Dalga denklemi türü fiziksel sistem Hamiltoniyeni tarafından belirlenir ve bu sayede tüm matematik aygıtında temel önem kazanır. kuantum mekaniği.

Serbest bir parçacığın Hamiltonyeninin formu zaten belirlenmiştir. genel gereksinimler uzayın homojenliği ve izotropisi ve Galileo'nun görelilik ilkesi ile ilgilidir. İÇİNDE klasik mekanik bu gereksinimler bir parçacığın enerjisinin momentumuna ikinci dereceden bağımlı olmasına yol açar: burada sabite parçacığın kütlesi denir (bkz. I, § 4). Kuantum mekaniğinde aynı gereksinimler aynı ilişkiye yol açar. özdeğerler enerji ve momentum aynı anda ölçülebilir korunan (serbest parçacık için) miktarlardır.

Ancak ilişkinin enerji ve momentumun tüm özdeğerleri için geçerli olabilmesi için, bunların operatörleri için de geçerli olması gerekir:

(15.2)'yi burada değiştirerek, serbestçe hareket eden bir parçacığın Hamiltonyenini şu şekilde elde ederiz:

Laplace operatörü nerede?

Etkileşmeyen parçacıklardan oluşan bir sistemin Hamiltonyeni toplamına eşit Her birinin Hamiltonyenleri:

burada a endeksi parçacıkları numaralandırıyor; - Parçacığın koordinatlarına göre farklılaşmanın gerçekleştirildiği Laplace operatörü.

Klasik (göreceli olmayan) mekanikte parçacıkların etkileşimi, Hamilton fonksiyonundaki toplamsal bir terimle tanımlanır - parçacıkların koordinatlarının bir fonksiyonu olan etkileşimin potansiyel enerjisi.

Sistemin Hamiltoniyenine aynı fonksiyonun eklenmesiyle kuantum mekaniğinde parçacıkların etkileşimi açıklanmaktadır:

ilk terim bir operatör olarak düşünülebilir kinetik enerji ve ikincisi potansiyel enerji operatörü olarak. Özellikle, dış alanda bulunan bir parçacık için Hamiltoniyen şu şekildedir:

burada U(x, y, z) - potansiyel enerji parçacıkların dış alandaki etkisi.

(17.2)-(17.5) ifadelerinin yerine konulması genel denklem(8.1) ilgili sistemler için dalga denklemlerini verir. Dış alandaki bir parçacığın dalga denklemini buraya yazalım.

Durağan durumları tanımlayan denklem (10.2) şu şekildedir:

Denklemler (17.6), (17.7) Schrödinger tarafından 1926 yılında kurulmuş olup Schrödinger denklemleri olarak adlandırılmaktadır.

Serbest bir parçacık için denklem (17.7) şu şekildedir:

Bu denklemin tüm uzayda sonlu olan çözümleri vardır. pozitif değer enerji E. Belirli hareket yönlerine sahip durumlar için bu çözümler momentum operatörünün özfonksiyonlarıdır ve . Böyle bir sistemin tam (zamana bağlı) dalga fonksiyonları durağan durumlar gibi görünmek

(17,9)

Bu tür her fonksiyon (düzlem dalga), parçacığın belirli bir E enerjisi ve momentuma sahip olduğu bir durumu tanımlar. Bu dalganın frekansı eşittir ve dalga vektörüne karşılık gelen dalga boyu, parçacığın de Broglie dalga boyu olarak adlandırılır.

Serbestçe hareket eden bir parçacığın enerji spektrumu böylece sürekli hale gelir ve sıfırdan bu özdeğerlerin her birine kadar uzanır (yalnızca değerin dejenere olması ve dejenereliğin sonsuz çokluğa sahip olması dışında). Aslında, E'nin sıfır olmayan her değeri karşılık gelir sonsuz küme özfonksiyonlar(17.9), aynı mutlak değere sahip vektör yönlerinde farklılık gösterir.

Basitlik açısından dış alandaki tek bir parçacığı dikkate alarak Schrödinger denkleminde klasik mekaniğe limit geçişin nasıl gerçekleştiğini izleyelim. Dalga fonksiyonunun sınırlayıcı ifadesini (6.1) Schrödinger denkleminde (17.6) değiştirerek, türev alarak şunu elde ederiz:

Bu denklem tamamen gerçek ve tamamen sanal terimler içerir (S ve a'nın gerçek olduğunu hatırlayın); her ikisini de ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek iki denklem elde ederiz:

Bu denklemlerden ilkini içeren terimi ihmal ederek şunu elde ederiz:

(17,10)

yani, beklendiği gibi, bir S parçacığının hareketi için klasik Hamilton-Jacobi denklemi. Bu arada, klasik mekaniğin birinci (sıfır değil) derecedeki niceliklere kadar geçerli olduğunu görüyoruz.

Ortaya çıkan denklemlerden ikincisi 2a ile çarpıldıktan sonra şu şekilde yeniden yazılabilir:

Bu denklemin görsel bir anlamı var fiziksel anlam: Parçacığın uzayda belirli bir yerde bulunmasının olasılık yoğunluğu vardır; parçacığın klasik hızı v vardır. Dolayısıyla denklem (17.11), olasılık yoğunluğunun klasik mekanik yasalarına göre "hareket ettiğini" gösteren bir süreklilik denkleminden başka bir şey değildir. klasik hız v her noktada.

Görev

Galile dönüşümü altında dalga fonksiyonu dönüşümü yasasını bulun.

Çözüm. Bir parçacığın (düzlem dalga) serbest hareketinin dalga fonksiyonu üzerinde bir dönüşüm gerçekleştirelim. Herhangi bir fonksiyon düzlem dalgalara genişletilebildiğinden, keyfi bir dalga fonksiyonu için dönüşüm yasası bulunacaktır.

K ve K" referans sistemlerindeki düzlem dalgalar (K", K'ye göre V hızıyla hareket eder):

Ayrıca her iki sistemdeki parçacıkların momentumları ve enerjileri formüllerle birbiriyle ilişkilidir.

(bkz. I, § 8), Bu ifadeleri yerine koyarsak şunu elde ederiz:

Bu formda, bu formül artık karakterize edici miktarları içermiyor serbest hareket parçacıklar ve istenilen genel hukuk keyfi bir parçacık durumunun dalga fonksiyonunun dönüşümü. Parçacıklardan oluşan bir sistem için (1)'deki üs, parçacıkların toplamını içermelidir.

Genel Schrödinger denklemi. Durağan durumlar için Schrödinger denklemi

De Broglie dalgalarının (bkz. § 216) ve Heisenberg belirsizlik ilişkisinin (bkz. 5 215) istatistiksel yorumu, mikropartiküllerin çeşitli konumlardaki hareketini tanımlayan kuantum mekaniğindeki hareket denkleminin şu sonuca varmasına yol açtı: kuvvet alanları deneysel olarak gözlemlenen değerlerin takip edeceği bir denklem olmalı dalga özellikleri parçacıklar. Ana denklem, Ψ (x, y, z, t) dalga fonksiyonuna göre bir denklem olmalıdır, çünkü bu tam olarak budur veya daha kesin olarak |Ψ| miktarıdır. Şekil 2, bir parçacığın t zamanında dV hacminde, yani x ve x+dx, y ve y+dy, z ve z+dz koordinatlarının bulunduğu alanda bulunma olasılığını belirler. Gerekli denklemin parçacıkların dalga özelliklerini dikkate alması gerektiğinden, dalga denklemi elektromanyetik dalgaları tanımlayan denkleme benzer.

Göreli olmayan kuantum mekaniğinin temel denklemi 1926'da E. Schrödinger tarafından formüle edildi. Schrödinger denklemi, fiziğin tüm temel denklemleri gibi (örneğin, klasik mekanikteki Newton denklemleri ve Maxwell'in denklemleri) elektromanyetik alan), türetilmemiştir ancak varsayılmıştır. Bu denklemin doğruluğu, onun yardımıyla elde edilen sonuçların deneyimlerle mutabakatı ile doğrulanır ve bu da ona doğa kanunu karakterini verir. Schrödinger denklemi şu şekildedir:

burada h=h/(2π), m parçacığın kütlesidir, ∆ Laplace operatörüdür ( ),

Ben- hayali birim, U (x, y, z, t) - potansiyel fonksiyonİçinde hareket ettiği kuvvet alanındaki parçacık, Ψ (x, y, z, t ) - çok rağbette dalga fonksiyonu parçacıklar.

Denklem (217.1), düşük bir hızda (ışık hızına kıyasla), yani υ hızında hareket eden herhangi bir parçacık (spin değeri 0'a eşit; bkz. § 225) için geçerlidir.<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

sürekli olmalıdır; 3) fonksiyon |Ψ| 2 entegre edilebilir olmalıdır; en basit durumlarda bu koşul, olasılıkların normalleştirilmesi koşuluna (216.3) indirgenir.

Schrödinger denklemine ulaşmak için, de Broglie'nin fikrine göre bir düzlem dalgayla ilişkilendirilen, serbestçe hareket eden bir parçacığı düşünün. Basitlik açısından tek boyutlu durumu ele alıyoruz. X ekseni boyunca yayılan bir düzlem dalganın denklemi şu şekildedir (bkz. § 154)

Veya karmaşık bir kayıtta . Bu nedenle, de Broglie dalgası düzlemi şu şekildedir:

(217.2)

(ω = E/h, k=p/h dikkate alınır). Kuantum mekaniğinde üs eksi işaretiyle alınır, ancak yalnızca |Ψ| fiziksel bir anlama sahiptir. 2 ise bu (bkz. (217.2)) önemsizdir. Daha sonra

,

; (217.3)

Enerji E ile momentum p (E = p 2 /(2m)) arasındaki ilişkiyi kullanarak ve ifadeleri (217.3) değiştirerek diferansiyel denklemi elde ederiz.

U = 0 durumu için denklem (217.1) ile örtüşmektedir (serbest bir parçacık olarak kabul ettik).

Bir parçacık, potansiyel enerji U ile karakterize edilen bir kuvvet alanında hareket ederse, o zaman toplam enerji E, kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamıdır. E ve p arasındaki ilişkiyi kullanarak benzer bir akıl yürütme yürüterek (bu durum için p 2 /(2m)=E -U), (217.1) ile çakışan bir diferansiyel denkleme ulaşırız.

Yukarıdaki mantık Schrödinger denkleminin bir türevi olarak alınmamalıdır. Sadece bu denkleme nasıl ulaşılabileceğini açıklıyorlar. Schrödinger denkleminin doğruluğunun kanıtı, onun yol açtığı sonuçların deneyimlerle uyumudur.

Denklem (217.1) genel Schrödinger denklemidir. Buna zamana bağlı Schrödinger denklemi de denir. Mikro dünyada meydana gelen birçok fiziksel olay için, denklem (217.1), Ψ'nin zamana bağımlılığı ortadan kaldırılarak basitleştirilebilir, başka bir deyişle, sabit durumlar - sabit enerji değerlerine sahip durumlar için Schrödinger denklemi bulunabilir. Bu, parçacığın hareket ettiği kuvvet alanı sabitse, yani U = U(x, y, z fonksiyonu) ise mümkündür. ) açıkça zamana bağlı değildir ve potansiyel enerji anlamına gelir. Bu durumda Schrödinger denkleminin çözümü, biri yalnızca koordinatların, diğeri yalnızca zamanın fonksiyonu olan ve zamana bağımlılık çarpanla ifade edilen iki fonksiyonun ürünü olarak temsil edilebilir.

,

nerede E - Parçacığın toplam enerjisi, sabit bir alan durumunda sabittir. (217.4)'ü (217.1)'e koyarsak, şunu elde ederiz:

buradan, ortak bir e – i (E/ h) t faktörüne ve karşılık gelen dönüşümlere böldükten sonra, ψ fonksiyonunu tanımlayan denkleme ulaşırız:

(217.5)

Denklem (217.5) durağan durumlar için Schrödinger denklemi olarak adlandırılır.

Bu denklem parçacığın toplam enerjisini E parametre olarak içerir. Diferansiyel denklemler teorisinde, bu tür denklemlerin, sınır koşulları getirilerek fiziksel anlamı olan çözümlerin seçildiği sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu kanıtlanmıştır. Schrödinger denklemi için bu tür koşullar, dalga fonksiyonlarının düzenliliği için koşullardır: dalga fonksiyonları sonlu, tek değerli ve birinci türevleriyle birlikte sürekli olmalıdır. Bu nedenle, yalnızca ψ düzenli fonksiyonlarıyla ifade edilen çözümlerin gerçek fiziksel anlamı vardır. . Ancak E parametresinin herhangi bir değeri için düzenli çözümler gerçekleşmez, yalnızca belirli bir problemin özelliği olan belirli bir dizi için gerçekleşir. Bu enerji değerlerine özdeğerler denir. Enerjinin özdeğerlerine karşılık gelen çözümlere özfonksiyonlar denir. E'nin özdeğerleri sürekli veya ayrık bir seri oluşturabilir. İlk durumda, sürekli veya katı bir spektrumdan, ikincisinde ise ayrı bir spektrumdan bahsediyorlar.

Fizikçiler arasında çok yaygın olan folklora göre olay şöyle oldu: 1926'da Zürih Üniversitesi'nde bir bilimsel seminerde isimli teorik fizikçi konuştu. Havadaki tuhaf yeni fikirlerden, mikroskobik nesnelerin parçacıklardan çok dalga gibi davrandığından bahsetti. Sonra yaşlı bir öğretmen konuşmak istedi ve şöyle dedi: “Schrödinger, tüm bunların saçmalık olduğunu görmüyor musun? Yoksa hepimiz dalgaların sadece dalga denklemleriyle tanımlanacak dalgalar olduğunu bilmiyor muyuz?” Schrödinger bunu kişisel bir hakaret olarak algıladı ve parçacıkları kuantum mekaniği çerçevesinde tanımlamak için bir dalga denklemi geliştirmeye koyuldu ve bu görevin üstesinden harika bir şekilde geldi.

Burada bir açıklama yapılması gerekiyor. Günlük yaşamımızda enerji iki şekilde aktarılır: bir yerden bir yere hareket eden madde yoluyla (örneğin, hareket eden bir lokomotif veya rüzgar) - enerji aktarımında parçacıklar yer alır - veya dalgalar (örneğin, radyo dalgaları) aracılığıyla. güçlü vericiler tarafından iletilir ve televizyonlarımızın antenleri tarafından yakalanır). Yani, sizin ve benim yaşadığımız makrokozmosta, tüm enerji taşıyıcıları kesinlikle iki türe ayrılmıştır - parçacık (maddi parçacıklardan oluşan) veya dalga. Ayrıca, herhangi bir dalga özel bir denklem türü olan dalga denklemleriyle tanımlanır. İstisnasız tüm dalgalar (okyanus dalgaları, sismik kaya dalgaları, uzak galaksilerden gelen radyo dalgaları) aynı tür dalga denklemleriyle tanımlanır. Bu açıklama, eğer atom altı dünyanın olaylarını olasılık dağılım dalgaları (bkz. Kuantum Mekaniği) cinsinden temsil etmek istiyorsak, bu dalgaların da karşılık gelen dalga denklemiyle tanımlanması gerektiğini açıklığa kavuşturmak için gereklidir.

Schrödinger, dalga fonksiyonunun klasik diferansiyel denklemini olasılık dalgaları kavramına uyguladı ve kendi adını taşıyan ünlü denklemi elde etti. Alışılagelmiş dalga fonksiyonu denkleminin, örneğin su yüzeyindeki dalgacıkların yayılımını tanımlaması gibi, Schrödinger denklemi de, uzayda belirli bir noktada bir parçacığı bulma olasılığı dalgasının yayılımını tanımlar. Bu dalganın zirveleri (maksimum olasılık noktaları), parçacığın uzayda nereye varma olasılığının yüksek olduğunu gösterir. Schrödinger denklemi yüksek matematik alanına ait olmasına rağmen, modern fiziği anlamak için o kadar önemlidir ki yine de onu burada en basit haliyle ("tek boyutlu durağan Schrödinger denklemi" olarak adlandırılan) sunacağım. Yunan harfi (psi) ile gösterilen yukarıdaki olasılık dağılımı dalga fonksiyonu, aşağıdaki diferansiyel denklemin çözümüdür (anlamadıysanız sorun değil; sadece bu denklemin olasılığın bir dalga gibi davrandığını gösterdiğine güvenin) ): :

Schrödinger denkleminin bize verdiği kuantum olaylarının resmi, elektronların ve diğer temel parçacıkların okyanus yüzeyinde dalgalar gibi davrandığıdır. Zamanla dalganın zirvesi (elektronun bulunma ihtimalinin en yüksek olduğu konuma karşılık gelir), bu dalgayı tanımlayan denklem uyarınca uzayda hareket eder. Yani, geleneksel olarak parçacık olarak kabul ettiğimiz şey, kuantum dünyasında bir dalga gibi davranır.

Schrödinger sonuçlarını ilk yayınladığında teorik fizik dünyasında bir çay fincanında fırtına kopmuştu. Gerçek şu ki, neredeyse aynı zamanda, Schrödinger'in çağdaşı Werner Heisenberg'in, yazarın kuantum mekaniğinin aynı problemlerinin çözüldüğü “matris mekaniği” kavramını öne sürdüğü çalışması (Heisenberg'in Belirsizlik İlkesi'ne bakınız) ortaya çıktı. başka, daha karmaşık bir matematiksel nokta görünüm matrisi biçiminde. Kargaşanın nedeni, bilim adamlarının, mikro dünyayı tanımlamaya yönelik eşit derecede ikna edici iki yaklaşımın birbiriyle çelişebileceğinden korkmalarıydı. Endişeler boşunaydı. Aynı yıl, Schrödinger iki teorinin tam eşdeğerliğini kendisi kanıtladı; yani, matris denklemi dalga denkleminden çıkar ve bunun tersi de geçerlidir; sonuçlar aynıdır. Bugün, esas olarak Schrödinger'in versiyonu (bazen "dalga mekaniği" olarak da adlandırılır) kullanılır çünkü denklemi daha az hantaldır ve öğretilmesi daha kolaydır.

Ancak elektron gibi bir şeyin dalga gibi davrandığını hayal etmek ve kabul etmek o kadar da kolay değil. Günlük yaşamda ya bir parçacıkla ya da bir dalgayla karşılaşırız. Top bir parçacıktır, ses bir dalgadır ve hepsi bu. Kuantum mekaniği dünyasında her şey o kadar basit değil. Aslında -ki deneyler bunu çok geçmeden gösterdi- kuantum dünyasında varlıklar, aşina olduğumuz nesnelerden farklıdır ve farklı özelliklere sahiptir. Dalga olarak düşündüğümüz ışık bazen parçacık gibi davranır (foton olarak adlandırılır), elektron ve proton gibi parçacıklar da dalga gibi davranabilir (bkz. Tamamlayıcılık İlkesi).

Bu problem genellikle kuantum parçacıklarının ikili veya ikili parçacık-dalga doğası olarak adlandırılır ve görünüşe göre atom altı dünyadaki tüm nesnelerin karakteristik özelliğidir (bkz. Bell teoremi). Maddenin hangi biçimleri alabileceği ve nasıl davranabileceği hakkındaki sıradan sezgisel fikirlerimizin mikro dünyada geçerli olmadığını anlamalıyız. Parçacık olarak düşünmeye alışkın olduğumuz şeylerin hareketini dalga denklemini kullanarak tanımlamamız da bunun açık bir kanıtıdır. Giriş bölümünde belirtildiği gibi bunda özel bir çelişki yoktur. Sonuçta, makrokozmosta gözlemlediklerimizin mikrokozmos düzeyinde doğru bir şekilde yeniden üretilmesi gerektiğine inanmak için hiçbir zorlayıcı nedenimiz yok. Ancak temel parçacıkların ikili doğası, birçok insan için kuantum mekaniğinin en kafa karıştırıcı ve rahatsız edici yönlerinden biri olmaya devam ediyor ve tüm sorunların Erwin Schrödinger'le başladığını söylemek abartı değil.

James Trefil'in Ansiklopedisi “Bilimin Doğası. Evrenin 200 kanunu."

James Trefil, popüler bilim kitaplarının en ünlü Batılı yazarlarından biri olan George Mason Üniversitesi'nde (ABD) fizik profesörüdür.

Kuantum mekaniğinin kurucularından biri olan Max Planck, yakın zamanda keşfedilen elektromanyetik dalgalar ve atomlar arasındaki etkileşim sürecini teorik olarak açıklamaya ve böylece siyah cisim radyasyonu problemini çözmeye çalışarak enerji kuantizasyonu fikirlerine ulaştı. Atomların gözlemlenen emisyon spektrumunu açıklamak için, atomların enerjiyi porsiyonlar halinde (bilim adamının kuantum adını verdiği) ve yalnızca bireysel dalga frekanslarında yaydığını ve emdiğini kabul etmenin gerekli olduğunu fark etti.

Tamamen siyah bir gövde, ısıtıldığında herhangi bir frekansın elektromanyetik radyasyonunu tamamen emer, tüm frekans spektrumuna eşit olarak dağıtılmış dalgalar şeklinde enerji yayar.

“Kuantum” kelimesi Latince kuantum (“ne kadar, ne kadar”) ve İngilizce kuantum (“miktar, kısım, kuantum”) kelimelerinden gelir. “Mekanik” uzun zamandır maddenin hareketi bilimine verilen isimdir. Buna göre "kuantum mekaniği" terimi, maddenin parçalar halinde hareketinin bilimi (veya modern bilimsel dilde kuantumlanmış maddenin hareketi bilimi) anlamına gelir. "Kuantum" terimi, ışığın atomlarla etkileşimini tanımlamak için Alman fizikçi Max Planck tarafından icat edildi.

Atomaltı dünyanın gerçeklerinden biri, elektronlar veya fotonlar gibi nesnelerinin makro dünyanın olağan nesnelerine hiç benzememesidir. Ne parçacık, ne de dalga gibi davranırlar; aksine, duruma göre hem dalga hem de parçacık özelliği gösteren tamamen özel oluşumlar gibi davranırlar. Bir açıklama yapmak başka şey, kuantum parçacıklarının davranışının dalga ve parçacık yönlerini birbirine bağlayıp onları kesin bir denklemle açıklamak bambaşka bir şey. De Broglie ilişkisinde yapılan da tam olarak budur.

Günlük yaşamda, enerjiyi uzayda aktarmanın iki yolu vardır: parçacıklar veya dalgalar aracılığıyla. Günlük yaşamda, iki enerji aktarım mekanizması arasında gözle görülür bir çelişki yoktur. Yani basketbol bir parçacıktır ve ses bir dalgadır ve her şey açıktır. Ancak kuantum mekaniğinde işler bu kadar basit değil. Kuantum nesnelerle yapılan en basit deneylerden bile, makro dünyanın aşina olduğumuz ilke ve yasalarının mikro dünyada geçerli olmadığı çok geçmeden anlaşılıyor. Dalga olarak düşünmeye alıştığımız ışık, bazen bir parçacık akışından (foton) oluşuyormuş gibi davranır ve elektron, hatta büyük bir proton gibi temel parçacıklar çoğu zaman dalga özellikleri sergiler.

Hepsinden önemlisi, Einstein, mikro dünya olgusunu, koordinatların ve parçacık hızlarının olağan konumundan değil, olasılıklar ve dalga fonksiyonları açısından tanımlama ihtiyacına karşı çıktı. "Zar atmak" derken kastettiği buydu. Elektronların hareketini hızları ve koordinatları cinsinden tanımlamanın belirsizlik ilkesiyle çeliştiğini fark etti. Ancak Einstein, mikro dünyanın kuantum mekaniksel tablosunun bütünlük ve determinizm yoluna geri döneceğini hesaba katan başka değişkenlerin veya parametrelerin de olması gerektiğini savundu. Yani, bize sadece Tanrı'nın bizimle zar atıyormuş gibi göründüğünde ısrar etti, çünkü biz her şeyi anlamıyoruz. Böylece kuantum mekaniği denklemlerinde gizli değişken hipotezini formüle eden ilk kişi oldu. Aslında elektronların Newton'un bilardo topları gibi sabit koordinatları ve hızları olduğu ve belirsizlik ilkesi ve bunların kuantum mekaniği çerçevesinde belirlenmesine olasılıkçı yaklaşımın teorinin kendisinin eksikliğinin bir sonucu olduğu gerçeğinde yatmaktadır. neden belirli bir tanımlamaya izin vermiyor?

Yulia Zotova

Öğreneceksiniz: Hangi teknolojilere kuantum denir ve neden. Kuantum teknolojilerinin klasik teknolojilere göre avantajı nedir? Bir kuantum bilgisayarın yapabilecekleri ve yapamayacakları. Fizikçiler kuantum bilgisayarını nasıl yapıyorlar? Ne zaman oluşturulacak.

Fransız fizikçi Pierre Simon Laplace, dünyadaki her şeyin dünyanın önceki durumu tarafından önceden belirlenip belirlenmediği veya bir nedenin birçok sonuca neden olup olamayacağı konusunda önemli bir soruyu gündeme getirdi. Felsefi geleneğin beklediği gibi Laplace, "Dünya Sisteminin Sergilenmesi" adlı kitabında herhangi bir soru sormadı, ancak evet, dünyadaki her şeyin önceden belirlendiğini ancak felsefede sıklıkla olduğu gibi hazır bir cevap söyledi. Laplace'ın önerdiği dünya resmi herkesi ikna etmemişti ve dolayısıyla cevabı, konu etrafında günümüze kadar devam eden bir tartışmanın doğmasına neden olmuştu. Bazı filozofların kuantum mekaniğinin bu konuyu olasılıkçı bir yaklaşımla çözdüğü yönündeki görüşlerine rağmen, yine de Laplace'ın tam önceden belirlenim teorisi ya da diğer adıyla Laplace determinizm teorisi bugün hala tartışılmaktadır.

Gordey Lesovik

Bir süre önce, bir grup ortak yazar ve ben, termodinamiğin ikinci yasasını kuantum mekaniği açısından türetmeye başladık. Örneğin, kapalı bir sistemin entropisinin azalmadığını, tipik olarak arttığını ve eğer sistem enerjik olarak izole edilmişse bazen sabit kaldığını belirten formülasyonlarından birinde. Kuantum bilgi teorisinin bilinen sonuçlarını kullanarak bu ifadenin doğru olduğu bazı koşulları elde ettik. Beklenmedik bir şekilde bu koşulların sistemlerin enerji izolasyonu koşuluyla örtüşmediği ortaya çıktı.

Fizik profesörü Jim Al-Khalili, en kesin ve en kafa karıştırıcı bilimsel teorilerden biri olan kuantum fiziğini araştırıyor. 20. yüzyılın başlarında bilim insanları, etrafımızdaki dünyanın atom altı yapı taşları olan maddenin gizli derinliklerini araştırdılar. Daha önce görülenlerden farklı olguları keşfettiler. Her şeyin aynı anda birçok yerde olabildiği, gerçekliğin yalnızca biz onu gözlemlediğimizde gerçekten var olduğu bir dünya. Albert Einstein, rastlantısallığın doğanın özünde olduğu fikrine direndi. Kuantum fiziği, atom altı parçacıkların ışık hızından daha hızlı etkileşime girebileceğini ima eder, bu da onun görelilik teorisiyle çelişir.

giriiş

Kuantum mekaniğinin seyrinin anlaşılması en zor olanlardan biri olduğu bilinmektedir. Bunun nedeni yeni ve "alışılmadık" matematik aygıtlarından çok, klasik fizik açısından devrimci fikirleri, kuantum mekaniğinin altında yatan fikirleri anlamanın zorluğundan ve sonuçları yorumlamanın karmaşıklığından kaynaklanmaktadır.

Kuantum mekaniği üzerine ders kitaplarının çoğunda, materyalin sunumu kural olarak durağan Schrödinger denklemlerinin çözümlerinin analizine dayanmaktadır. Ancak durağan yaklaşım, kuantum mekaniksel bir problemin çözüm sonuçlarının benzer klasik sonuçlarla doğrudan karşılaştırılmasına izin vermez. Ek olarak, kuantum mekaniği sürecinde incelenen birçok süreç (bir parçacığın potansiyel bir bariyerden geçişi, yarı-durağan bir durumun bozunması vb. gibi) prensip olarak doğası gereği durağan değildir ve bu nedenle, tam olarak ancak durağan olmayan Schrödinger denkleminin çözümleri temelinde anlaşılabilir. Analitik olarak çözülebilen problemlerin sayısı az olduğundan, kuantum mekaniğini inceleme sürecinde bilgisayar kullanımı özellikle önemlidir.

Schrödinger denklemi ve çözümlerinin fiziksel anlamı

Schrödinger dalga denklemi

Kuantum mekaniğinin temel denklemlerinden biri, kuantum sistemlerinin durumlarının zaman içindeki değişimini belirleyen Schrödinger denklemidir. Şeklinde yazılmıştır

burada H sistemin Hamilton operatörüdür ve eğer zamana bağlı değilse enerji operatörüne denk gelir. Operatörün tipi sistemin özelliklerine göre belirlenir. Bir kütle parçacığının U(r) potansiyel alanındaki göreli olmayan hareketi için operatör gerçektir ve parçacığın kinetik ve potansiyel enerjisi operatörlerinin toplamı ile temsil edilir.

Eğer bir parçacık elektromanyetik alanda hareket ediyorsa Hamilton operatörü karmaşık olacaktır.

Denklem (1.1) zaman içinde birinci dereceden bir denklem olmasına rağmen sanal bir birimin varlığı nedeniyle periyodik çözümleri de vardır. Bu nedenle Schrödinger denklemine (1.1) sıklıkla Schrödinger dalga denklemi adı verilir ve çözümüne zamana bağlı dalga fonksiyonu adı verilir. H operatörünün bilinen bir formuyla denklem (1.1), eğer bu değer ilk anda biliniyorsa, dalga fonksiyonunun değerinin daha sonraki herhangi bir zamanda belirlenmesine olanak tanır. Böylece Schrödinger dalga denklemi kuantum mekaniğindeki nedensellik ilkesini ifade eder.

Schrödinger dalga denklemi aşağıdaki biçimsel hususlara dayanarak elde edilebilir. Klasik mekanikte, eğer enerji koordinatların ve momentumun bir fonksiyonu olarak verilirse,

daha sonra S eylem fonksiyonu için klasik Hamilton-Jacobi denklemine geçiş

(1.3)'ten formal dönüşümle elde edilebilir

Aynı şekilde (1.3)'ten operatör denklemine formal dönüşümle geçilerek (1.3)'ten denklem (1.1) elde edilir.

(1.3), koordinatların ve momentumların çarpımlarını içermiyorsa veya bunların operatörlere (1.4) geçtikten sonra birbirleriyle gidip gelen çarpımlarını içeriyorsa. Bu dönüşümden sonra elde edilen operatör eşitliğinin sağ ve sol taraftaki operatörlerin fonksiyonu üzerindeki etkisinin sonuçlarını eşitleyerek dalga denklemine (1.1) ulaşırız. Ancak bu biçimsel dönüşümler Schrödinger denkleminin bir türevi olarak alınmamalıdır. Schrödinger denklemi deneysel verilerin bir genellemesidir. Tıpkı Maxwell denklemlerinin klasik mekanikteki en az etki ilkesi (veya Newton denklemleri) olan elektrodinamikten türetilmediği gibi, kuantum mekaniğinden türetilmez.

Denklemin (1.1) dalga fonksiyonu için karşılandığını doğrulamak kolaydır.

Belirli bir momentum değerine sahip bir parçacığın serbest hareketini tanımlar. Genel durumda, denklem (1.1)'in geçerliliği, bu denklem kullanılarak elde edilen tüm sonuçların deneyimlerle mutabakatı ile kanıtlanır.

Denklemin (1.1) önemli eşitliği ima ettiğini gösterelim.

dalga fonksiyonundaki normalleşmenin zamanla devam ettiğini göstermektedir. Soldaki (1.1)'i fonksiyonla (1.1)'e eşlenik bir denklem kompleksi olan * fonksiyonuyla çarpalım ve ikinciyi elde edilen ilk denklemden çıkaralım; sonra buluruz

Bu ilişkiyi değişkenlerin tüm değerlerine entegre ederek ve operatörün kendine eşlenikliğini hesaba katarak (1.5) elde ederiz.

Bir parçacığın potansiyel alandaki hareketi yerine Hamilton operatörünün (1.2) açık ifadesini (1.6) ilişkisine koyarsak, diferansiyel denkleme (süreklilik denklemi) ulaşırız.

olasılık yoğunluğu ve vektör nerede

olasılık akım yoğunluk vektörü olarak adlandırılabilir.

Karmaşık dalga fonksiyonu her zaman şu şekilde temsil edilebilir:

nerede ve zaman ve koordinatların gerçek fonksiyonlarıdır. Böylece olasılık yoğunluğu

ve olasılık akım yoğunluğu

(1.9)'dan, Φ fonksiyonunun koordinatlara bağlı olmadığı tüm fonksiyonlar için j = 0 olduğu sonucu çıkar. Özellikle tüm gerçek fonksiyonlar için j= 0.

Genel durumda Schrödinger denkleminin (1.1) çözümleri karmaşık fonksiyonlarla temsil edilir. Karmaşık işlevleri kullanmak gerekli olmasa da oldukça kullanışlıdır. Tek bir karmaşık fonksiyon yerine, sistemin durumu iki gerçek fonksiyonla ve ilgili iki denklemi karşılayan şekilde tanımlanabilir. Örneğin, H operatörü gerçekse, o zaman fonksiyonu (1.1)'de yerine koyarak ve gerçek ve sanal kısımları ayırarak iki denklemden oluşan bir sistem elde ederiz.

bu durumda olasılık yoğunluğu ve olasılık akım yoğunluğu şu şekli alacaktır:

İmpuls gösteriminde dalga fonksiyonları.

Dalga fonksiyonunun Fourier dönüşümü, momentumun kuantum durumundaki dağılımını karakterize eder. Çekirdek olarak Fourier dönüşümü kullanılarak potansiyel için bir integral denklemin türetilmesi gerekmektedir.

Çözüm. Fonksiyonlar arasında karşılıklı olarak ters iki ilişki vardır.

Tanım olarak (2.1) bağıntısı kullanılır ve ona bir işlem uygulanırsa 3 boyutlu bir fonksiyonun tanımı dikkate alınarak,

sonuç olarak, görüldüğü gibi, ters (2.2) ilişkisini elde ederiz. Aşağıda (2.8) ilişkisinin türetilmesinde benzer hususlar kullanılmıştır.

o zaman sahip olduğumuz potansiyelin Fourier dönüşümü için

Dalga fonksiyonunun Schrödinger denklemini karşıladığını varsayarsak

Burada ve yerine sırasıyla (2.1) ve (2.3) ifadelerini değiştirerek şunu elde ederiz:

Çift katlı integralde, bir değişken üzerindeki integralden bir değişken üzerindeki integrale geçiyoruz ve sonra bu yeni değişkeni tekrar ile gösteriyoruz. İntegral over herhangi bir değer için yalnızca integralin kendisinin sıfıra eşit olması durumunda sıfırlanır, ancak bu durumda

Bu, çekirdek olarak potansiyelin Fourier dönüşümü ile istenen integral denklemdir. Elbette integral denklemi (2.6), yalnızca potansiyelin (2.4) Fourier dönüşümünün mevcut olması koşuluyla elde edilebilir; bunun için örneğin potansiyelin en az olduğu kadar uzak mesafelerde azalması gerekir.

Normalleşme koşulundan şunu belirtmek gerekir ki

eşitlik takip eder

Bu, fonksiyon için ifade (2.1)'i (2.7)'ye değiştirerek gösterilebilir:

İlk olarak burada integral alırsak (2.8) ilişkisini rahatlıkla elde edebiliriz.

Heisenberg, mikro parçacıkların çeşitli kuvvet alanlarındaki hareketini tanımlayan kuantum mekaniğindeki hareket denkleminin, parçacıkların deneysel olarak gözlemlenen dalga özelliklerinin takip edileceği bir denklem olması gerektiği sonucuna vardı. Yönetim denklemi dalga fonksiyonu Ψ için bir denklem olmalıdır (x, y, z, t),çünkü tam olarak bu veya daha kesin olarak |Ψ| miktarıdır. 2, bir parçacığın o anda mevcut olma olasılığını belirler T hacim olarak Δ V, yani koordinatların olduğu alanda X Ve x + dx, y Ve y + dу, z Ve z+ dz.

Göreli olmayan kuantum mekaniğinin temel denklemi 1926'da E. Schrödinger tarafından formüle edildi. Schrödinger denklemi, fiziğin tüm temel denklemleri gibi (örneğin, klasik mekanikteki Newton denklemleri ve elektromanyetik alan için Maxwell denklemleri) türetilmemiş, ancak varsayılmıştır. Bu denklemin doğruluğu, onun yardımıyla elde edilen sonuçların deneyimlerle mutabakatı ile doğrulanır ve bu da ona doğa kanunu karakterini verir.

Genel Schrödinger denklemi:

Nerede ? =s/(2π), M- parçacık kütlesi, Δ - Laplace operatörü , Ben- hayali birim, sen(x, y, z, t) parçacığın hareket ettiği kuvvet alanındaki potansiyel fonksiyonudur, Ψ( x, y, z, t) parçacığın istenen dalga fonksiyonudur.

Denklem (1), düşük (ışık hızına kıyasla) bir hızda hareket eden (spin değeri 0'a eşit olan) herhangi bir parçacık için geçerlidir; υ "İle.

Koşullarla desteklenir, dalga fonksiyonu üzerine bindirilmiş:

1) dalga fonksiyonu sonlu, kesin ve sürekli olmalıdır;

2) türevler sürekli olmalıdır;

3) fonksiyon |Ψ| 2 integrallenebilir olmalıdır (en basit durumlarda bu koşul, olasılıkların normalleştirilmesi koşuluna indirgenir).

Denklem (1) denir zamana bağlı Schrödinger denklemi.

Mikro dünyada meydana gelen birçok fiziksel olay için denklem (1), Ψ'nin zamana bağımlılığı ortadan kaldırılarak basitleştirilebilir; Durağan durumlar (sabit enerji değerlerine sahip durumlar) için Schrödinger denklemini bulun. Bu, parçacığın hareket ettiği kuvvet alanının sabit olması durumunda mümkündür; yani fonksiyon sen = sen(x, y,z) açıkça zamana bağlı değildir ve potansiyel enerji anlamına gelir. Bu durumda Schrödinger denkleminin çözümü şu şekilde gösterilebilir:

. (2)

Denklem (2) durağan durumlar için Schrödinger denklemi denir.

Bu denklem toplam enerjiyi parametre olarak içerir e parçacıklar. Diferansiyel denklemler teorisinde, bu tür denklemlerin, sınır koşulları getirilerek fiziksel anlamı olan çözümlerin seçildiği sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu kanıtlanmıştır. Schrödinger denklemi için bu tür koşullar şunlardır: dalga fonksiyonlarının düzenliliği için koşullar: Yeni fonksiyonlar ilk türevleriyle birlikte sonlu, açık ve sürekli olmalıdır.

Bu nedenle, yalnızca Ψ düzenli fonksiyonlarıyla ifade edilen çözümlerin gerçek fiziksel anlamı vardır. Ancak hiçbir parametre değeri için düzenli çözümler gerçekleşmez. E, ancak yalnızca belirli bir görevin özelliği olan belirli bir grup için. Bu enerji değerlerine özdeğerler denir . Enerji özdeğerlerine karşılık gelen çözümlere özfonksiyonlar denir . Özdeğerler e sürekli veya ayrık bir seri oluşturabilir. İlk durumda, sürekli veya katı bir spektrumdan, ikincisinde ise ayrı bir spektrumdan bahsediyorlar.

Tek boyutlu dikdörtgen bir "potansiyel kuyusu" içindeki parçacıksonsuz yükseklikte “duvarlarla”

Sonsuz yüksek "duvarlara" sahip tek boyutlu dikdörtgen bir "potansiyel kuyusu" içindeki bir parçacığa uygulanan Schrödinger denkleminin çözümlerinin niteliksel bir analizini yapalım. Böyle bir "delik", formun potansiyel enerjisiyle tanımlanır (basitlik açısından parçacığın eksen boyunca hareket ettiğini varsayıyoruz) X)

Nerede ben“deliğin” genişliğidir ve enerji tabanından sayılır (Şekil 2).

Tek boyutlu bir problem durumunda durağan durumlar için Schrödinger denklemi şu şekilde yazılacaktır:

. (1)

Sorunun koşullarına göre (sonsuz yüksek "duvarlar"), parçacık "deliğin" ötesine nüfuz etmez, bu nedenle "delik" dışında tespit edilme olasılığı (ve dolayısıyla dalga fonksiyonunun) sıfırdır. “Çukur” sınırlarında (en X= 0 ve x = 1) sürekli dalga fonksiyonu da ortadan kalkmalıdır.

Dolayısıyla bu durumda sınır koşulları şu şekildedir:

Ψ (0) = Ψ ( ben) = 0. (2)

“Çukur” içinde (0 ≤ X≤ 0) Schrödinger denklemi (1) aşağıdaki denkleme indirgenecektir:

veya . (3)

Nerede k2 = 2mE /? 2.(4)

Diferansiyel denklemin genel çözümü (3):

Ψ ( X) = A günah kx + Bçünkü kx.

(2)'ye göre Ψ (0) = 0 olduğundan B = 0 olur.

Ψ ( X) = A günah kx. (5)

Koşul Ψ ( ben) = A günah kl= 0 (2) yalnızca şu durumlarda yürütülür: kl = nπ, Nerede N- tamsayılar, yani bu gerekli

k = nπ/l. (6)

(4) ve (6) ifadelerinden şu sonuç çıkar:

(N = 1, 2, 3,…), (7)

yani, bir parçacığın sonsuz yüksek "duvarlara" sahip bir "potansiyel kuyu" içindeki hareketini tanımlayan durağan Schrödinger denklemi yalnızca özdeğerler için karşılanır E p, bir tamsayıya bağlı olarak P. Bu nedenle enerji E p Sonsuz yüksek “duvarlara” sahip bir “potansiyel kuyusu”ndaki parçacıklar yalnızca belirli ayrık değerler, yani nicelenmiş.

Nicelenmiş enerji değerleri E p denir enerji seviyeleri ve numara P, Bir parçacığın enerji seviyesini belirleyen şeye denir. baş kuantum sayısı Dolayısıyla sonsuz yüksek “duvarlara” sahip bir “potansiyel kuyusu” içindeki bir mikropartikül ancak belirli bir enerji seviyesinde olabilir. E p, veya dedikleri gibi parçacık kuantum durumundadır P.

(5) değerini yerine koymak k(6)'dan özfonksiyonları buluruz:

.

Entegrasyon sabiti A bu durumda şu şekilde yazılacak olan normalleştirme koşulundan şunu buluruz:

.

Entegrasyonun bir sonucu olarak elde ederiz ve özfonksiyonlar şu şekilde olacaktır:

(N = 1, 2, 3,…). (8)

Enerji seviyelerine (7) karşılık gelen özfonksiyonların (8) grafikleri N= 1,2,3, Şekil 2'de gösterilmektedir. 3, A.Şek. 3, B‌‌‌‌‌‌ Ψ'ya eşit, deliğin "duvarlarından" çeşitli mesafelerde bir parçacığın tespit edilmesinin olasılık yoğunluğunu gösterir N(X)‌ 2 = Ψ N(X)·Ψ N * (X) İçin n = 1, 2 ve 3. Şekilden, örneğin kuantum durumunda olduğu anlaşılmaktadır. n=Şekil 2'ye göre, bir parçacık "deliğin" ortasında olamaz, ancak aynı sıklıkla sol ve sağ kısımlarında da olabilir. Parçacığın bu davranışı, kuantum mekaniğindeki parçacık yörüngeleri kavramının savunulamaz olduğunu gösterir.

İfade (7)'den iki bitişik seviye arasındaki enerji aralığının şuna eşit olduğu sonucu çıkar:

Örneğin kuyu boyutlarına sahip bir elektron için ben= 10 -1 m (metaldeki serbest elektronlar) , Δ E n ≈ 10 -35 · N J ≈ 10 -1 6 N eV, yani Enerji seviyeleri o kadar yakın konumlandırılmıştır ki spektrum pratikte sürekli kabul edilebilir. Kuyunun boyutları atomik boyutlarla karşılaştırılabilirse ( ben ≈ 10 -10 m), sonra elektron için Δ E n ≈ 10 -17 N J ≈ 10 2 N eV, yani Açıkçası ayrık enerji değerleri (çizgi spektrumu) elde edilir.

Böylece, Schrödinger denkleminin sonsuz yüksek "duvarlara" sahip bir "potansiyel kuyusu" içindeki bir parçacığa uygulanması kuantize edilmiş enerji değerlerine yol açarken, klasik mekanik bu parçacığın enerjisine herhangi bir kısıtlama getirmez.

Ek olarak, bu problemin kuantum mekaniksel değerlendirmesi, sonsuz yüksek "duvarlara" sahip "potansiyel kuyusundaki" bir parçacığın π 2'ye eşit minimum enerjiden daha düşük bir enerjiye sahip olamayacağı sonucuna varır. ? 2 /(2t1 2). Sıfırdan farklı bir minimum enerjinin varlığı tesadüfi değildir ve belirsizlik ilişkisinden kaynaklanır. Koordinat belirsizliği Δ X geniş bir "çukur" içindeki parçacıklar benΔ'ya eşit X= ben.

O halde belirsizlik ilişkisine göre dürtünün kesin, bu durumda sıfır bir değeri olamaz. Momentum belirsizliği Δ R ≈ s/d. Momentum değerlerinin bu yayılması kinetik enerjiye karşılık gelir E dk ≈(Δ P) 2 / (2M) = ? 2 / (2ml 2). Diğer tüm seviyeler ( p> 1) Bu minimum değeri aşan bir enerjiye sahip olmak.

Formül (9) ve (7)'den, büyük kuantum sayıları için ( N"1) Δ E n / E p ≈ 2/P“1, yani bitişik seviyeler birbirine yakın konumlandırılmış: ne kadar yakınsa o kadar fazla P. Eğer Nçok büyükse, neredeyse sürekli bir düzey dizisinden bahsedebiliriz ve kuantum süreçlerinin karakteristik özelliği olan ayrıklık yumuşatılır. Bu sonuç, kuantum mekaniği yasalarının kuantum sayılarının büyük değerlerinde klasik fizik yasalarına dönüşmesi gerektiğini öngören Bohr'un yazışma ilkesinin (1923) özel bir durumudur.