Fonction de corrélation de la matrice de processus aléatoires. Fonctions de corrélation de processus aléatoires

Sujet analyse de corrélation est l'étude des dépendances probabilistes entre variables aléatoires.

Les grandeurs sont indépendantes si la loi de distribution de chacune d'elles ne dépend pas de la valeur prise par l'autre. De telles valeurs peuvent être considérées, par exemple, la limite d'endurance du matériau de la pièce et le coefficient théorique de concentration de contraintes dans la section dangereuse de la pièce.

Les quantités sont des dépendances probabilistes ou stochastiques liées si valeur connue Une quantité ne correspond pas à une valeur spécifique, mais à une autre loi de répartition. Les dépendances probabilistes se produisent lorsque les quantités dépendent non seulement de leurs facteurs communs, mais également de divers facteurs aléatoires.

Informations complètes sur la connexion probabiliste de deux variables aléatoires est représentée par la densité de distribution conjointe f(x,y) ou densités de distribution conditionnelles f(x/y), f(y/x), c'est-à-dire les densités de distribution des variables aléatoires X et Oui lors de la spécification de valeurs spécifiques à Et X respectivement.

Densité des articulations Et densités conditionnelles les distributions sont liées par les relations suivantes :

Les principales caractéristiques des dépendances probabilistes sont le moment de corrélation et le coefficient de corrélation.

Moment de corrélation deux variables aléatoires X et Y sont valeur attendue produit de variables aléatoires centrées :

pour discret

pour continu

où m X et M oui– les attentes mathématiques des valeurs X et Y ; р ij– probabilité valeurs individuelles x je Et oui je.

Le moment de corrélation caractérise simultanément le lien entre les variables aléatoires et leur diffusion. Dans sa dimension il correspond à la dispersion pour les indépendants Variable aléatoire. Pour mettre en évidence les caractéristiques de la relation entre variables aléatoires, on passe au coefficient de corrélation, qui caractérise le degré de proximité de la relation et peut varier dans la plage -1 ≤ ρ ≤ 1.

;

où S x et S y– les écarts types des variables aléatoires.

Valeurs ρ = 1 et ρ = –1 indique la dépendance fonctionnelle, valeur ρ = 0 indique que les variables aléatoires ne sont pas corrélées

Considérez la corrélation à la fois entre les quantités et entre les événements, ainsi que corrélation multiple, caractérisant la relation entre de nombreuses quantités et événements.

Avec une analyse plus détaillée de la relation probabiliste, les attentes mathématiques conditionnelles des variables aléatoires sont déterminées mon/x Et mx/y, c'est-à-dire les attentes mathématiques des variables aléatoires Y et X pour un valeurs spécifiques X Et à respectivement.

Dépendance de l'espérance mathématique conditionnelle tu/x depuis X appelée régression de Y sur X. Dépendance t x/tu depuis à correspond à la régression de X sur Y.

Pour la normale quantités distribuées Oui et l'équation de régression X est :

pour la régression de Y sur X

pour la régression de X sur Y

Le domaine d'application le plus important de l'analyse de corrélation aux problèmes de fiabilité est le traitement et la généralisation des résultats des observations opérationnelles. Résultats de l'observation des variables aléatoires Y et X représenté par des valeurs appariées y je, x je je-ème observation, où je = 1, 2 . . . P ; P.– nombre d'observations.

Évaluation r Coefficient de corrélation ρ déterminé par la formule

Où , – estimations des attentes mathématiques t x Et que respectivement, c'est-à-dire la moyenne de P. observations de valeurs

s x , s y- estimations de moyenne écarts carrés S x Et S y par conséquent:

Ayant désigné l'estimation des attentes mathématiques conditionnelles t y/x, t x / y respectivement à travers et , équations de régression empiriques U Par X Et X Par Ouiécrit sous la forme suivante :

En règle générale, une seule des régressions a une valeur pratique.

Avec un coefficient de corrélation r=1 les équations de régression sont identiques.

Question n°63 Estimation de paramètres statistiques à l'aide d'intervalles de confiance

Si la valeur du paramètre testé est estimée par un nombre, on parle alors de valeur ponctuelle. Mais dans la plupart des problèmes, vous devez non seulement trouver le plus fiable valeur numérique, mais aussi pour évaluer le degré de fiabilité.

Vous devez savoir quelle erreur est provoquée par le remplacement d'un vrai paramètre UN son estimation ponctuelle; avec quel degré de confiance peut-on s'attendre à ce que ces erreurs ne dépassent pas les limites prédéterminées connues.

A cet effet dans statistiques mathématiques Ils utilisent ce qu'on appelle des intervalles de confiance et des probabilités de confiance.

Si pour le paramètre UN estimation impartiale obtenue par expérience , et la tâche est définie pour évaluer l'erreur possible, alors il est nécessaire d'en attribuer suffisamment haute probabilitéβ (par exemple β = 0,9 ; 0,95 ; 0,99, etc.), de telle sorte qu'un événement de probabilité β puisse être considéré comme pratiquement certain.

Dans ce cas, on peut trouver une valeur de ε pour laquelle P.(| - un| < ε) = β.

Riz. 3.1.1 Diagramme d'intervalle de confiance.

Dans ce cas, la portée est presque erreurs possibles survenant lors du remplacement UN ne dépassera pas ± ε. Grand par valeur absolue les erreurs n’apparaîtront qu’avec une faible probabilité α = 1 – β. Un événement opposé et inconnu avec une probabilité β tombera dans l'intervalle Je suis= ( - ε; + ε). La probabilité β peut être interprétée comme la probabilité qu'un intervalle aléatoire Je suis couvrira le point UN(Fig. 3.1.1).

La probabilité β est généralement appelée probabilité de confiance, et l'intervalle Je suis est communément appelé intervalle de confiance. En figue. 3.1.1 un intervalle de confiance symétrique est considéré. DANS cas général cette exigence n’est pas obligatoire.

Intervalle de confiance valeurs des paramètres un peut être considéré comme un intervalle de valeurs un, cohérents avec les données expérimentales et ne les contredisant pas.

Choisir probabilité de confianceβ proche de un, nous voulons avoir la certitude qu’un événement avec une telle probabilité se produira lorsqu’un certain ensemble de conditions sera rempli.

Cela équivaut au fait que l’événement inverse ne se produira pas, que l’on néglige la probabilité de l’événement, égale à α = 1 – β. Précisons que la finalité de la frontière et les probabilités négligeables ne sont pas problème de maths. Le but d’une telle frontière échappe à la théorie des probabilités et est déterminé dans chaque domaine par le degré de responsabilité et la nature des problèmes à résoudre.

Mais l'établissement l'est aussi gros stock la force entraîne une augmentation injustifiée et importante des coûts de construction.

65 Question n°65 Processus aléatoire stationnaire.

Fonction aléatoire stationnaire – fonction aléatoire, toutes caractéristiques probabilistes ce qui ne dépend pas de l'argumentation. Les fonctions aléatoires stationnaires décrivent les processus stationnaires du fonctionnement de la machine, les fonctions non stationnaires - processus non stationnaires, notamment transitoire : démarrage, arrêt, changement de mode. L’argument est le temps.

Conditions de stationnarité pour les fonctions aléatoires :

1. constance de l'espérance mathématique ;

2. constance de la dispersion ;

3. La fonction de corrélation doit dépendre uniquement de la différence entre les arguments, mais pas de leurs valeurs.

Comme exemples de stationnaire processus aléatoires peuvent être données : les vibrations de l'avion en vol horizontal stationnaire ; bruit aléatoire dans la radio, etc.

Chaque processus stationnaire peut être considéré comme se poursuivant indéfiniment dans le temps ; au cours de la recherche, n'importe quel moment peut être choisi comme point de départ. Lors de l’étude d’un processus aléatoire stationnaire sur une période de temps quelconque, les mêmes caractéristiques doivent être obtenues.

La fonction de corrélation des processus aléatoires stationnaires est une fonction paire.

Efficace pour les processus aléatoires stationnaires analyse spectrale, c'est à dire. considération sous forme de spectres harmoniques ou de séries de Fourier. De plus, la fonction de densité spectrale est introduite fonction aléatoire, caractérisant la répartition des dispersions sur les fréquences du spectre.

Dispersion:

Fonction de corrélation :

K x (τ) =

Densité spectrale:

Sx() =

Les processus stationnaires peuvent être ergodiques et non ergodiques. Ergodique – si la valeur moyenne d'une fonction aléatoire stationnaire sur une période suffisamment longue est approximativement égale à la valeur moyenne des implémentations individuelles. Pour eux, les caractéristiques sont déterminées comme la moyenne temporelle.

Question n°66 Indicateurs de fiabilité des objets techniques : uniques, complexes, calculés, expérimentaux, opérationnels, extrapolés.

L'indicateur de fiabilité est une caractéristique quantitative d'une ou plusieurs propriétés qui composent la fiabilité d'un objet.

Un indicateur de fiabilité unique est un indicateur de fiabilité qui caractérise l'une des propriétés qui composent la fiabilité d'un objet.

Un indicateur de fiabilité complexe est un indicateur de fiabilité qui caractérise plusieurs propriétés qui composent la fiabilité d'un objet.

L'indicateur de fiabilité calculé est un indicateur de fiabilité dont les valeurs sont déterminées par la méthode de calcul.

Indicateur expérimental fiabilité – indicateur de fiabilité, point ou estimation d'intervalle qui est déterminé selon les données de test.

Indicateur de fiabilité opérationnelle – un indicateur de fiabilité dont l'estimation ponctuelle ou par intervalle est déterminée sur la base de données opérationnelles.

Indicateur de fiabilité extrapolé – un indicateur de fiabilité dont une estimation ponctuelle ou par intervalle est déterminée sur la base des résultats de calculs, d'essais et (ou) de données opérationnelles par extrapolation à une autre durée d'exploitation et d'autres conditions d'exploitation.

Question n°68 Indicateurs de durabilité des objets techniques et des voitures.

La ressource en pourcentage gamma est la durée totale de fonctionnement pendant laquelle l'objet n'atteindra pas l'état limite avec une probabilité g, exprimée en pourcentage.

Ressource moyenne– espérance mathématique de la ressource.

La durée de vie en pourcentage gamma est la durée calendaire de fonctionnement pendant laquelle l'objet n'atteindra pas l'état limite avec une probabilité g, exprimée en pourcentage

La durée de vie moyenne est l’espérance mathématique de la durée de vie.

Note. Lors de l'utilisation d'indicateurs de durabilité, le point de départ et le type d'action après l'apparition de l'état limite doivent être indiqués (par exemple, le pourcentage de durée de vie gamma depuis la deuxième révision majeure jusqu'à la radiation). Indicateurs de durabilité, comptés depuis la mise en service de l'installation jusqu'à retrait définitif de l'exploitation sont appelés ressources complètes en pourcentage gamma (durée de vie), ressources complètes moyennes (durée de vie)

71 71 Tâches et méthodes pour prédire la fiabilité des voitures

La prévision comporte trois étapes : la rétrospection, le diagnostic et le pronostic. Dans un premier temps, la dynamique des changements dans les paramètres de la machine dans le passé est établie, dans un deuxième temps, elle est déterminée état technique les éléments dans le présent ; à la troisième étape, des changements dans les paramètres d'état des éléments dans le futur sont prédits.

Les principales tâches de prévision de la fiabilité des voitures peuvent être formulées comme suit :

a) Prédire les modèles d'évolution de la fiabilité des véhicules en lien avec les perspectives de développement de la production, l'introduction de nouveaux matériaux et l'augmentation de la résistance des pièces.

b) Évaluer la fiabilité des véhicules conçus avant leur fabrication. Cette tâche se pose dès la phase de conception.

c) Prédire la fiabilité d'un véhicule spécifique (ou de son composant ou assemblage) sur la base des résultats des modifications de ses paramètres.

d) Prédiction de la fiabilité d'un certain ensemble de voitures sur la base des résultats d'une étude d'un nombre limité de prototypes. Ce type de problèmes doit être affronté dès la phase de production.

e) Prédire la fiabilité des véhicules dans des conditions de fonctionnement inhabituelles (par exemple, température et humidité) environnement supérieure à celle autorisée, conditions routières difficiles, etc.).

Les méthodes de prévision de la fiabilité des véhicules sont sélectionnées en tenant compte des tâches de prévision, de la quantité et de la qualité des informations initiales et de la nature du processus réel de modification de l'indicateur de fiabilité (paramètre prédit).

Méthodes modernes les prévisions peuvent être divisées en trois groupes principaux : a) les méthodes d'expertise b) les méthodes de modélisation, notamment physiques, physique et mathématique et modèles d'information ; c) méthodes statistiques.

Méthodes de prévision basées sur expertises, consistent en la généralisation, le traitement statistique et l'analyse des avis de spécialistes sur les perspectives de développement de ce domaine.

Les méthodes de modélisation reposent sur les principes de base de la théorie de la similarité. Sur la base de la similitude des indicateurs de la modification A, dont le niveau de fiabilité a été étudié précédemment, et de certaines propriétés de la modification B de la même voiture ou de son composant, les indicateurs de fiabilité de B sont prédits pour une certaine période de temps.

Les méthodes de prévision statistique sont basées sur l'extrapolation et l'interpolation des paramètres de fiabilité prédits obtenus ainsi Études préliminaires. La méthode est basée sur des modèles de changements dans les paramètres de fiabilité des véhicules au fil du temps.

Question n° 74 Méthodes mathématiques prévision. Construction modèles mathématiques fiabilité.

Pour prédire la fiabilité de la transmission, il est possible d'utiliser les modèles suivants : 1) le maillon « le plus faible » ; 2) ressources dépendantes des éléments de pièces ; 3) ressources indépendanteséléments de pièces. La ressource du ième élément est déterminée à partir du rapport :

x je = R je /r je ,

où R je – valeur quantitative critère du ième élément au niveau duquel sa défaillance se produit ;

r je – valeur moyenne incréments quantification critère du ième élément par unité de ressource.

Les valeurs de R i et r i peuvent être aléatoires avec certaines lois de distribution ou constantes.

Pour l'option où R i sont constants et r i sont variables et ont une connexion fonctionnelle avec la même variable aléatoire, considérons la situation où une connexion fonctionnelle linéaire est observée entre les valeurs de r i, ce qui conduit au lien « le plus faible » modèle. Dans ce cas, la fiabilité du système correspond à la fiabilité du maillon « le plus faible ».

Le modèle de ressources dépendantes est mis en œuvre sous chargement selon le schéma, lorsqu'il existe une dispersion des conditions de fonctionnement des machines produites en série ou une incertitude dans les conditions de fonctionnement de machines uniques. Le modèle de ressources indépendantes apparaît lors du chargement selon un schéma avec des conditions de fonctionnement spécifiques.

Une expression pour calculer la fiabilité d'un système avec des éléments de ressources indépendants.

Question n° 79 Chargement schématique du système, des pièces et des éléments (en utilisant l'exemple d'une transmission).

Par transmission, nous entendons la transmission de la voiture dans son ensemble ou une partie distincte et plutôt complexe de celle-ci, qui, pour une raison ou une autre, doit être isolée. La charge sur la transmission est déterminée par les composants de puissance et de vitesse. La composante force est caractérisée par le couple et la composante vitesse est caractérisée par vitesse angulaire rotation, qui détermine le nombre de cycles de chargement des pièces de transmission ou la vitesse de glissement des surfaces de contact.

Selon le type de pièce, la schématisation du couple afin d'obtenir la charge de la pièce peut être différente. Par exemple, la charge sur les engrenages et les roulements est déterminée valeur actuelle moments et arbres de torsion - par l'ampleur de son amplitude.

En fonction des conditions de fonctionnement, la charge de transmission peut être présentée sous la forme des diagrammes suivants.

1. Chaque mode correspond à une courbe de distribution unidimensionnelle.

2. Pour chaque mode nous avons n courbes de distribution unidimensionnelles (n est le nombre de conditions de fonctionnement de la machine). La probabilité de fonctionnement dans chacune des conditions est spécifique.

3. Pour chaque mode, nous en avons un distribution bivariée valeurs de couple actuelles et moyennes.

Le schéma 1 peut être utilisé pour des machines produites en série dans exactement les mêmes conditions de fonctionnement ou pour une machine unique dans des conditions de fonctionnement spécifiques.

Le schéma 2 n'est pas qualitativement différent du schéma 1, cependant, dans certains cas, pour le calcul il est conseillé que chaque condition de fonctionnement corresponde à une courbe de charge.

Le schéma 3 peut caractériser la charge sur la transmission d'une machine unique, dont les conditions de fonctionnement spécifiques sont inconnues, mais la gamme de conditions est connue.

82 Question n° 82 Approche systémique pour prédire la durée de vie des pièces

La voiture doit être considérée comme un système complexe, formé du point de vue de la fiabilité de ses unités, pièces et éléments connectés séquentiellement.

Ressource d'article :

T je = R je /r je ,

où R i est la valeur quantitative du critère d'état limite du ième élément auquel sa défaillance se produit ;

g i - l'incrément moyen de l'évaluation quantitative du critère

état limite du ième élément par unité de ressource.

R i et r i peuvent être aléatoires ou constants et sont possibles

les options suivantes :

1. R i - aléatoire, r i - aléatoire ;

2. R i - aléatoire, r i - constant ;

3. R ​​​​i - constant, r i - aléatoire ;

4. R i - constantes, r i - constantes.

Pour les trois premières options, nous considérons R i comme des variables aléatoires indépendantes.

1.a) r i - indépendant

La fiabilité du système est considérée comme la multiplication du FBG

b) r i - aléatoire et lié par probabilité

f (r je / r j) = f (r je , r j)/ f (r j);

f (r j / r i) = f (r i, r j)/ f (r i).

Si r i et r j dépendent l'un de l'autre, alors les ressources dépendront également l'une de l'autre

ami et le modèle de dépendance aux ressources des éléments est utilisé pour le calcul. Parce que la relation est probabiliste, alors la méthode des fonctions conditionnelles est utilisée.

c) r i - aléatoire et fonctionnellement lié.

DANS dans ce cas les quantités libres dépendent les unes des autres, et les ressources dépendent également les unes des autres. Ce n'est qu'en raison de la dépendance fonctionnelle que la connexion sera plus forte que dans d'autres cas.

2. modèle de ressources d'éléments indépendants.

Le FBR du système est égal à la somme des FBR de tous les éléments.

3. Les mêmes cas qu'en 1 sont possibles, seulement dans les cas b) et c) il y aura une augmentation des ressources dépendantes en raison de la constance de R i. Dans le cas c) r i est une connexion fonctionnelle,

une situation est possible lorsque le modèle de lien « le plus faible » est appliqué.

R 1 , R 2 – constantes ;

r 1,r 2 – aléatoire ;

r 1 = 1,5 ∙ r 2 ;

R 1 = T ∙ r 1 ;

R 2 = T ∙ r 2 ;

Si, pour deux autres valeurs spécifiques de r 1, r 2,

le même ratio de ressources T 1 >T 2, alors l'élément 2 sera le « plus faible »

lien, c'est-à-dire il détermine la fiabilité de ce système.

Application du modèle du maillon le plus faible :

S'il existe un élément dans le système dont le critère R est nettement inférieur à ce critère pour tous les autres éléments, et que tous les éléments sont chargés à peu près également ;

Si le critère R pour tous les éléments est approximativement le même et que la charge d'un élément est nettement supérieure à celle de tous les autres éléments.

Question n° 83 Détermination de la durée de vie des pièces (arbres, ou engrenages, ou roulements des unités de transmission) basée sur des conditions de charge expérimentales.

Détermination de la durée de vie des roulements.

Pour déterminer la durabilité des roulements des transmissions et des châssis, il est nécessaire d'effectuer plusieurs types de calculs : de résistance statique, de fatigue de contact, d'usure.

Modèle d'échec :

où f(R) est la densité de distribution des ressources ;

, – fonction de densité et de répartition des ressources pour le ième type de processus destructeur ;

n – nombre de types de calcul.

Le plus répandu reçu un calcul de roulements pour la fatigue de contact :

R = a p C d mρ Non 50 [β -1 ,

où C d – capacité de charge dynamique ;

Non 50 – le nombre de cycles de la courbe de fatigue, correspondant à une probabilité de 50 % de non-destruction du roulement sous charge C d ;

m ρ – exposant (boule = 3, rouleau = 3,33) ;

Fréquence de chargement des roulements lors du déplacement en kième vitesse ;

Densité de répartition de la charge réduite lors de la conduite en k-ème vitesse dans les i-ème conditions de fonctionnement.

Principales caractéristiques du calcul.

1. Puisque pour la courbe de fatigue des roulements, au lieu de la limite d'endurance, on introduit C d (correspondant à une probabilité de non destruction de 90 % à 10 6 cycles), il faut passer à la courbe de fatigue correspondant à 50 % de non-destruction. Considérant que la densité de répartition sous charge sur le roulement C d obéit à la loi de Weibull, alors No 50 = 4,7 ∙ 10 6 cycles.

2. L'intégration dans la formule s'effectue à partir de zéro, et les paramètres de la courbe de fatigue - m ρ, No 50 et C d - ne sont pas ajustés. Par conséquent, sous la condition = const, la réorganisation des opérations de sommation et d’intégration n’affecte pas la valeur de R. Par conséquent, les calculs pour le mode de charge généralisé et pour les modes de charge individuels sont identiques. Si les valeurs diffèrent significativement, alors la ressource moyenne R ik est calculée séparément pour chaque transmission :

R ik = a p C d mρ Non [β -1 ,

la formule peut s'écrire :

R = [ -1 ,

Р = (K Fr ∙ K v ∙ F r + K Fa ∙ F a) ∙ K b ∙ K T ∙ K m ;

où F r, F a – charges radiales et axiales ;

K v – coefficient de rotation ;

K b – coefficient de rotation ;

K T – coefficient de température ;

K m – coefficient de matériau ;

K Fr , K Fa – coefficient des charges radiales et axiales.

4. Relation entre le couple sur l'arbre M et la charge réduite sur le roulement :

Р = K P M = (K Fr ∙ K v ∙ K R + K Fa ∙ K A) ∙ K b ∙ K T ∙ K m ∙ M ;

où K R est le facteur de conversion ;

K R , K A – coefficients de conversion du couple en charges radiales et axiales totales sur le roulement.

La fréquence de chargement du roulement correspond à la fréquence de sa rotation.

1000 UΣα (2πrω)

où U Σα est le rapport de démultiplication total de la transmission de l'arbre aux roues motrices du véhicule lorsque le kième rapport est engagé.

5. Le calcul de la densité de répartition de la ressource portante et de ses paramètres est effectué par la méthode de modélisation statique.

Question n°12 Consommation matérielle spécifique des voitures.

Lors de la détermination de la consommation de matériaux d'un véhicule, le poids du châssis incurvé est utilisé. L'opportunité d'utiliser le poids du châssis pour évaluer la consommation de matière d'un véhicule s'explique par le développement généralisé de la production de véhicules spécialisés avec carrosseries. divers types ou d'autres modules complémentaires différents poids installé sur le châssis du même véhicule de base. C'est pourquoi les brochures et catalogues de marque pour camions étrangers indiquent généralement le poids du châssis, et non celui du véhicule. Dans le même temps, de nombreuses entreprises étrangères n'incluent pas le poids de l'équipement et des équipements supplémentaires dans le poids du châssis équipé, et le degré de remplissage de carburant est indiqué différemment selon les normes.

Pour évaluation objective En raison de la consommation matérielle des voitures de différents modèles, elles doivent être ramenées à une seule configuration. Dans ce cas, la capacité de charge du châssis est déterminée comme la différence entre le poids structurel total du véhicule et le poids du châssis courbé.

Le principal indicateur de la consommation matérielle d'une voiture est densité spécifique châssis:

m battement = (m sn.shas – m z.sn)/[(m k.a – m sn.shas)P];

où m châssis au sol est le poids du châssis équipé,

m з.сн – masse de ravitaillement et d'équipement,

m к.а – masse structurelle totale du véhicule,

P – ressource établie avant les réparations majeures.

Pour un véhicule tracteur il est pris en compte masse complète trains routiers :

m battement = (m sn.shas – m z.sn)/[(m k.a – m sn.shas)KR] ;

où K est le coefficient de correction des indicateurs pour les véhicules semi-remorques destinés à fonctionner dans le cadre d'un train routier

K = m a /m k.a ;

où m a est le poids total du train routier.

Informations connexes.

L'attente et la variance sont caractéristiques importantes processus aléatoire, mais ils ne donnent pas une idée suffisante du caractère qu'auront les réalisations individuelles du processus aléatoire. Ceci peut être vu sur la Fig. 9.3, qui montre la mise en œuvre de deux processus aléatoires, complètement différents dans leur structure, bien qu'ils aient

mêmes valeurs espérance mathématique et variance. Lignes pointillées sur la Fig. La figure 9.3 montre les valeurs des processus aléatoires.

Le processus montré sur la Fig. 9.3, a, d'une section à l'autre se déroule relativement bien, et le processus de la Fig. 9.3, b présente une forte variabilité d'une section à l'autre. Par conséquent, le lien statistique entre les sections dans le premier cas est plus grand que dans le second, mais cela ne peut être établi ni par l'espérance mathématique ni par la dispersion.

Caractériser dans une certaine mesure structure interne processus aléatoire, c'est-à-dire prendre en compte la relation entre les valeurs du processus aléatoire dans divers moments temps ou, en d'autres termes, pour prendre en compte le degré de variabilité du processus aléatoire, il est nécessaire d'introduire la notion de fonction de corrélation (autocorrélation) du processus aléatoire.

Fonction de corrélation d'un processus aléatoire est une fonction non aléatoire de deux arguments qui, pour chaque paire de valeurs d'arguments choisies arbitrairement (instants dans le temps), est égale à l'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires des sections correspondantes du processus aléatoire :

où est la densité de probabilité bidimensionnelle ; - processus aléatoire centré ; - espérance mathématique (valeur moyenne) d'un processus aléatoire.

Divers processus aléatoires en fonction de leur évolution caractéristiques statistiques au fil du temps, divisé en stationnaire et non stationnaire. Diviser la stationnarité en au sens étroit et la stationnarité dans dans un sens large.

Stationnaire au sens étroit appelé processus aléatoire si ses fonctions de distribution à n dimensions et ses densités de probabilité à un moment donné ne dépendent pas du déplacement de tous les points

Le long de l'axe du temps du même montant, c'est-à-dire

Cela signifie que les deux processus ont les mêmes propriétés statistiques pour tous, c'est-à-dire que les caractéristiques statistiques d'un processus aléatoire stationnaire sont constantes dans le temps.

Un processus aléatoire stationnaire est une sorte d’analogue d’un processus stable dans systèmes déterministes. Tout processus de transition n’est pas stationnaire.

Stationnaire au sens large est un processus aléatoire dont l'espérance mathématique est constante :

et la fonction de corrélation ne dépend que d'une seule variable - les différences dans les arguments dans ce cas, la fonction de corrélation est notée

Les processus stationnaires au sens étroit sont nécessairement stationnaires au sens large ; cependant, l’affirmation inverse est, d’une manière générale, fausse.

Le concept de processus aléatoire, stationnaire au sens large, est introduit lorsque seules l'espérance mathématique et la fonction de corrélation sont utilisées comme caractéristiques statistiques d'un processus aléatoire. La partie de la théorie des processus aléatoires qui décrit les propriétés d'un processus aléatoire à travers son espérance mathématique et sa fonction de corrélation est appelée théorie de la corrélation.

Pour un processus aléatoire avec loi normale distribution, l'espérance mathématique et la fonction de corrélation déterminent complètement sa densité de probabilité à n dimensions.

Par conséquent, pour les processus aléatoires normaux, les concepts de stationnarité au sens large et étroit coïncident.

La théorie des processus stationnaires a été la plus développée et permet des calculs relativement simples pour de nombreux cas pratiques. Par conséquent, il est parfois conseillé de faire l'hypothèse de stationnarité également dans les cas où le processus aléatoire, bien que non stationnaire, pendant la période de fonctionnement considérée du système, les caractéristiques statistiques des signaux n'ont pas le temps de changer de manière significative. Dans ce qui suit, sauf indication contraire, nous considérerons des processus aléatoires stationnaires au sens large.

Lorsqu'on étudie des processus aléatoires stationnaires au sens large, on peut se limiter à considérer uniquement les processus dont l'espérance mathématique (valeur moyenne) est égale à zéro, c'est-à-dire qu'un processus aléatoire avec une espérance mathématique non nulle est représenté comme la somme d'un processus avec une espérance mathématique nulle et une valeur constante non aléatoire (régulière) égale à l'espérance mathématique de ce processus (voir ci-dessous § 9.6).

Lorsque l'expression de la fonction de corrélation

Dans la théorie des processus aléatoires, deux concepts de valeurs moyennes sont utilisés. Le premier concept de valeur moyenne est la valeur moyenne de l'ensemble (ou espérance mathématique), qui est déterminée sur la base de l'observation de l'ensemble des réalisations d'un processus aléatoire au même moment. La valeur moyenne sur un ensemble est généralement indiquée par une ligne ondulée au-dessus de l'expression décrivant la fonction aléatoire :

En général, la valeur moyenne sur un ensemble est fonction du temps

Un autre concept de valeur moyenne est la valeur moyenne dans le temps, qui est déterminée sur la base de l'observation d'une mise en œuvre distincte d'un processus aléatoire sur une période de temps.

un temps T suffisamment long. La valeur moyenne dans le temps est indiquée par une ligne droite au-dessus de l'expression correspondante de la fonction aléatoire et est déterminée par la formule :

si cette limite existe.

La moyenne temporelle est généralement différente pour les réalisations individuelles de l'ensemble qui définissent le processus aléatoire. D'une manière générale, pour un même processus aléatoire, les valeurs moyennes définies et moyennes temporelles sont différentes. Cependant, il existe une classe de processus aléatoires stationnaires, appelés ergodiques, pour lesquels la moyenne sur l'ensemble est égale à la moyenne sur le temps, c'est-à-dire

La fonction de corrélation d'un processus aléatoire stationnaire ergodique diminue indéfiniment en valeur absolue à mesure que

Cependant, il faut garder à l'esprit que tous les processus aléatoires stationnaires ne sont pas ergodiques, par exemple, un processus aléatoire dont chaque mise en œuvre est constante dans le temps (Fig. 9.4) est stationnaire, mais pas ergodique. Dans ce cas, les valeurs moyennes déterminées à partir d'une implémentation et du traitement de plusieurs implémentations ne coïncident pas. Dans le cas général, un même processus aléatoire peut être ergodique par rapport à certaines caractéristiques statistiques et non ergodique par rapport à d’autres. Dans ce qui suit, nous supposerons que les conditions d'ergodicité sont satisfaites pour toutes les caractéristiques statistiques.

La propriété d’ergodicité a une très grande importance pratique. Pour déterminer propriétés statistiques Certains objets, s'il est difficile d'en effectuer une observation simultanée à un moment arbitrairement choisi (par exemple, s'il existe un prototype), elle peut être remplacée par une observation à long terme d'un objet. En d’autres termes, une implémentation distincte du modèle aléatoire ergodique

Le processus sur une période de temps infinie détermine complètement l'ensemble du processus aléatoire avec ses implémentations infinies. En fait, ce fait sous-tend la méthode décrite ci-dessous détermination expérimentale fonction de corrélation d'un processus aléatoire stationnaire selon une implémentation.

Comme le montre (9.25), la fonction de corrélation est la valeur moyenne sur l’ensemble. Pour les processus aléatoires ergodiques, la fonction de corrélation peut être définie comme la moyenne temporelle du produit, c'est-à-dire

où est toute implémentation d'un processus aléatoire ; x est la valeur moyenne dans le temps, déterminée par (9.28).

Si la valeur moyenne d'un processus aléatoire est nulle alors

Sur la base de la propriété d'ergodicité, on peut disperser [voir. (9.19)] définie comme la moyenne temporelle du carré du processus aléatoire centré, c'est-à-dire

En comparant les expressions (9.30) et (9.32), on peut établir très lien important entre la dispersion et la fonction de corrélation - la dispersion d'un processus aléatoire stationnaire est égale à valeur initiale fonction de corrélation :

D'après (9.33), il ressort clairement que la dispersion d'un processus aléatoire stationnaire est constante, et donc l'écart type est constant :

Les propriétés statistiques de la connexion entre deux processus aléatoires peuvent être caractérisées par une fonction de corrélation mutuelle qui, pour chaque paire de valeurs d'argument arbitrairement choisies, est égale à

Pour les processus aléatoires ergodiques, au lieu de (9.35) on peut écrire

où se trouvent respectivement les réalisations de processus aléatoires stationnaires.

La fonction de corrélation croisée caractérise la relation statistique mutuelle de deux processus aléatoires à des moments différents, séparés l'un de l'autre par une période de temps. La valeur caractérise cette relation au même moment.

De (9.36) il résulte que

Si les processus aléatoires ne sont pas statistiquement liés les uns aux autres et ont égal à zéro valeurs moyennes, alors leur fonction de corrélation croisée pour tous est égale à zéro. Cependant sortie inverse que si la fonction de corrélation croisée est égale à zéro, alors les processus sont indépendants, cela ne peut être fait que dans dans certains cas(en particulier pour les procédés à loi de distribution normale), la force générale loi inverse n'a pas.

Notez que les fonctions de corrélation peuvent également être calculées pour des fonctions temporelles non aléatoires (régulières). Cependant, lorsqu’ils parlent de fonction de corrélation d’une fonction régulière, cela est simplement compris comme le résultat d’une relation formelle.

appliquer à une fonction régulière une opération exprimée par une intégrale :

Présentons quelques propriétés de base des fonctions de corrélation

1. Valeur initiale de la fonction de corrélation [voir (9.33)] est égale à la variance du processus aléatoire :

2. La valeur de la fonction de corrélation ne peut à aucun moment dépasser sa valeur initiale, c'est-à-dire

Pour le prouver, considérons l’inégalité évidente dont découle

On retrouve les valeurs moyennes au fil du temps des deux côtés de la dernière inégalité :

On obtient donc l'inégalité

3. La fonction de corrélation est une fonction paire, c'est-à-dire

Cela découle de la définition même de la fonction de corrélation. Vraiment,

donc, sur le graphique, la fonction de corrélation est toujours symétrique par rapport à l'ordonnée.

4. La fonction de corrélation de la somme des processus aléatoires est déterminée par l'expression

où sont les fonctions de corrélation croisée

Vraiment,

5. Fonction de corrélation valeur constanteégal au carré de cette valeur constante (Fig. 9.5, a), qui découle de la définition même de la fonction de corrélation :

6. La fonction de corrélation d'une fonction périodique, par exemple, est une onde cosinusoïdale (Fig. 9-5, 5), c'est-à-dire

ayant la même fréquence et indépendamment du déphasage

Pour le prouver, notons que lors de la recherche des fonctions de corrélation fonctions périodiques vous pouvez utiliser l'égalité suivante :

où est la période de la fonction

La dernière égalité est obtenue après avoir remplacé l'intégrale limitée de -T à T en T par la somme des intégrales individuelles limitées de à , où et en utilisant la périodicité des intégrandes.

Ensuite, en tenant compte de ce qui précède, nous obtenons t.

7. Fonction de corrélation d'une fonction temporelle développée en série de Fourier :

Riz. 9.5 (voir scan)

sur la base de ce qui précède, a la forme suivante :

8. Une fonction de corrélation typique d'un processus aléatoire stationnaire a la forme illustrée à la Fig. 9.6. Il peut être approximé par l’expression analytique suivante :

Avec la croissance, le lien entre eux s’affaiblit et la fonction de corrélation diminue. En figue. 9.5, b, c montrent, par exemple, deux fonctions de corrélation et deux réalisations correspondantes d'un processus aléatoire. Il est facile de voir que la fonction de corrélation correspondant à un processus aléatoire avec plus structure fine, diminue plus vite Autrement dit, plus hautes fréquences sont présents dans un processus aléatoire, plus la fonction de corrélation correspondante diminue rapidement.

Il existe parfois des fonctions de corrélation qui peuvent être approchées par l'expression analytique

où est la dispersion ; - paramètre d'atténuation ; - fréquence de résonance.

Fonctions de corrélation Par exemple, les processus aléatoires tels que la turbulence atmosphérique, l'évanouissement du signal radar, le scintillement angulaire d'une cible, etc. ont une forme similaire. Les expressions (9.45) et (9.46) sont souvent utilisées pour approximer les fonctions de corrélation obtenues à la suite du traitement de données expérimentales. .

9. La fonction de corrélation d'un processus aléatoire stationnaire, sur laquelle est superposée une composante périodique avec une fréquence, contiendra également une composante périodique de la même fréquence.

Cette circonstance peut être utilisée comme l'un des moyens de détecter une « périodicité cachée » dans les processus aléatoires, qui peut ne pas être détectée au premier coup d'œil dans les enregistrements individuels de la mise en œuvre d'un processus aléatoire.

Une forme approximative de la fonction de corrélation d'un processus contenant, en plus de la composante aléatoire, également une composante périodique, est représentée sur la Fig. 9.7, où est indiquée la fonction de corrélation correspondant à la composante aléatoire. Pour identifier la composante périodique cachée (ce problème se pose, par exemple, lors de l'identification d'un petit signal utile sur fond de bruit important), il est préférable de déterminer la fonction de corrélation pour grandes valeurs Quand signal aléatoire est déjà relativement faiblement corrélé et la composante aléatoire a peu d’effet sur la forme de la fonction de corrélation.

Afin de caractériser dans une certaine mesure la structure interne d'un processus aléatoire, c'est-à-dire pour prendre en compte la relation entre les valeurs d'un processus aléatoire à différents moments dans le temps ou, en d'autres termes, pour prendre en compte le degré de variabilité d'un processus aléatoire, introduire la notion de fonction de corrélation (autocorrélation) d'un processus aléatoire.

La fonction de corrélation (ou d'autocorrélation) d'un processus aléatoire est une fonction non aléatoire de deux arguments, qui pour chaque paire de valeurs d'arguments choisies arbitrairement (points temporels) est égale à l'espérance mathématique du produit de deux valeurs aléatoires. variables sections correspondantes du processus aléatoire :

Fonction de corrélation pour la composante aléatoire centrée est dit centré et est déterminé à partir de la relation

(1.58)

La fonction est souvent appelée covariance, et – autocorrélation .

Divers processus aléatoires, en fonction de l'évolution de leurs caractéristiques statistiques au fil du temps, sont divisés en Stationnaire Et non stationnaire. Une distinction est faite entre la stationnarité au sens étroit et la stationnarité au sens large.

Stationnaire au sens étroit appelé processus aléatoire, si ses fonctions de distribution dimensionnelle et ses densités de probabilité pour tout ne dépend pasà partir de la position de référence temporelle. Cela signifie que deux processus ont les mêmes propriétés statistiques pour chacun d’eux, c’est-à-dire que les caractéristiques statistiques d’un processus aléatoire stationnaire sont constantes dans le temps. Un processus aléatoire stationnaire est une sorte d’analogue d’un processus stable dans les systèmes dynamiques.

Stationnaire au sens large appelé processus aléatoire, dont l'espérance mathématique est constante :

et la fonction de corrélation ne dépend que d'une seule variable - la différence entre les arguments :

Le concept de processus aléatoire, stationnaire au sens large, est introduit lorsque seules l'espérance mathématique et la fonction de corrélation sont utilisées comme caractéristiques statistiques d'un processus aléatoire. La partie de la théorie des processus aléatoires qui décrit les propriétés d'un processus aléatoire à travers son espérance mathématique et sa fonction de corrélation est appelée théorie de la corrélation.

Pour un processus aléatoire avec une loi de distribution normale, l'espérance mathématique et la fonction de corrélation le déterminent complètement n-densité de probabilité dimensionnelle. C'est pourquoi Pour les processus aléatoires normaux, les concepts de stationnarité au sens large et étroit coïncident.

La théorie des processus stationnaires a été la plus développée et permet des calculs relativement simples pour de nombreux cas pratiques. Par conséquent, il est parfois conseillé de faire l'hypothèse de stationnarité également dans les cas où le processus aléatoire, bien que non stationnaire, mais pendant la période de fonctionnement considérée du système, les caractéristiques statistiques des signaux n'ont pas le temps de changer en de manière significative.

Dans la théorie des processus aléatoires, deux concepts de valeurs moyennes sont utilisés. Le premier concept de moyenne est définir la moyenne (ou espérance mathématique), qui est déterminée sur la base de l'observation de plusieurs implémentations d'un processus aléatoire au même moment. La valeur moyenne sur l'ensemble est généralement notée ondulé doubler sur une expression décrivant une fonction aléatoire :

En général, la moyenne fixée est fonction du temps.

Un autre concept de moyenne est moyenne dans le temps , qui est déterminé sur la base de l'observation d'une mise en œuvre distincte d'un processus aléatoire sur une période suffisamment longue. La moyenne temporelle est notée droit doubler sur l'expression correspondante de la fonction aléatoire et est déterminé par la formule

, (1.62)

si cette limite existe.

La moyenne temporelle est généralement différente pour les réalisations individuelles de l'ensemble qui définissent le processus aléatoire.

En général, pour le même processus aléatoire, la moyenne définie et la moyenne temporelle sont différentes, mais pour ce qu'on appelle processus aléatoires stationnaires ergodiques la valeur moyenne sur l'ensemble coïncide avec la valeur moyenne dans le temps :

Conformément au théorème ergodique pour un processus aléatoire stationnaire, la fonction de corrélation peut être définie comme la moyenne temporelle d'une implémentation

(1.64)

Où - toute mise en œuvre d’un processus aléatoire.

Fonction de corrélation centrée d'un processus aléatoire stationnaire ergodique

De l’expression (1.65), on peut noter que la variance d'un processus aléatoire stationnaire est égale à la valeur initiale de la fonction de corrélation centrée:

06 Conférence.doc

1. Le concept de fonction de corrélation d'un processus aléatoire.

2. Stationnarité au sens étroit et au sens large.

3. Valeur moyenne pour l'ensemble.

4. Valeur moyenne dans le temps.

5. Processus aléatoires ergodiques.
L'espérance mathématique et la dispersion sont des caractéristiques importantes d'un processus aléatoire, mais elles ne donnent pas une idée suffisante de la nature des implémentations individuelles d'un processus aléatoire. Cela ressort clairement de la Fig. 6.1, qui montre la mise en œuvre de deux processus aléatoires, de structure complètement différente, bien qu'ils aient les mêmes valeurs d'espérance mathématique et de dispersion. Lignes pointillées sur la Fig. 6.1. valeurs affichées 3  X (t) pour les processus aléatoires.
Le processus montré sur la Fig. 6.1, UN, d'une section à l'autre se déroule relativement bien, et le processus de la Fig. 6.1, b présente une forte variabilité d’une section à l’autre. Par conséquent, le lien statistique entre les sections efficaces dans le premier cas est plus grand que dans le second, mais cela ne peut être établi ni par l'espérance mathématique ni par la dispersion.

Afin de caractériser dans une certaine mesure la structure interne d'un processus aléatoire, c'est-à-dire de prendre en compte la relation entre les valeurs d'un processus aléatoire à différents moments ou, en d'autres termes, de prendre en compte le degré de variabilité d'un processus aléatoire, il est nécessaire d'introduire la notion de fonction de corrélation (autocorrélation) d'un nouveau processus.

^ Fonction de corrélation d'un processus aléatoire X(t)appeler une fonction non aléatoire de deux argumentsR. X (t 1 , t 2), qui pour chaque paire de valeurs d'argument choisies arbitrairement (points temporels) t 1 Ett 2 égal à l'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoiresX(t 1 ) EtX(t 2 ) sections correspondantes du processus aléatoire :

Où  2 (X 1 , t 1 ; X 2 , t 2) - densité de probabilité bidimensionnelle.

Ils utilisent souvent une expression différente pour la fonction de corrélation, qui n'est pas écrite pour le processus aléatoire lui-même. X(t), et pour la composante aléatoire centrée X(t). La fonction de corrélation dans ce cas est dite centrée et est déterminée à partir de la relation

(6.2)

Divers processus aléatoires, en fonction de l'évolution de leurs caractéristiques statistiques au fil du temps, sont divisés en Stationnaire Et non stationnaire. Il existe une distinction entre la stationnarité au sens étroit et la stationnarité au sens large.

^ Stationnaire au sens étroit appelé un processus aléatoire X(t), si ça n-fonctions de distribution dimensionnelle et densité de probabilité pour tout P. ne dépend pas de la position du début du décompte du temps t, c'est à dire.

Cela signifie que deux processus, X(t) Et X(t+ ), ont les mêmes propriétés statistiques pour tout  , c'est-à-dire que les caractéristiques statistiques d'un processus aléatoire stationnaire sont constantes dans le temps. Un processus aléatoire stationnaire est une sorte d’analogue d’un processus stationnaire dans les systèmes déterministes.

^ Stationnaire au sens large appelé un processus aléatoire X(t), dont l'espérance mathématique est constante :

Et la fonction de corrélation ne dépend que d'une seule variable - la différence des arguments  =t 2 -t 1:

(6.5)

La notion de processus aléatoire, stationnaire au sens large. est introduit lorsque seules l'espérance mathématique et la fonction de corrélation sont utilisées comme caractéristiques statistiques d'un processus aléatoire. La partie de la théorie des processus aléatoires qui décrit les propriétés d'un processus aléatoire à travers son espérance mathématique et sa fonction de corrélation est appelée théorie de la corrélation.

Pour un processus aléatoire avec une loi de distribution normale, l'espérance mathématique et la fonction de corrélation le déterminent complètement n-densité de probabilité dimensionnelle. C'est pourquoi pour les processus aléatoires normaux, les concepts de stationnarité au sens large et étroit coïncident.

La théorie des processus stationnaires a été la plus développée et permet des calculs relativement simples pour de nombreux cas pratiques. Par conséquent, il est parfois conseillé de faire l'hypothèse de stationnarité également dans les cas où le processus aléatoire, bien que non stationnaire, mais pendant la période de fonctionnement considérée du système, les caractéristiques statistiques des signaux n'ont pas le temps de changer en de manière significative. Dans ce qui suit, sauf indication contraire, nous considérerons des processus aléatoires stationnaires au sens large.

Dans la théorie des processus aléatoires, deux concepts de valeurs moyennes sont utilisés. Le premier concept de moyenne est valeur moyenne sur l'ensemble(ou espérance mathématique), qui est déterminée sur la base de l'observation de l'ensemble des implémentations d'un processus aléatoire au même moment. La valeur moyenne sur un ensemble est généralement indiquée par une ligne ondulée au-dessus de l'expression décrivant la fonction aléatoire :

En général, la valeur moyenne sur un ensemble est fonction du temps.

Un autre concept de moyenne est valeur moyenne dans le temps, qui est déterminé sur la base de l'observation d'une mise en œuvre distincte d'un processus aléatoire X{ F) pour un assez long moment T. La moyenne temporelle est indiquée par une ligne droite au-dessus de l'expression correspondante de la fonction aléatoire et est déterminée par la formule

(6.7)

Si cette limite existe.

La valeur moyenne dans le temps est généralement différente pour les implémentations individuelles de l'ensemble qui définissent le processus aléatoire.

En général, pour un même processus aléatoire, la moyenne définie et la moyenne temporelle sont différentes, cependant, pour les processus aléatoires stationnaires dits ergodiques, la moyenne définie coïncide avec la moyenne temporelle :

(6.8)

L’égalité (6.8) découle de théorème ergodique, dans lequel, pour certains processus aléatoires stationnaires, il est prouvé que toute caractéristique statistique obtenue en faisant la moyenne sur un ensemble, avec une probabilité aussi proche de l'unité, coïncide avec la caractéristique moyennée dans le temps. Le théorème ergodique n'a pas été prouvé pour tous les processus stationnaires, donc dans les cas où il n'a pas encore été prouvé, ils parlent de hypothèse ergodique.

Il convient de noter que tous les processus stationnaires ne sont pas ergodiques.

En figue. 6.2. montre, par exemple, le graphique d’un processus stationnaire non ergodique pour lequel l’égalité (6.8) n’est pas vérifiée. Dans le cas général, un même processus aléatoire peut être ergodique par rapport à certaines caractéristiques statistiques et non ergodique par rapport à d’autres. Dans ce qui suit, nous supposerons que les conditions d’ergodicité pour l’espérance mathématique et la fonction de corrélation sont satisfaites.

La signification physique du théorème (ou hypothèse) ergodique est profonde et a une grande signification pratique. Pour déterminer les propriétés statistiques des processus stationnaires ergodiques, s'il est difficile d'effectuer une observation simultanée de nombreux systèmes similaires à un moment arbitrairement choisi, par exemple s'il existe un prototype, il peut être remplacé par une observation à long terme de un système. En fait, ce fait sous-tend la détermination expérimentale de la fonction de corrélation d’un processus aléatoire stationnaire basée sur une seule implémentation. Au contraire, s'il existe un grand lot de produits fabriqués en série pour des études similaires, il est possible de procéder à une observation simultanée de tous les échantillons du lot ou d'un échantillon assez représentatif de ceux-ci.

Comme le montre (6.5), la fonction de corrélation est la moyenne sur l’ensemble. Conformément au théorème ergodique pour un processus aléatoire stationnaire, la fonction de corrélation peut être définie comme la moyenne temporelle du produit X(t) Et X(t+ ), c'est à dire.

(6.9)

Où X(t)- toute mise en œuvre d’un processus aléatoire.

Fonction de corrélation centrée d'un processus aléatoire stationnaire ergodique

(6.10

Entre fonctions de corrélation R. X ( ) Et R. 0 X ( ) il existe la connexion suivante :

R. X ( )=R. X 0 ( )+(x-) 2 , (6.11)

Basée sur la propriété d'ergodicité, la dispersion peut être D X [cm. (19)] défini comme la moyenne temporelle du carré du processus aléatoire centré, c'est-à-dire

(6.12)

En comparant les expressions (6.10) et (6.11), on peut remarquer que la variance d'un processus aléatoire stationnaire est égale à la valeur initiale de la fonction de corrélation centrée :

(6.13)

En tenant compte de (6.12), on peut établir un lien entre la dispersion et la fonction de corrélation R. X ( ), c'est à dire.

D'après (6.14) et (6.15), il est clair que la dispersion d'un processus aléatoire stationnaire est constante, et donc l'écart type est constant :

Propriétés statistiques de la connexion entre deux processus aléatoires X(t) Et g(t) peut être caractérisé fonction de corrélation croiséeR. xg (t 1 , t 2), qui pour chaque paire de valeurs d'argument choisies arbitrairement t 1 , t 2 est égal

D’après le théorème ergodique, au lieu de (6.18) on peut écrire

(6.19)

Où X(t) Et g(t) - toute implémentation de processus aléatoires stationnaires X(t) Et g(t) respectivement.

Fonction de corrélation croisée R. xg (  caractérise la relation statistique mutuelle de deux processus aléatoires X(t) Et g(t) à différents moments, séparés les uns des autres par une période de temps t. R. xg(0) caractérise cette connexion au même instant.

De (6.19) il résulte que

(6.20)

Si des processus aléatoires X(t) Et g(t) ne sont pas statistiquement liés les uns aux autres et ont des valeurs moyennes nulles, alors leur fonction de corrélation mutuelle pour tous m est égale à zéro. Cependant, la conclusion inverse, selon laquelle si la fonction de corrélation croisée est égale à zéro, alors les processus sont indépendants, ne peut être tirée que dans des cas individuels (en particulier pour les processus avec une loi de distribution normale), mais la loi inverse ne le fait pas. avoir une force générale.

Fonction de corrélation centrée R.° X (  pour les fonctions non aléatoires du temps est identiquement égal à zéro. Cependant, la fonction de corrélation R. X (  peut également être calculé pour des fonctions non aléatoires (régulières). Notez cependant que lorsque nous parlons de la fonction de corrélation d'une fonction régulière X(t), alors ceci est simplement compris comme le résultat d'une candidature formelle à une fonction régulière X(t) opération exprimée par l’intégrale (6.13).

1. Attente mathématique d'un processus non aléatoire j( t) est égal au processus non aléatoire lui-même :

De l'expression (1.9), il s'ensuit que toute fonction non aléatoire centrée est égale à zéro, puisque

2. Si la variable aléatoire Oui(t) est une combinaison linéaire de fonctions X je(t):

, (1.11)

où sont les fonctions non aléatoires t, Que

. (1.12)

La dernière relation découle du fait que l’opération de détermination de l’espérance mathématique est linéaire.

3. La fonction de corrélation d'un processus non aléatoire est identiquement égale à zéro. Cette propriété découle directement de (1.10).

4. La fonction de corrélation ne change pas lorsqu'une fonction non aléatoire est ajoutée à la fonction aléatoire. En effet, si , Que

Il s'ensuit que les fonctions de corrélation des processus aléatoires et

Correspondre. Par conséquent, lors de la détermination des fonctions de corrélation, nous pouvons toujours supposer que le processus considéré est centré.

5. Si un processus aléatoire Oui(t) est une combinaison linéaire de processus aléatoires X je(t):

,

où sont les fonctions non aléatoires, alors

, (1.14)

où est la fonction de corrélation appropriée du processus X je(t), est la fonction de corrélation mutuelle des processus et .

Vraiment:

, =

.

Si les processus aléatoires ne sont pas corrélés par paire, alors

. (1.15)

En supposant dans (1.14) , nous obtenons une expression pour la dispersion d’une combinaison linéaire de processus aléatoires :

Dans le cas particulier des processus aléatoires non corrélés

. (1.17)

6. La fonction de corrélation est non négative fonction spécifique:

. (1.18)

En effet, présentons (1.18) sous la forme :

.

Puisque l'intégrale est la limite de la somme intégrale, la dernière expression peut être représentée comme la limite de la somme des espérances mathématiques, qui, à son tour, est égale à l'espérance mathématique de la somme. Par conséquent, les opérations d’intégration et d’espérance mathématique peuvent être interverties. En conséquence nous obtenons :

7. La fonction de corrélation est symétrique par rapport à ses arguments. La fonction de corrélation croisée n'a pas cette propriété.

La symétrie de la fonction de corrélation découle directement de sa définition :

En même temps, pour la fonction de corrélation croisée on a :

La fonction de corrélation croisée satisfait la relation suivante :

8. La fonction de corrélation et la fonction de corrélation croisée satisfont les inégalités suivantes:

Souvent, au lieu des fonctions propres et de corrélation croisée, nous considérons fonctions de corrélation normalisées :

, (1.23)

. (1.24)

Sur la base de (1.21) et (1.22), les inégalités suivantes sont valables pour les fonctions de corrélation normalisées :

. (1.25)

Exemple Un processus aléatoire donné est la somme de processus aléatoires et non aléatoires : . Spécifié , définir

En utilisant (1.9) et (1.12), nous aurons :

D'après (1.15)

et enfin, conformément à (1.17) .

CLASSIFICATION DES PROCESSUS ALÉATOIRES

Processus stationnaires

Le processus aléatoire est appelé Stationnaire , si sa loi de distribution multidimensionnelle dépend uniquement de position relative moments dans le temps t 1 , t 2 , . . .tn, c'est à dire. ne change pas lorsque ces moments de temps sont simultanément décalés par mêmes valeurs:

Si l’expression (2.1) est satisfaite pour tout n, alors un tel processus est appelé stationnaire au sens étroit.

À n=1 l'expression (2.1) prend la forme :

Et quand , 2.2)

ceux. la loi de distribution unidimensionnelle d'un processus stationnaire ne dépend pas du temps. Par conséquent, les caractéristiques du processus aléatoire, dépendant de la loi de distribution unidimensionnelle : l'espérance mathématique et la dispersion du processus aléatoire, ne dépendront pas du temps :

, . (2.3)

À n=2 l'expression (2.1) est réécrite comme suit :

Par conséquent, la fonction de corrélation du processus stationnaire, définie loi bidimensionnelle distribution, dépendra uniquement de l'intervalle de temps t

Selon la définition d’A.Ya Khinchin, le processus est stationnaire au sens large , si la condition de stationnarité (2.1) est satisfaite uniquement pour m= 1 et 2.

Par conséquent, les conditions de stationnarité du processus au sens large peuvent être formulées comme suit :

· l'espérance mathématique et la variance d'un tel processus ne dépendent pas du temps - et D X;

· la fonction de corrélation du processus dépend uniquement de l'intervalle de temps entre les sections - .

KXX(t) est même fonction de votre argument :

Il ne faut pas oublier que la fonction de corrélation croisée est fonction impaire:

, (). (2.7)

Processus normaux

Le processus aléatoire est normale , si une loi multidimensionnelle est normale :

× ), (2.8)

Où (2.9)

Fonctions propres relatives et de corrélation croisée, et deux valeurs d'une variable aléatoire O-o 1 et oui 2. La figure montre que l’espérance mathématique de mise en œuvre à Oui=oui 1 est égal oui 1 , et à Oui=oui 2 – oui 2 .

Figure 2.1. Exemple de processus stationnaire non ergodique

Ainsi, à partir d’une seule mise en œuvre d’un procédé stationnaire mais non ergodique, on ne peut juger des caractéristiques du procédé dans son ensemble.

Processus de Markov

Si les propriétés probabilistes d'un processus aléatoire sont entièrement déterminées par la valeur de son ordonnée à un moment donné et ne dépendent pas des valeurs de l'ordonnée du processus à des moments précédents, alors un tel processus aléatoire est appelé Markovsky. Parfois, ces processus sont appelés processus sans séquelle.