Chaque objet mathématique a des propriétés. Ainsi, par exemple, un triangle a les propriétés suivantes : il a trois côtés ; 2) trois coins internes; 3) six paires égales coins extérieurs etc. De telles déclarations sur la présence ou l'absence de toute propriété dans un objet donné sont appelées jugements. Voici d'autres exemples de jugements : 1) un quadrilatère a deux diagonales ; 2) chaque nombre naturel est immédiatement suivi dans la série naturelle par un autre nombre naturel ; 3) un nombre pair est divisible par deux, etc.
Les jugements sont également offres, indiquant des relations ou des connexions entre des objets, par exemple : « 5 est supérieur à 3 », « AB est le côté du triangle abc", "Coin UN n'est pas adjacent au coin DANS", etc. Mais les questions ou les demandes ne sont pas des jugements.?
Parmi les propriétés de tout objet, il y en a des essentielles et des non essentielles pour sa définition. Une propriété est essentielle si elle est inhérente à cet objet et sans elle elle ne peut exister. Les propriétés non pertinentes sont généralement aléatoires ; leur absence, en règle générale, n’affecte pas l’existence de l’objet. Notez que lors de la résolution tâches spécifiques des propriétés d’objets généralement sans importance peuvent également être essentielles pour résoudre un problème donné.
Considérons, par exemple, triangle isocèle, montré sur la fig. 3. Ses propriétés : 1) côtés d'un triangle AB Et Soleilégal; 2) médiane BD perpendiculaire à la base CA et divise l'angle DANS les moitiés sont les propriétés essentielles de ce triangle. Voici les propriétés : 3) base CA triangle isocèle abc horizontalement ou 4) le sommet d'un triangle isocèle est indiqué par la lettre DANS- sont insignifiants. Si nous faisons pivoter ce triangle d'une manière ou d'une autre et que sa base s'avère n'être pas horizontale ou si nous désignons le sommet avec une autre lettre, alors le triangle ne cessera pas d'être isocèle.
Par conséquent, pour comprendre de quel type d’objet il s’agit, il suffit de connaître ses propriétés essentielles. Dans ce cas, ils disent qu'il y a conceptà propos de cet objet. Ainsi, concept- il s'agit d'un ensemble holistique de jugements sur les propriétés essentielles de l'objet correspondant. Cet ensemble de propriétés interdépendantes d’un objet (c’est pourquoi on l’appelle holistique) est appelé contenu du conceptà propos de cet objet.
Notez que lorsqu'ils parlent d'un objet mathématique, ils désignent généralement l'ensemble des objets désignés par un seul terme (nom). Alors, quand ils parlent d'un objet mathématique - un triangle, ils veulent tout dire formes géométriques, qui sont des triangles. L’ensemble de tous les triangles est portée du conceptà propos du triangle. De la même manière, l’ensemble de tous les nombres naturels constitue l’étendue des concepts relatifs à un nombre naturel. Ainsi, portée du concept est l'ensemble de tous les objets désignés par le même terme.
Ainsi, chaque concept a une certaine portée et contenu. Ils sont interconnectés : plus le volume d'un concept est grand, plus son contenu est petit, et vice versa : plus le volume est petit, plus contenu du concept. Ainsi, par exemple, la portée du concept « triangle isocèle » est inférieure à la portée du concept « triangle », car la portée du premier concept n'inclut pas tous les triangles, mais uniquement les triangles isocèles. Mais le contenu du premier concept est évidemment plus grand que le contenu du second, car un triangle isocèle possède non seulement toutes les propriétés d'un triangle, mais aussi propriétés spéciales, inhérent uniquement aux triangles isocèles.
Le contenu du concept de tout objet mathématique comprend de nombreuses propriétés essentielles différentes de cet objet. Cependant, pour reconnaître un objet et établir s'il appartient ou non à un concept donné, il suffit de vérifier s'il ne possède que quelques propriétés essentielles. L'indication de ces propriétés essentielles d'un objet concept, suffisantes pour reconnaître cet objet, est appelée définition d'un concept.
Toute définition d'un concept mathématique est généralement construite comme ceci : d'abord le nom est indiqué objet de ce concept, alors sont répertoriées de telles propriétés essentielles qui permettent d'établir si tel ou tel objet est un objet cette notion ou non.
Par exemple, la définition d'un parallélogramme : « Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. » Comme on peut le voir, cette définition est construite comme suit : d'abord, le nom de l'objet du concept défini est indiqué - un parallélogramme, puis ses propriétés sont indiquées : 1) un parallélogramme est un quadrilatère ; 2) ses côtés opposés sont parallèles. La première propriété est une indication du concept plus général auquel appartient le concept défini. Ce concept plus général est appelé ancestral par rapport au concept défini. DANS dans ce cas Le concept générique d'un parallélogramme est un quadrilatère. La deuxième propriété est une indication espèces propriété qui distingue un parallélogramme des autres types de quadrilatère. Voici un autre exemple de définition : « Les nombres pairs sont ceux nombres naturels, qui sont des multiples du nombre 2". Cette définition, comme la précédente, est construite selon le schéma suivant :
Dans ce cas nous avons : le nom du concept défini - nombres pairs, concept générique - nombres naturels, différences spécifiques - multiples du nombre 2.
La définition des concepts selon ce schéma s'appelle définition à travers les différences de genre et d’espèce.
Parfois, en mathématiques, il existe d’autres manières de définir les concepts. Considérons, par exemple, la définition d'un triangle : « Un triangle est une figure composée de trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite et de trois segments deux à deux qui les relient. » Cette définition indique un concept générique pour un triangle - une figure, et comme différence spécifique, une méthode de construction d'une telle figure, qui est un triangle, est indiquée : vous devez prendre trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite et connectez chaque paire d'entre eux avec un segment. Cette définition s'appelle génétique(du mot genèse- origine). Voici un autre exemple de définition génétique : « La symétrie autour d'un point est une telle transformation d'une figure F en forme F" auquel chaque point X chiffres F va au point X" chiffres F", construit comme suit : sur la suite du segment OH par point À PROPOS le segment est reporté OH ", égal OH". Ici, comme type de différence entre la transformation de symétrie par rapport à un point et d'autres types de transformations, la méthode de construction des points de la figure est indiquée F", figure symétrique F par rapport au point À PROPOS.
Il existe également des définitions en mathématiques qui indiquent comment les objets du concept défini peuvent être obtenus les uns après les autres dans l'ordre. Par exemple, la définition d'une progression arithmétique est donnée comme suit : « Une suite numérique dont chaque membre, à partir du second, est égal au membre précédent ajouté au même nombre, est appelée progression arithmétique. » Le concept défini ici est progression arithmétique, concept générique - séquence de nombres, comme différence spécifique, est indiquée une méthode pour obtenir tous les membres de la progression, à partir du second, qui consiste dans le fait que pour obtenir n'importe quel membre, il faut ajouter le même nombre au membre précédent. Cette définition peut s’écrire formule suivante:
Cette définition s'appelle inductif(du mot induction- pointant du doigt inférence du particulier au général) ou récurrent(du mot récursivité- retour).
Cependant, tous les concepts mathématiques ne peuvent pas être définis logiquement de la manière ci-dessus. En effet, toute définition d'un concept mathématique réduit le concept défini à un concept générique plus large (plus général, c'est-à-dire ayant un volume plus important) ; la définition d'un concept générique le réduit à un concept générique encore plus ; notion large etc. Il est évident que ce processus de réduction de certains concepts à des concepts plus larges et plus notions générales doit avoir une fin, cela ne peut pas être sans fin. En d’autres termes, en fin de compte, lorsqu’on définit des concepts, il faut arriver à des concepts qui ne sont plus réductibles à d’autres, c’est-à-dire qu’ils ne sont pas logiquement définissables. De tels concepts en mathématiques sont appelés primaire ou principal.
Par exemple, lorsqu'on définit un parallélogramme, on le réduit à la notion de quadrilatère ; lorsqu'on définit un quadrilatère, on le réduit à la notion de polygone, puis à la notion de figure géométrique, qui, une fois définie, se réduit à la notion de point. La notion de point n'est plus définissable, c'est-à-dire primaire. Les concepts principaux en mathématiques, en plus du point, sont les concepts de ligne, de plan, d'appartenance, de nombre, d'ensemble (ensemble) et quelques autres.
Ainsi, la deuxième chose que vous devez apprendre en mathématiques est la capacité de construire des définitions de concepts mathématiques d’une manière ou d’une autre. Cette compétence est assez complexe et nous en parlerons dans la prochaine conversation. En attendant, effectuez la tâche suivante pour consolider les informations que vous avez reçues au cours de cette conversation.
Tâche 3
3.1. Parmi les propriétés suivantes d'un trapèze, lesquelles sont essentielles et lesquelles ne le sont pas :
a) Les deux côtés du trapèze sont parallèles.
b) Les deux angles à sur une base plus largeépicé.
c) La somme des angles d'un trapèze appartenant à un côté est de 180°.
d) Les bases du trapèze sont horizontales.
e) Les deux angles à socle plus petit les trapèzes sont émoussés.
3.2. Comment les objets mathématiques et les concepts mathématiques sont-ils liés ?
3.3. Indiquez lesquelles des phrases suivantes sont des jugements et lesquelles ne le sont pas :
a) Il y a trois médianes dans un triangle.
b) Les médianes d'un triangle se coupent en un point.
c) Quel est le produit de puissances ayant les mêmes bases ?
d) Logarithme du produit nombres positifs égal à la somme logarithmes de facteurs.
3.4. Dans les définitions ci-dessous, mettre en évidence le nom des objets des concepts définis, le concept générique et les différences spécifiques :
a) Nombres pouvant être écrits sous la forme fractions ordinaires, sont appelés rationnels.
b) Arithmétique racine carrée parmi UN appelé nombre non négatif, dont le carré est égal à UN.
c) Deux droites dans un plan sont dites parallèles si elles ne se coupent pas.
d) Si le point À PROPOS est le milieu du segment AB, puis les points UN Et DANS sont appelés points symétriques par rapport au point À PROPOS.
3.5. Formuler une définition génétique d'un cercle, sachant qu'il est formé à la suite de la rotation d'un segment sur un plan autour d'une de ses extrémités, la deuxième extrémité de ce segment décrit dans ce cas un cercle ;
3.6. Les termes de la séquence de Fibonacci (environ 1170-1250) sont donnés à l'aide de la formule suivante : une n+2 =une n+1 +une n. Formulez une définition de cette séquence. Quelle est cette définition ?
3.7. Nous donnons la description suivante de la construction des droites perpendiculaires : « Soit UN Et b- deux lignes qui se croisent. Lorsqu'ils se croisent, quatre coins se forment. Soit α l'un de ces angles. Alors l’un des trois autres angles sera soit adjacent à l’angle α, soit vertical à l’angle α. Il s’ensuit que si l’un des angles est droit, alors les autres angles sont également droits. Dans ce cas, nous disons que les droites se coupent à angle droit et nous les appelons perpendiculaire".
Sur la base de cette description, formulez une définition des lignes perpendiculaires.
3.8. Le module d'un nombre est déterminé par la formule suivante :
Formuler une définition verbale du module d’un nombre.
3.9. Une séquence est dite croissante si chaque membre est supérieur au membre précédent. Écrivez cette définition en utilisant une formule.
3.10. Comme vous le savez, un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés sont égaux et triangle régulier- c'est celui dans lequel tous les côtés sont égaux. Un triangle régulier est-il isocèle ?
3.11. Indiquez les concepts génériques les plus proches pour les concepts suivants : a) carré ; b) degré c indicateur naturel; V) angles verticaux; d) nombre premier ; d) accord.
3.12. Spécifiez plusieurs concepts génériques pour le concept de losange.
3.13. Est-il nécessaire (et est-il possible) de prouver des définitions ?
Portée et contenu du concept. Relations entre les concepts
Chapitre 6. Concepts mathématiques
1. Quelle affirmation s’appelle un théorème ?
2. Pour un théorème de la forme UN(X) Þ DANS(X) écrire l'inverse, l'opposé, l'inverse de l'opposé de la phrase. Dans quel cas les propositions résultantes seront-elles des théorèmes ?
Tout objet mathématique a certaines propriétés. Par exemple, un losange a 4 coins, 4 côtés, les côtés opposés sont parallèles. Vous pouvez spécifier d'autres propriétés, par exemple la diagonale CA situé horizontalement.
Les propriétés sont distinguées entre essentielles et non essentielles. Une propriété est considérée comme essentielle à un objet si elle est inhérente à cet objet et sans elle elle ne peut exister. Les propriétés non essentielles sont les propriétés dont l'absence n'affecte pas l'existence de l'objet.
Propriétés essentielles : avoir 4 côtés égaux, 4 angles.
Propriétés non essentielles : sommet DANS se trouve en face du sommet D, diagonale CA situé horizontalement.
Pour comprendre ce qu'est un objet donné, il faut connaître ses propriétés essentielles. Dans ce cas, on dit qu’il existe un concept concernant cet objet.
Lorsque les gens parlent d’un concept mathématique, ils désignent généralement un ensemble d’objets désignés par un seul terme. Ainsi, en parlant de triangle, nous entendons toutes les figures géométriques qui sont des triangles.
Tout concept a du volume et du contenu.
Définition. La portée d'un concept est l'ensemble de tous les objets désignés par un terme.
Définition. Le contenu d'un concept est l'ensemble de toutes les propriétés essentielles d'un objet reflétées dans ce concept.
Exemple. Considérons le concept de « parallélogramme ». Le volume du concept est un ensemble de différents parallélogrammes (dont des losanges, des rectangles, des carrés). Le contenu du concept inclut des propriétés des parallélogrammes telles que « avoir 4 côtés », « avoir des côtés opposés parallèles », « avoir des angles opposés"etc.
Il existe un tel lien entre le volume et le contenu d'un concept : plus le volume d'un concept est « grand », plus son contenu est « petit » et vice versa. Par exemple, la portée du concept « losange » fait partie du concept « parallélogramme », et le contenu du concept « losange » contient plus de propriétés que dans le contenu du concept « parallélogramme ». Par exemple, dans le contenu du concept « losange », il y a la propriété « tous les côtés sont égaux », qui n'est pas dans le contenu du concept « parallélogramme ».
Les relations entre les concepts sont étroitement liées aux relations entre leurs volumes.
Acceptons de désigner des concepts lettres minuscules UN, b, Avec, d,…, et leurs volumes en conséquence UN, DANS, AVEC, D,… .
Si la portée des concepts UN Et b ne se croisent pas, c'est-à-dire UN Ç DANS= Æ, alors ils disent que les concepts UN Et b incompatible. Des exemples de concepts incompatibles sont les concepts de trapèze et de triangle.
Si la portée des concepts UN Et b se croisent, c'est-à-dire UN Ç DANS¹ Æ, alors ils disent que les concepts UN Et b compatible. Un exemple est un rectangle et un losange.
Si la portée des concepts UN Et b coïncider, c'est-à-dire UN = DANS, alors ils disent que les concepts UN Et b sont identiques. Un exemple est un carré et un losange avec un angle droit.
Si la portée du concept UN est un sous-ensemble approprié de la portée du concept b, c'est-à-dire UNÌ DANS, UN ¹ DANS, alors ils disent que :
a) notion UN est spécifique par rapport au concept b, concept b– générique par rapport au concept UN;
b) notion UN plus étroit qu'un concept b, concept b plus large que le concept UN;
c) notion UN Il y a cas particulier notions b, et le concept b– généralisation du concept UN.
Exemple : le concept « carré » est spécifique par rapport au concept « rectangle », et le concept « rectangle » est générique par rapport au concept « carré ».
Regardons de plus près la dernière relation.
1) Les notions de genre et d’espèce sont relatives. Un même concept peut être spécifique par rapport à un concept et générique par rapport à un autre. Par exemple, la notion de « rectangle » est générique par rapport à la notion de « carré » et spécifique par rapport à la notion de « parallélogramme ».
2) Pour un concept donné, vous pouvez souvent indiquer plusieurs concepts génériques, parmi lesquels vous pouvez indiquer le plus proche. Par exemple, les concepts génériques du concept « carré » seront les concepts « rectangle », « parallélogramme », « quadrangle ». Le plus proche d'entre eux sera le concept de « rectangle ».
3) Le concept d'espèce possède toutes les propriétés du concept générique. Par exemple, la notion de « losange » est spécifique par rapport à la notion de « parallélogramme » ; Les losanges ont toutes les propriétés des parallélogrammes.
Considérons la relation entre les notions de « segment » et de « ligne droite ». Les portées de ces concepts ne se chevauchent pas, car Pas un seul segment ne peut être qualifié de droit et vice versa. On peut dire de ces concepts qu'ils sont en relation avec le tout et la partie : un segment est une partie d'une ligne, et non son type. Notez qu’une partie n’a pas toujours les propriétés du tout. Une ligne droite est infinie, mais pas un segment.
L'apparition en mathématiques de nouveaux concepts, et donc de nouveaux termes désignant ces concepts, suppose leur définition.
Une définition est généralement une phrase qui explique l’essence d’un nouveau terme. En règle générale, cela se fait sur la base de concepts introduits précédemment. Définir un concept signifie indiquer les propriétés essentielles d'un objet, qui sont suffisantes pour reconnaître l'objet.
Il existe des définitions explicites et implicites.
Explicite les définitions ont la forme de l'égalité, de la coïncidence de deux concepts, elle peut être représentée sous cette forme : UN oui (par définition) b. Les mots « est (par définition) » sont généralement remplacés par le symbole, puis la définition ressemble à ceci : UNb.
Considérez la définition d'un carré : « Un carré est un rectangle avec des côtés égaux. » Dans cette définition, on peut distinguer la notion définie de « carré » et la notion déterminante de « rectangle à côtés égaux ».
Exemples de définitions explicites.
Définition par différence de genre et d’espèce. Cela ressemble à :définition du concept
Un exemple d’une telle définition est la définition d’un carré donnée ci-dessus.
Exigences pour la détermination par genre et différence spécifique :
ü La définition doit être proportionnée - les volumes des concepts définis et déterminants doivent coïncider. Par exemple, la définition « Un carré est un quadrilatère dont les côtés sont égaux » n'est pas proportionnée, car l'ensemble des quadrilatères de côtés égaux est l'ensemble des losanges.
ü La définition ne doit pas contenir cercle vicieux– on ne peut pas définir un concept par lui-même. Ainsi, il est impossible de donner la définition suivante : « l’addition est l’action dans laquelle des nombres s’additionnent ».
ü La définition doit être claire - la signification des termes inclus dans le concept définissant doit être connue au moment où le nouveau concept est défini. Par exemple, vous ne pouvez pas définir un carré comme un losange à angles droits si la notion de parallélogramme n'a pas encore été apprise.
ü La définition doit être suffisante - la définition doit indiquer toutes les propriétés qui permettent d'identifier sans ambiguïté les objets appartenant au périmètre du concept défini. Par exemple, dans la définition « Une bissectrice est un rayon divisant un angle en deux » n'a pas cette propriété, car il n'est pas indiqué que le rayon émerge du sommet du coin.
ü La définition ne doit pas être redondante - aucune propriété inutile ne doit être spécifiée. Ainsi, dans la définition « Un losange est un parallélogramme dans lequel tous les côtés sont égaux et les diagonales sont mutuellement perpendiculaires », la propriété selon laquelle les diagonales sont mutuellement perpendiculaires est superflue.
2) Génétique - la méthode de formation de l'objet déterminé est indiquée. Par exemple : « Une polyligne est une ligne composée de points et de segments les reliant
3) Inductif - certains objets de base de la théorie et des règles sont indiqués qui vous permettent d'en obtenir de nouveaux à partir de ceux existants. Par exemple: " Progression géométrique est une suite numérique dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent multiplié par le même nombre.
Implicite les définitions n'ont pas la forme d'une coïncidence de deux concepts. En eux, il est impossible de distinguer les concepts définis et déterminants.
Exemples de définitions implicites.
1) Contextuel - le contenu d'un nouveau concept est révélé à travers un passage de texte, à travers le contexte. Exemple : après l'enregistrement 3 + X= 9 et une liste de nombres 2, 3, 6 et 7 est le texte : « X – numéro inconnu, qu'il faut trouver. Quel numéro devrait être remplacé à la place X pour que l'égalité soit vraie ? C'est le chiffre 6." De ce texte il résulte qu'une équation est une égalité avec un nombre inconnu qu'il faut trouver, et résoudre une équation signifie trouver une telle valeur X, lorsqu'il est substitué dans l'équation, l'égalité correcte est obtenue.
2) Ostensive - l'introduction de termes en montrant, démontrant les objets que ces termes désignent. Exemple : 2< 7, 2 · 4 >5 sont des inégalités.
Les définitions implicites sont souvent utilisées dans école primaire.
Questions de sécurité
1. Quelles propriétés sont considérées comme essentielles et non essentielles pour un objet ?
2. Qu’entend-on par portée d’un concept ?
3. Qu’entend-on par le contenu d’un concept ?
4. Dans quel rapport sont les volumes de concepts si les concepts sont incompatibles, compatibles, identiques, si un concept est spécifique par rapport à un autre concept ?
5. Que signifie définir un concept ?
6. Quelles définitions font référence à explicite et implicite ?
7. Quelles règles doivent être suivies lors de la formulation de définitions de concepts par genre et par différence spécifique ?
Chaque objet mathématique possède certaines propriétés. Par exemple, un losange a 4 coins, 4 côtés, les côtés opposés sont parallèles. Vous pouvez spécifier d'autres propriétés, par exemple la diagonale CA situé horizontalement.
Les propriétés sont distinguées entre essentielles et non essentielles. Une propriété est considérée comme essentielle à un objet si elle est inhérente à cet objet et sans elle elle ne peut exister. Les propriétés non essentielles sont les propriétés dont l'absence n'affecte pas l'existence de l'objet.
Propriétés essentielles : avoir 4 côtés égaux, 4 angles.
Propriétés non essentielles : sommet DANS se trouve en face du sommet D, diagonale CA situé horizontalement.
Pour comprendre ce qu'est un objet donné, il faut connaître ses propriétés essentielles. Dans ce cas, on dit qu’il existe un concept concernant cet objet.
Lorsque les gens parlent d’un concept mathématique, ils désignent généralement un ensemble d’objets désignés par un seul terme. Ainsi, en parlant de triangle, nous entendons toutes les figures géométriques qui sont des triangles.
Tout concept a du volume et du contenu.
Définition. La portée d'un concept est l'ensemble de tous les objets désignés par un terme.
Définition. Le contenu d'un concept est l'ensemble de toutes les propriétés essentielles d'un objet reflétées dans ce concept.
Exemple. Considérons le concept de « parallélogramme ». Le volume du concept est un ensemble de différents parallélogrammes (dont des losanges, des rectangles, des carrés). Le contenu du concept inclut des propriétés des parallélogrammes telles que « avoir 4 côtés », « avoir des côtés opposés parallèles », « avoir des angles opposés égaux », etc.
Il existe un tel lien entre le volume et le contenu d'un concept : plus le volume d'un concept est « grand », plus son contenu est « petit » et vice versa. Par exemple, la portée du concept « losange » fait partie du concept « parallélogramme », et le contenu du concept « losange » contient plus de propriétés que le contenu du concept « parallélogramme ». Par exemple, dans le contenu du concept « losange », il y a la propriété « tous les côtés sont égaux », qui n'est pas dans le contenu du concept « parallélogramme ».
Les relations entre les concepts sont étroitement liées aux relations entre leurs volumes.
Acceptons de désigner les concepts en lettres minuscules UN, b, Avec, d,…, et leurs volumes en conséquence UN, DANS, AVEC, D,… .
Si la portée des concepts UN Et b ne se croisent pas, c'est-à-dire UN Ç DANS= Æ, alors ils disent que les concepts UN Et b incompatible. Des exemples de concepts incompatibles sont les concepts de trapèze et de triangle.
Si la portée des concepts UN Et b se croisent, c'est-à-dire UN Ç DANS¹ Æ, alors ils disent que les concepts UN Et b compatible. Un exemple est un rectangle et un losange.
Si la portée des concepts UN Et b coïncider, c'est-à-dire UN = DANS, alors ils disent que les concepts UN Et b sont identiques. Un exemple est un carré et un losange avec un angle droit.
Si la portée du concept UN est un sous-ensemble approprié de la portée du concept b, c'est-à-dire UNÌ DANS, UN ¹ DANS, alors ils disent que :
a) notion UN est spécifique par rapport au concept b, concept b– générique par rapport au concept UN;
b) notion UN plus étroit qu'un concept b, concept b plus large que le concept UN;
c) notion UN il existe un cas particulier du concept b, et le concept b– généralisation du concept UN.
Exemple : le concept « carré » est spécifique par rapport au concept « rectangle », et le concept « rectangle » est générique par rapport au concept « carré ».
Regardons de plus près la dernière relation.
1) Les notions de genre et d’espèce sont relatives. Un même concept peut être spécifique par rapport à un concept et générique par rapport à un autre. Par exemple, la notion de « rectangle » est générique par rapport à la notion de « carré » et spécifique par rapport à la notion de « parallélogramme ».
2) Pour un concept donné, vous pouvez souvent indiquer plusieurs concepts génériques, parmi lesquels vous pouvez indiquer le plus proche. Par exemple, les concepts génériques du concept « carré » seront les concepts « rectangle », « parallélogramme », « quadrangle ». Le plus proche d'entre eux sera le concept de « rectangle ».
3) Le concept d'espèce possède toutes les propriétés du concept générique. Par exemple, la notion de « losange » est spécifique par rapport à la notion de « parallélogramme » ; Les losanges ont toutes les propriétés des parallélogrammes.
Considérons la relation entre les notions de « segment » et de « ligne droite ». Les portées de ces concepts ne se chevauchent pas, car Pas un seul segment ne peut être qualifié de droit et vice versa. On peut dire de ces concepts qu'ils sont en relation avec le tout et la partie : un segment est une partie d'une ligne, et non son type. Notez qu’une partie n’a pas toujours les propriétés du tout. Une ligne droite est infinie, mais pas un segment.
Premièrement , les notions de genre et d'espèce sont relatives : un même concept peut être générique par rapport à un concept et spécifique par rapport à un autre. Par exemple, la notion de « rectangle » est générique par rapport à la notion de « carré » et spécifique par rapport à la notion de « quadrangle ».
Deuxièmement, Pour un concept donné, il est souvent possible de spécifier plusieurs concepts génériques. Ainsi, pour la notion de « rectangle » les notions génériques sont « quadrangle », « parallélogramme », « polygone ». Parmi eux, vous pouvez indiquer le plus proche. Pour la notion de « rectangle », la notion la plus proche est celle de « parallélogramme ».
Troisièmement, notion d'espèce possède toutes les propriétés d’un concept générique. Par exemple, un carré, étant une notion spécifique par rapport à la notion de « rectangle », possède toutes les propriétés inhérentes à un rectangle.
Puisque le volume d'un concept est un ensemble, il convient, lors de l'établissement de relations entre les volumes de concepts, de les représenter à l'aide de cercles d'Euler.
| DANS |
Les volumes de concepts ne se croisent pas, car pas un seul segment ne peut être considéré comme une ligne droite, et pas une seule ligne droite ne peut être appelée un segment. Par conséquent, ces concepts ne concernent pas le genre et l’espèce.
A propos des notions de « droite » et de « segment », on peut dire qu'elles sont en relation avec le tout et la partie : un segment est une partie d'une ligne, et non son type.
Remarque : Si un concept d'espèce possède toutes les propriétés d'un concept générique, alors une partie n'a pas nécessairement toutes les propriétés du tout.
Par exemple, le segment n'a pas les mêmes propriétés d'une droite que son infini.
3. Définition des concepts
L'apparition en mathématiques de nouveaux concepts, et donc de nouveaux termes désignant ces concepts, suppose leur définition.
Une définition est généralement une phrase qui explique l'essence d'un nouveau terme (ou d'une nouvelle désignation). En règle générale, cela se fait sur la base de concepts introduits précédemment. Par exemple, Un rectangle peut être défini comme suit : « Un rectangle est un quadrilatère dont les angles sont tous droits. » Il y a deux parties dans cette définition - concept définissable(rectangle) et définition du concept(un quadrilatère avec tous les angles droits). Si l'on note le premier concept par a, et le second par b, alors cette définition peut se présenter sous la forme suivante :
a est (par définition) b
Les mots « est (par définition) » sont généralement remplacés par le symbole, puis la définition ressemble à ceci : UN b
Ils lisent : « a est équivalent à b par définition ». Vous pouvez également lire cette entrée de cette façon : « et si et seulement si b ».
Les définitions avec cette structure sont appelées évident. Regardons-les de plus près.
Revenons à la définition d'un rectangle, ou plutôt à sa deuxième partie - le concept déterminant. Il comprend :
1) la notion de « quadrilatère », qui est ancestral par rapport à la notion de « rectangle »,
2) la propriété « d'avoir tous les angles droits », qui nous permet de sélectionner un type parmi tous les quadrilatères possibles - les rectangles ; c'est pour ça qu'ils l'appellent différence d'espèce.
Définition. Les différences spécifiques sont des propriétés (une ou plusieurs) qui permettent de distinguer les objets définis du cadre du concept générique.
Les résultats de notre analyse peuvent être présentés sous forme de diagramme
Définition du concept
Notez que dans la représentation visuelle de la structure de la définition à travers les différences de genre et d’espèce, nous avons commis quelques inexactitudes. Premièrement, les mots « concept générique » signifient que nous parlons de sur le concept générique par rapport au concept défini. Deuxièmement, on ne sait pas tout à fait ce que signifie le signe «+», qui est connu pour être utilisé pour indiquer l'addition de nombres. La signification de ce signe deviendra claire un peu plus tard, lorsque l'on examinera la signification mathématique de la conjonction « et ». En attendant, faisons connaissance avec une autre possibilité de représenter visuellement la définition à travers le genre et la différence spécifique. Si le concept défini est désigné par la lettre UN, défini par la lettre b, un concept générique (par rapport à ce qui est défini) – par la lettre Avec, et la différence entre les espèces est indiquée par la lettre R., alors la définition par différence de genre et d'espèce peut être représentée comme suit :
UN 
Pourquoi la différence d'espèce est-elle indiquée ? lettre majuscule, nous le saurons plus tard.
Nous savons que tout concept a un volume. Si le concept a est défini par genre et différence spécifique, alors à propos de son volume - l'ensemble A - on peut dire qu'il contient des objets qui appartiennent à l'ensemble C (le volume du concept générique c) et ont la propriété P : A = ( x | xО C et P(x)).
Par exemple, si la définition est donnée : « Un angle aigu est un angle inférieur à un angle droit », alors la portée du concept « angle aigu"est un sous-ensemble de l'ensemble de tous les angles plans qui ont la propriété d'être inférieurs à un angle droit."
Étant donné que la définition d'un concept par genre et différence spécifique est essentiellement un accord conditionnel sur l'introduction d'un nouveau terme pour remplacer tout ensemble de termes connus, il est impossible de dire à propos de la définition si elle est correcte ou incorrecte ; ce n’est ni prouvé ni infirmé. Mais lors de la formulation des définitions, ils respectent un certain nombre de règles. Citons les principaux.
Exigences pour la définition des concepts
La détermination doit être proportionnée.
Cela signifie que la portée des concepts définis et déterminants doit coïncider. Cette règle découle du fait que les concepts définis et déterminants sont interchangeables.
Par exemple, les concepts de « rectangle » et de « quadrangle dont tous les angles sont droits » sont proportionnels. Si la portée du concept définissant inclut la portée du concept défini, alors ils parlent de l'erreur d'une définition trop large. Ainsi, la définition de « Direct un Et b sont dits parallèles s'ils n'ont pas points communs ou coïncider » est trop large, puisqu’il se satisfait également en croisant des lignes droites. Si la portée du concept définissant est plus étroite que la portée du concept défini, alors l'erreur d'une définition trop étroite se produit. Par exemple, définition de « Direct un Et b sont dits parallèles s’ils n’ont pas de points communs » est trop étroit, puisqu’il ne se satisfait pas de lignes coïncidentes.
Il ne devrait y avoir aucun cercle vicieux dans la définition (ou dans leur système).
Cela signifie qu'il est impossible de définir un concept par lui-même (la définition ne doit pas contenir le terme défini) ou de le définir par un autre concept défini à travers lui.
Prenons les concepts suivants mathématiques élémentaires, comme « multiplication » et « produit », et donnez-leur les définitions suivantes :
La multiplication de nombres est l'action par laquelle on trouve le produit de ces nombres.
Le produit des nombres est le résultat de leur multiplication.
Nous voyons que la multiplication est définie à travers le concept de produit, et le produit – à travers le concept de multiplication. Les définitions formaient, comme on dit en mathématiques, un cercle vicieux. En conséquence, la chaîne de définitions séquentielles construite au cours du cours est interrompue.
Le cercle vicieux est également contenu dans la définition suivante : « La solution d’une équation est le nombre qui est sa solution. » Ici, le concept de « résolution d’une équation » est défini essentiellement par la solution d’une équation.
La définition doit être claire.
C’est une règle évidente à première vue, mais elle signifie beaucoup. Tout d'abord, il est nécessaire que la signification des termes inclus dans le concept définissant soit connue au moment où la définition du nouveau concept est introduite.
Par exemple, on ne peut pas définir un rectangle comme un parallélogramme à angle droit si la notion de « parallélogramme » n’a pas encore été envisagée.
Les conditions de clarté de la définition incluent également la recommandation d'inclure dans la différence spécifique seulement autant de propriétés nécessaires et suffisantes pour isoler les objets définis du champ d'application du concept générique.
Considérons Par exemple, C'est la définition d'un rectangle : « Un rectangle est un quadrilatère dont tous les angles sont droits et les côtés opposés sont égaux. »
Il est facile de voir que cette définition est proportionnée et qu’elle ne comporte aucun cercle vicieux. Mais on peut montrer que la propriété « dans un rectangle, les côtés opposés sont égaux » incluse dans la définition découle de la propriété « dans un rectangle, tous les angles sont droits ». Dans ce cas, on considère que cette définition La deuxième propriété d’un rectangle est redondante. Il est donc plus correct de définir un rectangle de cette manière : « Un rectangle est un quadrilatère dont tous les angles sont droits. »
Commentaire. Pour qu'une définition soit claire, il est souhaitable qu'elle ne contienne pas de propriétés redondantes dans la partie définissant, c'est-à-dire : de telles propriétés qui peuvent être distinguées des autres incluses dans cette définition. Cependant, dans le cas des présentations de la prostate, cette règle n'est parfois pas respectée.
Pour garantir la clarté de la définition, il est également important d'avoir un concept générique par rapport à ce qui est défini. L'omission d'un concept générique rend la définition disproportionnée. Par exemple, la définition suivante d’un carré est inacceptable : « Un carré est lorsque tous les côtés sont égaux. »
A ce qui vient d'être dit, il faut ajouter que, Lors de la formulation d'une définition, il faut s'efforcer d'indiquer dans le concept déterminant non seulement un concept générique par rapport à celui défini, mais le plus proche. Cela permet souvent de réduire le nombre de propriétés incluses dans une distinction d'espèce.
Par exemple, si pour définir un carré on choisit la notion de « quadrilatère » comme notion générique, alors il faudra inclure deux propriétés dans la différence spécifique : « avoir tous les angles droits » et « avoir tous les angles droits ». côtés égaux" En conséquence, nous obtenons la définition : « Un carré est un quadrilatère dont tous les angles sont droits et tous les côtés sont égaux. »
Si nous choisissons le concept générique le plus proche pour un carré, un rectangle, comme concept générique, alors nous obtenons plus courte définition carré : « Un carré est un rectangle dont les côtés sont tous égaux. »
Un seul et même concept peut être défini de différentes manières à travers les différences de genre et d’espèce, en respectant les règles formulées ci-dessus.
Ainsi, un carré peut être défini comme :
a) un rectangle dont les côtés adjacents sont égaux ;
b) un rectangle qui a un angle droit ;
c) un losange qui a un angle droit ;
d) un parallélogramme dans lequel tous les côtés sont égaux et les angles sont droits.
Différentes définitions du même concept sont possibles car plus propriétés incluses dans le contenu du concept, seules certaines sont incluses dans la définition. Et lorsqu'une des définitions possibles est choisie, on part de celle qui est la plus simple et la plus appropriée pour la construction ultérieure de la théorie.
Si le même concept est donné, Par exemple, deux différentes définitions, il faut alors prouver leur équivalence, c'est-à-dire pour s'assurer que les propriétés incluses dans une définition entraînent les propriétés incluses dans une autre, et vice versa.
Pour conclure notre examen des définitions des concepts par genre et différence spécifique, nommons la séquence d'actions que nous devons suivre si nous voulons reproduire la définition d'un concept familier ou construire une définition d'un nouveau :
1. Nommez le concept (terme) à définir.
2. Indiquez le concept générique (par rapport au défini) le plus proche.
3. Lister les propriétés qui distinguent les objets définis du volume générique, c'est-à-dire formuler des différences entre les espèces.
4. Vérifier si les règles de définition du concept sont respectées (est-ce proportionné, y a-t-il un cercle vicieux, etc.).
Exemples de explicite relations genre-espèce parmi les nombreux concepts mathématiques abordés dans école primaire, plus tellement maintenant. Mais compte tenu de l'importance de la définition à travers les caractéristiques du genre et de l'espèce dans formation continue Il est conseillé de s'assurer que les élèves comprennent l'essence de la définition de ce type dès les classes élémentaires.
5. Définitions implicites
Lors de l’étude des mathématiques à l’école primaire, les définitions par distinction de genre et d’espèce sont rarement utilisées. Cela est dû à la fois aux caractéristiques du cours et aux capacités des enfants. Mais les concepts dans cours initial il y a beaucoup de mathématiques - nous en avons parlé au début du cours. Comment sont-ils déterminés ?
Lors de l'étude des mathématiques à l'école primaire, ce qu'on appelle implicite définitions. Dans leur structure, il est impossible de distinguer le déterminé du déterminant.
En formation collégiens intérêt particulier parmi les définitions implicites figurent contextuel Et ostensif définitions.
Dans les définitions contextuelles, le contenu d'un nouveau concept est révélé à travers un passage de texte, à travers le contexte, à travers l'analyse d'une situation spécifique qui décrit le sens du concept défini avec d'autres concepts connus, et ainsi son contenu est indirectement révélé. Par exemple, en utilisant dans le travail avec les enfants des expressions telles que « trouver le sens de l'expression », « comparer le sens des expressions 5 + a et (a - 3) × 2, si a = 7 », « lire des expressions qui sont des sommes » , "lire les expressions , puis lire les équations", nous élargissons le concept de " expression mathématique"comme un enregistrement composé de nombres ou de variables et de signes d'action.
Ou encore, un exemple de définition contextuelle pourrait être la définition d’une équation et de sa solution donnée dans un manuel de mathématiques de 3e année. Ici, après l'entrée ð + 6 = 15 et la liste des nombres 0,5,9,10, il y a le texte : « Quel nombre faut-il ajouter 6 pour faire 15 ? Notons le nombre inconnu Lettre latine x(x):
X + 6 = 15 est une équation.
Résoudre une équation signifie trouver un nombre inconnu. DANS équation donnée le nombre inconnu est 9, puisque 9+6=15.
Expliquez pourquoi les nombres sont 0 ; 5 et 10 ne conviennent pas.
Du texte ci-dessus, il s'ensuit qu'une équation est une égalité dans laquelle il y a un nombre inconnu. Il peut être désigné par la lettre x et ce numéro doit être retrouvé. De plus, il résulte de ce texte que la solution d'une équation est un nombre qui, lorsqu'il est remplacé par x, transforme l'équation en une véritable égalité.
Presque toutes les définitions que nous rencontrons dans la vie quotidienne Ce sont des définitions contextuelles. Ayant entendu mot inconnu, nous essayons d'établir nous-mêmes son sens à partir de tout ce qui a été dit.
Une chose similaire se produit dans l’enseignement aux élèves plus jeunes. De nombreux concepts mathématiques à l’école primaire sont définis par le contexte. Ce, Par exemple, des concepts tels que « grand - petit », « n'importe lequel », « n'importe lequel », « un », « plusieurs », « nombre », « opération arithmétique », « équation », « tâche », etc.
Les définitions contextuelles demeurent surtout incomplet et inachevé. Ils sont utilisés en raison du manque de préparation des jeunes écoliers à maîtriser la définition complète, et surtout scientifique.
Les définitions ostensives sont des définitions par démonstration.. Elles ressemblent aux définitions contextuelles ordinaires, mais le contexte ici n'est pas un passage d'un texte quelconque, mais la situation dans laquelle se trouve l'objet désigné par le concept.
Par exemple, l’enseignant montre un carré (dessin ou modèle en papier) et dit « Regardez, c’est un carré ». Il s’agit d’une définition ostensive typique.
Ils sont également utilisés pour introduire des termes en montrant les objets auxquels ces termes font référence. Par exemple, les notions d’égalité et d’inégalité peuvent ainsi être définies à l’école primaire :
2 × 7 > 2 × 6 9 × 3 = 27
78- 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6
37+ 6 > 37 17 - 5 = 8 + 4
À l'école primaire, des définitions ostensives sont utilisées pour considérer des concepts tels que « couleur rouge (blanc, noir, etc.), « gauche - droite », « de gauche à droite », « nombre », « nombre précédent et suivant », « signes" opérations arithmétiques", "signes comparatifs", "triangle", "quadrangle", "cube", etc.
Basé sur l’assimilation ostensive du sens des mots, il est possible d’introduire le sens verbal de nouveaux mots et expressions dans le dictionnaire de l’enfant. Les définitions ostensives – et elles seules – relient les mots aux choses. Sans eux, le langage n’est qu’une dentelle verbale sans contenu objectif et substantiel.
Les définitions ostensives, comme les définitions contextuelles, se caractérisent par une certaine incomplétude. En effet, la définition par démonstration ne distingue pas un concept des autres phrases ; elle n'indique pas les propriétés caractéristiques de ces concepts. Par conséquent, après une définition contextuelle ou ostensible d’un concept, une étude plus approfondie des propriétés de ces objets définis est nécessaire.
Notez que dans les classes primaires définitions valides comme « Le mot « pentagone » signifiera un polygone à cinq côtés. » C'est ce qu'on appelle "définition nominale» .
Définitions spécifiques peut considérer un concept par le mode de sa formation ou de son émergence. Ce type de définition est appelé génétique.
Exemples de définitions génétiques: "Un angle, ce sont les rayons qui sortent d'un point", "La diagonale d'un rectangle est un segment qui relie sommets opposés rectangle." À l'école primaire définitions génétiques utilisé pour des concepts tels que « segment », « ligne brisée », « angle droit », « cercle ».
Les concepts génétiques incluent définition à travers une liste .
Par exemple, « Les séries naturelles de nombres sont les nombres 1, 2, 3, 4, etc. »
Certains concepts des niveaux élémentaires sont introduits uniquement à travers terme.
Par exemple, unités de temps année, mois, heure, minute.
Il y a des concepts à l'école primaire qui sont enseignés langage symbolique sous la forme d'une égalité, par exemple, a ×1 = a, a × 0 = 0
Au primaire, de nombreux concepts mathématiques sont d’abord appris de manière superficielle et vague. Lors de la première connaissance, les écoliers n'apprennent que certaines propriétés des concepts et ont une idée très étroite de leur portée. Et c'est naturel. Tous les concepts ne sont pas faciles à comprendre. Mais il ne fait aucun doute que la compréhension par l’enseignant et l’utilisation opportune de certains types de définitions de concepts mathématiques sont l’une des conditions de la formation de de solides connaissances sur ces notions.
Les concepts mathématiques peuvent entretenir des relations différentes.
Les concepts sont liés au genre et à l'espèce si la portée d'un concept inclut la portée d'un autre concept, mais ne coïncide pas avec lui.
1) Un carré et un rectangle sont liés au genre et à l'espèce, où un rectangle est un concept générique, et un carré est un concept spécifique, puisque tous les carrés sont des rectangles, mais tous les rectangles ne sont pas des carrés.
2) Un segment et une ligne droite ne sont pas liés au genre et à l'espèce, puisqu'un segment fait partie d'une ligne droite, et non sa variété. Ils sont par rapport à la partie et au tout.
Déjà dans âge préscolaire Les enfants commencent très tôt à comprendre les relations genre-espèce sans les nommer explicitement. Par exemple, en accomplissant la tâche : « Dites-le en un mot » (Fig. 4), ils signifient que les concepts « carré », « rectangle », « trapèze », « losange »,
Les « parallélogrammes » sont spécifiques par rapport à la notion de « quadrilatère ».
Si les portées des concepts coïncident, alors ces concepts sont identiques.
Par exemple, les notions " triangle équilatéral" et " triangle équiangulaire " sont identiques. À l'école, pendant les cours de russe, les enfants apprennent le concept de « synonymes » - des mots dont le son diffère, mais dont le sens est identique.
Quelques caractéristiques des relations génériques entre concepts
1) Les notions de genre et d’espèce sont relatives. Un même concept peut être générique par rapport à un concept et spécifique par rapport à un autre. Par exemple : le concept « rectangle » est générique au concept « carré », mais spécifique au concept « quadrangle ».
2) Pour un concept donné, plusieurs concepts génériques peuvent souvent être spécifiés. Par exemple, pour le concept « carré » les concepts génériques sont « rectangle », « losange », « quadrilatère », « polygone », « figure géométrique ».
3) Le concept d'espèce possède toutes les propriétés du concept générique. Par exemple : un carré possède toutes les propriétés d’un rectangle.
4) Si deux concepts sont en relation avec le genre et l'espèce, alors il existe une relation entre leurs volumes et leur contenu : si le volume est plus grand, alors le contenu est moindre, et vice versa. Par exemple, la portée du concept « rectangle » est plus grande que la portée du concept « carré », puisque tous les objets du deuxième concept sont également des objets du premier concept. Le contenu du concept « rectangle » est inférieur au contenu du concept « carré », puisqu'un carré possède toutes les propriétés d'un rectangle et même d'autres propriétés qui lui sont inhérentes.
Tâche 2
Nommez lesquels des concepts suivants sont liés au genre et à l'espèce : cercle, ligne brisée, triangle, segment, polygone, rayon, cercle.
Définition des notions
Pour reconnaître un objet, il n’est pas nécessaire de vérifier ses propriétés essentielles ; seules quelques-unes suffisent. C'est ce qu'ils disent lorsqu'un concept est défini.
Définition du concept- Ce opération logique, qui couvre le contenu du concept ou établit le sens du terme
Définition du concept vous permet de distinguer les projets définis des autres objets. Ainsi, par exemple, la définition des concepts « triangle rectangle" permet de le distinguer des autres triangles.
Il y a différents types définitions. Il existe des définitions explicites et implicites (Fig. 5).
Les définitions explicites prennent la forme de l'égalité de deux concepts. C d'entre eux sont appelés déterminé, autre - définir.
Par exemple : « Un triangle rectangle est un triangle dont le triangle a un angle droit. » Ici, le concept défini est « triangle priangulaire » et le concept définissant est « un triangle qui a un angle droit ».
Le type de définition explicite le plus courant est la division par la différence des genres et des espèces. La définition ci-dessus d'un triangle rectangle fait référence à de telles définitions. Le concept de « triangle », contenu dans la définition des oiseaux, est le concept générique le plus proche par rapport au concept de « triangle rectangle », et la propriété « avoir un prugol » permet de distinguer un type de triangle rectangle parmi tous les triangles.
Différence d'espèce- une propriété essentielle qui distingue la notion d'espèce de l'ensemble du genre.
La structure de la définition à travers le genre et la différence spécifique de l'image ; schématiquement dans la figure 6. En utilisant ce schéma, il est possible de construire des concepts non seulement en mathématiques, mais également dans d'autres sciences.
Règles de base pour la détermination par différence de genre et d'espèce
1) La définition doit être proportionnée.
Cela signifie que la portée des concepts définis et déterminants doit coïncider. Par exemple, dans la définition « Un carré est un quadrilatère dont les côtés sont égaux », une erreur a été commise. Ici, le volume du concept défini est inférieur au volume du concept définissant (le volume du concept définissant contient des losanges, qui ne sont pas nécessairement des carrés).
2) Il ne devrait y avoir aucun cercle vicieux dans la définition (ou leur système).
Un cercle apparaît lorsque le concept défini est défini par lui-même. Un cercle dans le système de définitions signifie que le concept défini est défini par le définissant, et le définissant par le défini. Par exemple : « Les lignes perpendiculaires sont des lignes qui, lorsqu'elles se coupent, forment des angles droits. Les angles droits sont les angles qui se forment lorsque des lignes perpendiculaires se croisent.
3) La définition doit être claire.
La signification de tous les termes inclus dans la partie définissant doit être claire et clairement définie. Par exemple, si les enfants ne sont pas familiers avec les angles droits, il ne faut pas leur donner la définition suivante : « Un rectangle est un quadrilatère avec tous les angles droits ».
4) L'objet défini doit exister.
Parfois, en donnant des définitions par analogie, des erreurs sont commises. Par exemple : « Un triangle rectangle est un triangle avec tous les angles droits. » Pour corriger l'erreur, vous pouvez les inviter à dessiner cet objet.
5) Il est d'usage d'appeler le concept générique le plus proche.
Pour reconnaître un objet, il n’est pas nécessaire de vérifier toutes ses propriétés essentielles ; seules quelques-unes suffisent. Ceci est utilisé lors de la définition d’un concept.
La définition d'un concept est une opération logique qui révèle le contenu du concept ou établit le sens du terme.
La définition d'un concept permet de distinguer les objets définis des autres objets. Par exemple, la définition du concept « triangle rectangle » permet de le distinguer des autres triangles.
Il existe différents types de définitions. Il existe des définitions explicites et implicites (Fig. 5). Les définitions explicites prennent la forme de l'égalité de deux concepts. L'un d'eux est appelé déterminable, l'autre déterminant.
Par exemple : « Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. » Ici, le concept défini est « un triangle rectangle » et le concept déterminant est « un triangle qui a un angle droit ».
Le type de définition explicite le plus courant est la définition par genre et distinction spécifique. La définition ci-dessus d’un triangle rectangle est l’une de ces définitions. Le concept de « triangle », contenu dans le concept définissant, est le concept générique le plus proche par rapport au concept de « triangle rectangle », et la propriété « avoir un angle droit » permet de sélectionner l'un des types parmi tous les triangles - un triangle rectangle.
Différence d'espèce- une propriété essentielle qui distingue la notion d'espèce de l'ensemble du genre.
La structure de la définition par différence de genre et d'espèce est représentée schématiquement dans la figure 6. En utilisant ce schéma, il est possible de construire des définitions de concepts non seulement en mathématiques, mais également dans d'autres sciences.
Pour un concept il existe souvent plusieurs concepts génériques ; par exemple, pour le concept « carré » on peut formuler différentes définitions:
Un carré est un rectangle dont tous les côtés sont égaux ;
C'est un losange avec tous les angles droits ;
C'est un quadrilatère dans lequel tous les côtés sont égaux et tous les angles sont droits ;
C'est un polygone qui a 4 côtés égaux et 4 angles droits.
La première définition est considérée comme pratique, puisque « rectangle » est le concept générique le plus proche par rapport au concept « carré ».
6) Il est souhaitable que le déterminant ne contienne pas de propriétés redondantes.
Il est commode d’énumérer de nombreuses propriétés essentielles, mais la définition devient lourde. Lorsque l'on travaille avec des enfants, cette règle est parfois violée. Par exemple, un enfant s’empresse de communiquer toutes les propriétés essentielles d’un carré et donne la définition suivante : « Un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droits et 4 côtés égaux. »
Tâche 4
Pi disponible erreurs logiques V définitions suivantes:
lignes parallèles - lignes qui n'ont pas de points communs ou ne coïncident pas ;
angles adjacents- ce sont des angles dont la somme fait 180 degrés ;
un rectangle est un quadrilatère dont tous les angles sont droits et les côtés opposés sont égaux ;
triangle obtus- c'est un triangle avec tous les angles obtus ;
les lignes perpendiculaires sont des lignes perpendiculaires.
Lors du développement des concepts mathématiques initiaux des enfants, ils utilisent le plus souvent définitions implicites, qui n'ont pas la forme d'égalité de deux concepts, par exemple des définitions ostensives et contextuelles.
Ostensive définition- il s'agit d'une définition implicite dans laquelle l'objet pour lequel le terme est introduit est nommé et montré.
Par exemple:
Il s'agit d'un cercle (Fig. 7).
Les définitions par affichage sont incomplètes et peu concluantes, mais ce sont elles qui relient les mots aux choses.
Lors de l'initiation des enfants d'âge préscolaire et des écoliers du premier cycle à concepts mathématiques, notamment sur la Fig. 7, au début de l'entraînement, les définitions ostensives sont principalement utilisées. Cependant, à l'avenir, cela nécessitera l'étude des propriétés essentielles des objets, c'est-à-dire la formation chez les enfants d'idées sur le volume et le contenu des concepts initialement définis ostensiblement.
La définition contextuelle est une définition implicite dans laquelle le contenu d'un nouveau concept est révélé dans le contexte - un passage de texte.
Par exemple, lors du développement de l'activité de comptage chez les enfants d'âge préscolaire, les enfants apprennent à utiliser correctement les nombres cardinaux et ordinaux : « Pour répondre à la question « combien ? », vous devez compter comme ceci : un, deux, trois - c'est un comptage quantitatif, et pour répondre à la question « lequel ? » « Nous devons compter comme ceci : premier, deuxième, troisième - c'est un décompte ordinal. »
Les définitions contextuelles restent largement incomplètes et peu claires, il est donc nécessaire d'identifier les propriétés essentielles d'un tel concept défini.
Phrases mathématiques
Les relations entre les objets et les propriétés sont exprimées à l'aide de phrases. Les phrases peuvent être formulées en utilisant des mots et écrites en utilisant symboles mathématiques:
Les phrases composées sont formées à partir de phrases élémentaires à l'aide de conjonctions « et », « ou », la particule « non », etc. Ces mots sont appelés connecteurs logiques.
Exemples phrases composées des structures différentes sont illustrées à la figure 8 :
Tâche 5
Déterminer la structure des phrases et identifier les phrases élémentaires qu'elles contiennent :
- « Les lignes parallèles ne se coupent pas » ;
- « Côtés opposés les rectangles sont parallèles et égaux" ;
- "Le nombre se termine par zéro ou par quintuple."
