Comment trouver la hauteur de la base d’une pyramide triangulaire régulière. Qu'est-ce qui nous permet de considérer la pyramide comme un miracle géométrique ? Ressources Internet

Vous trouverez ici des informations de base sur les pyramides et les formules et concepts associés. Tous sont étudiés avec un tuteur en mathématiques en préparation à l'examen d'État unifié.

Considérons un plan, un polygone , se trouvant dedans et un point S, ne se trouvant pas dedans. Relions S à tous les sommets du polygone. Le polyèdre résultant s’appelle une pyramide. Les segments sont appelés côtes latérales. Le polygone s'appelle la base et le point S est le sommet de la pyramide. Selon le nombre n, la pyramide est appelée triangulaire (n=3), quadrangulaire (n=4), pentagonale (n=5) et ainsi de suite. Titre alternatif pyramide triangulaire – tétraèdre. La hauteur d'une pyramide est la perpendiculaire descendant de son sommet jusqu'au plan de la base.

Une pyramide est dite régulière si un polygone régulier, et la base de l'altitude de la pyramide (la base de la perpendiculaire) est son centre.

Commentaire du tuteur:
Ne confondez pas les notions de « pyramide régulière » et de « tétraèdre régulier ». Dans une pyramide régulière, les arêtes latérales ne sont pas nécessairement égales aux arêtes de la base, mais dans un tétraèdre régulier, les 6 arêtes sont égales. C'est sa définition. Il est facile de prouver que l’égalité implique que le centre P du polygone coïncide avec une hauteur de base, donc un tétraèdre régulier est une pyramide régulière.

Qu'est-ce qu'un apothème ?
L'apothème d'une pyramide est la hauteur de sa face latérale. Si la pyramide est régulière, alors tous ses apothèmes sont égaux. L’inverse n’est pas vrai.

Un professeur de mathématiques à propos de sa terminologie : 80 % du travail avec des pyramides est construit à travers deux types de triangles :
1) Contenant l'apothème SK et la hauteur SP
2) Contenant le bord latéral SA et sa projection PA

Pour simplifier les références à ces triangles, il est plus pratique pour un professeur de mathématiques d'appeler le premier d'entre eux apothémique, et le deuxième costal. Malheureusement, vous ne trouverez cette terminologie dans aucun manuel scolaire et l'enseignant doit l'introduire unilatéralement.

Formule pour le volume d'une pyramide:
1) , où est l'aire de la base de la pyramide et est la hauteur de la pyramide
2) , où est le rayon de la sphère inscrite, et est l'aire toute la surface pyramides.
3) , où MN est la distance entre deux arêtes qui se croisent, et est l'aire du parallélogramme formé par les milieux des quatre arêtes restantes.

Propriété de la base de la hauteur d'une pyramide :

Le point P (voir figure) coïncide avec le centre du cercle inscrit à la base de la pyramide si l'une des conditions suivantes est remplie :
1) Tous les apothèmes sont égaux
2) Tous faces latéraleségalement incliné vers la base
3) Tous les apothèmes sont également inclinés par rapport à la hauteur de la pyramide
4) La hauteur de la pyramide est également inclinée sur toutes les faces latérales

Commentaire du professeur de mathématiques: Veuillez noter que tous les points ont une chose en commun propriété générale: d'une manière ou d'une autre, les faces latérales interviennent partout (les apothèmes sont leurs éléments). Par conséquent, l'enseignant peut proposer une formulation moins précise, mais plus pratique pour l'apprentissage : le point P coïncide avec le centre du cercle inscrit, la base de la pyramide, s'il existe des informations égales sur ses faces latérales. Pour le prouver, il suffit de montrer que tous les triangles apothèmes sont égaux.

Le point P coïncide avec le centre d'un cercle circonscrit près de la base de la pyramide si l'une des trois conditions suivantes est vraie :
1) Tous les bords latéraux sont égaux
2) Toutes les nervures latérales sont également inclinées par rapport à la base
3) Toutes les nervures latérales sont également inclinées par rapport à la hauteur

Ce didacticiel vidéo aidera les utilisateurs à se faire une idée sur le thème Pyramide. Pyramide correcte. Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec le concept de pyramide et lui donner une définition. Considérons ce qu'est une pyramide régulière et quelles propriétés elle possède. Ensuite, nous démontrons le théorème sur la surface latérale d’une pyramide régulière.

Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec le concept de pyramide et lui donner une définition.

Considérons un polygone Un 1 Un 2...Un, qui se situe dans le plan α, et le point P., qui ne se situe pas dans le plan α (Fig. 1). Relions les points P. avec des sommets Un 1, Un 2, Un 3, … Un. Nous obtenons n triangles : Un 1 Un 2 R, Un 2 Un 3 R et ainsi de suite.

Définition. Polyèdre RA 1 A 2 ...A n, composé de n-carré Un 1 Un 2...Un Et n triangles RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 est appelé n-pyramide du charbon. Riz. 1.

Riz. 1

Considérons une pyramide quadrangulaire PABCD(Fig.2).

R.- le sommet de la pyramide.

ABCD- la base de la pyramide.

RA- côte latérale.

AB- nervure de base.

Du point R. laissons tomber la perpendiculaire RN au plan de base ABCD. La perpendiculaire tracée est la hauteur de la pyramide.

Riz. 2

La surface complète de la pyramide est constituée de la surface latérale, c'est-à-dire l'aire de toutes les faces latérales, et l'aire de la base :

S complet = S côté + S principal

Une pyramide est dite correcte si :

• sa base est un polygone régulier ;
• le segment reliant le sommet de la pyramide au centre de la base est sa hauteur.

Explication à l'aide de l'exemple d'une pyramide quadrangulaire régulière

Considérons une pyramide quadrangulaire régulière PABCD(Fig. 3).

R.- le sommet de la pyramide. Base de la pyramide ABCD - quadrilatère régulier, c'est-à-dire un carré. Point À PROPOS, le point d'intersection des diagonales, est le centre du carré. Moyens, RO est la hauteur de la pyramide.

Riz. 3

Explication: dans le bon sens n Dans un triangle, le centre du cercle inscrit et le centre du cercle circonscrit coïncident. Ce centre est appelé centre du polygone. Parfois, on dit que le sommet est projeté vers le centre.

La hauteur de la face latérale d’une pyramide régulière tirée de son sommet est appelée apothème et est désigné ha un.

1. toutes les arêtes latérales d’une pyramide régulière sont égales ;

2. Les faces latérales sont des triangles isocèles égaux.

Nous donnerons une preuve de ces propriétés en utilisant l’exemple d’une pyramide quadrangulaire régulière.

Donné: PABCD- correct pyramide quadrangulaire,

ABCD- carré,

RO- hauteur de la pyramide.

Prouver:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Voir Fig. 4.

Riz. 4

Preuve.

RO- hauteur de la pyramide. C'est-à-dire directement RO perpendiculaire au plan abc, et donc direct JSC, VO, SO Et FAIRE couché dedans. donc des triangles ROA, ROV, ROS, TIGE- rectangulaire.

Considérons un carré ABCD. Des propriétés d’un carré il résulte que AO = VO = CO = FAIRE.

Puis les triangles rectangles ROA, ROV, ROS, TIGE jambe RO- général et jambes JSC, VO, SO Et FAIRE sont égaux, ce qui signifie que ces triangles sont égaux sur deux côtés. De l’égalité des triangles découle l’égalité des segments, RA = PB = RS = PD. Le point 1 a été prouvé.

Segments AB Et Soleil sont égaux parce qu’ils sont côtés d’un même carré, RA = PB = RS. donc des triangles AVR Et VSR- isocèle et égale sur trois côtés.

De la même manière, nous constatons que les triangles ABP, VCP, CDP, DAP sont isocèles et égaux, comme cela doit être prouvé au paragraphe 2.

L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de l'apothème :

Pour le prouver, choisissons une pyramide triangulaire régulière.

Donné: RAVS- pyramide triangulaire régulière.

AB = BC = AC.

RO- hauteur.

Prouver: . Voir Fig. 5.

Riz. 5

Preuve.

RAVS- pyramide triangulaire régulière. C'est AB= AC = BC. Laisser À PROPOS- centre du triangle abc, Alors RO est la hauteur de la pyramide. A la base de la pyramide se trouve un triangle équilatéral abc. Noter que .

Triangles RAV, RVS, RSA- égal triangles isocèles(par propriété). Une pyramide triangulaire a trois faces latérales : RAV, RVS, RSA. Cela signifie que l'aire de la surface latérale de la pyramide est :

Côté S = 3S RAW

Le théorème a été prouvé.

Le rayon d'un cercle inscrit à la base d'une pyramide quadrangulaire régulière est de 3 m, la hauteur de la pyramide est de 4 m. Trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.

Donné: pyramide quadrangulaire régulière ABCD,

ABCD- carré,

r= 3 m,

RO- hauteur de la pyramide,

RO= 4 m.

Trouver: Côté S. Voir Fig. 6.

Riz. 6

Solution.

D'après le théorème prouvé, .

Trouvons d'abord le côté de la base AB. On sait que le rayon d'un cercle inscrit à la base d'une pyramide quadrangulaire régulière est de 3 m.

Ensuite, M.

Trouver le périmètre du carré ABCD d'un côté de 6 m :

Considérons un triangle BCD. Laisser M- milieu du côté CC. Parce que À PROPOS- milieu BD, Que (m).

Triangle DPC- isocèle. M- milieu CC. C'est, RM- la médiane, et donc la hauteur dans le triangle DPC. Alors RM- apothème de la pyramide.

RO- hauteur de la pyramide. Puis, directement RO perpendiculaire au plan abc, et donc direct OM, couché dedans. Trouvons l'apothème RM d'un triangle rectangle ROM.

Nous pouvons maintenant trouver la surface latérale de la pyramide :

Répondre: 60 m2.

Le rayon du cercle circonscrit à la base d'une pyramide triangulaire régulière est égal à m. La surface latérale est de 18 m 2. Trouvez la longueur de l’apothème.

Donné: PCAA- pyramide triangulaire régulière,

AB = BC = SA,

R.= m,

Côté S = 18 m2.

Trouver: . Voir Fig. 7.

Riz. 7

Solution.

Dans un triangle rectangle abc Le rayon du cercle circonscrit est donné. Trouvons un côté AB ce triangle en utilisant la loi des sinus.

Connaissant le côté d'un triangle régulier (m), on trouve son périmètre.

Par le théorème sur la surface latérale d'une pyramide régulière, où ha un- apothème de la pyramide. Alors:

Répondre: 4 m.

Nous avons donc examiné ce qu'est une pyramide, ce qu'est une pyramide régulière, et nous avons prouvé le théorème sur la surface latérale d'une pyramide régulière. Dans la prochaine leçon, nous nous familiariserons avec la pyramide tronquée.

Références

1. Géométrie. 10e-11e années : manuel pour les élèves établissements d'enseignement(de base et niveaux de profil) / I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. - 5e éd., rév. et supplémentaire - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : ill.
2. Géométrie. 10e-11e année : manuel pour l'enseignement général établissements d'enseignement/ Sharygin I.F. - M. : Outarde, 1999. - 208 p. : ill.
3. Géométrie. 10e année : Manuel pour les établissements d'enseignement général avec étude approfondie et spécialisée des mathématiques /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6e éd., stéréotype. - M. : Outarde, 008. - 233 p. : ill.

1. Portail Internet "Yaklass" ()
2. Portail Internet "Festival idées pédagogiques"Premier septembre" ()
3. Portail Internet « Slideshare.net » ()

Devoirs

1. Un polygone régulier peut-il être la base d'une pyramide irrégulière ?
2. Montrer que les arêtes disjointes d’une pyramide régulière sont perpendiculaires.
3. Trouvez la valeur de l'angle dièdre du côté de la base d'une pyramide quadrangulaire régulière si l'apothème de la pyramide est égal au côté de sa base.
4. RAVS- pyramide triangulaire régulière. Construisez l’angle linéaire de l’angle dièdre à la base de la pyramide.

Une pyramide triangulaire est une pyramide qui a un triangle à sa base. La hauteur de cette pyramide est la perpendiculaire qui descend du sommet de la pyramide jusqu'à sa base.

Trouver la hauteur d'une pyramide

Comment trouver la hauteur d'une pyramide ? Très simple ! Pour trouver la hauteur de n'importe quelle pyramide triangulaire, vous pouvez utiliser la formule du volume : V = (1/3)Sh, où S est l'aire de la base, V est le volume de la pyramide, h est sa hauteur. De cette formule, dérivez la formule de la hauteur : pour trouver la hauteur d'une pyramide triangulaire, vous devez multiplier le volume de la pyramide par 3, puis diviser la valeur obtenue par l'aire de la base, ce sera : h = (3V)/S. Puisque la base d'une pyramide triangulaire est un triangle, vous pouvez utiliser la formule pour calculer l'aire d'un triangle. Si l'on connaît : l'aire du triangle S et son côté z, alors d'après la formule d'aire S=(1/2)γh : h = (2S)/γ, où h est la hauteur de la pyramide, γ est le bord du triangle ; l'angle entre les côtés du triangle et les deux côtés eux-mêmes, puis en utilisant la formule suivante : S = (1/2)γφsinQ, où γ, φ sont les côtés du triangle, on trouve l'aire du triangle. La valeur du sinus de l’angle Q doit être examinée dans le tableau des sinus disponible sur Internet. Ensuite, nous remplaçons la valeur de l'aire dans la formule de hauteur : h = (2S)/γ. Si la tâche nécessite de calculer la hauteur d'une pyramide triangulaire, alors le volume de la pyramide est déjà connu.

Pyramide triangulaire régulière

Trouvez la hauteur d'une pyramide triangulaire régulière, c'est-à-dire une pyramide dont toutes les faces sont triangles équilatéraux, connaissant la taille de l'arête γ. Dans ce cas, les arêtes de la pyramide sont les côtés de triangles équilatéraux. La hauteur d'une pyramide triangulaire régulière sera : h = γ√(2/3), où γ est l'arête du triangle équilatéral, h est la hauteur de la pyramide. Si l'aire de la base (S) est inconnue et que seules la longueur du bord (γ) et le volume (V) du polyèdre sont donnés, alors la variable nécessaire dans la formule de l'étape précédente doit être remplacée par son équivalent, qui s'exprime en termes de longueur du bord. L'aire d'un triangle (régulier) est égale à 1/4 du produit de la longueur du côté de ce triangle au carré par la racine carrée de 3. On substitue cette formule à la place de l'aire de la base dans la précédente formule, et on obtient la formule suivante : h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Le volume d'un tétraèdre peut être exprimé par la longueur de son arête, puis à partir de la formule de calcul de la hauteur d'une figure, vous pouvez supprimer toutes les variables et ne laisser que le côté visage triangulaire chiffres. Le volume d'une telle pyramide peut être calculé en divisant par 12 le produit de la longueur au cube de sa face par la racine carrée de 2.

En remplaçant cette expression dans la formule précédente, nous obtenons la formule de calcul suivante : h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. C'est également correct prisme triangulaire peut être inscrit dans une sphère, et connaissant seulement le rayon de la sphère (R) on peut trouver la hauteur du tétraèdre lui-même. La longueur de l’arête du tétraèdre est : γ = 4R/√6. On remplace la variable γ par cette expression dans la formule précédente et on obtient la formule : h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. La même formule peut être obtenue en connaissant le rayon (R) d'un cercle inscrit dans un tétraèdre. Dans ce cas, la longueur du bord du triangle sera égale à 12 rapports entre racine carrée de 6 et rayon. On substitue cette expression dans la formule précédente et on a : h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Comment trouver la hauteur d'une pyramide quadrangulaire régulière

Pour répondre à la question de savoir comment trouver la longueur et la hauteur d'une pyramide, vous devez savoir ce qu'est une pyramide régulière. Une pyramide quadrangulaire est une pyramide qui possède un quadrilatère à sa base. Si dans les conditions du problème nous avons : le volume (V) et l'aire de la base (S) de la pyramide, alors la formule de calcul de la hauteur du polyèdre (h) sera la suivante - diviser le volume multiplié par 3 par l'aire S : h = (3V)/S. Étant donné une base carrée d'une pyramide de volume (V) et de longueur de côté γ donnés, remplacez l'aire (S) dans la formule précédente par le carré de la longueur du côté : S = γ 2 ; H = 3V/γ2. La hauteur d’une pyramide régulière h = SO passe exactement par le centre du cercle circonscrit près de la base. Puisque la base de cette pyramide est un carré, le point O est le point d’intersection des diagonales AD et BC. On a : OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Ensuite, dans le triangle rectangle SOC on trouve (en utilisant le théorème de Pythagore) : SO = √(SC 2 -OC 2). Vous savez maintenant comment trouver la hauteur d’une pyramide régulière.

Définition. Bord latéral- il s'agit d'un triangle dont un angle se situe au sommet de la pyramide et le côté opposé coïncide avec le côté de la base (polygone).

Définition. Côtes latérales- Ce aspects communs bords latéraux. Une pyramide a autant d’arêtes que d’angles d’un polygone.

Définition. Hauteur de la pyramide- c'est une perpendiculaire abaissée du haut à la base de la pyramide.

Définition. Apothème- il s'agit d'une perpendiculaire à la face latérale de la pyramide, abaissée du sommet de la pyramide jusqu'au côté de la base.

Définition. Section diagonale - il s'agit d'une section d'une pyramide par un plan passant par le sommet de la pyramide et la diagonale de la base.

Définition. Pyramide correcte est une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont la hauteur descend jusqu'au centre de la base.

Volume et superficie de la pyramide

Formule. Volume de la pyramideà travers la surface de base et la hauteur :

Propriétés de la pyramide

Si tous les bords latéraux sont égaux, alors un cercle peut être tracé autour de la base de la pyramide et le centre de la base coïncide avec le centre du cercle. De plus, une perpendiculaire tombant du haut passe par le centre de la base (cercle).

Si tous les bords latéraux sont égaux, ils sont alors inclinés par rapport au plan de base selon les mêmes angles.

Les nervures latérales sont égales lorsqu'elles se forment avec le plan de la base angles égaux ou si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.

Si les faces latérales sont inclinées du même angle par rapport au plan de la base, alors un cercle peut être inscrit dans la base de la pyramide et le sommet de la pyramide est projeté en son centre.

Si les faces latérales sont inclinées du même angle par rapport au plan de la base, alors les apothèmes des faces latérales sont égaux.

Propriétés d'une pyramide régulière

1. Le sommet de la pyramide est à égale distance de tous les coins de la base.

2. Tous les bords latéraux sont égaux.

3. Toutes les nervures latérales sont inclinées à des angles égaux par rapport à la base.

4. Les apothèmes de toutes les faces latérales sont égaux.

5. Les aires de toutes les faces latérales sont égales.

6. Toutes les faces ont les mêmes angles dièdres (plats).

7. Une sphère peut être décrite autour de la pyramide. Le centre de la sphère circonscrite sera le point d’intersection des perpendiculaires passant par le milieu des arêtes.

8. Vous pouvez insérer une sphère dans une pyramide. Le centre de la sphère inscrite sera le point d'intersection des bissectrices issues de l'angle entre le bord et la base.

9. Si le centre de la sphère inscrite coïncide avec le centre de la sphère circonscrite, alors la somme des angles plans au sommet est égale à π ou vice versa, un angle est égal à π/n, où n est le nombre d'angles à la base de la pyramide.

Le lien entre la pyramide et la sphère

Une sphère peut être décrite autour d'une pyramide lorsqu'à la base de la pyramide se trouve un polyèdre autour duquel un cercle peut être décrit (nécessaire et état suffisant). Le centre de la sphère sera le point d’intersection des plans passant perpendiculairement par les milieux des bords latéraux de la pyramide.

Il est toujours possible de décrire une sphère autour de n'importe quelle pyramide triangulaire ou régulière.

Une sphère peut s'inscrire dans une pyramide si les plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide se coupent en un point (condition nécessaire et suffisante). Ce point sera le centre de la sphère.

Relation entre une pyramide et un cône

Un cône est dit inscrit dans une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est inscrite dans la base de la pyramide.

Un cône peut s'inscrire dans une pyramide si les apothèmes de la pyramide sont égaux les uns aux autres.

Un cône est dit circonscrit à une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est circonscrite à la base de la pyramide.

Un cône peut être décrit autour d’une pyramide si tous les bords latéraux de la pyramide sont égaux les uns aux autres.

Relation entre une pyramide et un cylindre

Une pyramide est dite inscrite dans un cylindre si le sommet de la pyramide repose sur une base du cylindre et que la base de la pyramide est inscrite dans une autre base du cylindre.

Un cylindre peut être décrit autour d’une pyramide si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.

Un tétraèdre a quatre faces, quatre sommets et six arêtes, deux arêtes n'ayant aucune sommets communs mais ils ne se touchent pas.

Chaque sommet est constitué de trois faces et arêtes qui forment angle triangulaire.

Un segment reliant le sommet d'un tétraèdre au centre face opposée appelé médiane du tétraèdre(GM).

Bimédian appelé segment reliant les milieux des bords opposés qui ne se touchent pas (KL).

Toutes les bimédianes et médianes d'un tétraèdre se coupent en un point (S). Dans ce cas, les bimédianes sont divisées en deux et les médianes sont divisées dans un rapport de 3 : 1 en partant du haut.

Définition. Pyramide à angle aigu- une pyramide dont l'apothème fait plus de la moitié de la longueur du côté de la base.

Définition. Pyramide obtuse- une pyramide dont l'apothème fait moins de la moitié de la longueur du côté de la base.

Définition. Tétraèdre régulier- un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. Il est l'un des cinq polygones réguliers. DANS tétraèdre régulier Tous angles dièdres(entre les faces) et les angles trièdres (au sommet) sont égaux.

Définition. Tétraèdre rectangulaire s'appelle un tétraèdre dans lequel il y a un angle droit entre trois arêtes au sommet (les arêtes sont perpendiculaires). Trois visages se forment angle triangulaire rectangulaire et les bords sont triangles rectangles, et la base triangle arbitraire. L'apothème d'une face est égal à la moitié du côté de la base sur laquelle tombe l'apothème.

Définition. Tétraèdre isoédrique s'appelle un tétraèdre dont les faces latérales sont égales les unes aux autres et dont la base est un triangle régulier. Un tel tétraèdre a des faces qui sont des triangles isocèles.

Définition. Tétraèdre orthocentrique s'appelle un tétraèdre dans lequel toutes les hauteurs (perpendiculaires) qui descendent du haut vers la face opposée se coupent en un point.

Définition. Pyramide étoilée appelé polyèdre dont la base est une étoile.

Les étudiants découvrent le concept de pyramide bien avant d’étudier la géométrie. La faute en revient aux célèbres grandes merveilles égyptiennes du monde. Par conséquent, lorsqu'ils commencent à étudier ce merveilleux polyèdre, la plupart des étudiants l'imaginent déjà clairement. Toutes les attractions mentionnées ci-dessus ont la forme correcte. Ce qui s'est passé pyramide régulière, et ses propriétés seront discutées plus loin.

Définition

Il existe de nombreuses définitions d’une pyramide. Depuis l’Antiquité, il est très populaire.

Par exemple, Euclide l'a défini comme une figure corporelle constituée de plans qui, partant d'un seul, convergent en un certain point.

Heron a fourni une formulation plus précise. Il a insisté sur le fait que c'était le chiffre qui a une base et des avions dedans en forme de triangle, convergeant en un point.

Sur la base de l'interprétation moderne, la pyramide est représentée comme un polyèdre spatial composé d'un certain k-gon et k chiffres plats forme triangulaire, ayant un point commun.

Regardons cela plus en détail, de quels éléments se compose-t-il :

• Le k-gon est considéré comme la base de la figure ;
• Des formes à 3 polygones font saillie sur les bords de la partie latérale ;
• la partie supérieure d'où proviennent les éléments latéraux est appelée sommet ;
• tous les segments reliant un sommet sont appelés arêtes ;
• si une ligne droite est abaissée du sommet au plan de la figure sous un angle de 90 degrés, alors sa partie enfermée dans espace interne— hauteur de la pyramide ;
• dans tout élément latéral, une perpendiculaire, appelée apothème, peut être tracée du côté de notre polyèdre.

Le nombre d'arêtes est calculé à l'aide de la formule 2*k, où k est le nombre de côtés du k-gon. Le nombre de faces d'un polyèdre tel qu'une pyramide peut être déterminé à l'aide de l'expression k+1.

Important! Pyramide forme correcte appelé figure stéréométrique dont le plan de base est un k-gon à côtés égaux.

Propriétés de base

Pyramide correcte a de nombreuses propriétés, qui lui sont propres. Listons-les :

1. La base est une figure de forme correcte.
2. Les arêtes de la pyramide qui limitent les éléments latéraux ont des valeurs numériques égales.
3. Les éléments latéraux sont des triangles isocèles.
4. La base de la hauteur de la figure tombe au centre du polygone, tout en étant à la fois le point central de l'inscrit et du circonscrit.
5. Tous côtes latérales incliné par rapport au plan de la base selon le même angle.
6. Toutes les surfaces latérales ont le même angle d'inclinaison par rapport à la base.

Merci à tous propriétés répertoriées, effectuer des calculs d'éléments est beaucoup plus facile. Sur la base des propriétés ci-dessus, nous prêtons attention à deux signes :

1. Dans le cas où le polygone s'inscrit dans un cercle, les faces latérales auront des angles égaux avec la base.
2. Lors de la description d'un cercle autour d'un polygone, toutes les arêtes de la pyramide émanant du sommet auront longueur égale et des angles égaux avec la base.

La base est un carré

Pyramide quadrangulaire régulière - un polyèdre dont la base est un carré.

Il présente quatre faces latérales d’apparence isocèle.

Un carré est représenté sur un plan, mais repose sur toutes les propriétés d’un quadrilatère régulier.

Par exemple, si vous devez relier le côté d'un carré avec sa diagonale, utilisez la formule suivante: La diagonale est égale au produit du côté du carré par la racine carrée de deux.

Il est basé sur un triangle régulier

Une pyramide triangulaire régulière est un polyèdre dont la base est un 3-gone régulier.

Si la base est triangle rectangle, et les bords latéraux sont égaux aux bords de la base, alors une telle figure appelé tétraèdre.

Toutes les faces d'un tétraèdre sont des 3-gones équilatéraux. DANS dans ce cas Il faut connaître certains points et ne pas perdre de temps dessus lors du calcul :

• l'angle d'inclinaison des côtes par rapport à n'importe quelle base est de 60 degrés ;
• la taille de toutes les faces internes est également de 60 degrés ;
• n'importe quel visage peut servir de base ;
• , dessinés à l'intérieur de la figure, ce sont des éléments égaux.

Sections d'un polyèdre

Dans tout polyèdre il y a plusieurs types de sections plat. Souvent dans cours scolaire les géométries fonctionnent avec deux :

• axial;
• parallèlement à la base.

Une section axiale est obtenue en croisant un polyèdre avec un plan qui passe par le sommet, les arêtes latérales et l'axe. Dans ce cas, l'axe est la hauteur tirée du sommet. Le plan de coupe est limité par les lignes d'intersection avec toutes les faces, ce qui donne un triangle.

Attention! Dans une pyramide régulière, la section axiale est un triangle isocèle.

Si le plan de coupe est parallèle à la base, le résultat est la deuxième option. Dans ce cas, nous avons une figure en coupe similaire à la base.

Par exemple, s'il y a un carré à la base, alors la section parallèle à la base sera également un carré, mais de plus petites dimensions.

Lors de la résolution de problèmes dans cette condition, ils utilisent des signes et des propriétés de similitude des figures, basé sur le théorème de Thales. Tout d’abord, il faut déterminer le coefficient de similarité.

Si le plan est tracé parallèlement à la base et qu'il coupe partie supérieure polyèdre, on obtient alors une pyramide tronquée régulière en partie inférieure. Alors les bases d’un polyèdre tronqué sont dites polygones similaires. Dans ce cas, les faces latérales sont des trapèzes isocèles. La section axiale est également isocèle.

Afin de déterminer la hauteur d’un polyèdre tronqué, il est nécessaire de tracer la hauteur en coupe axiale, c'est-à-dire dans un trapèze.

Superficies

Basique problèmes géométriques qui doivent être résolus dans un cours de géométrie scolaire sont trouver la surface et le volume d'une pyramide.

Il existe deux types de valeurs de superficie :

• zone des éléments latéraux;
• superficie de toute la surface.

D'après le nom lui-même, il est clair de quoi nous parlons. Surface latérale comprend uniquement des éléments latéraux. Il s'ensuit que pour le trouver, il suffit d'additionner les aires des plans latéraux, c'est-à-dire les aires des 3-gones isocèles. Essayons de dériver la formule pour l'aire des éléments latéraux :

1. L'aire d'un 3-gon isocèle est égale à Str=1/2(aL), où a est le côté de la base, L est l'apothème.
2. Le nombre de plans latéraux dépend du type de k-gon à la base. Par exemple, une pyramide quadrangulaire régulière possède quatre plans latéraux. Il faut donc ajouter zone de quatre chiffres Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. L'expression est ainsi simplifiée car la valeur est 4a = Rosn, où Rosn est le périmètre de la base. Et l'expression 1/2*Rosn est son demi-périmètre.
3. Ainsi, nous concluons que l'aire des éléments latéraux d'une pyramide régulière est égale au produit du demi-périmètre de la base et de l'apothème : Sside = Rosn * L.

L'aire de la surface totale de la pyramide est constituée de la somme des aires des plans latéraux et de la base : Sp.p = Sside + Sbas.

Quant à l'aire de la base, ici la formule est utilisée en fonction du type de polygone.

Volume d'une pyramide régulièreégal au produit de l'aire du plan de base et de la hauteur divisé par trois : V=1/3*Sbas*H, où H est la hauteur du polyèdre.

Ce qui s'est passé pyramide correcte en géométrie

Propriétés d'une pyramide quadrangulaire régulière