માધ્યમિક શાળા (ગ્રેડ 9) માં બીજગણિતનો અભ્યાસ કરતી વખતે એક મહત્વપૂર્ણ વિષયોસંખ્યા ક્રમનો અભ્યાસ છે, જેમાં પ્રગતિનો સમાવેશ થાય છે - ભૌમિતિક અને અંકગણિત. આ લેખમાં આપણે અંકગણિતની પ્રગતિ અને ઉકેલો સાથેના ઉદાહરણો જોઈશું.

અંકગણિત પ્રગતિ શું છે?

આને સમજવા માટે, પ્રશ્નમાં પ્રગતિને વ્યાખ્યાયિત કરવી જરૂરી છે, તેમજ આપવી મૂળભૂત સૂત્રો, જેનો વધુ ઉપયોગ સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે કરવામાં આવશે.

તે જાણીતું છે કે કેટલાક બીજગણિત પ્રગતિમાં 1 લી ટર્મ 6 ની બરાબર છે, અને 7મી ટર્મ 18 ની બરાબર છે. તફાવત શોધવા અને આ ક્રમને 7 મી પદ પર પુનઃસ્થાપિત કરવો જરૂરી છે.

ચાલો અજ્ઞાત શબ્દ નક્કી કરવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: a n = (n - 1) * d + a 1 . ચાલો શરતમાંથી જાણીતા ડેટાને તેમાં બદલીએ, એટલે કે સંખ્યાઓ a 1 અને a 7, આપણી પાસે છે: 18 = 6 + 6 * d. આ અભિવ્યક્તિમાંથી તમે સરળતાથી તફાવતની ગણતરી કરી શકો છો: d = (18 - 6) /6 = 2. આમ, અમે સમસ્યાના પ્રથમ ભાગનો જવાબ આપ્યો છે.

ક્રમને 7મા શબ્દમાં પુનઃસ્થાપિત કરવા માટે, તમારે બીજગણિત પ્રગતિની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ, એટલે કે, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, વગેરે. પરિણામે, અમે સમગ્ર ક્રમને પુનઃસ્થાપિત કરીએ છીએ: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

ઉદાહરણ નંબર 3: પ્રગતિનું ચિત્ર બનાવવું

ચાલો તેને વધુ જટિલ બનાવીએ મજબૂત સ્થિતિકાર્યો હવે આપણે અંકગણિત પ્રગતિ કેવી રીતે શોધવી તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવાની જરૂર છે. તમે ટાંકી શકો છો આગામી ઉદાહરણ: બે સંખ્યાઓ આપવામાં આવી છે, ઉદાહરણ તરીકે, - 4 અને 5. બીજગણિતીય પ્રગતિ બનાવવી જરૂરી છે જેથી આની વચ્ચે વધુ ત્રણ પદો મૂકવામાં આવે.

આ સમસ્યાને હલ કરવાનું શરૂ કરતા પહેલા, તે સમજવું જરૂરી છે કે કઈ જગ્યા પર કબજો કરવામાં આવશે આપેલ નંબરોભવિષ્યની પ્રગતિમાં. તેમની વચ્ચે ત્રણ વધુ પદો હશે, પછી 1 = -4 અને 5 = 5. આ સ્થાપિત કર્યા પછી, અમે સમસ્યા તરફ આગળ વધીએ છીએ, જે પહેલાની સમાન છે. ફરીથી, nમા શબ્દ માટે આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, આપણને મળે છે: a 5 = a 1 + 4 * d. પ્રતિ: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. આપણે અહીં જે મેળવ્યું તે તફાવતનું પૂર્ણાંક મૂલ્ય નથી, પરંતુ તે છે તર્કસંગત સંખ્યા, તેથી બીજગણિત પ્રગતિ માટેના સૂત્રો સમાન રહે છે.

ચાલો હવે મળેલ તફાવતને 1 માં ઉમેરીએ અને પ્રગતિની ગુમ થયેલ શરતોને પુનઃસ્થાપિત કરીએ. આપણને મળે છે: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, જે સિક્કો સમસ્યાની શરતો સાથે.

ઉદાહરણ નંબર 4: પ્રગતિની પ્રથમ મુદત

ચાલો ઉકેલો સાથે અંકગણિત પ્રગતિના ઉદાહરણો આપવાનું ચાલુ રાખીએ. બધામાં અગાઉના કાર્યોબીજગણિત પ્રગતિનો પ્રથમ નંબર જાણીતો હતો. હવે ચાલો એક અલગ પ્રકારની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ: બે સંખ્યાઓ આપીએ, જ્યાં 15 = 50 અને 43 = 37. આ ક્રમ કઈ સંખ્યાથી શરૂ થાય છે તે શોધવું જરૂરી છે.

અત્યાર સુધી વપરાતા સૂત્રો 1 અને d નું જ્ઞાન ધારણ કરે છે. સમસ્યા નિવેદનમાં, આ નંબરો વિશે કંઈ જ જાણીતું નથી. તેમ છતાં, અમે દરેક શબ્દ માટે સમીકરણો લખીશું કે જેના વિશે માહિતી ઉપલબ્ધ છે: a 15 = a 1 + 14 * d અને a 43 = a 1 + 42 * d. અમને બે સમીકરણો મળ્યા જેમાં 2 અજાણ્યા જથ્થાઓ (a 1 અને d) છે. આનો અર્થ એ છે કે સમસ્યા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવા માટે ઓછી થઈ છે.

આ સિસ્ટમને હલ કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે દરેક સમીકરણમાં 1 વ્યક્ત કરો અને પછી પરિણામી સમીકરણોની તુલના કરો. પ્રથમ સમીકરણ: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; બીજું સમીકરણ: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. આ સમીકરણોને સમકક્ષ કરીને, આપણને મળે છે: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, જ્યાંથી તફાવત d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (માત્ર 3 દશાંશ સ્થાનો આપવામાં આવ્યા છે).

d ને જાણીને, તમે 1 માટે ઉપરના 2 સમીકરણોમાંથી કોઈપણનો ઉપયોગ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

જો તમને પ્રાપ્ત પરિણામ વિશે શંકા હોય, તો તમે તેને ચકાસી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રગતિની 43 મી મુદત નક્કી કરો, જે શરતમાં ઉલ્લેખિત છે. આપણને મળે છે: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. નાની ભૂલ એ હકીકતને કારણે છે કે ગણતરીમાં હજારમા ભાગનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો.

ઉદાહરણ નંબર 5: રકમ

હવે અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળા માટે ઉકેલો સાથેના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

તેને આપવા દો સંખ્યાત્મક પ્રગતિનીચેના ફોર્મમાંથી: 1, 2, 3, 4, ...,. આ સંખ્યાઓમાંથી 100 ના સરવાળાની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

વિકાસ માટે આભાર કમ્પ્યુટર ટેકનોલોજીતમે આ સમસ્યાને હલ કરી શકો છો, એટલે કે, બધી સંખ્યાઓ ક્રમિક રીતે ઉમેરો, જે કમ્પ્યુટરજેમ વ્યક્તિ એન્ટર કી દબાવશે કે તરત જ કરશે. જો કે, સમસ્યા માનસિક રીતે ઉકેલી શકાય છે જો તમે એ હકીકત પર ધ્યાન આપો કે સંખ્યાઓની પ્રસ્તુત શ્રેણી બીજગણિત પ્રગતિ છે, અને તેનો તફાવત 1 જેટલો છે. સરવાળો માટે સૂત્ર લાગુ કરવાથી, અમને મળશે: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

એ નોંધવું રસપ્રદ છે કે આ સમસ્યાને "ગૌસિયન" કહેવામાં આવે છે કારણ કે માં પ્રારંભિક XVIIIસદી, પ્રખ્યાત જર્મન, જ્યારે હજુ માત્ર 10 વર્ષનો હતો, તે થોડીક સેકંડમાં તેના માથામાં ઉકેલવામાં સક્ષમ હતો. છોકરાને બીજગણિત પ્રગતિના સરવાળા માટેનું સૂત્ર ખબર ન હતી, પરંતુ તેણે નોંધ્યું કે જો તમે અનુક્રમના છેડે સંખ્યાઓને જોડીમાં ઉમેરો છો, તો તમને હંમેશા સમાન પરિણામ મળે છે, એટલે કે, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., અને આ સરવાળો બરાબર 50 (100 / 2) હશે, તો સાચો જવાબ મેળવવા માટે 50 ને 101 વડે ગુણાકાર કરવો પૂરતો છે.

ઉદાહરણ નંબર 6: n થી m સુધીના શબ્દોનો સરવાળો

એક વધુ લાક્ષણિક ઉદાહરણઅંકગણિતની પ્રગતિનો સરવાળો નીચે મુજબ છે: સંખ્યાઓની શ્રેણીને જોતાં: 3, 7, 11, 15, ..., તમારે તે શોધવાની જરૂર છે કે 8 થી 14 સુધીના તેના શબ્દોનો સરવાળો કેટલો હશે.

સમસ્યા બે રીતે ઉકેલાય છે. તેમાંના પ્રથમમાં 8 થી 14 સુધીના અજ્ઞાત શબ્દો શોધવાનો સમાવેશ થાય છે, અને પછી તેમને અનુક્રમે સારાંશ આપવામાં આવે છે. થોડી શરતો હોવાથી, આ પદ્ધતિ તદ્દન શ્રમ-સઘન નથી. તેમ છતાં, બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યાને હલ કરવાનો પ્રસ્તાવ છે, જે વધુ સાર્વત્રિક છે.

વિચાર એ છે કે m અને n શબ્દો વચ્ચે બીજગણિતીય પ્રગતિના સરવાળા માટે સૂત્ર મેળવવાનો છે, જ્યાં n > m પૂર્ણાંકો છે. બંને કિસ્સાઓમાં, અમે સરવાળા માટે બે અભિવ્યક્તિઓ લખીએ છીએ:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m થી, તે સ્પષ્ટ છે કે 2જી રકમમાં પ્રથમનો સમાવેશ થાય છે. છેલ્લા નિષ્કર્ષનો અર્થ એ છે કે જો આપણે આ સરવાળો વચ્ચેનો તફાવત લઈએ અને તેમાં a m શબ્દ ઉમેરીએ (તફાવત લેવાના કિસ્સામાં, તે રકમ S n માંથી બાદ કરવામાં આવે છે), તો આપણે સમસ્યાનો જરૂરી જવાબ મેળવીશું. અમારી પાસે છે: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). આ અભિવ્યક્તિમાં n અને a m માટે સૂત્રોને બદલવાની જરૂર છે. પછી આપણને મળે છે: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

પરિણામી સૂત્ર કંઈક અંશે બોજારૂપ છે, જો કે, S mn નો સરવાળો માત્ર n, m, a 1 અને d પર આધાર રાખે છે. અમારા કિસ્સામાં, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. આ સંખ્યાઓને બદલીને, આપણને મળે છે: S mn = 301.

ઉપરોક્ત ઉકેલોમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, બધી સમસ્યાઓ nth પદની અભિવ્યક્તિ અને પ્રથમ પદોના સમૂહના સરવાળા માટેના સૂત્રના જ્ઞાન પર આધારિત છે. આમાંની કોઈપણ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવાનું શરૂ કરતા પહેલા, એવી ભલામણ કરવામાં આવે છે કે તમે શરતને કાળજીપૂર્વક વાંચો, તમારે શું શોધવાની જરૂર છે તે સ્પષ્ટપણે સમજો અને પછી જ ઉકેલ સાથે આગળ વધો.

બીજી ટીપ એ છે કે સરળતા માટે પ્રયત્ન કરવો, એટલે કે, જો તમે જટિલ ગાણિતિક ગણતરીઓનો ઉપયોગ કર્યા વિના કોઈ પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકો, તો તમારે તે જ કરવાની જરૂર છે, કારણ કે આ કિસ્સામાં ભૂલ થવાની સંભાવના ઓછી છે. ઉદાહરણ તરીકે, સોલ્યુશન નંબર 6 સાથે અંકગણિત પ્રગતિના ઉદાહરણમાં, કોઈ સૂત્ર S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, અને વિરામ સામાન્ય કાર્યઅલગ પેટા કાર્યોમાં (માં આ કિસ્સામાંપ્રથમ a n અને a m શબ્દો શોધો).

જો તમને પ્રાપ્ત પરિણામ વિશે શંકા હોય, તો તેને તપાસવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે, જેમ કે આપેલા કેટલાક ઉદાહરણોમાં કરવામાં આવ્યું હતું. અંકગણિતની પ્રગતિ કેવી રીતે શોધવી તે અમે શોધી કાઢ્યું. જો તમે તેને આકૃતિ કરો છો, તો તે એટલું મુશ્કેલ નથી.

અંકગણિત પ્રગતિસંખ્યાઓના ક્રમને નામ આપો (પ્રગતિની શરતો)

જેમાં દરેક અનુગામી પદ નવા શબ્દ દ્વારા અગાઉના એક કરતા અલગ પડે છે, જેને પણ કહેવામાં આવે છે પગલું અથવા પ્રગતિ તફાવત.

આમ, પ્રગતિના પગલા અને તેની પ્રથમ મુદતનો ઉલ્લેખ કરીને, તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેના કોઈપણ ઘટકો શોધી શકો છો.

અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મો

1) અંકગણિત પ્રગતિના દરેક સભ્ય, બીજા નંબરથી શરૂ થતા, પ્રગતિના અગાઉના અને પછીના સભ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ છે.

વાતચીત પણ સાચી છે. જો પ્રગતિના સંલગ્ન વિષમ (સમ) પદોનો અંકગણિત સરેરાશ તેમની વચ્ચેના શબ્દ સમાન હોય, તો સંખ્યાઓનો આ ક્રમ એ અંકગણિત પ્રગતિ છે. આ નિવેદનનો ઉપયોગ કરીને, કોઈપણ ક્રમને તપાસવું ખૂબ જ સરળ છે.

ઉપરાંત, અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મ દ્વારા, ઉપરોક્ત સૂત્ર નીચેનામાં સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે

જો તમે સમાન ચિહ્નની જમણી બાજુએ શરતો લખો છો તો આ ચકાસવું સરળ છે

તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર સમસ્યાઓમાં ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે વ્યવહારમાં થાય છે.

2) અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ n પદોના સરવાળાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળા માટેનું સૂત્ર સારી રીતે યાદ રાખો;

3) જો તમારે આખો સરવાળો નહીં, પરંતુ તેના kth પદથી શરૂ થતા ક્રમનો ભાગ શોધવાની જરૂર હોય, તો નીચેના સરવાળા સૂત્ર તમારા માટે ઉપયોગી થશે

4) વ્યાવહારિક રસ એ છે કે kth નંબરથી શરૂ થતા અંકગણિતની પ્રગતિના n શરતોનો સરવાળો શોધવો. આ કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો

આના પર સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીસમાપ્ત થાય છે અને અમે વ્યવહારમાં સામાન્ય સમસ્યાઓના નિરાકરણ તરફ આગળ વધીએ છીએ.

ઉદાહરણ 1. અંકગણિત પ્રગતિ 4;7;...નો ચાલીસમો શબ્દ શોધો

ઉકેલ:

અમારી પાસે જે શરત છે તે મુજબ

ચાલો પ્રગતિનું પગલું નક્કી કરીએ

દ્વારા જાણીતું સૂત્રપ્રગતિની ચાલીસમી મુદત શોધો

ઉદાહરણ 2. અંકગણિત પ્રગતિતેના ત્રીજા અને સાતમા પદો દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રગતિનું પ્રથમ પદ અને દસનો સરવાળો શોધો.

ઉકેલ:

ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પ્રગતિના આપેલ ઘટકોને લખીએ

અમે બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરીએ છીએ, પરિણામે આપણને પ્રગતિનું પગલું મળે છે

અમે અંકગણિતની પ્રગતિના પ્રથમ પદને શોધવા માટે કોઈપણ સમીકરણોમાં મળેલ મૂલ્યને બદલીએ છીએ

અમે પ્રગતિની પ્રથમ દસ શરતોના સરવાળાની ગણતરી કરીએ છીએ

અરજી કર્યા વિના જટિલ ગણતરીઓઅમને તમામ જરૂરી માત્રા મળી.

ઉદાહરણ 3. અંકગણિતની પ્રગતિ છેદ અને તેના એક પદ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રગતિની પ્રથમ અવધિ, 50 થી શરૂ થતા તેના 50 પદોનો સરવાળો અને પ્રથમ 100 નો સરવાળો શોધો.

ઉકેલ:

ચાલો પ્રગતિના સોમા તત્વ માટે સૂત્ર લખીએ

અને પ્રથમ શોધો

પ્રથમના આધારે, અમે પ્રગતિની 50મી મુદત શોધીએ છીએ

પ્રગતિના ભાગનો સરવાળો શોધવો

અને પ્રથમ 100 નો સરવાળો

પ્રગતિ રકમ 250 છે.

ઉદાહરણ 4.

અંકગણિત પ્રગતિના શબ્દોની સંખ્યા શોધો જો:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

ઉકેલ:

ચાલો પ્રથમ પદ અને પ્રગતિના પગલાના સંદર્ભમાં સમીકરણો લખીએ અને તેમને નિર્ધારિત કરીએ

સરવાળામાં પદોની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે અમે મેળવેલ મૂલ્યોને સરવાળા ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ છીએ

અમે સરળીકરણો હાથ ધરીએ છીએ

અને ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલો

મળેલા બે મૂલ્યોમાંથી, માત્ર નંબર 8 સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓને બંધબેસે છે. આમ, પ્રગતિના પ્રથમ આઠ પદોનો સરવાળો 111 છે.

ઉદાહરણ 5.

સમીકરણ ઉકેલો

1+3+5+...x=307.

ઉકેલ: આ સમીકરણઅંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો છે. ચાલો તેની પ્રથમ મુદત લખીએ અને પ્રગતિમાં તફાવત શોધીએ

અમે નક્કી કરવાનું શરૂ કરીએ તે પહેલાં અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ, ચાલો જોઈએ કે તે શું છે સંખ્યા ક્રમ, કારણ કે અંકગણિત પ્રગતિ છે ખાસ કેસસંખ્યા ક્રમ.

સંખ્યા ક્રમ છે નંબર સેટ, જેમાંના દરેક તત્વનું પોતાનું છે સીરીયલ નંબર . આ સમૂહના તત્વોને ક્રમના સભ્યો કહેવામાં આવે છે. ક્રમ ઘટકનો સીરીયલ નંબર ઇન્ડેક્સ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

ક્રમનું પ્રથમ તત્વ;

ક્રમનું પાંચમું તત્વ;

- ક્રમનું "nth" તત્વ, એટલે કે. તત્વ "કતારમાં ઊભું" નંબર n પર.

ક્રમ તત્વની કિંમત અને તેની ક્રમ સંખ્યા વચ્ચે સંબંધ છે. તેથી, આપણે ક્રમને ફંક્શન તરીકે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ જેની દલીલ એ ક્રમના તત્વની ક્રમાંકિત સંખ્યા છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો આપણે એમ કહી શકીએ ક્રમ એ કુદરતી દલીલનું કાર્ય છે:

ક્રમ ત્રણ રીતે સેટ કરી શકાય છે:

1 . ક્રમ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.આ કિસ્સામાં, અમે ક્રમના દરેક સભ્યનું મૂલ્ય ફક્ત સેટ કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, કોઈએ વ્યક્તિગત સમયનું સંચાલન કરવાનું નક્કી કર્યું, અને તેની સાથે પ્રારંભ કરવા માટે, ગણતરી કરો કે તે અઠવાડિયા દરમિયાન VKontakte પર કેટલો સમય વિતાવે છે. કોષ્ટકમાં સમય રેકોર્ડ કરીને, તેને સાત તત્વોનો ક્રમ પ્રાપ્ત થશે:

કોષ્ટકની પ્રથમ લાઇન અઠવાડિયાના દિવસની સંખ્યા સૂચવે છે, બીજી - મિનિટમાં સમય. આપણે જોઈએ છીએ કે, એટલે કે, સોમવારે કોઈએ VKontakte પર 125 મિનિટ વિતાવી, એટલે કે, ગુરુવારે - 248 મિનિટ, અને, એટલે કે, શુક્રવારે માત્ર 15.

2 . ક્રમ nth શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

આ કિસ્સામાં, તેની સંખ્યા પર ક્રમ તત્વના મૂલ્યની અવલંબન સીધી સૂત્રના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો, પછી

આપેલ સંખ્યા સાથે ક્રમ ઘટકનું મૂલ્ય શોધવા માટે, અમે તત્વ નંબરને nth પદના સૂત્રમાં બદલીએ છીએ.

જો દલીલની કિંમત જાણીતી હોય તો આપણે ફંક્શનની કિંમત શોધવાની જરૂર હોય તો આપણે તે જ કરીએ છીએ. અમે ફંક્શન સમીકરણમાં દલીલના મૂલ્યને બદલીએ છીએ:

જો, ઉદાહરણ તરીકે, , તે

મને ફરી એકવાર નોંધ લેવા દો કે ક્રમમાં, મનસ્વીથી વિપરીત સંખ્યાત્મક કાર્ય, દલીલ માત્ર કુદરતી સંખ્યા હોઈ શકે છે.

3 . અનુક્રમ એક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે જે અગાઉના સભ્યોના મૂલ્યો પર ક્રમ સભ્ય સંખ્યા n ના મૂલ્યની નિર્ભરતાને વ્યક્ત કરે છે.

આ કિસ્સામાં, તેના મૂલ્યને શોધવા માટે ફક્ત ક્રમ સભ્યની સંખ્યાને જાણવું આપણા માટે પૂરતું નથી. આપણે ક્રમના પ્રથમ સભ્ય અથવા પ્રથમ થોડા સભ્યોનો ઉલ્લેખ કરવાની જરૂર છે. ,

ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમને ધ્યાનમાં લો આપણે ક્રમના સભ્યોની કિંમતો શોધી શકીએ છીએએક પછી એક

, ત્રીજાથી શરૂ કરીને: એટલે કે, દર વખતે, ક્રમના nમા પદનું મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે પાછલા બે પર પાછા આવીએ છીએ. ક્રમ સ્પષ્ટ કરવાની આ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છેઆવર્તક , થી લેટિન શબ્દપુનરાવર્તિત

- પાછા આવો.

અંકગણિત પ્રગતિ હવે આપણે અંકગણિત પ્રગતિને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યા ક્રમનો એક સરળ વિશિષ્ટ કેસ છે.

એક સંખ્યાત્મક ક્રમ છે, જેનો દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, સમાન સંખ્યામાં ઉમેરવામાં આવેલા અગાઉના સભ્ય જેટલો છે. નંબર પર બોલાવવામાં આવે છેઅંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત

. અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત હકારાત્મક, નકારાત્મક અથવા શૂન્ય સમાન હોઈ શકે છે.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} જો શીર્ષક ==d>0.

વધારો

ઉદાહરણ તરીકે, 2; 5; 8; 11;... જો , તો પછી અંકગણિત પ્રગતિનો દરેક શબ્દ પાછલા એક કરતા ઓછો છે, અને પ્રગતિ છે.

ઘટતું

જો , તો પછી પ્રગતિની બધી શરતો સમાન સંખ્યા જેટલી છે, અને પ્રગતિ છે સ્થિર.

ઉદાહરણ તરીકે, 2;2;2;2;...

અંકગણિત પ્રગતિની મુખ્ય મિલકત:

ચાલો ડ્રોઇંગ જોઈએ.

તે આપણે જોઈએ છીએ

, અને તે જ સમયે

આ બે સમાનતાઓ ઉમેરીને, આપણને મળે છે:

.

ચાલો સમાનતાની બંને બાજુઓને 2 વડે વિભાજીત કરીએ:

તેથી, અંકગણિત પ્રગતિના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, બે પડોશી રાશિઓના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે:

વધુમાં, ત્યારથી

, અને તે જ સમયે

, તે

, અને તેથી

અંકગણિત પ્રગતિનો દરેક શબ્દ, શીર્ષક="k>l સાથે શરૂ થાય છે">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

મી શબ્દનું સૂત્ર.

આપણે જોઈએ છીએ કે અંકગણિત પ્રગતિની શરતો નીચેના સંબંધોને સંતોષે છે:

અને છેલ્લે

અમને મળ્યું nમી મુદતનું સૂત્ર.

મહત્વપૂર્ણ!અંકગણિત પ્રગતિના કોઈપણ સભ્ય અને દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે. પ્રથમ પદ અને અંકગણિત પ્રગતિના તફાવતને જાણીને, તમે તેના કોઈપણ પદો શોધી શકો છો.

અંકગણિતની પ્રગતિની n શરતોનો સરવાળો.

મનસ્વી અંકગણિત પ્રગતિમાં, આત્યંતિક રાશિઓથી સમાન અંતર ધરાવતા શબ્દોનો સરવાળો એકબીજા સાથે સમાન હોય છે:

n શરતો સાથે અંકગણિત પ્રગતિનો વિચાર કરો. આ પ્રગતિની n શરતોનો સરવાળો બરાબર થવા દો.

ચાલો પહેલા સંખ્યાઓના ચડતા ક્રમમાં અને પછી ઉતરતા ક્રમમાં પ્રગતિની શરતો ગોઠવીએ:

ચાલો જોડીમાં ઉમેરીએ:

દરેક કૌંસમાં સરવાળો છે, જોડીની સંખ્યા n છે.

અમને મળે છે:

તેથી, અંકગણિત પ્રગતિના n શબ્દોનો સરવાળો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

ચાલો વિચાર કરીએ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ ઉકેલવા.

1 . ક્રમ nth શબ્દના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: . સાબિત કરો કે આ ક્રમ એક અંકગણિત પ્રગતિ છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે અનુક્રમના બે સંલગ્ન પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન સંખ્યા જેટલો છે.

અમે જોયું કે અનુક્રમના બે સંલગ્ન સભ્યો વચ્ચેનો તફાવત તેમની સંખ્યા પર આધાર રાખતો નથી અને તે સ્થિર છે. તેથી, વ્યાખ્યા દ્વારા, આ ક્રમ એક અંકગણિત પ્રગતિ છે.

2 . એક અંકગણિત પ્રગતિ આપેલ -31; -27;...

a) પ્રગતિની 31 શરતો શોધો.

b) આ પ્રગતિમાં નંબર 41 સામેલ છે કે કેમ તે નક્કી કરો.

એ)આપણે તે જોઈએ છીએ;

ચાલો આપણી પ્રગતિ માટે nમી મુદત માટેનું સૂત્ર લખીએ.

સામાન્ય રીતે

અમારા કિસ્સામાં , એટલે જ

ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર.
અંકગણિતની પ્રગતિ ઉકેલવી.
આપેલ: a n, d, n
શોધો: a 1

આ ગણિત કાર્યક્રમવપરાશકર્તા દ્વારા નિર્દિષ્ટ સંખ્યાઓ \(a_n, d\) અને \(n\) પર આધારિત અંકગણિત પ્રગતિના \(a_1\) શોધે છે.
સંખ્યાઓ \(a_n\) અને \(d\) માત્ર પૂર્ણાંક તરીકે જ નહીં, પણ અપૂર્ણાંક તરીકે પણ સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. વધુમાં, અપૂર્ણાંક સંખ્યાદશાંશ અપૂર્ણાંક (\(2.5\)) અને તરીકે દાખલ કરી શકાય છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક(\(-5\frac(2)(7)\)).

પ્રોગ્રામ માત્ર સમસ્યાનો જવાબ જ આપતો નથી, પણ ઉકેલ શોધવાની પ્રક્રિયા પણ દર્શાવે છે.

આ ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર હાઈસ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે માધ્યમિક શાળાઓની તૈયારીમાં પરીક્ષણોઅને પરીક્ષાઓ, જ્યારે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલાં જ્ઞાનની ચકાસણી કરતી વખતે, માતાપિતા માટે ગણિત અને બીજગણિતની ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલને નિયંત્રિત કરવા માટે. અથવા કદાચ તમારા માટે શિક્ષકને ભાડે રાખવું અથવા નવા પાઠયપુસ્તકો ખરીદવા માટે તે ખૂબ ખર્ચાળ છે? અથવા તમે તેને શક્ય તેટલી ઝડપથી પૂર્ણ કરવા માંગો છો?હોમવર્ક

ગણિતમાં કે બીજગણિતમાં? આ કિસ્સામાં, તમે વિગતવાર ઉકેલો સાથે અમારા પ્રોગ્રામ્સનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો. આ રીતે તમે તમારી પોતાની તાલીમ અને/અથવા તમારી તાલીમ લઈ શકો છો.નાના ભાઈઓ

અથવા બહેનો, જ્યારે સમસ્યાઓના ઉકેલના ક્ષેત્રમાં શિક્ષણનું સ્તર વધે છે.

જો તમે નંબરો દાખલ કરવાના નિયમોથી પરિચિત નથી, તો અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે તમારી જાતને તેમની સાથે પરિચિત કરો.

નંબરો દાખલ કરવાના નિયમો
સંખ્યાઓ \(a_n\) અને \(d\) માત્ર પૂર્ણાંક તરીકે જ નહીં, પણ અપૂર્ણાંક તરીકે પણ સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

સંખ્યા \(n\) માત્ર હકારાત્મક પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે.
દશાંશ અપૂર્ણાંક દાખલ કરવા માટેના નિયમો. સમગ્ર અનેઅપૂર્ણાંક ભાગ
દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં પીરિયડ અથવા અલ્પવિરામ દ્વારા અલગ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે દાખલ કરી શકો છોદશાંશ

તેથી 2.5 અથવા તેથી 2.5
સામાન્ય અપૂર્ણાંક દાખલ કરવા માટેના નિયમો.

માત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યા જ અપૂર્ણાંકના અંશ, છેદ અને પૂર્ણાંક ભાગ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

છેદ નકારાત્મક ન હોઈ શકે. દાખલ કરતી વખતેસંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંક /
અંશને વિભાજન ચિહ્ન દ્વારા છેદથી અલગ કરવામાં આવે છે:
ઇનપુટ:

પરિણામ: \(-\frac(2)(3)\)આખો ભાગ &
અંશને વિભાજન ચિહ્ન દ્વારા છેદથી અલગ કરવામાં આવે છે:
એમ્પરસેન્ડ દ્વારા અપૂર્ણાંકથી અલગ:

1 શોધો
તે જાણવા મળ્યું હતું કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી કેટલીક સ્ક્રિપ્ટો લોડ કરવામાં આવી ન હતી, અને પ્રોગ્રામ કામ કરી શકશે નહીં.
તમે AdBlock સક્ષમ કરેલ હોઈ શકે છે.

તમારા બ્રાઉઝરમાં JavaScript ને કેવી રીતે સક્ષમ કરવું તેની સૂચનાઓ અહીં છે.
કારણ કે સમસ્યા હલ કરવા માટે ઘણા બધા લોકો તૈયાર છે, તમારી વિનંતી કતારમાં છે.
થોડીવારમાં ઉકેલ નીચે દેખાશે. મહેરબાની કરીને રાહ જુઓ

સેકન્ડ... જો તમેઉકેલમાં ભૂલ નોંધાઈ
, પછી તમે આ વિશે ફીડબેક ફોર્મમાં લખી શકો છો. ભૂલશો નહીંકયું કાર્ય સૂચવે છે તમે શું નક્કી કરો.

ક્ષેત્રોમાં દાખલ કરો

અમારી રમતો, કોયડાઓ, અનુકરણકર્તાઓ:

થોડો સિદ્ધાંત.

સંખ્યા ક્રમ ક્રમાંકનનો ઉપયોગ રોજિંદા વ્યવહારમાં થાય છેવિવિધ વસ્તુઓ

બચત બેંકમાં, થાપણદારના વ્યક્તિગત ખાતા નંબરનો ઉપયોગ કરીને, તમે સરળતાથી આ ખાતું શોધી શકો છો અને જોઈ શકો છો કે તેના પર કઈ થાપણ છે. ચાલો એકાઉન્ટ નંબર 1 માં a1 રુબેલ્સની ડિપોઝિટ હોય, એકાઉન્ટ નંબર 2 માં a2 રુબેલ્સની થાપણ હોય, વગેરે. તે બહાર આવ્યું છે સંખ્યા ક્રમ
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a N
જ્યાં N એ તમામ ખાતાઓની સંખ્યા છે. અહીં, 1 થી N સુધીની દરેક કુદરતી સંખ્યા n સંખ્યા a n સાથે સંકળાયેલ છે.

ગણિતમાં પણ અભ્યાસ કર્યો અનંત સંખ્યાના ક્રમ:
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... .
નંબર a 1 કહેવાય છે ક્રમની પ્રથમ અવધિ, નંબર a 2 - ક્રમની બીજી અવધિ, નંબર a 3 - ક્રમની ત્રીજી અવધિવગેરે
નંબર a n કહેવાય છે ક્રમનો nth (nth) સભ્ય, અને કુદરતી સંખ્યા n તેની છે સંખ્યા.

ઉદાહરણ તરીકે, ચોરસના ક્રમમાં કુદરતી સંખ્યાઓ 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... અને 1 = 1 એ ક્રમની પ્રથમ પદ છે; અને n = n 2 છે nમી મુદતસિક્વન્સ; a n+1 = (n + 1) 2 એ ક્રમનો (n + 1)મો (n વત્તા પ્રથમ) પદ છે. ઘણીવાર ક્રમને તેના nમા પદના સૂત્ર દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) ક્રમ વ્યાખ્યાયિત કરે છે \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

અંકગણિત પ્રગતિ

વર્ષની લંબાઈ લગભગ 365 દિવસ છે. વધુ ચોક્કસ મૂલ્યતે \(365\frac(1)(4)\) દિવસોની બરાબર છે, તેથી દર ચાર વર્ષે એક દિવસની ભૂલ એકઠી થાય છે.

આ ભૂલને ધ્યાનમાં લેવા માટે, દર ચોથા વર્ષે એક દિવસ ઉમેરવામાં આવે છે, અને વિસ્તૃત વર્ષને લીપ વર્ષ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ત્રીજા સહસ્ત્રાબ્દીમાં લીપ વર્ષવર્ષ 2004, 2008, 2012, 2016, ... છે.

આ ક્રમમાં, દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, અગાઉના સભ્યની સમાન હોય છે, તે જ નંબર 4 માં ઉમેરવામાં આવે છે. આવા ક્રમ કહેવામાં આવે છે. અંકગણિત પ્રગતિ.

વ્યાખ્યા.
સંખ્યા ક્રમ a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... કહેવાય છે અંકગણિત પ્રગતિ, જો તમામ કુદરતી અને સમાનતા માટે
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
જ્યાં d અમુક સંખ્યા છે.

આ સૂત્ર પરથી તે અનુસરે છે કે a n+1 - a n = d. ડી નંબરને તફાવત કહેવામાં આવે છે અંકગણિત પ્રગતિ.

અંકગણિત પ્રગતિની વ્યાખ્યા દ્વારા અમારી પાસે છે:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
જ્યાં
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \, જ્યાં \(n>1 \)

આમ, અંકગણિત પ્રગતિના દરેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, તેના બે સંલગ્ન પદોના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે. આ નામ "અંકગણિત" પ્રગતિ સમજાવે છે.

નોંધ કરો કે જો a 1 અને d આપવામાં આવે છે, તો અંકગણિત પ્રગતિના બાકીના પદોની ગણતરી આવર્તક સૂત્ર a n+1 = a n + d નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. આ રીતે પ્રગતિની પ્રથમ કેટલીક શરતોની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ નથી, જો કે, ઉદાહરણ તરીકે, 100 ને પહેલાથી જ ઘણી ગણતરીઓની જરૂર પડશે. સામાન્ય રીતે, આ માટે nth શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે. અંકગણિત પ્રગતિની વ્યાખ્યા દ્વારા
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
વગેરે
બિલકુલ,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
કારણ કે nમી મુદતઅંકગણિતની પ્રગતિ પ્રથમ પદમાંથી (n-1) વખત સંખ્યા d ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર કહેવામાં આવે છે અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સૂત્ર.

અંકગણિતની પ્રગતિની પ્રથમ n શરતોનો સરવાળો

1 થી 100 સુધીની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો.
ચાલો આ રકમને બે રીતે લખીએ:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
ચાલો આ સમાનતા શબ્દને શબ્દ દ્વારા ઉમેરીએ:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
આ રકમની 100 શરતો છે
તેથી, 2S = 101 * 100, તેથી S = 101 * 50 = 5050.

ચાલો હવે મનસ્વી અંકગણિત પ્રગતિ પર વિચાર કરીએ
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...
ચાલો S n ને આ પ્રગતિની પ્રથમ n શરતોનો સરવાળો કરીએ:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
પછી અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ n પદોનો સરવાળો બરાબર છે
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

ત્યારથી \(a_n=a_1+(n-1)d\), તો પછી આ સૂત્રમાં n ને બદલવાથી આપણને શોધવા માટેનું બીજું સૂત્ર મળે છે અંકગણિતની પ્રગતિની પ્રથમ n શરતોનો સરવાળો:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

અથવા અંકગણિત એ ક્રમાંકિત સંખ્યાત્મક ક્રમનો એક પ્રકાર છે, જેના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે શાળા અભ્યાસક્રમબીજગણિત આ લેખ અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્નની વિગતવાર ચર્ચા કરે છે.

આ કેવા પ્રકારની પ્રગતિ છે?

પ્રશ્ન પર આગળ વધતા પહેલા (અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો), તે સમજવા યોગ્ય છે કે આપણે શું વાત કરી રહ્યા છીએ.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો કોઈપણ ક્રમ જે દરેક અગાઉની સંખ્યામાંથી અમુક મૂલ્ય ઉમેરીને (બાદબાકી કરીને) મેળવવામાં આવે છે તેને બીજગણિત (અંકગણિત) પ્રગતિ કહેવાય છે. આ વ્યાખ્યા, જ્યારે ગાણિતિક ભાષામાં અનુવાદિત થાય છે, ત્યારે તે સ્વરૂપ લે છે:

અહીં i એ પંક્તિ a i ના ઘટકનો સીરીયલ નંબર છે. આમ, માત્ર એક પ્રારંભિક નંબર જાણીને, તમે સરળતાથી સમગ્ર શ્રેણીને પુનઃસ્થાપિત કરી શકો છો. સૂત્રમાં પરિમાણ d ને પ્રગતિ તફાવત કહેવામાં આવે છે.

તે સરળતાથી બતાવી શકાય છે કે વિચારણા હેઠળની સંખ્યાઓની શ્રેણી માટે નીચેની સમાનતા ધરાવે છે:

a n = a 1 + d * (n - 1).

એટલે કે, nમા ઘટકનું મૂલ્ય ક્રમમાં શોધવા માટે, તમારે પ્રથમ ઘટકમાં 1 n-1 વખત તફાવત d ઉમેરવો જોઈએ.

અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો શું છે: સૂત્ર

સૂચવેલ રકમ માટે સૂત્ર આપતા પહેલા, તે એક સરળ વિશેષ કેસ ધ્યાનમાં લેવા યોગ્ય છે. 1 થી 10 સુધીની કુદરતી સંખ્યાઓની પ્રગતિ જોતાં, તમારે તેમનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. પ્રોગ્રેસન (10) માં થોડા શબ્દો હોવાથી, સમસ્યાનું નિરાકરણ શક્ય છે, એટલે કે ક્રમમાં તમામ ઘટકોનો સરવાળો કરો.

એસ 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

એક વાત ધ્યાનમાં લેવા જેવી છે રસપ્રદ વાત: દરેક પદ સમાન મૂલ્ય d = 1 દ્વારા આગલા શબ્દથી અલગ હોવાને કારણે, પછી દસમા સાથે પ્રથમ, નવમા સાથે બીજા અને તેથી વધુનો જોડીવાર સરવાળો સમાન પરિણામ આપશે. ખરેખર:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ રકમોમાંથી માત્ર 5 છે, એટલે કે, શ્રેણીના ઘટકોની સંખ્યા કરતા બરાબર બે ગણા ઓછા છે. પછી દરેક રકમ (11) ના પરિણામ દ્વારા સરવાળો (5) ની સંખ્યાને ગુણાકાર કરવાથી, તમે પ્રથમ ઉદાહરણમાં મેળવેલા પરિણામ પર પહોંચશો.

જો આપણે આ દલીલોને સામાન્ય બનાવીએ, તો આપણે નીચેની અભિવ્યક્તિ લખી શકીએ છીએ:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

આ અભિવ્યક્તિ દર્શાવે છે કે એક પંક્તિમાં તમામ ઘટકોનો સરવાળો કરવો જરૂરી નથી; પ્રથમ a 1 અને છેલ્લા a n ની કિંમત જાણવા માટે તે પૂરતું છે કુલ સંખ્યા n શરતો.

એવું માનવામાં આવે છે કે ગૌસે આ સમાનતા વિશે સૌ પ્રથમ વિચાર્યું હતું જ્યારે તે આપેલ સમસ્યાનો ઉકેલ શોધી રહ્યા હતા. શાળા શિક્ષકકાર્ય: પ્રથમ 100 પૂર્ણાંકોનો સરવાળો.

m થી n સુધીના તત્વોનો સરવાળો: સૂત્ર

પાછલા ફકરામાં આપેલ સૂત્ર અંકગણિત પ્રગતિ (પ્રથમ તત્વો) નો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે, પરંતુ ઘણીવાર સમસ્યાઓમાં તે પ્રગતિની મધ્યમાં સંખ્યાઓની શ્રેણીનો સરવાળો કરવો જરૂરી છે. આ કેવી રીતે કરવું?

આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો નીચેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લેવાનો છે: mth થી nth સુધીના શબ્દોનો સરવાળો શોધવાનું જરૂરી છે. સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તમારે પ્રગતિના m થી n સુધીના આપેલ સેગમેન્ટને નવા તરીકે રજૂ કરવું જોઈએ સંખ્યા શ્રેણી. આમાં m-th રજૂઆતશબ્દ a m પ્રથમ હશે, અને a n ને n-(m-1) ક્રમાંકિત કરવામાં આવશે. આ કિસ્સામાં, સરવાળા માટે પ્રમાણભૂત સૂત્ર લાગુ કરવાથી, નીચેની અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થશે:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

સૂત્રોના ઉપયોગનું ઉદાહરણ

અંકગણિતની પ્રગતિનો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો તે જાણીને, ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાના એક સરળ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લેવું યોગ્ય છે.

નીચે એક સંખ્યાત્મક ક્રમ છે, તમારે તેની શરતોનો સરવાળો મેળવવો જોઈએ, 5મીથી શરૂ થઈને 12મી સાથે સમાપ્ત થાય છે:

આપેલ સંખ્યાઓ સૂચવે છે કે તફાવત d 3 ની બરાબર છે. nમા તત્વ માટે અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને, તમે પ્રગતિના 5મા અને 12મા પદોના મૂલ્યો શોધી શકો છો. તે તારણ આપે છે:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

વિચારણા હેઠળના બીજગણિત પ્રગતિના અંતે સંખ્યાઓના મૂલ્યોને જાણતા, તેમજ શ્રેણીમાં કઈ સંખ્યાઓ તેઓ કબજે કરે છે તે જાણીને, તમે અગાઉના ફકરામાં મેળવેલા સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો. તે બહાર આવશે:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે આ મૂલ્ય અલગ રીતે મેળવી શકાય છે: પહેલા પ્રથમ 12 તત્વોનો સરવાળો શોધો પ્રમાણભૂત સૂત્ર, પછી સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ 4 ઘટકોના સરવાળાની ગણતરી કરો, પછી પ્રથમ સરવાળામાંથી બીજાને બાદ કરો.