğrusal olmayan iki vektörün doğrusal olarak bağımsız olduğunu gördük. Bu nedenle, önceki paragraftaki Teorem 1'e göre, bir düzlemin temeli, bu düzlem üzerindeki doğrusal olmayan herhangi iki vektördür.
Benzer şekilde, aynı düzlemde olmayan herhangi üç vektör uzayda doğrusal olarak bağımsızdır. Sonuç olarak, aynı düzlemde olmayan üç vektöre uzayda taban diyoruz.
Aşağıdaki ifade doğrudur.
Teorem. Uzayda bir temel verilsin. O zaman herhangi bir vektör doğrusal bir kombinasyon olarak temsil edilebilir 
, Nerede X, sen, z- bazı sayılar. Bu tek ayrışmadır.
Kanıt.
Böylece, temel, her vektörün benzersiz bir şekilde üçlü sayılarla ilişkilendirilmesine olanak tanır - bu vektörün temel vektörlere genişleme katsayıları: . Her üç sayı için de bunun tersi doğrudur x, y, z temeli kullanarak, doğrusal bir kombinasyon yaparsanız vektörü karşılaştırabilirsiniz 
.
Eğer temeli ve , ardından sayılar x, y, z arandı koordinatlar belirli bir temelde vektör. Vektör koordinatları ile gösterilir.
KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ
Uzayda bir nokta verilsin Ö ve üç eş düzlemli olmayan vektör.
Kartezyen sistem koordinatlar uzayda (düzlemde) bir nokta ve bir tabanın toplanmasıdır, yani. bir nokta ve bu noktadan çıkan, aynı düzlemde olmayan üç vektörden (aynı doğrusal olmayan 2 vektör) oluşan bir koleksiyon.
Nokta Ö kökeni denir; Koordinatların kökeninden temel vektörler yönünde geçen düz çizgilere koordinat eksenleri denir - apsis, ordinat ve uygulama ekseni. Koordinat eksenlerinden geçen düzlemlere koordinat düzlemleri denir.
Seçilen koordinat sisteminde ele alalım keyfi nokta M. Nokta koordinatları kavramını tanıtalım M. Orijini bir noktaya bağlayan vektör M. isminde yarıçap vektörü puan M.
Seçilen tabandaki bir vektör, üçlü sayılarla (koordinatları) ilişkilendirilebilir: 
.
Noktanın yarıçap vektörünün koordinatları M. arandı M noktasının koordinatları. Söz konusu koordinat sisteminde. M(x,y,z). İlk koordinata apsis, ikincisine ordinat, üçüncüsüne ise aplike denir.
Benzer şekilde tanımlanmış Kartezyen koordinatları yüzeyde. Burada noktanın yalnızca iki koordinatı vardır - apsis ve ordinat.
Bunu ne zaman görmek kolaydır verilen sistem Koordinatlar, her noktanın belirli koordinatları vardır. Öte yandan, her bir sayı üçlüsü için bu sayıların koordinatları olan benzersiz bir nokta vardır.
Seçilen koordinat sisteminde esas alınan vektörler birim uzunlukta ve ikili dik ise koordinat sistemi denir. Kartezyen dikdörtgen.
Bunu göstermek kolaydır.
Bir vektörün yön kosinüsleri onun yönünü tamamen belirler, ancak uzunluğu hakkında hiçbir şey söylemez.
ve bir eksende veya başka bir vektörde onun geometrik izdüşümü ve sayısal (veya cebirsel) izdüşümü kavramları vardır. Geometrik projeksiyonun sonucu bir vektör olacak ve cebirsel projeksiyonun sonucu negatif olmayan bir sayı olacaktır. gerçek Numara. Ancak bu kavramlara geçmeden önce şunu hatırlayalım. gerekli bilgi.
Ön bilgi
Ana kavram, bir vektör kavramının kendisidir. Geometrik vektörün tanımını tanıtmak için parçanın ne olduğunu hatırlayalım. Aşağıdaki tanımı tanıtalım.
Tanım 1
Segment, nokta şeklinde iki sınırı olan bir çizginin parçasıdır.
Bir segmentin 2 yönü olabilir. Yönü belirtmek için parçanın sınırlarından birine başlangıcı, diğer sınırına da sonu diyeceğiz. Yön, segmentin başlangıcından sonuna kadar gösterilir.
Tanım 2
Bir vektör veya yönlendirilmiş parça, parçanın sınırlarının hangisinin başlangıç, hangisinin son olarak kabul edildiği bilinen bir parça olacaktır.
Tanım: İki harfle: $\overline(AB)$ – (burada $A$ başlangıcı ve $B$ sonudur).
Küçük bir harfle: $\overline(a)$ (Şekil 1).
Vektör kavramıyla ilgili birkaç kavramı daha tanıtalım.
Tanım 3
Sıfır olmayan iki vektöre aynı doğru üzerinde ya da birbirine paralel doğrular üzerinde yer alıyorlarsa eşdoğrusal diyeceğiz (Şekil 2).
Tanım 4
İki koşulu karşılıyorlarsa, sıfır olmayan iki vektöre eş yönlü diyeceğiz:
- Bu vektörler doğrusaldır.
- Bir yöne yönlendirilirlerse (Şekil 3).
Gösterim: $\overline(a)\overline(b)$
Tanım 5
İki koşulu karşılıyorlarsa, sıfır olmayan iki vektörü zıt yönlü olarak adlandıracağız:
- Bu vektörler doğrusaldır.
- Eğer yönlendirilirlerse farklı taraflar(Şekil 4).
Gösterim: $\overline(a)↓\overline(d)$
Tanım 6
$\overline(a)$ vektörünün uzunluğu, $a$ segmentinin uzunluğu olacaktır.
Gösterim: $|\overline(a)|$
İki vektörün eşitliğini belirlemeye geçelim
Tanım 7
İki koşulu karşılıyorlarsa iki vektöre eşit diyeceğiz:
- Bunlar eş yönlüdür;
- Uzunlukları eşittir (Şekil 5).
Geometrik projeksiyon
Daha önce de söylediğimiz gibi geometrik izdüşümün sonucu bir vektör olacaktır.
Tanım 8
$\overline(AB)$ vektörünün bir eksene geometrik izdüşümü, aşağıdaki şekilde elde edilen bir vektördür: $A$ vektörünün başlangıç noktası bu eksene izdüşümü yapılır. İstenilen vektörün başlangıcı olan $A"$ noktasını elde ederiz. $B$ vektörünün bitiş noktası bu eksene yansıtılır. İstenilen vektörün sonu olan $B"$ noktasını elde ederiz. $\overline(A"B")$ vektörü istenen vektör olacaktır.
Sorunu ele alalım:
örnek 1
İnşa etmek geometrik projeksiyon$\overline(AB)$'ı $l$ eksenine bağlayın, Şekil 6'da gösterilmektedir.
$A$ noktasından $l$ eksenine bir dik çizelim, üzerinde $A"$ noktasını elde ederiz. Sonra $B$ noktasından $l$ eksenine bir dik çizeriz, $B noktasını elde ederiz. "Üzerinde $ var (Şek. 7).
ve bir eksende veya başka bir vektörde onun geometrik izdüşümü ve sayısal (veya cebirsel) izdüşümü kavramları vardır. Geometrik projeksiyonun sonucu bir vektör olacak ve cebirsel projeksiyonun sonucu negatif olmayan bir gerçek sayı olacaktır. Ancak bu kavramlara geçmeden önce gerekli bilgileri hatırlayalım.
Ön bilgi
Ana kavram, bir vektör kavramının kendisidir. Geometrik vektörün tanımını tanıtmak için parçanın ne olduğunu hatırlayalım. Aşağıdaki tanımı tanıtalım.
Tanım 1
Segment, nokta şeklinde iki sınırı olan bir çizginin parçasıdır.
Bir segmentin 2 yönü olabilir. Yönü belirtmek için parçanın sınırlarından birine başlangıcı, diğer sınırına da sonu diyeceğiz. Yön, segmentin başlangıcından sonuna kadar gösterilir.
Tanım 2
Bir vektör veya yönlendirilmiş parça, parçanın sınırlarının hangisinin başlangıç, hangisinin son olarak kabul edildiği bilinen bir parça olacaktır.
Tanım: İki harfle: $\overline(AB)$ – (burada $A$ başlangıcı ve $B$ sonudur).
Küçük bir harfle: $\overline(a)$ (Şekil 1).
Vektör kavramıyla ilgili birkaç kavramı daha tanıtalım.
Tanım 3
Sıfır olmayan iki vektöre aynı doğru üzerinde ya da birbirine paralel doğrular üzerinde yer alıyorlarsa eşdoğrusal diyeceğiz (Şekil 2).
Tanım 4
İki koşulu karşılıyorlarsa, sıfır olmayan iki vektöre eş yönlü diyeceğiz:
- Bu vektörler doğrusaldır.
- Bir yöne yönlendirilirlerse (Şekil 3).
Gösterim: $\overline(a)\overline(b)$
Tanım 5
İki koşulu karşılıyorlarsa, sıfır olmayan iki vektörü zıt yönlü olarak adlandıracağız:
- Bu vektörler doğrusaldır.
- Farklı yönlere yönlendirilirlerse (Şekil 4).
Gösterim: $\overline(a)↓\overline(d)$
Tanım 6
$\overline(a)$ vektörünün uzunluğu, $a$ segmentinin uzunluğu olacaktır.
Gösterim: $|\overline(a)|$
İki vektörün eşitliğini belirlemeye geçelim
Tanım 7
İki koşulu karşılıyorlarsa iki vektöre eşit diyeceğiz:
- Bunlar eş yönlüdür;
- Uzunlukları eşittir (Şekil 5).
Geometrik projeksiyon
Daha önce de söylediğimiz gibi geometrik izdüşümün sonucu bir vektör olacaktır.
Tanım 8
$\overline(AB)$ vektörünün bir eksene geometrik izdüşümü, aşağıdaki şekilde elde edilen bir vektördür: $A$ vektörünün başlangıç noktası bu eksene izdüşümü yapılır. İstenilen vektörün başlangıcı olan $A"$ noktasını elde ederiz. $B$ vektörünün bitiş noktası bu eksene yansıtılır. İstenilen vektörün sonu olan $B"$ noktasını elde ederiz. $\overline(A"B")$ vektörü istenen vektör olacaktır.
Sorunu ele alalım:
örnek 1
Şekil 6'da gösterilen $l$ ekseni üzerine $\overline(AB)$ geometrik bir projeksiyon oluşturun.
$A$ noktasından $l$ eksenine bir dik çizelim, üzerinde $A"$ noktasını elde ederiz. Sonra $B$ noktasından $l$ eksenine bir dik çizeriz, $B noktasını elde ederiz. "Üzerinde $ var (Şek. 7).
Çizimlerdeki resimler geometrik cisimler projeksiyon yöntemiyle inşa edilmiştir. Ancak bunun için tek bir görüntü yeterli değildir; en az iki projeksiyona ihtiyaç vardır. Onların yardımıyla uzaydaki noktalar belirlenir. Bu nedenle bir noktanın izdüşümünü nasıl bulacağınızı bilmeniz gerekir.
Nokta projeksiyonu
Bunu yapmak için alanı dikkate almanız gerekecek Dihedral açı, içinde bir nokta (A) bulunur. Burada yatay P1 ve dikey P2 projeksiyon düzlemleri kullanılır. (A) noktası projeksiyon düzlemlerine dik olarak yansıtılır. Dik çıkıntı yapan ışınlara gelince, bunlar çıkıntı yapan bir düzlemde birleştirilir, düzlemlere dik projeksiyonlar. Böylece yatay P1 ve ön P2 düzlemlerini P2/P1 ekseni boyunca döndürerek birleştirdiğimizde düz bir çizim elde ediyoruz.
Daha sonra eksene dik olarak üzerinde projeksiyon noktaları bulunan bir çizgi gösterilir. Yani ortaya çıktı karmaşık çizim. Üzerinde inşa edilen bölümler sayesinde dikey çizgi Bağlantıyı kullanarak bir noktanın projeksiyon düzlemlerine göre konumunu kolayca belirleyebilirsiniz.
Projeksiyonun nasıl bulunacağını anlamayı kolaylaştırmak için şunları dikkate almanız gerekir: dik üçgen. Kısa kenarı bacak, uzun kenarı ise hipotenüstür. Eğer bir ayağı hipotenüse yansıtırsanız iki parçaya bölünecektir. Değerlerini belirlemek için bir dizi başlangıç verisini hesaplamanız gerekir. Şuna bakalım verilen üçgen, ana projeksiyonları hesaplama yöntemleri.
Kural olarak, bu problemde N uzunluğunu ve izdüşümünün bulunması gereken hipotenüs D uzunluğunu gösterirler. Bunu yapmak için bacağın izdüşümünü nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.
Bacağın (A) uzunluğunu bulmak için bir yöntem düşünelim. Bacağın izdüşümünün ve hipotenüs uzunluğunun geometrik ortalamasının aradığımız bacağın değerine eşit olduğunu düşünürsek: N = √(D*Nd).
Projeksiyon uzunluğu nasıl bulunur?
Çarpımın kökü, istenen kenarın uzunluğunun (N) karesi alınarak ve ardından hipotenüs uzunluğuna bölünerek bulunabilir: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Değerleri belirtirken Kaynak verilerdeki yalnızca D ve N bacaklarının uzunluk projeksiyonları Pisagor teoremi kullanılarak bulunmalıdır.
Hipotenüs D'nin uzunluğunu bulalım. Bunu yapmak için, √ (N² + T²) bacaklarının değerlerini kullanmanız ve ardından ortaya çıkan değeri, projeksiyonu bulmak için aşağıdaki formülle değiştirmeniz gerekir: Nd = N² / √ (N² + T²).
Kaynak veriler, RD bacağının izdüşümü uzunluğuna ilişkin verilerin yanı sıra D hipotenüsünün değerine ilişkin verileri içerdiğinde, ikinci bacak ND'nin izdüşümünün uzunluğu, basit bir çıkarma formülü kullanılarak hesaplanmalıdır: ND = D – RD.
Hız projeksiyonu
Hız projeksiyonunu nasıl bulacağımıza bakalım. Belirli bir vektörün bir hareket tanımını temsil etmesi için, bunun projeksiyona göre yerleştirilmesi gerekir. koordinat eksenleri. Bir koordinat ekseni (ışın), iki koordinat ekseni (düzlem) ve üç koordinat ekseni (uzay) vardır. Bir projeksiyon bulurken, vektörün uçlarından dikeyleri eksene indirmek gerekir.
İzdüşümün anlamını anlamak için bir vektörün izdüşümünü nasıl bulacağınızı bilmeniz gerekir.
Vektör projeksiyonu
Gövde eksene dik olarak hareket ettiğinde izdüşüm bir nokta olarak temsil edilecek ve şu değere sahip olacaktır: sıfıra eşit. Hareket koordinat eksenine paralel olarak gerçekleştirilirse projeksiyon vektör modülüyle çakışacaktır. Cismin, hız vektörünün (x) eksenine göre φ açısıyla yönlendirileceği şekilde hareket etmesi durumunda, bu eksen üzerindeki izdüşümü bir parça olacaktır: V(x) = V cos(φ), burada V hız vektörünün modelidir. Hız vektörünün ve koordinat ekseninin yönleri çakıştığında projeksiyon pozitiftir ve bunun tersi de geçerlidir.
Aşağıdakileri ele alalım koordinat denklemi: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Bu durumda hız fonksiyonu üç eksene yansıtılacak ve şu forma sahip olacaktır: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). Buradan hızı bulmak için türev almanın gerekli olduğu sonucu çıkar. Hız vektörünün kendisi aşağıdaki formdaki bir denklemle ifade edilir: V = V(x) i + V(y) j + V(z)k Burada i, j, k'dir. birim vektörleri koordinat eksenleri sırasıyla x, y, z. Böylece hız modülü şu şekilde hesaplanır: aşağıdaki formül: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).
Eksen yöndür. Bu, bir eksene veya yönlendirilmiş bir çizgiye projeksiyonun aynı kabul edildiği anlamına gelir. İzdüşüm cebirsel veya geometrik olabilir. Geometrik açıdan bir vektörün bir eksene izdüşümü bir vektör, cebirsel açıdan ise bir sayı olarak anlaşılır. Yani, bir vektörün bir eksene izdüşümü ve bir vektörün bir eksene sayısal izdüşümü kavramları kullanılır.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Bir L eksenimiz ve sıfır olmayan bir A B → vektörümüz varsa, o zaman A 1 ve B 1 noktalarının izdüşümlerini gösteren bir A 1 B 1 ⇀ vektörü oluşturabiliriz.
A 1 B → 1, A B → vektörünün L üzerine izdüşümü olacaktır.
Tanım 1
Vektörün eksene izdüşümü başlangıcı ve sonu, ötesindeki başlangıç ve sonun izdüşümleri olan bir vektördür verilen vektör. n p L A B → → A B → L üzerine projeksiyonu belirtmek gelenekseldir. L üzerine bir izdüşüm oluşturmak için L üzerine dikmeler bırakılır.
örnek 1
Bir eksen üzerine vektör projeksiyonunun bir örneği.
Açık koordinat uçağı X y hakkında M 1 (x 1 , y 1) noktası belirtilir. M1 noktasının yarıçap vektörünü görüntülemek için O x ve O y üzerinde projeksiyonlar oluşturmak gereklidir. (x 1, 0) ve (0, y 1) vektörlerinin koordinatlarını alıyoruz.
Eğer Hakkında konuşuyoruz a →'nin sıfır olmayan bir b →'ye izdüşümü veya a →'nin b → yönüne izdüşümü hakkında, o zaman a →'nin b → yönünün çakıştığı eksene izdüşümünü kastediyoruz. a →'nin b → ile tanımlanan çizgiye izdüşümü n p b → a → → ile gösterilir. a → ve b → arasındaki açı olduğunda, n p b → a → → ve b → eş yönlü olarak kabul edilebileceği bilinmektedir. Açının geniş olması durumunda, n p b → a → → ve b → zıt yönlerdedir. a → ve b → diklik durumunda ve a → sıfır olduğunda, a →'nin b → yönündeki izdüşümü sıfır vektörüdür.
Bir vektörün bir eksen üzerine izdüşümünün sayısal özelliği, bir vektörün belirli bir eksen üzerine sayısal izdüşümüdür.
Tanım 2
Vektörün eksene sayısal izdüşümü belirli bir vektörün uzunluğunun çarpımına ve verilen vektör ile eksenin yönünü belirleyen vektör arasındaki açının kosinüsüne eşit bir sayıdır.
A B →'nin L üzerine sayısal izdüşümü n p L A B → ve a → b → - n p b → a → ile gösterilir.
Formüle dayanarak, n p b → a → = a → · çünkü a → , b → ^ elde ederiz, buradan a → a → vektörünün uzunluğu, a ⇀, b → ^ a → vektörleri arasındaki açıdır ve b → .
Sayısal projeksiyonu hesaplamak için formülü elde ederiz: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Bilinen a → ve b → uzunlukları ve aralarındaki açı için geçerlidir. Formül bilinen a → ve b → koordinatları için geçerlidir, ancak basitleştirilmiş bir form da vardır.
Örnek 2
a → uzunluğu b → yönünde, a → uzunluğu 8'e eşit ve aralarında 60 derecelik bir açı olan bir düz çizgiye sayısal izdüşümünü bulun. Koşul olarak a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °'ye sahibiz. Öyleyse yerine koyalım sayısal değerler n p b ⇀ a → = a → · çünkü a → , b → ^ = 8 · çünkü 60 ° = 8 · 1 2 = 4 formülüne girin.
Cevap: 4.
Bilinen cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → ile, a → , b → olarak elimizde var skaler çarpım a → ve b → . n p b → a → = a → · çünkü a ⇀ , b → ^ formülünü takip ederek, b → vektörü boyunca yönlendirilmiş a → sayısal izdüşümünü bulabilir ve n p b → a → = a → , b → b → . Formül paragrafın başında verilen tanıma eşdeğerdir.
Tanım 3
a → vektörünün b → yönüne denk gelen bir eksene sayısal izdüşümü, a → ve b → vektörlerinin skaler çarpımının b → uzunluğuna oranıdır. n p b → a → = a → , b → b → formülü, a →'nın, bilinen a → ve b → koordinatlarıyla b → yönüne denk gelen bir çizgiye sayısal izdüşümünü bulmak için uygulanabilir.
Örnek 3
Verilen b → = (- 3 , 4) . L üzerindeki a → = (1, 7) sayısal izdüşümünü bulun.
Çözüm
Koordinat düzleminde n p b → a → = a → , b → b → şu şekildedir: n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , a → = (a x , a y ) ve b → = bx, b y. a → vektörünün L ekseni üzerindeki sayısal projeksiyonunu bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.
Cevap: 5.
Örnek 4
a → = - 2, 3, 1 ve b → = (3, - 2, 6) olduğunda, b → yönüne denk gelen a →'nin L üzerindeki izdüşümünü bulun. Üç boyutlu uzay belirtilir.
Çözüm
a → = a x , a y , a z ve b → = b x , b y , b z verildiğinde skaler çarpımı hesaplıyoruz: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . b → uzunluğu b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 formülü kullanılarak bulunur. Bundan, a → sayısal projeksiyonunu belirleme formülü şu şekilde olacaktır: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .
Sayısal değerleri değiştirin: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .
Cevap: - 6 7.
L üzerindeki a → ile L üzerindeki a → izdüşümünün uzunluğu arasındaki bağlantıya bakalım. L üzerindeki bir noktadan a → ve b → ekleyerek bir L ekseni çizelim, ardından a → ucundan L'ye dik bir çizgi çizelim ve L üzerine bir izdüşüm çizelim. Resmin 5 varyasyonu vardır:
Birinci a → = n p b → a → → şu anlama gelir: a → = n p b → a → → , dolayısıyla n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .
Saniye bu durum n p b → a → ⇀ = a → · çünkü a → , b → kullanımını gerektirir, bu da n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → anlamına gelir.
Üçüncü bu durum, n p b → a → → = 0 → olduğunda n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 elde ettiğimizi açıklar, o zaman n p b → a → → = 0 ve n p b → a → = 0 = n p b → a → → .
Dördüncü durumda şunu gösterir: n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , aşağıdaki n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .
Beşinci bu durumda a → = n p b → a → → gösterilmektedir, bu da a → = n p b → a → → anlamına gelir, dolayısıyla n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .
Tanım 4
a → vektörünün, b → ile aynı yönde yönlendirilen L ekseni üzerindeki sayısal izdüşümü aşağıdaki değere sahiptir:
- a → ve b → arasındaki açının 90 dereceden az veya 0'a eşit olması koşuluyla, a → vektörünün L üzerine izdüşümünün uzunluğu: n p b → a → = n p b → a → → 0 ≤ (a) koşuluyla → , b →) ^< 90 ° ;
- a → ve b → dik olması koşuluyla sıfır: n p b → a → = 0, (a → , b → ^) = 90 ° olduğunda;
- a → ve b → vektörlerinin geniş veya düz bir açısı olduğunda, a → L üzerine projeksiyonun uzunluğu -1 ile çarpılır: n p b → a → = - n p b → a → → 90 ° koşuluyla< a → , b → ^ ≤ 180 ° .
Örnek 5
L üzerine a → izdüşümü uzunluğu verildiğinde, 2'ye eşit olur. Açının 5 π 6 radyan olması koşuluyla a → sayısal izdüşümü bulun.
Çözüm
Durumdan anlaşılıyor ki verilen açı geniş: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
Cevap: - 2.
Örnek 6
Vektör uzunluğu a → 6 3'e eşit olan, b → (- 2, 1, 2) ve 30 derecelik açıya sahip bir O x y z düzlemi veriliyor. a → L eksenine izdüşümünün koordinatlarını bulun.
Çözüm
Öncelikle a → vektörünün sayısal projeksiyonunu hesaplıyoruz: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .
Koşula göre, açı dardır, bu durumda sayısal projeksiyon a → = a → vektörünün izdüşümünün uzunluğu: n p L a → = n p L a → → = 9. Bu durum n p L a → → ve b → vektörlerinin ortak yönlü olduğunu gösterir; bu, eşitliğin doğru olduğu bir t sayısının olduğu anlamına gelir: n p L a → → = t · b → . Buradan n p L a → → = t · b → , yani t parametresinin değerini bulabileceğimizi görüyoruz: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .
Daha sonra n p L a → → = 3 · b → a → vektörünün L eksenine projeksiyonunun koordinatları b → = (- 2 , 1 , 2)'ye eşittir, burada değerleri çarpmak gerekir 3. Elimizde n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) var. Cevap: (- 6, 3, 6).
Vektörlerin eşdoğrusallık durumu hakkında daha önce öğrenilen bilgilerin tekrarlanması gerekmektedir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
