Bir noktanın konumunun, orijin adı verilen bir noktada kesişen sabit çizgiler üzerindeki izdüşümü olarak tanımlanabildiği bir uzayda. Bu projeksiyonlara nokta koordinatları, düz çizgilere ise koordinat eksenleri adı verilir.
İÇİNDE genel durum uçakta kartezyen sistem koordinatlar ( afin sistemi Koordinatlar), O noktası (koordinatların başlangıcı) ve ona bağlı olan ve aynı doğru üzerinde yer almayan sıralı bir e 1 ve e 2 vektör çifti (temel vektörler) ile verilir. Temel vektörler doğrultusunda orijinden geçen düz çizgilere, belirli bir Kartezyen koordinat sisteminin koordinat eksenleri denir. E 1 vektörü tarafından belirlenen birinciye apsis ekseni (veya Ox ekseni), ikincisi ise ordinat ekseni (veya Oy ekseni) denir. Kartezyen koordinat sisteminin kendisi Oe 1 e 2 veya Oxy olarak gösterilir. Kartezyen koordinat sistemi Oe 1 e 2'deki M noktasının (Şekil 1) Kartezyen koordinatlarına, OM vektörünün temel (e 1,) boyunca genişlemesinin katsayıları olan sıralı bir sayı çifti (x, y) denir. e 2), yani x ve y, OM = xe 1 + ue 2 olacak şekildedir. Sayı x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).
İki Kartezyen koordinat sistemi Oe 1 e 2 ve 0'e' 1 e' 2, temel vektörler (e' 1, e' 2) temel vektörler (e 1, e 2) aracılığıyla ifade edilecek şekilde düzleme dahil edilirse formüllere göre
e' 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e' 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2
ve O' noktasının Kartezyen koordinat sistemi Oe 1 e 2'deki koordinatları (x 0, y 0), ardından Kartezyen koordinat sistemi Oe 1 e2'deki M noktasının koordinatları (x, y) ve koordinatları (x') vardır. , y') Kartezyen koordinat sisteminde aynı noktanın O'e 1 e' 2 bağıntılarıyla ilişkilidir
x = a 11 x' + a 21 y' + x 0, y = a 12 x'+ a 22 y'+ y 0.
Temel (e 1, e 2) ortonormal ise, yani e 1 ve e 2 vektörleri karşılıklı olarak dikse ve uzunluklara sahipse Kartezyen koordinat sistemine dikdörtgen denir. bire eşit(e 1 ve e 2 vektörlerine bu durumda vektörler denir). Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde M noktasının x ve y koordinatları büyüklüklerdir ortogonal projeksiyonlar Ox ve Oy ekseninde sırasıyla M noktaları. Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxy'de, M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) noktaları arasındaki mesafe √(x 2 - x 1) 2 + (y 2 -y 1)'e eşittir. ) 2
Bir dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxy'den başka bir dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi O'x'y'ye geçiş formülleri, başlangıcı Kartezyen koordinat sistemi Oxy'nin O' O'(x0, y0) olduğu formdadır
x = x’cosα - y’sinα + x 0, y = x’sin α + y’cosα + y 0
x = x'cosα + y'sinα + x 0, y = x'sinα - y'cosα + y 0.
İlk durumda, O'x'y' sistemi e1 temel vektörlerinin döndürülmesiyle oluşturulur; α açısıyla e 2 ve ardından O koordinatlarının orijininin O' noktasına aktarılması (Şekil 2),
ve ikinci durumda - e 1, e 2 temel vektörlerini bir α açısı kadar döndürerek, e 2 vektörünü içeren eksenin e 1 vektörünü taşıyan düz çizgiye göre daha sonra yansıması ve O kökeninin O noktasına aktarılması ' (Şekil 3).
Bazen birim temel vektörler arasındaki açının doğru olmaması nedeniyle dikdörtgen olandan farklı olan eğik Kartezyen koordinat sistemleri kullanılır.
Uzaydaki genel Kartezyen koordinat sistemi (afine koordinat sistemi) benzer şekilde tanımlanır: bir O noktası belirtilir - koordinatların kökeni ve ona bağlı ve yalan söylemeyen е 1 , е 2 , е 3 (temel vektörler) vektörlerinin sıralı üçlüsü aynı düzlemde. Düzlemde olduğu gibi koordinat eksenleri belirlenir - apsis ekseni (Ox ekseni), ordinat ekseni (Oy ekseni) ve uygulama ekseni (Oz ekseni) (Şekil 4).
Uzaydaki Kartezyen koordinat sistemi Oe 1 e 2 e 3 (veya Oxyz) ile gösterilir. Koordinat eksen çiftlerinden geçen düzlemlere denir koordinat düzlemleri. Uzayda Kartezyen koordinat sistemi, Ox ekseninden Oy eksenine doğru dönüş yönünde yapılırsa sağa denir. ters hareket saat yönünde, Oxy düzlemine pozitif yarı eksen Oz üzerindeki bir noktadan bakarsanız, Kartezyen koordinat sistemine solak denir. Temel vektörler e 1, e 2, e 3'ün uzunlukları bire eşitse ve çiftler halinde dik ise, Kartezyen koordinat sistemine dikdörtgen denir. Bir dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin uzaydaki konumu, aynı oryantasyona sahip başka bir dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemine göre üç Euler açısıyla belirlenir.
Kartezyen koordinat sistemi adını R. Descartes'tan almıştır, ancak “Geometri” (1637) adlı çalışmasında noktaların koordinatlarının yalnızca pozitif olabileceği eğik bir koordinat sistemi dikkate alınmıştır. 1659-61 baskısında Hollandalı matematikçi I. Gudde'nin çalışması Geometri'ye eklendi; negatif değerler koordinatlar Uzaysal Kartezyen koordinat sistemi Fransız matematikçi F. Lahire (1679) tarafından tanıtıldı. 18. yüzyılın başında Kartezyen koordinatlar için x, y, z notasyonları oluşturuldu.
Dikdörtgen sistem Düzlemdeki koordinatlar karşılıklı olarak dik iki koordinat ekseni X'X ve Y'Y tarafından oluşturulur. Koordinat eksenleri orijin adı verilen O noktasında kesişir, her eksende pozitif bir yön seçilir. Eksenlerin pozitif yönü (sağ koordinat sisteminde), X'X ekseni döndürüldüğünde seçilir. saat yönünün tersine 90° açıyla pozitif yönü Y'Y ekseninin pozitif yönü ile çakışır. X'X ve Y'Y koordinat eksenlerinin oluşturduğu dört açıya (I, II, III, IV) koordinat açıları denir (bkz. Şekil 1).
A noktasının düzlem üzerindeki konumu x ve y koordinatları tarafından belirlenir. Seçilen ölçüm birimlerinde x koordinatı OB segmentinin uzunluğuna eşittir, y koordinatı ise OC segmentinin uzunluğuna eşittir. OB ve OC segmentleri A noktasından sırasıyla Y'Y ve X'X eksenlerine paralel çizilen çizgilerle tanımlanır. X koordinatına A noktasının apsisi, y koordinatına da A noktasının ordinatı denir. Şu şekilde yazılır: A(x, y).
A noktası I koordinat açısında yer alıyorsa, A noktasının pozitif apsisi ve ordinatı vardır. A noktası II koordinat açısında yer alıyorsa, A noktasının negatif apsisi ve pozitif koordinatı vardır. A noktası III koordinat açısında yer alıyorsa, A noktasının negatif apsisi ve ordinatı vardır. A noktası IV koordinat açısında yer alıyorsa, A noktasının pozitif apsisi ve negatif ordinatı vardır.
Uzayda dikdörtgen koordinat sistemi karşılıklı olarak birbirine dik üç koordinat ekseni OX, OY ve OZ tarafından oluşturulur. Koordinat eksenleri orijin adı verilen O noktasında kesişir, her eksende oklarla gösterilen pozitif bir yön ve eksenlerdeki bölümler için bir ölçü birimi seçilir. Ölçü birimleri tüm eksenler için aynıdır. OX - abscissa ekseni, OY - koordinat ekseni, OZ - uygulama ekseni. Eksenlerin pozitif yönü, OX ekseni saat yönünün tersine 90° döndürüldüğünde, eğer bu dönme OZ ekseninin pozitif yönünden gözlemleniyorsa, pozitif yönü OY ekseninin pozitif yönü ile çakışacak şekilde seçilir. Böyle bir koordinat sistemine sağ el denir. Eğer baş parmak sağ el X yönünü X yönü, indeksini Y yönü, ortadakini de Z yönü alırsak sağ koordinat sistemi oluşur. Sol elin benzer parmakları sol koordinat sistemini oluşturur. Karşılık gelen eksenlerin çakışması için sağ ve sol koordinat sistemlerini birleştirmek imkansızdır (bkz. Şekil 2).
A noktasının uzaydaki konumu x, y ve z olmak üzere üç koordinatla belirlenir. X koordinatı OB segmentinin uzunluğuna eşittir, y koordinatı OC segmentinin uzunluğudur, z koordinatı seçilen ölçüm birimlerinde OD segmentinin uzunluğudur. OB, OC ve OD segmentleri A noktasından sırasıyla YOZ, XOZ ve XOY düzlemlerine paralel çizilen düzlemlerle tanımlanır. X koordinatına A noktasının apsisi, y koordinatına A noktasının ordinatı, z koordinatına A noktasının aplikesi denir. Şu şekilde yazılır: A(a, b, c).
Orty
Dikdörtgen bir koordinat sistemi (herhangi bir boyutta), koordinat eksenleriyle eş yönlü bir dizi birim vektörle de tanımlanır. Birim vektörlerin sayısı koordinat sisteminin boyutuna eşittir ve hepsi birbirine diktir.
Üç boyutlu durumda, bu tür birim vektörler genellikle şu şekilde gösterilir: Ben J k veya e X e sen e z. Ayrıca, durumda doğru sistem koordinatlar geçerlidir aşağıdaki formüller vektörlerin çapraz çarpımı ile:
- [Ben J]=k ;
- [J k]=Ben ;
- [k Ben]=J .
Hikaye
Dikdörtgen koordinat sistemi ilk kez 1637 yılında Rene Descartes'ın "Yöntem Üzerine Söylem" adlı eserinde ortaya atılmıştır. Bu nedenle dikdörtgen koordinat sistemine aynı zamanda - denir. Kartezyen koordinat sistemi. Geometrik nesneleri tanımlamanın koordinat yöntemi temeli attı analitik geometri. Pierre Fermat da koordinat yönteminin geliştirilmesine katkıda bulundu ancak eserleri ilk olarak ölümünden sonra yayınlandı. Descartes ve Fermat'ın kullandığı koordinat yöntemi sadece uçakta.
için koordinat yöntemi üç boyutlu uzayİlk kez 18. yüzyılda Leonhard Euler tarafından kullanılmıştır.
Ayrıca bakınız
Bağlantılar
Wikimedia Vakfı.
2010.
Diğer sözlüklerde “Kartezyen koordinat sistemi”nin ne olduğunu görün: KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ, bir düzlem üzerinde veya uzayda (genellikle karşılıklı dik eksenlere ve eksenler boyunca eşit ölçeklere sahip) doğrusal bir koordinat sistemi. Adını R. Descartes'tan almıştır (bkz. DESCARTES Rene). İlk kez Descartes tanıtıldı...
Ansiklopedik Sözlük KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ
KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ, Rene DESCARTES tarafından tanıtılan ve bir noktanın konumunun, ondan karşılıklı olarak kesişen çizgilere (eksenler) olan mesafeye göre belirlendiği bir sistem. Sistemin en basit versiyonunda eksenler (x ve y ile gösterilir) birbirine diktir.... ... Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük
Kartezyen koordinat sistemi
Bir düzlemde veya uzayda (genellikle eksenler boyunca eşit ölçeklerde) doğrusal bir koordinat sistemi (Koordinatlara bakınız). R. Descartes'ın kendisi "Geometri" de (1637) yalnızca bir düzlemde (genel olarak eğik) bir koordinat sistemi kullandı. Sıklıkla… … Büyük Sovyet Ansiklopedisi
Koordinat yöntemini uygulayan bir dizi tanım, yani sayıları veya diğer sembolleri kullanarak bir noktanın veya cismin konumunu belirlemenin bir yolu. Belirli bir noktanın konumunu belirleyen sayılar kümesine bu noktanın koordinatları denir. ... ... Vikipedi'de
kartezyen sistem- Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Kartezyen sistem; Kartezyen koordinat sistemi vok. Kartezyen Koordinat Sistemi, n; kartesisches Koordinat sistemi, n rus. Kartezyen sistem, f; Kartezyen sistem... ... Fizikos terminų žodynas
KOORDİNAT SİSTEMİ- Bir noktanın düz bir çizgi üzerinde, bir düzlem üzerinde, uzayda konumunu belirleyen bir dizi koşul. Çeşitli doğrusal şekiller vardır: Kartezyen, eğik, silindirik, küresel, eğrisel vb. Doğrusal ve açısal değerler, konumu belirlemek... ... Büyük Politeknik Ansiklopedisi
Öklid uzayında ortonormal doğrusal koordinat sistemi. D.p.s. Bir düzlemde, her biri üzerinde pozitif bir yön seçilen ve birimin bir bölümü olan, karşılıklı olarak dik iki düz koordinat ekseni ile belirtilir ... Matematik Ansiklopedisi
Dikdörtgen koordinat sistemi, bir düzlemde veya uzayda karşılıklı dik eksenlere sahip doğrusal bir koordinat sistemidir. En basit ve dolayısıyla en yaygın kullanılan koordinat sistemi. Çok kolay ve doğrudan özetlenmiş... ... Vikipedi
Kitaplar
- Hesaplamalı akışkanlar dinamiği. Teorik temeller. Ders Kitabı, Pavlovsky Valery Alekseevich, Nikushchenko Dmitry Vladimirovich. Kitap sistematik bir sunuma ayrılmıştır. teorik temeller görevleri ayarlamak için matematiksel modelleme Sıvı ve gaz akışı. Özel dikkat inşaat konularına adanmış...
Uzaydaki bir noktanın konumunu belirlemek için Kartezyen dikdörtgen koordinatları kullanacağız (Şekil 2).
Uzaydaki Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi, karşılıklı olarak dik üç koordinat ekseni OX, OY, OZ tarafından oluşturulur. Koordinat eksenleri orijin adı verilen O noktasında kesişir, her eksende oklarla gösterilen pozitif bir yön ve eksenlerdeki bölümler için bir ölçü birimi seçilir. Ölçü birimleri genellikle (zorunlu değil) tüm eksenler için aynıdır. OX eksenine apsis ekseni (veya basitçe apsis) adı verilir, OY ekseni ordinat eksenidir ve OZ ekseni uygulama eksenidir.
A noktasının uzaydaki konumu x, y ve z olmak üzere üç koordinatla belirlenir. X koordinatı OB segmentinin uzunluğuna eşittir, y koordinatı OC segmentinin uzunluğudur, z koordinatı seçilen ölçüm birimlerinde OD segmentinin uzunluğudur. OB, OC ve OD segmentleri sırasıyla YOZ, XOZ ve XOY düzlemlerine paralel bir noktadan çizilen düzlemlerle tanımlanır.
X koordinatına A noktasının apsisi, y koordinatına A noktasının ordinatı ve z koordinatına A noktasının aplikasyonu denir.
Sembolik olarak şöyle yazılır:
veya koordinat kaydını şuraya bağlayın: belirli nokta indeks kullanarak:
x Bir, y Bir, z Bir,
Her eksen bir sayı doğrusu olarak kabul edilir, yani pozitif bir yöne sahiptir ve üzerinde uzanan noktalar vardır. negatif ışın, negatif koordinat değerleri atanır (mesafe eksi işaretiyle alınır). Yani, örneğin B noktası şekildeki gibi - OX ışınında değil, onun devamında yatıyorsa ters taraf O noktasından (OX ekseninin negatif kısmında) itibaren, bu durumda A noktasının x apsisi negatif olacaktır (eksi OB mesafesi). Aynı şekilde diğer iki eksen için de.
Şekil 2'de gösterilen OX, OY, OZ koordinat eksenleri. 2, sağ el koordinat sistemi oluşturun. Bu, YOZ düzlemine OX ekseninin pozitif yönü boyunca bakarsanız, OY ekseninin OZ eksenine doğru hareketinin saat yönünde olacağı anlamına gelir. Bu durum gimlet kuralı kullanılarak açıklanabilir: eğer gimlet (sağ dişli vida) OY ekseninden OZ eksenine doğru döndürülürse, OX ekseninin pozitif yönü boyunca hareket edecektir.
Koordinat eksenleri boyunca yönlendirilen birim uzunluktaki vektörlere koordinat birim vektörleri denir. Genellikle şu şekilde belirlenirler: 
(Şekil 3). atama da var 
Birim vektörler koordinat sisteminin temelini oluşturur.
Sağ yönlü koordinat sistemi durumunda aşağıdaki formüller geçerlidir: vektör çalışmaları ortov:
Birbirine dik kesişen iki veya üç eksenden oluşan düzenli bir sistem ortak başlangıç referans (köken) ve ortak bir uzunluk birimine denir dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi .
Genel Kartezyen koordinat sistemi (afin koordinat sistemi) mutlaka dik eksenleri içermeyebilir. onuruna Fransız matematikçi René Descartes (1596-1662), tüm eksenlerde ortak bir uzunluk biriminin ölçüldüğü ve eksenlerin düz olduğu böyle bir koordinat sistemi adını verdi.
Düzlemde dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi iki ekseni vardır ve uzayda dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi - üç eksen. Bir düzlemdeki veya uzaydaki her nokta, sıralı bir koordinatlar dizisiyle tanımlanır - koordinat sisteminin uzunluk birimine karşılık gelen sayılar.
Tanımdan da anlaşılacağı gibi, düz bir çizgi üzerinde, yani tek boyutta bir Kartezyen koordinat sistemi olduğuna dikkat edin. Bir doğru üzerinde Kartezyen koordinatların kullanılması, bir doğru üzerindeki herhangi bir noktanın iyi tanımlanmış bir gerçek sayıyla, yani bir koordinatla ilişkilendirilmesinin yollarından biridir.
Rene Descartes'ın çalışmalarında ortaya çıkan koordinat yöntemi, tüm matematiğin devrim niteliğinde bir yeniden yapılanmasına işaret ediyordu. Yorumlamak mümkün oldu cebirsel denklemler(veya eşitsizlikler) geometrik görüntüler (grafikler) biçiminde ve tersine bir çözüm arayın geometrik problemler analitik formüller ve denklem sistemlerini kullanma. Evet eşitsizlik z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy ve bu düzlemin 3 birim üzerinde yer almaktadır.
Kartezyen koordinat sistemini kullanarak, belirli bir eğri üzerindeki bir noktanın üyeliği, sayıların aynı olduğu gerçeğine karşılık gelir. X Ve sen bazı denklemleri karşılayın. Yani, merkezi merkezde olan bir daire üzerindeki bir noktanın koordinatları verilen nokta (A; B) denklemi karşılayın (X - A)² + ( sen - B)² = R² .
Düzlemde dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi
Ortak orijine ve aynı ölçek birimi formuna sahip bir düzlem üzerinde birbirine dik iki eksen Düzlemde kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi . Bu eksenlerden birine eksen denir Öküz, veya x ekseni , diğeri - eksen Oy, veya y ekseni . Bu eksenlere koordinat eksenleri de denir. ile belirtelim MX Ve Msen sırasıyla, rastgele bir noktanın izdüşümü M eksende Öküz Ve Oy. Projeksiyonlar nasıl alınır? Konunun üzerinden geçelim M Öküz. Bu düz çizgi eksenle kesişiyor Öküz bu noktada MX. Konunun üzerinden geçelim M eksene dik olan düz çizgi Oy. Bu düz çizgi eksenle kesişiyor Oy bu noktada Msen. Bu, aşağıdaki resimde gösterilmektedir.
X Ve sen puan M yönlendirilen segmentlerin değerlerini buna göre arayacağız OMX Ve OMsen. Bu yönlendirilmiş segmentlerin değerleri buna göre hesaplanır. X = X0 - 0 Ve sen = sen0 - 0 . Kartezyen koordinatlar X Ve sen puan M apsis Ve koordine etmek . Gerçek şu ki, asıl nokta M koordinatları var X Ve sen, aşağıdaki gibi gösterilir: M(X, sen) .
Koordinat eksenleri düzlemi dörde böler çeyrek daire Numaralandırması aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Ayrıca belirli bir kadrandaki konumlarına bağlı olarak noktaların koordinatlarına ilişkin işaretlerin düzenini de gösterir.
Düzlemdeki Kartezyen dikdörtgen koordinatlara ek olarak kutupsal koordinat sistemi de sıklıkla dikkate alınır. Bir koordinat sisteminden diğerine geçiş yöntemi hakkında - derste kutupsal koordinat sistemi .
Uzayda dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi
Uzaydaki Kartezyen koordinatlar, düzlemdeki Kartezyen koordinatlara tam bir benzetmeyle tanıtılmıştır.
Uzayda birbirine dik üç eksen ( koordinat eksenleri) ortak bir başlangıçla O ve aynı ölçek birimiyle oluşturdukları Uzayda Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi .
Bu eksenlerden birine eksen denir Öküz, veya x ekseni , diğeri - eksen Oy, veya y ekseni , üçüncü eksen Oz, veya eksen uygulaması . İzin vermek MX, Msen Mz- keyfi bir noktanın projeksiyonları M eksen üzerindeki boşluk Öküz , Oy Ve Oz sırasıyla.
Konunun üzerinden geçelim M ÖküzÖküz bu noktada MX. Konunun üzerinden geçelim M eksene dik düzlem Oy. Bu düzlem eksenle kesişiyor Oy bu noktada Msen. Konunun üzerinden geçelim M eksene dik düzlem Oz. Bu düzlem eksenle kesişiyor Oz bu noktada Mz.
Kartezyen dikdörtgen koordinatlar X , sen Ve z puan M yönlendirilen segmentlerin değerlerini buna göre arayacağız OMX, OMsen Ve OMz. Bu yönlendirilmiş segmentlerin değerleri buna göre hesaplanır. X = X0 - 0 , sen = sen0 - 0 Ve z = z0 - 0 .
Kartezyen koordinatlar X , sen Ve z puan M buna göre çağrılır apsis , koordine etmek Ve başvurmak .
Çiftler halinde alınan koordinat eksenleri koordinat düzlemlerinde bulunur xOy , yOz Ve zOx .
Kartezyen koordinat sistemindeki noktalarla ilgili problemler
Örnek 1.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Bu noktaların apsis eksenine izdüşümlerinin koordinatlarını bulun.
Çözüm. Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi, bir noktanın apsis eksenine izdüşümü apsis ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur. Öküz ve bu nedenle noktanın kendisinin apsisine eşit bir apsisine ve bir koordinata (eksen üzerindeki koordinat) sahiptir. Oy x ekseninin 0 noktasında kesiştiği nokta), sıfıra eşit. Böylece x eksenindeki bu noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx(-5;0).
Örnek 2. Kartezyen koordinat sisteminde noktalar düzlem üzerinde verilir.
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Bu noktaların ordinat eksenine izdüşümlerinin koordinatlarını bulun.
Çözüm. Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi, bir noktanın ordinat eksenine izdüşümü ordinat ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur. Oy ve bu nedenle noktanın kendisinin koordinatına eşit bir koordinata ve bir apsise (eksen üzerindeki koordinat) sahiptir. Öküz Ordinat ekseninin 0 noktasında kesiştiği nokta sıfıra eşittir. Böylece ordinat eksenindeki bu noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
Örnek 3. Kartezyen koordinat sisteminde noktalar düzlem üzerinde verilir.
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Öküz .
Öküz Öküz Öküz, aynı apsise sahip olacak verilen nokta ve koordinat şuna eşittir: mutlak değer Belirli bir noktanın koordinatı ve zıt işareti. Böylece eksene göre bu noktalara simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Öküz :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Kartezyen koordinat sistemini kullanarak problemleri kendiniz çözün ve ardından çözümlere bakın.
Örnek 4. Bir noktanın hangi çeyreklerde (çeyrekler, çeyreklerle çizim - “Düzlemde Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi” paragrafının sonunda) bulunabileceğini belirleyin M(X; sen) , Eğer
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) X − sen = 0 ;
4) X + sen = 0 ;
5) X + sen > 0 ;
6) X + sen < 0 ;
7) X − sen > 0 ;
8) X − sen < 0 .
Örnek 5. Kartezyen koordinat sisteminde noktalar düzlem üzerinde verilir.
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(A; B) .
Bu noktalara simetrik olan noktaların eksene göre koordinatlarını bulun Oy .
Sorunları birlikte çözmeye devam edelim
Örnek 6. Kartezyen koordinat sisteminde noktalar düzlem üzerinde verilir.
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Bu noktalara simetrik olan noktaların eksene göre koordinatlarını bulun Oy .
Çözüm. Eksen etrafında 180 derece döndürün Oy eksenden yönlü segment Oy bu noktaya kadar. Düzlemin çeyreklerinin gösterildiği şekilde, eksene göre verilen noktaya simetrik olan noktanın olduğunu görüyoruz. Oy, verilen noktayla aynı koordinata sahip olacak ve mutlak değer olarak verilen noktanın apsisine eşit ve işaret olarak zıt bir apsise sahip olacaktır. Böylece eksene göre bu noktalara simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Örnek 7. Kartezyen koordinat sisteminde noktalar düzlem üzerinde verilir.
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Bu noktalara orijine göre simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun.
Çözüm. Orijinden verilen noktaya giden yönlendirilmiş parçayı orijin etrafında 180 derece döndürüyoruz. Düzlemin çeyreklerinin belirtildiği şekilde, koordinatların orijinine göre verilen noktaya simetrik bir noktanın, verilen noktanın apsis ve ordinatına mutlak değerde eşit bir apsis ve ordinat sahip olacağını görüyoruz, ancak işareti tam tersi. Böylece orijine göre bu noktalara simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Örnek 8.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Bu noktaların projeksiyonlarının koordinatlarını bulun:
1) uçakta Oksi ;
2) uçakta Öküz ;
3) uçağa Oyz ;
4) apsis ekseninde;
5) ordinat ekseninde;
6) uygulama ekseninde.
1) Bir noktanın düzleme izdüşümü Oksi bu düzlemin üzerinde yer alır ve bu nedenle belirli bir noktanın apsisine ve ordinatına eşit bir apsis ve ordinat ve sıfıra eşit bir aplikasyona sahiptir. Böylece bu noktaların projeksiyonlarının aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Oksi :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Bir noktanın düzleme izdüşümü Öküz bu düzlemin kendisinde yer alır ve bu nedenle belirli bir noktanın apsisine ve uygulamasına eşit bir apsis ve uygulamaya ve sıfıra eşit bir koordinata sahiptir. Böylece bu noktaların projeksiyonlarının aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Öküz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Bir noktanın düzleme izdüşümü Oyz bu düzlemin kendisinde bulunur ve bu nedenle belirli bir noktanın koordinatına ve uygulamasına eşit bir koordinat ve uygulamaya ve sıfıra eşit bir apsise sahiptir. Böylece bu noktaların projeksiyonlarının aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Oyz :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi, bir noktanın apsis eksenine izdüşümü apsis ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur. Öküz ve bu nedenle noktanın apsisine eşit bir apsise sahiptir ve projeksiyonun ordinatı ve uygulaması sıfıra eşittir (çünkü ordinat ve uygulama eksenleri apsis ile 0 noktasında kesişir). Bu noktaların apsis eksenine izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:
Ax(4;0;0);
Bx(-3;0;0);
Cx(2;0;0).
5) Bir noktanın ordinat eksenine izdüşümü, ordinat ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur. Oy ve bu nedenle noktanın kendisinin ordinatına eşit bir ordinatına sahiptir ve projeksiyonun apsisi ve aplikasyonu sıfıra eşittir (apsis ve aplikasyon eksenleri ordinat eksenini 0 noktasında kestiklerinden). Bu noktaların ordinat eksenine projeksiyonlarının aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) Bir noktanın uygulanan eksen üzerine izdüşümü, uygulanan eksenin kendisinde, yani eksende bulunur. Oz ve bu nedenle noktanın kendisinin uygulamasına eşit bir uygulamaya sahiptir ve projeksiyonun apsisi ve ordinatı sıfıra eşittir (apsis ve ordinat eksenleri uygulama eksenini 0 noktasında kestiklerinden). Bu noktaların uygulama eksenine izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:
Az(0; 0; 5);
Bz(0;0;1);
Cz(0; 0; 0).
Örnek 9. Kartezyen koordinat sisteminde noktalar uzayda verilir
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Bu noktalara göre simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun:
1) uçak Oksi ;
2) uçaklar Öküz ;
3) uçaklar Oyz ;
4) apsis eksenleri;
5) koordinat eksenleri;
6) eksenleri uygulayın;
7) koordinatların kökeni.
1) Noktayı eksenin diğer tarafına “taşıyın” Oksi Oksi, belirli bir noktanın apsisine ve ordinatına eşit bir apsis ve koordinata sahip olacak ve belirli bir noktanın aplikasyonuna büyüklük olarak eşit, ancak işaret olarak zıt bir uygulamaya sahip olacaktır. Böylece, düzleme göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Oksi :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) Noktayı eksenin diğer tarafına “taşıyın” Öküz aynı mesafeye. Koordinat uzayını gösteren şekilde, eksene göre belirli bir noktaya simetrik olan bir noktanın olduğunu görüyoruz. Öküz, belirli bir noktanın apsisine ve uygulamasına eşit bir apsis ve uygulamaya ve belirli bir noktanın koordinatına büyüklük olarak eşit, ancak işaret olarak zıt bir koordinata sahip olacaktır. Böylece, düzleme göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Öküz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) Noktayı eksenin diğer tarafına “taşıyın” Oyz aynı mesafeye. Koordinat uzayını gösteren şekilde, eksene göre belirli bir noktaya simetrik olan bir noktanın olduğunu görüyoruz. Oyz, belirli bir noktanın koordinatına ve aplikasyonuna eşit bir ordinat ve aplikasyona ve belirli bir noktanın apsisine değer olarak eşit, ancak işaret olarak zıt bir apsise sahip olacaktır. Böylece, düzleme göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Benzetme yoluyla simetrik noktalar düzlemde ve düzlemlere göre verilere simetrik olan uzaydaki noktalarda, uzaydaki Kartezyen koordinat sisteminin bazı eksenlerine göre simetri olması durumunda, simetrinin verildiği eksen üzerindeki koordinatın, işaretini korur ve diğer iki eksendeki koordinatlar, belirli bir noktanın koordinatlarıyla mutlak anlamda aynı, ancak işaret olarak zıt olacaktır.
4) Apsis işaretini koruyacak, ancak ordinat ve uygulama işaretleri değiştirecektir. Böylece apsis eksenine göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinat işaretini koruyacak, ancak apsis ve aplikasyon işaret değiştirecektir. Böylece, ordinat eksenine göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Başvuru sahibi işaretini koruyacaktır ancak apsis ve koordinat işaretleri değişecektir. Böylece, uygulama eksenine göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Düzlem üzerindeki noktalarda simetriye benzetilerek, koordinatların orijinine göre simetri olması durumunda, belirli bir noktaya simetrik olan bir noktanın tüm koordinatları, belirli bir noktanın koordinatlarına mutlak değer olarak eşit olacaktır, ama işaret olarak onların tam tersi. Böylece, orijine göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz.
