Sayılarda toplama ve çarpmanın temel özellikleri.

Toplamanın değişme özelliği: terimlerin yeniden düzenlenmesi toplamın değerini değiştirmez. Herhangi bir a ve b sayısı için eşitlik doğrudur

Toplamanın birleştirici özelliği: İki sayının toplamına üçüncü bir sayı eklemek için ikinci ve üçüncünün toplamını birinci sayıya ekleyebilirsiniz. Herhangi bir a, b ve c sayısı için eşitlik doğrudur

Çarpmanın değişme özelliği: Faktörlerin yeniden düzenlenmesi çarpımın değerini değiştirmez. Herhangi bir a, b ve c sayısı için eşitlik doğrudur

Çarpmanın birleşimsel özelliği: İki sayının çarpımını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, ilk sayıyı ikinci ve üçüncünün çarpımı ile çarpabilirsiniz.

Herhangi bir a, b ve c sayısı için eşitlik doğrudur

Dağılma Özelliği: Bir sayıyı bir toplamla çarpmak için bu sayıyı her terimle çarpabilir ve sonuçları ekleyebilirsiniz. Herhangi bir a, b ve c sayısı için eşitlik doğrudur

Toplama işleminin değişmeli ve birleştirici özelliklerinden şu sonuç çıkar: Herhangi bir toplamda terimleri istediğiniz şekilde yeniden düzenleyebilir ve bunları keyfi olarak gruplar halinde birleştirebilirsiniz.

Örnek 1 1.23+13.5+4.27 toplamını hesaplayalım.

Bunu yapmak için ilk terimi üçüncüyle birleştirmek uygundur. Şunu elde ederiz:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Çarpmanın değişmeli ve birleştirici özelliklerinden şu sonuç çıkar: Herhangi bir çarpımda faktörleri herhangi bir şekilde yeniden düzenleyebilir ve bunları keyfi olarak gruplar halinde birleştirebilirsiniz.

Örnek 2 1,8·0,25·64·0,5 çarpımının değerini bulalım.

Birinci faktörü dördüncüyle, ikinciyi üçüncüyle birleştirirsek:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Dağılma özelliği, bir sayının üç veya daha fazla terimin toplamı ile çarpılması durumunda da geçerlidir.

Örneğin herhangi bir a, b, c ve d sayısı için eşitlik doğrudur

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Çıkarılanın karşıt sayısını eksiye ekleyerek çıkarmanın toplamayla değiştirilebileceğini biliyoruz:

Bu sayısal bir ifadeye izin verir a-b yazın a ve -b sayılarının toplamı, a+b-c-d şeklinde sayısal bir ifade a, b, -c, -d vb. sayıların toplamı olarak kabul edilebilir. Eylemlerin dikkate alınan özellikleri bu tür toplamlar için de geçerlidir.

Örnek 3 3.27-6.5-2.5+1.73 ifadesinin değerini bulalım.

Bu ifade 3,27, -6,5, -2,5 ve 1,73 sayılarının toplamıdır. Toplama özelliklerini uyguladığımızda şunu elde ederiz: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Örnek 4 36·() çarpımını hesaplayalım.

Çarpan ve - sayıların toplamı olarak düşünülebilir. Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak şunu elde ederiz:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Kimlikler

Tanım. Değişkenlerin herhangi bir değeri için karşılık gelen değerleri eşit olan iki ifadeye aynı derecede eşit denir.

Tanım. Değişkenlerin herhangi bir değeri için doğru olan eşitliğe kimlik denir.

3(x+y) ve 3x+3y ifadelerinin x=5, y=4 noktasındaki değerlerini bulalım:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Aynı sonucu aldık. İtibaren dağılma özelliği bundan genel olarak değişkenlerin herhangi bir değeri için 3(x+y) ve 3x+3y ifadelerinin karşılık gelen değerlerinin eşit olduğu sonucu çıkar.

Şimdi 2x+y ve 2xy ifadelerini ele alalım. x=1, y=2 için alırlar eşit değerler:

Ancak x ve y'nin değerlerini bu ifadelerin değerleri eşit olmayacak şekilde belirtebilirsiniz. Örneğin, eğer x=3, y=4 ise, o zaman

3(x+y) ve 3x+3y ifadeleri aynı şekilde eşittir ancak 2x+y ve 2xy ifadeleri tamamen eşit değildir.

Herhangi bir x ve y değeri için geçerli olan 3(x+y)=x+3y eşitliği bir özdeşliktir.

Gerçek sayısal eşitlikler de kimlik olarak kabul edilir.

Dolayısıyla kimlikler, sayılar üzerindeki işlemlerin temel özelliklerini ifade eden eşitliklerdir:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Kimliklere başka örnekler de verilebilir:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

İfadelerin özdeş dönüşümleri

Bir ifadenin tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesine özdeş dönüşüm veya basitçe bir ifadenin dönüşümü denir.

Kimlik dönüşümleri değişkenli ifadeler sayılar üzerinde yapılan işlemlerin özelliklerine göre gerçekleştirilir.

Xy-xz ifadesinin değerini bulmak için verilen değerler x, y, z olmak üzere üç eylem gerçekleştirmeniz gerekiyor. Örneğin, x=2,3, y=0,8, z=0,2 ile şunu elde ederiz:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Bu sonuç, xy-xz ifadesine tamamen eşit olan x(y-z) ifadesini kullanırsanız yalnızca iki adım gerçekleştirilerek elde edilebilir:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Xy-xz ifadesini aynı x(y-z) ifadesiyle değiştirerek hesaplamaları basitleştirdik.

İfadelerin özdeş dönüşümleri, ifadelerin değerlerinin hesaplanmasında ve diğer problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır. Benzer terimlerin getirilmesi, parantez açılması gibi bazı özdeş dönüşümlerin zaten gerçekleştirilmesi gerekiyordu. Bu dönüşümleri gerçekleştirmenin kurallarını hatırlayalım:

getirmek için benzer terimler, katsayılarını toplamanız ve sonucu ortak harf kısmıyla çarpmanız gerekir;

parantezlerin önünde bir artı işareti varsa, parantez içindeki her terimin işareti korunarak parantezler çıkarılabilir;

Parantezlerin önünde eksi işareti varsa, parantez içindeki her terimin işareti değiştirilerek parantez çıkarılabilir.

Örnek 1 Benzer terimleri 5x+2x-3x toplamında sunalım.

Benzer terimleri azaltma kuralını kullanalım:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Bu dönüşüm çarpma işleminin dağılma özelliğine dayanmaktadır.

Örnek 2 2a+(b-3c) ifadesindeki parantezleri açalım.

Başına artı işareti gelen parantezleri açma kuralını kullanma:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Gerçekleştirilen dönüşüm aşağıdakilere dayanmaktadır: ilişkisel özellik ek.

Örnek 3 a-(4b-c) ifadesindeki parantezleri açalım.

Başına eksi işareti gelen parantezleri açma kuralını kullanalım:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Gerçekleştirilen dönüşüm, çarpmanın dağılma özelliğine ve toplamanın birleştirici özelliğine dayanmaktadır. Hadi gösterelim. Bu ifadedeki ikinci terim -(4b-c)'yi (-1)(4b-c) çarpımı olarak temsil edelim:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Eylemlerin belirtilen özelliklerini uygulayarak şunu elde ederiz:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

2 numaralı konu.

Cebirsel ifadeleri dönüştürme

BEN. Teorik materyal

Temel konseptler

Cebirsel ifade: tam sayı, kesirli, rasyonel, irrasyonel.

Tanımın kapsamı, geçerli ifade değerleri.

Cebirsel bir ifadenin anlamı.

Tek terimli, polinom.

Kısaltılmış çarpma formülleri.

Çarpanlara ayırma, basamaklama ortak çarpan.

Bir kesrin temel özelliği.

Derece, derecenin özellikleri.

Kortim, köklerin özellikleri.

Rasyonel ve irrasyonel ifadelerin dönüşümü.

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme, yükseltme işaretlerini kullanarak sayılardan ve değişkenlerden oluşan bir ifade. rasyonel derece kök çıkartılıp parantez kullanılmasına denir cebirsel.

Örneğin: ;
;
;

;
;
;
.

Cebirsel ifade değişkenlere bölmeyi ve değişkenlerin kökünü almayı (özellikle bir kuvvete yükseltmeyi) içermiyorsa kesirli gösterge), o zaman denir tüm.

Örneğin:
;
;
.

Cebirsel bir ifade toplama, çıkarma, çarpma, üs alma işlemlerini kullanarak sayılardan ve değişkenlerden oluşuyorsa doğal gösterge ve bölme ve değişkenlerle ifadelere bölme kullanılırsa buna denir kesirli.

Örneğin:
;
.

Bütün ve kesirli ifadeler arandı akılcı ifade.

Örneğin: ;
;

.

Cebirsel bir ifade değişkenlerin kökünü almayı (veya değişkenleri yükseltmeyi) içeriyorsa kesirli güç), o zaman böyle bir cebirsel ifade denir mantıksız.

Örneğin:
;
.

Cebirsel ifadenin anlamlı olduğu değişkenlerin değerlerine denir geçerli değişken değerleri.

Herkesten bol miktarda kabul edilebilir değerler değişkenler denir tanım alanı.

Bir cebirsel ifadenin tamamının tanım alanı gerçek sayılar kümesidir.

Kesirli cebirsel ifadenin tanım alanı, paydayı sıfır yapanlar dışındaki tüm gerçek sayılar kümesidir.

Örneğin: ne zaman mantıklı
;

ne zaman mantıklı
yani ne zaman
.

İrrasyonel bir cebirsel ifadenin tanım alanı, dönüştürülenler dışındaki tüm gerçek sayılar kümesidir. negatif bir sayı eşit bir kuvvetin kökü işareti altında veya kesirli bir kuvvete yükselme işareti altında bir ifade.

Örneğin:
ne zaman mantıklı
;

ne zaman mantıklı
yani ne zaman
.

Değişkenlerin izin verilen değerlerinin cebirsel bir ifadeyle değiştirilmesiyle elde edilen sayısal değere denir. cebirsel bir ifadenin değeri.

Örneğin: ifade
en
,
değerini alır
.

Yalnızca sayıları, değişkenlerin doğal kuvvetlerini ve çarpımlarını içeren cebirsel ifadeye denir. tek terimli.

Örneğin:
;
;
.

İlk etapta sayısal faktörün ve çeşitli değişkenlerin kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılan monom, şuna indirgenir: standart görünüm.

Örneğin:
;
.

Sayısal faktör standart gösterim monomial denir monom katsayısı. Tüm değişkenlerin üslerinin toplamına denir tek terimli derecesi.

Bir tek terimliyi bir tek terimli ile çarparken ve bir tek terimliyi yükseltirken doğal derece standart forma getirilmesi gereken bir monom elde ederiz.

Monomların toplamına denir polinom.

Örneğin:
; ;
.

Polinomun tüm terimleri standart formda yazılırsa ve indirgeme yapılırsa benzer üyeler, ardından ortaya çıkan sonuç polinom standart görünüm .

Örneğin: .

Bir polinomun yalnızca bir değişkeni varsa, o zaman en yüksek oran bu değişkenin derecesi denir polinom derecesi.

Örneğin: Bir polinomun beşinci derecesi vardır.

Polinomun değerinin sıfır olduğu değişkenin değerine denir. polinomun kökü.

Örneğin: bir polinomun kökleri
1,5 ve 2 sayılarıdır.

Kısaltılmış çarpma formülleri

Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılmasına ilişkin özel durumlar

Karelerin farkı:
veya

Kare toplamı:
veya

Kare farkı:
veya

Küplerin toplamı:
veya

Küplerin farkı:
veya

Toplamın küpü:
veya

Fark küpü:
veya

Bir polinomun çeşitli faktörlerin (polinomlar veya monomlar) çarpımına dönüştürülmesine denir. Bir polinomun çarpanlara ayrılması.

Örneğin:.

Bir polinomu çarpanlarına ayırma yöntemleri

Örneğin: .

Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanma.

Örneğin: .

Gruplama yöntemi. Değişme ve birleşme yasaları bir polinomun üyelerinin çeşitli şekillerde gruplanmasına izin verir. Yöntemlerden biri, aynı ifadenin parantez içinde elde edilmesine ve bunun da parantez dışına alınmasına yol açmaktadır.

Örneğin:.

Herhangi bir kesirli cebirsel ifade ikinin bölümü olarak yazılabilir. rasyonel ifadeler paydasında bir değişken var.

Örneğin:
.

Pay ve paydası rasyonel ifadelerden oluşan ve paydası değişken olan kesirlere ne ad verilir? rasyonel kesir.

Örneğin:
;
;
.

Pay ve payda ise rasyonel kesir sıfırdan farklı bir sayıyla, tek terimli veya polinomla çarpıldığında veya bölündüğünde kesrin değeri değişmez. Bu ifade denir Bir kesrin temel özelliği:

.

Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıya bölme işlemine ne ad verilir? bir fraksiyonu azaltmak:

.

Örneğin:
;
.

İş N her biri eşit olan faktörler A, Nerede A– keyfi cebirsel ifade veya gerçek Numara, A N – doğal sayı, isminde dereceA :

.

Cebirsel ifade A isminde derece esası, sayı
N – gösterge.

Örneğin:
.

Tanım gereği herhangi bir şey için olduğuna inanılmaktadır. A, Olumsuz sıfıra eşit:

Ve
.

Eğer
, O
.

Derecenin özellikleri

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

Eğer ,
, o zaman ifade N-inci derecesi eşittir A, isminde kökN derecesiA . Genellikle belirlenir
. burada A isminde radikal ifade, N isminde kök dizini.

Örneğin:
;
;
.

Kök özellikleriNa'nın derecesi

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

Derece ve kök kavramını genelleştirerek, rasyonel bir üste sahip derece kavramını elde ederiz:

.

Özellikle,
.

Köklerle gerçekleştirilen eylemler

Örneğin: .

II. Pratik materyal

Görevleri tamamlama örnekleri

örnek 1. Kesrin değerini bulun
.

Cevap: .

Örnek 2. Ifadeyi basitleştir
.

İlk parantez içindeki ifadeyi dönüştürelim:

, Eğer
.

İkinci parantez içindeki ifadeyi dönüştürelim:

.

Birinci parantezden elde edilen sonucu ikinci parantezden elde edilen sonuca bölelim:

Cevap:

Örnek 3. Ifadeyi basitleştir:

.

Örnek 4. Ifadeyi basitleştir.

İlk kesri dönüştürelim:

.

İkinci kesri dönüştürelim:

.

Sonuç olarak şunu elde ederiz:
.

Örnek 5. Ifadeyi basitleştir
.

Çözüm. Aşağıdaki eylemlere karar verelim:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

Cevap:
.

Örnek 6. Kimliği kanıtla
.

1)
;

2)
;

Örnek 7. Ifadeyi basitleştir:

.

Çözüm. Bu adımları takip et:

;

2)
.

Örnek 8. Kimliği kanıtla
.

Çözüm. Bu adımları takip et:

1)
;

2)

;

3)
.

Şunun için görevler: bağımsız iş

1. İfadeyi basitleştirin:

A)
;

B)
;

2. Şunları hesaba katın:

A)
;

B)
;.Belge

Ders 5.1 numara. Trigonometrik denklemler I. Teorikmalzeme Temel konseptler Trigonometrik denklem...çeşitli kullanımlar cebirsel Ve trigonometrik formüller Ve dönüşümler. II. Pratik malzeme Görev tamamlama örnekleri...

Belarus Cumhuriyeti Eğitim Bakanlığı

Eğitim kurumu

"Gomel Devlet Üniversitesi onlara. F. Skorina"

Matematik Fakültesi

MPM Departmanı

İfadelerin özdeş dönüşümleri ve öğrencilere bunları nasıl gerçekleştireceklerini öğretme yöntemleri

Yürütücü:

Öğrenci Starodubova A.Yu.

Bilimsel yönetmen:

Cand. fizik ve matematik Bilimler, Doçent Lebedeva M.T.

Gomel'in 2007

giriiş

1 Başlıca dönüşüm türleri ve çalışmalarının aşamaları. Dönüşümlerin kullanımına hakim olmanın aşamaları

Çözüm

Edebiyat

giriiş

Aritmetik işlemlerin özelliklerine dayanarak ifadelerin ve formüllerin en basit dönüşümleri gerçekleştirilir. ilkokul ve 5. ve 6. sınıflar. Dönüşümleri gerçekleştirmeye yönelik beceri ve yeteneklerin oluşumu cebir dersinde gerçekleşir. Bunun nedeni, hem gerçekleştirilen dönüşümlerin sayısındaki ve çeşitliliğindeki keskin artıştan hem de bunları haklı çıkarmaya ve uygulanabilirlik koşullarını netleştirmeye yönelik faaliyetlerin karmaşıklığından, genelleştirilmiş kimlik kavramlarının, özdeş dönüşümlerin tanımlanması ve incelenmesinden kaynaklanmaktadır. eşdeğer dönüşüm.

1. Ana dönüşüm türleri ve çalışmalarının aşamaları. Dönüşümlerin kullanımına hakim olmanın aşamaları

1. Cebirin başlangıcı

Formülün bir veya her iki bölümünde eylem gerçekleştirmeye yönelik kurallarla temsil edilen, bölünmemiş bir dönüşüm sistemi kullanılır. Amaç, basit denklemleri çözmek, fonksiyonları tanımlayan formülleri basitleştirmek ve eylemlerin özelliklerine dayalı hesaplamaları rasyonel bir şekilde gerçekleştirmek için görevleri tamamlamada akıcılık kazanmaktır.

Tipik örnekler:

Denklemleri çözün:

A) ; B) ; V) .

Özdeş dönüşüm (a); eşdeğer ve aynı (b).

2. Uygulama becerilerinin oluşumu belirli türler dönüşümler

Sonuçlar: kısaltılmış çarpma formülleri; üstelleştirme ile ilişkili dönüşümler; çeşitli temel fonksiyon sınıflarıyla ilişkili dönüşümler.

Organizasyon tüm sistem dönüşümler (sentez)

Amaç, çeşitli sorunların çözümünde kullanıma uygun, esnek ve güçlü bir cihaz yaratmaktır. eğitimsel görevler . Bu aşamaya geçiş, dersin son tekrarı sırasında, parçalar halinde öğrenilen halihazırda bilinen materyalin anlaşılması sırasında gerçekleştirilir. belirli türler dönüşümler, daha önce incelenen türlere trigonometrik ifadelerin dönüşümlerini ekler. Tüm bu dönüşümlere “cebirsel” denilebilir; “analitik” dönüşümler, türev alma ve integrasyon kurallarına dayanan dönüşümleri ve limitlere geçiş içeren ifadelerin dönüşümlerini içerir. Bu türün farkı, kimliklerdeki değişkenlerin (belirli işlev kümeleri) içinden geçtiği kümenin doğasındadır.

İncelenen kimlikler iki sınıfa ayrılmıştır:

I - değişmeli bir halkada geçerli olan kısaltılmış çarpmanın kimlikleri ve kimlikler

sahada adil.

II – aritmetik işlemleri ve temel temel işlevleri birbirine bağlayan kimlikler.

2 Kimlik dönüşümlerini incelerken görev sisteminin organizasyonunun özellikleri

Görev sistemini organize etmenin temel ilkesi, bunları basitten karmaşığa doğru sunmaktır.

Egzersiz döngüsü– materyali düzenlemek için çalışmanın çeşitli yönlerini ve teknikleri bir dizi alıştırmada birleştirmek. Kimlik dönüşümlerini incelerken, bir kimliğin incelenmesiyle ilişkilendirilen bir egzersiz döngüsü vardır; bu kimlik çevresinde, onunla doğal bir bağlantı içinde olan diğer kimlikler gruplandırılır. Döngü, yönetici olanlarla birlikte görevleri içerir, Söz konusu kimliğin uygulanabilirliğinin tanınmasını gerektiren. İncelenmekte olan kimlik, çeşitli sayısal alanlarda hesaplamalar yapmak için kullanılır. Her döngüdeki görevler iki gruba ayrılır. İLE Birinci Bunlar, kimlikle ilk tanışma sırasında gerçekleştirilen görevleri içerir. Hizmet ederler Eğitim materyali tek bir konu tarafından birleştirilen birkaç ardışık ders için.

İkinci grup Alıştırmalar, çalışılan kimliği çeşitli uygulamalarla birleştirir. Bu grup kompozisyonsal bir birlik oluşturmaz - buradaki alıştırmalar çeşitli konulara dağılmıştır.

Açıklanan döngü yapıları, belirli dönüşümlerin uygulanmasında becerilerin geliştirilmesi aşamasını ifade eder.

Sentez aşamasında, döngüler değişir, görev grupları, çeşitli kimliklerle ilgili döngülerin karmaşıklığı ve birleştirilmesi yönünde birleştirilir, bu da belirli bir kimliğin uygulanabilirliğini tanımaya yönelik eylemlerin rolünü artırmaya yardımcı olur.

Örnek.

Kimlik için görev döngüsü:

Görev grubum:

a) ürün formunda mevcut:

b) Eşitliği kontrol edin:

c) İfadedeki parantezleri genişletin:

.

d) Hesaplayın:

e) Çarpanlara ayırın:

f) ifadeyi basitleştirin:

.

Öğrenciler bir kimliğin formüle edilmesine, kimlik biçiminde yazılmasına ve kanıtlanmasına yeni yeni alıştılar.

Görev a) incelenen kimliğin yapısını sabitlemek, ile bağlantı kurmakla ilişkilidir. sayısal kümeler(kimliğin işaret yapılarının ve dönüştürülmüş ifadenin karşılaştırılması; kimlikte harfin sayı ile değiştirilmesi). İÇİNDE son örnek yine de onu incelenen türlere indirgemek gerekiyor. Aşağıdaki örneklerde (e ve g), kimliğin uygulanan rolü ve gösterge yapısının karmaşıklığından kaynaklanan bir karmaşıklık vardır.

b) tipi görevler değiştirme becerilerini geliştirmeyi amaçlamaktadır Açık . Görev c)'nin rolü benzerdir.

Dönüşüm yönlerinden birini seçmenin gerekli olduğu d) tipi örnekler bu fikrin gelişimini tamamlar.

Grup I görevleri, bir kimliğin yapısına, en basit, temelde en önemli durumlarda ikame işlemine ve bir kimliğin gerçekleştirdiği dönüşümlerin tersine çevrilebilirliği fikrine hakim olmaya odaklanır. Çok önemli zenginleşme de var dilsel araçlar gösteriliyor çeşitli yönler kimlikler. Ödev metinleri bu hususlar hakkında fikir vermektedir.

II görev grubu.

g) için özdeşliği kullanarak polinomu çarpanlarına ayırın.

h) Kesrin paydasındaki irrasyonelliği ortadan kaldırın.

i) Şunu kanıtlayın: tek sayı ise 4'e bölünür.

j) Fonksiyon verilmiştir analitik ifade

.

İki durumu göz önünde bulundurarak modül işaretinden kurtulun: , .

k) Denklemi çöz .

Bu görevler mümkün olduğunca hedefleniyor tam kullanım ve bu özel kimliğin özelliklerini dikkate alarak, kareler farkı için incelenen kimliği kullanma becerilerinin oluşumunu varsayarız. Amaç, kimliğin çeşitli uygulamalarını dikkate alarak, kimlik anlayışını derinleştirmektir. farklı durumlar matematik dersinde diğer konularla ilgili materyallerin kullanımıyla birleştirilmiştir.

veya .

Temel işlevlere ilişkin kimliklerle ilgili görev döngülerinin özellikleri:

1) fonksiyonel materyal temelinde incelenirler;

2) ilk grubun kimlikleri daha sonra ortaya çıkar ve kimlik dönüşümlerini gerçekleştirmek için önceden geliştirilmiş beceriler kullanılarak incelenir.

Döngüdeki ilk görev grubu, bu yeni görevler arasında bağlantı kurmaya yönelik görevleri içermelidir. sayısal alanlar rasyonel sayıların orijinal alanıyla.

Örnek.

Hesaplamak:

;

.

Bu tür görevlerin amacı, yeni işlem ve işlevlerin sembolleri de dahil olmak üzere kayıtların özelliklerine hakim olmak ve matematiksel konuşma becerilerini geliştirmektir.

Kimlik dönüşümlerinin çoğunun kullanımı temel işlevler irrasyonel ve aşkın denklemlerin çözümüne düşer. Adımların sırası:

a) hangi φ fonksiyonunu bulun verilen denklem f(x)=0 şu şekilde temsil edilebilir:

b) y=φ(x)'i yerine koyun ve denklemi çözün

c) φ(x)=y k denklemlerinin her birini çözün; burada y k, F(y)=0 denkleminin kökleri kümesidir.

Açıklanan yöntemi kullanırken, b) adımı çoğunlukla φ(x) için bir gösterim getirilmeden örtülü olarak gerçekleştirilir. Ayrıca öğrenciler sıklıkla tercih etmektedir. Farklı yollar Cevabı bulmak için cebirsel denklemi daha hızlı ve daha kolay sağlayanı seçin.

Örnek. 4 x -3*2=0 denklemini çözün.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (adım a)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (adım b)

Örnek. Denklemi çözün:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 2x -3*2 x -4=0;

c) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Bağımsız çözüm önerin.)

Aşkın denklemlerin çözümüyle ilgili döngülerdeki görevlerin sınıflandırılması, üstel fonksiyon:

1) a x =y 0 formundaki denklemlere indirgenen ve basit, genel bir cevabı olan denklemler:

2) k'nin bir tam sayı olduğu a x = a k veya b≤0 olduğu a x = b biçimindeki denklemlere indirgenen denklemler.

3) a x =y 0 formundaki denklemlere indirgenen ve y 0 sayısının açıkça yazıldığı formun açık analizini gerektiren denklemler.

İşlevleri tanımlayan formülleri basitleştirirken grafik oluşturmak için kimlik dönüşümlerinin kullanıldığı görevler büyük fayda sağlar.

a) y=; fonksiyonunun grafiğini çizin

b) lgx+lg(x-3)=1 denklemini çözün

c) log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) formülü hangi kümede bir özdeşliktir?

Hesaplamalarda özdeşlik dönüşümlerinin kullanımı (Journal of Mathematics at School, No. 4, 1983, s. 45).

Görev No.1. Fonksiyon y=0,3x 2 +4,64x-6 formülüyle verilir. Fonksiyonun x=1.2'deki değerlerini bulun

y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0 ,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Görev No.2. Bacak uzunluğunu hesapla dik üçgen, hipotenüsünün uzunluğu 3,6 cm ve diğer bacağın uzunluğu 2,16 cm ise.

Görev No.3. a) 0,64 m ve 6,25 m boyutlarına sahip dikdörtgen bir arsanın alanı nedir; b) 99,8 m ve 2,6 m?

a)0,64*6,25=0,8 2 *2,5 2 =(0,8*2,5) 2;

b)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Bu örnekler tanımlamayı mümkün kılar pratik kullanım kimlik dönüşümleri. Öğrenci, dönüşümün fizibilitesine ilişkin koşullar hakkında bilgi sahibi olmalıdır (şemalara bakınız).

herhangi bir polinomun yuvarlak hatlara uyduğu bir polinomun görüntüsü (Diyagram 1).

-

bir monomiyalin çarpımını dönüştürmenin fizibilite koşulu ve kareler farkına dönüştürmeye izin veren bir ifade verilmiştir. (şema 2)

-

burada gölgelemeler eşit monomlar anlamına gelir ve kareler farkına dönüştürülebilecek bir ifade verilir (Şema 3).

ortak bir faktöre izin veren bir ifade.

Öğrencilerin koşulları belirleme becerileri geliştirilebilir. aşağıdaki örnekler:

Aşağıdaki ifadelerden hangisi ortak çarpanı parantezlerden çıkararak dönüştürülebilir:

2)

3) 0,7a2+0,2b2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x2 +3x2 +5y2;

7) 0,21+0,22+0,23.

Uygulamadaki hesaplamaların çoğu tatmin edilebilirlik koşullarını karşılamamaktadır, bu nedenle öğrencilerin bunları dönüşümlerin hesaplanmasına olanak tanıyan bir forma indirgeme becerilerine ihtiyaçları vardır. Bu durumda aşağıdaki görevler uygundur:

ortak faktörü parantezlerden çıkarmaya çalışırken:

bu ifade mümkünse diyagram 4'te gösterilen bir ifadeye dönüştürün:

4) 2a*a 2 *a 2;

5) 2n4+3n6+n9;

8) 15ab 2 +5a 2b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

“Özdeş dönüşüm” kavramını oluştururken bunun sadece verilen ve dönüşüm sonucunda elde edilen ifadenin, içinde yer alan harflerin herhangi bir değeri için eşit değerler alması anlamına gelmediği, ama aynı zamanda özdeş dönüşüm sırasında, bir hesaplama yolunu tanımlayan ifadeden, aynı değeri hesaplamanın başka bir yolunu tanımlayan bir ifadeye geçiyoruz.

Şema 5 (bir tek terimli ve bir polinomun çarpımını dönüştürme kuralı) örneklerle gösterilebilir

0,5a(b+c) veya 3,8(0,7+).

Ortak bir çarpanın parantezlerden nasıl çıkarılacağını öğrenmek için alıştırmalar:

İfadenin değerini hesaplayın:

a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a=0,96'da a+bc; b=4.8; c=9.8.

c) a(a+c)-c(a+b) ile a=1,4; b=2.8; c=5.2.

Hesaplamalarda becerilerin oluşumunu ve kimlik dönüşümlerini örneklerle açıklayalım (Journal of Mathematics at School, Sayı. 5, 1984, s. 30).

1) beceri ve yetenekler, oluşumları bilinçli bir temelde (bilincin didaktik ilkesi) gerçekleşirse daha hızlı kazanılır ve daha uzun süre korunur.

1) Kesirleri eklemek için bir kural formüle edebilirsiniz. aynı paydalar veya daha önce spesifik örnekler eşit pay eklemenin özünü düşünün.

2) Ortak çarpanı parantez dışına alarak çarpanlara ayırma işleminde bu ortak çarpanı görüp dağıtım yasasını uygulamak önemlidir. İlk alıştırmaları yaparken polinomun her terimini faktörlerden biri olan çarpım olarak yazmak faydalıdır. hangisi yaygındır tüm terimler için:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Bir polinomun tek terimlilerinden biri parantezlerden çıkarıldığında bunu yapmak özellikle yararlıdır:

II. İlk aşama bir becerinin oluşumu - bir beceride ustalık (alıştırmalar detaylı açıklamalar ve kayıtlar)

(Önce tabela sorunu çözüldü)

İkinci aşama– bazı ara işlemleri ortadan kaldırarak beceriyi otomatikleştirme aşaması

III. Becerilerin güçlendirilmesi, hem içerik hem de biçim açısından çeşitlilik gösteren örneklerin çözülmesiyle elde edilir.

Konu: “Ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak.”

1. Polinom yerine eksik faktörü yazın:

2. Parantezlerden önce negatif katsayılı bir monom olacak şekilde çarpanlara ayırın:

3. Parantez içindeki polinomun katsayıları tamsayı olacak şekilde çarpanlara ayırın:

4. Denklemi çözün:

IV. Beceri gelişimi, bazı ara hesaplamalar veya dönüşümler sözlü olarak gerçekleştirildiğinde en etkilidir.

(ağızdan);

V. Geliştirilen beceri ve yetenekler, öğrencilerin önceden oluşturulmuş bilgi, beceri ve yetenek sisteminin parçası olmalıdır.

Örneğin, kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak polinomların nasıl çarpanlara ayrılacağını öğretirken aşağıdaki alıştırmalar önerilir:

Çarpanlara ayırın:

VI. Hesaplamaları ve dönüşümleri rasyonel olarak gerçekleştirme ihtiyacı.

V) Ifadeyi basitleştir:

Mantık parantezleri açmakta yatıyor çünkü

VII. Üslü sayılar içeren ifadeleri dönüştürme.

No. 1011 (Alg.9) İfadeyi sadeleştirin:

No. 1012 (Alg.9) Kök işaretinin altındaki çarpanı kaldırın:

No. 1013 (Alg.9) Kök işaretinin altına bir çarpan girin:

1014 (Alg.9) İfadeyi sadeleştirin:

Tüm örneklerde, önce ortak çarpanı çarpanlara ayırma veya çıkarma işlemlerini gerçekleştirin veya "bakın" karşılık gelen formül kısaltmalar.

1015 (Alg.9) Kesri azaltın:

Pek çok öğrenci, özellikle eşitlik çalışırken, kökleri içeren ifadeleri dönüştürürken bazı zorluklarla karşılaşır:

Bu nedenle ya formun ifadelerini ayrıntılı olarak açıklayın ya da veya rasyonel bir üssü olan bir dereceye gidin.

No. 1018 (Alg.9) İfadesinin değerini bulun:

1019 (Alg.9) İfadeyi sadeleştirin:

2,285 (Skanavi) İfadeyi basitleştirin

ve ardından fonksiyonun grafiğini çizin senİçin

No. 2.299 (Skanavi) Eşitliğin geçerliliğini kontrol edin:

Derece içeren ifadelerin dönüşümü, polinomların özdeş dönüşümlerinin incelenmesinde edinilen beceri ve yeteneklerin genelleştirilmesidir.

No. 2.320 (Skanavi) İfadeyi basitleştirin:

Cebir 7 dersi aşağıdaki tanımları sağlar.

Def. Değişkenlerin değerlerine karşılık gelen değerleri eşit olan iki ifadeye aynı derecede eşit olduğu söylenir.

Def. Eşitlik, çağrılan değişkenlerin herhangi bir değeri için doğrudur. kimlik.

Sayı 94 (Alg.7) Eşitlik:

A)

C)

D)

Açıklama tanımı: Bir ifadenin tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesine özdeş dönüşüm veya basitçe bir ifadenin dönüşümü denir. Değişkenli ifadelerin özdeş dönüşümleri sayılar üzerinde yapılan işlemlerin özelliklerine göre gerçekleştirilir.

No. (Alg.7) İfadeler arasında

tamamen eşit olanları bulunuz.

Konu: “İfadelerin özdeş dönüşümleri” (soru tekniği)

“Cebir-7” - “İfadeler ve dönüşümleri” nin ilk konusu, 5-6. Sınıflarda edinilen hesaplama becerilerinin pekiştirilmesine, ifadelerin dönüşümleri ve denklem çözümlerine ilişkin bilgilerin sistematikleştirilmesine ve genelleştirilmesine yardımcı olur.

Sayısal değerleri bulma ve gerçek ifadeleröğrencilerle eylem kurallarını tekrarlamayı mümkün kılar rasyonel sayılar. Gerçekleştirme kabiliyeti Aritmetik işlemler Rasyonel sayılar tüm cebir dersinin temelini oluşturur.

İfadelerin dönüşümleri dikkate alındığında, resmi ve operasyonel beceriler 5-6. Sınıflarda ulaşılan seviyede kalır.

Ancak burada öğrenciler teoride uzmanlaşmada yeni bir seviyeye yükselirler. “Aynı şekilde” kavramları eşit ifadelerÇeşitli cebirsel ifadelerin dönüşümleri incelenirken içeriği sürekli olarak ortaya çıkacak ve derinleştirilecek olan "", "özdeşlik", "ifadelerin özdeş dönüşümleri". Kimlik dönüşümlerinin temelinde sayılar üzerinde yapılan işlemlerin özelliklerinin olduğu vurgulanmaktadır.

“Polinomlar” konusunu incelerken cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümlerinin resmi operasyonel becerileri oluşturulur. Kısaltılmış çarpma formülleri, tam ifadelerin aynı dönüşümlerini gerçekleştirme yeteneğinin geliştirilmesine katkıda bulunur; polinomların hem kısaltılmış çarpımı hem de çarpanlara ayrılması için formül uygulama yeteneği yalnızca tüm ifadelerin dönüştürülmesinde değil, aynı zamanda kesirli, köklü işlemlerde de kullanılır. , rasyonel üssü olan kuvvetler.

8.sınıfta edinilen kimlik dönüştürme becerileri eylemlerle uygulanır. cebirsel kesirler, kare kök ve tamsayı üssü olan kuvvetleri içeren ifadeler.

Gelecekte kimlik dönüştürme teknikleri, rasyonel üslü bir derece içeren ifadelere yansıyacaktır.

Özel grup kimlik dönüşümleri trigonometrik ifadeler ve logaritmik ifadeler.

İLE zorunlu sonuçlar 7-9. sınıflardaki cebir derslerinin ücretleri şunları içerir:

1) tamsayı ifadelerinin kimlik dönüşümleri

a) açma ve kapatma braketleri;

b) benzer üyelerin getirilmesi;

c) polinomların toplanması, çıkarılması ve çarpılması;

d) ortak çarpanı parantezlerin ve kısaltılmış çarpma formüllerinin dışına koyarak polinomları çarpanlarına ayırmak;

e) ayrışma ikinci dereceden üç terimliçarpanlara göre.

“Okulda Matematik” (B.U.M.) s.110

2) rasyonel ifadelerin özdeş dönüşümleri: kesirlerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme, ayrıca basit birleşik dönüşümler gerçekleştirirken listelenen becerileri uygulayın [s. 111]

3) Öğrenciler derece ve kök içeren basit ifadelerin dönüşümlerini gerçekleştirebilmelidir. (s. 111-112)

Öğrencinin olumlu not almasını sağlayan çözme yeteneği olan ana problem türleri dikkate alındı.

Kimlik dönüşümlerini incelemeye yönelik metodolojinin en önemli yönlerinden biri, öğrencinin kimlik dönüşümlerini gerçekleştirmeye yönelik hedefler geliştirmesidir.

1) - basitleştirme Sayısal değer ifade

2) Dönüşümlerden hangisinin gerçekleştirilmesi gerektiği: (1) veya (2) Bu seçeneklerin analizi bir motivasyondur ((2)'de tanımın kapsamı daraltıldığı için (1) tercih edilir)

3) Denklemi çözün:

Denklem çözerken çarpanlara ayırma.

4) Hesaplayın:

Kısaltılmış çarpma formülünü uygulayalım:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) İfadenin değerini bulun:

Değeri bulmak için her kesri eşleniğiyle çarpın:

6) Fonksiyonun grafiğini çizin:

Parçanın tamamını seçelim: .

Kimlik dönüşümleri gerçekleştirilirken hataların önlenmesi, uygulama örneklerinin değiştirilmesiyle sağlanabilir. Bu durumda, daha büyük bir dönüşüm sürecine bileşen olarak dahil edilen “küçük” teknikler uygulanır.

Örneğin:

Denklemin yönlerine bağlı olarak çeşitli problemler dikkate alınabilir: polinomların sağdan sola çarpımı; soldan sağa - çarpanlara ayırma. Sol Taraf sağ taraftaki faktörlerden birinin katıdır vb.

Örnekleri değiştirmenin yanı sıra şunları da kullanabilirsiniz: kimlikler ve sayısal eşitlikler arasındaki özür.

Bir sonraki teknik kimliklerin açıklanmasıdır.

Öğrencilerin ilgisini artırmak için bulmayı dahil edebiliriz. çeşitli şekillerde problem çözme.

Kimlik dönüşümlerini incelemeye yönelik dersler, bunları kendinize ayırırsanız daha ilginç hale gelecektir. soruna çözüm arıyorum .

Örneğin: 1) kesri azaltın:

3) “formülünü kanıtlayın” karmaşık radikal»

Dikkate almak:

Haydi dönüşelim Sağ Taraf eşitlik:

-

eşlenik ifadelerin toplamı. Bunlar eşlenikleriyle çarpılabilir ve bölünebilir, ancak böyle bir işlem bizi paydası radikallerin farkı olan bir kesire götürür.

Kimliğin ilk kısmındaki ilk terimin ikinciden daha büyük bir sayı olduğuna dikkat edin, böylece her iki parçanın karesini alabiliriz:

Pratik ders №3.

Konu: İfadelerin özdeş dönüşümleri (soru tekniği).

Literatür: “MPM Çalıştayı”, s. 87-93.

İmza yüksek kültür hesaplamalar ve kimlik dönüşümleri, öğrenciler kesin ve yaklaşık nicelikler üzerindeki işlemlerin özellikleri ve algoritmaları ve bunların ustaca uygulanması hakkında sağlam bir bilgiye sahiptir; rasyonel teknikler hesaplamalar ve dönüşümler ve bunların doğrulanması; Hesaplama ve dönüşüm yöntemlerinin ve kurallarının kullanımını gerekçelendirme yeteneği, becerilerin otomatikliği hatasız yürütme hesaplama işlemleri.

Öğrenciler listelenen becerileri geliştirmek için hangi sınıfta çalışmaya başlamalı?

İfadelerin özdeş dönüşümleri çizgisi tekniklerin kullanımıyla başlar rasyonel hesaplama sayısal ifadelerin değerlerini rasyonel olarak hesaplamak için tekniklerin kullanılmasıyla başlar. (5. sınıf)

Bu tür konuları incelerken okul kursu onlara matematik verilmeli Özel dikkat!

Cebirsel ifadelerin kendi başlarına değil, bir arada var olduğu gerçeğinin anlaşılmasıyla öğrencilerin kimlik dönüşümlerini bilinçli uygulamaları kolaylaşır. kopmaz bağlantı bazı sayısal kümelerle birlikte sayısal ifadelerin genelleştirilmiş kayıtlarıdır. Cebirsel ve arasındaki analojiler sayısal ifadeler(ve bunların dönüşümleri) mantıksal anlamda yasaldır, öğretimde kullanımları öğrencilerde hataların önlenmesine yardımcı olur.

Kimlik dönüşümleri hiç değil ayrı bir konu okul matematik dersinde, cebir kursunun tamamı ve matematiksel analizin başlangıcı boyunca incelenirler.

1-5. Sınıflar için matematik programı, değişkenli ifadelerin özdeş dönüşümlerini incelemek için hazırlık materyalidir.

7.sınıf cebir dersinde. kimliğin tanımı ve kimlik dönüşümleri tanıtılmaktadır.

Def. Değişkenlerin herhangi bir değerine karşılık gelen değerleri eşit olan iki ifadeye denir. aynı şekilde eşittir.

Resmi Kalkınma Yardımı. Değişkenlerin herhangi bir değeri için doğru olan eşitliğe kimlik denir.

Kimliğin değeri, belirli bir ifadenin kendisine tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesine izin vermesi gerçeğinde yatmaktadır.

Def. Bir ifadenin tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesine denir özdeş dönüşüm ya da sadece dönüşüm ifade.

Değişkenli ifadelerin özdeş dönüşümleri sayılar üzerinde yapılan işlemlerin özelliklerine göre gerçekleştirilir.

Kimlik dönüşümlerinin temelinde eşdeğer dönüşümler sayılabilir.

Resmi Kalkınma Yardımı. Her biri diğerinin mantıksal sonucu olan iki cümleye denir. eş değer.

Resmi Kalkınma Yardımı. A değişkenli cümleye denir. B değişkenli bir cümlenin sonucu, eğer B doğruluk alanı, A doğruluk alanının bir alt kümesi ise.

Eşdeğer cümlelerin başka bir tanımı da verilebilir: Değişkenleri olan iki cümle, eğer doğruluk alanları çakışıyorsa eşdeğerdir.

a) B: x-1=0 bölü R; A: (x-1) 2 bölü R => A~B, çünkü doğruluk alanları (çözüm) çakışıyor (x=1)

b) A: x=2 bölü R; B: x 2 =4 bölü R => doğruluk bölgesi A: x = 2; doğruluk alanı B: x=-2, x=2; Çünkü A'nın doğruluk alanı B'de bulunuyorsa, o zaman: x 2 =4, x = 2 önermesinin bir sonucudur.

Kimlik dönüşümlerinin temeli aynı sayıyı temsil edebilme yeteneğidir. değişik formlar. Örneğin,

-

Bu gösterim “kesirlerin temel özellikleri” konusunu incelerken yardımcı olacaktır.

Sınıflarda öğrencilere sunulan “2a 3 +3ab+b 2 ifadesinin sayısal değerini a = 0,5, b = 2/3 ile bulunuz” benzeri örnekler çözülürken kimlik dönüşümü yapma becerisi gelişmeye başlar. 5 ve propaedötik fonksiyon kavramına izin verir.

Kısaltılmış çarpma formüllerini incelerken derin anlayışlarına ve güçlü asimilasyonlarına dikkat etmelisiniz. Bunu yapmak için aşağıdaki grafik gösterimi kullanabilirsiniz:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Soru: Bu çizimlere dayanarak verilen formüllerin özü öğrencilere nasıl anlatılır?

Yaygın bir hata, "toplamın karesi" ve "kareler toplamı" ifadelerini karıştırmaktır. Öğretmenin bu ifadelerin işlem sırasına göre farklılık gösterdiğini belirtmesi anlamlı görünmemektedir. Çünkü öğrenciler bu eylemlerin aynı sayılar üzerinde yapıldığını ve bu nedenle eylemlerin sırası değiştirildiğinde sonucun değişmeyeceğini düşünmektedir.

Ödev: Öğrencilerin yukarıdaki formülleri hatasız kullanma becerilerini geliştirmek için sözlü alıştırmalar oluşturun. Bu iki ifadenin benzerliğini ve birbirlerinden farklılıklarını nasıl açıklayabiliriz?

Aynı dönüşümlerin çok çeşitli olması, öğrencilerin gerçekleştirildikleri amaca göre kendilerini yönlendirmelerini zorlaştırır. Dönüşümleri gerçekleştirme amacına ilişkin bulanık bilgi (her özel durumda), farkındalıklarını olumsuz yönde etkiler ve kaynak görevi görür. büyük hatalaröğrenciler. Bu durum öğrencilere çeşitli kimlik dönüşümlerini gerçekleştirme hedeflerini açıklamanın önemli olduğunu göstermektedir. ayrılmaz parçaçalışmalarına yönelik yöntemler.

Kimlik dönüşümlerine yönelik motivasyon örnekleri:

1. konumun basitleştirilmesi Sayısal değer ifade;

2. Denklemin kök kaybına yol açmayacak bir dönüşümünün seçilmesi;

3. Bir dönüşüm gerçekleştirirken hesaplama alanını işaretleyebilirsiniz;

4. hesaplamalarda dönüşümlerin kullanılması, örneğin, 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Karar sürecini yönetmek için öğretmenin, öğrencinin yaptığı hatanın özünü doğru bir şekilde tanımlayabilme becerisine sahip olması önemlidir. Doğru hata karakterizasyonu anahtardır doğru seçimÖğretmenin daha sonraki eylemleri.

Öğrenci hatalarına örnekler:

1. çarpma işleminin yapılması: öğrenci -54abx 6 (7 hücre) aldı;

2. Öğrenci (3x2)3'ün üssüne yükselterek 3x6 (7 not) aldı;

3. (m + n) 2'yi polinoma dönüştürerek öğrenci m 2 + n 2 (7. sınıf);

4. Öğrencinin aldığı kesiri (8 not) düşürerek;

5. Çıkarma işlemini gerçekleştirmek: , öğrenci yazıyor (8. sınıf)

6. Kesri kesir şeklinde temsil eden öğrenci şunları aldı: (8 sınıf);

7. Kaldırma aritmetik kököğrenci x-1 aldı (9. sınıf);

8. Denklemin çözümü (9. sınıf);

9. İfadeyi dönüştürerek öğrenci şunu elde eder: (9. sınıf).

Çözüm

Kimlik dönüşümleri üzerine çalışmalar yapılıyor yakın bağlantı belirli bir sınıfta çalışılan sayısal kümelerle.

İlk başta öğrenciden dönüşümün her adımını açıklamasını, geçerli kural ve yasaları formüle etmesini istemelisiniz.

Cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümlerinde iki kural kullanılır: değiştirme ve eşitlerle değiştirme. Değiştirme en sık kullanılır, çünkü Formülleri kullanarak hesaplama buna dayanmaktadır, yani. a*b ifadesinin a=5 ve b=-3 değerini bulun. Çoğu zaman, öğrenciler çarpma işlemlerini gerçekleştirirken çarpma işaretinin ima edildiğine inanarak parantezleri ihmal ederler. Örneğin aşağıdaki giriş mümkündür: 5*-3.

Edebiyat

1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “İşlevsel ve grafik yöntemleri sınav problemlerini çözme”, Mn..Aversev, 2004

2. AÇIK Piryutko " Yaygın hatalar Açık merkezi test", Mn..Aversev, 2006

3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “Merkezi testlerde tuzak görevleri”, Mn..Aversev, 2006

4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “Çözüm yöntemleri trigonometrik problemler", Mn..Aversev, 2005

Arasında çeşitli ifadeler cebirde ele alınan, önemli yer tek terimlilerin toplamını işgal eder. İşte bu tür ifadelere örnekler:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Monomiyallerin toplamına polinom denir. Bir polinomdaki terimlere polinomun terimleri denir. Tek terimlilerin bir üyeden oluşan bir polinom olduğu düşünüldüğünde, monomiyaller polinomlar olarak da sınıflandırılır.

Örneğin, bir polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
basitleştirilebilir.

Tüm terimleri standart formdaki tek terimli formda temsil edelim:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Ortaya çıkan polinomdaki benzer terimleri sunalım:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Sonuç, tüm terimleri standart formun monomları olan ve aralarında benzer olmayan bir polinomdur. Bu tür polinomlara denir standart formdaki polinomlar.

Arka polinom derecesi standart bir biçimde, üyelerinin en yüksek yetkilerini alır. Böylece, \(12a^2b - 7b\) binom üçüncü dereceye, \(2b^2 -7b + 6\) ise ikinci dereceye sahiptir.

Tipik olarak, bir değişken içeren standart formdaki polinomların terimleri, üslerin azalan sırasına göre düzenlenir. Örneğin:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Birkaç polinomun toplamı standart formdaki bir polinoma dönüştürülebilir (basitleştirilebilir).

Bazen bir polinomun terimlerinin gruplara bölünmesi ve her grubun parantez içine alınması gerekir. Kapalı parantez, açılan parantezlerin ters dönüşümü olduğundan formüle edilmesi kolaydır. Parantez açma kuralları:

Parantezlerin önüne “+” işareti konulursa parantez içindeki terimler aynı işaretlerle yazılır.

Parantezlerin önüne “-” işareti konulursa parantez içindeki terimler zıt işaretlerle yazılır.

Bir monom ve bir polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak, bir monom ile bir polinomun çarpımını bir polinoma dönüştürebilirsiniz (basitleştirebilirsiniz). Örneğin:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Bir monom ve bir polinomun çarpımı, bu monom ve polinomun her bir teriminin çarpımlarının toplamına tamamen eşittir.

Bu sonuç genellikle bir kural olarak formüle edilir.

Bir tek terimliyi bir polinomla çarpmak için, bu tek terimliyi polinomun her bir terimiyle çarpmanız gerekir.

Bir toplamla çarpmak için bu kuralı zaten birkaç kez kullandık.

Polinomların çarpımı. İki polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Genel olarak, iki polinomun çarpımı, bir polinomun her terimi ile diğerinin her teriminin çarpımının toplamına özdeştir.

Genellikle aşağıdaki kural kullanılır.

Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğerinin her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir.

Kısaltılmış çarpma formülleri. Kareler toplamı, farklar ve kareler farkı

Bazı ifadelerle cebirsel dönüşümler diğerlerinden daha sık uğraşmak zorunda kalıyoruz. Belki de en yaygın ifadeler \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ve \(a^2 - b^2 \), yani toplamın karesi, karelerin farkı ve farkı. İsimlere dikkat ettiniz mi? belirtilen ifadeler sanki tamamlanmamış gibi, örneğin \((a + b)^2 \) elbette sadece toplamın karesi değil, aynı zamanda a ve b toplamının da karesidir. Ancak a ve b toplamının karesi kural olarak çok sık görülmez; a ve b harfleri yerine çeşitli, bazen oldukça karmaşık ifadeler içerir.

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ifadeleri kolayca standart formdaki polinomlara dönüştürülebilir (basitleştirilebilir), aslında, polinomları çarparken bu görevle zaten karşılaştınız:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Ortaya çıkan kimlikleri hatırlayıp, ara hesaplamalar yapmadan uygulamakta fayda var. Kısa sözlü formülasyonlar buna yardımcı olur.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - toplamın karesi toplamına eşit kareler ve ürünü ikiye katlayın.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - farkın karesi, iki katı çarpım olmadan karelerin toplamına eşittir.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kareler farkı, farkın ve toplamın çarpımına eşittir.

Bu üç kimlik, dönüşümlerde kişinin sol kısımlarını sağ taraftaki kısımlarla değiştirmesine ve sağ taraftaki kısımları da sol taraftaki kısımlarla değiştirmesine olanak tanır. En zor şey karşılık gelen ifadeleri görmek ve a ve b değişkenlerinin bunların içinde nasıl değiştirildiğini anlamaktır. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanımına ilişkin birkaç örneğe bakalım.