Tremblements et treillis sphériques. La serviette de Sierpinski - un autre monstre

Une fractale régulière, appelée serviette de Sierpinski, est obtenue en découpant séquentiellement des triangles équilatéraux centraux, comme le montre la Fig. 2

Figure 2 - Construction d'une serviette Sierpinski

Le résultat est une figure « trouée » (voir Fig. 3), composée de nombre infini points isolés. La dimension fractale de la serviette Sierpinski est calculée à l'aide de la formule (3)

Ici, à l’étape zéro, nous avons un triangle équilatéral avec une longueur de côté, et à l’étape suivante trois triangles équilatéraux avec des côtés. Par conséquent, un, . La serviette a une surface nulle car il est facile de vérifier que lors de sa construction, la surface est exactement égal à la superficie le triangle d'origine. Ceci est également indiqué par la valeur de la dimension fractale, qui est inférieure à la dimension du plan sur lequel se trouve cet objet.

Calculons maintenant le périmètre des zones exclues. Si le côté du triangle d'origine était égal à 1, alors à la première étape de la construction, le périmètre du triangle central est égal à 3/2. Dans un deuxième temps, trois nouveaux triangles y sont ajoutés avec périmètre commun, égal à 9/4, etc. Il est évident que sur nième étape le périmètre P est déterminé par la somme de la progression géométrique

Algorithme fractal du tapis de Sierpinski

Figure 3 - Serviette Sierpinski

En revanche, l’échelle de longueur au nième échelon est égale. La formule prend donc une forme similaire à la formule (1) pour la longueur du littoral

où D est déterminé par la formule (6)

Figure 4 - Elément initiateur et générateur de la courbe de Sierpinski

Il est possible de construire une ligne continue ayant cette dimension fractale et qui soit géométriquement équivalente à une serviette Sierpinski. L'élément initiateur d'une telle construction est un segment de longueur unitaire, qui est ensuite remplacé par une structure appelée génératrice, constituée de trois segments de longueur 1/2, situés à un angle de 120° les uns par rapport aux autres (voir Fig. 4). ). Ensuite, chacun de ces trois segments est remplacé, tour à tour, par un générateur deux fois moins grand, comme le montre la Fig. 5 à gauche. Côté droit La même figure représente l'étape suivante de la procédure. Les contours de la future serviette Sierpinski apparaissent clairement dans les deux étapes suivantes (voir Fig. 5).

Figure 5 - Deuxième et troisième étapes de construction de la courbe de Sierpinski

Cette procédure est répétée à l'infini. Il est facile de voir que chaque image ultérieure peut être obtenue à partir de la précédente en collant trois copies réduites de moitié, dont deux tourneront d'un angle de 120° et - 120° par rapport à l'original.

Figure 6 - Les deux prochaines étapes de la construction de la courbe de Sierpinski

Semblable à la serviette Sierpinski, on peut construire un tapis Sierpinski carré, qui est un analogue bidimensionnel de l'ensemble Cantor des tiers médians exclus.

Figure 7 - Construction d'un tapis Sierpinski carré

La recette de sa création est la suivante. Tout d’abord, prenons un carré dont le côté mesure égal à un. Ensuite, chaque côté du carré est divisé en trois parties égales et le carré entier, respectivement, en neuf carrés identiques dont le côté est égal à 1/3. Un carré central est découpé à partir de la figure obtenue. Ensuite, le carré est découpé selon la même procédure. Pourquoi chacun des 8 carrés restants est-il soumis à la même procédure, etc. (voir fig. 7)

Figure 8 - Tapis carré Sierpinski

Le résultat est un tapis Sierpinski carré troué avec une valeur de dimension fractale

Il représente également un exemple de fractale auto-similaire idéale. Sa dimension fractale est cependant plus grande que celle de la serviette Sierpinski, c'est-à-dire dans un certain sens, il y a moins de fuites.

« TAPIS SIERPINSKI »

Table des matières

Introduction

1. Le concept de fractales.

À propos des tapis

Waclaw Sierpinski

Triangle de Sierpinski

Tapis Sierpinski

Fonctions de Sierpinski

Types et principales propriétés des fractales

Construction de fractales

À propos de l'utilisation des fractales

Conclusion

Points principaux

Annexe 1

Annexe 2

Annexe 3

Annexe 4

Annexe 5

Annexe 6

Annexe 7 (Présentation)

Littérature

Si les gens refusent de croire

dans la simplicité des mathématiques,

alors c'est seulement parce qu'ils

Ils ne comprennent pas la complexité de la vie.

John von Neumann

Introduction

L'ouvrage est consacré au thème de la recherche fractale : le tapis Sierpinski.

Comme on le sait, cette fractale est l’une des fractales classiques de la géométrie fractale.

L’objectif principal de ce travail est d’étudier une fractale appelée Tapis Sierpinski.

La nécessité du concept de fractale est apparue relativement récemment, soit il y a environ 40 ans. Alors modèles géométriques diverses structures naturelles étaient traditionnellement construites sur la base de formes géométriques relativement simples : lignes droites, polygones, cercles, polyèdres, sphères. Cependant, il est devenu évident que cet ensemble classique, suffisant pour décrire des structures élémentaires, devient peu applicable à des objets aussi complexes que le contour des côtes continentales, le champ de vitesse dans un écoulement fluide turbulent, une décharge de foudre dans l'air, des matériaux poreux, la forme des nuages, des flocons de neige, des flammes de feu, des contours d'arbres, etc. À cet égard, les scientifiques ont commencé à introduire de nouveaux concepts géométriques. Et l’un de ces concepts était le concept de fractale. Ce concept a été introduit par le mathématicien français d'origine polonaise Benoît Mandelbrot en 1975. Et bien que des constructions similaires sous une forme ou une autre soient apparues il y a longtemps en mathématiques, en physique, la valeur de telles idées n'a été réalisée que dans les années 70 du 20e siècle. Ensuite, le livre de Mandelbrot « Fractal Geometry of Nature » a joué un rôle important dans la diffusion des idées de géométrie fractale. base nouvelle géométrie est l'idée d'autosimilarité. Il exprime le fait que le principe hiérarchique d'organisation des structures fractales ne subit pas de changements significatifs lorsqu'on l'observe au microscope avec différents grossissements. En conséquence, ces structures à petite échelle ont en moyenne la même apparence qu’à grande échelle. Cela définit la différence entre la géométrie euclidienne, qui traite exclusivement de courbes douces, et les courbes fractales infiniment robustes et auto-similaires. Les éléments des courbes d'Euclide sont toujours auto-similaires, mais de manière triviale : toutes les courbes sont localement droites, et une ligne droite est toujours auto-similaire. Idéalement, une courbe fractale, à n'importe quelle échelle, même la plus petite, ne se réduit pas à une ligne droite et est cas général géométriquement irrégulier, chaotique. Pour lui, en particulier, il n'existe pas de notion de tangente en un point, puisque les fonctions décrivant ces courbes sont, dans le cas général, non différentiables.

L’argument le plus convaincant en faveur de l’étude des fractales est peut-être leur beauté saisissante.

Les fractales combinent étonnamment l'approche logique et la connaissance des phénomènes naturels.

De nombreuses avancées majeures en géométrie fractale ont été rendues possibles grâce à l’avènement des ordinateurs modernes. Les expériences informatiques ont permis d'obtenir une compréhension assez complète des différentes fractales et des raisons de leur apparition. Souvent la modélisation théorique de ces structures était parfois même en avance sur méthodes expérimentalesétudier de vrais objets naturels de forme complexe.

Avec le développement de la géométrie fractale, il est devenu évident pour beaucoup que les formes de la géométrie euclidienne sont bien inférieures à la plupart des objets naturels en raison du manque d'irrégularité, de désordre et d'imprévisibilité.

Actuellement, on peut dire que la géométrie fractale est largement connue et tout à fait pertinente. En effet, le langage de la géométrie fractale est applicable à toutes les sciences. monde moderne en général. Par exemple, en médecine pour construire un modèle système circulatoire l'homme ou l'examen des surfaces complexes des membranes cellulaires.

1. Le concept de fractales.

Les fractales sont partout autour de nous, aussi bien dans les contours des montagnes que dans les lignes sinueuses du bord de mer. Certaines fractales changent constamment, comme les nuages ​​en mouvement ou les flammes vacillantes, tandis que d'autres, comme les arbres ou notre planète, sont en constante évolution. systèmes vasculaires, conservent la structure acquise au cours du processus d'évolution.
HO Peigen et PH Richter.

La géométrie, que nous étudions à l'école et utilisons dans la vie quotidienne, comme indiqué précédemment, remonte à Euclide (environ 300 avant JC). Triangles, carrés, cercles, parallélogrammes, parallélépipèdes, pyramides, sphères, prismes - objets typiques, considéré par la géométrie classique. Les objets fabriqués par l'homme incluent généralement ces figures ou des fragments de celles-ci. Cependant, on ne les trouve pas très souvent dans la nature. En effet, par exemple, les beautés forestières de l'épicéa sont-elles similaires à l'un des éléments répertoriés ou à leur combinaison ? Il est facile de voir que, contrairement aux formes d'Euclide objets naturels n'ont pas de douceur, leurs bords sont cassés, déchiquetés, les surfaces sont rugueuses, corrodées par des fissures, des passages et des trous.

"Pourquoi la géométrie est-elle souvent qualifiée de froide et sèche ? L'une des raisons est son incapacité à décrire la forme d'un nuage, d'une montagne, d'un arbre ou d'un bord de mer. Les nuages ​​ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les rivages ne sont pas des cercles, et les la croûte n'est pas lisse." et la foudre ne se déplace pas en ligne droite. La nature nous montre non seulement un degré plus élevé, mais un niveau de complexité complètement différent. " , - ces mots commencent par « Géométrie fractale de la nature », écrit par Benoit Mandelbrot. Motfractale dérivé du latinfracturé et traduit signifiefragmenté . Il a été proposé par Benoît Mandelbrot en 1975 de faire référence auxauto-similaire structures dans lesquelles il a été impliqué. La naissance de la géométrie fractale est généralement associée à la publication du livre de Mandelbrot en 1977.La géométrie fractale de la nature" . Ses œuvres utilisent résultats scientifiques d'autres scientifiques qui ont travaillé dans la période 1875 -1925 dans le même domaine (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Mais ce n’est qu’à notre époque qu’il a été possible de combiner leurs travaux en un seul système.

Le rôle des fractales dans l’infographie est aujourd’hui assez important. Ils viennent par exemple à la rescousse lorsqu'il faut, à l'aide de plusieurs coefficients, définir des lignes et des surfaces de formes très complexes. Du point de vue infographie, la géométrie fractale est indispensable pour générer des nuages, des montagnes et des surfaces marines artificielles. Effectivement trouvé moyen facile représentations d'objets complexes non euclidiens, dont les images sont très similaires aux images naturelles.

Les fractales sont des objets géométriques dotés de propriétés étonnantes : n'importe quelle partie d'une fractale contient son image réduite. Autrement dit, peu importe à quel point vous agrandissez la fractale, une petite copie de celle-ci vous regardera depuis n'importe quelle partie de celle-ci.

La définition de Mandelbrot d'une fractale est la suivante :"Une fractale est une structure composée de parties qui sont en quelque sorte similaires au tout" . Les propriétés internes des fractales sont pratiquesdécrire caractéristique numérique, semice qui a donné le nom de dimension fractale.Faisons une expérience simple. Prenonsune feuille de papier millimétré vierge et un croquisTim dessus arbitrairement rectilignesegment Comptons la quantité de collecourant avec une longueur de côté de 1 cm et le nombre d'adhésifspoints d'un côté de 1 mm, à travers lesquelspasse cette section. Combien de fois unle nombre est-il plus grand que l'autre ? Si l'expérience porte surconduire prudemment, puis couvrir le segmentles cellules millimétriques seront dix foisplus de centimètres.

La géométrie dans la nature ne se limite pas à des figures aussi simples qu'une ligne, un cercle, section conique, polygone, sphère, surface quadratique, ainsi que leurs combinaisons. Par exemple, quoi de plus beau que l'affirmation selon laquelle les planètes de notre planète système solaire se déplacer autour du soleil sur des orbites elliptiques ?

Cependant, de nombreux systèmes naturels sont si complexes et irréguliers qu’il semble inutile d’utiliser uniquement des objets familiers de géométrie classique pour les modéliser. Comment, par exemple, construire un modèle géométrique d’une chaîne de montagnes ou d’une cime d’arbre ? Comment décrire la diversité des configurations biologiques que l’on observe dans le monde végétal et animal ? Imaginez la complexité du système circulatoire, composé de nombreux capillaires et vaisseaux et distribuant le sang à chaque cellule. corps humain. Imaginez avec quelle habileté les poumons et les bourgeons sont disposés, rappelant dans leur structure des arbres à cime ramifiée.

La dynamique de la vie réelle peut être tout aussi complexe et irrégulière. systèmes naturels. Comment aborder la modélisation des cascades ou des processus turbulents qui déterminent la météo ?

Les fractales et le chaos mathématique sont des outils appropriés pour explorer ces questions. Termefractale fait référence à une configuration géométrique statique, telle qu'un instantané d'une cascade.Chaos est un terme dynamique utilisé pour décrire des phénomènes similaires au comportement météorologique turbulent. Souvent, ce que nous observons dans la nature nous intrigue par la répétition infinie du même motif, augmenté ou diminué autant de fois que souhaité. Par exemple, un arbre a des branches. Sur ces branches se trouvent des branches plus petites, etc. Théoriquement, l’élément de branchement se répète indéfiniment, devenant de plus en plus petit. La même chose peut être constatée en regardant la photographie. terrain montagneux. Essayez de zoomer un peu sur la chaîne de montagnes - vous verrez à nouveau les montagnes. C'est ainsi que se manifeste la propriété caractéristique des fractalesautosimilarité.

De nombreux travaux sur les fractales utilisent l'autosimilarité comme propriété déterminante. À la suite de Benoit Madelbrot, nous acceptons l'idée selon laquelle les fractales devraient être définies en termes de dimension fractale (fractionnelle). C'est de là que vient le motfractale (de lat.fracturé - fractionnaire).

La notion de dimension fractionnaire est une notion complexe qui se présente en plusieurs étapes. Une ligne droite est un objet à une dimension, tandis qu'un plan est un objet à deux dimensions. Si vous tordez bien la droite et le plan, vous pouvez augmenter la dimension de la configuration résultante ; dans ce cas, la nouvelle dimension sera généralement fractionnaire dans un certain sens, ce que nous devons clarifier. Le lien entre la dimension fractionnaire et l'autosimilarité est qu'avec l'aide de l'autosimilarité, il est possible de construire un ensemble de dimensions fractionnaires de la manière la plus simple. Même dans le cas de fractales beaucoup plus complexes, comme la limite de l'ensemble de Mandelbrot, où il n'y a pas d'autosimilarité pure, il y a une répétition presque complète de la forme de base sous une forme de plus en plus réduite.

Fondateur de la géométrie fractale.

Les mathématiciens ont négligé le défi et

préféré s'échapper de la nature par l'invention

toutes sortes de théories qui ne le font pas

expliquer ce que nous voyons ou ressentons.

Benoît Mandelbrot

Benoit Mandelbrot (français : Benoit Mandelbrot ; né le 20 novembre 1924 à Varsovie) est un mathématicien français.

Fondateur et chercheur principal dans le domaine de la géométrie fractale. Lauréat du Prix Wolf de physique (1993).

Benoît Mandelbrot est né à Varsovie en 1924 dans une famille de juifs lituaniens. Mais déjà en 1936, la famille Benoit Mandelbrot émigre en France, à Paris. A Paris, il subit l'influence de son oncle Scholem Mandelbroit, célèbre mathématicien parisien et membre d'un groupe de mathématiciens connus collectivement sous le nom de « Nicolas Bourbaki ».

Après le début de la guerre, les Mandelbrot ont fui vers le sud de la France, libre de toute occupation, vers la ville de Tulle. Benoît Mandelbrot y fit ses études, mais se désintéressa rapidement de ses études. Par conséquent, à l'âge de seize ans, il connaissait à peine l'alphabet et la table de multiplication jusqu'à cinq.

Mais Benoît Mandelbrot se découvre un don mathématique inhabituel, qui lui permet de devenir étudiant à la Sorbonne immédiatement après la guerre. Il s’est avéré que Benoît possède une excellente imagination spatiale. Il a même problèmes algébriques résolu géométriquement. L'originalité de ses décisions a permis à Benoit Mandelbrot d'entrer à l'université.

Après avoir obtenu son diplôme universitaire, Benoit Mandelbrot est d’abord devenu un « pur mathématicien ». Il a obtenu son doctorat.

En 1958, il s'installe aux États-Unis, où il commence à travailler au centre de recherche IBM à Yorktown, car IBM travaille alors dans des domaines mathématiques qui intéressent Benoit Mandelbrot.

En travaillant chez IBM, Benoit Mandelbrot s'est éloigné du pur problèmes appliqués entreprises. Il a travaillé dans les domaines de la linguistique, de la théorie des jeux, de l'économie, de l'aéronautique, de la géographie, de la physiologie, de l'astronomie et de la physique. Il aimait passer d'un sujet à un autre, étudier différentes directions.

Alors qu'il étudiait l'économie, Benoit Mandelbrot a découvert que des fluctuations de prix apparemment arbitraires peuvent découler d'un phénomène caché. ordre mathématique dans le temps, ce qui n'est pas décrit par des courbes standards.

Benoit Mandelbrot a commencé à étudier les statistiques des prix du coton longue période temps (plus de cent ans). Les fluctuations des prix au cours de la journée semblaient aléatoires, mais Mandelbrot était capable de comprendre la tendance de leurs changements. Il a retracé la symétrie entre les fluctuations des prix à long terme et les fluctuations à court terme. Cette découverte a surpris les économistes.

En fait, Benoît Mandelbrot a utilisé les rudiments de sa méthode récursive (fractale) pour résoudre ce problème.

À propos des tapis.

Un peu de mordre

Application pratique fractales

On trouve de plus en plus de fractales une plus grande application en sciences. La principale raison en est qu’ils décrivent le monde réel, parfois même mieux que la physique ou les mathématiques traditionnelles. Voici quelques exemples :

Systèmes informatiques

La plupart utilisation utile Les fractales en informatique sont une compression de données fractales. Ce type de compression repose sur le fait que le monde réel est bien décrit par la géométrie fractale. Dans le même temps, les images sont bien mieux compressées qu’avec les méthodes conventionnelles (telles que jpeg ou gif). Un autre avantage de la compression fractale est que lorsque l'image est agrandie, il n'y a pas d'effet de pixellisation (augmentation de la taille des points jusqu'à des tailles qui déforment l'image). Avec la compression fractale, après agrandissement, l’image est souvent encore meilleure qu’avant.

Mécanique des fluides

1. L'étude de la turbulence dans les écoulements s'adapte très bien aux fractales. Les écoulements turbulents sont chaotiques et donc difficiles à modéliser avec précision. Et ici le passage à une représentation fractale aide, ce qui facilite grandement le travail des ingénieurs et des physiciens, leur permettant de mieux comprendre la dynamique des écoulements complexes.

2. En utilisant des fractales, vous pouvez également simuler des flammes.

3. Les matériaux poreux sont bien représentés sous forme fractale car ils ont une géométrie très complexe. Il est utilisé dans la science pétrolière.

Télécommunications

Pour transmettre des données à distance, des antennes aux formes fractales sont utilisées, ce qui réduit considérablement leur taille et leur poids.

Physique des surfaces

Les fractales sont utilisées pour décrire la courbure des surfaces. Une surface inégale est caractérisée par une combinaison de deux fractales différentes.

Médecine

1.Interactions biosensorielles.

2. Battement de coeur

Biologie

Modélisation de processus chaotiques, notamment lors de la description de modèles de population.

Application des fractales à la technologie des antennes

Sur la base des idées et des algorithmes évoqués plus tôt dans la première section, il a été proposé nouvelle méthode méthodes d'utilisation d'éléments fractaux dans les réseaux d'antennes. Son utilisation permet d'augmenter la densité de placement et de réduire les interconnexions entre les éléments. De plus, sur la base de la théorie fractale, les propriétés et le type de rayonnement de telles antennes ont été étudiés. L'utilisation de la théorie fractale permet d'obtenir des antennes électriquement longues, mais physiquement compactes et occupant une petite surface. Grâce à cette propriété, la miniaturisation des antennes peut être réalisée.

Les antennes modernes nécessitent une grande précision et des dimensions minimales. Les communications radio nécessitent des systèmes capables de fonctionner sur autant de bandes de fréquences que possible. Les systèmes d'antennes aéroportées nécessitent que les antennes soient miniaturisées autant que possible. Pour atteindre ces objectifs, il a été proposé diverses méthodes applications des fractales dans la théorie des antennes. Montrons les domaines possibles d'application des fractales dans la technologie des antennes :

a) antennes filaires, antennes microruban - ces antennes ont une structure fractale physique ;

b) antennes avec un diagramme de rayonnement fractal (DP), réseaux avec une distribution de courant fractal - les antennes sont construites sur la base modélisation informatique caractéristiques fractales.

Donnons un exemple d'utilisation d'une structure fractale pour une simple antenne annulaire.

La guérison de la grille ressemblera à :

R- quantité totale cycles; N =4 – nombre d'éléments sur un anneau ; – phase (décalage) de l'élément,; – facteur fractal d’échelle.

12.Conclusion

Les fractales nous entourent partout : arbres, montagnes, nuages. Mais en plus de cela, les fractales se trouvent dans des objets invisibles à l’œil humain : ce sont des cellules de divers tissus vivants, des fissures dans la croûte terrestre et bien plus encore. Les graphiques fractals peuvent être utilisés dans de nombreux domaines des sciences naturelles. Il est utilisé non seulement en mathématiques, mais aussi en économie, géographie, astronomie, biologie, physique et même en littérature. Les fractales aident les géophysiciens à déterminer la forme et la nature des fissures la croûte terrestre et les caractéristiques de la distribution dans ses couches de divers éléments chimiques, et les astronomes peuvent simuler la formation systèmes planétaires et les galaxies, la nature de la diffusion des rayons et de la poussière cosmique.

La science fractale est très jeune et a un grand avenir devant elle. La beauté des fractales est loin d'être épuisée et nous offrira encore de nombreux chefs-d'œuvre - ceux qui ravissent les yeux et ceux qui apportent un véritable plaisir à l'esprit.

Mon travail ne répertorie pas tous les domaines de la connaissance humaine où la théorie des fractales a trouvé son application. Je veux juste dire qu'à peine un tiers de siècle s'est écoulé depuis l'apparition de la théorie, mais pendant cette période, les fractales sont devenues un phénomène soudain pour de nombreux chercheurs. lumière vive dans les nuits qui ont éclairé des faits et des modèles jusqu'alors inconnus dans des domaines spécifiques de données. Avec l'aide de la théorie des fractales, ils ont commencé à expliquer l'évolution des galaxies et le développement des cellules, l'émergence des montagnes et la formation des nuages, l'évolution des prix en bourse et le développement de la société et de la famille. Peut-être qu'au début, cette passion pour les fractales était même trop intense et que les tentatives pour tout expliquer en utilisant la théorie des fractales étaient injustifiées. Mais cette théorie a sans aucun doute le droit d’exister.

En travaillant sur le sujet de recherche, j'ai considérablement approfondi mes connaissances en mathématiques et élargi mes horizons mathématiques.

En étudiant les fractales, j'ai découvert que beaucoup d'entre elles possèdent des propriétés étonnantes et sont largement utilisées dans divers domaines science.

Sur la base des résultats de mes recherches, j'ai créé une présentation informatique avec laquelle toute personne intéressée peut se faire une idée claire des types et des propriétés inhabituelles des fractales.

Je suis devenu convaincu que les mathématiques sont une science unique et étonnante, dont les méthodes permettent de décrire les modèles et la structure des plus phénomènes inhabituels le monde environnant. De plus, des motifs fractals avec des formes dynamiques bizarres– l'un des symboles de l'unité des mathématiques et de l'art. Créé ordinateurs modernes Les fractales forment des émotions esthétiques profondes qui évoquent le respect et l'intérêt pour les mathématiques.

Je crois que le travail que j'ai effectué sur l'étude des fractales est très utile pour moi et que ses résultats peuvent être utilisés avec succès dans les cours de mathématiques et dans activités parascolaires. Parce que c'est vraiment intéressant !

13.Points principaux .

1. La théorie des fractales est très jeune. Il est apparu à la fin des années soixante grâce à Benoît Mandelbrot.

2. Une fractale est une structure auto-similaire dont l'image ne dépend pas de l'échelle. Il s'agit d'un modèle récursif dont chaque partie répète dans son développement le développement de l'ensemble du modèle dans son ensemble.

3. Les fractales sont de plus en plus utilisées en sciences. Par exemple, dans les systèmes informatiques, la mécanique des fluides, la médecine, la biologie et autres.

4. Il existe de nombreuses fractales différentes : Ensemble de chantre, triangle Sierpinski, tapis Sierpinski, courbe Koch, flocon de neige Koch, dragon Harter-Hathway et autres.

6. Les fractales rendent les choses beaucoup plus faciles processus complexes et des objets, ce qui est très important pour la modélisation. Ils permettent de décrire des systèmes et des processus instables et, surtout, de prédire l'avenir de ces objets.

Annexe 1

Fractales dynamiques et stochastiques

Prenons un point de départ z 0 sur plan complexe. Considérons maintenant une suite infinie de nombres sur le plan complexe, dont chacun découle du précédent : z 0 , z 1 = f(z 0 ), z 2 = f(z 1 ), ...z n+1 = f(z n ), Oùf( z) – toute fonction d’une variable complexe. Selon point de départ z 0 une telle séquence peut se comporter différemment : tendre vers l'infini lorsque n → ∞ ; converger vers un point final ; prendre cycliquement une série de valeurs fixes ; d'autres sont possibles options complexes. Lors de la teinture différentes couleurs Les points du plan complexe qui se comportent différemment donnent souvent lieu à des formes possédant des propriétés fractales.

Ensemble Mandelbrot

L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la séquence (z n ), Oùz 0 =0,z n+1 = z n 2 + c, fini (c'est-à-dire ne va pas à l'infini).

L'ensemble de Mandelbrot est l'une des fractales les plus célèbres, également en dehors des mathématiques, en raison de ses visualisations en couleurs. Ses fragments ne sont pas strictement similaires à l'ensemble original, mais avec des grossissements répétés, certaines parties deviennent de plus en plus similaires les unes aux autres.

Il est prouvé que l'ensemble est entièrement situé à l'intérieur d'un cercle de rayon 2 sur le plan. Par conséquent, nous supposerons que si pour un certain pointc séquence d'itérations de fonctionf c = z 2 + c avec valeur initialez = 0 après un grand nombre d'entre euxN (disons, 100) n'a pas dépassé ce cercle, alors le point appartient à l'ensemble et est peint en noir. En conséquence, si à un moment donné moinsN , l'élément de la séquence modulo devient supérieur à 2, alors le point n'appartient pas à l'ensemble et reste blanc. Ainsi, il est possible d'obtenir une image en noir et blanc de l'ensemble, obtenue par Mandelbrot. Pour le colorer, vous pouvez, par exemple, peindre chaque point hors de l'ensemble dans une couleur correspondant au numéro d'itération auquel sa séquence a dépassé le cercle.

Ensemble Julia

Tout point z du plan complexe a son propre comportement (reste fini, tend vers l'infini, prend des valeurs fixes) lors des itérations de la fonction f(z), et le plan entier est divisé en parties. De plus, les ensembles de points ayant un type de comportement spécifique ont souvent des propriétés fractales. Ce sont les ensembles de Julia pour la fonction f(z).

En ajoutant des perturbations aléatoires aux formules qui définissent une fractale, on peut obtenir des fractales stochastiques qui représentent de manière très plausible certains objets réels.

Annexe 2

Exemples de fractales et leurs propriétés étonnantes

Variantes de flocon de neige de Koch

a) Le flocon de neige de Koch « au contraire » est obtenu si l'on construit des courbes de Koch à l'intérieur du triangle équilatéral d'origine.

b) Lignes Cesaro : au lieu de triangles équilatéraux, on utilise des triangles isocèles avec un angle de base de 60° à 90°. Sur la figure, l'angle est de 88°.

c) Option Carré : les carrés sont complétés.

H -fractale

Tout commence par un chiffre en forme de lettre H, dans lequel les segments verticaux et horizontaux sont égaux. Puis une copie de celle-ci, réduite de moitié, est fixée à chacune des 4 extrémités de la figure. A chaque extrémité (il y en a déjà 16) est jointe une copie de la lettre H, déjà réduite de 4 fois. Et ainsi de suite.

À la limite, vous obtenez une fractale qui remplit un certain carré, doncH-fractale fait référence à des lignes qui remplissent une partie d'un plan, cependantla longueur totale de tous les segments formantH-fractal, infini.

Cette propriété Les fractales H ont été largement utilisées dans la production de microcircuits électroniques : s'il est nécessaire qu'un grand nombre d'éléments d'un circuit complexe reçoivent simultanément le même signal, alors elles peuvent être placées aux extrémités de segments d'une itération appropriée de la fractale H et connectée en conséquence.

Il existe d'autres courbes fractales qui remplissent une partie du plan. Un tel objet est apparu pour la première fois dans un article du mathématicien italien Giuseppe Peano en 1890. Peano a essayé de trouver une explication visuelle au fait qu'un segment et un carré ont la même épaisseur (si on les considère comme des ensembles de points). Ce théorème a déjà été prouvé par le mathématicien allemand Georg Cantor dans le cadre de la théorie des ensembles qu'il a inventée. L'exemple de Peano était une bonne confirmation de la justesse de Cantor.

Parfois, l'expression courbe de Peano ne fait pas référence à exemple spécifique, mais à toute courbe qui remplit une partie d'un plan ou d'un espace.

La courbe de Hilbert a été décrite par le mathématicien allemand David Hilbert en 1891.

Un autre exemple est la fractale de la « Croix grecque » :

Courbe de Gosper, ou flocon de neige de Gosper (décrit par le mathématicien et programmeur américain Bill Gosper) :

Arbre de Pythagore

Cette fractale est appelée ainsi parce que chaque trio de carrés se touchant deux à deux délimite un triangle isocèle rectangle et le résultat est une image qui est souvent utilisée pour illustrer le théorème de Pythagore : « Pantalon pythagoricienégaux dans toutes les directions. »

Il est clairement visible que l'ensemble de l'arbre est limité. Si le plus grand carré est unité, alors l'arbre s'insérera dans un rectangle de 6 × 4. Cela signifie que son aire ne dépasse pas 24. Mais en revanche, à chaque fois il est ajouté deux fois. plus de trois carrés que dans le précédent, et leurs dimensions linéaires sont fois moins. Par conséquent, à chaque étape, la même aire est ajoutée, qui est égale à l'aire de la configuration initiale, c'est-à-dire 2. Il semblerait qu'alors l'aire de l'arbre devrait être infinie, mais en fait là Il n’y a pas de contradiction ici, car assez rapidement les carrés commencent à se chevaucher et la surface n’augmente pas si vite. C'est encore fini, mais quand même valeur exacte est inconnu et constitue un problème ouvert.

Si vous modifiez les angles à la base du triangle dans l'arbre de Pythagore, vous obtiendrez des formes d'arbre légèrement différentes, appelées arbres de Pythagore soufflés. Et à un angle de 60°, les trois carrés seront égaux et l’arbre se transformera en un motif périodique sur le plan :

Courbe de prélèvement

Bien que cet objet ait été étudié par l'Italien Ernesto Cesaro en 1906, son autosimilarité et ses propriétés fractales ont été explorées dans les années 1930 par le Français Paul Pierre Levy.

En raison de sa ressemblance avec la lettre « C », écrite dans une police colorée, elle est également appelée courbe en C de Lewy.

Si vous regardez attentivement, vous remarquerez que la courbe de Levy ressemble à la forme de la couronne d’un arbre de Pythagore.

Variations de la courbe de prélèvement

a) Une courbe asymétrique sera obtenue si, au lieu d'un triangle rectangle isocèle, nous utilisons à chaque étape un autre triangle rectangle.

b) Une autre version de la courbe C de Levy peut être construite si vous commencez non pas par un segment, mais par la lettre P. Les trois premières, huitième et onzième étapes de la construction de cette courbe sont présentées ci-dessous :

c) Si l'on prend comme base un carré, on obtient l'île de Levi :

Dragon Harter-Haithaway

On pense que la fractale a reçu ce nom en raison de sa ressemblance avec les dragons chinois traditionnels.

La Dragon Fractal possède également une propriété intéressante : si vous découpez plusieurs tuiles en forme de fractale de dragon, elles peuvent être placées les unes à côté des autres de manière à ne laisser aucun espace. S'il y a beaucoup de ces tuiles, vous pouvez alors paver une partie de l'avion avec elles :

Annexe 3

Dimensions fractales et topologiques

Considérons plus en détail l'une des propriétés d'un ensemble fractal et introduisons les concepts de dimensions topologiques et fractales. La dimension topologique est le nombre de coordonnées nécessaires pour spécifier la position d'un point dans une figure. Ainsi, toute ligne (par exemple, un cercle ou une ligne droite) est unidimensionnelle - une seule coordonnée suffit pour indiquer avec précision un point, et le plan et la surface de la balle sont bidimensionnels. Examinons maintenant la définition de la dimension fractale.Notez que si l’on prend deux carrés de côtés 1 et 2, alors le premier carré sera 4 fois plus petit que le second. La dimension du carré est doncD= 2, et

Ainsi, la dimension fractale peut également être définie comme suit : si, lorsque la figure originale est réduite enNune fois qu'elle s'adapte à elle-mêmeM.fois, alors la dimension de cette figure est le nombreD, Où

Trouvons la dimension fractale de la courbe de Koch en utilisant cette définition. Notez que la courbe de Koch se compose de 4 parties (l'une d'elles est mise en évidence dans la figure ci-dessous), dont chacune est similaire à l'ensemble de la courbe, mais chacune de ces parties est 3 fois plus petite que la courbe :

Autrement dit, dans dans ce cas N = 3, M.= 4. Résoudre cette équation :

nous trouvons queD ≈ 1,261859...

Ainsi, puisque la fractale discutée ci-dessus est une courbe, sa dimension topologique est 1 et la dimension fractale est ≈ 1,261859... Ainsi, la dimension fractale de cette figure est supérieure à la dimension topologique et est fractionnaire, comme indiqué dans la propriété .

Annexe 4

Fractales dans la nature et la technologie

De nos jours, la théorie des fractales est largement utilisée dans divers domaines. activité humaine. En physique, les fractales apparaissent naturellement lors de la modélisation de processus non linéaires, tels que l'écoulement de fluides turbulents, les processus complexes de diffusion et d'adsorption, les flammes, les nuages, etc. Les fractales sont utilisées dans la modélisation de matériaux poreux, par exemple en pétrochimie. En biologie, ils sont utilisés pour modéliser des populations et décrire des systèmes. organes internes(système de vaisseaux sanguins). Après la création de la courbe de Koch, il a été proposé de l'utiliser pour calculer la longueur du littoral.

Les fractales sont utilisées en théorie de l'information pour compresser des données graphiques (la propriété d'autosimilarité des fractales est principalement utilisée ici - après tout, pour mémoriser un petit fragment d'image et les transformations avec lesquelles vous pouvez obtenir les parties restantes, beaucoup moins de mémoire est nécessaire que de stocker l'intégralité du fichier). Les fractales sont également utilisées pour créer de la musique fractale et pour le cryptage des données.

En radioélectronique, au cours de la dernière décennie, des antennes de forme fractale ont commencé à être produites. Prenant peu de place, ils assurent une réception du signal de haute qualité.

Et les économistes utilisent des fractales pour décrire les courbes de fluctuation des devises (cette propriété a été découverte par Mandelbrot il y a plus de 30 ans).

Mais les fractales sont plus largement utilisées dans la peinture par ordinateur, car les fractales sont des objets géométriques incroyablement beaux et mystérieux qui combinent une riche palette de couleurs, une variété et une répétabilité de formes géométriques.

Annexe 5

Jeux avec triangle et tapis Sierpinski

Nous considérons le triangle de Sierpinski comme un sous-ensemble du plan complexe et lui appliquons diverses transformations du plan complexe. Par exemple, construisons le triangle de Sierpinski sur segment unitaire axe réel.

Et maintenant nous appliquons la transformation d'inversion par rapport au centre du triangle au plan complexe :. Nous obtenons alors l'image suivante.

Ci-dessous des photos pourLa transformation d'inversion par rapport au centre du tapis a la forme Il s'avère que le triangle de Sierpinski est obtenu à la suite d'une des variétés de marche aléatoire d'un point sur un plan. Cette méthode est appelée le « jeu du chaos ». Avec son aide, vous pouvez construire d'autres fractales.

L’essence du « jeu » est la suivante. Un triangle régulier est fixé sur un planUN 1 UN 2 UN 3 . Marquez n’importe quel point de départB 0 . Sélectionnez ensuite au hasard l'un des trois sommets du triangle et marquez le pointB 1 - le milieu d'un segment ayant ses extrémités à ce sommet et àB 0 (sur l'image de droite, le sommet a été accidentellement sélectionnéUN 1 ). La même chose est répétée avec un pointB 1 obtenirB 2 . Ensuite, ils obtiennent les pointsB 3 , B 4 , etc. Il est important que le point « saute » de manière aléatoire, c'est-à-dire qu'à chaque fois le sommet du triangle soit choisi au hasard, indépendamment de ce qui a été choisi lors des étapes précédentes. C'est étonnant que si vous marquez des points dans une séquenceB je , alors le triangle de Sierpinski commencera bientôt à apparaître. Voici ce qui se passe lorsque 100, 500 et 2 500 points sont marqués.

Annexe 6.

Reproduire chez soi les développements du mathématicien Sierpinski

La beauté des mathématiques a une nature unique et il n’est pas facile pour un profane non préparé de l’apprécier. Mais c'est possible - par exemple, en utilisant l'exemple spectaculaire et visuellement évident des fractales, avec lesquelles un groupe de personnes s'est entraîné. Ces joyeux camarades ont transféré des figures géométriques composites ayant la propriété d'auto-similarité à la maison, y compris la cuisine.

Ils ont emprunté deux fractales célèbres nommées d'après l'inventeur : le triangle de Sierpinski et le tapis de Sierpinski. Profitant du fait que leur construction repose sur des formes simples et une méthode compréhensible, les mains habiles des passionnés se sont emparées de l'argile et de la pâte. Le résultat fut deux produits : des sculptures en argile et des biscuits au chocolat - le tout avec instructions étape par étape Type "Faites-le vous-même".

Comme vous pouvez le constater, dans ce cas, le triangle de Sierpinski est moulé à partir d'argile de deux couleurs. Rien ne vous empêche d'utiliser de la pâte à modeler plus abordable, ainsi que d'augmenter le nombre de couleurs. L'essentiel est de tout mesurer soigneusement avec une règle et d'être prudent. Et la méthode est accessible à l’entendement de l’enfant, car elle consiste à répéter les mêmes opérations. Théoriquement, le processus est sans fin, mais dans un exercice avec de l'argile, il est recommandé de se limiter à six itérations : de cette façon, le contraste reste toujours fort et le motif devient impressionnant.

Quant au tapis Sierpinski, le principe de sa création est similaire à la construction du triangle présenté ci-dessus, mais pour sa mise en œuvre à la maison c'est encore moins compliqué. Par conséquent, une femme au foyer déterminée et curieuse peut créer une telle fractale non seulement pour la beauté, mais aussi pour la nourriture - par exemple, en utilisant deux types de pâte.

Références

A. D. Morozov « Introduction à la théorie des fractales ». Moscou, 2002.

E. Feder « Fractales ». "Monde", 1997.

R. M. Kronover « Fractales et zaos dans les systèmes dynamiques. » Moscou, 2000

A. I. Azevich « Fractales : géométrie et art » // « Mathématiques à l'école ». – 2005. – N° 4.

Bozhogin S.V. Fractales et multifractales.

Chlyk V.A. À travers la géométrie fractale vers une nouvelle perception du monde.

Mandelbrot B.B. "Géométrie fractale de la nature."

Internet mondial.

Au chapitre 6, nous considérons les courbes de Koch planes de dimension , qui ne contiennent pas de points doubles, de sorte qu'elles peuvent être dites auto-sécées ou non ramifiées. Et le chapitre 7 est consacré aux courbes de Peano, dont la limite inévitable est des points doubles denses partout. Dans ce chapitre, nous avons l'intention de passer à l'étape suivante et d'explorer quelques exemples de figures auto-similaires intentionnellement ramifiées : courbes planes (), courbes spatiales () et surfaces (). Le nombre de points doubles dans une courbe auto-similaire ramifiée tend vers l’infini.

L'appareil mathématique utilisé dans ce chapitre n'est pas nouveau (bien qu'il soit connu de très peu de spécialistes) - ce qui est nouveau, c'est mon application pour décrire la Nature.

Serviette de Sierpinski - UN AUTRE MONSTRE

J'ai proposé le terme serviette Sierpinski pour désigner la figure représentée sur la Fig. 205. Sur la fig. 207 montre une version spatiale de la même figure. Les procédures de construction sont décrites dans les légendes des figures.

Dans Khan on lit : « Un point sur une courbe est appelé point de branchement si la limite de son voisinage arbitrairement petit contient plus de deux points, appartenant à cela c'est tordu... Bon sens, apparemment, insiste sur le fait qu'aucune courbe ne peut simplement être constituée uniquement de... points de branchement. Cette croyance évidente est réfutée... par la courbe de Sierpinski, dont tous les points sont des points de branchement.

TOUR EIFFEL : FORCE ET GRACE

Et encore une fois, Khan a tort avec ses vues, même s’il faut admettre que son choix de mots inhabituel (« apparemment ») s’avère très judicieux. Mon premier contre-argument est emprunté aux progrès de l’ingénierie. (Avant de commencer ma discussion sur les structures informatiques à la fin du chapitre 12, j'ai déjà dit que je ne voyais rien d'illogique à inclure systèmes artificiels avec une structure complexe en une véritable œuvre consacrée aux phénomènes de la Nature.)

Je soutiens que (bien avant Koch, Peano et Sierpinski) la tour construite par Gustave Eiffel à Paris incarnait consciemment l'idée d'une courbe fractale contenant de nombreux points de branchement.

En première approximation, la Tour Eiffel est constituée de quatre éléments en forme de A. Selon la légende, Eiffel aurait choisi la lettre A pour exprimer le mot Amour dans sa tour. Les quatre éléments en forme de A ont un sommet commun et les éléments en forme de A voisins ont une arête commune. De plus, une autre tour droite s'élève au sommet.

Notez que les éléments A et la tour supérieure ne sont pas constitués de poutres solides, mais de fermes colossales. Une ferme est un ensemble de maillons interconnectés rigidement fixés, dont chacun ne peut être déformé sans déformer au moins un des maillons voisins. Avec la même résistance, les fermes sont beaucoup plus légères que les poutres cylindriques pleines. Et Eiffel s'est rendu compte que les fermes dont les liens sont elles-mêmes des fermes sont encore plus faciles.

Buckminster Fuller a ouvert les yeux du monde sur le fait que le secret de la force est caché dans les points de branchement, mais les constructeurs expérimentés de cathédrales gothiques le savaient bien avant lui. Plus on avance dans l'application de ce principe, plus on se rapproche de l'idéal de Sierpinski ! Ancien étudiant Besikovich Freeman Dyson, à la recherche de structures solides et légères pour ses bâtiments interplanétaires, a décrit un jour la Tour Eiffel extrapolée à l'infini (, p. 646).

GROUPES DE PERCOLATION CRITIQUES

Revenons encore à la nature, ou plutôt à l'image de la nature décrite physique statistique. Je crois que lorsqu'on étudie la percolation à travers des réseaux, nous ne pouvons tout simplement pas nous passer d'un parent de la serviette Sierpinski. Au chapitre 13, qui a ouvert la discussion sur ce précédent, il a été avancé que les clusters de percolation sont fractals. J'irai maintenant plus loin et dirai que la structure ramifiée d'une serviette de Sierpinski représente un modèle très prometteur pour la structure des clusters de squelette.

Les physiciens apprécieront ce modèle principalement pour le fait qu’il fonctionne et qu’il fonctionne rapidement : l’article montre que l’utilisation d’un tel modèle permet d’effectuer des calculs de routine avec précision. Les détails sont trop techniques pour être inclus dans cet essai, mais les raisons pour lesquelles je suis arrivé à ces conclusions peuvent être intéressantes. J'y ai d'abord pensé lorsque j'ai remarqué la similitude entre la serviette Sierpinski et les squelettes de cluster illustrés dans la figure suivante :

La raison la plus évidente réside dans les trois clusters laissés vides après suppression des connexions pendantes (formées après que le cluster a été réduit à un squelette) et les clusters entièrement contenus dans le cluster qui m'intéressait. Deuxième raison : au chapitre 13 nous avons montré que l’auto-similarité est diplôme le plus élevé une propriété souhaitable pour un modèle géométrique d'un cluster de percolation, et la ramification de la lingette de Sierpinski est précisément auto-similaire. Et enfin, les dimensions de ces deux structures sont si proches qu’il ne peut guère s’agir d’une simple coïncidence ! Selon l'estimation de S. Kirkpatrick, un amas plat a une dimension étonnamment proche de celle d'une serviette Sierpinski ! La dimension du cluster spatial coïncide presque avec la dimension fractale du réseau asymétrique sur la figure. 207. De plus, il est montré que l'identité de la dimension de l'autoroute et de la dimension de la serviette généralisée est préservée dans . Nous présenterons un peu plus tard un autre argument en faveur du modèle de la serviette sous la forme de la dernière application du branchement.

TAPIS SIERPINSKI TRINITÉ

Passons des réseaux triangulaires aux réseaux rectangulaires. Ils démontrent une grande variété de conceptions possibles - des courbes dans le plan et dans l'espace et des surfaces dans l'espace. Quant aux courbes, malgré leur ressemblance extérieure avec la serviette de Sierpinski, elles en sont très différentes au point de vue fondamental du branchement, sur lequel nous reviendrons après avoir défini ces courbes.

L'extension littérale de la méthode de Cantor consistant à retirer les tiers médians du plan est décrite dans l'explication de la Fig. 205 ; L'initiateur d'une telle construction est la place. La fractale obtenue en répétant sans cesse ce processus est largement connue sous le nom modeste de tapis ternaire de Sierpinski. Sa dimension.

TAPIS FRACTALS NON-TRINITÉ

Pour construire un « tapis avec un grand médaillon au centre », on écrit, comme d'habitude, où est un nombre entier supérieur à 3 ; Prenons un carré comme initiateur, un carré avec un côté dont le centre est au même point qu'un trema, et un anneau étroit de carrés avec un côté comme générateur. La dimension d'un tel tapis est . Si nous prenons un entier impair, un sous-carré de côté r et de centre au même point que le centre de l'initiateur, et un large anneau de petits carrés comme générateur, nous obtenons un « tapis avec un petit médaillon au centre ». La dimension d'un tel tapis est . Ainsi, dans les tapis centrés, il est possible d'obtenir une approximation arbitrairement proche de n'importe quelle valeur comprise entre 1 et 2.

Les tapis non centrés sont définis à . Par exemple, quand et vous pouvez placer un trima composé d'un sous-carré dans le sous-carré supérieur droit. L'ensemble limite correspondant s'avère être une serviette de Sierpinski, construite à partir d'un triangle formant la moitié inférieure gauche du carré.

MOUSSE FRACTALE DE LA TRINITÉ

La propagation littérale du tapis ternaire dans l'espace commence par le retrait du sous-cube du milieu (la 27e partie du volume du cube d'origine) du cube sous forme de trema, après quoi il reste une « coquille » de 26 sous-cubes. Je propose d'appeler la fractale obtenue grâce à cette procédure une mousse fractale ternaire. Sa dimension.

Chaque trema est ici entouré de tous côtés par une limite continue, divisée en un nombre infini de couches infiniment minces. densité infinie. Pour passer d'un point situé dans un triplet à un point situé dans un autre triplet, il faut passer par un nombre infini de couches. Cela n’est pas sans rappeler la « mousse espace-temps » qui, selon J. A. Wheeler et J. W. Hawking, constitue la structure la plus fine de la matière. Cependant, je suis obligé d’admettre que je ne connais pas suffisamment ce sujet et je n’ose donc pas en parler ici.

ÉPONGE DE MENGER FRACTALE TRINITY

Carl Menger propose une autre figure comme trem : une croix, du centre de laquelle dépasse une saillie devant et derrière. Dans ce cas, les cubes restent reliés entre eux par des sous-cubes de côté 1/3. Parmi ces sous-cubes, douze forment des « barres » ou des cordes, et les huit autres sont des nœuds ou des connecteurs. La dimension de la limite définie (voir Fig. 208) est . J'appelle cette structure une éponge car ici le caillé et le lactosérum sont des ensembles connectés. Vous pouvez imaginer comment l’eau s’écoule librement entre deux points quelconques de la zone de sérum.

Pour obtenir une combinaison de cordes et de draps, prenez comme trem une croix trinitaire avec une seule saillie - devant. Et si en même temps vous changez de temps en temps la direction de la saillie, les feuilles de la structure finale se révéleront pleines de trous. Il convient peut-être de mentionner ici que je pensais à toutes ces formes lorsque je cherchais des modèles pour décrire l'intermittence turbulente - avant même d'en avoir entendu parler dans Menger.

ÉPONGES ET MOUSSE NON-TRINITY

Pour obtenir des éponges de Menger généralisées à base non ternaire, le trema doit être une combinaison de trois cylindres à bases carrées soumise aux conditions suivantes : l'axe de chaque cylindre doit coïncider avec l'un des axes du cube unité, la longueur de chaque cylindre doit être égal à 1, et les côtés de sa base doivent être parallèles aux autres axes du cube. Plus le côté de la base est long, plus l'éponge obtenue est « légère ». La plus grande longueur possible du côté de la base pour le boîtier est , le générateur dans ce cas a la forme d'une combinaison de cubes avec côté . D'où la dimension. De la même manière, nous obtenons une éponge "dense" (uniquement pour les impairs) - la longueur du côté de la base du cylindre dans ce cas est égale à . Lorsque le générateur ressemble à une combinaison de cubes avec un côté. Et la dimension est maintenant égale .

Les mousses fractales sont généralisées de la même manière. Avec des mousses « épaisses » elles donnent de la dimension , et « clairsemé » - . Si les vides sont grands et que la dimension est proche de 2, alors la mousse ressemble à de l'Emmental trop spongieux ; avec de petits vides, la mousse ressemble également à un autre fromage gastronomique - l'Appenzell.

RÉPARTITION DE LA TAILLE DES VIDES

Les trois éponges se fondent en un tout, tandis que les trois tapis et mousses sont des vides isolés les uns des autres, comme des pauses dans la poussière de Cantor (voir chapitre 8). La distribution de leur échelle linéaire obéit à la règle

,

où est une constante. Nous connaissons bien cette règle grâce à notre discussion sur les vides dans la poussière de Cantor, ainsi que sur les îles et les amas au chapitre 13.

CONCEPT DE RÉSEAU FRACTAL. GRILLES

En géométrie standard, un treillis est un ensemble de lignes parallèles délimitant des carrés, des triangles ou d'autres figures régulières identiques. Le même terme s'applique apparemment aux fractales régulières, dont deux points quelconques peuvent être reliés l'un à l'autre par deux chemins différents qui ne se croisent nulle part ailleurs. Dans le cas d'une fractale irrégulière, par exemple aléatoire, je remplace le treillis par un réseau.

Une comparaison plus approfondie des réseaux standard et fractals révèle des différences très significatives. La première est que les réseaux standards sont invariants par translation mais pas invariants par échelle, alors que l’inverse est vrai pour les réseaux fractaux. Deuxième différence : lorsque la taille des cellules d’un réseau standard diminue, le réseau finit par converger vers un plan. De plus, certains réseaux standard peuvent être interpolés en plaçant des lignes supplémentaires à mi-chemin entre les lignes existantes et en poursuivant ce processus à l'infini. Dans ce cas, le réseau converge également vers un plan. De même, si l’interpolation d’un réseau spatial standard est possible, alors tout l’espace devient sa limite. Autrement dit, la limite d’un réseau standard n’est pas un réseau. Dans le cas des fractales, la situation est exactement le contraire : la limite d'un réseau fractal approximatif est le réseau fractal.

Le terme s'applique également aux mousses fractales - elles peuvent être considérées comme des réseaux fractals ramifiés.

DIMENSIONS FRACTALES DES SECTIONS

Règle de base. Dans de nombreux cas, lors de l’étude des fractales, il est important de connaître les dimensions des sections linéaires et planes. L’observation principale ici (nous l’avons utilisée au chapitre 10 pour montrer que la dimension de la turbulence) concerne la section d’une figure fractale plane par un intervalle « indépendant de la fractale ». Il s’avère que si une section n’est pas vide, alors sa dimension est « presque certainement » égale à .

La valeur correspondante pour le cas spatial est .

Exceptions. Malheureusement, ce résultat est très difficile à illustrer lorsqu’il s’agit de fractales non aléatoires possédant des axes de symétrie. Les intervalles auxquels nous prêtons d'abord attention sont parallèles à ces axes et, par conséquent, sont atypiques, et presque toute section simple par un autre intervalle appartient à l'ensemble exceptionnel auquel règle générale sans objet.

Prenez par exemple le tapis Sierpinski, l'éponge ternaire Menger et la mousse ternaire. Une valeur qui devrait presque certainement être la dimension de la section silhouette plate segment, sera donc égal à :

Notons x l'abscisse de l'intervalle parallèle à l'axe y du tapis Sierpinski. Si un nombre écrit dans le système numérique ternaire se termine par une séquence infinie de zéros et de deux, alors les sections elles-mêmes représentent des intervalles, ce qui signifie qu'elles sont plus grandes que prévu. Si x se termine par une séquence infinie de uns, alors les sections sont des ensembles poussiéreux de Cantor de dimension , qui est trop petite. Et si elle se termine par une séquence périodique de périodes, comprenant des uns et des zéros ou des deux, alors la dimension des sections a la forme . La valeur attendue est obtenue uniquement à .< То же верно и в случае случайной последовательности цифр в троичной записи числа . Таким образом, мы получаем три различных размерности - наибольшую, наименьшую и среднюю.

Des résultats très similaires sont obtenus dans le cas spatial.

Quant à la serviette Sierpinski, sa taille la plus probable est , cependant, les valeurs de la dimension des sections « naturelles » varient de 1 à 0. Par exemple, si un court intervalle passant par le milieu d'un des côtés de la serviette est suffisamment proche de la perpendiculaire, alors son intersection avec la serviette sera un seul point (dimension de section).

La variété de ces sections spéciales s'explique en partie par la régularité des figures originales. En revanche, la section la plus économique (et pas nécessairement une ligne droite) constitue inévitablement la base des concepts de dimension topologique et de degré de ramification, vers lesquels nous nous tournons maintenant.

FRACTALES RAMIFIÉES COMME COURBES ET SURFACES

Comme nous l'avons déjà noté, le terme « courbe » est utilisé dans cet essai comme l'équivalent de l'expression « une figure connectée avec une dimension topologique ». D’une manière générale, un mathématicien ne trouvera pas une telle formulation entièrement satisfaisante, mais les expressions exactes de ce concept sont très délicates. Heureusement, au chapitre 6, pour expliquer pourquoi toute courbe de Koch ayant un initiateur mérite le titre de courbe, une simple considération suffisait : comme l'intervalle lui-même, la courbe de Koch est connexe, mais se déconnecte lorsqu'on supprime tout point appartenant à il sauf 0 et 1 Et la limite d'un flocon de neige est similaire à cet égard à un cercle - il est connecté, mais devient déconnecté si deux de ses points sont supprimés.

Pour le dire de manière plus pédante (comme nous le devrions maintenant), la dimension topologique est définie de manière récursive. Pour un ensemble vide. Pour tout autre ensemble, la valeur est supérieure de un à la plus petite dimension de la « section » séparant l’ensemble. La dimension des ensembles finis et de poussières de Cantor est , puisque pour les séparer il faut supprimer l'ensemble vide. Les ensembles connectés suivants se déconnectent lorsqu'une « section » avec une dimension est supprimée : cercle, intervalle, limite d'un flocon de neige de Koch, serviette et tapis Sierpinski, éponges Menger. (Dans les trois derniers cas, il suffit d'éviter les sections spéciales comprenant des intervalles.) Par conséquent, la dimension de tous les ensembles répertoriés est .

Sur la base des mêmes considérations, la mousse fractale est une surface de dimension.

Considérons une autre version de la preuve que pour une serviette, tous les tapis et toutes les éponges à dimension topologique . Puisqu'il existe un nombre entier, il résulte de l'inégalité qu'il doit être égal à 0 ou à 1. Mais les ensembles considérés sont connexes, ce qui signifie que la dimension ne peut pas être inférieure à 1. La seule solution est : .

DEGRÉ DE BRANCHEMENT DE LA COURBE

La dimension topologique et les notions correspondantes de poussière, de courbe et de surface ne nous donnent qu'une classification de premier niveau.

En fait, deux ensembles finis, contenant respectivement des points, ont la même dimension mais diffèrent topologiquement. Et la poussière de Cantor est différente de toute poussière finie.

Voyons comment appliquer une distinction parallèle aux courbes en fonction du nombre de points contenus dans un ensemble (< его «мощности» ), что приведет нас к топологическому понятию степени ветвления, определенному в начале двадцатых годов Паулем Урысоном и Карлом Менгером. Это понятие почти не упоминается в математической литературе (за исключением трудов самих первопроходцев), зато приобретает все большее значение в физике - любое чудовище проще изучать в прирученном виде, нежели в диком. Оно показывает также, что, рассматривая сначала салфетку, а лишь затем ковер, мы будем руководствоваться не только эстетическими соображениями или стремлением к завершенности.

Le concept de degré de branchement inclut une section d'un ensemble contenant le plus petit nombre de points qui doivent être supprimés pour séparer l'ensemble. De plus, il inclut les voisinages de tous les points appartenant à l'ensemble.

Cercle. Pour une transition en douceur de la géométrie standard à la géométrie fractale, commençons par appeler un cercle de rayon 1 un ensemble. Un cercle avec un centre en un point se coupe en des points, sauf dans les cas où le rayon est supérieur à 2 - dans ce cas. Un disque délimité par un cercle est appelé voisinage d’un point. Ainsi, tout point se trouve dans un voisinage arbitrairement petit, dont la limite se coupe en certains points. C'est tout : si est la limite d'un voisinage général d'un point, pas nécessairement ronde, mais « pas trop grande », alors égale à au moins 2. Les mots « pas trop grande » dans la phrase précédente peuvent sans aucun doute prêter à confusion, cependant , malheureusement, il n'est pas possible de les éviter. La valeur est appelée degré de ramification du cercle. Notez que pour tous les points du cercle, cette valeur est constante.

Serviette de table. Supposons maintenant que l'ensemble soit une serviette Sierpinski construite à partir de trois. Ici, ce n'est plus pareil pour tous les points. Permettez-moi d'utiliser le raisonnement de Sierpinski pour montrer qu'en tout point de l'ensemble, à l'exception des sommets initiateurs, la valeur peut être soit ou.

La valeur fait référence aux sommets de toute approximation finie de l'utilisation de triangles. Le sommet de l’approximation d’ordre est le sommet commun à deux triangles de côté 2. Les cercles avec un centre au point et un rayon (à ) coupent l'ensemble en 4 points et délimitent arbitrairement de petits quartiers du point. Et s'il limite un voisinage « suffisamment petit » d'un point (étant donné que les sommets de l'initiateur se trouvent à l'extérieur de ), alors on peut montrer qu'il coupe en au moins 4 points.

La valeur caractérise tout point de l'ensemble qui est la limite d'une séquence infinie de triangles, dont chacun est contenu dans le triangle qui le précède et possède des sommets différents de ceux de son prédécesseur. Les cercles décrits autour de ces triangles coupent l'ensemble en 3 points, tout en limitant arbitrairement de petits voisinages du point. Dans ce cas, s'il limite un voisinage suffisamment petit du point (les sommets de l'initiateur doivent également se trouver à l'extérieur), alors on peut montrer qu'il se coupe en au moins 3 points.

Tapis. Lorsqu'un ensemble est un tapis Sierpinski, on obtient un résultat radicalement différent. L'intersection de la limite d'un quartier suffisamment petit représente un ensemble infini de points, quels que soient les paramètres , ou .

Commentaire. Dans cette dichotomie fini/infini, les serviettes diffèrent peu des courbes standards, tandis que les tapis ne se distinguent pas des avions.

Uniformité. Unicité. Désignant à la fois les valeurs les plus petites et les plus grandes pouvant être atteintes en un point appartenant à l'ensemble, Uryson prouve que . Le branchement est dit homogène si l'égalité est satisfaite, cela se produit quand , comme dans les courbes fermées simples, ou quand .

Pour les autres réseaux, où , je propose le terme quasihomogène. L'exemple le plus simple et le plus connu de tels treillis est la serviette Sierpinski auto-similaire. D'autres exemples non aléatoires sont inclus dans la collection collectée par Uryson (voir) et ne sont pas auto-similaires. Ainsi, les conditions de quasi-homogénéité et d'autosimilarité sont simultanément satisfaites par un seul ensemble connu : la serviette Sierpinski. Est-il possible de confirmer strictement cette unicité apparente ?

Grilles standards. Ici, le degré de ramification varie d'une valeur minimale de 2 pour tous les points du réseau à l'exception des nœuds, à une valeur maximale finale variable obtenue aux nœuds du réseau : 4 (treillis carré), 6 (treillis triangulaire ou cubique) ou 3 (treillis hexagonal). ). Cependant, à mesure que la taille des cellules d'un réseau standard de tout type diminue, celui-ci se transforme d'une région courbe en une région plane et le degré de sa ramification tend vers l'infini.

Ce dernier devient plus évident si l’on remplace l’infinitésimal par l’infiniment grand dans un réseau dont la taille de cellule est fixe. Afin d'isoler une zone toujours croissante du réseau, il faudra traverser un nombre indéfiniment grand de points.

Définition formelle. < См. и , с. 442.

APPLICATIONS PRATIQUES DU BRANCHAGE

Posons-nous la question habituelle. Même si les figures de Sierpinski, Menger et autres peuvent intéresser les mathématiciens, n'est-il pas évident que pour celui qui étudie la Nature, le degré de ramification ne peut présenter aucun intérêt ? La réponse est tout aussi familière – pour vous et moi ! - j'aime la question. Le degré de ramification devient déjà significatif dans « monde réel» approximations finies obtenues en arrêtant l'interpolation conduisant à la fractale à un seuil interne fini positif.

En fait, si l'on donne une approximation d'une serviette Sierpinski composée de triangles remplis de longueur de côté, alors on peut séparer la région échelle linéaire qui dépasse , en supprimant simplement trois ou quatre points, dont chacun appartient à la limite entre deux vides adjacents. Ce nombre (3 ou 4) ne change pas à mesure que l'approximation s'améliore. Par conséquent, du point de vue du branchement, toutes les approximations de serviettes peuvent être considérées comme des courbes.

Tous les tapis, au contraire, ont une propriété commune : aucune paire de vides n'a de limite commune. Pour séparer l'approximation finie d'une telle figure, lorsque l'on considère que l'on ignore les vides plus petits que , il est nécessaire de supprimer des intervalles entiers. Et le nombre de ces intervalles augmente à mesure que . Wyburn a montré que toutes les courbes fractales possédant cette propriété sont topologiquement identiques (< гомеоморфны ) и характеризуются тем, что никакая их часть не может быть отделена удалением одной точки.

Au vu des remarques précédentes, il n'est pas surprenant que la finitude des branchements trouve des domaines d'application aussi évidents et bien définis dans les cas où la géométrie fractale est appelée à déterminer en détail la proportion dans laquelle une courbe fractale plane combine ses deux limites standards : droites et planes. Pour résumer, on peut dire que connaître la dimension fractale d’une courbe n’est en aucun cas suffisant. Par exemple, lors de l'étude des phénomènes critiques pour les modèles d'Ising sur un réseau fractal, les auteurs des travaux ont constaté que les résultats les plus importants (< будь то при нулевой или при положительной температуре ) непосредственно зависят от конечности величины .

Le moment est maintenant venu de donner une explication pour laquelle nous n’étions pas prêts auparavant. La raison pour laquelle le squelette du cluster dans la percolation critique de Bernoulli est mieux modélisée par une serviette de Sierpinski plutôt que par un tapis est clarifiée par la découverte suivante de Kirkpatrick. Même dans des réseaux extrêmement grands, la ligne critique peut être déconnectée en supprimant un certain petit nombre de connexions, essentiellement inchangées (valeurs de l'ordre de 2). Même en tenant compte de toutes les déviations possibles, cette découverte me semble une preuve très convaincante que .

FORME ALTERNATIVE DE BRANCHEMENT

Il existe deux variantes du flocon de neige de Koch qui permettent de se ramifier sans former de boucles. La première est une courbe plate dont l'initiateur est un carré et le générateur ressemble à ceci :

Comme vous pouvez le voir sur la figure, la courbe obtenue ne ressemble pas du tout à un flocon de neige :

Un autre exemple est une surface de volume nul, d'aire infinie et de dimension égale à . L'initiateur est un tétraèdre régulier. Au quart médian de chaque face (c'est-à-dire à un triangle dont les sommets sont les milieux des arêtes délimitant la face) est attaché un autre tétraèdre dont les dimensions linéaires sont divisées par deux. La procédure est répétée avec chaque face de la face régulière (asymétrique et non convexe) à 24 côtés résultante, puis encore et encore à l'infini. À partir de la deuxième étape de construction, les tétraèdres ajoutés se touchent avec leurs faces sans auto-intersections. Finalement, ils remplissent toute la surface de l'initiateur. Appelons chaque quart de cette structure, cultivée sur l'une des faces de l'initiateur, une pyramide de Koch.

SECRETS DE LA PYRAMIDE DE KOCH

La pyramide de Koch est vraiment magnifique : vue d'en haut, sa forme est très simple, mais elle contient de nombreux passages et chambres secrets qui étonneront même l'imagination la plus folle.

Vue de dessus, la pyramide de Koch est un tétraèdre dont la base est un triangle équilatéral. Quant aux trois autres faces, ce sont des triangles isocèles droits reliés par des sommets à angle droit. Si on applique trois pyramides de Koch à trois faces tétraèdre régulier, alors vous obtenez un simple cube.

Maintenant, soulevons notre pyramide et secouons le sable du désert. En regardant sa base à une certaine distance, on voit qu'elle est divisée en quatre triangles équilatéraux égaux. Cependant, à la place du triangle du milieu se trouve un trou menant à une « chambre du premier ordre », qui a la forme d'un tétraèdre régulier, dont le quatrième sommet coïncide avec le sommet de la pyramide. En nous rapprochant et en ayant l'occasion de voir des détails plus petits, nous découvrons que les triangles réguliers situés dans les coins de la base et bords supérieurs Les chambres du premier ordre ne sont pas non plus des surfaces lisses. Leur douceur est perturbée par les chambres tétraédriques du second ordre. De même, en examinant les chambres du deuxième ordre, nous voyons qu'au milieu de chaque paroi triangulaire se trouve un trou triangulaire menant à la chambre du troisième ordre. Plus nous plongeons profondément dans la pyramide, plus les salles s’ouvrent à nos yeux et il n’y a pas de fin en vue.

La somme des volumes de toutes les chambres est exactement égale au volume de la pyramide de Koch entière. D'un autre côté, si l'on suppose que les bases des chambres font partie de ces chambres, et que les trois autres faces n'en font pas partie, alors il s'avère que les chambres ne se coupent en aucun point. Si les bâtisseurs de notre pyramide avaient dû creuser des chambres dans l'épaisseur de la roche, ils auraient dû enlever toute la roche, ne laissant qu'une fine coque. La courbe avec laquelle la pyramide de Koch repose sur le plan et les « murs » des chambres sont les serviettes de Sierpinski.

TRIMES ET TREILLIS SPHERIQUES

Les auteurs de l'ouvrage ont involontairement apporté une contribution significative à la géométrie fractale en essayant de remplir de boules dont le rayon a la forme , où ; le nombre de boules de rayon par unité de volume a la forme) et ainsi de suite. Cette conception implique les limites supérieures suivantes de la valeur

ANNONCE : LACUNARITÉ

Même après avoir ajouté le degré de ramification aux dimensions, la fractale reste à bien des égards mal définie. Une autre propriété supplémentaire, que j'ai appelée lacunarité, est particulièrement importante. Les vides dans une fractale très lacunaire ont des caractéristiques très grande taille, et vice-versa. Les définitions de base pourraient être données ici, mais il me semble plus approprié de reporter cela au chapitre 34.

Riz. 205. FLÈCHE SIERPINSKI (DIMENSION DE LIMITE D ~1.5849)

Dans Sierpinski, il construit une courbe dont l'initiateur est l'intervalle, et le générateur et le deuxième teragon ressemblent à ceci :

Les étapes suivantes de la construction sont les suivantes :

À quoi ressemblera cette courbe sur l'un des étapes ultérieures construction, vous pouvez vous faire une idée en regardant le contour du « littoral » en haut de la Fig. 205 (au-dessus du plus grand triangle noir).

Auto-touchant. Les approximations finies d'une courbe n'ont pas de points auto-tangentiels (comme au chapitre 6), mais la courbe limite contient un nombre infini de tels points.

Flèches remplissant l'avion. Flèche sur la Fig. 205 (si vous le posez sur le côté, il ressemblera davantage à un poisson tropical) est défini comme la section de la courbe de Sierpinski comprise entre deux retours successifs jusqu'au point d'auto-toucher - en l'occurrence, le milieu de l'intervalle. De telles flèches peuvent remplir un avion ; tandis que les flèches adjacentes sont reliées les unes aux autres dans une sorte d'extrapolation folle de fermeture velcro. (Ou, pour revenir à la métaphore précédente, les nageoires d’un poisson s’insèrent exactement entre les nageoires de deux autres poissons.) De plus, en fusionnant quatre flèches adjacentes bien choisies, nous obtenons exactement la même flèche, deux fois plus grande.

Trois serviettes Sierpinski. J'appelle la courbe de la serviette Sierpinski d'après une manière alternative de la construire, qui est basée sur la découpe des « trois » - une méthode largement utilisée dans les chapitres 8 et 31 à 35. Nous obtenons la serviette Sierpinski en ayant comme initiateur ce qui suit : un générateur, et deux étapes de construction ultérieures d'ensembles fermés :

Ce générateur de trema contient le générateur linéaire ci-dessus comme son propre sous-ensemble.

Bassin versant. La première fois que j'ai rencontré la flèche de Sierpinski - même si je ne connaissais pas Sierpinski à cette époque - c'était en étudiant la forme d'un bassin versant.

Riz. 207. WEB FRACTAL ASYMÉTRIQUE (DIMENSION)

Ce réseau est obtenu en construisant récursivement un tétraèdre fermé (initiateur) et un ensemble de quatre tétraèdres plus petits (servant de générateur).

Sa dimension. Essayons de le projeter le long de la ligne reliant les milieux de n'importe quelle paire d'arêtes opposées. La projection du tétraèdre initiateur sera un carré, que nous appellerons initial. Chaque tétraèdre de deuxième génération est projeté sur un sous-carré dont la longueur de côté est égale à 1/4 de la longueur de côté du carré d'origine, etc. Ainsi, la totalité de la toile est projetée sur le carré d'origine. Les limites des sous-carrés se chevauchent.

Riz. 208. TAPIS SIERPINSKI (DIMENSION) ET ÉPONGE MENGER (DIMENSION)

Tapis Sierpinski. Sierpinski construit une courbe dont l'initiateur est un carré plein, et le générateur et les deux téragones suivants sont présentés ci-dessous :

La superficie d'un tel tapis disparaît et le périmètre total de ses vides tend vers l'infini.

Riz. 208. L'éponge de Menger. Le principe de construction est évident. En poursuivant la construction à l'infini, on obtient un certain reste appelé éponge de Menger. Je regrette que, dans mes essais précédents, j'en ai attribué par erreur la paternité à Sierpinski. (La figure est reproduite à partir du livre Geographic Studies de Leonard M. Blumenthal et Carl Menger avec l'aimable autorisation de ses éditeurs, W. H. Freeman & Co. © 1970.) Les intersections de l'éponge avec les médianes ou diagonales du cube original sont ensembles de Cantor ternaires.

Fusion des îles. Le tapis et la serviette Sierpinski peuvent être obtenus d'une autre manière - une autre généralisation de la récursion de Koch, permettant l'auto-chevauchement, qui n'est cependant pris en compte qu'une seule fois.

Pour obtenir une serviette, l'initiateur doit prendre un triangle régulier, et le générateur doit prendre le chiffre indiqué à gauche dans la figure ci-dessous. Pour obtenir un tapis, nous prendrons un carré comme initiateur, et la figure présentée à droite servira de générateur.

Nous retrouvons ici deux phénomènes qui nous sont familiers au chapitre 13 : le littoral de chaque île est rectifiable, donc sa dimension est 1, tandis que la dimension d'une serviette ou d'un tapis exprime le degré de fragmentation du territoire (c'est-à-dire le degré de sa division en îles) plutôt que le degré d'irrégularité des côtes des îles.

Sinon, le résultat est complètement nouveau : au chapitre 13, la mer est un ensemble connecté, qui ressemble à une véritable interprétation topologique de l’espace maritime ouvert. Il est également ouvert au sens de la topologie des ensembles, c'est-à-dire que sa frontière ne lui appartient pas. La nouveauté introduite par cette construction réside dans le fait que les îles Koch peuvent désormais « fusionner » asymptotiquement en une sorte de super-île continue, mais aucun continent n’en émerge et les côtes forment un treillis en combinaison.

< С точки зрения топологии, всякий ковер Серпинского является плоской универсальной кривой, а губка Менгера представляет собой пространственную универсальную кривую. То есть (см. , с. 433 и 501) эти фигуры оказываются самыми сложными кривыми соответственно в плоскости и в пространстве любой более высокой размерности.

Riz. 210. FENDAGE DANS LES CHAMBRES À NEIGE (DIMENSION D ~1.8687)

Il y a bien longtemps, dans un pays lointain, dans les magnifiques Chambres enneigées, le Grand Souverain était assis avec sa suite. Cependant, une scission se produisit entre ses sujets, suivie d'une guerre dans laquelle aucun des deux camps ne prit le dessus. Et puis les Sages ont tracé une frontière qui divisait les Chambres en deux, afin que les représentants du Nord et les représentants du Sud puissent y entrer sans craindre d'entrer en territoire hostile.

Mystères du labyrinthe. Qui contrôle la Grande Chambre et comment peut-on y entrer de l’extérieur ? Pourquoi certaines petites chambres ne sont-elles orientées vers aucune partie du monde ? Un indice peut être trouvé dans l’arbre aux singes de la Fig. 55.

Parlons d’abord des problèmes paradoxaux associés aux tapis.

La première tâche s’appelle « un peu de morsure ».

Imaginez que vous avez dressé des rats : ils ont appris à mordre exactement la moitié du fromage disponible. Si vous les relâchez dans le fromage non pas en bloc, mais un à la fois, alors chaque rat suivant mordra la moitié de ce qui reste, et la partie restante diminuera et diminuera avec chaque rat qui mord le fromage. Mais si tu as nombre infini des rats, alors à la fin (ça paraît drôle par rapport à l'infini, mais honnêtement) il ne restera plus rien du fromage. En effet, le premier mange la moitié du fromage, le second un quart, soit la moitié de la moitié, un tiers - un huitième, c'est-à-dire moitié de moitié de moitié. Tout ce qui est consommé est considéré comme suit : .

ce qui signifie qu'à la fin de l'infini, les rats mangeront tout le fromage que vous leur avez donné.

Mais si vous entraînez des rongeurs à récupérer un tiers de l’argent liquide, tout deviendra un peu plus compliqué. Le premier en mangera un tiers. Mais le second n’est pas un neuvième. Pourquoi?

L'explication est assez simple. Après que le premier rat ait mangé sa part, il restait du fromage, ce qui signifie que le deuxième rat mangera, c'est-à-dire . Le troisième, comme on peut le calculer, mangera c'est-à-dire , le quatrième - de, c'est-à-dire Comprenez-vous le principe ? En fin de compte, il ne restera plus rien du fromage.

Imaginez maintenant que vous ayez divisé le fromage en deux et qu'une des parties (les moitiés, mais les rats ne le savent pas) ait été déclarée interdite - par exemple, saupoudrée de poison - et que les rats aient été autorisés à mordre la moitié du fromage. deuxième. Comme vous l'avez deviné, il ne restera rien de la moitié autorisée et toute la moitié interdite restera.

Ce type d'entraînement de rats est particulièrement intéressant, dans lequel vous ne saupoudrez pas de poison sur la moitié du fromage, mais vous obtenez quand même quelque chose (c'est pour ne pas vous empoisonner). Pour ce faire, vous pouvez par exemple apprendre aux rats à mordre une quantité initiale de fromage. À la fin du déjeuner interminable, les rats vous laisseront 1/3 du fromage - ceci est calculé comme suit :

Dans notre cas, vous devez soustraire deux de cinq, vous obtenez trois, et si vous divisez un par trois, vous n'obtenez qu'un tiers.

Si, pour une raison quelconque, vous avez manqué ce numéro, vous y reviendrez dans quelques minutes. Ou des années. Ou après avoir lu le message. Ou par lecture secondaire. Ou dans la prochaine vie. Après tout, une personne n'atteint la perfection que lorsque, dans l'une de ses vies antérieures, elle était mathématicien.

Mais même si vous revenez aux chiffres seulement dans votre prochaine vie, vous vous souviendrez inévitablement de ceci : .

La deuxième tâche s'appelle « Un peu sur le fractionnement ».

Imaginez que vous décidez d'accrocher une assiette au mur. Il n'y a ni colle ni ruban adhésif dans la maison - seulement des clous. Vous essayez de clouer une assiette et, bien sûr, elle se divise en plusieurs morceaux. De plus, à l’endroit où vous avez enfoncé le clou, une partie de la plaque s’est complètement effondrée.

Mais tu es persistant. Et vous essayez de clouer chaque morceau de plaque au mur. Peut-être prendre des ongles plus petits. Bien sûr, chacun des fragments s'effondre en ses propres fragments plus petits, et au milieu des fragments précédents, quelque chose s'effondre irrévocablement. Qu'il en soit ainsi.

Si vous persistez infiniment et essayez de clouer les fragments résultant d'un nombre infini de tentatives, il ne restera pas un morceau de plaque qui n'ait été percé par un clou et qui n'ait un trou émietté. Mais, comme vous pouvez déjà le deviner, il n'est pas du tout nécessaire qu'il ne reste plus rien de l'assiette. Tout dépend de la façon dont vous avez entraîné vos ongles. S'ils n'ébrèchent pas trop la plaque, la surface totale de la plaque ébréchée peut être inférieure à la surface des fragments restants. Ou peut-être plus - l'essentiel est qu'elle le fasse moins de superficie toute l'ancienne plaque.

Le scientifique polonais Waclaw Sierpinski (1882-1969) n’a pas dressé de rats ni cassé d’assiettes. C'était un mathématicien. Et son action mathématique surréaliste la plus célèbre a été la sculpture sur des serviettes et des tapis.

Figure 1. « Serviette » Figure 2. Tapis

Les deux plus personnages célèbres, inventé par Sierpinski - une « serviette » (un triangle dans lequel sont successivement découpés des triangles de plus en plus petits, chacun avec une superficie quatre fois plus petite que la précédente) et un tapis (un carré avec une découpe de carrés, chacun carré d’une superficie neuf fois plus petite que la précédente).

L'aire de la figure résultante après un nombre infini de découpes - à la fois la serviette et le tapis - est nulle. Et ce ne sont pas exactement des chiffres. Ici, nous devrions nous arrêter et formuler la différence entre une figure et une ligne. D’une part, la figure semble avoir une aire, mais pas la ligne. Euclide a également écrit qu'une ligne est une longueur sans largeur, et qu'est-ce qu'une aire sans largeur ? Pas de liberté ! Mais les mathématiciens ne se sont pas contentés de cela et ont décidé de clarifier ce que signifie « sans largeur ». Et nous étions d'accord : si nous sélectionnons un point sur quelque chose et décrivons un cercle sans frontière autour de ce point (les mathématiciens l'appellent le mot villageois « quartier »), puis commençons à le réduire, alors si tôt ou tard tout le quartier tombe à l'intérieur ce quelque chose, alors, c'était donc un chiffre. Et s'il y a toujours des points « étrangers » à proximité, alors c'était une ligne de quelque chose.

Alors voilà. Puisque les tapis et les serviettes de Sierpinski sont éclatés, comme notre assiette, de plus en plus petits, et qu'au centre de chaque fragment il y a une zone « émiettée », avec des éclats et des fentes sans fin, des « vides » tomberont à proximité de tout point préservé de le personnage de Sierpinski. C'est donc une ligne. Eh bien, oui, tout est comme il se doit : c'est une ligne intelligemment enchevêtrée, et l'aire de la ligne est nulle.

Mais si vous découpez des carrés d'une surface légèrement plus petite dans le tapis, il se peut que la partie restante ait une superficie supérieure à zéro. Disons que si vous en jetez d'abord un vingt-cinquième (un carré avec un côté cinq fois plus petit que celui d'origine), puis huit carrés, vingt-cinq fois plus petit que celui découpé à la première étape, puis soixante-quatre les plus petits cinq fois plus petits... en un mot, souvenez-vous de ce que je vous ai suggéré de retenir et assurez-vous que seulement 1/17 d'un tel tapis est découpé. Et le 16/17 restera. Mais à proximité de n’importe quel point de ce qui reste, il y aura toujours des trous. C'est la ligne avec l'aire.

Mais vous pouvez découper des carrés encore plus petits ! Et il n’est pas nécessaire que ce soit des carrés ; il y aurait une règle clairement définie selon laquelle nous découpons des trous et divisons ce qui reste en nouveaux morceaux. Un trou doit apparaître dans chaque pièce - c'est tout le secret pour créer des lignes à partir de formes. Et la taille des trous détermine si les lignes auront une surface ou resteront « longueur sans largeur ».

Les figures de Sierpinski sont peut-être les fractales les plus simples et les plus belles que je connaisse.

Le tapis Sierpinski (carré Sierpinski) est une fractale, l'un des analogues bidimensionnels de l'ensemble de Cantor, proposé par le mathématicien polonais Waclaw Sierpinski en 1915.

Figure 3. Tapis Figure 4. Tapis

La construction d'un tapis Sierpinski est obtenue à partir d'un carré en découpant successivement les carrés du milieu. A savoir, nous divisons carré donnéà neuf heures carrés égaux et découpez le carré du milieu. Nous obtenons un carré avec un trou. Pour les huit carrés restants, répétez cette procédure. Divisez chacun d'eux en neuf carrés égaux et découpez les carrés du milieu. En répétant cette procédure, nous obtiendrons une silhouette de plus en plus trouée. Ce qui restera après toutes les découpes sera le tapis Sierpinski souhaité.

Figure 5. La bonne façon de découper des carrés sur un tapis Sierpinski

Comme les carrés découpés sont de plus en plus espacés, il n'y aura donc pas un seul carré sur le tapis Sierpinski, même le plus petit, sans trou.

Calculons l'aire du tapis Sierpinski, en considérant le carré d'origine comme unité. Pour ce faire, il suffit de calculer l’aire des carrés coupés. Dans un premier temps, un carré de surface est découpé. Dans la deuxième étape, huit carrés sont découpés, chacun ayant une aire de .

À chaque étape suivante, le nombre de carrés coupés augmente huit fois et la superficie de chacun d'eux diminue neuf fois. Ainsi, l'aire totale des carrés coupés est la somme des progressions géométriques avec membre débutant et le dénominateur. En utilisant la formule de la somme d'une progression géométrique, on constate que ce nombre est égal à un, c'est-à-dire que l'aire du tapis Sierpinski est nulle.

Prenez maintenant un carré d'aire égale à deux et découpez un carré de même centre d'aire 2. Imaginons la partie restante sous la forme de huit rectangles et dans chacun d'eux nous découpons un carré de même centre de la zone . Ainsi, l'aire totale des petits carrés sera égale à . En répétant cette procédure, nous obtiendrons une figure de plus en plus trouée, également appelée tapis Sierpinski.

De plus, comme auparavant, dans ce tapis Sierpinski, il n'y aura pas un seul carré, même le plus petit, sans trou. Cependant, contrairement à un tapis Sierpinski classique, sa surface est non nulle. En effet, l'aire des carrés découpés est la somme d'une progression géométrique avec le terme initial et le dénominateur, c'est-à-dire égal à 1. L'aire de la partie restante est donc égale à l'unité.

On peut considérer un triangle et un tapis de Sierpinski sur le plan complexe et lui appliquer diverses transformations du plan complexe. Par exemple, supposons que le triangle de Sierpinski soit construit sur un segment unitaire de l'axe réel.

Et maintenant nous appliquons la transformation d'inversion par rapport au centre du triangle au plan complexe : . Nous obtenons alors l’image suivante (Figure 6).

Figure 6. Inversion autour du centre

Ci-dessous des photos pour.

Figure 7. Modèle pour

La même chose peut être faite avec le tapis Sierpinski. Qu'il soit construit sur un carré unitaire.

La transformation d'inversion par rapport au centre du tapis a la forme .

Figure 8. Transformation par rapport au centre du tapis

Vous pouvez également appliquer une inversion par rapport à l'angle ou le mettre au carré.

Figure 10. Inversion par rapport à l'angle

Références :

1. Weinberg, M.M. Analyse fonctionnelle [Ressource électronique]/ M.M. Weinberg Cours spécial pour instituts pédagogiques. Éducation, 1979. 128 pp. http://rgho.st/49518130 (date d'accès 05/12/2018)
2. Kolmogorov, A.N. Éléments de théorie des fonctions et d'analyse fonctionnelle [Texte]/ A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, M. : Sciences. 1981
3. Makarov, I.P. Chapitres supplémentaires analyse mathématique[texte]/ I.P. Makarov. Manuel destiné aux étudiants des départements de physique et de mathématiques. Lumières, M. : 1968
4. Morozov, A.D. Introduction à la théorie des fractales [Texte]/ A.D. Morozov, M. : "Institut de recherche informatique", 2002.
5. Sadovnichy, V. A. Théorie des opérateurs [Texte] / V. A. Sadovnichy 5e éd. Outarde, 2004. 384 pages ISBN 5-7107-8699-3.

Figurine de type automatique, inventé Mathématicien polonais W. Sierpinski, appelé Tapis Sierpinski.

Construction d'un tapis Sierpinski

Il est obtenu à partir d'un carré en découpant successivement les carrés du milieu. À savoir, nous divisons ce carré en neuf carrés égaux et découpons le carré du milieu. Nous obtenons un carré avec un trou.

Pour les huit carrés restants, répétez cette procédure. Divisez chacun d'eux en neuf carrés égaux et découpez les carrés du milieu. En répétant cette procédure, nous obtiendrons une silhouette de plus en plus trouée. Ce qui reste après toutes les boutures sera ce que vous recherchez Tapis Sierpinski.

Comme les carrés découpés sont de plus en plus souvent disposés, il n'y aura donc pas un seul carré sur le tapis Sierpiski, même le plus petit, sans trou.

Zone du tapis Sierpinski

Dans la deuxième étape, huit carrés sont découpés, chacun d'une superficie de 1/81. À chaque étape suivante, le nombre de carrés coupés augmente huit fois et la superficie de chacun d'eux diminue neuf fois.

Ainsi, l'aire totale des carrés découpés est la somme d'une progression géométrique de terme initial de 1/9 et de dénominateur de 8/9. En utilisant la formule de la somme d'une progression géométrique, on constate que ce nombre est égal à un, c'est-à-dire L'aire du tapis Sierpinski est nulle.

Prenez maintenant un carré d'une aire de 2 et découpez un carré de même centre d'une aire de 1/2. Imaginons la partie restante sous la forme de huit rectangles et dans chacun d'eux nous découpons un carré de même centre d'aire 1/32.

Ainsi, la superficie totale des petits carrés sera égale à 1/4. En répétant cette procédure, nous obtiendrons une silhouette de plus en plus trouée. L'aire de ce tapis Sierpinski sera non nulle .

L'aire des carrés coupés est la somme d'une progression géométrique de terme initial de 1/2 et de dénominateur de 1/2, soit est égal à 1.

En commençant non pas par un carré, mais par triangle régulier, et en découpant les triangles centraux, on obtient une figure autosimilaire, semblable au tapis Sierpinski et appelée Serviette Sierpinski.