Normal Hukuk olasılık dağılımları

Abartmadan buna felsefi bir yasa denilebilir. Çevremizdeki dünyadaki çeşitli nesneleri ve süreçleri gözlemlediğimizde, çoğu zaman bir şeyin yeterli olmadığı ve bir norm olduğu gerçeğiyle karşılaşırız:


İşte temel bir görünüm yoğunluk fonksiyonları normal olasılık dağılımı ve sizi bu ilginç derse davet ediyorum.

Hangi örnekleri verebilirsiniz? Sadece karanlıkları var. Bu, örneğin insanların boyu, kilosu (ve sadece değil), fiziksel güç, zihinsel yetenekler vesaire. Bir "ana kütle" var (şu ya da bu nedenle) ve her iki yönde de sapmalar var.

Bu çeşitli özellikler cansız nesneler (aynı boyut, ağırlık). Bu tesadüfi bir süreç..., aklıma yine üzücü bir örnek geldi ve bu yüzden ampullerin “ömrü” diyeceğim :) Fizikten hava moleküllerini hatırladım: aralarında yavaş olanlar var, var hızlı olanlar, ancak çoğu “standart” hızlarda hareket eder.

Daha sonra merkezden bir standart sapma daha saparız ve yüksekliği hesaplarız:

Çizimdeki noktaları işaretleme (yeşil) ve bunun oldukça yeterli olduğunu görüyoruz.

Son aşamada dikkatlice bir grafik çizin ve özellikle dikkatli bir şekilde onu yansıt dışbükey/içbükey! Muhtemelen uzun zaman önce x ekseninin yatay asimptot ve arkasına “tırmanmak” kesinlikle yasaktır!

Şu tarihte: elektronik kayıtÇözüm grafiğini Excel'de oluşturmak kolaydır ve kendim için beklenmedik bir şekilde bu konuyla ilgili kısa bir video bile kaydettim. Ama önce normal eğrinin şeklinin ve değerlerine bağlı olarak nasıl değiştiğinden bahsedelim.

"a"yı arttırırken veya azaltırken (sabit “sigma” ile) grafik şeklini korur ve sağa/sola hareket eder sırasıyla. Yani, örneğin fonksiyon şu formu aldığında ve grafiğimiz 3 birim sola - tam olarak koordinatların kökenine doğru "hareket eder":


Sıfır matematiksel beklentisi olan normal olarak dağıtılmış bir miktar tamamen doğal bir isim aldı - merkezli; yoğunluk fonksiyonu – eşit ve grafik ordinat etrafında simetriktir.

"Sigma"nın değişmesi durumunda (sabit “a” ile) grafik "aynı kalır" ancak şekli değişir. Büyütüldüğünde, dokunaçlarını uzatan bir ahtapot gibi alçalır ve uzar. Ve tam tersi, grafiği azaltırken daralıyor ve daha uzun oluyor- "şaşırmış bir ahtapot" olduğu ortaya çıktı. Evet, ne zaman azaltmakİki kez “sigma”: önceki grafik iki kez daralır ve uzar:

Herşey tam uyumlu grafiklerin geometrik dönüşümleri.

Birim sigma değerine sahip normal dağılıma denir normalleştirilmiş ve eğer aynı zamanda merkezli(bizim durumumuzda), o zaman böyle bir dağıtım denir standart. Zaten bulunan daha basit bir yoğunluk fonksiyonuna sahiptir. Laplace'ın yerel teoremi: . Standart dağıtım pratikte geniş bir uygulama alanı buldu ve çok yakında amacını nihayet anlayacağız.

Şimdi filmi izleyelim:

Evet, kesinlikle doğru - bir şekilde haksız yere gölgede kaldı olasılık dağılım fonksiyonu. Onu hatırlayalım tanım:
– rastgele bir değişkenin, tüm gerçek değerleri “artı” sonsuza kadar “geçiren” değişkenden DAHA AZ değer alma olasılığı.

İntegralin içinde, notasyonla "örtüşme" olmaması için genellikle farklı bir harf kullanılır, çünkü burada her değer bir ile ilişkilendirilir. uygunsuz integral bazılarına eşit olan sayı aralıktan.

Hemen hemen tüm anlamlar uygun değildir doğru hesaplama, ancak az önce gördüğümüz gibi, modern bilgi işlem gücüyle bunda hiçbir zorluk yok. Yani fonksiyon için standart dağıtımda karşılık gelen Excel işlevi genellikle bir bağımsız değişken içerir:

=NORMDAĞ(z)

Bir, iki - ve bitirdiniz:

Çizim tüm bunların uygulanmasını açıkça göstermektedir. dağıtım fonksiyonu özellikleri ve buradaki teknik nüanslara dikkat etmelisiniz yatay asimptotlar ve dönüm noktası.

Şimdi konunun en önemli görevlerinden birini hatırlayalım, yani normal bir rastgele değişkenin olasılığını nasıl bulacağımızı bulalım. aralıktaki değeri alacak. Geometrik olarak bu olasılık şuna eşittir: alan karşılık gelen bölümde normal eğri ile x ekseni arasında:

ama her seferinde yaklaşık bir değer elde etmeye çalışıyorum mantıksızdır ve bu nedenle kullanmak daha mantıklıdır "hafif" formül:
.

! Ayrıca hatırlıyor , Ne

Burada Excel'i tekrar kullanabilirsiniz, ancak birkaç önemli "ama" vardır: birincisi, her zaman elinizin altında değildir ve ikincisi, "hazır" değerler büyük olasılıkla öğretmenin sorularını gündeme getirecektir. Neden?

Bundan daha önce birçok kez bahsetmiştim: Bir zamanlar (ve çok uzun zaman önce değil) normal bir hesap makinesi lükstü ve eğitim literatürü Söz konusu sorunu çözmenin “manuel” yöntemi hala korunmaktadır. Onun özü şudur: standartlaştırmak“alfa” ve “beta” değerleri, yani çözümü standart dağılıma düşürür:

Not : fonksiyona ulaşmak kolaydır genel durum doğrusal kullanarak değiştirmeler. Sonra da:

ve gerçekleştirilen değiştirmeden itibaren formül aşağıdaki gibidir: değerlerden geçiş rastgele dağılım– standart dağılımın karşılık gelen değerlerine.

Bu neden gerekli? Gerçek şu ki değerler atalarımız tarafından titizlikle hesaplanmış ve terwer ile ilgili birçok kitapta yer alan özel bir tabloda derlenmiştir. Ancak daha da sıklıkla, daha önce ele aldığımız bir değerler tablosu vardır. Laplace'ın integral teoremi:

Elimizde Laplace fonksiyonunun değerler tablosu varsa , sonra onun aracılığıyla çözeriz:

Kesirli değerler Geleneksel olarak, standart tabloda yapıldığı gibi 4 ondalık basamağa yuvarlarız. Ve kontrol için var 5. nokta düzen.

sana şunu hatırlatıyorum ve karışıklığı önlemek için her zaman kontrol et, gözlerinizin önünde NE işlevi olduğuna dair bir tablo var.

Cevap Yüzde olarak verilmesi gerektiğinden hesaplanan olasılık 100 ile çarpılarak sonuca anlamlı bir yorum verilmelidir:

– 5 ila 70 m arasındaki uçuşlarda mermilerin yaklaşık %15,87'si düşecek

Kendi başımıza antrenman yapıyoruz:

Örnek 3

Fabrika yapımı rulmanların çapı, 1,5 cm'lik bir matematiksel beklenti ve 0,04 cm'lik bir standart sapma ile normal olarak dağıtılan rastgele bir değişkendir. Rastgele seçilen bir rulmanın boyutunun 1,4 ile 1,6 cm arasında değişme olasılığını bulun.

Örnek çözümde ve aşağıda en yaygın seçenek olarak Laplace fonksiyonunu kullanacağım. Bu arada, ifadeye göre aralığın sonlarının da burada dikkate alınabileceğini unutmayın. Ancak bu kritik değildir.

Ve zaten bu örnekte tanıştık özel durum– aralık göreli olarak simetrik olduğunda matematiksel beklenti. Böyle bir durumda, şu şekilde yazılabilir ve Laplace fonksiyonunun tuhaflığını kullanarak çalışma formülünü basitleştirebilirsiniz:

Delta parametresi denir sapma matematiksel beklentiden ve çifte eşitsizlik kullanılarak "paketlenebilir" modül:

– Rastgele bir değişkenin değerinin matematiksel beklentiden .

Çözümün tek satıra sığması iyi :)
Rastgele alınan bir yatağın çapının 1,5 cm'den 0,1 cm'den fazla farklılık göstermeme olasılığı.

Bu görevin sonucunun birliğe yakın olduğu ortaya çıktı, ancak daha da fazla güvenilirlik istiyorum - yani çapın bulunduğu sınırları bulmak neredeyse herkes rulmanlar. Bunun herhangi bir kriteri var mı? Var! Sorulan soruya sözde cevap veriliyor

üç sigma kuralı

Onun özü şudur pratik olarak güvenilir normal dağılmış bir rastgele değişkenin aralıktan bir değer alacağı gerçeğidir .

Gerçekte, beklenen değerden sapma olasılığı aşağıdakilerden daha azdır:
veya %99,73

Yataklar açısından bunlar, çapı 1,38 ila 1,62 cm arasında olan 9973 parça ve yalnızca 27 "standart altı" kopyadır.

Pratik araştırmalarda üç sigma kuralı genellikle ters yönde uygulanır: istatistiksel olarak Hemen hemen tüm değerlerin olduğu tespit edildi. incelenmekte olan rastgele değişken 6 standart sapma aralığına giriyorsa, bu değerin normal bir yasaya göre dağıtıldığına inanmak için zorlayıcı nedenler vardır. Doğrulama teori kullanılarak gerçekleştirilir istatistiksel hipotezler er ya da geç ulaşmayı umuyorum :)

Bu arada, zorlu Sovyet sorunlarını çözmeye devam ediyoruz:

Örnek 4

Tartım hatasının rastgele değeri, sıfır matematiksel beklenti ile normal yasaya göre dağıtılır ve standart sapma 3 gram. Bir sonraki tartımın mutlak değeri 5 gramı geçmeyecek bir hatayla yapılma olasılığını bulun.

Çözümçok basit. Koşula göre, bir sonraki tartımda hemen şunu not ederiz: (bir şey veya birisi) 9 gram doğrulukla neredeyse %100 sonuç alacağız. Ancak sorun daha dar bir sapmayı içeriyor ve formüle göre :

- bir sonraki tartımın 5 gramı aşmayan bir hatayla gerçekleştirilme olasılığı.

Cevap:

Çözülmüş sorun, görünüşte benzer olandan temel olarak farklıdır. Örnek 3 hakkında ders düzgün dağılım. Bir hata oluştu yuvarlamaölçüm sonuçları, burada ölçümlerin rastgele hatasından bahsediyoruz. Bu tür hatalar nedeniyle ortaya çıkar teknik özellikler cihazın kendisi (kabul edilebilir hataların aralığı genellikle pasaportunda belirtilir) ve ayrıca deneycinin hatası nedeniyle - örneğin "gözle" aynı terazinin iğnesinden okumalar aldığımızda.

Diğerlerinin yanı sıra sözde olanlar da var sistematikölçüm hataları. Zaten rastgele olmayan cihazın yanlış kurulumu veya çalıştırılması nedeniyle oluşan hatalar. Örneğin, düzenlenmemiş yer kantarları istikrarlı bir şekilde kilogram "ekleyebilir" ve satıcı sistematik olarak müşterilerin ağırlığını azaltır. Veya sistematik olmayan bir şekilde hesaplanabilir. Ancak her durumda böyle bir hata rastgele olmayacak ve beklentisi sıfırdan farklı olacaktır.

…Acil olarak bir satış eğitimi kursu geliştiriyorum =)

Kendi başımıza karar veriyoruz ters problem:

Örnek 5

Silindirin çapı rastgele normal dağılmış bir rastgele değişkendir, standart sapması mm'ye eşittir. Silindir çapının uzunluğunun düşme ihtimalinin bulunduğu, matematiksel beklentiye göre simetrik olan aralığın uzunluğunu bulun.

5. nokta* tasarım düzeni yardım etmek. Burada matematiksel beklentinin bilinmediğini ancak bu durumun bizi sorunu çözmekten hiçbir şekilde alıkoymadığını unutmayın.

VE sınav görevi Malzemeyi pekiştirmek için şiddetle tavsiye ettiğim:

Örnek 6

Normal dağılmış bir rastgele değişken, parametreleri (matematiksel beklenti) ve (standart sapma) ile belirtilir. Gerekli:

a) olasılık yoğunluğunu yazın ve grafiğini şematik olarak gösterin;
b) aralıktan değer alma olasılığını bulun ;
c) mutlak değerin en fazla sapma gösterme olasılığını bulun;
d) “üç sigma” kuralını kullanarak rastgele değişkenin değerlerini bulun.

Bu tür problemler her yerde karşımıza çıkıyor ve yıllar süren pratikte bunların yüzlercesini çözdüm. Elle çizim yapmayı ve kağıt tabloları kullanmayı unutmayın;)

Peki sana bir örnek vereceğim artan karmaşıklık:

Örnek 7

Rastgele bir değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu şu şekildedir: . Bul, matematiksel beklenti, varyans, dağılım fonksiyonu, yapı yoğunluk grafikleri ve dağılım fonksiyonları, bulma.

Çözüm: Öncelikle koşulun rastgele değişkenin doğası hakkında hiçbir şey söylemediğini belirtelim. Bir üssün varlığı kendi başına hiçbir şey ifade etmez: örneğin ortaya çıkabilir: gösterge niteliğinde hatta keyfi sürekli dağıtım. Ve bu nedenle dağılımın “normalliğinin” hala gerekçelendirilmesi gerekiyor:

Fonksiyondan beri şu tarihte belirlendi: herhangi gerçek değer ve forma indirgenebilir , daha sonra rastgele değişken normal yasaya göre dağıtılır.

İşte başlıyoruz. Bunun için tam bir kare seç ve organize etmek üç katlı kesir:


Göstergeyi orijinal formuna döndürerek bir kontrol yaptığınızdan emin olun:

görmek istediğimiz de buydu.

Böylece:
- İle yetkilerle operasyon kuralı"sıkıştırmak" Ve burada bariz olanı hemen yazabiliriz sayısal özellikler:

Şimdi parametrenin değerini bulalım. Normal dağılım çarpanı ve formuna sahip olduğundan:
, işlevimizi ifade ettiğimiz ve yerine koyduğumuz yerden:
, bundan sonra bir kez daha gözlerimizle kayıt üzerinden geçeceğiz ve ortaya çıkan fonksiyonun şu şekle sahip olduğundan emin olacağız: .

Bir yoğunluk grafiği oluşturalım:

ve dağıtım fonksiyonu grafiği :

Elinizde Excel veya normal bir hesap makinesi yoksa, son grafik kolayca manuel olarak oluşturulabilir! Dağıtım fonksiyonunun değeri aldığı noktada ve işte burada

Normal yasalara tabi olan iki bağımsız rastgele değişkeni ve 'yi ele alalım:

, (12.6.1)

. (12.6.2)

Bu yasaların bir bileşimini üretmek, yani miktarın dağılım yasasını bulmak gerekir:

Dağıtım yasalarının bileşimi için genel formülü (12.5.3) uygulayalım:

. (12.6.3)

İntegralin üssündeki parantezleri açarsak ve getirirsek benzer üyeler, şunu elde ederiz:

,

;

;

.

Bu ifadeleri daha önce karşılaştığımız formül (9.1.3)'te yerine koyarsak:

, (12.6.4)

dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz:

, (12.6.5)

ve bu, dağılım merkezi olan normal bir yasadan başka bir şey değildir

ve standart sapma

. (12.6.7)

Aşağıdaki nitel akıl yürütme kullanılarak aynı sonuca çok daha kolay ulaşılabilir.

Parantezleri açmadan ve integralde (12.6.3) herhangi bir dönüşüm yapmadan hemen üssün şu sonuca varıyoruz: ikinci dereceden üç terimli türle ilgili

,

miktarın katsayıya hiç dahil edilmediği durumlarda katsayı birinci kuvvete dahil edilir ve katsayı karesi alınır. Bunu aklımızda tutarak ve (12.6.4) formülünü uygulayarak, üssü 'ye göre üç terimli kare olan bir üstel fonksiyonun olduğu ve bu tipin dağılım yoğunluğunun normal yasaya karşılık geldiği sonucuna varıyoruz. Böylece tamamen niteliksel bir sonuca varıyoruz: miktarın dağılım yasası normal olmalıdır.

Bu yasanın parametrelerini bulmak için - ve - matematiksel beklentilerin toplamı teoremini ve varyansların toplamı teoremini kullanacağız. Matematiksel beklentilerin eklenmesi teoremine göre

Varyansların toplamı teoremi ile

buradan formül (12.6.7) gelir.

Standart sapmalardan bunlarla orantılı olası sapmalara geçerek şunu elde ederiz:

Böylece şu kurala ulaştık: Normal yasaları birleştirirken yeniden normal yasa elde edilir ve matematiksel beklentiler ve varyanslar (veya olası sapmaların kareleri) toplanır.

Normal yasaların oluşumuna ilişkin kural duruma genelleştirilebilir herhangi bir sayı bağımsız rastgele değişkenler.

Bağımsız rastgele değişkenler varsa:

dağılım merkezlerine sahip normal yasalara tabidir

ve standart sapmalar

,

o zaman değer

parametrelerle birlikte normal yasaya da tabidir

Formül (12.6.12) yerine eşdeğer bir formül kullanabilirsiniz:

Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem normal bir yasaya göre dağıtılıyorsa, ancak değerler bağımlıysa, o zaman daha önce olduğu gibi aşağıdakilere dayanarak kanıtlamak zor değildir: genel formül(12.5.1) miktarın dağılım yasası

Normal bir yasa da var. Saçılma merkezleri hâlâ cebirsel olarak ekleniyor ancak standart sapmalar için kural daha karmaşık hale geliyor:

, (12.6.14)

miktarların korelasyon katsayısı nerede ve .

Bütünüyle normal kanuna tabi olan birkaç bağımlı rastgele değişken toplandığında, toplamın dağılım kanunu da parametrelerle normal olarak ortaya çıkar.

, (12.6.16)

veya olası sapmalarda

, (12.6.17)

miktarların korelasyon katsayısı nerede ve toplam, miktarların tüm farklı ikili kombinasyonlarına kadar uzanıyor.

Normal hukukun çok önemli bir özelliğine ikna olduk: Normal yasaların bileşimiyle yeniden normal bir yasa elde edilir. Buna “kararlılık özelliği” denir. Bu türden iki yasanın bileşimi yine aynı türde bir yasayla sonuçlanıyorsa, bir dağıtım yasasına kararlı denir. Yukarıda normal kanunun istikrarlı olduğunu göstermiştik. Çok az sayıda dağıtım kanunu istikrar özelliğine sahiptir. Önceki örnekte (örnek 2), örneğin tekdüze yoğunluk yasasının kararsız olduğuna ikna olmuştuk: 0'dan 1'e kadar bölümlerdeki iki tekdüze yoğunluk yasasının birleşimiyle Simpson yasasını elde ettik.

Normal hukukun istikrarı, uygulamada yaygın olarak kullanılmasının temel koşullarından biridir. Ancak normal olanın yanı sıra diğer bazı dağıtım kanunları da kararlılık özelliğine sahiptir. Normal yasanın bir özelliği, yeterince büyük bir sayının bileşimi ile pratik olarak keyfi yasalar Dağıtımda, terimlerin dağılım kanunları ne olursa olsun, toplam kanunun normale istendiği kadar yakın olduğu ortaya çıkar. Bu, örneğin 0'dan 1'e kadar alanlardaki tekdüze yoğunluğun üç yasasını oluşturarak gösterilebilir. Ortaya çıkan dağılım yasası, Şekil 2'de gösterilmektedir. 12.6.1. Çizimden de görülebileceği gibi fonksiyonun grafiği normal yasanın grafiğine çok benzemektedir.

Normal dağılım

Dağıtım, çokgen (veya özel çokgen) ve dağıtım eğrisi kavramlarına zaten aşinayız. Bu kavramların özel bir durumu “normal dağılım” ve “normal eğri”dir. Ancak bu özel seçenek, psikolojik olanlar da dahil olmak üzere herhangi bir bilimsel veriyi analiz ederken çok önemlidir. Gerçek şu ki, grafiksel olarak gösterilen normal dağılım normal eğri Nesnel gerçeklikte nadiren bulunan ideal bir dağılım vardır. Ancak kullanımı, ayni olarak elde edilen verilerin işlenmesini ve açıklanmasını büyük ölçüde kolaylaştırır ve basitleştirir. Üstelik sadece normal bir dağılım için verilen korelasyon katsayıları bağlantının yakınlığının bir ölçüsü olarak yorumlanabilir; diğer durumlarda ise böyle bir işlev görmezler ve bunların hesaplanması açıklanması zor paradokslara yol açar.

İÇİNDE bilimsel araştırma varsayım genellikle kabul edilir O gerçek verilerin dağılımının normalliği ve bu temelde işlenir, ardından bir takım özel istatistiksel tekniklerin kullanıldığı gerçek dağılımın normal dağılımdan ne kadar farklı olduğu açıklığa kavuşturulur ve gösterilir. Kural olarak, bu varsayım oldukça kabul edilebilirdir, çünkü çoğu psişik olaylar ve özellikleri normale çok yakın dağılımlara sahiptir.

Peki normal dağılım nedir ve bilim adamlarını cezbeden özellikleri nelerdir? Normal Bir büyüklüğün oluşma ve oluşmama olasılıkları aynı olacak şekilde dağılımına denir. Klasik illüstrasyon yazı tura atmaktır. Eğer para adilse ve atışlar aynı şekilde yapılıyorsa, yazı veya tura gelme olasılığı da eşit derecede yüksektir. Yani, "turalar" aynı olasılıkla düşebilir ve düşmeyebilir ve aynı durum "yazı" için de geçerlidir.

“Olasılık” kavramını tanıttık. Bunu açıklığa kavuşturalım. Olasılık bir olayın beklenen gerçekleşme sıklığıdır (oluşma - bir miktarın ortaya çıkışı değil). Olasılık, payı gerçekleşen olayların sayısı (frekans) olan bir kesirle ifade edilir ve V payda - maksimum olası sayı bu olaylar. Örnek alındığında (sayı olası vakalar) sınırlıysa, olasılık hakkında konuşmak daha iyidir, ancak O zaten aşina olduğumuz frekans. Olasılık şunu gösteriyor sonsuz sayıörnekler Ancak pratikte bu incelik sıklıkla göz ardı edilir.

Matematikçilerin olasılık teorisine yoğun ilgisi V genel olarak ve özel olarak normal dağılıma görünür V Katılımcıların isteği üzerine XVII. yüzyılda kumar Minimum riskle maksimum kazanç için bir formül bulun. Ünlü matematikçiler J. Bernoulli (1654-1705) ve P. S. Laplace (1749-1827) bu soruları ele aldılar. Birinci matematiksel açıklama Parayı birden çok kez atarken "tura" gelme olasılıklarının dağılım diyagramının bölümlerini birleştiren eğri, Abraham de Moivre(1667-1754). Bu eğri çok yakın normal eğri verdiği tam açıklama büyük matematikçi K. F. Gauss(1777-1855) bugün hâlâ adını taşıyor. Normal (Gauss) bir eğrinin grafiği ve formülü aşağıdaki gibidir.

burada P olasılıktır (daha doğrusu olasılık yoğunluğu), yani yukarıdaki eğrinin yüksekliği verilen değer Z; e – taban doğal logaritma(2,718...); π= 3,142...; M – numune ortalaması; σ – standart sapma.

Normal bir eğrinin özellikleri

1. Ortalama (M), mod (Mo) ve medyan (Me) aynıdır.

2. Ortalama M'ye göre simetri.

3. Açıkça yalnızca iki parametreyle belirlenir - M ve o.

4. Eğrinin “dalları” hiçbir zaman apsis Z'yi geçmez ve ona asimptotik olarak yaklaşır.

5. M = 0 ve o = 1 için, altındaki alan 1'e eşit olduğundan birim normal eğri elde ederiz.

6. Birim eğri için: Pm = 0,3989 ve eğrinin altındaki alan şu aralıktadır:

-σ ila +σ = %68,26; -2σ ila + 2σ = %95,46; -Зσ ila + Зσ = %99,74.

7. Birim olmayan normal eğriler için (M ≠0, σ ≠1), alanlardaki desen korunur. Aradaki fark yüzlerce.

Normal dağılımın varyasyonları

Aşağıda sunulan varyasyonlar yalnızca normal dağılım için değil, herhangi biri için de geçerlidir. Ancak netlik sağlamak amacıyla bunları burada sunuyoruz.

1. Asimetri – merkezi değere göre eşit olmayan dağılım.

Normal dağılım (Gauss dağılımı) her zaman oynanır merkezi rol Olasılık teorisinde, birçok faktörün etkisi sonucu sıklıkla ortaya çıktığı için herhangi birinin katkısı ihmal edilebilir düzeydedir. Merkezi Limit Teoremi (CLT), neredeyse tüm uygulamalı bilimlerde uygulama bulur ve istatistiksel aygıtı evrensel hale getirir. Bununla birlikte, kullanımının imkansız olduğu çok sık durumlar vardır ve araştırmacılar, sonuçların Gaussian'a uygunluğunu mümkün olan her şekilde organize etmeye çalışırlar. bu yaklaşık alternatif yaklaşım Eğer dağılım birçok faktörden etkileniyorsa şimdi anlatacağım.

CPT'nin kısa tarihi. Newton hala hayattayken Abraham de Moivre, bir dizideki bir olayın merkezlenmiş ve normalleştirilmiş gözlem sayısının yakınsamasına ilişkin bir teoremi kanıtladı. bağımsız testler normal bir dağılıma 19. yüzyıl boyunca ve 20. yüzyılın başlarında bu teorem genellemeler için bilimsel bir model olarak hizmet etti. Laplace davayı kanıtladı düzgün dağılım, Poisson – yerel teorem Farklı olasılıklara sahip bir durum için. Poincaré, Legendre ve Gauss zengin bir gözlem hataları teorisi ve bir yöntem geliştirdiler en küçük kareler hataların normal dağılıma yakınsamasına dayanır. Chebyshev, momentler yöntemini geliştirerek rastgele değişkenlerin toplamı için daha da güçlü bir teorem kanıtladı. 1900 yılında Lyapunov, Chebyshev ve Markov'a dayanarak CLT'nin şu anki haliyle kanıtladı, ancak yalnızca üçüncü dereceden momentlerin varlığıyla. Ve ancak 1934'te Feller, ikinci dereceden momentlerin varlığının hem gerekli hem de yeterli bir koşul olduğunu göstererek buna bir son verdi.

CLT şu şekilde formüle edilebilir: Eğer rastgele değişkenler bağımsızsa, aynı şekilde dağılmışsa ve sıfırdan farklı sonlu bir varyansa sahipse, bu değişkenlerin toplamları (merkezlenmiş ve normalleştirilmiş) normal yasaya yakınsar. Bu teorem üniversitelerde bu biçimde öğretilmekte ve matematikte profesyonel olmayan gözlemciler ve araştırmacılar tarafından sıklıkla kullanılmaktadır. Bunda yanlış olan ne? Aslında teorem, Gauss, Poincaré, Chebyshev ve 19. yüzyılın diğer dehalarının üzerinde çalıştığı alanlara, yani gözlem hataları teorisine, istatistiksel fizik, çokuluslu şirketler, demografik araştırmalar ve belki başka bir şey. Ancak keşifler için özgünlükten yoksun bilim adamları, genellemelerle meşguller ve bu teoremi her şeye uygulamak istiyorlar ya da normal dağılımı, var olamayacağı bir yere sürüklemek istiyorlar. Örnek istersen bende var.

Zeka bölümü IQ. Başlangıçta insanların zekasının normal şekilde dağıldığını ima eder. Olağanüstü yeteneklerin hesaba katılmadığı, ancak aynı ortak faktörlerle ayrı ayrı dikkate alındığı bir şekilde önceden hazırlanmış bir test uygularlar: mantıksal düşünme, zihinsel tasarım, hesaplama yetenekleri, soyut düşünme ve başka bir şey. Çoğu kişinin erişemediği sorunları çözme yeteneği veya bir testi süper hızlı bir sürede geçme yeteneği hiçbir şekilde dikkate alınmaz ve testi daha erken geçmek, gelecekte sonucu (ancak zekayı değil) artırır. Ve sonra cahiller "hiç kimsenin onlardan iki kat daha akıllı olamayacağına" inanıyorlar, "hadi bunu akıllı insanlardan alıp bölelim."

İkinci örnek: finansal göstergelerdeki değişiklikler. Hisse senedi fiyatlarındaki, döviz fiyatlarındaki ve emtia opsiyonlarındaki değişiklikleri araştırmak bir cihazın kullanımını gerektirir matematiksel istatistik ve özellikle burada dağıtım türü konusunda hata yapmamak önemlidir. Önemli bir durum: 1997'de Nobel Ödülü Ekonomi alanında, stok göstergelerinin büyüme normal dağılımı varsayımına dayanan Black-Scholes modelinin önerisi için ödeme yapıldı (sözde beyaz gürültü). Ancak yazarlar şunu açıkça belirtmişlerdir: bu model açıklığa kavuşturulması gerekiyor, ancak sonraki araştırmacıların çoğunun yapmaya karar verdiği tek şey Poisson dağılımını normal dağılıma eklemekti. Burada, uzun zaman serilerini incelerken açıkçası yanlışlıklar olacaktır, çünkü Poisson dağılımı CLT'yi çok iyi karşılamaktadır ve zaten 20 terimle normal dağılımdan ayırt edilemez. Aşağıdaki resme bakın (ve çok ciddi bir ekonomi dergisinden alınmıştır), oldukça fazla olmasına rağmen şunu gösteriyor: büyük sayı gözlemler ve bariz çarpıklıklar nedeniyle, dağılımın normalliği hakkında bir varsayımda bulunulur.

Dağılımların normal olmayacağı çok açık ücretlerşehrin nüfusu, diskteki dosyaların boyutu, şehirlerin ve ülkelerin nüfusu arasında.

Bu örneklerdeki dağılımların ortak noktası, "ağır kuyruk" olarak adlandırılan, yani ortalamanın çok uzağında yer alan değerlerin ve genellikle sağa doğru gözle görülür bir asimetrinin varlığıdır. Normalin yanı sıra başka dağılımların neler olabileceğini düşünelim. Daha önce bahsedilen Poisson ile başlayalım: bir kuyruğu var, ancak yasanın her birinde gözlemlendiği bir grup grup için tekrarlanmasını istiyoruz (bir işletme için dosyaların boyutunu, birkaç şehir için maaşları hesaplayın) veya ölçekli (Black - Scholes model aralığını keyfi olarak artırın veya azaltın), gözlemlerin gösterdiği gibi, kuyruklar ve asimetri kaybolmaz, ancak CLT'ye göre Poisson dağılımı normal hale gelmelidir. Aynı nedenlerden dolayı Erlang, beta, lognormal ve dağılım dağılımlarına sahip diğerlerinin tümü uygun değildir. Geriye kalan tek şey Pareto dağılımını kesmektir, ancak örnek verileri analiz ederken neredeyse hiç oluşmayan minimum değerle modun çakışması nedeniyle uygun değildir.

Sahip olan dağılımlar gerekli özellikler, mevcut ve kararlı dağılımlar olarak adlandırılıyor. Tarihleri ​​de çok ilginçtir ve ana teorem, Feller'in çalışmasından bir yıl sonra, 1935'te ortak çabalarla kanıtlanmıştır. Fransız matematikçi Paul Levy ve Sovyet matematikçi A.Ya. Khinchin. CLT genelleştirildi; dispersiyonun varlığı koşulu kaldırıldı. Normalin aksine, kararlı rastgele değişkenlerin ne yoğunluğu ne de dağılım fonksiyonu ifade edilir (aşağıda tartışılan nadir istisnalar dışında, onlar hakkında bilinen tek şey karakteristik fonksiyondur (); ters dönüşüm Fourier dağılım yoğunluğu, ancak özünü anlamak için bu bilinmeyebilir).
Yani teorem şöyle: Rastgele değişkenler bağımsız ve aynı şekilde dağılmışsa, bu değişkenlerin toplamları kararlı bir yasaya yakınsar.

Şimdi tanım. Rastgele değişken X ancak ve ancak logaritması durumunda kararlı olacaktır karakteristik fonksiyonŞeklinde sunalım:

Nerede .

Aslında burada çok karmaşık bir şey yok, sadece dört parametrenin anlamını açıklamanız gerekiyor. Sigma ve mu parametreleri olağan ölçek ve ofsettir, normal dağılımda olduğu gibi, mu varsa matematiksel beklentiye eşit olacaktır ve alfa birden büyük olduğunda mevcuttur. Beta parametresi asimetridir; sıfıra eşitse dağılım simetriktir. Ancak alfa karakteristik bir parametredir; bir niceliğin momentlerinin hangi büyüklükte olduğunu, ikiye ne kadar yakınsa, o kadar büyük olduğunu gösterir. daha fazla dağıtım normale benzer, ikiye eşit olduğunda dağılım normal hale gelir ve yalnızca bu durumda büyük dereceli momentlere sahiptir, ayrıca normal dağılım durumunda asimetri dejenere olur. Alfanın bire, betanın sıfıra eşit olması durumunda Cauchy dağılımı elde edilir, alfanın yarıya ve betanın bire eşit olması durumunda Lévy dağılımı elde edilir, diğer durumlarda temsil yoktur. bu tür miktarların yoğunluk dağılımı için kareler halinde.
20. yüzyılda, kararlı niceliklere ve süreçlere (Lévy süreçleri olarak anılır) ilişkin zengin bir teori geliştirildi ve bunların birbirleriyle olan bağlantıları kesirli integraller, tanıtıldı çeşitli yollar Parametreleştirme ve modelleme ile parametreler çeşitli şekillerde tahmin edilmiş ve tahminlerin tutarlılığı ve kararlılığı gösterilmiştir. Resme bakın, Levy sürecinin simüle edilmiş bir yörüngesini 15 kat büyütülmüş bir parçayla gösteriyor.

Benoit Mandelbrot, bu tür süreçleri ve bunların finanstaki uygulamalarını incelerken fraktalları ortaya çıkardı. Ancak her yerde durum pek iyi değildi. 20. yüzyılın ikinci yarısı uygulamalı ve sibernetik bilimlerin genel eğilimi altında geçti ve bu, saf matematikte bir kriz anlamına geliyordu, herkes üretmek istiyordu ama düşünmek istemiyordu, hümanistler gazetecilikleriyle matematiksel alanları işgal ediyordu. Örnek: American Mosteller'in “Çözümlü Elli Eğlenceli Olasılık Problemi” kitabı, görev No. 11:

Yazarın bu soruna getirdiği çözüm sağduyunun yenilgisinden başka bir şey değil:

ÜÇ çelişkili cevabın verildiği 25. problemde de durum aynıdır.

Ancak istikrarlı dağılımlara dönelim. Yazının geri kalanında onlarla çalışırken herhangi bir ek zorluk yaşanmaması gerektiğini göstermeye çalışacağım. Yani, parametreleri tahmin etmenize, dağıtım fonksiyonunu hesaplamanıza ve bunları modellemenize, yani diğer dağıtımlarla aynı şekilde çalışmanıza olanak tanıyan sayısal ve istatistiksel yöntemler vardır.

Kararlı rastgele değişkenlerin modellenmesi. Her şey karşılaştırma yoluyla öğrenildiği için, öncelikle hesaplama açısından en uygun olanı, normal bir değer üretme yöntemini (Box-Muller yöntemi) hatırlayacağım: eğer temel rastgele değişkenler (üzerinde düzgün bir şekilde dağılmışsa)