Potansiyel alandaki bir parçacık için Schrödinger denklemi. Schrödinger denklemi

Mikropartiküllerin çeşitli şekillerde hareketi Kuvvet alanları deneysel olarak gözlemlenebilir koşulların takip edildiği Schrödinger denklemi kullanılarak göreceli olmayan kuantum mekaniği çerçevesinde tanımlanır. dalga özellikleri parçacıklar. Bu denklem, fiziğin tüm temel denklemleri gibi türetilmiş değil, varsayılmıştır. Doğruluğu, hesaplama sonuçlarının deneyimle mutabakatı ile doğrulanır. Schrödinger dalga denklemi aşağıdaki gibidir Genel form :

- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = ben ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)

burada ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 J ∙ s - Planck sabiti;
m parçacık kütlesidir;
∆ - Laplace operatörü (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - istenen dalga fonksiyonu;
U(x,y,z,t) - potansiyel fonksiyon hareket ettiği kuvvet alanındaki parçacıklar;
i sanal birimdir.

Bu denklemin yalnızca dalga fonksiyonuna uygulanan koşullar altında bir çözümü vardır:

1. ψ (x, y, z, t) sonlu, tek değerli ve sürekli olmalıdır;
2. birinci türevleri sürekli olmalıdır;
3. fonksiyon | ψ | 2, en basit durumlarda olasılıkları normalleştirme koşuluna indirgenebilir olmalıdır.

∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

burada ψ = ψ (x, y, z) yalnızca koordinatların dalga fonksiyonudur;
E - denklem parametresi - toplam enerji parçacıklar.

Bu denklem için yalnızca ψ düzenli fonksiyonlarıyla ifade edilen çözümler (bunlara kendi fonksiyonları), yalnızca E parametresinin belirli değerleri için ortaya çıkan, enerji özdeğeri olarak adlandırılır. Bu E değerleri sürekli veya ayrık seri, yani hem sürekli hem de ayrık enerji spektrumu.

Herhangi bir mikro parçacık için, (8.2) tipinde bir Schrödinger denkleminin varlığında, kuantum mekaniğinin problemi bu denklemin çözümüne indirgenir; E içsel enerjilerinin spektrumuna karşılık gelen ψ = ψ (x, y, z) dalga fonksiyonlarının değerlerini bulma. Daha sonra olasılık yoğunluğunu bulun | ψ | 2, kuantum mekaniğinde, (x, y, z) koordinatlarına sahip bir noktanın yakınında birim hacimde bir parçacık bulma olasılığını belirler.

Schrödinger denklemini çözmenin en basit durumlarından biri, bir parçacığın sonsuz yüksek "duvarlara" sahip tek boyutlu dikdörtgen bir "potansiyel kuyusu" içindeki davranışı problemidir. Yalnızca X ekseni boyunca hareket eden bir parçacık için böyle bir "delik", formun potansiyel enerjisi ile tanımlanır.

burada l "deliğin" genişliğidir ve enerji tabanından ölçülür (Şekil 8.1).

Tek boyutlu bir problem durumunda durağan durumlar için Schrödinger denklemi şu şekilde yazılacaktır:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

"Çukurun duvarlarının" sonsuz yüksek olması nedeniyle parçacık "çukurun" ötesine nüfuz etmez. Bu sınır koşullarına yol açar:

ψ (0) = ψ (l) = 0

“Kuyu” (0 ≤ x ≤ l) içerisinde, denklem (8.4) şu şekle indirgenir:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0

burada k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2

ψ (x) = Bir ∙ sin (kx)

burada k = (n ∙ π)/ l

n'nin tamsayı değerleri için.

(8.8) ve (8.10) ifadelerinden şu sonuç çıkar:

E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)

Sonuç olarak, sonsuz yüksek "duvarlara" sahip bir "potansiyel kuyusu" içindeki bir mikropartikül, yalnızca belirli bir En enerji seviyesinde olabilir, yani. ayrık kuantum durumlarında

(8.10) ifadesini (8.9) yerine koyarsak özfonksiyonları buluruz

ψ n (x) = Bir ∙ sin (nπ / l) ∙ x

bu durum için şu şekilde yazılacaktır:

Buradan entegrasyon sonucunda A = √ (2 / l) elde ederiz ve sonra şunu elde ederiz:

ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)

ψ n (x) fonksiyonunun grafiklerinin fiziksel bir anlamı yoktur, oysa | ψ n | Şekil 2, "çukurun duvarlarından" çeşitli mesafelerde bir parçacığın tespit edilmesinin olasılık yoğunluğunun dağılımını göstermektedir (Şekil 8.1). Bu çalışmada incelenenler (ayrıca karşılaştırma için ψ n (x) -) bu grafiklerdir ve kuantum mekaniğindeki parçacık yörüngeleri hakkındaki fikirlerin savunulamaz olduğunu açıkça göstermektedir.

İfadeden (8.11) iki komşu seviye arasındaki enerji aralığının şuna eşit olduğu sonucu çıkar:

∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)

Bundan, mikropartiküller (elektronlar gibi) için açıktır. büyük boyutlar"delikler" (l≈ 10 -1 m), enerji seviyeleri o kadar yakın konumlandırılmıştır ki neredeyse sürekli bir spektrum oluştururlar. Bu durum örneğin şu durumlarda ortaya çıkar: serbest elektronlar metalde. “Kuyunun” boyutları atomik boyutlarla karşılaştırılabilirse (l ≈ 10 -10 m), o zaman ayrı bir enerji spektrumu elde edilir ( çizgi spektrumu). Bu tür spektrumlar, bu çalışmada çeşitli mikropartiküller için de incelenebilir.

Pratikte sıklıkla karşılaşılan (ve bu çalışmada ele alınan) mikropartiküllerin (ve ayrıca mikrosistemler - sarkaçların) davranışının bir başka durumu, kuantum mekaniğindeki doğrusal harmonik osilatörün problemidir.

Bilindiği gibi, potansiyel enerji m kütlesinin tek boyutlu harmonik osilatörü şuna eşittir:

U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2

burada ω 0 osilatörün doğal frekansıdır osilatör ω 0 = √ (k / m);
k, osilatörün esneklik katsayısıdır.

Bağımlılık (8.17) bir parabol biçimindedir, yani. "potansiyel delik" bu durumda paraboliktir (Şekil 8.2).

ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)

burada Nn, n tamsayısına bağlı olarak sabit bir normalleştirme faktörüdür;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x), katsayıları farklı n tam sayısı için yinelenen bir formül kullanılarak hesaplanan, n dereceli bir polinomdur.
Teoride diferansiyel denklemler Schrödinger denkleminin (8.18) yalnızca enerji özdeğerleri için bir çözümü olduğu kanıtlanabilir:

E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0

Bu, bir kuantum osilatörün enerjisinin yalnızca ayrık değerler alabileceği anlamına gelir; nicemlenmiş. n = 0 olduğunda, E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2 gerçekleşir, yani. Kuantum sistemleri için tipik olan ve temsil eden sıfır noktası enerjisi doğrudan sonuç belirsizlik ilişkileri.

Bir kuantum osilatör için Schrödinger denkleminin ayrıntılı çözümünün gösterdiği gibi, farklı n için enerjinin her özdeğeri, kendi dalga fonksiyonuna karşılık gelir, çünkü sabit normalleştirme faktörü n'ye bağlıdır

ve ayrıca H n (x) - n dereceli Chebyshev-Hermite polinomu.
Üstelik ilk iki polinom eşittir:

H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α

Sonraki herhangi bir polinom, aşağıdaki yinelenen formüle göre nmi ile ilişkilidir:

H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)

(8.18) tipindeki özfonksiyonlar, bir kuantum osilatörü için bir mikroparçacığı bulmanın olasılık yoğunluğunu | ψn(x) | 2 ve davranışını inceleyin çeşitli seviyeler enerji. Tekrarlanan bir formül kullanma ihtiyacı nedeniyle bu sorunu çözmek zordur. Bu sorun yalnızca bilgisayar kullanılarak başarılı bir şekilde çözülebilir; bu çalışmada da yapılan budur.

Bu dersi size eğlence olsun diye veriyorum. Biraz farklı bir tarzda okumaya başlarsam ne olacağını görmek istedim. Bu derse dahil değildir ve bunun size nasıl yapılacağını öğretme girişimi olduğunu düşünmeyin. son saat yeni bir şey. Daha ziyade, daha ileri düzeydeki bir kitleye, kuantum mekaniği hakkında zaten çok şey anlayan kişilere bir seminer verdiğimi veya bir araştırma raporu sunduğumu hayal ediyorum. Bir seminer ile normal bir ders arasındaki temel fark, bir seminerde konuşmacının tüm aşamaları, hesaplamaların tüm cebirini sunmamasıdır. Sadece “Şunu yaparsan şu olur” diyor ama detaya girmiyor. Dolayısıyla bu derste sadece fikirleri ifade edeceğiz ve hesaplamaların sonuçlarını sunacağız. Ve her şeyi hemen ve tamamen anlamanın hiç de gerekli olmadığını anlamalısınız, sadece tüm hesaplamaları yaparsanız her şeyin yoluna gireceğine inanmanız gerekir.

Ama hepsi bu değil. Önemli olan bunun hakkında konuşmak istemem. Bu çok taze, alakalı, modern tema seminere getirmenin oldukça yasal olduğunu. Bu konu, süperiletkenlik olgusu olan Schrödinger denkleminin klasik bir yönüdür.

Tipik olarak Schrödinger denkleminde görünen dalga fonksiyonu yalnızca bir veya iki parçacık için geçerlidir. Ve dalga fonksiyonunun kendisinin, elektrik alanı, vektör potansiyeli veya benzeri şeylerin aksine klasik bir anlamı yoktur. Doğru, bireysel bir parçacığın dalga fonksiyonu, konumun bir fonksiyonu olması anlamında bir "alandır", ancak genel anlamda klasik bir anlamı yoktur. Ancak bazen kuantum mekaniksel dalga fonksiyonunun gerçekten geçerli olduğu durumlar da vardır. klasik anlam, tam da buna değinmek istiyorum. Maddenin küçük ölçeklerdeki kuantum mekaniksel davranışının tuhaflığı, Newton yasalarına, yani sözde yasaların ortaya çıkmasına yol açtığına dair standart sonuçlar dışında, genellikle büyük ölçekli olaylarda kendini hissettirmez. Klasik mekanik. Ancak bazen kuantum mekaniğinin özelliklerinin büyük ölçekli olaylar üzerinde özel bir etkiye sahip olabileceği durumlar da vardır.

Düşük sıcaklıklarda, sistemin enerjisi çok çok güçlü bir şekilde azaldığında, önceki çok sayıda durum yerine oyuna yalnızca çok çok az sayıda durum dahil edilir - ana durumdan çok uzakta olmayanlar . Bu koşullar altında, bu temel durumun kuantum mekaniksel karakteri makroskobik düzeyde kendini gösterebilir. Bu dersin amacı kuantum mekaniği ile büyük ölçekli etkiler arasındaki bağlantıyı göstermektir; Kuantum mekaniği ortalama olarak çoğaltıldı Newton mekaniği ancak kuantum mekaniğinin büyük, "makroskobik" boyutlar üzerinde kendine has karakteristik etkilerine neden olduğu özel bir durum.

Size Schrödinger denkleminin bazı özelliklerini hatırlatarak başlayayım. Bir parçacığın manyetik alandaki davranışını tanımlamak için Schrödinger denklemini kullanmak istiyorum çünkü süperiletkenlik olgusu şu şekilde ilişkilidir: manyetik alanlar. Dış manyetik alan, bir vektör potansiyeli ile tanımlanır ve soru, bir vektör potansiyeli alanındaki kuantum mekaniği yasalarının neler olduğudur. Bir parçacığın vektör potansiyel alanındaki kuantum mekaniksel davranışını belirleyen prensip çok basittir. Bir alanın varlığında bir parçacığın belirli bir yol boyunca bir yerden diğerine hareket edeceği genlik (Şekil 19.1), alan olmadan bu yol boyunca geçeceği genliğin üssüyle çarpımına eşittir. eğrisel integral vektör potansiyelinin sırasıyla çarpılmasından elektrik şarjı ve Planck sabitine bölünür [bkz. Ch. 15, § 2 (sayı 6)]:

Bu kuantum mekaniğinin orijinal ifadesidir.

İncir. 19.1. Yol boyunca 'dan'a geçişin genliği orantılıdır .

Ve bir vektör potansiyelinin yokluğunda, yüklü bir parçacık için (göreceli olmayan, spini olmayan) Schrödinger denklemi şu şekildedir:

elektrik potansiyeli nerede, potansiyel enerji de öyle. Ve (19.1) denklemi, bir manyetik alanda Hamiltoniyendeki gradyanların her seferinde eksi gradyan ile değiştirilmesi gerektiği, böylece (19.2)'nin şuna dönüşeceği ifadesine eşdeğerdir:

Bu, elektromanyetik alanda hareket eden yüklü (göreceli olmayan, spinsiz) bir parçacık için Schrödinger denklemidir.

Bunun doğru olduğunu açıklığa kavuşturmak için, bunu basit bir örnekle açıklamak istiyorum; burada sürekli bir durum yerine, birbirlerinden belli bir mesafede bir eksen üzerinde yerleştirilmiş bir atom çizgisi vardır ve elektron için bir genlik vardır. alanın yokluğunda bir atomdan diğerine atlamak. Daha sonra, denklem (19.1)'e göre, eğer - yönünde bir vektör potansiyeli varsa, o zaman atlama genliği öncekine göre değişecektir, bunun ile çarpılması gerekecektir. - göstergeli bir üs, ürüne eşit Açık vektör potansiyeli, bir atomdan diğerine entegre edilmiştir. Basit olması açısından yazacağız , çünkü genel olarak konuşursak, bağlıdır. Bir noktada bulunan bir atomun yakınında bir elektronun bulunduğunu genlikle belirtirsek, bu genliğin değişim hızı denklemle verilecektir.

Üç bölümü vardır. Öncelikle bu noktada bulunan elektronun bir miktar enerjisi vardır. Bu, her zamanki gibi bir üye verir. Sonra bir terim var, yani bir atomdaki bir elektronun bir adım geriye sıçramasının genliği. Bununla birlikte, eğer bu bir vektör potansiyelinin varlığında meydana gelirse, genliğin fazının kural (19.1)'e göre değişmesi gerekir. Komşu atomlar arasındaki mesafe gözle görülür şekilde değişmiyorsa, integral basitçe ortadaki değerin mesafeyle çarpımı olarak yazılabilir. Yani çarpım çarpı integral eşittir. Elektron geri sıçradığı için bu faz kaymasını eksi işaretiyle işaretliyorum. Bu ikinci kısmı verir. Ve aynı şekilde ileri doğru sıçrama olacak belli bir genlik var ama bu sefer vektör potansiyeli diğer taraftan belirli bir mesafede alınır ve mesafeyle çarpılır. Bu üçüncü kısmı verir. Özetle, vektör potansiyeli ile karakterize edilen bir alandaki bir parçacığın, noktasında bulunacağı genlik için bir denklem elde ederiz.

Ancak ayrıca şunu da biliyoruz ki, eğer fonksiyon yeterince düzgünse (uzun dalga sınırını alırız) ve atomları birbirine yaklaştırırsak, denklem (14.4) (s. 80) elektronun boşluktaki davranışını yaklaşık olarak tanımlayacaktır. Bu nedenle bir sonraki adım, (19.4)'ün her iki tarafının da çok küçük olduğunu düşünerek kuvvetlerini genişletmektir. Örneğin, eğer öyleyse sağ kısım basitçe eşit olacak yani sıfırıncı yaklaşımda enerji eşittir. Sonra üsler gelecek ama üslerin işaretleri zıt olduğundan sadece çift üsler kalacak. Sonuç olarak, Taylor serisini ve üstel sayıları genişletip terimleri ile toplarsanız elde edersiniz. Şimdi sıfır manyetik alandaki çözümlerin (bkz. Bölüm I, § 3) bir parçacığı tasvir ettiğini hatırlayın. etkili kütle formül tarafından verilen

Eğer daha sonra onu bırakıp geri dönersen o zaman (19.6)'nın (19.3)'ün ilk kısmıyla aynı olduğunu kolayca doğrulayabilirsiniz. (Potansiyel enerji teriminin kökeni iyi bilinmektedir ve buna girmeyeceğim.) Vektör potansiyelinin tüm genlikleri üstel bir faktörle çarptığı ifadesi (19.1), momentum operatörünün yerine , ile değiştirildiği kuralına eşdeğerdir. Schrödinger denkleminde (19.3) yaptığımız gibi.

SCHRÖDINGER DENKLEMİ
VE ÖZEL DURUMLARI (devam): bir parçacığın bir POTANSİYEL BARİYER, Harmonik osilatörden geçişi

Bir parçacığın potansiyel bariyerden geçişi KISIM 1'İN DERS 7'sinde zaten ele aldığımız klasik durum için (bkz. Şekil 7.2). Şimdi toplam enerjisi seviyeden daha az olan bir mikropartikül düşünelim. sen potansiyel bariyer (Şekil 19.1). İÇİNDE klasik versiyon bu durumda parçacığın bariyerden geçişi imkansızdır. Ancak, kuantum fiziği Parçacığın geçme ihtimali var. Üstelik onun "üzerinden atlamayacak", ancak dalga niteliklerini kullanarak sanki "sızacak". Bu nedenle etkiye “tünel” adı da verilmektedir. Her bir alan için ben, II, III hadi yazalım sabit denklem Schrödinger (18.3).

İçin BEN Ve III: , (19.1, a)

İçin II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, burada a = inşaat Daha sonra ve y" = . (19.1a)'da y" yerine şunu verir: Gerekli ortak karar bölge için BEN süperpozisyon olarak yazılacak

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width = "132" height = "32 src = "> . (19.3)

Bu durumda başlangıç ​​noktası dalga yayılımı şu şekilde kaydırılır: L, A İÇİNDE 3 = 0 bölgede olduğundan III sadece geçen bir dalga var.

Bölgede II(19.1b)'deki y"nin (bariyer) ikamesi şunu verir:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.

Geçiş olasılığı karakterize edilir geçiş oranı- iletilen dalganın yoğunluğunun gelen dalganın yoğunluğuna oranı:

(0) = y2"(0) , y2"( L) = y3"( L); (19.5)

bunlardan ilk ikisi bariyerin sol ve sağ sınırlarına fonksiyonların "dikilmesi" anlamına gelirken, üçüncü ve dördüncüsü böyle bir geçişin düzgünlüğü anlamına gelir. y1, y2 ve y3 fonksiyonlarını (19.5)'te yerine koyarak aşağıdaki denklemleri elde ederiz:

Bunları ikiye ayıralım A 1 ve belirtmek A 2=A 2/A 1; B 1=B 1/A 1; A 3=A 3/A 1; B 2=B 2/A 1.

. (19.6)

İlk denklemi (19.6) ile çarpalım. Benk ve ikincisine ekleyin. 2 tane alıyoruz Benk = bir 2(q +Benk)-B 2(Q-Benk) . (19.7)

İkinci denklem çiftini (19.6) bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistem olarak ele alacağız. A 2 ve B 2.

Bu sistemin belirleyicileri:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" genişlik = "319" yükseklik = "32">,

nerede e- qL(q+Benk) 2 » 0, çünkü qL >> 1.

Bu nedenle https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63"> ve karmaşık bir değerin modülünü bulmak için A 3, elde edilen kesrin payını ve paydasını ( ile çarpın) q +Benk)2. Sonrasında basit dönüşümler aldık

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Genellikle AB~ %90 ve “e”den önceki katsayının tamamı bir mertebesindedir. Bu nedenle bir parçacığın bariyerden geçme olasılığı aşağıdaki ilişkiyle belirlenir:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" genişlik = "91" yükseklik = "44">.

Bu şu anlama gelir: e< U parçacık bariyeri, yani tünel etkisini aşamaz. klasik fizik mevcut olmayan.

Bu etki şuralarda kullanılır: mühendislik uygulaması Radyo mühendisliği cihazlarında yaygın olarak kullanılan tünel diyotları oluşturmak için (bkz. BÖLÜM 3, DERS 3).

Ayrıca, başlatmanın mümkün olduğu ortaya çıktı karasal koşullar termonükleer reaksiyon Güneş için normal koşullar altında Güneş'te meydana gelen sentez - bir sıcaklıkta T ~ 109 k. Ancak Dünya'da böyle bir sıcaklık yok. tünel etkisi sıcaklıkta reaksiyonun başlama olasılığı vardır. T ~ 107 k patlama sırasında meydana gelen atom bombası hidrojenin ateşleme cihazıydı. Bu konuda daha fazla bilgiyi kursun bir sonraki bölümünde bulacaksınız.

Harmonik osilatör.Klasik Ayrıca harmonik osilatörü de zaten ele aldık (DERSLER 1,2 BÖLÜM 3). Örneğin, onlar bahar sarkaç toplam enerjisi e = mV 2/2 + kx 2/2. Teorik olarak bu enerji sıfırdan başlayarak sürekli bir dizi değer alabilir.

Kuantum harmonik osilatör, salınan bir harmonik kanunu bulunan mikropartikül Bağlı devlet Bir atomun veya çekirdeğin içinde. Bu durumda potansiyel enerji klasik kalır ve benzer bir elastik geri çağırma kuvvetini karakterize eder. kx. Döngüsel frekansı göz önünde bulundurarak potansiyel enerji için elde ederiz https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)

Matematiksel olarak bu problem öncekilerden çok daha karmaşıktır. Bu nedenle kendimizi sonuçta ne olacağını belirtmekle sınırlayacağız. Tek boyutlu bir kuyu durumunda olduğu gibi, ayrıközfonksiyonların ve özenerjilerin spektrumu ve enerjinin bir özdeğeri, bir dalga fonksiyonuna karşılık gelecektir: Tr sen N(üç boyutlu bir kuyuda olduğu gibi durumların yozlaşması yoktur). Olasılık yoğunluğu |yn|2 de salınımlı bir fonksiyondur, ancak "tümseklerin" yüksekliği farklıdır. Artık önemsiz değil günah2 ve daha egzotik Hermite polinomları Hn(X). Dalga fonksiyonu benziyor

, Nerede İLEN- bağlı olarak N devamlı. Enerji özdeğer spektrumu:

, (19.10)

kuantum sayısı nerede N = 0, 1, 2, 3 ... . Dolayısıyla şu da var" sıfır enerji" üzerinde enerji spektrumu, rafların birbirinden aynı mesafede yerleştirildiği bir "raf" oluşturur (Şekil 19.2). Aynı şekil, her enerji seviyesi için karşılık gelen |yn|2 olasılık yoğunluğunu ve ayrıca potansiyel enerjiyi gösterir. dış alan(noktalı parabol).

Sıfırdan farklı bir minimum olası osilatör enerjisinin varlığı derin anlam. Bu, mikropartiküllerin titreşimlerinin durmadığı anlamına gelir Asla bu da ulaşılamazlık anlamına gelir tamamen sıfır sıcaklık.

1. , Burs fiziği: Bilgisayar destekli ders anlatımı: Proc. öğrencilere yardım daha yüksek ders kitabı kurumlar: 2 ciltte - M .: Yayınevi VLADOS-PRESS, 2001.

Prensip olarak özel bir şey yok, tablolarda ve hatta grafiklerde bulunabilirler.

Parçacığın X ekseni boyunca hareket etmesine izin verin. Bu durumda hareket () parçasıyla sınırlıdır. 0.1). x=0 ve x=l noktalarında aşılmaz sonsuz yükseklikte duvarlar vardır. Bu durumda potansiyel enerji şu şekildedir:

Potansiyel enerjinin x'e bağımlılığına denir potansiyel kuyusu.

Durağan Schrödinger denklemini yazalım

Psi fonksiyonu yalnızca x koordinatına bağlı olduğundan denklem aşağıdaki şekilde basitleştirilir

Potansiyel kuyusunun içinde U=0

Parçacık potansiyel kuyusunun ötesine geçemez. Bu nedenle kuyu dışında bir parçacığın tespit edilme olasılığı sıfırdır. Buna göre deliğin dışındaki psi fonksiyonu sıfıra eşittir. Süreklilik koşulundan ψ'nin kuyunun sınırlarında sıfıra eşit olması gerektiği sonucu çıkar; . Bu, denklemin çözümlerinin karşılaması gereken sınır koşuludur.

Gösterimi tanıtalım

ve salınımlar teorisinden iyi bilinen bir denklem elde ederiz

Böyle bir denklemin çözümü şu şekildedir: harmonik fonksiyon

Karşılık gelen k ve α parametrelerinin seçimi sınır koşulları tarafından belirlenir, yani,

n = 0 elenir çünkü bu durumda ψ = 0 ve parçacık hiçbir yerde değildir. Sonuç olarak, k sayısı yalnızca koşulu karşılayan belirli ayrık değerleri alır. Çok takip ediyor önemli sonuç. Bulacağız özdeğerler parçacık enerjisi

onlar. Bir potansiyel kuyusundaki bir elektronun enerjisi keyfi değildir, ayrık değerler alır; dır-dir nicemlenmiş. E n'nin değeri tamsayıya bağlıdırN 1'den ∞'a kadar bir değer alan ve denir ana kuantum sayısı . Kuantize edilmiş enerji değerlerine denir enerji seviyeleri, ve kuantum sayısı n, enerji seviyesi numarasını belirler. Böylece potansiyel kuyusundaki bir elektron belirli bir E n enerji seviyesinde olabilir. Ayrıca birinci enerji seviyesine karşılık gelen minimum enerji değeri sıfırdan farklıdır.

.

Bitişik enerji seviyeleri arasındaki mesafeyi belirleyelim

Büyük m ve l'de seviyeler arasındaki mesafe küçülür ve spektrum yarı sürekli hale gelir. Seviyeler arasındaki göreceli mesafe

n → ∞ olarak,

yani spektrum sürekli hale gelir. Bu Bohr'un yazışma ilkesi: Büyük kuantum sayıları için kuantum mekaniğinin sonuçları ve sonuçları klasik sonuçlarla uyumlu olmalıdır.

Özfonksiyonların belirlenmesi problemine dönelim. Sınır koşullarını uyguladıktan sonra elimizdeki

A katsayısını bulmak için normalleştirme koşulunu kullanırız

İntegralin değeri ben /2.

Böylece, özfonksiyonlar şu şekle sahiptir:

Özfonksiyonların grafikleri şuna benzer:

Son olarak formüle edelim ana sonuçlar:

1. Potansiyel kuyusundaki bir parçacığın enerji spektrumu ayrıktır; enerji kuantize edilmiştir.

2. En az değer kinetik enerji sıfıra eşit olamaz.

3. Ayrık doğa enerji seviyeleri düşük görünüyor M,ben Ve N genel olarak M,ben,N hareket klasik hale gelir.

4. Bir mikropartikülün kuyudaki konumları eşit derecede olası değildir ancak kendi fonksiyonları tarafından belirlenir, klasik bir parçacık durumunda ise tüm konumlar eşit derecede olasıdır.

Kendini kontrol etmeye yönelik sorular:

1. Bir parçacığın belirli bir noktada bulunma olasılığı nasıl belirlenir?

2. Potansiyel kuyuya ne denir?

3. Schrödinger denkleminin anlamı nedir? Schrödinger denklemi neyi bulmamızı sağlar?

4. psi fonksiyonuna hangi koşullar uygulanıyor?

5. Baş kuantum sayısının fiziksel anlamı nedir?

6. Kuantum mekaniği neden istatistiksel bir teoridir?

7. Bohr'un yazışma ilkesi nedir?

Parçacıklar için kuantum dünyası klasik mekaniğin nesneleri için geçerli olanların dışındaki yasalar geçerlidir. De Broglie'nin varsayımına göre, mikro nesneler hem parçacık hem de dalga özelliklerine sahiptir ve aslında bir elektron ışını bir deliğe saçıldığında, dalgaların kırınım özelliği gözlemlenir.

Bu nedenle hareketten bahsedemeyiz. kuantum parçacıkları, ancak parçacığın orada olma olasılığı hakkında belirli nokta zamanın bir noktasında.

Schrödinger denklemi neyi tanımlar?

Schrödinger denklemi, kuantum nesnelerinin alanlardaki hareketinin özelliklerini tanımlamayı amaçlamaktadır. dış kuvvetler. Çoğunlukla bir parçacık zamana bağlı olmayan bir kuvvet alanı boyunca hareket eder. Bu durum için durağan Schrödinger denklemi şöyle yazılır:

Sunulan denklemde m ve E, buna göre bir kuvvet alanında bulunan parçacığın enerjisidir ve U bu alandır. — Laplace operatörü. — Planck sabiti 6,626±10 -34 J s'ye eşittir.

(olasılık genliği veya psi fonksiyonu da denir) - bu, mikro nesnemizin büyük olasılıkla uzayda hangi yere yerleştirileceğini bulmamızı sağlayan bir fonksiyondur. Fiziksel anlamı olan fonksiyonun kendisi değil, karesidir. Bir parçacığın temel hacimde olma olasılığı:

Bu nedenle, sonlu bir hacimde aşağıdaki olasılıkla bir fonksiyon bulunabilir:

Psi fonksiyonu bir olasılık olduğundan ikisi de olamaz Sıfırdan daha az ve birini aşamaz. Toplam olasılık Sonsuz hacimde bir parçacık bulmak bir normalleştirme koşuludur:

Süperpozisyon ilkesi psi fonksiyonu için işe yarar: Eğer bir parçacık veya sistem birden fazla kuantum durumunda olabiliyorsa, o zaman bunların toplamına göre belirlenen bir durum da onun için mümkündür:

Durağan Schrödinger denkleminin birçok çözümü vardır, ancak çözerken dikkate alınmalıdır. sınır koşulları ve yalnızca seç kendi çözümleri- Sahip olanlar fiziksel anlam. Bu tür çözümler yalnızca bireysel değerler Parçacığın ayrık enerji spektrumunu oluşturan E parçacığının enerjisi.

Problem çözme örnekleri

ÖRNEK 1

ÖRNEK 2