Al estudiar este tema, los estudiantes deben dominar las técnicas de cálculo, adquirir sólidas habilidades computacionales, memorizar los resultados de sumas y restas hasta 10, así como la composición de los números de los primeros 10, reconocer y mostrar los componentes y resultados de dos operaciones aritméticas. y entender sus nombres en el discurso del profesor.

A medida que los estudiantes dominan secuencia natural números y las propiedades de esta serie, también hay que iniciarse en las técnicas de suma y resta, basadas en esta propiedad de la serie natural de números. Los niños aprenden estas técnicas para sumar y restar uno a un número, es decir. contar y contar regresivamente de 1 en 1.

Cuando los estudiantes dominan las técnicas de conteo, el maestro les presenta las técnicas de conteo.

Si los estudiantes de primer grado dominan las técnicas de conteo con bastante rapidez, entonces las técnicas de conteo son mucho más lentas.

La dificultad es que el método de conteo se basa en buen conocimiento contar hacia atrás, y contar hacia atrás es difícil para muchos estudiantes de primer grado. Además, los estudiantes tienen problemas para recordar cuánto hay que quitar, cuánto ya se ha quitado y cuánto más hay que quitar.

Al estudiar cada número de los primeros diez, los estudiantes también obtienen una idea de la composición de estos números.

Al principio es necesario dar ejercicios en los que uno de los términos sea percibido visualmente por los niños y busquen el segundo mediante representación.

Al realizar operaciones de suma y resta dentro de numero dado Se presentan soluciones a ejemplos a los que les falta un componente. Se indica mediante puntos, marcos, signos de interrogación, etc., por ejemplo:

Yo – 3, 4 +... = segundo, ? – 2 = 4. segundo - ? = 2.

Escribimos 1-1=0 (la ausencia de objetos se indica con los números O). Más ejemplos se resuelven cuando la diferencia es cero.

Debes introducir el número cero como sustraendo y luego como sumando en una gran cantidad de ejercicios. Los estudiantes comprenderán mejor el significado de las operaciones con cero si no se introducen simultáneamente el cero como sustraendo y el cero como sumando. Luego se realizan ejercicios para diferenciar ejemplos en los que se sumará y restará cero.
El profesor de primer grado debe llamar la atención de los alumnos sobre el hecho de que la suma siempre es mayor que cada uno de los términos y el resto siempre es menor que los minuendos.

El minuendo es mayor o igual que el sustraendo, de lo contrario no se puede realizar la resta.

Ya desde el primer grado, los estudiantes deben estar acostumbrados a verificar la exactitud de las soluciones a los ejemplos.

Análisis del libro de texto de Moreau

El estudiante sabrá:

El significado específico y el nombre de las acciones de suma y resta;

Conocer y utilizar los nombres de los componentes y los resultados de sumas y restas al leer y escribir expresiones numéricas;

Conocer la propiedad conmutativa de la suma;

Conocer la tabla de suma hasta 10 y los casos correspondientes de resta;

Unidades de longitud: cm y dm, la relación entre ellos;

Unidad de masa: kg.

Encuentre el significado de expresiones numéricas en 1 o 2 pasos sin paréntesis;

Aplicar técnicas de cálculo:

al agregar - agregar partes; reordenamiento de números;

al restar: restar un número en partes y restar basándose en el conocimiento del caso de suma correspondiente;

Realizar sumas y restas con el número 0;

Encuentre un número que sea varias unidades mayor o menor que uno dado;

Ser capaz de resolver problemas de suma y resta de un solo paso.

Estudiante en actividades conjuntas Con un profesor tendrás la oportunidad de aprender:

- agrupar objetos según una característica determinada;

- resolver acertijos, cuadrados magicos, ejemplos circulares, tareas de ingenio, acertijos, cadenas de ejemplos, tareas de broma, problemas de logica;

- construir polígonos, líneas discontinuas.

UUD cognitivo:

1. Oriéntese en los libros de texto (sistema de notación, estructura del texto, títulos, vocabulario, contenido).

2. Buscar información necesaria ejecutar tareas educativas usando materiales de referencia libro de texto (bajo la dirección de un profesor).

3. Comprender información presentada en forma de texto, imágenes y diagramas.

4. Comparar objetos, objetos: encontrar puntos en común y diferencias.

5. Agrupar, clasificar objetos según características esenciales, según criterios especificados..

UUD regulatorio:

1. Organiza tu lugar de trabajo bajo la dirección de un profesor.

2. Realice un control comparando su trabajo con un estándar determinado.

3. Haga las adiciones y correcciones necesarias a su trabajo si difiere del estándar (muestra).

4. En colaboración con el profesor, determine la secuencia de estudio del material, basándose en la serie ilustrativa de la “hoja de ruta”.

UUD comunicativa:

1. Observe los estándares más simples etiqueta del habla: saludar, decir adiós, gracias.

2. Participar en el diálogo (responder preguntas, hacer preguntas, aclarar cualquier cosa que no esté clara).

3. Cooperar con los compañeros al realizar tareas en parejas: establecer y seguir el orden de las acciones, informar correctamente los errores a un compañero.

4.Participar en una discusión colectiva sobre un problema educativo.

Comparar diferentes métodos de cálculo, elija el que le resulte más conveniente.

Simular situaciones que ilustran una operación aritmética y el progreso de su ejecución.

Usar terminología matemática al escribir y realizar operaciones aritméticas (suma, resta).

Simular estudió las dependencias aritméticas.

Pronóstico resultado del cálculo.

Monitorear y realizar un control paso a paso de la exactitud e integridad de la ejecución del algoritmo de operación aritmética.

Usar varias técnicas para comprobar la exactitud de encontrar una expresión numérica (basadas en algoritmos para realizar operaciones aritméticas y estimar el resultado).

Plan solución al problema.

Explicar elegir operaciones aritméticas para las soluciones.

Acto de acuerdo con un plan dado para resolver el problema.

Usar Imágenes geométricas para resolver el problema.

Control: detectar y eliminar errores de naturaleza aritmética (cálculo).

Observar para cambiar la solución a un problema cuando cambian sus condiciones.

Realizar nota corta de diferentes maneras, incluido el uso de imágenes geométricas (segmento, rectángulo, etc.).

Investigación situaciones que requieren comparación de cantidades y su ordenación.

Caracterizar fenómenos y eventos usando cantidades.

11) Metodología para el estudio de operaciones aritméticas. Suma y resta de números de la segunda decena (tareas del tema, casos considerados, suma y resta basadas en conocimientos de numeración, casos de suma y resta sin pasar de rango - ¡¡¡incluir justificación de las técnicas!!!).

El estudio de la numeración y las acciones dentro de 20, es decir, el segundo y el primer centro, se lleva a cabo en el segundo grado de una escuela correccional.

Objetivos de la segunda concentración: dar el concepto de diez como una nueva unidad; enseñar a contar hasta 20, contar y contar de uno en uno, diez y grupos de números iguales (2, pero 5, 4); introducir la composición decimal de los números; desarrollar una comprensión de los números de uno y dos dígitos; enseñar a denotar números del 1 al 20 con dígitos; introducir el principio importancia local números; enseñar a sumar y restar en los pasillos 20; dar el concepto de nuevas acciones: multiplicación y división; (presente la tabla de multiplicación y división hasta 20.

A la hora de seleccionar o elaborar ayudas especiales, debes recordar que deben mostrar la composición decimal de los números de la segunda decena, por lo que la decena y las unidades deben estar claramente resaltadas.

Estos beneficios incluyen: 20 palos (10 palos esparcidos y 10 atados en un paquete, es decir, 1 docena); 20 cubos y 2 barras de 10 cubos; 20 cuadrados y 2 franjas de 10 cuadrados; regla de 20 cm de largo, todas las tiras de cartón de 10 cm de largo cada una, divididas en 10 partes iguales; caja de monedas; ábaco de clase e individual; tabla de dígitos con unidades y decenas; caja registradora digital; una tabla con números del 1 al 20 escritos en una y dos filas; tablas para contar en grupos de igual número de 2, 3, 4, 5; tabla con números del 1 al 20 que muestra números pares e impares diferentes colores; un juego de tablillas (10 piezas) con el número 10 para compilar y descomponer números (en decenas y unidades) del 11 al 20; carteles con el número 20.

La base para comprender la numeración de los números de la segunda decena es la selección de diez y una comprensión clara de que diez son diez unidades y al mismo tiempo nueva unidad contar, que se puede contar de la misma forma que unidades, sumando uno a los números, etc., los nombres de esta unidad de conteo, por ejemplo, uno diez-diez.

La numeración de números hasta 20 consta de varias etapas: 1) obtención de una decena; 2) obtener la segunda decena del 11 al 19 contando varias unidades hasta uno; 3) obtener el número 20 a partir de dos decenas 1) numeración escrita de números del 11 al 20; 5) obtener la segunda decena contando uno hasta el número anterior y contando un pájaro desde el número siguiente.

La puntuación está dentro de 20.

Primero, los estudiantes deben repetir la numeración de los números de los primeros diez: obtener números en una serie sumando al número anterior y restando 1 del siguiente, la relación entre los números vecinos, el nombre de los números y su significado. en números. El profesor llama la atención de los estudiantes sobre el hecho de que cada número del 0 al 10 se denota por uno nuevo, no está asociado con otra palabra, y para denotar cada uno de los números del O) 9 hay señal especial, que se llama número. El número m se denota por dos dígitos 1 y 0. El maestro informa que solo hay 10 dígitos. Primero, se repite el conteo en unidades hasta 10 y se muestra el resultado de una decena. Es importante diferenciar los conceptos de “diez unidades” y “od > diez”. Diez es un todo, uno.

La siguiente etapa para trabajar con los números de la segunda decena es contar hasta 20. Los estudiantes deben recordar los nombres de los números en el orden de la serie numérica, contar objetos, representarlos con sonidos, saltar, golpear la pelota, aplaudir. numero dado varias veces, se cuenta un número determinado de objetos en los pasillos 20, el conteo se realiza contando y leyendo uno por uno. Es recomendable familiarizarse con la numeración hasta 20. , presente a los estudiantes la unidad de medida dm.

Sumar y restar números hasta 20 sin saltar el valor posicional
Repetir la composición decimal de los números del 10 al 20, contando hacia adelante y hacia atrás del 1 al 20.

Fortalecer las habilidades computacionales dentro de 20 sin pasar del rango

(Serie numérica).

La serie de números es del 10 al 20, pero a algunos números les faltan dígitos.

cada uno de ustedes debe sacar un número de mi bolso, con ojos cerrados adivinalo y ponlo en su lugar.

10,1., 1., 1., 14, 1., 1., 1., 1., 1., 2..

Repetir la composición decimal de un número.

El profesor dice la composición decimal del número y los alumnos muestran este número.

1dic.3 unidades, 1dic. 6 unidades, 1 des. 9 unidades, 2 des., 1 des. 2 unidades, 1 des.

¿Cuántas decenas y unidades hay en el número 15? (En 15 hay 1 decenas y 5 unidades).

¿Cómo se puede obtener el número 15?

Dictado matemático.

El profesor da un ejemplo y los alumnos escriben solo la respuesta.

10 + 5 15 – 1 15 – 10 14 + 1 15 – 5

Respuestas: 15, 14, 5, 15, 10, 10.

Verificar: un estudiante lee las respuestas y todos los demás verifican.

Subraya los números de un solo dígito con una línea.

¿Qué números subrayaste?

Resolver un problema verbal.

Tarea: “Los chicos de la lección laboral estaban preparando adornos para el árbol de Navidad. El primer día hicieron 12 juguetes y el segundo día hicieron 2 juguetes menos. ¿Cuántos juguetes hicieron los niños el segundo día?

Trabajar en el contenido de la tarea.

¿Qué dice el problema?

¿Quién hizo los juguetes?

¿Cuántos días hiciste los juguetes?

Escribir una breve nota.

¿Cuántos juguetes hiciste el primer día?

¿Qué dice sobre el segundo día? (Dijo 2 juguetes menos)

¿Qué pregunta el problema? (El problema pregunta ¿cuántos juguetes hicieron los niños el segundo día?)

1 – 12 juegos.

2 – ? juegos., para 2 juegos. menos.

Encontrar una solución al problema.

Entonces, ¿cuántos juguetes se hicieron el primer día? (12)

¿Qué se dice del segundo día?

¿Qué significa “2 juguetes menos”? (2 juguetes menos; es lo mismo que el primer día, pero sin dos).

¿Cómo podemos saber cuántos juguetes hay el segundo día? (por resta)

¿Cómo escribimos la solución al problema?

¿Respondiste la pregunta de la tarea?

Registrar la solución a un problema.

12 juegos. – 2 juegos. = 10 juegos.

Grabar una respuesta.

Respuesta: 10 juguetes.

Secuencia y técnicas para aprender a sumar y restar hasta 20.

I. Métodos de suma y resta basados ​​en el conocimiento de la composición decimal de los números (10+3, 13-3, 13-10) y de la numeración de números hasta 20 (16+1, 17-1).

Al resolver estos ejemplos, se fija la relación entre suma y resta, la propiedad conmutativa de la suma, los nombres de los componentes y los resultados de las acciones. Al mismo tiempo, los estudiantes dejan gradualmente de utilizar ayudas visuales, pero se les exige que expliquen las acciones.

II. Suma y resta sin pasar por diez.

La ejecución de acciones se basa en la descomposición de componentes en decenas y unidades: un número de dos dígitos se suma a un número de un dígito. Resta un número de un dígito de un número de dos dígitos. Primero debemos considerar los casos en los que el número de unidades en 1 slug. el número es mayor que en el segundo término (13+2, 1+3), y sólo entonces incluyen casos de la forma 11+6, 13+5, aunque sus soluciones son las mismas, --5

Explicación seguida de uso. ayudas visuales Y registro detallado soluciones, por ejemplo: 13+2. El primer término (13) consta de 1 decena y 3 unidades: 1 decena de palos y 1e 3 palos. El segundo término es 2. Suma 2 palos. 3 palos y 2 palos - 5 palos y 1 docena de palos. Obtenga 1 decena (varas) y 5 unidades (varas): este es el número 15. Shechit, 13+2=15. Los casos de ustedes se explican de manera similar.

Es importante enfatizar constantemente que se suman y restan unidades al resolver este tipo de ejemplos. Al escribir un ejemplo, los estudiantes pueden enfatizar las unidades: 14+2 = 16, 16-2 = 14. A veces es recomendable escribir las unidades y las decenas en diferentes colores. Puedes rodearlos en el tablero.

Al resolver ejemplos de suma, se fortalece la capacidad de los estudiantes para utilizar la ley conmutativa de la suma: la solución del ejemplo 2 + 14 se realiza sobre la base de la solución del ejemplo 14 + 2. Es útil comparar ejemplos de suma y resta hasta 20 con ejemplos de las mismas operaciones hasta 10:

7+ 2= 9 9-2= 7 5+ 3= 8- 3=

2+ 7= 9 9-7= 2 3+...= 8-...=

17+ 2=19 19-2 = 17 17+ 2= 19- 2=

2+17=19 19-7=12 2+...= 19-...=

b) obtener la suma de 20 y restarle un número de un solo dígito a 20:

La resolución de ejemplos de este tipo, especialmente la resta, causa importantes dificultades a muchos escolares con retraso mental. Los estudiantes están confundidos por el hecho de que al sumar unidades en el lugar de las unidades, el resultado es cero. Dividir 20 en dos decenas y restarle una decena cantidad especificada unidades, los niños olvidan sumar este resultado a diez y obtienen la respuesta incorrecta: 20-3 = 7.

El uso de ayudas visuales, la actualización de los conocimientos existentes y la confianza en ellos ayudan a superar estas dificultades. Es necesario repetir la tabla de suma y resta hasta 10. suma de un número de un solo dígito hasta diez, resta de 10.

La explicación de la suma no representa nada nuevo respecto a la explicación de la resolución de ejemplos de la forma 13 + 2, excepto la formación de 1 decena: 5 + 5 = 10 (o 1 decena); 1 de diciembre + 1 dism.=2 dism.=20. ^"Considere un ejemplo de resta: 20-3. El número 20 tiene cero unidades, pero necesita restar 3 unidades. Tomamos 1 decena, lo dividimos en 10 unidades y restamos 3 unidades, obtenemos 7 unidades. En total, Quedan 1 decena y 7 unidades, o 17. Razonamiento realizado

El movimiento se escribe así: 20-3=17.

En caso de dificultades para comprender y aceptar los cálculos, se puede realizar una explicación utilizando palos atados en manojos. Por ejemplo, 20 son 2 decenas (tomamos 2 manojos de palos) y cero unidades. Cogemos 1 decena y la dividimos en 10 unidades (desatamos el manojo de palitos). 10 unidades menos 3 unidades son 7 unidades. Sólo quedan 1 decena y 7 unidades, o sea 17.

Se resuelven ejemplos de reordenamiento de términos, compilados según el modelo, por analogía:

Se comparan las operaciones de suma y resta: 15+5=20; 20-5=15;

c) restar un número de dos dígitos de un número de dos dígitos: 15-12; 20-15. x La solución a ejemplos de este tipo se puede explicar de diferentes maneras:

1. descomponer el minuendo y el sustraendo en decenas y unidades y restar decenas de decenas y unidades de unidades;

2. descomponer el sustraendo en decenas y unidades. Resta decenas del minuendo y unidades del número resultante.

Es difícil para los estudiantes familiarizarse con dos técnicas a la vez, e incluso es difícil familiarizarse consistentemente primero con una técnica y luego con otra. Mentalmente escolares retrasados No pueden elegir de forma independiente cuándo es más apropiado utilizar una u otra técnica. Por tanto, el conocimiento de dos técnicas sólo las confunde. Es mejor trabajar bien en un método de cálculo y enseñar a los estudiantes a utilizarlo de forma independiente.

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12) Metodología para el estudio de operaciones aritméticas. Suma y resta de números de la segunda decena (problemas temáticos, casos considerados, suma y resta con transición a través del valor posicional; métodos de familiarización con la propiedad combinatoria de la suma, la regla para restar un número de una suma y una suma de un número ).

Suma y resta hasta 20.

Dominar las técnicas computacionales de suma y resta hasta 20 se basa en un buen conocimiento de la suma y resta hasta 10, conocimiento de la numeración y composición de números hasta 20.

Al estudiar las operaciones de suma y resta hasta 20, así como al estudiar las operaciones correspondientes hasta 10, gran valor tiene claridad y actividades practicas con beneficios de los propios estudiantes. Por tanto, todos los tipos de ayudas visuales utilizadas en el estudio de la numeración también encontrarán aplicación en el estudio de las operaciones aritméticas.

Es más apropiado estudiar las operaciones de suma y resta en paralelo después de familiarizarse con cierto caso Además estudia el caso correspondiente de resta versus suma.

En segundo grado, los estudiantes deben saber los nombres de los componentes de la suma y la resta.

1. Técnicas de suma y resta basadas en el conocimiento de la composición decimal de los números.

2. Suma y resta sin pasar por diez:

a) Se suma un número de una cifra a un número de dos cifras. Un número de una cifra se resta de un número de dos cifras;

b) obtener la suma de 20 y restarle un número de un solo dígito;

c) restar un número de dos dígitos de un número de dos dígitos: 15-12, 20-15.

La resolución de ejemplos de este tipo se puede explicar de diferentes formas:

1. Descomponga el minuendo y el sustraendo en decenas y unidades y reste decenas de decenas y unidades de unidades.

2. Descomponer el sustraendo en decenas y unidades. Resta decenas del minuendo y unidades del número resultante.

3. La suma y resta con transición a través de series presenta las mayores dificultades para los estudiantes con trastornos psicofísicos. la resta pasando por diez también requiere varias operaciones;

Dividir el minuendo en decenas y unidades.

Descompone el sustraendo en dos números, uno de los cuales es igual al número del minuendo.

Restar unidades

Resta el número restante de unidades de diez

Trabajo preparatorio debe consistir en repetición:

a) tabla de suma y resta hasta 10,

b) la composición de los números de los primeros diez (todos opciones posibles

de dos números)

c) suma de números hasta 10

d) descomposición de un número de dos cifras en decenas y unidades

d) resta de diez números de un solo dígito

f) consideración de casos del tipo 17-8, 15-5.

los estudiantes trabajan con los números 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19).

estudiante: “9+8=. Necesitamos sumar 9 a 10, 8 es 1 y 7. 9 y 1 es 10. Todo lo que queda es sumar 7, 10+7=17, lo que significa 9+8=17. Lo haré de otra forma: 8+9=. 9 es 2 y 7, 8+2=10, 10 +7=17, lo que significa 8+9=17. Reorganizar los términos no cambia la suma. Entonces el cálculo está hecho, ¿verdad? Escribamos en tu cuaderno la expresión 9+8=17.

suma de números de un solo dígito con transición al diez

Hagamos la suma por partes:

7 + 9 = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 = 16 Respuesta: 7 + 9 = 16.

→ Operaciones aritméticas

Operaciones aritméticas

Encontrar un nuevo número a partir de varios números dados se llama operación aritmética. Hay seis operaciones involucradas en la aritmética: suma, sustracción, multiplicación, división, exponenciación, extracción de raíz.

1. Suma. Esta acción consiste en utilizar varios números, llamados sumandos, para encontrar un número llamado su suma.

Ejemplo: 4+3=7, donde 4 y 3 son términos y 7 es su suma.

2. Sustracción- una acción mediante la cual, a partir de una suma dada (minuendo) y un término dado (sustraendo), se encuentra el término deseado (diferencia).
Esto es lo contrario de la suma.

Ejemplo: 7 – 3 = 4, donde 7 es el minuendo, 3 es el sustraendo y 4 es la diferencia.

3. Multiplicación. Multiplicar un determinado número (multiplicando) por un número entero (factor) significa repetir el multiplicando como sumando tantas veces como unidades tenga el factor. El resultado de la multiplicación se llama producto.

Ejemplo: 2 ∙ 3 ​​​​= 6, donde 2 es el multiplicando, 3 es el multiplicador y 6 es el producto. (2 ∙ 3 ​​​​= 2 + 2+ 2 = 6)

Si el multiplicador y el multiplicando cambian sus funciones, entonces el producto sigue siendo el mismo. Por lo tanto, el multiplicador y el multiplicando también se llaman factores.

Ejemplo: 2 ∙ 3 ​​​​= 3 ∙ 2, es decir (2 + 2 + 2 = 3 + 3)

Se supone que si el factor es 1, entonces a ∙ 1 = a.

Por ejemplo: 2 ∙ 1 = 2, 44 ∙ 1 = 44, 13 ∙ 1 = 13.

4. División. Al dividir por este trabajo(divisible) y el factor dado (divisor) encuentre el factor requerido (cociente).
Este es el inverso de la multiplicación.

Ejemplo: 8: 2 = 4, donde 8 es el dividendo, 2 es el divisor y 4 es el cociente.

Comprobando división: el producto del divisor 2 y el cociente 4 da el dividendo 8. 2 ∙ 4 = 8

División con resto

Si al dividir un número entero entre un número entero el cociente da como resultado un número entero, entonces dicha división de números enteros se llama preciso, o que el primer número completamente dividido(o simplemente - dividido) por el segundo.

Por ejemplo: 35 es divisible (por un número entero) por 5, el cociente es el número entero 7.

El segundo número se llama divisor del primero y el primero es múltiplo del segundo.

En muchos casos, puedes averiguarlo sin realizar una división. ¿Es completamente divisible? un número entero dividido por otro (ver signos de divisibilidad).

No siempre es posible una división exacta. En este caso, realice el llamado división con resto. En este caso, encuentre el número más grande que, multiplicado por el divisor, dará un producto que no exceda el dividendo. este numero se llama privado incompleto. La diferencia entre el dividendo y el producto del divisor y el cociente parcial se llama resto de la división.
El dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente parcial más el resto. El resto es siempre menor que divisor.

Ejemplo: El cociente parcial de dividir el número 27 entre 4 es 6 y el resto es 3. Obviamente, 27 = 4∙6 + 3 y 3˂4.

5. Exponenciación. Elevar un determinado número a una potencia entera (al segundo, al tercero, etc.) significa tomar este número como factor dos, tres veces, etc. En otras palabras, la exponenciación se logra mediante multiplicaciones repetidas.
El número que se toma como factor se llama base de grado; Se llama un número que indica cuantas veces se repite una base. exponente; El resultado de elevar un número a una potencia se llama. potencia de este número.

Ejemplo: 2∙2∙2 = 2³ = 8; donde 2 es la base del grado, 3 es el exponente, 8 es el grado.

La segunda potencia de un número también se llama cuadrado, tercer grado – cubo. La primera potencia de un número es el número mismo.

6. Extracción de raíces es una acción por la cual, según un grado dado ( número radical ) Y este indicador grados ( exponente raíz) encuentre la base deseada (raíz).
Esto es lo opuesto a elevar a una potencia.

Ejemplo: ³√64 = 4; donde 64 es el número radical, 3 es el exponente raíz, 4 es la raíz.

Control de extracción de raíces: 4³=64. Elevando el número 4 a la tercera potencia da 64.

La raíz de segundo grado también se llama cuadrado; raíz del tercer grado - cúbico.
en la señal raíz cuadrada Se acostumbra omitir el exponente raíz: √36 = 6 significa ²√36 = 6.

Litro utilizado:
guía para matemáticas elementales- Vygodsky M.Ya., “Ciencia”, 1974
Manual de Matemáticas. Manual para estudiantes de 9 a 11 grados. - Shakhno K.U., "Uchpedgiz", 1961

Dividiremos las cuestiones de metodología para el estudio de operaciones aritméticas en dos partes. En esta parte, veremos cómo formar las ideas de los estudiantes sobre la suma, resta, multiplicación, división, el concepto de operación aritmética y sus propiedades, y en la siguiente parte del capítulo, cómo desarrollar habilidades computacionales.

7.3.1. Objetivos y resultados del estudio de operaciones aritméticas. Operaciones aritméticas – conceptos clave Teoría de números y las características más importantes de los conjuntos de números. Su estudio es parte integral de la formación del concepto de número y de las habilidades computacionales. En matemáticas, la generalización de las operaciones aritméticas condujo al concepto de operación, y luego a conceptos como estructura matemática, grupo, anillo, campo, que juegan un papel muy importante en las matemáticas modernas y en su aplicación en diversas áreas de la vida. El aprendizaje de operaciones aritméticas permite a los niños entrar en contacto intuitivamente con muchas ideas matemáticas, en particular, con las ideas de funcionalidad, estructura matemática, modelado matemático y el principio de dualidad. Las operaciones aritméticas tienen un rico potencial para el desarrollo del pensamiento, el habla, la formación y el desarrollo de acciones educativas universales.

Operaciones aritméticas en formas modernas Los registros son convenientes para observar y descubrir patrones y construir secuencias numéricas. Permiten la invención de métodos para realizar acciones y algoritmos correspondientes, métodos para convertir expresiones numéricas y, por lo tanto, pueden servir como un medio para desarrollar el pensamiento independiente y las habilidades creativas. La tarea de enseñar computación no ha perdido su importancia, aunque el papel de las habilidades computacionales ha cambiado. Los objetivos del estudio de las operaciones aritméticas y los requisitos para los resultados de su estudio también han cambiado.

Objetivos de aprendizaje operaciones aritméticas escolares más pequeños: desarrollo personal e intelectual, desarrollo de ideas sobre números y operaciones aritméticas, formación de habilidades computacionales, conocimiento propedéutico de ideas clave matemáticas, logrando resultados planificados.

Los resultados personales y de meta-asignaturas están garantizados por a) la naturaleza de la presentación de las operaciones aritméticas por parte de los estudiantes, incluida la consideración de sus aspectos humanitarios no sólo estrictamente sustantivos, sino también interdisciplinarios; b) mayor atención a los significados de las operaciones aritméticas, a las conexiones y conclusiones lógicas, al uso de operaciones aritméticas para describir el mundo que nos rodea; c) inclusión en el proceso de estudio de la experiencia numérica subjetiva existente y emergente de los niños, la experiencia de la cognición.

Resultados personales estudiar operaciones aritméticas: una actitud formada hacia el mundo, las personas, uno mismo, el aprendizaje, los números y las operaciones aritméticas. Resultados de meta-temas relacionado con las operaciones aritméticas es la capacidad de utilizarlas como modelos acciones sustantivas y medios para obtener nueva información en diferentes áreas del conocimiento y de la vida cotidiana, esta es la capacidad de utilizar dibujos, diagramas, tablas como medio para comprender los significados y propiedades de las operaciones aritméticas; conocimiento de métodos aritméticos generales para resolver problemas; Modelar situaciones utilizando operaciones aritméticas. Los resultados de meta-asignaturas del estudio de operaciones aritméticas también incluyen UUD formados durante el estudio de cualquier material educativo.

Resultados de la materia- Esto es lo que todo alumno sabrá sobre las operaciones aritméticas como objetos matemáticos, lo que aprenderá y tendrá la oportunidad de aprender y aprender. La responsabilidad del maestro es garantizar que todos los estudiantes, al graduarse de la escuela primaria, logren los resultados planificados del estudio de operaciones aritméticas de acuerdo con los requisitos del Estándar Educativo del Estado Federal. A continuación se presenta una versión de los resultados planificados de la asignatura.

Como resultado del estudio de operaciones aritméticas, un graduado de escuela primaria aprenderá: utilizar operaciones aritméticas para describir y explicar objetos, procesos y fenómenos circundantes, sus relaciones cuantitativas y espaciales, para resolver problemas de palabras(en 2 – 3 pasos); realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones orales de números de un solo dígito, dos dígitos y números de tres dígitos en los casos que se pueden reducir a acciones dentro de 100 (incluidos el cero y el número 1); realizar operaciones aritméticas con números de varios dígitos utilizando algoritmos de cálculo escritos (suma, resta, multiplicación y división por números de un solo dígito, números de dos dígitos

dentro de 10.000), utilice una calculadora para comprobar la exactitud de los cálculos orales y escritos; aislar el componente desconocido de una operación aritmética y encontrar su valor; calcular el valor de una expresión numérica que contenga 2-3 operaciones aritméticas, con y sin paréntesis. Graduado tendra la oportunidad de aprender

: utilizar las propiedades de las operaciones aritméticas para simplificar y racionalizar los cálculos; realizar acciones con valores de valor; comprobar la exactitud de los cálculos, incluidas las calculadoras (mediante acción inversa, estimación y evaluación del resultado de la acción). Una vez formulados los resultados planificados, es necesario especificar herramientas y materiales de diagnóstico que permitan identificar el grado en que un egresado de la escuela primaria ha alcanzado los resultados planificados. A continuación se muestra una posible opción de tarea para evaluación final

resultados de sujeto y meta-sujeto. A..

1. Parte de la pared del modelo de casa está formada por 5 bloques de madera idénticos con forma de paralelepípedo. (Las dimensiones del bloque son 10 cm × 2 cm × 2 cm. Las barras se apilan sobre el escritorio). Midiendo las longitudes de los lados y las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, caracteriza esta parte de la pared. respondiendo las preguntas: 1.1. ¿Cuál es la longitud, el espesor y la altura de esta parte de la pared? 1.2. ¿Cuál es la superficie del interior de la pared? 1.3. Compare las longitudes de los lados del bloque usando las preguntas "¿Son iguales o desiguales?", "¿Cuántos centímetros más (más pequeño)?", "¿Cuántas veces más (más pequeño)?"

2. Se trajeron al almacén 4560 kg de cereal de arroz en sacos de 80 kg cada uno y 64 sacos de trigo sarraceno. ¿Cuántos sacos de cereales llegaron al almacén?

3. Encuentra el significado de las expresiones: (360 – 24 ∙ 5): 40; 450:50; 78:4; 73 + 89; 0 ∙ 256; (36: 9 – 3) ∙ 17;

32 ∙ (1462 + 748): (7846 – 7781) EN..

nivel aumentado

1. Parte de la pared del modelo de casa está formada por 5 bloques de madera idénticos en forma de paralelepípedo. (Las dimensiones de la barra son 10 cm × 2 cm × 2 cm. Las barras están apiladas sobre el escritorio).

Midiendo las longitudes de los lados y las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, caracterice esta parte del muro respondiendo las preguntas: 1.1. ¿Cuál es el largo, ancho y espesor de esta parte de la pared? 1.2. ¿Cuál es la superficie del interior de la pared? 1.3. ¿Cuál es el volumen del bloque? volumen de la pared? 1.4. Compare las longitudes de los lados del bloque usando las preguntas "¿Cuántos centímetros más (más pequeño)?", "¿Cuántas veces más (más pequeño)?" 1.5. Compara el volumen de parte de la pared y el volumen del bloque.

2. En el almacén hay 4560 kg de cereal de arroz en sacos de 80 kg cada uno y 3840 kg de trigo sarraceno en 64 sacos. ¿Qué bolsa de cereal pesa más y cuánto? ¿Qué grano tiene más bolsas y en cuántas?

3. Encuentre los valores de expresiones numéricas usando cálculos mentales y propiedades de operaciones aritméticas: (480 – 24 ∙ 6): 16; 354 + 188; 162:4; 18∙4 – 1345∙0; 317: 50; 45:45; (27 - 108: 9) ∙ 17.

4. Encuentre los valores de expresiones numéricas utilizando algoritmos de cálculo escritos: 26 (1672 + 1448): (4825 – 4773) “La habilidad que se pone a prueba: la capacidad de realizar operaciones aritméticas utilizando los algoritmos estudiados (suma, resta, multiplicación y división por números de un solo dígito y de dos dígitos hasta 10.000). Estableciendo la línea de base. Calcular: 2072: 37. Tarea de nivel avanzado.

Marca la respuesta correcta ✔.

« □ 0 □ 4 □ 5 □ 6.” Habilidad “La habilidad que se pone a prueba: la capacidad de realizar operaciones aritméticas utilizando los algoritmos estudiados (suma, resta, multiplicación y división por números de un solo dígito y de dos dígitos hasta 10.000).: comprender el significado de división con resto, resaltar el cociente incompleto y el resto.

Compramos dulces para regalar. Hay 199 dulces en total. Necesitas poner 5 caramelos en cada regalo. ¿Cuántos dulces quedarán? Compramos 18 billetes para un vagón de un compartimento para el equipo de fútbol. Números de billete del 1 al 18. ¿En cuántos compartimentos se alojarán los jugadores de fútbol si cada compartimento tiene capacidad para 4 personas? “Capacidad: estimar y comprobar el resultado de una operación aritmética. Tarea 31 nivel básico.

¿Qué número es el resultado de la acción 12064:4? Encierra en un círculo el número de respuesta. 1) dos dígitos; 2) tres dígitos; 3) cuatro dígitos; 4) cinco dígitos. Tarea 32 nivel avanzado.

¿Son suficientes 1.000 rublos para comprar cuatro libros a un precio de 199 rublos cada uno y un calendario por 250 rublos? Escribe y explica tu respuesta. Respuesta: …< 250», то оценить владение прикидкой и оценкой по этому ответу нельзя, так как в этом обосновании они не показаны.

7.3.2. Explicación. Respuesta: no es suficiente. Un ejemplo de explicación: después de comprar cuatro libros, quedarán poco más de doscientos rublos. Este dinero no es suficiente para comprar un calendario por 250 rublos. ..." 18 Una posible explicación: “No es suficiente. En 1000 frotar. contiene 5 veces 200 rublos. Pagan 4 veces por 1 rublo. menos de 200, es decir por 4 rublos. menos de 4 veces por 200 rublos. Después de pagar cuatro libros, solo quedarán 4 rublos. más de 200, que es menos de 250”. Si se da la explicación “No es suficiente, porque: 199 ∙ 4 = 796 (r.); 1000 – 796 = 204 (r.); 204 La secuencia de estudio de operaciones aritméticas en. escuela primaria

Tradicionalmente, las operaciones aritméticas se estudian en secuencia: suma y resta, multiplicación, división (entera) y división con resto. Este orden se puede ver en muchos libros de texto de matemáticas de la escuela primaria. Sin embargo, existen otros enfoques para secuenciar el aprendizaje activo.

No hay desacuerdo con respecto a la secuencia de introducción de la multiplicación y la división. La multiplicación suele introducirse un poco antes de la división. La división comienza a estudiarse después de que los estudiantes hayan dominado el significado de la multiplicación. A veces, después de introducir la multiplicación, estudian la tabla de multiplicar y solo luego la división. Pero más a menudo, la división de tablas se considera simultáneamente con la multiplicación de tablas en la misma lección o en lecciones consecutivas después de la introducción de la división.

Existen diferentes puntos de vista respecto secuencias de aprendizaje divisiones completas Y división con resto. Según uno de ellos, primero se introduce la división completa, sus significados y los casos tabulares de división. Tras su asimilación, la división con resto se introduce como una acción especial, con significados, propiedades y algoritmos propios basados ​​en la división de tablas en su conjunto. Luego se consideran los métodos básicos no tabulares de división por un entero y división con resto, y se escribe la división como división con resto, cuyo caso especial es la división por un entero, con resto 0.

Según otro punto de vista, la división en todo y la división con resto se pueden introducir como una designación para dividir un grupo de objetos en partes iguales a una base dada (de acuerdo con los significados de la teoría de conjuntos y de magnitud de la acción de división). ) simultáneamente o en una serie de lecciones secuenciales. El resultado de dicha introducción será la capacidad de los estudiantes para designar las acciones del sujeto de dividir según el contenido y en partes iguales mediante registros de la forma 12: 3, 13: 3, 12: 3 = 4, 13: 3 = 4 (resto. 1), y viceversa, realizar acciones objetivas o realizar dibujos como está escrito.

Después de dominar los significados sujetos de la división, que son los mismos para la división por todo y la división con un resto, pasan a discutir la cuestión de cómo encontrar los resultados de la división sin acciones del sujeto. La respuesta se busca estableciendo primero la conexión entre división y multiplicación para la división de enteros y centrándose en los casos tabulares, las propiedades de la división de enteros y las propiedades de las tablas de multiplicación/división. Los casos de división con resto se abordan de manera incidental durante este período, consolidando su comprensión, brindando a los estudiantes la oportunidad de encontrar el cociente y el resto a partir de una comprensión intuitiva de la conexión entre división por todo y división con resto. Después de dominar las tablas de multiplicación y división, se consideran las características, propiedades, métodos y algoritmos de división con resto.

La justificación de este último punto de vista es que la presencia o ausencia de un resto no cambia el curso de la división práctica. Por ejemplo, dividamos 12 y 13 cubos en partes iguales de 3 cubos cada una. Procedemos de la misma forma en ambos casos: cogemos 3 cubitos y los reservamos. Repetimos esta acción hasta que podamos sacar 3 cubos. Designado: 12: 3 y 13: 3. Tan pronto como no queden cubos o queden menos de tres, contamos las partes resultantes. Su número será privado. En ambos casos, se formaron 4 partes iguales de 3 cubos cada una; el cociente será el número 4. En el caso de 12 cubos, no quedarán cubos "indivisos", y al dividir 13 cubos entre 3, 1 cubo permanecer indiviso. Obtenemos: 12: 3 = 4, 13: 3 = 4 (restante 1).

Dividiremos 12 y 13 cubos. en 3 partes iguales. Cogemos tantos cubos como sean necesarias partes iguales y los disponemos de uno en uno. Luego nuevamente tomamos tantos objetos como partes y los ordenamos uno por uno según los ya dispuestos. Seguimos así hasta que no queden cubos o queden menos piezas de las requeridas. En ambos casos el cociente es 4 (cada una de las tres partes iguales tiene 4 cubos). Al dividir 12:3 no queda resto, al dividir 13:3 el resto es 1. Entrada: 12:3 = 4 y 13:3 = 4 (restante 1).

En las actividades objetivas, al iniciar el proceso de división, la mayoría de las veces no saben si quedará un resto. EN experiencia infantil Hay muchas situaciones de división práctica. Los niños comparten juguetes, dulces, se dividen en equipos en juegos y mucho más. La división completa no siempre funciona. Al introducir sólo la división completa, es necesario proteger a los niños de situaciones en las que la división completa es imposible. Y si el período de reuniones solo con división es completamente largo, entonces los niños desarrollan un estereotipo: al dividir números, siempre obtienen un número: el cociente. Esto hace que la división con resto sea difícil de entender. Esta es en parte la razón por la que la división con resto se considera una operación difícil y los problemas planteados en los que se puede utilizar no se consideran (con la excepción de tareas simples al introducir la división con resto), o se clasifican como problemas de mayor dificultad.

Con base en el razonamiento anterior, la secuencia aprender multiplicación y división puede verse así: introducir la multiplicación, dominar sus significados; introducción de la división en su conjunto y con resto, dominando el significado de división; tabla de multiplicación y división (enteros); algoritmos computacionales orales para división con resto basados ​​en división de tablas; algoritmos para multiplicación y división no tabulares (orales), incluida la división con resto; algoritmos de multiplicación escritos; algoritmos división escrita

como algoritmos de división con resto, cuyo caso especial es la división con resto cero: división por un número entero; multiplicación y división usando una calculadora.

El estudio de cada operación aritmética se puede presentar en etapas: preparación para la introducción de una operación o acciones aritméticas; introducción de una acción (acciones), motivación para estudiar, planificación del trabajo de estudio de una acción (o acciones) aritméticas, formación del significado de la acción en estudio; estudiar las propiedades de las operaciones aritméticas; estudiar algoritmos para realizar acciones y desarrollar habilidades computacionales. Preparándose para introducir una operación u operaciones aritméticas

consiste en crear una base sujeto-actividad para las operaciones aritméticas, que se implementa en acciones con grupos de objetos (enfoque de teoría de conjuntos) y con objetos según un valor dado (enfoque de magnitud), en “caminar” a través de una serie de números, incluyendo el número 0 y la serie natural (enfoque ordinal). Aquí es necesario aclarar, profundizar ideas sobre los números, actualizar métodos de acciones objetivas y utilizarlos para resolver problemas textuales correspondientes a operaciones aritméticas. Los principales objetivos de las lecciones. introducir una acción (o acciones) aritmética y formar el significado de la acción que se está estudiando

son: crear una motivación positiva para aprender una acción, aislar, realizar y designar con una nueva acción las acciones objetivas subyacentes a la operación aritmética introducida; dominio de los estudiantes de términos y métodos de designación simbólica y descripción verbal de acciones; inclusión de una nueva operación aritmética en el sistema de representaciones numéricas existentes. Se pueden formar motivos positivos para aprender a actuar a través de la experiencia emocional de la acción aritmética en los niños como una forma breve y rápida de conservar y transmitir información sobre la acción con objetos, como medio de enriquecimiento., como una ampliación de las oportunidades de comunicación, como un medio para modelar situaciones de tareas, como un medio para obtener nueva información. El tema de interés para los niños puede y debe ser las propiedades de las acciones, las peculiaridades del comportamiento de los números individuales en relación con las operaciones aritméticas, métodos inusuales de cálculo, secuencias numéricas basadas en patrones expresados ​​​​en el lenguaje de las operaciones aritméticas. Esto es posible a través de la revelación de los significados de las operaciones aritméticas, a través de la posibilidad de generar significados propios y personales.

Recordemos: las operaciones aritméticas son operaciones matemáticas con un conjunto de números (en la escuela primaria, con un conjunto de números enteros no negativos). Operación – correspondencia entre un conjunto de pares de números de conjunto de números y elementos del mismo conjunto. La coincidencia se puede especificar mediante una enumeración y una propiedad característica. Estas propiedades están incluidas en la definición de acción. En la grabación esto se indica con un signo de acción. En las entradas 3 + 4, 17 – 9, 25 ∙ 7, 12: 6, 17: 5, se especifican operaciones ya que se indican pares específicos de números y el signo indica el método para obtener el número correspondiente. En las igualdades 3 + 4 = 7, 17 – 9 = 8, 25 ∙ 7 = 175, 12: 6 = 2, 17: 5 = 3 (2 restantes), el número o números correspondientes se especifican no solo por la propiedad característica , sino también por la enumeración .

Tenga en cuenta que en etapa inicial dominar una operación aritmética, así como al estudiar propiedades, al generalizar algunas características de una acción, es útil utilizar símbolos para números inventados por niños, por ejemplo: ⌂ + ○; ⌂ – ○ = ◊ , ⌂ + ○ = ○ + ⌂ o ☼ +☺; ☼ +☺=☻. Dichos registros nos permiten considerar una acción y sus propiedades cuando los niños aún no pueden escribir los números necesarios, así como cuando una característica numérica específica de grupos de objetos o un objeto no se puede determinar con precisión cuando es necesario mostrar vista general expresiones e igualdades. Es más, tal signos convencionales llevan el componente emocional de sus autores o “elecciones”.

Propiedades de las operaciones aritméticas. pueden ser descubiertos por los estudiantes en el proceso de actividades educativas y de investigación organizadas por el profesor. Es importante que cada propiedad sea una solución al problema aceptado por los estudiantes, una respuesta a la pregunta que surgió en sus mentes. Esto puede suceder cuando, desde los primeros días de educación, enseñamos a los niños a notar e identificar similitudes y diferencias entre cualquier objeto, incluso entre acciones con objetos, entre sus notas.

Las principales cuestiones que conducen al descubrimiento de las propiedades de las operaciones aritméticas son las cuestiones sobre la posibilidad de sustituir algunas expresiones, y por tanto una secuencia de operaciones aritméticas, por otras que contengan los mismos números y tengan el mismo valor numérico que la expresión original, pero diferentes acciones o una secuencia diferente de acciones.

La lista de propiedades de las operaciones aritméticas (en el conjunto de los números naturales y el cero) puede ser la siguiente:

Propiedades de la conexión de relaciones "(directamente) siguientes" y suma y resta: a + 1 = A′ Y A′ – 1 = a(si sumas 1 a un número, obtienes el siguiente número; si restas 1, obtienes el número anterior); propiedad conmutativa de la suma, multiplicación 3 + 4 = 4 + 3, a + b = b + a, ab= ba; propiedad asociativa suma ( a + b) + do = a + (b + do), multiplicación ( ab)do = a(antes de Cristo) o en forma de reglas para sumar un número a una suma y una suma a un número, multiplicando un número por un producto y el producto por un número; reglas para restar un número de una suma y una suma de un número: (7 + 9) – 5 = (7 – 5) + 9 = 7 + (9 – 5), 9 – (4 + 3) = 9 – 4 – 3; reglas para dividir un producto por un número y números por un producto: (12  8) : 4 = (12: 4)  8 = 12  (8 ; 4), 24: (3  4) = (24: 3 ): 4; regla para dividir una suma por un número: si Y antes de Cristo C.A a + b) : do = a:do + b:do(- es completamente divisible), entonces ( a + b = do ↔ do – b = a, (60 + 12): 6 = 60: 6 + 12: 6; propiedad distributiva de la multiplicación relativa a la suma (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 o en la forma de las reglas para multiplicar una suma por un número y números por una suma: ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; regla para multiplicar la diferencia por un número: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; propiedades que reflejan la relación entre suma y resta, multiplicación y división: do – a = b; a : b = Y ↔ a = q Y a : Y = b, a : b = Ybq(descansar.), (descansar. < b ↔ a = q + (descansar. r a + b = do (a ± ;) + b = do ± ; dependencias entre cambios en componentes y el resultado de una acción: a + b = do ↔ (a + ;) + (b – ;) = do d a – b = do ↔ (a ± ;) – (b ± ;) = do (si un término aumenta (disminuye) en algún número, entonces la suma aumentará (disminuirá en el mismo número); ab = do ↔ (a: ;)  b = do: ;; ab = do ↔ (a: ;)((si se aumenta un término y el otro se disminuye en el mismo número, entonces la suma no cambiará);) = ((si el minuendo y el sustraendo se aumentan (disminuyen) en el mismo número, entonces la diferencia no cambiará);)(b: ;) = do; a : b = Y ↔ (si el minuendo y el sustraendo se aumentan (disminuyen) en el mismo número, entonces la diferencia no cambiará); : b = bd; anuncio .

CD propiedades de la división con resto: la división con resto es factible para cualquier número (excepto la división por cero); el resto es menor que el divisor; el dividendo es igual a la suma del producto del cociente por el divisor y el resto, ..., que consiste en que a cada enunciado verdadero de este apartado le corresponde un enunciado dual, que puede obtenerse del primero sustituyendo los conceptos incluidos en él por otros, los llamados. conceptos duales para ellos."

El principio de dualidad una de las ideas significativas importantes de las matemáticas, que amplía significativamente las posibilidades del conocimiento. Los niños descubren la idea de dualidad si el maestro organiza el estudio de una nueva acción, las propiedades de esta acción sobre la base de acciones ya aprendidas, animando a los niños a predecir propiedades, verificar predicciones, por ejemplo, mediante preguntas sencillas y tareas sobre similitudes y diferencias: “¿En qué se parece la resta a la suma? ¿En qué se diferencia?”, … “¿En qué se parece la división a otras operaciones aritméticas que conoces? ¿En qué se parece la división a la resta? ¿En qué se diferencia la división de la resta?”, “Sabes que la suma tiene propiedades conmutativas y combinativas. Formule las mismas propiedades para la multiplicación. Comprobar su validez mediante varios ejemplos", "Formular propiedades conmutativas y asociativas para la división. Comprueba su validez con varios ejemplos."

7.3.3. Aprender a sumar y restar. El contenido del estudio de las acciones depende significativamente del enfoque del concepto de número al que se adhiera el docente, de los significados que le dé a este concepto. Seguiremos un enfoque universal, examinando el número con los estudiantes en todos sus sentidos básicos.

Teoría de conjuntos significado acciones adicionales en un idioma accesible para los estudiantes se puede presentar a través de tareas, describiendo las acciones temáticas correspondientes y dibujos para ellas (Fig. 7.7). Hay 4 manzanas en un plato y 3 en el otro ¿Cuántas manzanas hay en los dos platos? (Tarea para encontrar la suma). Hay 4 manzanas en un plato y 3 manzanas más en el otro. ¿Cuántas manzanas hay en el otro plato? Hay 4 manzanas en un plato, que son 3 manzanas menos que en el otro. ¿Cuántas manzanas hay en el otro plato? (Problemas con relaciones “más (menos) por” en las que se desconoce el número mayor); Hay 4 manzanas en un plato y 3 manzanas en el otro. ¿De cuántas maneras puedes elegir una fruta? (Problemas combinatorios que especifican la regla de la suma para contar el número de combinaciones).

Tareas reveladora de la teoría de conjuntos el significado de la acción de resta. a) Había 4 manzanas en el plato, se comieron 3 manzanas. ¿Cuántas manzanas quedan? (Encontrar el resto (diferencia)); b) Hay 4 manzanas en un plato y 3 manzanas menos en el otro. ¿Cuántas manzanas hay en el otro plato? Hay 4 manzanas en un plato, que son 3 manzanas más que en el otro. ¿Cuántas manzanas hay en el otro plato? Hay 4 manzanas en un plato y 3 manzanas en el otro. ¿Cuántas manzanas más hay en el primer plato que en el segundo? ¿Cuántas manzanas menos hay en el segundo plato que en el primero? (Problemas con las relaciones “más (menos) por”) con un número menor desconocido o cuánto es un número más o menos que otro (por comparación de diferencias. (Figura 7.8 a, b).

Significados de suma y resta basados ​​​​en el concepto de magnitud, expresar las operaciones de combinar y eliminar objetos con longitud, área, volumen, masa y otras cantidades que se pueden mostrar acción práctica o dibujo (Fig. 7.9)

Significados ordinales de suma y resta se manifiesta en una transición secuencial del primer término al número inmediatamente posterior, de éste al siguiente tantas veces como el segundo término. La resta se puede definir como una transición secuencial del minuendo al anterior tantas veces como el sustraendo. Al introducir la suma y la resta, este significado se representa mediante una regla que se formula como resultado de observar la posición de un número al que se suma una unidad mediante acciones con objetos (de los cuales se resta una unidad) y el resultado de estas acciones. : “Si a un número le sumas uno, obtienes el siguiente número; Si a un número le restas uno, obtienes el número anterior”.

Preparándose para introducir la suma y la resta Se promueven ejercicios de acciones con objetos correspondientes a las acciones introducidas, y el recuento de objetos y medidas que acompañan a estas acciones a la hora de medir cantidades en los casos más sencillos. Por ejemplo, contar pasos al caminar (medir la longitud de un camino), contar triángulos idénticos, rectángulos que forman una figura (área de medición), contar vasos de agua vertidos o sacados de un frasco, movimientos del segundero en un dial, etc. Es útil contar de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro y de cinco en cinco.

Posibles tipos operaciones objetivas correspondientes a la suma y la resta puede ser así.

Coloca 3 cubos a la izquierda. Coloca una tarjeta debajo el numero correcto. Coloca 5 cubos a la derecha. Coloca una tarjeta con un número. Combina los cubos acercándolos entre sí. Encuentra una tira de 3 unidades de longitud (3 medidas que constan de tres partes iguales) y una tira de 5 unidades de la misma longitud. Haz una tira larga con estas dos tiras. ¿Qué significan los números 3 y 5 para los dados? ... ¿Para rayas? ...¿Qué hiciste con los cubos? ...¿Qué hiciste con las rayas? ...

Cuenta todos los triángulos. (8) Cuente todos los triángulos rojos. (3) Ponlos en un sobre. Este frasco contiene 8 vasos de agua. Vierta 3 vasos de agua. Etiqueta con números.

Haciendo sumas y restas. Una característica de las operaciones aritméticas, incluidas la suma y la resta, que animan a los niños a estudiarlas, es la capacidad de reducir muchas veces el registro de información. Para mostrarles esto a los estudiantes, a medida que completan las tareas anteriores, aparece el texto en la pizarra: Coloque 3 cubos a la izquierda. Coloca 5 cubos a la derecha. Cubos combinados. Tomamos una tira de 3 unidades de largo y una tira de 5 unidades de largo. Hicimos una tira larga a partir de dos tiras. (Si la resta se introduce simultáneamente con la suma, entonces el texto también contendrá oraciones como: “Había 8 triángulos. Se quitaron 3 triángulos”, “Había 8 vasos de agua. Se vertieron 3 vasos”). A continuación se muestran los números escritos (o dispuestos en tarjetas): 3 5 (8 3).

Está escrito en la pizarra lo que acabas de hacer con cubos, con rayas, (con triángulos, con agua). ¿Te resulta fácil leer este texto? (No es fácil.) – Pero si usas el lenguaje de las matemáticas, puedes escribirlo mucho más brevemente. ¿Quizás alguien ya sepa cómo denotar nuestras acciones en matemáticas? Junto con los niños construimos un registro de muestra (al principio solo la expresión): 3 + 5 (8 – 5).

Esta entrada reemplaza todo este texto. ¿Cuántos dígitos hay en notación matemática? (Total 3. Con introducción y resta simultáneas - 6.) - ¿Cuántos caracteres hay en el texto?

Si la grabación se realizó en pizarra interactiva, luego seleccionando el texto es fácil determinar el número de caracteres: 163 (¡o restando 236!): 163! (¡o 236!) versus 3 (¡o 6!) ¡la notación matemática es más de 50 (casi 40 veces) más corta! Este descubrimiento puede ser un punto de sorpresa, que dará un color emocional a lo que se está estudiando y aumentará el interés por ello.

¿Quizás algunos de vosotros ya sabéis cómo leer esta entrada y qué significa? (Primero hablan los niños y luego la maestra.) – La entrada 3 + 5 se suele leer “sumar cinco a tres” (y “restar cinco a ocho”). Léelo de nuevo conmigo. ... Esta entrada significa que había 3 objetos y 5 objetos, y se combinaron (Había 8 objetos, 5 de ellos fueron tomados y eliminados). O que a partir de dos tiras de 3 y 5 unidades de longitud se formó una tira de 3 y 5 unidades de longitud. También dicen que 3 + 5 es una notación de acción. suma(8 – 5 es un registro de acción sustracción).

A continuación, se organizan tres tipos de tareas para desarrollar la capacidad de pasar de acciones sujetas a acciones con números y de acciones con números a acciones sujetas: (1) las acciones sujetas se demuestran (por el profesor, los estudiantes, en imágenes de un libro de texto o libro de trabajo, en una pizarra interactiva), y los estudiantes los marcan como correspondientes expresiones numéricas, leer expresiones; (2) se nombran o muestran expresiones numéricas (suma dos a cuatro, resta tres de cuatro, 4 + 2; 4 – 3), y los estudiantes realizan acciones con objetos, dibujan o seleccionan imágenes de acciones de objetos que podrían indicarse mediante suma ( resta); (3) se establece una correspondencia entre la imagen de acciones objetivas y expresiones numéricas (los dibujos y las expresiones pueden estar en manuales, en hojas separadas, en una pizarra, interactivos o regulares; pueden ser dos juegos de tarjetas, con dibujos de acciones objetivas y con expresiones numéricas, o cartas según tipo de dominó).

Prestemos atención a varios puntos importantes. Aunque la introducción a la suma y la resta proviene del estudio de los números entre los diez primeros, es útil considerar las situaciones representadas por la suma y la resta no solo con los números entre los diez primeros, sino también con los números de otros conjuntos numéricos. Por ejemplo, el profesor muestra una caja con 14 botones y otra con 26 botones iguales. En cada casilla está escrito en grande el número correspondiente. Debes poner los mismos números en tus escritorios con tarjetas con números. Luego vierte botones de la segunda casilla en la primera y pide a los estudiantes que coloquen una tarjeta con el signo correspondiente entre los números. La entrada resultante es: 14 + 26. Con la ayuda del maestro, los niños leen la entrada y dicen lo que significa.

Al comienzo de la introducción de una operación aritmética, denotamos acciones objetivas mediante una expresión numérica o una expresión numérica e igualdad. La igualdad exige nombrar y escribir un número concreto, resultado de una acción, mientras que los niños aún no saben encontrarlo, más allá de acciones objetivas y contar. Una expresión numérica no nombra el número, el resultado de la acción, pero especifica el método para obtenerlo con el signo de la acción. En este caso, tenemos la oportunidad de considerar acciones para cualquier número y acciones con cualquier modelo de acción temático. Esto es importante para formar el significado de la acción. Los estudiantes también tienen la oportunidad de determinar el límite de aplicabilidad de los cálculos utilizando objetos, lo que los motiva a inventar métodos y algoritmos sin interactuar con los objetos.

En la primera etapa del aprendizaje activo, es necesario centrar la atención de los niños en las preguntas “ Qué¿Qué es “suma”?”, “¿Qué es “resta”?” Aquí es preferible escribir la acción como una expresión numérica. Cuando las respuestas a las preguntas “¿Qué…?” será comprendido y apropiado, podemos pasar a la pregunta “ Cómo encontrar el resultado de la acción (el valor de la suma, diferencia)? Ahora la suma y la resta se pueden escribir y hablar como igualdades.

Antes de pasar a igualdades y encontrar resultados y escribir igualdades, resumimos total parcial, brindando a los estudiantes la oportunidad de demostrar su comprensión de la suma (y la resta si las operaciones se presentan en la misma lección).

Entonces, ahora sabes cómo denotar acciones con objetos para sumar números. Muestra cómo puedes hacerlo. Leer notaciones matemáticas y di lo que podría significar cada uno: 3 + 2, 1 + 3, 5 + 8, 10 + 4, 1000 + 5000, Ω + ☼. (En el tablero hay dibujos correspondientes, por ejemplo, para la entrada 1000 + 5000 hay un dibujo de dos billetes, para la entrada en números "mágicos": dos contenedores con carga en un andén de ferrocarril, indicando la masa en toneladas Ω y ☼.).

Dijiste correctamente: esa suma denota situaciones en las que algo se ha agregado a algo, combinado. ¿Cómo podemos indicar qué resulta de tales acciones? - Observa el movimiento de Dima, mide con él la longitud de cada tramo del camino, contando los pasos. (Dima da 4 pasos desde el escritorio hasta el tablero, se detiene y luego da otros 3 pasos hasta la ventana). - Registrar la acción. (4+3). – Dima, revísalo de nuevo, contando todos los pasos. ¿Cuántos pasos hay en total? (7) – ¿Cómo escribir esto? Completa el registro de lo que hiciste con el resultado de la acción. (Después de las sugerencias de los niños, anotamos: 4 + 3 = 7. – Lee esta igualdad. (Con ayuda de la maestra lee: “Sumamos tres a cuatro y obtuvimos siete”).

A continuación, los niños completan tareas de los tipos anteriores (1), (2) y (3). En el caso de que se pueda contar el número de objetos en una combinación o el número de medidas al medir una cantidad, los estudiantes escriben igualdades; en otros casos, solo escriben expresiones.

Durante el mismo período, se introdujeron los términos término, término, suma; minuendo, sustraendo, diferencia. Es útil comenzar la introducción de términos con una conversación sobre nombres. Cada uno de nosotros tiene muchos nombres y títulos. Un grupo de nombres son los nombres propios: Tanya, Lena, Valentina Sergeevna. También se dan nombres según lo que hacemos: ciclista, peatón, pasajero, transeúnte, lector; por ocupación y profesión: maestro, estudiante, sastre, tornero, piloto y muchas otras razones: persona, empleado, amigo, hermana, hija, nieto.

Si este enfoque se aplica a los números, entonces los nombres propios son "uno", "dos", "trescientos setenta", etc. Participación de los números en operaciones aritméticas y su ejecución. ciertas funciones o roles le permite nombrarlos de acuerdo con estas funciones. Primero, deja que los niños propongan sus nombres y los justifiquen. ¡Incluso puedes anunciar un concurso! Sólo en el contexto de su propia creación de palabras los términos generalmente aceptados serán “vivos”, memorables y cargados de emociones para los niños.

Cuando los estudiantes pasen libremente de situaciones temáticas a la notación mediante suma y resta y viceversa, la pregunta "¿Cómo encontrar el resultado de la suma, la resta sin dibujos, contar con los dedos y medir?"

Durante este mismo período, ya es necesario comenzar a incluir a los niños en planificando tu trabajo académico, fomentar la reflexión sobre la enseñanza y sus resultados, es decir. para formar actividades educativas, gradualmente, a medida que dominen las actividades de aprendizaje adecuadas, transferirlas de actividades educativas controladas externamente a actividades independientes.

Por ejemplo, después de introducir la suma y la resta preguntamos:

¿Sabes ahora qué es la suma y qué es la resta? (Sí.) - Todos, ¿saben todo sobre la suma? ¿Sobre la resta? (No, no todos.) – ¿Qué más crees que deberíamos saber sobre estas acciones? ¿Qué poder hacer? ... - ¿A qué preguntas sobre sumas y restas te gustaría responder? ¿Qué aprender? ...

A partir de este diálogo, durante el cual el docente anota en la pizarra las dudas y sugerencias de los niños, organiza un intercambio de opiniones, los estudiantes, con la participación del docente como organizador y portador del conocimiento sobre los acuerdos existentes, construyen una secuencia de aprendizaje. suma y resta.

La próxima tarea pedagógica es desarrollar habilidades de cálculo de tablas, A tarea de aprendizaje estudiantes - aprender a encontrar los resultados de suma y resta, suma y diferencia (el valor de la suma y el valor de la diferencia), explicar los cálculos, ponerse a prueba, planificar acciones futuras.

Estudiar las propiedades de la suma y la resta. La peculiaridad de estudiar las propiedades de la suma y la resta es que son las primeras operaciones aritméticas con las que se familiarizan los niños. Las propiedades de las acciones se consideran durante el período de dominio del significado objetivo de las acciones y se justifican por estas propiedades objetivas e intuitivas de las acciones. Todas las propiedades pueden ser descubiertas por los niños en un proceso organizado por el profesor. actividades educativas. Es importante que las declaraciones y anotaciones de propiedades no sean engorrosas.

Muchos cálculos en primer grado, especialmente en la primera mitad del año, se realizan de manera que propiedades conocidas aparecen en un nivel intuitivo. Estas propiedades se presentan con la participación de los niños en una forma accesible para ellos. Por ejemplo, métodos para sumar y restar uno, uno, por partes: 3 + 4 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 + 2 + 2; 7 – 4 = 7 – 2 – 2 = 7 – 1 – 3.

Las primeras propiedades disponibles para los estudiantes pueden ser propiedades que conectan los conceptos de "siguiente", "anterior" ("inmediatamente siguiente") con las operaciones de suma y resta. Este propiedades de la serie natural, que manifiestan el significado ordinal de un número en operaciones aritméticas, que formulamos anteriormente. Esto fue precedido por la invención de métodos para contar rápidamente objetos en una combinación de dos grupos de objetos, por ejemplo, contar un grupo de objetos tras otro hasta un número conocido de objetos: ⌂⌂⌂⌂⌂⌂ - 6 ⌂ 7⌂ 8 ⌂ 9. 9 artículos.

La consecuencia de este método es encontrar los resultados de la suma y la resta "pasando" a lo largo de la serie natural, primero en pasos individuales y luego en pasos de diferente longitud (suma, resta en grupos).

Descubrir propiedad conmutativa de la suma o reordenamiento de términos los estudiantes pueden hacerlo en varias situaciones.

1. Utilizando acciones objetivas, calcular los valores de pares de la forma 4+3 y 3+4. Establecer similitudes y diferencias. Haga suposiciones sobre el valor de otras sumas similares, verifique la suposición calculando los valores utilizando los métodos disponibles.

2. En el proceso de realizar acciones objetivas de combinar dos grupos de objetos, dos objetos, sustancias, se establece que cuando cambia la ubicación de las partes o el orden en que ocurre la combinación, las características cuantitativas del resultado de la combinación. no cambies. Al denotar acciones objetivas con expresiones numéricas, obtenemos dos expresiones con diferente orden de términos y valores idénticos.

3. Dos estudiantes, ubicados en lados opuestos de la mesa, indicaron mediante la suma (la suma de dos términos) el número de objetos en la mesa (Chekin A.L. Matemáticas, 1er grado 2011) y recibieron dos expresiones diferentes: 3 + 4 y 4. + 3. Al ponerse en el lugar de cada uno, los niños se aseguran de que ambas entradas indican correctamente la misma situación, el número de los mismos objetos. Sobre esta base, 3 + 4 = 4 + 3. Dado que se puede colocar cualquier otro número de objetos sobre la mesa, por ejemplo, Ω y ☼, entonces Ω + ☼.= ☼ + Ω, donde Ω y ☼ son números arbitrarios.

Una característica importante de la suma y la resta es que estas Las acciones expresan relaciones. « más (menos) por" Cualquiera de las igualdades de la forma. a + b = do Y metro – norte = k define relaciones en las que intervienen tres números: el mayor, el menor y un número que responde a la pregunta de cuánto es mayor (menor) un número que el otro. Si se da una igualdad, por ejemplo, 5 + 3 = 8, entonces los números relacionados por la relación "más (menos) por" pueden ser los números 5 y 8, y el número 3 mostrará cuánto 5 es menor que 8. , y 8 es mayor que 5. tee, o 3 y 8, entonces 5 mostrará cuánto 3 es menor que 8 y 8 es mayor que 3.

Los estudiantes también pueden descubrir otras propiedades de las operaciones de suma y resta con la organización adecuada. Para descubrir propiedades, es de gran importancia centrarse en las tareas de comparación, clasificación y observación de cambios. Con la introducción de las operaciones de multiplicación y división, reglas para el orden de las operaciones, la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, la regla para dividir una suma, diferencias por un número, productos por un número, números por un producto y Se estudian otras propiedades relacionadas con una o más propiedades.

Una mayor expansión y profundización del conocimiento sobre la suma y la resta está asociada con la expansión de conjuntos numéricos y la transferencia de técnicas, algoritmos, términos y propiedades previamente estudiados, con el estudio de propiedades y el dominio de habilidades computacionales, con el enriquecimiento de la terminología. con los nombres de las propiedades (propiedad combinativa, propiedad distributiva), nombres de rangos y clases, nombres de números de varios dígitos, características de los números.

7.3.4. Aprender multiplicación y división. Primero, recordemos los principales Significados de multiplicación y división.

Teoría de conjuntos significados de las acciones de multiplicación, (60 + 12): 6 = 60: 6 + 12: 6; propiedad distributiva de la multiplicación relativa a la suma (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 o en la forma de las reglas para multiplicar una suma por un número y números por una suma: ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; regla para multiplicar la diferencia por un número: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; propiedades que reflejan la relación entre suma y resta, multiplicación y división: divisiones Presentémosles problemas de texto e imágenes. a) “Hay 4 manzanas en un plato. ¿Cuántas manzanas hay en 3 de esos platos? (Figura 7.10 a); b) En el torneo de ajedrez participaron 3 equipos, cada uno de los cuales incluía 4 ajedrecistas: un candidato a maestro de deportes y ajedrecistas de 1ª, 2ª y 3ª categorías. ¿Cuántos ajedrecistas participaron en el torneo?”; c) “Hay 4 manzanas en un plato y 3 veces más en el otro. ¿Cuántas manzanas hay en el otro plato?”, “Hay 4 manzanas en un plato, esto es 3 veces menos que en el otro plato. ¿Cuántas manzanas hay en el otro plato? (tareas con relaciones “más (menos) por ... veces”, en las que se desconoce el número mayor) (Fig. 7.10, c); d) ¿De cuántas maneras se puede formar el par “sobre, sello” si hay 3 tipos de sobres y 4 tipos de sellos? (tareas para contar el número de combinaciones, regla del producto) (Fig. 7.10, d).

Dividir números en el sentido de la teoría de conjuntos surgió como una designación dos tipos de división práctica de un grupo de objetos en partes iguales en número de elementos, que en los métodos de enseñanza de las matemáticas se denominan división por contenido Y división en partes iguales. División por contenido: un grupo de objetos se divide en partes de acuerdo con un número igual de objetos en cada parte y se requiere averiguar cuántas de esas partes se forman. División en partes iguales: un grupo de objetos se divide en un número determinado de partes iguales (por la cantidad de objetos) y debes averiguar cuántos objetos habrá en cada parte.

Acción del sujeto división por contenido- se trata de dejar de lado secuencialmente un número determinado de elementos hasta que todos estén dispuestos o hasta que queden menos elementos de los que debería haber en una parte. El procedimiento de aplazamiento corresponde al significado objetivo de resta y puede designarse por resta. La división actúa como una notación más corta.

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ru

Encontrar

1) Estudiar las expresiones más simples de la forma: suma (2 + 3); diferencia(5-1); producto (3 4); privado (12:4).

2) Estudiar expresiones complejas que contengan dos o más acciones, con y sin paréntesis.

1) Al trabajar con las expresiones más simples de acuerdo con los requisitos del programa, el maestro se enfrenta a la tarea de desarrollar en los niños la capacidad de leer y escribir dichas expresiones.

El primer encuentro de los estudiantes con las expresiones ocurre en primer grado en el tema "Números del 1 al 10", donde los niños se familiarizan por primera vez con los signos de acción "+" y "-". En esta etapa, los niños escriben expresiones y las leen, centrándose en el significado de los signos de acción, que reconocen como designación corta las palabras "añadir" y "eliminar". Esto se refleja en la lectura de las expresiones: 3 + 2 (3 sí 2); 3 - 1 (3 menos uno).

Poco a poco, las ideas de los niños sobre estas acciones se van ampliando. Los estudiantes aprenderán que sumar algunas unidades a un número lo aumenta en la misma cantidad de unidades y restarlo lo disminuye. Esto se refleja al leer las expresiones: 4 + 2 (4 aumentado en dos unidades); 7 - 1 (7 disminuyen en una unidad).

Luego, los niños aprenden los nombres de los signos de acción más y menos. (Al estudiar sumas y restas de los primeros diez números). Estas expresiones se leen de manera diferente: 4 + 2 (4 "más" 2); 7 - 1 (7 menos 1).

Y solo cuando se familiariza con los nombres de los componentes y los resultados de la acción de la suma, se introduce una terminología matemática estricta, se da el nombre de esta expresión matemática: "suma", y un poco más tarde se introduce de manera similar el término "diferencia". .

Los nombres de los dos siguientes. expresiones matemáticas“producto” y “cociente” se introducen de manera similar cuando se estudian las operaciones de multiplicación y división en segundo grado. Aquí, en segundo grado, se introducen los términos “expresión”, “significado de la expresión”, que, como otros términos matemáticos, deben ser adquiridos por los niños de forma natural, así como adquieren otras palabras que les resultan nuevas, si son a menudo son utilizados por otros y encuentran aplicación en la práctica.

2) Junto a las expresiones matemáticas más simples, también se estudian expresiones complejas que contienen dos o más acciones, con y sin paréntesis. Estas expresiones aparecen dependiendo de la consideración de cuestiones relevantes en el curso de matemáticas. Sin embargo, su consideración está principalmente subordinada a una propósito didáctico– desarrollar la capacidad de encontrar el significado de una expresión, y esto está directamente relacionado con las reglas para el orden de realización de las operaciones aritméticas.

a) La primera consideración es la regla sobre el orden de las operaciones en expresiones sin paréntesis, cuando con números solo hay suma y resta, o solo multiplicación y división. Las primeras expresiones de este tipo de la forma 5 + 1 + 1, 7 - 1 - 1 se encuentran al comienzo del estudio de la suma y resta de números hasta 10. Ya aquí se presta la mayor atención a aclarar la cuestión de cómo razón al calcular el significado de las expresiones. EN grado I-II hay ejercicios: 70 – 26 + 10, 90 – 20 – 15, 42 + 18 – 19; en el grado II hay ejercicios: 4 · 10: 5, 60: 10 · 3, 36: 9: 2. Tras un examen más detenido de expresiones similares, se llega a la conclusión: en expresiones sin paréntesis, las acciones de suma y resta (multiplicación y división) se realizan en el orden en que están escritos: de izquierda a derecha.

b) Luego aparecen expresiones que contienen corchetes y nuevamente se presta atención a la regla sobre el orden de las acciones en expresiones con corchetes. Así es como presentamos a los niños la segunda regla sobre el orden de las operaciones en expresiones que contienen paréntesis. Ejercicios: 80 – (34+13), 85 – (46 – 14), 60: (30 – 20), 90: (2·5).

En segundo grado, al estudiar las operaciones de multiplicación y división, nos encontramos con expresiones que contienen las acciones de suma, resta, multiplicación y división. Para aclarar la cuestión del orden de ejecución de las acciones en tales expresiones, es aconsejable, en primera consideración, tomar la expresión 3 · 5 + 3. Utilizando el significado de la acción de multiplicación, llegamos a la conclusión de que el valor de este la expresión es 18. Esto implica el orden de ejecución de las acciones. Como resultado, en realidad obtenemos la tercera regla sobre el orden de las operaciones en expresiones sin paréntesis que contienen operaciones de suma, resta, multiplicación y división: en expresiones sin paréntesis, primero se realizan las operaciones de multiplicación o división, y luego las operaciones de suma o resta en el orden en que están escritas. Al mismo tiempo, se da una muestra de razonamiento, donde se llama la atención sobre la pronunciación. resultado intermedio, que le permite advertir posibles errores niños. Ejercicios: 21 + 9: 3, 34 – 12 2, 90: 30 – 2, 25 4 + 100.

Las reglas sobre el orden de realización de las operaciones aritméticas merecen atención especial. Esta es una de las preguntas complejas y abstractas del curso inicial de matemáticas. Trabajar en ello requiere numerosos tiempos distribuidos. ejercicios de entrenamiento. La capacidad de aplicar estas reglas en la práctica de los cálculos está incluida en los requisitos básicos del programa al final de cada año, a partir del segundo grado y al final de la formación en los grados primarios.

Ceremonias:

1. De pares dados ejemplos, seleccione solo aquellos donde los cálculos se realizan de acuerdo con las reglas del orden de las acciones: 20 + 30: 5 = 10, 20 + 30: 5 = 26, 42 – 12: 6 = 40,

42 – 12: 6 = 5, 6 5 + 40: 2 = 50, 6 5 + 40: 2 = 35.

Después de explicar los errores, asigne la tarea: cambie el orden de acción para que la expresión tenga valor establecido.

2. Coloque paréntesis para que la expresión tenga el valor especificado:

72 – 24: 6 + 2 = 66, 72 – 24: 6 + 2 = 6, 72 – 24: 6 + 2 = 10, 72 – 24: 6 + 2 = 69

En el año pasado En la enseñanza en la escuela primaria, las reglas discutidas se complementan con nuevas reglas para los niños sobre el orden de realización de acciones en expresiones que contienen dos pares de paréntesis o dos acciones entre paréntesis. Por ejemplo: 90 8 – (240 + 170) + 190, 469 148 – 148 9 + (30 100 – 26 909), 65 6500: (50 + (654 – 54)).

Familiarización con transformaciones idénticas de expresiones. Una transformación idéntica de una expresión es un reemplazo. expresión dada otro cuyo valor es igual al valor de la expresión dada. Realizan tales transformaciones de expresiones basándose en las propiedades de las operaciones aritméticas y las consecuencias que surgen de ellas (cómo sumar una suma a un número, cómo restar un número de una suma, cómo multiplicar un número por un producto, etc.) Por ejemplo: Continúe escribiendo para que se conserve el signo “=":

76 – (20 + 4) = 76 – 20…

(10 + 7) 5 = 10 5…

60: (2 10) = 60: 10…

Utilizando el conocimiento de las propiedades de las acciones para justificar los métodos de cálculo, los estudiantes realizan transformaciones de expresiones de la forma:

36 + 20 + (30 + 6) =+ 20 = (30 + 20) + 6 = 56

72: 3 = (60 + 12) : 3 = 60: 3 + 12: 3 = 24

18 30 = 18 (3 10) = (18 3) 10 = 540

Es necesario entender que todas estas expresiones están conectadas por el signo “=" porque tienen el mismo significado.

También se realizan transformaciones idénticas de expresiones en función del significado específico de las acciones. Por ejemplo, la suma de términos idénticos se reemplaza por el producto: 6 + 6 + 6 + 6 = 6 4, y viceversa, 6 4 = 6 + 6 + 6 + 6. También en base al significado de la acción de multiplicación, se transforman más expresiones complejas: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6 – 7 = 7 5.

Si en expresiones con corchetes los corchetes no afectan el orden de las acciones, entonces se pueden omitir: (30 + 20) + 10 = 30 + 20 + 10, (10 6): 4 = 10 6: 4, etc.

Posteriormente, utilizando las propiedades aprendidas de las acciones y las reglas para el orden de las acciones, los estudiantes practican la transformación de expresiones con corchetes en expresiones idénticas sin corchetes. Por ejemplo: escribe expresiones sin paréntesis para que sus valores no cambien: (65 + 30) – 20, (20 + 4) 3, 96 – (46 + 30)

Consideremos qué cuestiones teóricas y prácticas se estudian en el tema "Operaciones aritméticas", cuál es el nivel de divulgación y el orden de introducción.

El significado específico de las operaciones aritméticas., es decir, conexiones entre operaciones en conjuntos y operaciones aritméticas correspondientes (por ejemplo, la conexión entre la operación de combinar conjuntos disjuntos y la acción de suma). El conocimiento del significado específico de las operaciones aritméticas debe adquirirse en el nivel generalización empírica: los estudiantes deben aprender a establecer conexiones prácticas entre operaciones en conjuntos y operaciones aritméticas al encontrar los resultados de operaciones aritméticas en varios casos, así como a elegir operaciones aritméticas al resolver problemas de texto. problemas aritméticos.

Propiedades de las operaciones aritméticas. Se trata de disposiciones matemáticas sobre transformaciones idénticas de expresiones matemáticas; reflejan bajo qué transformaciones de una determinada expresión matemática no cambia su valor. El curso inicial de matemáticas incluye propiedades que son base teórica técnicas computacionales.

EN curso inicial los matemáticos son estudiados siguientes propiedades operaciones aritméticas: propiedades conmutativas y asociativas de la suma, propiedad de restar un número de una suma, propiedad de restar una suma de un número, propiedad de restar una suma de una suma, propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación, propiedad distributiva de la multiplicación relativa a suma, propiedad de dividir una suma por un número, propiedad de dividir un número por un producto.

Las propiedades de las operaciones aritméticas previstas en el programa deben dominarse a nivel de generalización conceptual: los estudiantes deben conocer su formulación y aplicarlas prácticamente al justificar técnicas computacionales, al resolver problemas, ecuaciones, ejercicios de transformaciones de identidad etc.

Otras propiedades de las operaciones aritméticas (existencia y unicidad del resultado, monotonicidad de la suma y del producto, etc.) se revelan en el nivel de generalización empírica: los estudiantes prácticamente operan con ellas, no se da la formulación de las propiedades.

Conexiones entre componentes y resultados de operaciones aritméticas. Son enunciados matemáticos que reflejan cómo cada uno de los componentes de las operaciones aritméticas se expresa a través del resultado y su otro componente.

En el curso inicial de matemáticas se estudia primero la conexión entre los componentes y el resultado de la acción de la suma, y ​​luego se estudia la conexión entre los componentes y el resultado de las acciones de resta, multiplicación y división.

El conocimiento de las conexiones debe adquirirse a nivel de generalización conceptual: los estudiantes deben conocer la formulación adecuada y utilizar prácticamente este conocimiento al resolver ecuaciones y justificar técnicas computacionales.

Cambiar los resultados de las operaciones aritméticas dependiendo de un cambio en uno de los componentes, es decir, disposiciones matemáticas que caracterizan cómo cambia el valor de una expresión dependiendo de un cambio en uno de sus componentes.

En relación con este material, se proporciona un nivel empírico de generalización: los estudiantes, al realizar ejercicios especiales, observan los cambios correspondientes en ejemplos específicos establecer la naturaleza del cambio en los resultados de las operaciones aritméticas dependiendo del aumento o disminución de uno de los componentes, o establecer cambios cuantitativos– cómo cambiará el resultado si uno de los componentes aumenta o disminuye en varias unidades o varias veces. Tales observaciones servirán para base adicional introducir el concepto de función, al mismo tiempo que se grandes ejercicios de naturaleza evolutiva.

Relaciones entre componentes y entre componentes y resultados de operaciones aritméticas. Estas son disposiciones matemáticas que reflejan las relaciones "mayor que", "menor que", "igual a", ya sea entre componentes (el minuendo es mayor o igual que el sustraendo), o entre los componentes y los resultados de operaciones aritméticas ( la suma puede ser mayor que cada uno de los términos, o puede ser igual a uno o cada uno de los términos). Este material también se asimila al nivel de generalización empírica: los estudiantes establecen relaciones apropiadas mediante la realización de ejercicios especiales. El conocimiento de estas relaciones se utiliza para comprobar los cálculos; también sirven para fines de propedéutica funcional.

Normas. Se trata, en primer lugar, de disposiciones que son consecuencias de la definición de operaciones aritméticas y de su significado específico: las reglas de suma y resta con el número 0, multiplicación y división con los números 1 y 0, así como disposiciones históricamente establecidas. reglas sobre el orden de realización de operaciones aritméticas en expresiones matemáticas. Los estudiantes deben comprender la redacción de las reglas y poder utilizarlas en la práctica.

Términos y símbolos. En relación con el estudio de estas cuestiones relacionadas con el material teórico, se introduce la terminología y el simbolismo correspondientes: el nombre de las operaciones aritméticas, los símbolos que las denotan y su nombre, el nombre de los componentes y resultados de las operaciones aritméticas, el nombre del expresiones matemáticas correspondientes. Los términos deben incluirse en diccionario activo estudiantes y ser utilizado por ellos en la formulación de enunciados matemáticos, los estudiantes también deben aprender a utilizar correctamente los símbolos apropiados. Los términos y símbolos se ingresan en estrecha conexión con el estudio de operaciones aritméticas relevantes.

Junto con material teórico y en conexión organica el esta siendo tratado Preguntas prácticas: técnicas computacionales y resolución de problemas aritméticos.. Las técnicas computacionales son técnicas para encontrar los resultados de operaciones aritméticas. Se revelan técnicas computacionales basadas en el uso explícito de herramientas apropiadas. disposiciones teóricas. Por ejemplo, basándose en la propiedad conmutativa de la suma, se introduce la técnica de reorganizar términos. Cada centro estudia técnicas computacionales sobre números enteros. números no negativos el segmento correspondiente de la serie natural (en la primera concentración - dentro de 10, en la segunda - dentro de 100, etc.). En la concentración "Diez", solo se estudian técnicas de suma y resta, y en las concentraciones restantes, se estudian técnicas de las cuatro operaciones aritméticas.

El orden de introducción de todas las preguntas anteriores está sujeto a objetivo principal estudiar operaciones aritméticas: la formación de habilidades computacionales conscientes, fuertes y automáticas.

3. Disposiciones generales métodos para formar conceptos e ideas sobre operaciones aritméticas en niños de escuela primaria.

La asimilación del material teórico por parte de los estudiantes se reduce a la asimilación de los aspectos esenciales de los principios matemáticos que se estudian en el nivel de generalización previsto por el programa. En consecuencia, todas las actividades de los estudiantes en la adquisición de conocimientos deben estar dirigidas a resaltar y comprender los aspectos esenciales de los principios teóricos que se estudian. Esto se lleva a cabo principalmente mediante la realización de un sistema de ejercicios adecuado por parte de los estudiantes, el cual está sujeto a los objetivos de cada etapa de formación de conocimientos. En la metodología de la formación del conocimiento existen los siguientes pasos: etapa preparatoria, familiarización con material nuevo, consolidación de conocimientos.

En la etapa de preparación para la familiarización con nuevo material teórico. En primer lugar, se proporcionan ejercicios para reproducir conocimientos adquiridos previamente, que son un medio para la asimilación de nuevos conocimientos. En la mayoría de los casos, durante este periodo es recomendable crear en la mente de los niños” modelos de sujetos» generación de conocimiento mediante la realización de operaciones en decorados. Por ejemplo, antes de familiarizarse con significado específico Se deben llevar a cabo acciones adicionales. cantidad suficiente Ejercicios para realizar la operación de combinación de conjuntos disjuntos (sumar 3 bolas a 4 bolas y saber cuántas bolas hay), que posteriormente servirán de base para familiarizarse con el significado de la operación de suma.

En la etapa de familiarización con material nuevo. Los aspectos esenciales de las proposiciones matemáticas que se estudian se revelan con la ayuda de un sistema de ejercicios realizados por los estudiantes. Al familiarizarse con las propiedades de las operaciones aritméticas, conexiones y dependencias entre sus componentes y resultados, es más recomendable utilizar método de conversación heurística, estudiantes reprobados por inducción al “descubrimiento” del patrón correspondiente y a convencer de su validez mediante medios visuales. Al familiarizarse con las reglas, al introducir terminología y simbolismo, utilice método de explicación, es decir. El profesor presenta el material y los alumnos lo perciben.

Tras la revisión por inducción con el significado específico de las operaciones aritméticas, con sus propiedades, conexiones y dependencias entre componentes y resultados, se ofrecen a los estudiantes ejercicios en los que aparecen los patrones correspondientes al realizarlas. Al analizarlos, los estudiantes identifican las características esenciales del conocimiento que se está formando y, dependiendo del nivel de su generalización, o formulan una serie de conclusiones particulares (con nivel empírico), o de ellos pasar a conclusión general(a nivel conceptual). Es importante resaltar no sólo las características esenciales, sino también una serie de características no esenciales. Por ejemplo, considere cómo puede introducir la propiedad conmutativa de la multiplicación. Se pide a los estudiantes que organicen 6 cuadrados de cada fila en 4 filas y averigüen cantidad total cuadrados que estaban dispuestos. Al mismo tiempo, se llama la atención de los estudiantes sobre el hecho de que contar número total Los cuadrados se pueden realizar de dos maneras: 6 * 4 = 24 y 4 * 6 = 24. Al comparar los registros recibidos, los estudiantes establecen características similares (se dan productos, los mismos factores son iguales, los valores de los productos son igual) y características distintivas(los multiplicadores se intercambian). A continuación se realizan ejercicios similares, siendo uno o dos de ellos niños. Después de completar suficientes ejercicios para comparar pares de productos, los estudiantes establecen que todos los pares de productos tienen los mismos factores y que los valores de los productos en cada par son iguales, con los factores intercambiados. Estas observaciones permiten a los estudiantes llegar a una conclusión generalizadora, que es la formulación de la propiedad conmutativa de la multiplicación: "Si se intercambian los factores, el valor del producto no cambiará".

Con este método de introducción de material nuevo, el sistema de ejercicios debe cumplir una serie de requisitos:

· El sistema de ejercicios debe proporcionar una base visual para los conocimientos que se están formando. Por tanto, a la hora de realizar los ejercicios, es importante en muchos casos utilizar la claridad: operaciones sobre conjuntos (en el ejemplo considerado, la unión de conjuntos iguales disjuntos de cuadrados) y las notaciones matemáticas correspondientes (6* 4 = 24 y 4* 6 = 24). Esto crea la oportunidad para que los propios niños "descubran" los patrones que están estudiando.

· Los ejercicios deben seleccionarse de manera que los aspectos esenciales del conocimiento que se está formando permanezcan inalterados y los no esenciales cambien. Entonces, para la propiedad conmutativa de la multiplicación características esenciales será: los productos tienen los mismos factores, los productos difieren en el orden de los factores, los valores de los productos son iguales; Las características sin importancia son los números mismos y su proporción. Por lo tanto, al seleccionar pares de obras, es necesario tomarlas de diferentes numeros, y los números están en diferentes proporciones (6* 4 y 4* 6; 2*5 y 5* 2; 7* 3 y 3* 7, etc.). Esto permitirá a los estudiantes resaltar no solo las características esenciales, sino también las no esenciales de los nuevos conocimientos, lo que contribuirá a una generalización correcta.

· Se debe animar a los estudiantes a crear ejercicios similares a los discutidos. La capacidad de redactar dichos ejercicios indicará que los estudiantes han identificado los aspectos esenciales del conocimiento que se está formando.

· Al familiarizarse con material nuevo, a menudo surgen situaciones en las que la experiencia previa de los niños tiene efectos positivos y impacto negativo para dominar material nuevo. Esto debe tenerse en cuenta a la hora de introducir material nuevo y proporcionar ejercicios especiales para comparar y contrastar temas que tengan algunas similitudes. Por ejemplo, antes de aprender la propiedad conmutativa de la multiplicación, debes repetir la propiedad conmutativa de la suma y usar la misma técnica. En este caso, una analogía ayudará a dominar una nueva propiedad. antes de estudiar propiedad distributiva Al multiplicar en relación con la suma, es útil repetir la propiedad asociativa de la suma para evitar confusión de estas propiedades y la aparición de errores al aprender una nueva propiedad.

Entonces, como resultado de realizar ejercicios especiales, los estudiantes son llevados a una formulación generalizada de la proposición matemática que se está estudiando o solo a conclusiones específicas.

En la etapa de consolidación del conocimiento. Como resultado de que los estudiantes completen un sistema de ejercicios para aplicar el material estudiado, sus conocimientos se enriquecen con nuevos contenidos específicos y se incluyen en el sistema de conocimientos existentes. La consolidación del conocimiento de cada posición matemática se logra como resultado de que los estudiantes completen sistema especial ejercicios, sujetos a requisitos generales:

· Cada ejercicio del sistema debe tener el potencial de aplicar el conocimiento que se está generando. Luego, el alumno, al realizarlos, resaltará cada vez las propiedades esenciales del conocimiento que se está formando y así lo asimilará mejor. En este caso, los primeros a incluir son ejercicios que se pueden realizar tanto a partir de la aplicación de los conocimientos que se están formando, como de otros conocimientos previamente adquiridos. Realizar tales ejercicios con la técnica adecuada crea oportunidades reales Generalizar los conocimientos que está formando cada alumno.

· Los ejercicios de aplicación de conocimientos deben basarse en diversos contenidos específicos (resolución de problemas aritméticos, comparación de expresiones matemáticas, etc.). Esto asegurará la formación de conocimientos significativos y flexibles y evitará su asimilación formal.

· El sistema de ejercicios debe asegurar el establecimiento de conexiones intraconceptuales (conexiones entre operaciones aritméticas, entre sus propiedades, etc.) e interconceptuales (conexiones entre los componentes y resultados de operaciones aritméticas con la solución de ecuaciones). Esto determina la inclusión de nuevos conocimientos en el sistema de conocimientos existentes.

· Debe existir un número suficiente de ejercicios para asegurar la solidez de los conocimientos que se están formando.

· Los ejercicios deben ser accesibles para los estudiantes y variar desde simples hasta complejos.

· El sistema debe proporcionar ejercicios especiales que preparen a los estudiantes para dominar cuestiones de carácter práctico: realizar cálculos, resolver problemas aritméticos, resolver ecuaciones, etc.

· En esta etapa, más que en la anterior, se deben prever ejercicios de comparación y contraste de material nuevo con material previamente aprendido, que evitarán confusiones sobre temas similares y ayudarán a establecer conexiones intraconceptuales e interconceptuales.

· Al organizar las actividades de los estudiantes en esta etapa, el método debe usarse con más frecuencia trabajo independiente, para promover plenamente el desarrollo mental de los estudiantes.

· Además, hay que tener en cuenta que niños de primaria Aprenden mejor el material si lo incluyen en las lecciones en pequeñas partes, pero durante un tiempo suficientemente largo.

Apéndice No. 1

Operaciones aritméticas

Apéndice No. 2

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