Bugün arkadaşlar, sümük ve duygusallık olmayacak. Bunun yerine, daha fazla uzatmadan, sizi en iyilerinden biriyle savaşa göndereceğim. zorlu rakipler 8-9. sınıflarda cebir dersinde.

Evet, her şeyi doğru anladınız: modüllü eşitsizliklerden bahsediyoruz. Bu problemlerin yaklaşık %90'ını çözmeyi öğreneceğiniz dört temel tekniğe bakacağız. Peki ya diğer %10? Neyse, onları ayrı bir derste konuşuruz. :)

Ancak, oradaki herhangi bir numarayı analiz etmeden önce, zaten bilmeniz gereken iki gerçeği hatırlatmak istiyorum. Aksi takdirde, bugünün dersinin içeriğini hiç anlamama riskiyle karşı karşıya kalırsınız.

Zaten bilmeniz gerekenler

Captain Evidence, olduğu gibi, bir modül ile eşitsizlikleri çözmek için iki şeyi bilmeniz gerektiğini ima ediyor:

1. Eşitsizlikler nasıl çözülür?
2. Modül nedir?

İkinci nokta ile başlayalım.

Modül Tanımı

Burada her şey basit. İki tanım vardır: cebirsel ve grafik. Cebir ile başlayalım:

Tanım. $x$ sayısının modülü, negatif değilse sayının kendisidir veya orijinal $x$ hala negatifse, karşısındaki sayıdır.

Şöyle yazılır:

\[\sol| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

konuşmak sade dil, modül "eksi olmayan bir sayıdır". Ve bu dualitede (orijinal sayıyla hiçbir şey yapmanıza gerek olmayan bir yerde, ancak bir yerde orada bazı eksileri kaldırmanız gerekiyor) ve acemi öğrenciler için tüm zorluklar yatıyor.

Bir de geometrik tanımı var. Bunu bilmek de yararlıdır, ancak ona yalnızca geometrik yaklaşımın cebirsel olandan daha uygun olduğu karmaşık ve bazı özel durumlarda atıfta bulunacağız (spoiler: bugün değil).

Tanım. Gerçek doğru üzerinde $a$ noktası işaretlensin. Ardından $\left| modülü x-a \right|$, bu doğru üzerinde $x$ noktasından $a$ noktasına olan mesafedir.

Bir resim çizerseniz, şöyle bir şey elde edersiniz:

Öyle ya da böyle, anahtar özelliği modülün tanımından hemen sonra gelir: bir sayının modülü her zaman negatif olmayan bir değerdir. Bu gerçek, bugünkü hikayemizin tamamı boyunca uzanan kırmızı bir iplik olacak.

Eşitsizliklerin çözümü. Aralık yöntemi

Şimdi eşitsizliklerle ilgilenelim. Birçoğu var, ama şimdi görevimiz en azından en basitini çözebilmek. aşağı gelenler doğrusal eşitsizlikler, yanı sıra aralıklar yöntemine.

Bu konuda iki büyük dersim var (bu arada, çok, ÇOK faydalı - çalışmanızı tavsiye ederim):

1. Eşitsizlikler için aralık yöntemi (özellikle videoyu izleyin);
2. Kesirli rasyonel eşitsizlikler çok hacimli ders, ancak ondan sonra hiçbir sorunuz olmayacak.

Tüm bunları biliyorsanız, "eşitsizlikten denkleme geçelim" ifadesi sizde belli belirsiz kendinizi duvara karşı öldürmek istemiyorsa, o zaman hazırsınız: cehenneme, dersin ana konusuna hoş geldiniz. :)

1. "Modül küçük fonksiyon" formundaki eşitsizlikler

Bu, modüllerle en sık karşılaşılan görevlerden biridir. Formun bir eşitsizliğini çözmek için gereklidir:

\[\sol| f\sağ| \ltg\]

Herhangi bir şey $f$ ve $g$ işlevleri olarak işlev görebilir, ancak bunlar genellikle polinomlardır. Bu tür eşitsizliklere örnekler:

\[\begin(hizala) & \left| 2x+3\sağ| \ltx+7; \\ & \sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ|+3\left(x+1 \sağ) \lt 0; \\ & \sol| ((x)^(2)-2\sol| x \sağ|-3 \sağ| \lt 2. \\\end(hizala)\]

Hepsi tam anlamıyla şemaya göre tek bir satırda çözüldü:

\[\sol| f\sağ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(hizalayın) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(hizalayın) \doğru doğru)\]

Modülden kurtulduğumuzu görmek kolaydır, ancak bunun yerine çifte bir eşitsizlik (veya aynı şey olan iki eşitsizlikten oluşan bir sistem) elde ederiz. Ancak bu geçiş kesinlikle her şeyi hesaba katıyor olası problemler: modülün altındaki sayı pozitif ise yöntem çalışır; negatifse, yine de çalışır; ve $f$ veya $g$ yerine en yetersiz işlevle bile yöntem yine de çalışacaktır.

Doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: daha kolay değil mi? Maalesef yapamazsın. Bu, modülün tüm noktasıdır.

Ama bu kadar felsefe yapma yeter. Birkaç problem çözelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| 2x+3\sağ| \ltx+7\]

Çözüm. Dolayısıyla, "modül küçüktür" biçiminde klasik bir eşitsizliğimiz var - dönüştürülecek hiçbir şey bile yok. Algoritmaya göre çalışıyoruz:

\[\begin(hizala) & \left| f\sağ| \lt g\Sağ ok -g \lt f \lt g; \\ & \sol| 2x+3\sağ| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(hizala)\]

Önünde "eksi" olan köşeli parantezleri açmak için acele etmeyin: aceleniz nedeniyle bir hücum hatası yapmanız oldukça olasıdır.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(hizala) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(hizala) \sağ.\]

\[\left\( \begin(hizala) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(hizala) \sağ.\]

\[\left\( \begin(hizala) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(hizala) \sağ.\]

Problem iki temel eşitsizliğe indirgenmiştir. Çözümlerini paralel gerçek çizgiler üzerinde not ediyoruz:

Birçok kavşak

Bu kümelerin kesişimi cevap olacaktır.

Yanıt: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \sağ)$

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ|+3\left(x+1 \sağ) \lt 0\]

Çözüm. Bu görev biraz daha zor. Başlamak için, ikinci terimi sağa kaydırarak modülü izole ediyoruz:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \lt -3\left(x+1 \sağ)\]

Açıkçası, yine “modül daha az” şeklinde bir eşitsizliğimiz var, bu yüzden zaten bilinen algoritmaya göre modülden kurtuluyoruz:

\[-\left(-3\left(x+1 \sağ) \sağ) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \sağ)\]

Şimdi dikkat: Biri benim bu parantezlerle biraz sapık olduğumu söyleyecek. Ama bir kez daha hatırlatıyorum ki asıl amacımız eşitsizliği doğru çöz ve cevabı al. Daha sonra, bu derste açıklanan her şeye mükemmel bir şekilde hakim olduğunuzda, kendinizi istediğiniz gibi saptırabilirsiniz: parantezleri açın, eksileri ekleyin, vb.

Ve yeni başlayanlar için, soldaki çift eksiden kurtuluyoruz:

\[-\left(-3\left(x+1 \sağ) \sağ)=\left(-1 \sağ)\cdot \left(-3 \sağ)\cdot \left(x+1 \sağ) =3\sol(x+1\sağ)\]

Şimdi ikili eşitsizlikteki tüm parantezleri açalım:

Çift eşitsizliğe geçelim. Bu sefer hesaplamalar daha ciddi olacak:

\[\left\( \begin(hizala) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(hizala) \sağ.\]

\[\left\( \begin(hizala) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( hizala)\sağa.\]

Her iki eşitsizlik de karedir ve aralık yöntemiyle çözülür (bu yüzden söylüyorum: ne olduğunu bilmiyorsanız, henüz modülleri almamak daha iyidir). İlk eşitsizlikteki denkleme geçiyoruz:

\[\begin(hizala) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \sağ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\bit(hizala)\]

Gördüğünüz gibi, çıktının temel olarak çözülen tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklem olduğu ortaya çıktı. Şimdi sistemin ikinci eşitsizliği ile ilgilenelim. Orada Vieta teoremini uygulamanız gerekir:

\[\begin(hizala) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \sağ)\left(x+2 \sağ)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\bit(hizala)\]

Elde edilen sayıları iki paralel çizgi üzerinde işaretliyoruz (ilk eşitsizlik için ayrı, ikincisi için ayrı):

Yine, bir eşitsizlik sistemini çözdüğümüz için, gölgeli kümelerin kesişimiyle ilgileniyoruz: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Cevap bu.

Yanıt: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Bence bu örneklerden sonra çözüm şeması çok net:

1. Diğer tüm terimleri şuraya taşıyarak modülü yalıtın: karşı taraf eşitsizlikler Böylece $\left| şeklinde bir eşitsizlik elde ederiz. f\sağ| \ltg$.
2. Yukarıda açıklandığı gibi modülden kurtularak bu eşitsizliği çözün. Bir noktada ikili eşitsizlikten ikili sisteme geçmek gerekecek. bağımsız ifadeler, her biri zaten ayrı ayrı çözülebilir.
3. Son olarak, sadece bu iki bağımsız ifadenin çözümlerini geçmek kalır - ve bu kadar, nihai cevabı alacağız.

Eşitsizlikler için benzer bir algoritma mevcuttur. sonraki tip modül ne zaman daha fazla işlev. Ancak, birkaç ciddi "ama" var. Şimdi bu “ama”lardan bahsedeceğiz.

2. "Modül fonksiyondan büyüktür" şeklindeki eşitsizlikler

Şöyle görünüyorlar:

\[\sol| f\sağ| \gitmeliyim\]

Bir öncekine benzer mi? Anlaşılan. Bununla birlikte, bu tür görevler tamamen farklı bir şekilde çözülür. Resmi olarak, şema aşağıdaki gibidir:

\[\sol| f\sağ| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(hizala) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(hizala) \sağ.\]

Başka bir deyişle, iki durumu ele alıyoruz:

1. İlk olarak, modülü görmezden geliyoruz - olağan eşitsizliği çözüyoruz;
2. Sonra aslında eksi işaretiyle modülü açıyoruz ve ardından eşitsizliğin her iki tarafını da -1 ile bir işaretle çarpıyoruz.

Seçenekler birleştirildi köşeli ayraç, yani İki şartın bir kombinasyonuna sahibiz.

Tekrar dikkat edin: önümüzde bir sistem değil, bir toplam var, bu nedenle cevapta kümeler kesişmez, birleştirilir. Bu temel farkönceki noktadan!

Genel olarak, birçok öğrencinin birleşimler ve kesişmelerle ilgili çok fazla kafası karışır, bu yüzden bu konuya bir kez ve son olarak bakalım:

• "∪" bir birleştirme işaretidir. Aslında bu, bize gelen stilize bir "U" harfidir. İngilizce ve "Birlik"in kısaltmasıdır, yani "Dernekler".
• "∩" kesişme işaretidir. Bu saçmalık herhangi bir yerden gelmedi, sadece "∪" karşıtlığı olarak ortaya çıktı.

Hatırlamayı daha da kolaylaştırmak için, gözlük yapmak için bu işaretlere bacak ekleyin (şimdi beni uyuşturucu bağımlılığını ve alkolizmi teşvik etmekle suçlamayın: bu dersi ciddi bir şekilde çalışıyorsanız, o zaman zaten bir uyuşturucu bağımlısısınız):

Rusçaya çevrildiğinde, bu şu anlama gelir: birlik (koleksiyon), her iki kümeden de öğeler içerir, bu nedenle, her birinden daha az olamaz; ancak kesişme (sistem) yalnızca hem birinci kümede hem de ikinci kümede bulunan öğeleri içerir. Bu nedenle, kümelerin kesişimi asla kaynak kümelerden daha büyük değildir.

Yani daha netleşti mi? Bu harika. Uygulamaya geçelim.

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\]

Çözüm. Şemaya göre hareket ediyoruz:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(hizala) \ Sağ.\]

Her nüfus eşitsizliğini çözüyoruz:

\[\left[ \begin(hizala) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(hizala) \sağ.\]

\[\left[ \begin(hizala) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(hizala) \sağ.\]

\[\left[ \begin(hizala) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(hizala) \sağ.\]

Ortaya çıkan her kümeyi sayı satırında işaretleriz ve sonra bunları birleştiririz:

kümeler birliği

Açıkçası cevap $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ şeklindedir.

Cevap: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gtx\]

Çözüm. Kuyu? Hayır, hepsi aynı. Katsayılı bir eşitsizlikten iki eşitsizliğe geçiyoruz:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(hizala) \sağ.\]

Her eşitsizliği çözeriz. Ne yazık ki, kökler orada pek iyi olmayacak:

\[\begin(hizala) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\bit(hizala)\]

İkinci eşitsizlikte de biraz oyun var:

\[\begin(hizala) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\bit(hizala)\]

Şimdi bu sayıları iki eksende işaretlememiz gerekiyor - her eşitsizlik için bir eksen. Ancak, noktaları doğru sırayla işaretlemeniz gerekir: sayı ne kadar büyükse, nokta o kadar sağa kayar.

Ve burada bir kurulum bekliyoruz. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (birincinin payındaki terimler) sayılarıyla her şey açıksa $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) sayılarıyla, kesir saniyenin payındaki terimlerden küçüktür, dolayısıyla toplam da daha küçüktür (21)(2)$ de zorluk olmayacak (pozitif bir sayı açıkça daha negatif), ancak son çiftle her şey o kadar basit değil. Hangisi daha büyük: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ veya $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Sayı doğrularındaki noktaların düzenlenmesi ve aslında cevap bu sorunun cevabına bağlı olacaktır.

Öyleyse karşılaştıralım:

\[\begin(matris) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matris)\]

Kökü izole ettik, eşitsizliğin her iki tarafında negatif olmayan sayılar elde ettik, yani her iki tarafın karesini alma hakkımız var:

\[\begin(matris) ((\left(2+\sqrt(13) \sağ))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \sağ))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matris)\]

Bence $4\sqrt(13) \gt 3$, dolayısıyla $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, son olarak eksenlerdeki noktalar şu şekilde düzenlenecektir:

Çirkin kök vakası

Size bir kümeyi çözdüğümüzü hatırlatmama izin verin, yani cevap gölgeli kümelerin kesişimi değil, birleşim olacaktır.

Cevap: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty\sağ)$

Gördüğünüz gibi, planımız her ikisi için de harika çalışıyor basit görevler ve çok katı olanlar için. Sadece bir şey " zayıflık» bu yaklaşımda - ir'yi doğru bir şekilde karşılaştırmanız gerekir rasyonel sayılar(ve inan bana: sadece kökler değil). Ancak karşılaştırma sorularına ayrı (ve çok ciddi bir ders) ayrılacaktır. Ve devam ediyoruz.

3. Negatif olmayan "kuyruk" içeren eşitsizlikler

Böylece en ilginç olana geldik. Bunlar formun eşitsizlikleridir:

\[\sol| f\sağ| \gt\sol| g\sağ|\]

Genel olarak, şimdi bahsedeceğimiz algoritma sadece modül için geçerlidir. Solda ve sağda negatif olmayan garantili ifadelerin olduğu tüm eşitsizliklerde çalışır:

Bu görevlerle ne yapmalı? Sadece hatırlıyorum:

Negatif olmayan kuyruklu eşitsizliklerde, her iki taraf da herhangi bir değere yükseltilebilir. doğal derece. Ek kısıtlamalar olmayacaktır.

Her şeyden önce, kare alma ile ilgileneceğiz - modülleri ve kökleri yakar:

\[\begin(hizala) & ((\left(\left| f \sağ| \sağ))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \sağ))^(2))=f. \\\bit(hizala)\]

Sadece bunu karenin kökünü almakla karıştırmayın:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\sol| f \sağ|\ne f\]

Bir öğrenci bir modülü kurmayı unuttuğunda sayısız hata yapılmıştır! Ama bu tamamen farklı bir hikaye (sanki irrasyonel denklemler), bu yüzden şimdi buna girmeyeceğiz. Birkaç sorunu daha iyi çözelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| x+2 \sağ|\ge \sol| 1-2x \sağ|\]

Çözüm. İki şeyi hemen fark ederiz:

1. Bu katı olmayan bir eşitsizliktir. Sayı doğrusu üzerindeki noktalar silinecektir.
2. Eşitsizliğin her iki tarafı da açıkça negatif değildir (bu, modülün bir özelliğidir: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Bu nedenle, modülden kurtulmak ve sorunu olağan aralık yöntemini kullanarak çözmek için eşitsizliğin her iki tarafının karesini alabiliriz:

\[\begin(hizala) & ((\left(\left| x+2 \sağ| \sağ))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \sağ| \sağ) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \sağ))^(2))\ge ((\left(2x-1 \sağ))^(2))). \\\bit(hizala)\]

Son adımda biraz hile yaptım: Modülün paritesini kullanarak terimlerin sırasını değiştirdim (aslında $1-2x$ ifadesini -1 ile çarptım).

\[\begin(hizala) & ((\left(2x-1 \sağ))^(2))-((\left(x+2 \sağ))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \sağ)-\left(x+2 \sağ) \sağ)\cdot \left(\left(2x-1 \sağ)+\left(x+2 \ sağ)\sağ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \sağ)\cdot \left(2x-1+x+2 \sağ)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(hizala)\]

Aralık yöntemiyle çözüyoruz. Eşitsizlikten denkleme geçelim:

\[\begin(hizala) & \left(x-3 \sağ)\left(3x+1 \sağ)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\bit(hizala)\]

Bulunan kökleri sayı doğrusu üzerinde işaretliyoruz. Bir kez daha: orijinal eşitsizlik kesin olmadığı için tüm noktalar gölgeli!

Modül işaretinden kurtulma

Özellikle inatçı olanlar için hatırlatayım: denkleme geçmeden önce yazılan son eşitsizliğin işaretlerini alıyoruz. Ve aynı eşitsizlikte gerekli alanları boyarız. Bizim durumumuzda, bu $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$'dır.

Tamam, şimdi her şey bitti. Sorun çözüldü.

Yanıt: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \sağ]$.

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+x+1 \sağ|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \sağ|\]

Çözüm. Her şeyi aynı yapıyoruz. Yorum yapmayacağım - sadece eylem sırasına bakın.

Karesini alalım:

\[\begin(hizala) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \sağ| \sağ))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \sağ| \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4) \sağ)^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ sağ)^(2)\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \sağ)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \sağ)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \sağ)\left(2((x)^(2))+4x+5 \sağ)\le 0. \\\end(hizala)\]

Aralık yöntemi:

\[\begin(hizala) & \left(-2x-3 \sağ)\left(2((x)^(2))+4x+5 \sağ)=0 \\ & -2x-3=0\ Sağ ok x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Sayı doğrusunda yalnızca bir kök vardır:

Cevap tam bir aralıktır

Yanıt: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

hakkında küçük bir not Son görev. Öğrencilerimden birinin doğru bir şekilde belirttiği gibi, bu eşitsizlikteki her iki alt modül ifadesi de açıkça pozitiftir, bu nedenle sağlığa zarar vermeden katsayı işareti atılabilir.

Ancak bu zaten tamamen farklı bir düşünme düzeyi ve farklı bir yaklaşımdır - şartlı olarak sonuç yöntemi olarak adlandırılabilir. Onun hakkında - ayrı bir derste. Şimdi bugünkü dersin son bölümüne geçelim ve her zaman çalışan evrensel bir algoritmayı ele alalım. Önceki tüm yaklaşımlar güçsüz olsa bile. :)

4. Seçenekleri numaralandırma yöntemi

Ya tüm bu hileler işe yaramazsa? Eşitsizlik negatif olmayan kuyruklara indirgenmiyorsa, modülü izole etmek imkansızsa, hiç değilse acı-üzüntü-özlem?

Sonra tüm matematiğin "ağır topları" sahneye girer - numaralandırma yöntemi. Modül ile eşitsizliklerle ilgili olarak, şöyle görünür:

1. Tüm alt modül ifadelerini yazın ve sıfıra eşitleyin;
2. Ortaya çıkan denklemleri çözün ve bulunan kökleri bir sayı doğrusu üzerinde işaretleyin;
3. Düz çizgi, her modülün sabit bir işarete sahip olduğu ve bu nedenle açık bir şekilde genişlediği birkaç bölüme ayrılacaktır;
4. Eşitsizliği bu tür bölümlerin her birinde çözün (güvenilirlik için 2. paragrafta elde edilen sınır köklerini ayrı ayrı düşünebilirsiniz). Sonuçları birleştirin - cevap bu olacak. :)

Peki nasıl? Zayıf? Kolayca! Sadece uzun bir süre için. Uygulamada görelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| x+2 \sağ| \lt\sol| x-1 \sağ|+x-\frac(3)(2)\]

Çözüm. Bu zırvalık, $\left| gibi eşitsizliklere indirgenemez. f\sağ| \lt g$, $\sol| f\sağ| \gt g$ veya $\left| f\sağ| \lt\sol| g \right|$, öyleyse devam edelim.

Alt modül ifadelerini yazıyoruz, sıfıra eşitliyoruz ve kökleri buluyoruz:

\[\begin(hizala) & x+2=0\Sağ ok x=-2; \\ & x-1=0\Sağ ok x=1. \\\bit(hizala)\]

Toplamda, sayı doğrusunu içinde her bir modülün benzersiz bir şekilde ortaya çıktığı üç bölüme ayıran iki kökümüz var:

Sayı doğrusunu alt modüler fonksiyonların sıfırlarına bölme

Her bölümü ayrı ayrı ele alalım.

1. $x \lt -2$ olsun. Daha sonra her iki alt modül ifadesi de negatiftir ve orijinal eşitsizlik aşağıdaki gibi yeniden yazılır:

\[\begin(hizala) & -\left(x+2 \sağ) \lt -\left(x-1 \sağ)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(hizala)\]

Oldukça basit bir kısıtlamamız var. $x \lt -2$ şeklindeki orijinal varsayımla kesiştirelim:

\[\left\( \begin(hizala) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(hizala) \sağ.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Açıkçası, $x$ değişkeni aynı anda -2'den küçük ama 1,5'tan büyük olamaz. Bu alanda herhangi bir çözüm bulunmamaktadır.

1.1. Sınır durumunu ayrı ayrı ele alalım: $x=-2$. Bu sayıyı orijinal eşitsizlikte yerine koyalım ve kontrol edelim: tutuyor mu?

\[\begin(hizala) & ((\left. \left| x+2 \sağ| \lt \left| x-1 \sağ|+x-1,5 \sağ|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \sol| -3 \sağ|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Sağ ok \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Açıkçası, hesaplamalar zinciri bizi yanlış eşitsizliğe götürdü. Bu nedenle, orijinal eşitsizlik de yanlıştır ve cevaba $x=-2$ dahil değildir.

2. Şimdi $-2 \lt x \lt 1$ olsun. Sol modül zaten bir "artı" ile açılacak, ancak sağdaki hala bir "eksi" ile. Sahibiz:

\[\begin(hizala) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\bit(hizala)\]

Yine orijinal gereksinimle kesişiyoruz:

\[\left\( \begin(hizala) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(hizala) \sağ.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Hem -2,5'ten küçük hem de -2'den büyük sayılar olmadığından, yine boş çözümler kümesi.

2.1. Ve yeniden özel durum: $x=1$. Orijinal eşitsizliği yerine koyarız:

\[\begin(hizala) & ((\left. \left| x+2 \sağ| \lt \left| x-1 \sağ|+x-1,5 \sağ|)_(x=1)) \\ & \sol| 3\sağ| \lt\sol| 0 \sağ|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Önceki "özel durum"a benzer şekilde, $x=1$ sayısı yanıtta açıkça yer almamaktadır.

3. Satırın son parçası: $x \gt 1$. Burada tüm modüller artı işaretiyle genişletilir:

\[\begin(hizalama) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(hizalama)\ ]

Ve yine bulunan kümeyi orijinal kısıtla kesiştiriyoruz:

\[\left\( \begin(hizala) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(hizala) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \Sağ)\]

Nihayet! Cevabı verecek olan aralığı bulduk.

Cevap: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Son olarak, gerçek problemleri çözerken sizi aptalca hatalardan kurtarabilecek bir not:

Eşitsizliklerin modüllerle çözümleri genellikle sayı doğrusu üzerinde sürekli kümeler - aralıklar ve segmentlerdir. Çok daha az yaygın izole noktalar. Ve daha da nadiren, çözümün sınırları (segmentin sonu) söz konusu aralığın sınırıyla çakışır.

Bu nedenle, eğer sınırlar (o çok “özel durumlar”) cevaba dahil edilmezse, bu sınırların sağındaki ve solundaki alanlar da neredeyse kesin olarak cevaba dahil edilmeyecektir. Ve tam tersi: yanıt olarak girilen sınır, bu, etrafındaki bazı alanların da yanıt olacağı anlamına gelir.

Çözümlerinizi kontrol ederken bunu aklınızda bulundurun.

modulo numarası bu sayının kendisi negatif değilse, aynı sayı negatif ise zıt işaretli olarak adlandırılır.

Örneğin, 6'nın modülü 6'dır ve -6'nın modülü de 6'dır.

Yani, bir sayının modülü mutlak bir değer olarak anlaşılır, mutlak değer bu sayı, işareti ne olursa olsun.

Şu şekilde gösterilir: |6|, | X|, |A| vesaire.

(Daha fazla ayrıntı için "Sayı Modülü" bölümüne bakın).

Modulo Denklemleri.

örnek 1 . denklemi çözün|10 X - 5| = 15.

Çözüm.

Kurala göre, denklem iki denklemin kombinasyonuna eşdeğerdir:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

karar veriyoruz:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Cevap: X 1 = 2, X 2 = -1.

Örnek 2 . denklemi çözün|2 X + 1| = X + 2.

Çözüm.

Modül negatif olmayan bir sayı olduğundan, o zaman X+ 2 ≥ 0. Buna göre:

X ≥ -2.

İki denklem kuruyoruz:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

karar veriyoruz:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Her iki sayı da -2'den büyüktür. Yani her ikisi de denklemin kökleridir.

Cevap: X 1 = -1, X 2 = 1.

Örnek 3 . denklemi çözün

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Çözüm.

Payda değilse denklem mantıklıdır sıfır- eğer demek X≠ 1. Bu durumu dikkate alalım. İlk eylemimiz basit - sadece kesirden kurtulmakla kalmıyoruz, aynı zamanda modülü en saf haliyle elde edecek şekilde dönüştürüyoruz:

|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Şimdi sadece denklemin sol tarafında modülün altındaki ifadeye sahibiz. Devam etmek.
Bir sayının modülü negatif olmayan bir sayıdır - yani, olması gerekir Sıfırın üstünde veya sıfıra eşittir. Buna göre eşitsizliği çözüyoruz:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Böylece ikinci bir şartımız var: denklemin kökü en az 3/4 olmalıdır.

Kurala uygun olarak, iki denklem seti oluşturur ve çözeriz:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

İki yanıt aldık. Bunların orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.

İki şartımız vardı: Denklemin kökü 1 olamaz ve en az 3/4 olmalıdır. Yani X ≠ 1, X≥ 3/4. Bu koşulların her ikisi de alınan iki yanıttan yalnızca birine karşılık gelir - 2 sayısı. Bu nedenle, yalnızca orijinal denklemin köküdür.

Cevap: X = 2.

Modül ile eşitsizlikler.

örnek 1 . eşitsizliği çöz| X - 3| < 4

Çözüm.

Modül kuralı diyor ki:

|A| = A, Eğer A ≥ 0.

|A| = -A, Eğer A < 0.

Modül hem negatif olmayan hem de negatif bir sayıya sahip olabilir. Bu nedenle, her iki durumu da dikkate almalıyız: X- 3 ≥ 0 ve X - 3 < 0.

1) Ne zaman X- 3 ≥ 0 orijinal eşitsizliğimiz olduğu gibi kalır, sadece modulo işareti olmadan:
X - 3 < 4.

2) Ne zaman X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Parantezleri açarak şunu elde ederiz:

-X + 3 < 4.

Böylece, bu iki koşuldan iki eşitsizlik sisteminin birleşimine geldik:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Onları çözelim:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Yani, cevabımızda iki kümenin birleşimine sahibiz:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

En küçüğü belirliyoruz ve en büyük değer. Bunlar -1 ve 7'dir. Aynı anda X-1'den büyük ama 7'den küçük.
Ayrıca, X≥ 3. Dolayısıyla, eşitsizliğin çözümü, bu aşırı sayılar hariç, -1'den 7'ye kadar olan tüm sayı kümesidir.

Cevap: -1 < X < 7.

Veya: X ∈ (-1; 7).

eklentiler.

1) Eşitsizliği çözmenin daha basit ve daha kısa bir yolu var - grafiksel. Bunu yapmak için yatay bir eksen çizin (Şek. 1).

İfade | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X 3'e kadar dört birimden az. Eksen üzerinde 3 rakamını işaretliyoruz ve onun soluna ve sağına 4 bölme sayıyoruz. Solda -1 noktasına, sağda - 7 noktasına geleceğiz. X onları hesaplamadan sadece gördük.

Ayrıca, eşitsizlik koşuluna göre -1 ve 7'nin kendisi de çözüm kümesine dahil değildir. Böylece, cevabı alırız:

1 < X < 7.

2) Ancak grafik yoldan daha basit olan başka bir çözüm daha var. Bunu yapmak için, eşitsizliğimiz aşağıdaki biçimde sunulmalıdır:

4 < X - 3 < 4.

Sonuçta modülün kuralına göre bu böyle. Negatif olmayan 4 sayısı ve benzer negatif sayı -4, eşitsizliğin çözümünün sınırlarıdır.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Örnek 2 . eşitsizliği çöz| X - 2| ≥ 5

Çözüm.

Bu örnek öncekinden önemli ölçüde farklıdır. Sol taraf 5'ten büyük veya 5'e eşit. C geometrik nokta Görünüşe göre eşitsizliğin çözümü, 2 noktasından 5 birim veya daha fazla uzaklıkta olan tüm sayılardır (Şekil 2). Grafik, bunların hepsinin -3'ten küçük veya ona eşit ve 7'den büyük veya ona eşit sayılar olduğunu gösteriyor. Yani, cevabı zaten aldık.

Cevap: -3 ≥ X ≥ 7.

Yol boyunca aynı eşitsizliği permütasyon yöntemiyle çözüyoruz Ücretsiz Üye zıt işaretli sol ve sağ:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Cevap aynı: -3 ≥ X ≥ 7.

Veya: X ∈ [-3; 7]

Örnek çözüldü.

Örnek 3 . eşitsizliği çöz 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Çözüm.

Sayı X pozitif, negatif veya sıfır olabilir. Bu nedenle, üç durumu da dikkate almamız gerekiyor. Bildiğiniz gibi, iki eşitsizlikte dikkate alınırlar: X≥ 0 ve X < 0. При X≥ 0, orijinal eşitsizliğimizi olduğu gibi, yalnızca modulo işareti olmadan yeniden yazarız:

6x2 - X - 2 ≤ 0.

Şimdi ikinci durum için: eğer X < 0. Модулем negatif sayı zıt işaretli aynı sayıdır. Yani modülün altına ters işaretli sayıyı yazıp yine modül işaretinden kurtuluyoruz:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Köşeli parantezleri genişletmek:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Böylece, iki denklem sistemi elde ettik:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Sistemlerdeki eşitsizlikleri çözmemiz gerekiyor - bu da ikisinin köklerini bulmamız gerektiği anlamına geliyor. ikinci dereceden denklemler. Bunu yapmak için eşitsizliklerin sol taraflarını sıfıra eşitliyoruz.

İlkinden başlayalım:

6X 2 - X - 2 = 0.

İkinci dereceden bir denklem nasıl çözülür - "Kuadrik Denklem" bölümüne bakın. Cevabı hemen adlandıracağız:

X 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

İlk eşitsizlik sisteminden, orijinal eşitsizliğin çözümünün -1/2'den 2/3'e kadar tüm sayılar kümesi olduğunu anlıyoruz. Çözüm birliği için yazıyoruz. X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Şimdi ikinci dereceden denklemi çözelim:

6X 2 + X - 2 = 0.

Kökleri:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Sonuç: ne zaman X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

İki cevabı birleştirelim ve son cevabı bulalım: çözüm, bu aşırı sayılar da dahil olmak üzere -2/3'ten 2/3'e kadar olan tüm sayılar kümesidir.

Cevap: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Veya: X ∈ [-2/3; 2/3].

Bu çevrimiçi matematik hesap makinesi size yardımcı olacaktır bir denklemi veya eşitsizliği modüllerle çözme. için program modüllerle denklem ve eşitsizlikleri çözme sorunun cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda açıklamalarla ayrıntılı çözüm, yani sonucu alma sürecini gösterir.

Bu program lise öğrencileri için faydalı olabilir genel eğitim okulları hazırlık aşamasında kontrol işi ve sınavlar, sınav öncesi bilgiyi test ederken, ebeveynler matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol eder. Ya da belki bir öğretmen tutmak veya yeni ders kitapları almak sizin için çok pahalı? Yoksa bir an önce halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematik mi cebir mi? Bu durumda detaylı çözümlü programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede kendi antrenmanınızı ve/veya kendi antrenmanınızı yapabilirsiniz. küçük kardeşler veya kız kardeşler, çözülmekte olan görevler alanında ise eğitim seviyesi yükselmektedir.

Modüllerle denklem veya eşitsizliği girin

Bu görevi çözmek için gereken bazı komut dosyalarının yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği bulundu.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda, devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye sonra çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görev olduğunu belirt ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, öykünücülerimiz:

Biraz teori.

Modüllü Denklemler ve Eşitsizlikler

Temel okul cebir dersinde, en basit denklemleri ve eşitsizlikleri modüller ile karşılayabilirsiniz. Bunları çözmek için başvurulabilir geometrik yöntem, \(|x-a| \)'nin sayı doğrusu üzerinde x ve a noktaları arasındaki mesafe olduğu gerçeğine dayanarak: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Örneğin, \(|x-3|=2 \) denklemini çözmek için, sayı doğrusu üzerinde 3 noktasından 2 uzaklıktaki noktaları bulmanız gerekir. Böyle iki nokta vardır: \(x_1=1 \) ve \(x_2=5 \) .

\(|2x+7|

Ancak modüllerle denklemleri ve eşitsizlikleri çözmenin ana yolu, sözde "tanım gereği modül genişletme" ile ilgilidir:
eğer \(a \geq 0 \), o zaman \(|a|=a \);
if \(a Kural olarak, modüllü bir denklem (eşitsizlik), modülün işaretini içermeyen bir dizi denkleme (eşitsizlik) indirgenir.

Yukarıdaki tanıma ek olarak, aşağıdaki iddialar kullanılır:
1) Eğer \(c > 0 \), o zaman \(|f(x)|=c \) denklemi şu denklem setine eşdeğerdir: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(dizi)\sağ.\)
2) Eğer \(c > 0 \), o zaman eşitsizlik \(|f(x)| 3) Eğer \(c \geq 0 \), o zaman eşitsizlik \(|f(x)| > c \) eşitsizlikler kümesine eşdeğer : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) \(f(x) eşitsizliğinin her iki kısmı da ÖRNEK 1. \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \) denklemini çözün.

\(x-1 \geq 0 \) ise, o zaman \(|x-1| = x-1 \) ve verilen denklemşeklini alır
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Sağ ok x^2 +2x -8 = 0 \).
\(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \) ise.
Bu nedenle, verilen denklem belirtilen iki durumun her birinde ayrı ayrı düşünülmelidir.
1) \(x-1 \geq 0 \), yani \(x \geq 1 \). \(x^2 +2x -8 = 0 \) denkleminden \(x_1=2, \; x_2=-4\) buluruz. \(x \geq 1 \) koşulu yalnızca \(x_1=2\) değeri tarafından karşılanır.
2) \(x-1 Cevap: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \) olsun

ÖRNEK 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \) denklemini çözün.

ilk yol(tanıma göre modül genişletme).
Örnek 1'deki gibi tartışarak, verilen denklemin iki koşul altında ayrı ayrı ele alınması gerektiği sonucuna varıyoruz: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) veya \(x^2-6x+7

1) Eğer \(x^2-6x+7 \geq 0 \), bu durumda \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) ve verilen denklem \(x^2) olur -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Sağ ok 3x^2-23x+30=0 \). Bu ikinci dereceden denklemi çözerek şunu elde ederiz: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
\(x_1=6 \) değerinin \(x^2-6x+7 \geq 0 \) koşulunu sağlayıp sağlamadığını öğrenelim. Bunun için değiştiriyoruz belirlenmiş değer V kare eşitsizliği. Şunu elde ederiz: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), yani \(7 \geq 0 \) doğru eşitsizliktir. Yani \(x_1=6 \) köküdür verilen denklem.
\(x_2=\frac(5)(3) \) değerinin \(x^2-6x+7 \geq 0 \) koşulunu sağlayıp sağlamadığını öğrenelim. Bunu yapmak için, belirtilen değeri ikinci dereceden eşitsizliğin yerine koyarız. Şunu elde ederiz: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), yani \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) geçersiz bir eşitsizliktir. Yani \(x_2=\frac(5)(3) \) verilen denklemin kökü değildir.

2) \(x^2-6x+7 \(x_3=3\) değeri, \(x^2-6x+7) koşulunu sağlıyorsa \(x_4=\frac(4)(3) \) değeri sağlar \ (x^2-6x+7) koşulunu karşılamıyor Yani, verilen denklemin iki kökü vardır: \(x=6, \; x=3 \).

İkinci yol.\(|f(x)| = h(x) \) denklemi verildiğinde, o zaman \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac için) (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(dizi)\sağ.\)
Bu denklemlerin her ikisi de yukarıda çözülmüştür (verilen denklemi çözmenin ilk yöntemiyle), kökleri aşağıdaki gibidir: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3) \). Bu dört değerin \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) koşulu yalnızca ikisi tarafından karşılanır: 6 ve 3. Dolayısıyla, verilen denklemin iki kökü vardır: \(x=6, \; x=3 \ ).

Üçüncü yol(grafik).
1) \(y = |x^2-6x+7| \) fonksiyonunu çizelim. Önce bir parabol \(y = x^2-6x+7\) oluşturuyoruz. \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \) var. \(y = (x-3)^2-2 \) fonksiyonunun grafiği, \(y = x^2 \) fonksiyonunun grafiğinden 3 ölçek birimi sağa kaydırılarak (üstte) elde edilebilir. x ekseni) ve 2 ölçek aşağı (y ekseni boyunca). Doğru x=3, ilgilendiğimiz parabolün eksenidir. Daha doğru çizim için kontrol noktaları olarak, eksene göre simetrik olan noktayı (3; -2) - parabolün tepesini, noktayı (0; 7) ve noktayı (6; 7) almak uygundur. parabolün.
Şimdi \(y = |x^2-6x+7| \) fonksiyonunun grafiğini oluşturmak için, oluşturulmuş parabolün x ekseninin altında olmayan kısımlarını değiştirmeden bırakmanız ve x ekseni etrafında x ekseninin altında kalan parabol.
2) \(y = \frac(5x-9)(3) \) doğrusal fonksiyonunu çizelim. (0; –3) ve (3; 2) noktalarını kontrol noktaları olarak almak uygundur.

Düz çizginin apsis ekseni ile kesiştiği noktanın x \u003d 1.8 noktasının, parabolün apsis ekseni ile sol kesişme noktasının sağında olması önemlidir - bu \(x=3-\ noktasıdır) sqrt(2) \) (çünkü \(3-\sqrt(2 ) 3) Çizime bakılırsa, grafikler iki noktada kesişir - A (3; 2) ve B (6; 7). Bunların apsislerini yerine koymak verilen denklemde x \u003d 3 ve x \u003d 6 noktaları, her iki değerin de doğru sayısal eşitliği verdiğinden emin oluruz.Böylece hipotezimiz doğrulandı - denklemin iki kökü vardır: x \u003d 3 ve x \u003d 6 Cevap: 3; 6.

Yorum. grafik yol tüm zarafetine rağmen pek güvenilir değil. Ele alınan örnekte, yalnızca denklemin kökleri tamsayı olduğu için çalıştı.

ÖRNEK 3. \(|2x-4|+|x+3| = 8 \) denklemini çözün

ilk yol
2x–4 ifadesi x = 2 noktasında 0 olur ve x + 3 ifadesi x = –3 noktasında olur. Bu iki nokta, sayı doğrusunu üç aralığa böler: \(x

İlk aralığı düşünün: \((-\infty; \; -3) \).
Eğer x İkinci aralığı düşünün: \([-3; \; 2) \).
Eğer \(-3 \leq x) Üçüncü aralığı dikkate alın: \()