MATRİSİN TANIMI. MATRİS TÜRLERİ

m boyutunda matris× N set denir m·n dikdörtgen bir tabloda sıralanmış sayılar Mçizgiler ve N sütunlar. Bu tablo genellikle parantez. Örneğin matris şöyle görünebilir:

Kısaca belirtmek gerekirse, bir matris bir ile gösterilebilir büyük harf, Örneğin, A veya İÇİNDE.

İÇİNDE genel görünüm matris boyutu M× N böyle yaz

.

Matrisi oluşturan sayılara denir matris elemanları. Matris elemanlarının iki endeksle sağlanması uygundur bir ben: Birincisi satır numarasını, ikincisi ise sütun numarasını gösterir. Örneğin, 23– öğe 2. satırda, 3. sütundadır.

Bir matrisin satır sayısı sütun sayısıyla aynıysa matris denir. kare ve satır veya sütunlarının sayısına denir sırayla matrisler. Yukarıdaki örneklerde ikinci matris karedir - mertebesi 3, dördüncü matris ise mertebesi 1'dir.

Satır sayısı sütun sayısına eşit olmayan matrislere denir dikdörtgen. Örneklerde bu birinci matris ve üçüncüdür.

Ayrıca yalnızca bir satırı veya bir sütunu olan matrisler de vardır.

Tek satırı olan matrise denir matris - satır(veya dize) ve yalnızca bir sütunlu bir matris matris - sütun.

Elemanları sıfır olan matrise denir hükümsüz ve (0) veya basitçe 0 ile gösterilir. Örneğin,

.

Ana diyagonal kare matris sol üst köşeden sağ alt köşeye giden köşegen diyelim.

Ana köşegeninin altındaki tüm elemanların sıfıra eşit olduğu kare matrise denir üçgen matris.

.

Ana köşegen dışındaki tüm elemanların sıfıra eşit olduğu kare matrise denir. diyagonal matris. Örneğin veya.

Tüm köşegen elemanlarının bire eşit olduğu köşegen matrise denir Bekar matrisidir ve E harfiyle gösterilir. Örneğin, 3. dereceden birim matris şu şekildedir: .

MATRİSLER ÜZERİNDEKİ EYLEMLER

Matris eşitliği. İki matris A Ve B satır ve sütun sayıları aynıysa ve karşılık gelen elemanları eşitse eşit oldukları söylenir bir ben = b ij. Yani eğer Ve , O A=B, Eğer a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Ve bir 22 = b 22.

Transpoze. düşünelim keyfi matris A itibaren Mçizgiler ve N sütunlar. Aşağıdaki matrisle ilişkilendirilebilir B itibaren Nçizgiler ve M her satırın bir matris sütunu olduğu sütunlar A aynı sayıyla (dolayısıyla her sütun matrisin bir satırıdır) A aynı numarayla). Yani eğer , O .

Bu matris B isminde aktarılmış matris A ve geçiş Aİle B aktarımı.

Dolayısıyla aktarma, bir matrisin satır ve sütunlarının rollerinin tersine çevrilmesidir. Matrisin matrise aktarılması A, genellikle belirtilir AT.

Matris arasındaki iletişim A ve devriği şu şekilde yazılabilir:

Örneğin. Verilen matrisin transpoze edilmiş matrisini bulun.

Matris eklenmesi. Matrisler olsun A Ve B aynı sayıda satırdan oluşur ve aynı numara sütunlar, yani sahip olmak aynı boyutlar. Daha sonra matrisleri eklemek için A Ve B matris elemanları için gerekli A matris elemanları ekle B aynı yerlerde duruyoruz. Böylece iki matrisin toplamı A Ve B matris denir Cörneğin kuralla belirlenir,

Örnekler. Matrislerin toplamını bulun:

Matris toplamanın kurallara uyduğunu doğrulamak kolaydır yasaları takip etmek: değişmeli A+B=B+A ve ilişkisel ( A+B)+C=A+(B+C).

Bir matrisin bir sayıyla çarpılması. Bir matrisi çarpmak için A sayı başına k matrisin her elemanına ihtiyaç vardır A bu sayıyla çarpın. Böylece matris çarpımı A sayı başına k Orada yeni matris kuralla belirlenen veya .

Herhangi bir sayı için A Ve B ve matrisler A Ve B aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

Örnekler.

Matris çarpımı. Bu işlem kendine özgü bir yasaya göre yürütülmektedir. Öncelikle faktör matrislerinin boyutlarının tutarlı olması gerektiğine dikkat çekiyoruz. Yalnızca birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısıyla çakıştığı matrisleri çarpabilirsiniz (yani, ilk satırın uzunluğu ikinci sütunun yüksekliğine eşittir). iş matrisler A matris değil B yeni matris denir C=AB elemanları aşağıdaki gibi oluşur:

Böylece, örneğin ürünü elde etmek için (yani matriste) C) 1. satır ve 3. sütunda bulunan öğe 13'ten itibaren, 1. matrisin 1. satırını, 2. matrisin 3. sütununu almanız ve ardından satır elemanlarını karşılık gelen sütun elemanlarıyla çarpmanız ve elde edilen ürünleri eklemeniz gerekir. Ve çarpım matrisinin diğer elemanları, birinci matrisin satırlarının ve ikinci matrisin sütunlarının benzer bir çarpımı kullanılarak elde edilir.

Genel olarak bir matrisi çarparsak bir = (bir ij) boyut M× N matrise B = (b ij) boyut N× P, sonra matrisi elde ederiz C boyut M× P elemanları şu şekilde hesaplanan: eleman c ij elementlerin çarpımı sonucu elde edilir Ben matrisin inci satırı A karşılık gelen elemanlara J inci matris sütunu B ve bunların eklemeleri.

Bu kuraldan, her zaman aynı mertebeden iki kare matrisi çarpabileceğiniz ve bunun sonucunda aynı mertebeden bir kare matris elde ettiğimiz sonucu çıkar. Özellikle bir kare matris her zaman kendisiyle çarpılabilir; karesini alın.

Bir diğer önemli durum, bir satır matrisinin bir sütun matrisiyle çarpılmasıdır ve birincinin genişliği ikincinin yüksekliğine eşit olmalıdır, bu da birinci dereceden bir matris (yani bir eleman) ile sonuçlanır. Gerçekten mi,

.

Örnekler.

Yani bunlar basit örnekler genel anlamda matrislerin birbirleriyle değişmediğini gösterin; A∙B ≠ B∙A . Bu nedenle matrisleri çarparken faktörlerin sırasını dikkatlice izlemeniz gerekir.

Matris çarpımının birleşme ve dağıtım yasalarına uyduğu doğrulanabilir; (AB)C=A(BC) Ve (A+B)C=AC+BC.

Bir kare matrisi çarparken bunu kontrol etmek de kolaydır. A kimlik matrisine e yine aynı düzende bir matris elde ederiz A, Ve AE=EA=A.

Aşağıdaki ilginç gerçek not edilebilir. Bildiğiniz gibi sıfır olmayan 2 sayının çarpımı 0'a eşit değildir. Matrisler için durum böyle olmayabilir, yani. sıfır olmayan 2 matrisin çarpımı sıfır matrisine eşit olabilir.

Örneğin, Eğer , O

.

BELİRTİCİ KAVRAMI

İkinci dereceden bir matris verilsin - iki satır ve iki sütundan oluşan bir kare matris .

İkinci dereceden determinant Bu matrise karşılık gelen sayı şu şekilde elde edilir: bir 11 bir 22 – bir 12 bir 21.

Determinant sembolü ile gösterilir .

Dolayısıyla, ikinci dereceden determinantı bulmak için, ikinci köşegen boyunca bulunan elemanların çarpımını ana köşegenin elemanlarının çarpımından çıkarmanız gerekir.

Örnekler.İkinci dereceden determinantları hesaplayın.

Benzer şekilde üçüncü dereceden bir matrisi ve ona karşılık gelen determinantı düşünebiliriz.

Üçüncü dereceden determinant Belirli bir üçüncü dereceden kare matrise karşılık gelen, aşağıdaki şekilde gösterilen ve elde edilen bir sayıdır:

.

Böylece bu formül üçüncü dereceden determinantın birinci satırın elemanları cinsinden açılımını verir. bir 11, bir 12, bir 13 ve üçüncü dereceden determinantın hesaplanmasını ikinci dereceden determinantların hesaplanmasına indirger.

Örnekler.Üçüncü dereceden determinantı hesaplayın.

Benzer şekilde dördüncü, beşinci vb. determinantların kavramları da tanıtılabilir. Terimlerin “+” ve “-” işaretleri dönüşümlü olarak 1. sıranın elemanlarına doğru genişleyerek sıralarını düşürüyorlar.

Dolayısıyla, bir sayılar tablosu olan matristen farklı olarak determinant, matrise belirli bir şekilde atanan bir sayıdır.

Kare matrislerin determinantları.

Bir matrisin determinantı, kare matris A'yı karakterize eden ve sistemlerin çözümüyle yakından ilişkili bir sayıdır. doğrusal denklemler. A matrisinin determinantı veya ile gösterilir. n mertebesindeki herhangi bir A kare matrisi, belirli bir yasaya göre, bu matrisin n'inci mertebesinin determinantı veya determinantı adı verilen hesaplanmış bir sayıyla ilişkilendirilir. İkinci ve üçüncü dereceden determinantları ele alalım.

Matris verilsin

,

daha sonra ikinci dereceden determinantı formülle hesaplanır

.

Örnek. A matrisinin determinantını hesaplayın:

Cevap: -10.

Üçüncü dereceden determinant aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır

Örnek. B matrisinin determinantını hesaplayın

.

Cevap: 83.

N'inci dereceden determinant, determinantın özelliklerine ve aşağıdaki Laplace teoremine göre hesaplanır: determinant toplamına eşit matrisin herhangi bir satırının (sütununun) elemanlarının çarpımları cebirsel eklemeler:

Cebirsel tamamlayıcı eleman eşittir , determinanttaki i'inci satırın ve j'inci sütunun üzerinin çizilmesiyle elde edilen elemanın küçük olduğu yer.

Küçük A matrisinin bir elemanının sırası, A matrisinden i'inci satırın ve j'inci sütunun silinmesiyle elde edilen (n-1)'inci dereceden bir matrisin determinantıdır.

Örnek. A matrisinin tüm elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını bulun:

.

Cevap: .

Örnek. Üçgen bir matrisin matrisinin determinantını hesaplayın:

Cevap: -15.

Belirleyicilerin özellikleri:

1. Matrisin herhangi bir satırı (sütun) yalnızca sıfırlardan oluşuyorsa determinantı 0'dır.

2. Matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanları sayı ile çarpılırsa determinantı bu sayı ile çarpılacaktır.

3. Bir matrisin transpoze edilmesi sırasında determinantı değişmeyecektir.

4. Bir matrisin iki satırını (sütununu) yeniden düzenlerken, determinantının işareti ters yönde değişir.

5. Bir kare matris iki özdeş satır (sütun) içeriyorsa, determinantı 0'dır.

6. Bir matrisin iki satırının (sütunlarının) elemanları orantılıysa, determinantı 0'a eşittir.

7. Bir matrisin herhangi bir satırının (sütununun) elemanlarının, bu matrisin başka bir satırının (sütununun) elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımının toplamı 0'a eşittir.

8. Matrisin herhangi bir satırının (sütununun) elemanlarına daha önce aynı sayıyla çarpılmış başka bir satırın (sütun) elemanları eklenirse matrisin determinantı değişmeyecektir.

9. Herhangi bir satırın (sütun) elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile keyfi sayıların çarpımlarının toplamı, bu satırın (sütun) elemanlarının sayılarla değiştirilmesiyle elde edilen matrisin determinantına eşittir.

10. İki kare matrisin çarpımının determinantı ürüne eşit onların belirleyicileri.

Ters matris.

Tanım. Bir matris, A kare matrisinin tersi olarak adlandırılır, eğer bu matris ile hem sağda hem de solda verilenle çarpıldığında birim matris elde edilir:

.

Tanımdan, yalnızca bir kare matrisin tersinin olduğu sonucu çıkar; bu durumda ters matris de aynı mertebeden karedir. Bir matrisin determinantı sıfır değilse, böyle bir kare matrise tekil olmayan denir.

Gerekli ve yeterli koşul ters bir matrisin varlığı: Bir ters matris, ancak ve ancak orijinal matris tekil değilse mevcuttur (ve benzersizdir).

Ters matrisi hesaplamak için ilk algoritma:

1. Orijinal matrisin determinantını bulun. Eğer belirleyici değilse sıfıra eşit ise orijinal matris tekil değildir ve ters matris mevcuttur.

2. A'ya aktarılan matrisi bulun.

3. Yer değiştiren matrisin elemanlarının cebirsel tümleyenlerini bulun ve bunlardan ek matrisi oluşturun.

4. Hesapla ters matris formüle göre: .

5. Ters matris hesaplamasının doğruluğunu tanımına göre kontrol ediyoruz .

Örnek.

.

Cevap: .

Ters matrisi hesaplamak için ikinci algoritma:

Ters matris aşağıdakilere göre hesaplanabilir temel dönüşümler matrisin satırlarının üstünde:

İki satırı değiştirin;

Bir matris satırını sıfır dışında herhangi bir sayıyla çarpmak;

Bir matrisin bir satırına başka bir satırın sıfır dışında herhangi bir sayıyla çarpılmasıdır.

A matrisinin ters matrisini hesaplamak için, matrisi oluşturmak, ardından temel dönüşümler yoluyla A matrisini birim matris E biçimine indirgemek, ardından birim matrisi yerine matrisi elde etmek gerekir.

Örnek. A matrisinin ters matrisini hesaplayın:

.

Formun B matrisini oluşturuyoruz:

.

Öğe = 1 ve ilk satır şunu içeriyor: bu eleman, onlara rehber diyelim. İlk sütunun ilk satırda bir birim sütuna dönüştürülmesi sonucunda temel dönüşümler gerçekleştirelim. Bunu yapmak için, birinci satırı sırasıyla 1 ve -2 ile çarparak ikinci ve üçüncü satırlara ekleyin. Bu dönüşümlerin sonucunda şunu elde ederiz:

.

Sonunda elde ettik

.

Nerede .

Matris sıralaması. A matrisinin rütbesine denir en yüksek derece bu matrisin sıfır olmayan küçükleri. A matrisinin rütbesi rang(A) veya r(A) ile gösterilir.

Tanımdan şu sonuç çıkar: a) matrisin sırası, boyutlarından daha küçük olanı aşmaz, yani. r(A), m veya n'nin minimumundan küçük veya ona eşittir; b) r(A)=0 ancak ve ancak A matrisinin tüm elemanları sıfıra eşitse; c) n'inci dereceden bir kare matris için r(A)=n ancak ve ancak A matrisinin tekil olmaması durumunda.

Örnek: matrislerin derecelerini hesaplayın:

.

Cevap: r(A)=1. Cevap: r(A)=2.

Aşağıdaki temel matris dönüşümlerini adlandıralım:

1) Sıfır satırını (sütununu) atıyoruz.

2) Bir matrisin bir satırının (sütununun) tüm elemanlarının sıfıra eşit olmayan bir sayı ile çarpılması.

3) Matrisin satırlarının (sütunlarının) sırasının değiştirilmesi.

4) Bir satırın (sütun) her bir öğesine, başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğelerini herhangi bir sayıyla çarparak eklemek.

5) Matris aktarımı.

Temel matris dönüşümleri sırasında matrisin sırası değişmez.

Örnekler: Matrisin nerede olduğunu hesaplayın

; ;

Cevap: .

Örnek: Matris hesapla , Nerede

; ; ; E birim matristir.

Cevap: .

Örnek: Bir matrisin determinantını hesaplayın

.

Cevap: 160.

Örnek: A matrisinin tersinin olup olmadığını belirleyin ve eğer öyleyse hesaplayın:

.

Cevap: .

Örnek: Bir matrisin rütbesini bulun

.

Cevap: 2.

2.4.2. Doğrusal denklem sistemleri.

N değişkenli m doğrusal denklem sistemi şu şekildedir:

,

Nerede , - keyfi sayılar sırasıyla değişkenlerin katsayıları ve denklemlerin serbest terimleri denir. Bir denklem sisteminin çözümü, sistemin her denkleminin gerçek bir eşitliğe dönüştüğü n sayıdan () oluşan bir koleksiyondur.

Bir denklem sistemi, en az bir çözümü varsa tutarlı, çözümü yoksa tutarsız olarak adlandırılır. Eşzamanlı bir denklem sistemi, eğer varsa, belirli olarak adlandırılır. tek çözüm birden fazla çözümü olup olmadığı ise belirsizdir.

Cramer teoremi:“x” değişkenlerinin katsayılarından oluşan A matrisinin determinantı olsun ve bu matrisin j’inci sütununu bir sütunla değiştirerek A matrisinden elde edilen matrisin determinantı olsun. ücretsiz üyeler. O halde, eğer , o zaman sistemin aşağıdaki formüllerle belirlenen benzersiz bir çözümü vardır: (j=1, 2, …, n). Bu denklemlere Cramer formülleri denir.

Örnek. Cramer formüllerini kullanarak denklem sistemlerini çözün:

Cevaplar: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)

Gauss yöntemi- değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi, temel dönüşümlerin yardımıyla, denklem sisteminin, diğer tüm değişkenlerin sonuncusundan başlayarak sırayla bulunduğu, eşdeğer bir adım (veya üçgen) formu sistemine indirgenmesidir. Sayıya göre değişkenler.

Örnek: Denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözün.

Cevaplar: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).

Eş zamanlı doğrusal denklem sistemleri için, aşağıdaki ifadeler:

matrisin rütbesi ise ortak sistem sayıya eşit değişkenler, yani r = n ise denklem sisteminin tek bir çözümü vardır;

· eklem sisteminin matrisinin sıralaması ise daha az sayı değişkenler, yani R

2.4.3. EXCEL'de matrisler üzerinde işlem gerçekleştirme teknolojisi.

Optimizasyon sorunlarını çözmek için gerekli hesaplamaları basitleştirmeyi mümkün kılan Excel elektronik tablo işlemcisiyle çalışmanın bazı yönlerini ele alalım. Tablo işlemcisi, tablo verilerinin işlenmesini otomatikleştirmek için tasarlanmış bir yazılım ürünüdür.

Formüllerle çalışmak. Elektronik tablo programları birçok farklı hesaplamayı gerçekleştirmek için formüller kullanır. Excel'i kullanarak hızlı bir şekilde formül oluşturabilirsiniz. Formül üç ana bölümden oluşur:

Eşittir işareti;

Operatörler.

Formüllerde işlevleri kullanma. Formül girmeyi kolaylaştırmak için Excel işlevlerini kullanabilirsiniz. İşlevler Excel'de yerleşik formüllerdir. Belirli bir formülü etkinleştirmek için düğmeleri tıklayın Sokmak, Fonksiyonlar. Görünen pencerede İşlev Sihirbazı Sol tarafta işlev türlerinin bir listesi bulunur. Türü seçtikten sonra sağ tarafa işlevlerin bir listesi yerleştirilecektir. Fonksiyonların seçimi, ilgili ismin üzerine fare düğmesi tıklanarak gerçekleştirilir.

Matrisler üzerinde işlemler gerçekleştirirken, doğrusal denklem sistemlerini çözerken ve optimizasyon problemlerini çözerken aşağıdaki Excel işlevlerini kullanabilirsiniz:

MUMULT - matris çarpımı;

TRANSPOSE - matris aktarımı;

MOPRED - matris determinantının hesaplanması;

MOBR - ters matrisin hesaplanması.

Düğme araç çubuğunda bulunur. Matris işlemlerini gerçekleştirmeye yönelik işlevler kategoridedir Matematiksel.

Fonksiyon kullanarak matris çarpımı MÜMNİT . MULTIPLE işlevi matrislerin çarpımını döndürür (matrisler 1 ve 2 numaralı dizilerde saklanır). Sonuç, dizi 1 ile aynı sayıda satıra ve dizi 2 ile aynı sayıda sütuna sahip bir dizidir.

Örnek. Excel'de iki A ve B matrisinin çarpımını bulun (bkz. Şekil 2.9):

; .

A matrislerini A2:C3 hücrelerine ve B matrislerini E2:F4 hücrelerine girin.

Çarpma sonucu için hücre aralığını seçin – H2:I2.

Matris çarpım formülünü girin =ÇOKLU(A2:C3, E2:F4).

CTRL+SHIFT+ENTER tuşlarına basın.

MOBR işlevini kullanarak matris ters hesaplamaları.

MOBR işlevi, bir dizide saklanan bir matrisin ters matrisini döndürür. Sözdizimi: MOBR(dizi). Şek. 2.10, Excel'deki örneğin çözümünü göstermektedir.

Örnek. Verilen matrisin tersini bulun:

.

Şekil 2.9. Matris çarpımı için veri girişi.

Şekil 2.10. Ters matrisin hesaplanması için başlangıç ​​verileri.

Bir atomda açısal momentumun ve manyetik momentin varlığı, N. Bohr'un (1913) teorisinden takip edildi ve manyetik alanların, 1896'da P. Zeeman tarafından keşfedilen atomun spektral çizgileri üzerindeki etkisiyle doğrulandı. Bir atomun bağıl manyetik momentinin doğrudan ölçümü, ilk kez 1922'de, gümüş atomlarından oluşan bir ışının düzgün olmayan bir manyetik alanda bölünmesini gözlemleyen O. Stern ve W. Gerlach tarafından gerçekleştirildi. W. Pauli, 1924 yılında spektral çizgilerin aşırı ince yapısını açıklamak amacıyla atom çekirdeğinde spinin ve manyetik momentin varlığını öne süren ilk kişiydi. 1925 yılında D. Uhlenbeck ve S. Goudsmit, spektral çizgilerin ince yapısı hakkındaki verilere dayanarak, elektronun bir spin ve manyetik momente sahip olması gerektiği sonucuna vardılar. Çekirdekte elektriksel dört kutuplu momentin varlığının ilk kanıtı 1935 yılında H. Schüler ve T. Schmidt tarafından elde edildi. Nükleer momentlerin çok sayıda ölçümü O. Stern ve I. Rabi ve çalışma arkadaşları tarafından gerçekleştirildi. moleküler ışın yöntemini kullanarak spektral çizgiler. Daha sonra 1937 ve 1946 yıllarında I. Rabi, N. Ramsey, E. Parcell, F. Bloch ve diğer araştırmacılar tarafından geliştirdikleri radyo frekansı rezonansı, ardından paramanyetik rezonans ve daha sonra da manyetik rezonans yöntemleri kullanılarak bu ölçümlere devam edildi. mikrodalga ve lazer spektroskopisi.

Döndürmek.

Dönen herhangi bir cismin kütle merkezine göre açısal momentumu vardır; bu bedenin kendi anıdır, yani dönüşüdür. Dönme momenti veya basitçe bir atomun veya atom çekirdeğinin dönüşü, dönen bir tepenin veya jiroskopun açısal momentumuna benzer bir özelliktir. Bir eksen etrafında dönen katı bir cismin açısal momentumu, bu cismin tüm parçacıklarının aynı eksene göre açısal momentumunun toplamı olarak tanımlanır; bu moment, parçacığın kütlesinin hızının ve parçacığın dönme eksenine olan en kısa mesafesinin çarpımlarının toplamına eşittir. Açısal momentum vektörü, dönme eksenine paraleldir ve aynı dönüşe sahip sağ dişli vidanın hareket yönünde yönlendirilir. Atomların ve çekirdeklerin dönüşü birimlerle ölçülür H/2P, Nerede H– Planck sabiti 6,6261Х10 –34 JChs'ye eşittir. Deneysel olarak, bu birimlerde (kuantum mekaniği kurallarına uygun olarak), belirli bir yöndeki tüm dönüşlerin gözlemlenen izdüşümlerinin ya bir tam sayı ya da yarım tam sayı değeri aldığı tespit edilmiştir; ya 1, 2, 3,..., ya da 1/2, 3/2, 5/2,.... Maksimum projeksiyon değeri spin değeriyle çakışır; örneğin nükleer dönüş J 5/2 ise, dönüş projeksiyonunun ölçülen maksimum değeri birim cinsinden 5/2 olacaktır. H/2P JCh.

Manyetik dipol momenti.

Bir atomun veya çekirdeğin manyetik dipol momenti pusula iğnesininkine benzer. Manyetik alandaki bir atom veya çekirdeğe etki eden torku temsil eder. Dipol momenti vektörel bir büyüklüktür. Bir atomun manyetik momenti genellikle Bohr magneton birimiyle ölçülür. M 0 = eh/4pmc= 9,27Х10 –24 J/T, burada e– elektron yükü, H– Planck sabiti, M– elektron kütlesi ve C– ışık hızı. Çekirdeklerin manyetik momentleri genellikle nükleer magneton birimleriyle ölçülür. mN Bohr magnetonunun proton ve elektron kütlelerinin oranına bölünmesine eşittir, yani mN= 5,051Х10 –27 J/T.

Elektrikli dört kutuplu moment.

Elektrik dört kutuplu momenti, bir çekirdeğin elektrik yükünün dağılımının küresel simetriden sapmasının bir ölçüsü olarak hizmet eder. Kantitatif olarak, nükleer dönüşün projeksiyonunun eksen boyunca maksimum olması koşuluyla tanımlanır. z Kökeni çekirdeğin merkezine denk gelen dikdörtgen koordinat sistemi. Bu ifadede Z– çekirdeğin yükü veya atom numarası, z– çekirdekteki protonun koordinatı, R protondan çekirdeğin merkezine olan mesafedir ve parantez içindeki ifadenin üzerindeki çizgi, tüm çekirdeğin üzerindeki yük yoğunluğunun ortalaması anlamına gelir. Küresel simetrik durumda gösterilebilir Q = 0.

Diğer noktalar.

Prensip olarak herhangi bir düzende elektrik ve manyetik çok kutuplu momentler mevcut olabilir. N, Nerede N– sıfır veya pozitif tam sayı. Örneğin, iyot, indiyum ve galyum çekirdekleri için manyetik sekiz kutuplar ölçülmüştür. Bununla birlikte, spinin kuantum doğasından dolayı, spinli bir atom veya çekirdeğin J olduğundan daha yüksek dereceli çok kutuplu momentlere sahip olamaz. N = 2J. Yani atom ile J= l/2, dipol olandan daha yüksek çok kutuplu momentlere sahip olamaz ve bir atomun J= 0 – dipol momenti bile. Çekirdeklerdeki elektrik dipol momentlerini tespit etmek için olağanüstü hassas deneyler yapıldı, ancak şu ana kadar bulunamadı.

ATOM ANLARI

Zeeman etkisi.

Atomik momentleri incelemenin ilk ve en güçlü yöntemlerinden biri P. Zeeman etkisine dayanıyordu; Dış manyetik alanlarda spektral çizgilerin bölünmesi üzerine. Atomik radyasyonun uyarıldığı deşarj tüpü harici bir manyetik alana yerleştirilirse, spektral çizgiler bir dizi bileşene bölünecektir. Bileşenlerin çizgileri arasındaki mesafe, atomik momentlerin dış manyetik alanlarla etkileşiminin enerjisi ile belirlenir. Etkileşim enerjisi atomların manyetik momentlerine bağlı olduğundan, ölçülen bölünme atomların büyüklüğü hakkında bilgi sağlar. Spektral çizgilerin sayısı spin değerlerini belirler.

Başlangıçta, atomların optik spektrumları incelenirken, ikincisi, gaz deşarj tüplerindeki elektronlarla çarpışmalar nedeniyle veya bu tür tüplerde ortaya çıkan elektromanyetik radyasyonun emilmesi nedeniyle uyarıldı. Günümüzde atomlar sıklıkla lazer radyasyonu tarafından uyarılmaktadır.

Moleküler ışın yöntemi.

Atomik manyetik momentleri ölçmek için özellikle basit, açıklayıcı ve doğrudan bir yöntem, 1921'de O. Stern ve W. Gerlach tarafından önerildi. Bu yöntem, düzgün olmayan bir manyetik alanda manyetik momente sahip atomların sapmasının ölçülmesine dayanmaktadır. Düzgün bir manyetik alanda manyetik moment sapmaz çünkü Alan, atom mıknatısının kuzey ve güney kutuplarına eşit kuvvetle etki eder. Bu nedenle atomun kütle merkezi kaymaz; bir atom yalnızca kütle merkezinin etrafında hareket edebilir veya dönebilir. Manyetik alan, atom büyüklüğü mertebesindeki mesafelerde üniform değilse, manyetik alan gücündeki farklılıklar nedeniyle, alan atomik mıknatısın kutuplarından birinde diğerine göre daha güçlü etki edecektir ve atom bu kuvvetlerdeki farkın etkisi altında sapacaktır.

Deneyde, malzeme bir fırında ısıtılır ve atomları bir yarıktan vakum odasına geçer, burada bir ışın halinde yönlendirilir ve bir plaka üzerine biriktirilir. Daha sonra ışın boyunca yönlendirilen düzgün olmayan bir manyetik alan açılır ve atomların sapması kaydedilir. Manyetik momentin ve spinin alan yönüne yansıtılmasının olası değerlerinin her biri, kendi sapmasına karşılık gelmelidir. Klasik fiziğe karşılık gelen projeksiyonların sürekli dağılımı, kayıt plakasındaki sinyalin sürekli bulanıklaşmasına yol açacaktır. Ancak kuantum mekaniğinde yalnızca belirli ayrık projeksiyonlara izin verilir ve bu nedenle gözlemlenen resim, sayısı 2 olan iki veya daha fazla çizgiye bölünür. J+ 1, burada J– yukarıdaki birimlerdeki atomun açısal momentumu. Bileşen sayısına göre 2 J+ 1 açısal momentumu belirleyebilirsiniz - dönüş J.Çizgiler arasındaki mesafe, manyetik momentin büyüklüğünü hesaplamanıza olanak tanır.

Aşağıda tartışılan moleküler ışınların rezonans yöntemleri, atomik manyetik momentleri ölçmek için de uyarlandı ve en doğru sonuçları verdi. Benzer şekilde, NMR'ye benzer şekilde elektron paramanyetik rezonansı, atomik manyetik momentleri ölçmek için kullanılır.

Atomik momentleri belirlemeye yönelik deneylerden elde edilen sonuçlar.

Yukarıdaki ve diğer benzer deneylerin sonuçları, atomik yapıların spini ve manyetik momentleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerle tutarlıdır.

Bir atomdaki her elementin Behr yörüngesindeki hareketine karşılık gelen bir yörünge momenti vardır. ben. Elektronun bu yörünge hareketi, dairesel bir akım olarak düşünülebilir ve bu harekete karşılık gelen manyetik bir moment ortaya çıkar.

Klasik mekanikte yörünge hareketiyle ilişkili manyetik momentin büyüklüğü, yörünge momentumunun büyüklüğüyle orantılı olacaktır. Ancak elektronun da kendi momenti vardır; spin. Dönmeyle manyetik bir momentin de ilişkilendirilmesi gerekir.

Sonuç olarak, parçacığın manyetik momentinin toplam mekanik momentle (yörünge ve dönüş momentlerinin toplamı) orantılı olduğu ortaya çıkar.

Momentlerin (mekanik ve manyetik) vektörel büyüklükler olduğunu akılda tutmak önemlidir. Kuantum mekaniğinde bunların toplanması ve atomların manyetik momentlerinin hesaplanması için bazı yöntemler geliştirilmiştir.

NÜKLEER ANLAR

Nükleer momentleri ölçmek için çeşitli yöntemler vardır; Bunlardan bazıları aşağıda tartışılmaktadır.

Optik spektroskopi.

Nükleer momentleri ölçmenin en önemli yöntemlerinden biri, uyarılması için artık lazerlerin sıklıkla kullanıldığı, atomik spektrumların sözde aşırı ince yapısının incelenmesine dayanmaktadır. Spin değeri, spektral çizgi bileşenlerinin sayısından veya çizgilerin göreceli yoğunluğundan belirlenebilir. Spin, manyetik moment ve elektrik dört kutuplu momenti, bileşenler arasındaki mesafeden veya manyetik alanın hat üzerindeki etkisinden belirlenebilir. Spin ayrıca iki atomlu moleküllerin çizgili spektrumlarından da belirlenebilir.

Moleküler ışın yöntemleri.

O. Stern, I. Rabi, N. Ramsey, W. Nirenberg ve diğer araştırmacılar tarafından geliştirilen moleküler ışın yöntemleri özellikle nükleer momentlerin incelenmesinde etkilidir. Bir dizi moleküler ışın yöntemi bilinmektedir. Bunlardan birinde, Stern tarafından hidrojen ve döteryumun nükleer momentlerini ölçmek için kullanılan moleküler hidrojen ve prensip olarak Stern ve Gerlach'ın deneyindeki düzeneğe benzer bir düzenek kullanıldı. Moleküler hidrojende elektronların manyetik momentleri birbirini neredeyse tamamen iptal ettiğinden, gözlemlenen sapma esas olarak çekirdeğin manyetik momentinden kaynaklanmaktadır. Bu nedenle ölçülen sapma nükleer manyetik momentin belirlenmesini mümkün kıldı. Rabi ve meslektaşları tarafından gerçekleştirilen ışın deneyleri, Stern-Gerlach deneyinde olduğu gibi aynı tipte bir veya iki saptırıcı manyetik alandan geçen, sıfırdan farklı elektron manyetik momentine sahip atomlar kullandı; bundan bir atomik ışın oluşturuldu. . Manyetik alanları seçerek ve bir atom ışınının sapma veya yeniden odaklanma modelini inceleyerek nükleer ve elektronik momentler arasındaki bağlantı hakkında bilgi edinmek mümkün oldu. Bu şekilde çekirdeklerin dönüşlerinin yanı sıra nükleer manyetik momentler ile elektrik dört kutuplu momentlerin etkileşiminin özellikleri de ölçülebildi.

Nükleer momentleri incelemek için en etkili yöntem, görünüşe göre, radyo frekansı ve mikrodalga aralıklarında atomlar ve elektromanyetik radyasyon molekülleri tarafından emilimin ölçülmesi olarak düşünülmelidir. Optik spektroskopide olduğu gibi, radyasyonun bir molekül tarafından emilmesi belirli bir frekansta meydana gelir. N, değere karşılık gelen hn=D e, nerede D E- izin verilen bir geçişe karşılık gelen iki durum arasındaki enerji farkı. Basit manyetik moment durumunda M spinli çekirdekler BEN, manyetik bir alanda bulunan N, değer D e teorik olarak hesaplanabilir ve rezonansın frekansta meydana geldiği ortaya çıkar. Nöyle ki hn = mH/BEN, Nerede M– çekirdeğin manyetik momenti. Bu oranda H Planck sabitidir ve bu nedenle ölçülen H Ve N manyetik momentin dönüşe oranını bulabilirsiniz. Moleküldeki etkileşimin daha karmaşık olduğu ortaya çıkarsa, D değerlerinin eşitliği e Ve mH/BEN bozulur ve eşitliğe karşılık gelen frekanslardan farklı frekanslarda radyasyon emilimi meydana gelir. hn = mH/BEN. Elektrik dört kutuplu momente sahip bir çekirdek durumunda ek etkileşim meydana gelebilir, çünkü bu an, çekirdeği de içeren molekülün diğer atomlarının yükleri tarafından oluşturulan düzgün olmayan bir elektrik alanıyla etkileşime girebilir. Bu durumda soğurulmanın gerçekleştiği frekanslar çekirdeğin elektriksel dört kutuplu momentinin belirlenmesini mümkün kılar.

Yukarıda anlatılan, radyo frekansı radyasyonunun soğurulmasına dayanan yöntem, ilk kez 1937'de I. Rabi ve arkadaşları tarafından başarıyla uygulandı ve moleküler ışın manyetik rezonans yöntemi olarak adlandırıldı. Emilim gerçeğini kaydetmek için Rabi, emilimin moleküler ışınlardaki moleküllerin sapması üzerindeki etkisini inceledi. Deney düzeneğinin şeması şekilde gösterilmiştir. “Fırından” (termal kaynak) gelen moleküller, mıknatıs içeren bir vakum odasına girer. A Ve İÇİNDE Homojen olmayan manyetik alanlar oluşturduğundan, homojensizliklerin yönleri zıttır. Bir mıknatısta A Moleküller Stern-Gerlach deneyinde olduğu gibi saptırılır ve daha sonra bir mıknatıs tarafından yeniden odaklanır. İÇİNDE Moleküldeki manyetik momentlerin eşit yönlendirilmiş olması koşuluyla dedektör üzerinde A Ve İÇİNDE. Ancak anlardan biri orta bölgeye yeniden yönlendirilirse İLE sonra yeniden odaklanma gerçekleşmez ve ışın yoğunluğu azalır. Bu nedenle bölgede İLE tekdüze bir manyetik ve salınımlı radyofrekans alanı oluşturun ve radyofrekans radyasyonunun emilimini ölçerek ışın yoğunluğundaki bir düşüşü kaydedin. Ağır hidrojen molekülleri ile gerçekleştirilen bir deneyin tipik sonuçları şekilde gösterilmiştir. Bu, ışın yoğunluğunun bölgedeki düzgün bir manyetik alanın yoğunluğuna bağımlılığıdır. İLE. Işın yoğunluğunun en derin merkezi minimumu frekansa karşılık gelir N ve alan gücü H ilişkiyle ilişkili olan hn = mH/BEN (yukarıya bakın), böylece bu veriler manyetik momentin dönüşe oranının belirlenmesini mümkün kılar. Daha sığ ek minimumlar elektrik dört kutuplu momentinden kaynaklanmaktadır; Konumlarından, ağır hidrojen çekirdeğinin veya döteronun elektriksel dört kutuplu momenti belirlenebilir. Ramsey, bölgenin başında ve sonunda olmak üzere iki dar aralıkta salınım alanları oluşturulursa rezonans frekanslarının ölçümünde daha yüksek doğruluk elde edilebileceğini gösterdi. İLE.

Rabi ve çalışma arkadaşları, kutupsal molekülleri incelemek için manyetik değil, elektriksel saptırıcı, yeniden odaklanan ve salınan alanlarla moleküler ışınlar üzerinde elektriksel rezonans yöntemini kullandılar. Bu yöntemin nükleer elektrik dört kutuplu momentlerinin etkileşimini incelemek için özellikle değerli olduğu kanıtlanmıştır.

Nükleer manyetik rezonans (NMR).

1946'da E. Purcell ve F. Bloch ve çalışma arkadaşları, moleküler bir ışın kullanmayan ancak numunedeki radyo frekansı radyasyonunun rezonans emilimini gözlemleyen manyetik rezonans yöntemini başarıyla kullanan ilk kişiler oldu. Purcell, radyasyonun emilimini doğrudan kaydederken, Bloch bir çift ortogonal bobin kullandı: bobinlerden birinde meydana gelen rezonans frekansındaki salınımlar, numunedeki çekirdeklerin yeniden yönlendirilmesine neden oldu; bunun devinimi, diğer bobinde gözlemlenen bir sinyale neden oldu. .

A. Kastler ve diğer deneyciler, optik pompalama yoluyla nükleer yönelimin dağılımını değiştirerek ve yayılan ışığın yoğunluğundaki ve polarizasyonundaki değişikliklerle rezonansı kaydederek önemli ölçüde daha güçlü atomik rezonans sinyalleri elde ettiler.

Diğer yöntemler.

Bazı nükleer momentler radyospektroskopi yöntemleriyle belirlendi: iyonlar elektrik ve manyetik alanlar tarafından yakalanır, ardından manyetik momentleri ve iç etkileşim sabitleri ölçülür. Bu tür yöntemlerin özellikle lazer soğutma tekniklerinin ortaya çıkmasıyla etkili olduğu ortaya çıktı; bu teknikler, iyonların, birinci ve ikinci dereceden çizgi genişlemesinin Doppler etkilerinin ihmal edilebilir olduğu birkaç mikrokelvin sıcaklığına kadar soğutulmasını mümkün kıldı. Özellikle önemli bir örnek, H. Dehmelt ve çalışma arkadaşları tarafından gerçekleştirilen elektronun manyetik momentinin ölçümleridir. Bu ölçümler değeri verdi

Ben = 1,001159652193(10)M 0,

bu da kuantum elektrodinamiğinin tahminleriyle 10 ondalık basamağa kadar örtüşüyor.

Artık hassas ölçümler için kullanılacak nötr atomları yakalayıp lazerle soğutmak da mümkün.

Ölçüm sonuçları.

Nükleer teori açısından bakıldığında aşağıdaki sonuçlar dikkate değerdir.

1 H 1 protonunun ve 0 n 1 nötronun manyetik momentleri nükleer magnetondan farklıdır; ancak orijinal tahmin, birincisinin nükleer magnetona tam olarak eşit olması ve ikincisinin de tam olarak sıfıra eşit olması gerektiği yönündeydi.

Döteronun 1H2 manyetik momenti ile proton ve nötronun manyetik momentlerinin toplamı arasındaki fark, küçük olmasına rağmen sonlu bir değere sahiptir. Bu, döterondaki proton ve nötronun momentlerinin yalnızca yaklaşık olarak toplanabilir olduğu anlamına gelir.

1H3'ün manyetik momenti protonun manyetik momentinden %6,6 farklıdır, ancak teorik olarak eşit olmaları gerekir.

Döteronun elektriksel bir dört kutuplu momenti vardır, yani. teorik olarak küresel simetriye sahip olması gerekirken küresel simetriden (ragbi topu şeklinde olması) sapar.

Elektronun ölçülen manyetik momenti, kuantum elektrodinamiğinin ondalık basamağa kadar tahmin ettiği momentle uyumludur. Ayrıca bakınız

Dipol- daha karmaşık yük sistemleri tarafından oluşturulan alanın yaklaşık bir açıklamasına ve aynı zamanda bu tür sistemler üzerindeki bir dış alanın etkisinin yaklaşık bir açıklamasına hizmet eden idealleştirilmiş bir sistem. Dipol yaklaşımı yerine getirilmesi genellikle hakkında konuşurken ima edilen dipol alanı, alan potansiyellerinin yarıçap vektörünün bir dizi kuvvetine genişletilmesine dayanır, kaynak yüklerinin konumunu karakterize eder ve birinci derecenin üzerindeki tüm terimleri atar. Ortaya çıkan işlevler aşağıdaki durumlarda alanı etkili bir şekilde tanımlayacaktır:

1. alan yayan sistemin boyutları, söz konusu mesafelere kıyasla küçüktür, dolayısıyla sistemin karakteristik boyutunun yarıçap vektörünün uzunluğuna oranı küçük bir değerdir ve alanın yalnızca ilk terimlerini dikkate almak mantıklıdır. potansiyellerin seri genişlemesi;
2. genişlemedeki birinci dereceden terim 0'a eşit değildir, aksi takdirde daha yüksek çok kutuplu bir yaklaşım kullanılmalıdır;
3. denklemler birinci dereceden daha yüksek olmayan potansiyel gradyanları dikkate alır.

Bir dipolün tipik bir örneği, birbirlerinden gözlem noktasına olan mesafeyle karşılaştırıldığında çok küçük bir mesafede bulunan, eşit büyüklükte ve zıt işaretli iki yüktür. Böyle bir sistemin alanı tamamen dipol yaklaşımıyla tanımlanır.

Sistemin dipol momenti

Elektrik dipol

Elektrik dipol- mutlak değerde nokta ve eşit pozitif ve negatif elektrik yüklerinden oluşan idealize edilmiş elektriksel olarak nötr bir sistem.

Başka bir deyişle, bir elektrik dipolü, birbirinden belirli bir mesafede bulunan, mutlak değerde eşit iki zıt nokta yükünün birleşimidir.

Bir vektörün çarpımı $\backslash vec\; l,$ Negatif bir yükten pozitif bir yüke doğru, yüklerin mutlak değeri ile gerçekleştirilir $Q\backslash ,$ dipol momenti denir: $\backslash vec\; d=q\backslash vec\; l.$

Harici bir elektrik alanında $\backslash vec\; E$ Bir elektrik dipolüne bir anlık kuvvet etki eder $(\backslash vec\; d)\backslash times(\backslash vec\; E),$ dipol momenti alanın yönü boyunca dönecek şekilde onu döndürme eğilimindedir.

(Sabit) bir elektrik alanındaki bir elektrik dipolünün potansiyel enerjisi $-(\backslash vec\; E)\backslash cdot(\backslash vec\; d).$(Düzgün olmayan bir alan durumunda, bu yalnızca dipol momentine - büyüklüğüne ve yönüne değil, aynı zamanda dipolün konumuna, konum noktasına da bağımlılık anlamına gelir).

Bir elektrik dipolünden uzakta, elektrik alanının gücü mesafe arttıkça azalır $R$ Nasıl $R^(-3),$ yani noktasal yükten daha hızlıdır ( $E\backslash sim\; R^(-2)$).

Yaklaşık olarak (yani aslında dipol yaklaşımı) bir momente sahip bir elektrik dipolü olarak düşünülebilir $\backslash vec\; d\; =\; \backslash sum\_i\; q\_i\; (\backslash vec\; r)\_i,$ Nerede $q\_i$- şarj $Ben$-inci eleman $(\backslash vec\; r)\_i$ yarıçap vektörüdür. Bu durumda sistemin elektrik alanının incelendiği mesafe karakteristik boyutlarına göre büyükse dipol yaklaşımı doğru olacaktır.

Manyetik dipol

Manyetik dipol- iki "manyetik yük" sistemi olarak hayal edilebilecek elektrik olanın bir analoğu (bu benzetme koşulludur, çünkü modern elektrodinamik açısından manyetik yükler mevcut değildir). Bir manyetik dipol modeli olarak, küçük (dipol tarafından oluşturulan manyetik alanın yayıldığı mesafelerle karşılaştırıldığında) düz kapalı iletken alan çerçevesini düşünebiliriz. $S\backslash ,$ akımın içinden geçtiği yer $BENCE\backslash ,.$ Bu durumda dipolün manyetik momenti (SGSM sisteminde) miktardır. $(\backslash vec\; \backslash mu)\; =\; I\; S\; (\backslash vec\; n),$ Nerede $(\backslash vec\; n)$- gözlemlendiğinde çerçevedeki akımın saat yönünde akıyor gibi göründüğü yönde çerçeve düzlemine dik yönlendirilmiş bir birim vektör.

$\backslash mathbf(Z)\; =\; -\; \backslash frac(1)(R)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(d)\backslash left(t-\backslash frac(R)(c)\backslash right).$

Dipolün orijinde hareketsiz olduğunu hatırlayın, bu nedenle $\backslash mathbf(d)$ tek değişkenin bir fonksiyonudur. Daha sonra

$\backslash mathbf(E)\; =\; -\; \backslash operatöradı(rot)\backslash ,\backslash operatöradı(rot)\backslash ,\backslash mathbf(Z),$ $\backslash mathbf(B)\; =\; -\; \backslash frac(1)(c)\backslash operatöradı(rot)\backslash ,\backslash dot(\backslash mathbf(Z)).$

Bu durumda alan potansiyelleri şu şekilde seçilebilir:

$\backslash mathbf(A)\; =\; -\; \backslash frac(\backslash dot(\backslash mathbf(Z)))(c),\; ~~\; \backslash phi\; =\; \backslash operatöradı(div)\backslash ,\backslash mathbf(Z).$

Bu formüller, dipol yaklaşımının uygulanabilir olduğu durumlarda kullanılabilir.

Dipol radyasyonu (dalga bölgesi veya uzak alan radyasyonu)

Sistemin boyutları yayılan dalga boyundan çok daha küçükse, yani şarj hızları çok daha azsa verilen formüller önemli ölçüde basitleştirilir. C ve alan, dalga boyundan çok daha büyük mesafelerde kabul edilir. Alanın bu alanına denir dalga bölgesi. Yayılan dalga bu bölgede pratik olarak düz kabul edilebilir. İfadelerdeki tüm terimlerin $\backslash mathbf(E)$ Ve $\backslash mathbf(B)$ yalnızca ikinci türevlerini içeren terimler $\backslash mathbf(d),$Çünkü

$\backslash frac(\backslash dot(\backslash mathbf(d))))(c)\; \backslash approx\; \backslash frac(d)(\backslash lambda),$ $\backslash frac(\backslash ddot(\backslash mathbf(d)))(c^2)\; \backslash approx\; \backslash frac(d)(\backslash lambda^2).$

GHS sistemindeki alanlara ilişkin ifadeler şu şekildedir:

$\backslash mathbf(H)\; =\; \backslash frac(1)(c^2\; R)[\backslash ddot(\backslash mathbf(d)),\backslash mathbf(n)],\; ~~\; \backslash mathbf(H)\; =\; [\backslash mathbf(n)\; ,\; \backslash mathbf(E)],$ $\backslash mathbf(E)\; =\; \backslash frac(1)(c^2\; R)\backslash left[\; [\backslash ddot(\backslash mathbf(d)),\backslash mathbf(n)]\; ,\; \backslash mathbf(n)\; \backslash right],\; ~~\; \backslash \; mathbf(E)\; =\; [\backslash mathbf(B)\; ,\; \backslash mathbf(n)].$

Düzlem dalgada katı açı başına radyasyon yoğunluğu $d\backslash Omega$ eşit

$dI\; =\; c\backslash frac(H^2)(4\backslash pi)R^2\; d\backslash Omega,$

bu nedenle dipol radyasyonu için

$dI\; =\; \backslash frac(1)(4\; \backslash pi\; c^3)[\backslash ddot(\backslash mathbf(d)),\; \backslash mathbf(n)]^2\; d\backslash Omega$

= \frac(\ddot(\mathbf(d))^2)(4\pi c^3)\sin^2(\theta) d\Omega.

Nerede $\backslash teta$- vektörler arasındaki açı $\backslash ddot(\backslash mathbf(d))$ Ve $\backslash mathbf(n).$ Toplam yayılan enerjiyi bulalım. Bunu göz önünde bulundurarak $d\backslash Omega\; =\; 2\backslash pi\backslash ,\; \backslash sin(\backslash theta)\backslash ,\; d\backslash theta,$ ifadenin integralini alalım $d\backslash teta$ itibaren $0$ ile $\backslash pi.$ Toplam radyasyon

$ben\; =\; \backslash frac(2)(3\; c^3)\; (\backslash ddot(\backslash mathbf(d)))^2.$

Radyasyonun spektral bileşimini gösterelim. Vektörün değiştirilmesiyle elde edilir $\backslash ddot(\backslash mathbf(d))$ Fourier bileşeniyle ve aynı anda ifadeyi 2 ile çarparak.

$d\; \backslash mathcal(E)\_\backslash omega\; =\; \backslash frac(4\; \backslash omega^4)(3\; c^3)\; \backslash left|\; \backslash mathbf(d)\_\backslash omega\; \backslash right|^2\; \backslash frac(d\backslash omega)(2\backslash pi).$

Ayrıca bakınız

"Dipol (elektrodinamik)" makalesi hakkında inceleme yazın

Notlar

Edebiyat

• Landau, L.D., Lifshits, E.M. Alan teorisi. - 7. baskı, revize edilmiş. - M .: Nauka, 1988. - 512 s. - (“Teorik Fizik”, Cilt II). - ISBN 5-02-014420-7.
• Akhmanov S.A., Nikitin S.Yu., “Fiziksel Optik”, 2004.

Dipolü (elektrodinamik) karakterize eden bir alıntı

Korkudan bilincini kaybetmiş olan Pierre, etrafını saran tüm dehşetlerden tek sığınak olarak ayağa fırladı ve bataryaya doğru koştu.
Pierre sipere girerken bataryadan silah sesi duyulmadığını ancak bazı kişilerin orada bir şeyler yaptığını fark etti. Pierre'in ne tür insanlar olduklarını anlayacak vakti yoktu. Kıdemli albayın sanki aşağıda bir şeyi inceliyormuş gibi sırtı ona dönük yattığını gördü ve elini tutan insanlardan öne doğru koşarak "Kardeşler!" diye bağıran bir askeri fark etti. – ve tuhaf bir şey daha gördüm.
Ancak albayın öldürüldüğünü, “kardeşler!” diye bağıranın öldürüldüğünü henüz fark etmemişti. Bir başka asker tarafından gözlerinin önünde sırtından süngülenen bir tutuklu vardı. Sipere koşar koşmaz, mavi üniformalı, zayıf, sarı, terli yüzlü bir adam, elinde kılıçla, bir şeyler bağırarak ona doğru koştu. Birbirlerini görmeden birbirlerinden kaçtıkları için içgüdüsel olarak kendini itmeye karşı savunan Pierre, ellerini uzattı ve bu adamı (bir Fransız subayıydı) bir eliyle omzundan, diğer eliyle gururlu tarafından yakaladı. Kılıcını bırakan memur, Pierre'i yakasından yakaladı.
Birkaç saniye boyunca ikisi de korku dolu gözlerle birbirlerine yabancı yüzlere baktılar ve ikisi de ne yaptıkları ve ne yapmaları gerektiği konusunda şaşkınlığa uğradı. “Ben mi esir alındım, yoksa o mu benim tarafımdan esir alındı? - her birini düşündüm. Ama belli ki, Fransız subayı esir alındığını düşünmeye daha meyilliydi, çünkü Pierre'in istemsiz korkuyla yönlendirilen güçlü eli boğazını giderek daha sıkı sıkıyordu. Fransız bir şey söylemek istedi, aniden başlarının üzerinde bir top güllesi alçaktan ve korkunç bir şekilde ıslık çaldı ve Pierre'e Fransız subayın kafası kopmuş gibi geldi: onu çok çabuk büktü.
Pierre de başını eğdi ve ellerini bıraktı. Fransız, kimin kimi esir aldığını artık düşünmeden bataryaya koştu ve Pierre, ona bacaklarını tutuyormuş gibi görünen ölü ve yaralıların üzerine tökezleyerek yokuş aşağı gitti. Ancak aşağı inmeye vakti bulamadan, düşen, tökezleyen ve çığlık atan, neşeyle ve şiddetle bataryaya doğru koşan, kaçan Rus askerlerinin yoğun kalabalığı ona doğru belirdi. (Bu, Ermolov'un bu başarıyı ancak cesaretinin ve mutluluğunun başarabileceğini söyleyerek kendisine atfettiği saldırı ve iddiaya göre cebindeki Aziz George haçlarını tümseğin üzerine fırlattığı saldırıydı.)
Bataryayı işgal eden Fransızlar kaçtı. Birliklerimiz "Yaşasın" diye bağırarak Fransızları bataryanın o kadar arkasına sürdü ki onları durdurmak zordu.
Memurlar tarafından etrafı sarılmış yaralı bir Fransız general de dahil olmak üzere bataryadan mahkumlar alındı. Pierre'e, Ruslara ve Fransızlara tanıdık ve tanıdık olmayan yaralı kalabalıklar, yüzleri acıdan şekil değiştirmiş, yürüdü, süründü ve sedyelerle bataryadan koştu. Pierre, bir saatten fazla zaman geçirdiği höyüğe girdi ve onu kabul eden aile çevresinden kimseyi bulamadı. Burada tanımadığı birçok ölü vardı. Ama bazılarını tanıdı. Genç subay kuyunun kenarında bir kan gölü içinde hâlâ kıvrılmış halde oturuyordu. Kırmızı yüzlü asker hâlâ seğiriyordu ama onu uzaklaştırmadılar.

Elektrik dipol- mutlak değerde nokta ve eşit pozitif ve negatif elektrik yüklerinden oluşan idealize edilmiş elektriksel olarak nötr bir sistem.

Başka bir deyişle, bir elektrik dipolü, birbirinden belirli bir mesafede bulunan, mutlak değerde eşit iki zıt nokta yükünün birleşimidir.

Negatif bir yükten pozitif bir yüke doğru iletilen vektörün, yüklerin mutlak değeri ile çarpımına dipol momenti denir:

Dış elektrik alanında, elektrik dipolüne bir kuvvet momenti etki eder ve dipol momenti alanın yönü boyunca dönecek şekilde onu döndürme eğilimi gösterir.

(Sabit) bir elektrik alanındaki bir elektrik dipolünün potansiyel enerjisi eşittir (Düzgün olmayan bir alan durumunda, bu yalnızca dipol momentine - büyüklüğüne ve yönüne değil, aynı zamanda konuma da bağımlılık anlamına gelir) , dipolün konum noktası).

Bir elektrik dipolünden uzakta, elektrik alanının gücü mesafeyle birlikte azalır, bu da bir şekilde nokta yükten () daha hızlıdır.

Yaklaşık olarak (yani aslında dipol yaklaşımı), elemanın yükünün yarıçap vektörü olduğu bir momente sahip bir elektrik dipolü olarak düşünülebilir. Bu durumda sistemin elektrik alanının incelendiği mesafe karakteristik boyutlarına göre büyükse dipol yaklaşımı doğru olacaktır.

Manyetik dipol

Manyetik dipol- iki "manyetik yük" sistemi olarak hayal edilebilecek elektrik olanın bir analoğu (bu benzetme koşulludur, çünkü modern elektrodinamik açısından manyetik yükler mevcut değildir). Bir manyetik dipol modeli olarak, içinden akımın aktığı küçük (oluşturulan dipol-manyetik alanın incelendiği mesafelerle karşılaştırıldığında) düz kapalı iletken çerçeveyi düşünebiliriz. Bu durumda, dipolün manyetik momenti. (SGSM sisteminde) - çerçevedeki akımın saat yönünde aktığı görüldüğünde, çerçeve düzlemine dik olarak yönlendirilen birim vektörün o yönde olduğu değerdir.

Bir manyetik dipol üzerindeki manyetik alandan etki eden tork ve bir manyetik alandaki kalıcı bir manyetik dipolün potansiyel enerjisi için ifadeler, bir elektrik dipolünün bir elektrik alanı ile etkileşimi için karşılık gelen formüllere benzer, sadece bunlar aşağıdakileri içerir: manyetik moment ve manyetik indüksiyon vektörü:

Salınımlı dipol alanı

Bu bölümde uzayda belirli bir noktada bulunan bir nokta elektrik dipolünün yarattığı alan incelenmektedir.