અમે નક્કી કરવાનું શરૂ કરીએ તે પહેલાં અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ, ચાલો જોઈએ કે તે શું છે સંખ્યા ક્રમ, કારણ કે અંકગણિત પ્રગતિ છે ખાસ કેસસંખ્યા ક્રમ.

સંખ્યા ક્રમ છે નંબર સેટ, જેમાંથી દરેક ઘટકનો પોતાનો સીરીયલ નંબર છે. આ સમૂહના તત્વોને ક્રમના સભ્યો કહેવામાં આવે છે. ક્રમ તત્વનો સીરીયલ નંબર ઇન્ડેક્સ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

ક્રમનું પ્રથમ તત્વ;

ક્રમનું પાંચમું તત્વ;

- ક્રમનું "nth" તત્વ, એટલે કે. તત્વ "કતારમાં ઊભું" નંબર n પર.

ક્રમ તત્વની કિંમત અને તેની ક્રમ સંખ્યા વચ્ચે સંબંધ છે. તેથી, આપણે ક્રમને ફંક્શન તરીકે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ જેની દલીલ એ ક્રમના તત્વની ક્રમાંકિત સંખ્યા છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો આપણે એમ કહી શકીએ ક્રમ એ કુદરતી દલીલનું કાર્ય છે:

ક્રમ ત્રણ રીતે સેટ કરી શકાય છે:

1 . ક્રમ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.આ કિસ્સામાં, અમે ક્રમના દરેક સભ્યનું મૂલ્ય ફક્ત સેટ કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, કોઈએ વ્યક્તિગત સમયનું સંચાલન કરવાનું નક્કી કર્યું, અને તેની સાથે પ્રારંભ કરવા માટે, ગણતરી કરો કે તે અઠવાડિયા દરમિયાન VKontakte પર કેટલો સમય વિતાવે છે. કોષ્ટકમાં સમય રેકોર્ડ કરીને, તેને સાત તત્વોનો ક્રમ પ્રાપ્ત થશે:

કોષ્ટકની પ્રથમ લાઇન અઠવાડિયાના દિવસની સંખ્યા સૂચવે છે, બીજી - મિનિટમાં સમય. આપણે જોઈએ છીએ કે, એટલે કે, સોમવારે કોઈએ VKontakte પર 125 મિનિટ વિતાવી, એટલે કે, ગુરુવારે - 248 મિનિટ, અને, એટલે કે, શુક્રવારે માત્ર 15.

2 . ક્રમ nth શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

આ કિસ્સામાં, તેની સંખ્યા પર ક્રમ તત્વના મૂલ્યની અવલંબન સીધી સૂત્રના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો, પછી

આપેલ સંખ્યા સાથે ક્રમ ઘટકનું મૂલ્ય શોધવા માટે, અમે તત્વ નંબરને nth પદના સૂત્રમાં બદલીએ છીએ.

જો દલીલની કિંમત જાણીતી હોય તો આપણે ફંક્શનની કિંમત શોધવાની જરૂર હોય તો આપણે તે જ કરીએ છીએ. અમે ફંક્શન સમીકરણમાં દલીલના મૂલ્યને બદલીએ છીએ:

જો, ઉદાહરણ તરીકે, , તે

મને ફરી એકવાર નોંધ લેવા દો કે ક્રમમાં, મનસ્વીથી વિપરીત સંખ્યાત્મક કાર્ય, દલીલ માત્ર કુદરતી સંખ્યા હોઈ શકે છે.

3 . અનુક્રમ એક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે જે અગાઉના સભ્યોના મૂલ્યો પર ક્રમ સભ્ય સંખ્યા n ના મૂલ્યની નિર્ભરતાને વ્યક્ત કરે છે.

આ કિસ્સામાં, તેના મૂલ્યને શોધવા માટે ફક્ત ક્રમ સભ્યની સંખ્યાને જાણવું આપણા માટે પૂરતું નથી. આપણે ક્રમના પ્રથમ સભ્ય અથવા પ્રથમ થોડા સભ્યોનો ઉલ્લેખ કરવાની જરૂર છે. ,

ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમને ધ્યાનમાં લો આપણે ક્રમના સભ્યોની કિંમતો શોધી શકીએ છીએએક પછી એક

, ત્રીજાથી શરૂ કરીને: એટલે કે, દર વખતે, ક્રમના nમા પદનું મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે પાછલા બે પર પાછા આવીએ છીએ. ક્રમ સ્પષ્ટ કરવાની આ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છેઆવર્તક , થી લેટિન શબ્દપુનરાવર્તિત

- પાછા આવો. હવે આપણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએઅંકગણિત પ્રગતિ

. અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યા ક્રમનો એક સરળ વિશિષ્ટ કેસ છે. અંકગણિત પ્રગતિ

એક સંખ્યાત્મક ક્રમ છે, જેમાંથી દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, સમાન સંખ્યામાં ઉમેરાયેલા પહેલાના સમાન છે. નંબર પર બોલાવવામાં આવે છેઅંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત

. અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત હકારાત્મક, નકારાત્મક અથવા શૂન્ય સમાન હોઈ શકે છે.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} જો શીર્ષક ==d>0.

વધારો

ઉદાહરણ તરીકે, 2; 5; 8; 11;... જો , તો પછી અંકગણિત પ્રગતિનો દરેક શબ્દ પાછલા એક કરતા ઓછો છે, અને પ્રગતિ છે.

ઘટતું

ઉદાહરણ તરીકે, 2; -1; -4; -7;... જો , તો પછી પ્રગતિની બધી શરતો સમાન સંખ્યા જેટલી છે, અને પ્રગતિ છે.

સ્થિર

ઉદાહરણ તરીકે, 2;2;2;2;...

અંકગણિત પ્રગતિની મુખ્ય મિલકત:

ચાલો ચિત્ર જોઈએ.

તે આપણે જોઈએ છીએ

, અને તે જ સમયે

.

આ બે સમાનતાઓ ઉમેરીને, આપણને મળે છે:

ચાલો સમાનતાની બંને બાજુઓને 2 વડે વિભાજીત કરીએ:

તેથી, અંકગણિત પ્રગતિના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, બે પડોશી રાશિઓના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે:

તે આપણે જોઈએ છીએ

વધુમાં, ત્યારથી

, તે

, અને તેથી">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

અંકગણિત પ્રગતિનો દરેક શબ્દ, શીર્ષક="k>l સાથે શરૂ થાય છે

મી શબ્દનું સૂત્ર.

આપણે જોઈએ છીએ કે અંકગણિત પ્રગતિની શરતો નીચેના સંબંધોને સંતોષે છે:

અને છેલ્લે અમે મળી

nમી મુદતનું સૂત્ર.મહત્વપૂર્ણ!

અંકગણિત પ્રગતિના કોઈપણ સભ્ય અને દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે. પ્રથમ પદ અને અંકગણિત પ્રગતિના તફાવતને જાણીને, તમે તેના કોઈપણ પદો શોધી શકો છો.

અંકગણિતની પ્રગતિની n શરતોનો સરવાળો.

મનસ્વી અંકગણિત પ્રગતિમાં, આત્યંતિક રાશિઓથી સમાન અંતર ધરાવતા શબ્દોનો સરવાળો એકબીજા સાથે સમાન હોય છે:

n શરતો સાથે અંકગણિત પ્રગતિનો વિચાર કરો. આ પ્રગતિની n શરતોનો સરવાળો બરાબર થવા દો.

ચાલો પહેલા સંખ્યાઓના ચડતા ક્રમમાં અને પછી ઉતરતા ક્રમમાં પ્રગતિની શરતો ગોઠવીએ:

દરેક કૌંસમાં સરવાળો છે, જોડીની સંખ્યા n છે.

અમને મળે છે:

તેથી, અંકગણિત પ્રગતિના n શબ્દોનો સરવાળો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

ચાલો વિચાર કરીએ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ ઉકેલવા.

1 . ક્રમ nth શબ્દના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: . સાબિત કરો કે આ ક્રમ એક અંકગણિત પ્રગતિ છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે અનુક્રમના બે સંલગ્ન પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન સંખ્યા જેટલો છે.

અમે જોયું કે અનુક્રમના બે સંલગ્ન સભ્યો વચ્ચેનો તફાવત તેમની સંખ્યા પર આધાર રાખતો નથી અને તે સ્થિર છે. તેથી, વ્યાખ્યા દ્વારા, આ ક્રમ એક અંકગણિત પ્રગતિ છે.

2 . એક અંકગણિત પ્રગતિ આપેલ -31; -27;...

a) પ્રગતિની 31 શરતો શોધો.

b) આ પ્રગતિમાં નંબર 41 સામેલ છે કે કેમ તે નક્કી કરો.

અ)આપણે તે જોઈએ છીએ;

ચાલો આપણી પ્રગતિ માટે nમી મુદત માટેનું સૂત્ર લખીએ.

સામાન્ય રીતે

અમારા કિસ્સામાં , એટલે જ

. અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યા ક્રમનો એક સરળ વિશિષ્ટ કેસ છે.સંખ્યાઓના ક્રમને નામ આપો (પ્રગતિની શરતો)

જેમાં દરેક અનુગામી પદ નવા શબ્દ દ્વારા અગાઉના એક કરતા અલગ પડે છે, જેને પણ કહેવામાં આવે છે પગલું અથવા પ્રગતિ તફાવત.

આમ, પ્રગતિના પગલા અને તેની પ્રથમ મુદતનો ઉલ્લેખ કરીને, તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેના કોઈપણ ઘટકો શોધી શકો છો.

અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મો

1) અંકગણિત પ્રગતિના દરેક સભ્ય, બીજા નંબરથી શરૂ થતા, પ્રગતિના અગાઉના અને પછીના સભ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ છે.

વાતચીત પણ સાચી છે. જો પ્રગતિના સંલગ્ન વિષમ (સમ) પદોનો અંકગણિત સરેરાશ તેમની વચ્ચેના શબ્દ સમાન હોય, તો સંખ્યાઓનો આ ક્રમ એ અંકગણિત પ્રગતિ છે. આ નિવેદનનો ઉપયોગ કરીને, કોઈપણ ક્રમને તપાસવું ખૂબ જ સરળ છે.

ઉપરાંત, અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મ દ્વારા, ઉપરોક્ત સૂત્ર નીચેનામાં સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે

જો તમે સમાન ચિહ્નની જમણી બાજુએ શરતો લખો છો તો આ ચકાસવું સરળ છે

તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર સમસ્યાઓમાં ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે વ્યવહારમાં થાય છે.

2) અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ n પદોના સરવાળાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે

અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળા માટેનું સૂત્ર સારી રીતે યાદ રાખો;

3) જો તમારે આખો સરવાળો નહીં, પરંતુ તેના kth પદથી શરૂ થતા ક્રમનો ભાગ શોધવાની જરૂર હોય, તો નીચેના સરવાળા સૂત્ર તમારા માટે ઉપયોગી થશે

4) વ્યાવહારિક રસ એ છે કે kth નંબરથી શરૂ થતા અંકગણિતની પ્રગતિના n શબ્દોનો સરવાળો શોધવો. આ કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો

આના પર સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીસમાપ્ત થાય છે અને અમે વ્યવહારમાં સામાન્ય સમસ્યાઓના નિરાકરણ તરફ આગળ વધીએ છીએ.

ઉદાહરણ 1. અંકગણિત પ્રગતિ 4;7;...નો ચાલીસમો શબ્દ શોધો

ઉકેલ:

અમારી પાસે જે શરત છે તે મુજબ

ચાલો પ્રગતિનું પગલું નક્કી કરીએ

દ્વારા જાણીતું સૂત્રપ્રગતિની ચાલીસમી મુદત શોધો

ઉદાહરણ 2.

ઉકેલ:

અંકગણિતની પ્રગતિ તેના ત્રીજા અને સાતમા પદો દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રગતિનું પ્રથમ પદ અને દસનો સરવાળો શોધો.

ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પ્રગતિના આપેલ ઘટકોને લખીએ

અમે બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરીએ છીએ, પરિણામે આપણને પ્રગતિનું પગલું મળે છે

અમે અંકગણિતની પ્રગતિના પ્રથમ પદને શોધવા માટે કોઈપણ સમીકરણોમાં મળેલ મૂલ્યને બદલીએ છીએ

અમે પ્રગતિની પ્રથમ દસ શરતોના સરવાળાની ગણતરી કરીએ છીએ અરજી કર્યા વિનાજટિલ ગણતરીઓ

અમને તમામ જરૂરી માત્રા મળી.

ઉકેલ:

ઉદાહરણ 3. અંકગણિતની પ્રગતિ છેદ અને તેના એક પદ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રગતિની પ્રથમ અવધિ, 50 થી શરૂ થતા તેના 50 પદોનો સરવાળો અને પ્રથમ 100 નો સરવાળો શોધો.

ચાલો પ્રગતિના સોમા તત્વ માટે સૂત્ર લખીએ

અને પ્રથમ શોધો

પ્રથમના આધારે, અમે પ્રગતિની 50મી મુદત શોધીએ છીએ

પ્રગતિના ભાગનો સરવાળો શોધવો

અને પ્રથમ 100 નો સરવાળો

પ્રગતિ રકમ 250 છે.

ઉદાહરણ 4.

અંકગણિત પ્રગતિના શબ્દોની સંખ્યા શોધો જો:

ઉકેલ:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

ચાલો પ્રથમ પદ અને પ્રગતિના પગલાના સંદર્ભમાં સમીકરણો લખીએ અને તેમને નિર્ધારિત કરીએ

સરવાળામાં પદોની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે અમે મેળવેલ મૂલ્યોને સરવાળા ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ છીએ

અમે સરળીકરણો હાથ ધરીએ છીએ અને નક્કી કરો

ચતુર્ભુજ સમીકરણ

મળેલા બે મૂલ્યોમાંથી, માત્ર નંબર 8 સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓને બંધબેસે છે. આમ, પ્રગતિના પ્રથમ આઠ પદોનો સરવાળો 111 છે.

ઉદાહરણ 5.

સમીકરણ ઉકેલો

1+3+5+...x=307. ઉકેલ:આ સમીકરણ

હા, હા: અંકગણિત પ્રગતિ તમારા માટે રમકડું નથી :)

ઠીક છે, મિત્રો, જો તમે આ લખાણ વાંચી રહ્યા છો, તો આંતરિક કેપ-પુરાવા મને કહે છે કે તમે હજી સુધી એ નથી જાણતા કે અંકગણિત પ્રગતિ શું છે, પરંતુ તમે ખરેખર (ના, તેના જેવું: SOOOOO!) જાણવા માગો છો. તેથી, હું તમને લાંબા પરિચય સાથે ત્રાસ આપીશ નહીં અને સીધા મુદ્દા પર પહોંચીશ.

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• પ્રથમ, ઉદાહરણો એક દંપતિ. ચાલો સંખ્યાઓના કેટલાક સેટ જોઈએ:

$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$ આ બધા સેટમાં શું સામ્ય છે? પ્રથમ નજરમાં, કંઈ નથી. પરંતુ વાસ્તવમાં કંઈક છે. જેમ કે:.

દરેક આગલું તત્વ અગાઉના એકથી સમાન સંખ્યા દ્વારા અલગ પડે છે તમારા માટે ન્યાયાધીશ. પ્રથમ સેટ ફક્ત સળંગ સંખ્યાઓ છે, દરેક આગળની સંખ્યા પાછલા એક કરતા વધુ છે. બીજા કિસ્સામાં, શ્રેણી વચ્ચેનો તફાવતપહેલાથી જ પાંચ બરાબર છે, પરંતુ આ તફાવત હજુ પણ સ્થિર છે. ત્રીજા કિસ્સામાં, ત્યાં કોઈ મૂળ નથી. જો કે, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, અને $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, એટલે કે. અને આ કિસ્સામાં, દરેક આગામી તત્વ ફક્ત $\sqrt(2)$ દ્વારા વધે છે (અને ડરશો નહીં કે આ સંખ્યા અતાર્કિક છે).

તેથી: આવા તમામ ક્રમને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે. ચાલો કડક વ્યાખ્યા આપીએ:

વ્યાખ્યા. સંખ્યાઓનો ક્રમ કે જેમાં દરેક આગલી સંખ્યા અગાઉના એકથી બરાબર સમાન રકમથી અલગ હોય તેને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવાય છે. સંખ્યાઓ જે પ્રમાણમાં અલગ પડે છે તેને પ્રગતિ તફાવત કહેવામાં આવે છે અને મોટાભાગે $d$ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

નોટેશન: $\left(((a)_(n)) \right)$ એ પોતે જ પ્રગતિ છે, $d$ તેનો તફાવત છે.

અને માત્ર થોડી મહત્વપૂર્ણ નોંધો. પ્રથમ, પ્રગતિ માત્ર ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે આદેશ આપ્યોસંખ્યાઓનો ક્રમ: તેઓ જે ક્રમમાં લખ્યા છે તે પ્રમાણે તેમને સખત રીતે વાંચવાની મંજૂરી છે - અને બીજું કંઈ નહીં. સંખ્યાઓ ફરીથી ગોઠવી શકાતી નથી અથવા સ્વેપ કરી શકાતી નથી.

બીજું, ક્રમ પોતે મર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમૂહ (1; 2; 3) દેખીતી રીતે મર્યાદિત અંકગણિત પ્રગતિ છે. પરંતુ જો તમે ભાવનામાં કંઈક લખો છો (1; 2; 3; 4; ...) - આ પહેલેથી જ છે અનંત પ્રગતિ. ચાર પછીના અંડાકાર સંકેત આપે છે કે હજુ પણ થોડા વધુ નંબરો આવવાના છે. અનંત ઘણા, ઉદાહરણ તરીકે :)

હું એ પણ નોંધવા માંગુ છું કે પ્રગતિઓ વધી અથવા ઘટી શકે છે. આપણે પહેલેથી જ વધતા જતા જોયા છે - સમાન સમૂહ (1; 2; 3; 4; ...). અહીં ઘટતી પ્રગતિના ઉદાહરણો છે:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ઠીક છે, ઠીક છે: છેલ્લું ઉદાહરણવધુ પડતી જટિલ લાગી શકે છે. પરંતુ બાકીનું, મને લાગે છે, તમે સમજો છો. તેથી, અમે નવી વ્યાખ્યાઓ રજૂ કરીએ છીએ:

વ્યાખ્યા. અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે:

1. જો દરેક આગલું તત્વ પાછલા એક કરતા વધારે હોય તો વધારો;
2. જો તેનાથી વિપરિત, દરેક અનુગામી તત્વ પાછલા એક કરતા ઓછું હોય તો ઘટે છે.

વધુમાં, ત્યાં કહેવાતા "સ્થિર" સિક્વન્સ છે - તે સમાન પુનરાવર્તિત સંખ્યા ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, (3; 3; 3; ...).

માત્ર એક જ પ્રશ્ન રહે છે: વધતી જતી પ્રગતિને ઘટતી પ્રગતિથી કેવી રીતે અલગ કરવી? સદનસીબે, અહીં બધું ફક્ત $d$ નંબરના ચિહ્ન પર આધારિત છે, એટલે કે. પ્રગતિ તફાવતો:

1. જો $d \gt 0$, તો પ્રગતિ વધે છે;
2. જો $d \lt 0$, તો પછી પ્રગતિ દેખીતી રીતે ઘટી રહી છે;
3. અંતે, કેસ $d=0$ છે - આ કિસ્સામાં સમગ્ર પ્રગતિ સ્થિર ક્રમમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે સમાન સંખ્યાઓ: (1; 1; 1; 1; ...), વગેરે.

ચાલો ઉપર આપેલ ત્રણ ઘટતી પ્રગતિ માટે $d$ તફાવતની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, કોઈપણ બે અડીને તત્વો (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ અને બીજું) લેવા અને જમણી બાજુની સંખ્યામાંથી ડાબી બાજુની સંખ્યાને બાદ કરવા માટે તે પૂરતું છે. તે આના જેવો દેખાશે:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, બધામાં ત્રણ કેસતફાવત ખરેખર નકારાત્મક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. અને હવે જ્યારે આપણે વધુ કે ઓછી વ્યાખ્યાઓ શોધી કાઢી છે, તે સમજવાનો સમય છે કે પ્રગતિ કેવી રીતે વર્ણવવામાં આવે છે અને તેમની પાસે શું ગુણધર્મો છે.

પ્રગતિની શરતો અને પુનરાવૃત્તિ સૂત્ર

અમારા સિક્વન્સના ઘટકોને સ્વેપ કરી શકાતા નથી, તેથી તેઓને ક્રમાંકિત કરી શકાય છે:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \right\)\]

આ સમૂહના વ્યક્તિગત ઘટકોને પ્રગતિના સભ્યો કહેવામાં આવે છે. તેઓ સંખ્યા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: પ્રથમ સભ્ય, બીજા સભ્ય, વગેરે.

વધુમાં, જેમ આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ, પ્રગતિની પડોશી શરતો સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

ટૂંકમાં, પ્રગતિના $n$th શબ્દને શોધવા માટે, તમારે $n-1$th શબ્દ અને $d$નો તફાવત જાણવાની જરૂર છે. આ સૂત્રને આવર્તક કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેની સહાયથી તમે કોઈપણ સંખ્યાને ફક્ત અગાઉના (અને હકીકતમાં, અગાઉના બધા) જાણીને શોધી શકો છો. આ ખૂબ જ અસુવિધાજનક છે, તેથી ત્યાં વધુ ઘડાયેલું સૂત્ર છે જે કોઈપણ ગણતરીઓને પ્રથમ ટર્મ અને તફાવતમાં ઘટાડે છે:

\[(a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \જમણે)d\]

તમે કદાચ પહેલાથી જ આ ફોર્મ્યુલામાં આવ્યા છો. તેઓ તેને તમામ પ્રકારના સંદર્ભ પુસ્તકો અને ઉકેલ પુસ્તકોમાં આપવાનું પસંદ કરે છે. અને કોઈપણ સમજદાર ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં તે પ્રથમમાંનું એક છે.

જો કે, હું તમને થોડી પ્રેક્ટિસ કરવાની સલાહ આપું છું.

કાર્ય નંબર 1. અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ ત્રણ પદો લખો $\left(((a)_(n)) \right)$ જો $((a)_(1))=8,d=-5$.

ઉકેલ. તેથી, અમે પ્રથમ શબ્દ $((a)_(1))=8$ અને પ્રગતિ $d=-5$નો તફાવત જાણીએ છીએ. ચાલો હમણાં આપેલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીએ અને $n=1$, $n=2$ અને $n=3$ ને બદલીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જવાબ: (8; 3; −2)

બસ! મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અમારી પ્રગતિ ઘટી રહી છે.

અલબત્ત, $n=1$ બદલી શકાયું નથી - પ્રથમ શબ્દ અમને પહેલેથી જ જાણીતો છે. જો કે, એકતાને બદલીને, અમને ખાતરી થઈ કે પ્રથમ ટર્મ માટે પણ અમારી ફોર્મ્યુલા કામ કરે છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, બધું મામૂલી અંકગણિત પર નીચે આવ્યું.

કાર્ય નંબર 2. અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ ત્રણ પદો લખો જો તેનું સાતમું પદ −40 ની બરાબર હોય અને તેની સત્તરમી પદ −50 ની બરાબર હોય.

ઉકેલ. ચાલો સમસ્યાની સ્થિતિને પરિચિત શબ્દોમાં લખીએ:

\[(a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(સંરેખિત કરો) \જમણે.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(સંરેખિત કરો) \અધિકાર.\]

મેં સિસ્ટમ ચિહ્ન મૂક્યું કારણ કે આ આવશ્યકતાઓ એકસાથે મળવી આવશ્યક છે. હવે ચાલો નોંધ લઈએ કે જો આપણે બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદ કરીએ (આપણી પાસે સિસ્ટમ હોવાથી આ કરવાનો અધિકાર છે), તો આપણને આ મળશે:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

પ્રગતિના તફાવતને શોધવાનું તે કેટલું સરળ છે! જે બાકી છે તે સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણોમાં મળેલ સંખ્યાને બદલવાનું છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમમાં:

\[\begin(મેટ્રિક્સ) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(મેટ્રિક્સ)\]

હવે, પ્રથમ શબ્દ અને તફાવતને જાણીને, બીજા અને ત્રીજા શબ્દો શોધવાનું બાકી છે:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

તૈયાર! સમસ્યા હલ થાય છે.

જવાબ: (−34; −35; −36)

અમે શોધેલી પ્રગતિના રસપ્રદ ગુણધર્મ પર ધ્યાન આપો: જો આપણે $n$th અને $m$th શબ્દો લઈએ અને તેમને એકબીજામાંથી બાદ કરીએ, તો આપણને $n-m$ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીને પ્રગતિનો તફાવત મળે છે:

\[(a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

સરળ પરંતુ ખૂબ જ ઉપયોગી મિલકત, જે તમારે ચોક્કસપણે જાણવાની જરૂર છે - તેની સહાયથી તમે ઘણી પ્રગતિ સમસ્યાઓના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે ઝડપી કરી શકો છો. અહીં આનું સ્પષ્ટ ઉદાહરણ છે:

કાર્ય નંબર 3. અંકગણિત પ્રગતિની પાંચમી અવધિ 8.4 છે, અને તેની દસમી પદ 14.4 છે. આ પ્રગતિની પંદરમી મુદત શોધો.

ઉકેલ. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, અને અમારે $((a)_(15))$ શોધવાની જરૂર હોવાથી, અમે નીચેની નોંધ કરીએ છીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

પરંતુ શરત દ્વારા $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, તેથી $5d=6$, જેમાંથી અમારી પાસે છે:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જવાબ: 20.4

બસ! અમારે સમીકરણોની કોઈપણ પ્રણાલી બનાવવાની અને પ્રથમ પદ અને તફાવતની ગણતરી કરવાની જરૂર નહોતી - બધું માત્ર બે લીટીઓમાં ઉકેલાઈ ગયું હતું.

હવે ચાલો બીજા પ્રકારની સમસ્યા જોઈએ - પ્રગતિના નકારાત્મક અને હકારાત્મક શબ્દોની શોધ. તે કોઈ રહસ્ય નથી કે જો પ્રગતિ વધે છે, અને તેની પ્રથમ મુદત નકારાત્મક છે, તો વહેલા અથવા પછીના હકારાત્મક શબ્દો તેમાં દેખાશે. અને ઊલટું: ઘટતી પ્રગતિની શરતો વહેલા કે પછી નકારાત્મક બની જશે.

તે જ સમયે, તત્વોમાંથી ક્રમિક રીતે જઈને આ ક્ષણને "હેડ-ઓન" શોધવાનું હંમેશા શક્ય નથી. ઘણીવાર, સમસ્યાઓ એવી રીતે લખવામાં આવે છે કે સૂત્રોને જાણ્યા વિના, ગણતરીઓ કાગળની ઘણી શીટ્સ લે છે - જ્યારે અમને જવાબ મળે ત્યારે અમે ખાલી ઊંઘી જઈએ છીએ. તેથી, ચાલો આ સમસ્યાઓને ઝડપી રીતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

કાર્ય નંબર 4. અંકગણિત પ્રગતિમાં કેટલા નકારાત્મક શબ્દો છે −38.5; −35.8; ...?

ઉકેલ. તેથી, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, જ્યાંથી આપણે તરત જ તફાવત શોધીએ છીએ:

નોંધ કરો કે તફાવત હકારાત્મક છે, તેથી પ્રગતિ વધે છે. પ્રથમ શબ્દ નકારાત્મક છે, તેથી ખરેખર અમુક સમયે આપણે હકારાત્મક સંખ્યાઓ પર ઠોકર ખાઈશું. આ ક્યારે થશે તે એક જ પ્રશ્ન છે.

ચાલો તે શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ: સુધી ક્યારે (એટલે ​​કે શું સુધી કુદરતી સંખ્યા$n$) શરતોની નકારાત્મકતા સાચવેલ છે:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

છેલ્લી પંક્તિ થોડી સમજૂતીની જરૂર છે. તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે $n \lt 15\frac(7)(27)$. બીજી બાજુ, અમે સંખ્યાના માત્ર પૂર્ણાંક મૂલ્યોથી સંતુષ્ટ છીએ (વધુમાં: $n\in \mathbb(N)$), તેથી સૌથી મોટી અનુમતિપાત્ર સંખ્યા ચોક્કસપણે $n=15$ છે, અને કોઈ પણ સંજોગોમાં 16 નથી .

કાર્ય નંબર 5. અંકગણિત પ્રગતિમાં $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. આ પ્રગતિના પ્રથમ હકારાત્મક પદની સંખ્યા શોધો.

આ બરાબર અગાઉની સમસ્યા જેવી જ હશે, પરંતુ અમે $((a)_(1))$ જાણતા નથી. પરંતુ પડોશી શબ્દો જાણીતા છે: $((a)_(5))$ અને $((a)_(6))$, જેથી આપણે પ્રગતિનો તફાવત સરળતાથી શોધી શકીએ:

વધુમાં, ચાલો પ્રમાણભૂત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ અને તફાવત દ્વારા પાંચમા શબ્દને વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

હવે આપણે સામ્યતા દ્વારા આગળ વધીએ છીએ અગાઉનું કાર્ય. ચાલો જોઈએ કે આપણા ક્રમમાં કયા બિંદુએ હકારાત્મક સંખ્યાઓ દેખાશે:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક ઉકેલ આ અસમાનતા- નંબર 56.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: છેલ્લા કાર્યમાં તે બધું નીચે આવ્યું કડક અસમાનતા, તેથી $n=55$ વિકલ્પ અમને અનુકૂળ નહિ આવે.

હવે જ્યારે આપણે સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કેવી રીતે કરવું તે શીખ્યા, ચાલો વધુ જટિલ મુદ્દાઓ તરફ આગળ વધીએ. પરંતુ પ્રથમ, ચાલો અંકગણિત પ્રગતિની બીજી ખૂબ જ ઉપયોગી મિલકતનો અભ્યાસ કરીએ, જે ભવિષ્યમાં આપણને ઘણો સમય અને અસમાન કોષો બચાવશે :)

અંકગણિત સરેરાશ અને સમાન ઇન્ડેન્ટેશન

ચાલો અંકગણિતની વધતી જતી પ્રગતિના કેટલાક સળંગ પદોને ધ્યાનમાં લઈએ $\left(((a)_(n)) \right)$. ચાલો તેમને નંબર લાઇન પર ચિહ્નિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

મેં ખાસ કરીને મનસ્વી શબ્દો $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ચિહ્નિત કર્યા છે, અને કેટલાક $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, વગેરે. કારણ કે હવે હું તમને જે નિયમ વિશે કહીશ તે કોઈપણ "સેગમેન્ટ્સ" માટે સમાન કાર્ય કરે છે.

અને નિયમ ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો આવર્તક સૂત્રને યાદ રાખીએ અને તેને તમામ ચિહ્નિત શબ્દો માટે લખીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જો કે, આ સમાનતાને અલગ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

તો શું? અને હકીકત એ છે કે $((a)_(n-1))$ અને $((a)_(n+1))$ $((a)_(n)) $ થી સમાન અંતરે આવેલા છે. . અને આ અંતર $d$ જેટલું છે. આ જ શબ્દો $((a)_(n-2))$ અને $((a)_(n+2))$ વિશે કહી શકાય - તે $((a)_(n) માંથી પણ દૂર કરવામાં આવ્યા છે. )$ સમાન અંતરે $2d$. અમે જાહેરાત અનંત ચાલુ રાખી શકીએ છીએ, પરંતુ અર્થ ચિત્ર દ્વારા સારી રીતે દર્શાવવામાં આવ્યો છે

આ આપણા માટે શું અર્થ છે? આનો અર્થ એ છે કે જો પડોશી સંખ્યાઓ જાણીતી હોય તો $((a)_(n))$ શોધી શકાય છે:

\[(a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

અમે એક ઉત્તમ વિધાન મેળવ્યું છે: અંકગણિત પ્રગતિના દરેક પદ તેના પડોશી પદોના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે! વધુમાં: અમે અમારા $((a)_(n))$ થી ડાબી અને જમણી તરફ એક ડગલાથી નહીં, પરંતુ $k$ પગલાંથી પાછળ જઈ શકીએ છીએ - અને સૂત્ર હજુ પણ સાચું રહેશે:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

તે. જો આપણે $((a)_(100))$ અને $((a)_(200))$ જાણીએ તો અમે કેટલાક $((a)_(150))$ સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ, કારણ કે $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. પ્રથમ નજરમાં, એવું લાગે છે કે આ હકીકત આપણને કંઈપણ ઉપયોગી આપતી નથી. જો કે, વ્યવહારમાં, ઘણી સમસ્યાઓ ખાસ કરીને અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ કરવા માટે તૈયાર કરવામાં આવે છે. એક નજર નાખો:

કાર્ય નંબર 6. $x$ ના તમામ મૂલ્યો શોધો કે જેના માટે $-6((x)^(2))$, $x+1$ અને $14+4((x)^(2))$ ની સળંગ શરતો છે એક અંકગણિત પ્રગતિ (દશાવેલ ક્રમમાં).

ઉકેલ. ત્યારથી ઉલ્લેખિત નંબરોપ્રગતિના સભ્યો છે, તેમના માટે અંકગણિત સરેરાશ સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે: કેન્દ્રિય તત્વ$x+1$ ને પડોશી તત્વોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-(x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

પરિણામ એ ક્લાસિક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે. તેના મૂળ: $x=2$ અને $x=-3$ જવાબો છે.

જવાબ: -3; 2.

કાર્ય નંબર 7. $$ ના મૂલ્યો શોધો જેના માટે $-1;4-3;()^(2))+1$ અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે (તે ક્રમમાં).

ઉકેલ. ચાલો પડોશી શબ્દોના અંકગણિત માધ્યમ દ્વારા મધ્યમ પદને ફરીથી વ્યક્ત કરીએ:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+(x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=(x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

ફરીથી ચતુર્ભુજ સમીકરણ. અને ફરીથી ત્યાં બે મૂળ છે: $x=6$ અને $x=1$.

જવાબ: 1; 6.

જો કોઈ સમસ્યા હલ કરવાની પ્રક્રિયામાં તમે કેટલાક ક્રૂર નંબરો સાથે આવો છો, અથવા તમને મળેલા જવાબોની સાચીતા વિશે સંપૂર્ણ ખાતરી નથી, તો એક અદ્ભુત તકનીક છે જે તમને તપાસવાની મંજૂરી આપે છે: શું અમે સમસ્યાને યોગ્ય રીતે હલ કરી છે?

ચાલો કહીએ કે સમસ્યા નંબર 6 માં અમને −3 અને 2 જવાબો મળ્યા છે. અમે કેવી રીતે ચકાસી શકીએ કે આ જવાબો સાચા છે? ચાલો તેમને મૂળ સ્થિતિમાં પ્લગ કરીએ અને જોઈએ કે શું થાય છે. હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે અમારી પાસે ત્રણ સંખ્યાઓ છે ($-6(()^(2))$, $+1$ અને $14+4(()^(2))$), જે અંકગણિત પ્રગતિ બનાવવી જોઈએ. ચાલો $x=-3$ ને બદલીએ:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \અંત(સંરેખિત કરો)\]

અમને −54 નંબરો મળ્યા; −2; 50 જે 52 થી ભિન્ન છે તે નિઃશંકપણે અંકગણિતની પ્રગતિ છે. આ જ વસ્તુ $x=2$ માટે થાય છે:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \અંત(સંરેખિત કરો)\]

ફરી એક પ્રગતિ, પરંતુ 27 ના તફાવત સાથે. આમ, સમસ્યા યોગ્ય રીતે હલ થઈ. જેઓ ઈચ્છે છે તેઓ બીજી સમસ્યા જાતે તપાસી શકે છે, પરંતુ હું તરત જ કહીશ: ત્યાં પણ બધું બરાબર છે.

એકંદરે, નક્કી નવીનતમ કાર્યો, અમે બીજા એક સાથે આવ્યા રસપ્રદ હકીકત, જેને પણ યાદ રાખવાની જરૂર છે:

જો ત્રણ સંખ્યા એવી હોય કે બીજી મધ્યમ હોય પ્રથમ અંકગણિતઅને છેલ્લે, પછી આ સંખ્યાઓ અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે.

ભવિષ્યમાં, આ નિવેદનને સમજવાથી આપણને શાબ્દિક રીતે "ડિઝાઇન" કરવાની મંજૂરી મળશે. જરૂરી પ્રગતિ, સમસ્યાની શરતોના આધારે. પરંતુ આપણે આવા "બાંધકામ" માં જોડાતા પહેલા, આપણે એક વધુ હકીકત પર ધ્યાન આપવું જોઈએ, જે પહેલાથી જ ચર્ચા કરવામાં આવી છે તેના પરથી સીધું અનુસરે છે.

તત્વોનું જૂથીકરણ અને સારાંશ

ચાલો પર પાછા જઈએ સંખ્યા અક્ષ. ચાલો આપણે ત્યાં પ્રગતિના કેટલાક સભ્યોની નોંધ લઈએ, જે વચ્ચે, કદાચ. અન્ય ઘણા સભ્યો માટે મૂલ્યવાન છે:

ચાલો "ડાબી પૂંછડી" ને $((a)_(n))$ અને $d$ દ્વારા અને "જમણી પૂંછડી" ને $((a)_(k))$ અને $d$ દ્વારા વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. તે ખૂબ જ સરળ છે:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

હવે નોંધ લો કે નીચેની રકમ સમાન છે:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= એસ; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= એસ. \અંત(સંરેખિત કરો)\]

સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આપણે પ્રગતિના બે ઘટકોને શરૂઆત તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ, જે કુલ મળીને અમુક સંખ્યા $S$ જેટલી હોય છે, અને પછી આ તત્વોમાંથી આગળ વધવાનું શરૂ કરીએ છીએ. વિરુદ્ધ બાજુઓ(એકબીજા તરફ અથવા તેનાથી વિપરિત દૂર જવા માટે), પછી જે તત્વો પર આપણે ઠોકર ખાઈશું તેનો સરવાળો પણ સમાન હશે$S$. આ સૌથી સ્પષ્ટ રીતે ગ્રાફિકલી રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

સમજણ આ હકીકતઅમને મૂળભૂત રીતે વધુ સમસ્યાઓ હલ કરવા દેશે ઉચ્ચ સ્તરઆપણે ઉપર વિચાર્યા કરતાં મુશ્કેલીઓ. ઉદાહરણ તરીકે, આ:

કાર્ય નંબર 8. અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત નક્કી કરો જેમાં પ્રથમ પદ 66 છે, અને બીજા અને બારમા પદનો ગુણાંક શક્ય તેટલો નાનો છે.

ઉકેલ. ચાલો આપણે જે જાણીએ છીએ તે બધું લખીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \અંત(સંરેખિત કરો)\]

તેથી, અમે પ્રગતિ તફાવત $d$ જાણતા નથી. વાસ્તવમાં, સમગ્ર સોલ્યુશન તફાવતની આસપાસ બનાવવામાં આવશે, કારણ કે ઉત્પાદન $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ ને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \જમણે). \અંત(સંરેખિત કરો)\]

ટાંકીમાં રહેલા લોકો માટે: મેં તેને બહાર કાઢ્યું સામાન્ય ગુણકબીજા કૌંસમાંથી 11. આમ, જરૂરી ઉત્પાદન એ ચલ $d$ના સંદર્ભમાં એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે. તેથી, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ ને ધ્યાનમાં લો - તેનો આલેખ ઉપરની શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા હશે, કારણ કે જો આપણે કૌંસને વિસ્તૃત કરીએ, તો આપણને મળશે:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ઉચ્ચતમ પદનો ગુણાંક 11 છે - આ છે હકારાત્મક સંખ્યા, તેથી અમે ખરેખર શાખાઓ સાથે પેરાબોલા સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ:

શેડ્યૂલ ચતુર્ભુજ કાર્ય- પેરાબોલા

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: ન્યૂનતમ મૂલ્યઆ પેરાબોલા તેના શિરોબિંદુ પર એબ્સીસા સાથે $((d)_(0))$ લે છે. અલબત્ત, અમે સ્ટાન્ડર્ડ સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને આ એબ્સીસાની ગણતરી કરી શકીએ છીએ (ત્યાં સૂત્ર $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ છે), પરંતુ તે નોંધવું વધુ વ્યાજબી હશે કે ઇચ્છિત શિરોબિંદુ પેરાબોલાના ધરીની સમપ્રમાણતા પર આવેલું છે, તેથી બિંદુ $((d)_(0))$ સમીકરણ $f\left(d \right)=0$ ના મૂળથી સમાન છે:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

તેથી જ મને કૌંસ ખોલવાની કોઈ ખાસ ઉતાવળ નહોતી: તેમના મૂળ સ્વરૂપમાં, મૂળ શોધવામાં ખૂબ જ સરળ હતા. તેથી, abscissa સરેરાશ સમાન છે અંકગણિત સંખ્યાઓ−66 અને −6:

\[(d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

શોધાયેલ નંબર આપણને શું આપે છે? તેની સાથે, જરૂરી ઉત્પાદન લે છે સૌથી નાનું મૂલ્ય(માર્ગ દ્વારા, અમે ક્યારેય $((y)_(\min ))$ ની ગણતરી કરી નથી - આ અમારા માટે જરૂરી નથી). તે જ સમયે, આ સંખ્યા મૂળ પ્રગતિનો તફાવત છે, એટલે કે. અમને જવાબ મળ્યો :)

જવાબ: -36

કાર્ય નંબર 9. $-\frac(1)(2)$ અને $-\frac(1)(6)$ વચ્ચે ત્રણ સંખ્યાઓ દાખલ કરો જેથી આ સંખ્યાઓ સાથે મળીને તેઓ અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે.

ઉકેલ. અનિવાર્યપણે, આપણે પાંચ સંખ્યાઓનો ક્રમ બનાવવાની જરૂર છે, જેમાં પ્રથમ અને છેલ્લી સંખ્યા પહેલેથી જ જાણીતી છે. ચાલો ખૂટતી સંખ્યાઓને $x$, $y$ અને $z$ દ્વારા દર્શાવીએ:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

નોંધ કરો કે $y$ એ આપણા ક્રમનો "મધ્યમ" છે - તે $x$ અને $z$, અને $-\frac(1)(2)$ અને $-\frac નંબરોથી સમાન છે (1)(6)$. અને જો $x$ અને $z$ નંબરોમાંથી આપણે અંદર છીએ આ ક્ષણેઅમે $y$ મેળવી શકતા નથી, પછી પ્રગતિના અંત સાથે પરિસ્થિતિ અલગ છે. ચાલો અંકગણિતનો અર્થ યાદ કરીએ:

હવે, $y$ જાણીને, આપણે બાકીની સંખ્યાઓ શોધીશું. નોંધ કરો કે $x$ એ $-\frac(1)(2)$ અને $y=-\frac(1)(3)$ અમે હમણાં જ શોધેલા નંબરો વચ્ચે આવેલું છે. તેથી જ

સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બાકીની સંખ્યા શોધીએ છીએ:

તૈયાર! અમને ત્રણેય નંબરો મળ્યા. ચાલો તેમને જવાબમાં મૂળ સંખ્યાઓ વચ્ચે જે ક્રમમાં દાખલ કરવા જોઈએ તે ક્રમમાં લખીએ.

જવાબ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

કાર્ય નંબર 10. નંબરો 2 અને 42 ની વચ્ચે, ઘણી સંખ્યાઓ દાખલ કરો જે, આ સંખ્યાઓ સાથે મળીને, એક અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે, જો તમે જાણો છો કે દાખલ કરેલ સંખ્યાઓમાંથી પ્રથમ, બીજા અને છેલ્લાનો સરવાળો 56 છે.

ઉકેલ. પણ વધુ મુશ્કેલ કાર્ય, જે, જો કે, અગાઉના લોકો જેવી જ યોજના અનુસાર ઉકેલવામાં આવે છે - અંકગણિત સરેરાશ દ્વારા. સમસ્યા એ છે કે આપણે બરાબર જાણતા નથી કે કેટલા નંબરો નાખવાની જરૂર છે. તેથી, ચાલો નિશ્ચિતતા માટે માની લઈએ કે બધું દાખલ કર્યા પછી બરાબર $n$ સંખ્યાઓ હશે, અને તેમાંથી પ્રથમ 2 છે, અને છેલ્લો 42 છે. આ કિસ્સામાં, જરૂરી અંકગણિત પ્રગતિ ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[(a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

જો કે, નોંધ કરો કે $((a)_(2))$ અને $((a)_(n-1))$ એ અંકો 2 અને 42 માંથી કિનારે એક બીજા તરફ એક પગથિયાંથી મેળવવામાં આવે છે, એટલે કે ક્રમના કેન્દ્રમાં. અને આનો અર્થ એ છે કે

\[(a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

પરંતુ પછી ઉપર લખેલ અભિવ્યક્તિ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\begin(સંરેખિત કરો) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

$((a)_(3))$ અને $((a)_(1))$ ને જાણીને, આપણે પ્રગતિનો તફાવત સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

બાકીના શબ્દો શોધવાનું બાકી છે:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

આમ, પહેલાથી જ 9મા પગલા પર આપણે ક્રમના ડાબા છેડે આવીશું - નંબર 42. કુલ, ફક્ત 7 નંબરો દાખલ કરવાના હતા: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

જવાબ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

પ્રગતિ સાથે શબ્દ સમસ્યાઓ

નિષ્કર્ષમાં, હું પ્રમાણમાં એક દંપતિ ધ્યાનમાં લેવા માંગો છો સરળ કાર્યો. ઠીક છે, તેટલું સરળ: મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓ કે જેઓ શાળામાં ગણિતનો અભ્યાસ કરે છે અને ઉપર લખેલું વાંચ્યું નથી, આ સમસ્યાઓ અઘરી લાગે છે. તેમ છતાં, આ સમસ્યાઓના પ્રકારો છે જે ગણિતમાં OGE અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં દેખાય છે, તેથી હું ભલામણ કરું છું કે તમે તેમની સાથે પોતાને પરિચિત કરો.

કાર્ય નંબર 11. ટીમે જાન્યુઆરીમાં 62 ભાગોનું ઉત્પાદન કર્યું હતું, અને પછીના દરેક મહિનામાં તેઓએ પાછલા મહિના કરતાં 14 વધુ ભાગોનું ઉત્પાદન કર્યું હતું. નવેમ્બરમાં ટીમે કેટલા ભાગો બનાવ્યા?

ઉકેલ. દેખીતી રીતે, મહિના દ્વારા સૂચિબદ્ધ ભાગોની સંખ્યા વધતી અંકગણિત પ્રગતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરશે. વધુમાં:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

નવેમ્બર એ વર્ષનો 11મો મહિનો છે, તેથી આપણે $((a)_(11))$ શોધવાની જરૂર છે:

\[(a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

તેથી નવેમ્બરમાં 202 ભાગોનું ઉત્પાદન કરવામાં આવશે.

કાર્ય નંબર 12. બુકબાઈન્ડિંગ વર્કશોપ જાન્યુઆરીમાં 216 પુસ્તકોને બંધનકર્તા છે, અને તે પછીના દરેક મહિનામાં તે અગાઉના પુસ્તક કરતાં 4 વધુ પુસ્તકો બાંધે છે. ડિસેમ્બરમાં વર્કશોપમાં કેટલા પુસ્તકો બંધાયા?

ઉકેલ. બધું સમાન છે:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ડિસેમ્બર એ વર્ષનો છેલ્લો, 12મો મહિનો છે, તેથી અમે $((a)_(12))$ શોધી રહ્યા છીએ:

\[(a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

આ છે જવાબ - ડિસેમ્બરમાં 260 પુસ્તકો બંધાશે.

સારું, જો તમે આટલું વાંચ્યું હોય, તો હું તમને અભિનંદન આપવા ઉતાવળ કરું છું: તમે અંકગણિત પ્રગતિમાં "યુવાન ફાઇટરનો કોર્સ" સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કર્યો છે. તમે સુરક્ષિત રીતે આગલા પાઠ પર આગળ વધી શકો છો, જ્યાં અમે પ્રગતિના સરવાળા માટેના સૂત્રનો અભ્યાસ કરીશું, તેમજ મહત્વપૂર્ણ અને ખૂબ ઉપયોગી પરિણામોતેણી પાસેથી.

અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો.

અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો એ એક સરળ વસ્તુ છે. અર્થ અને સૂત્ર બંનેમાં. પરંતુ આ વિષય પર તમામ પ્રકારના કાર્યો છે. મૂળભૂત થી તદ્દન નક્કર.

પ્રથમ, ચાલો રકમનો અર્થ અને સૂત્ર સમજીએ. અને પછી અમે નક્કી કરીશું. તમારા પોતાના આનંદ માટે.) રકમનો અર્થ મૂઠ જેવો સરળ છે. અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો શોધવા માટે, તમારે ફક્ત તેના તમામ શબ્દો કાળજીપૂર્વક ઉમેરવાની જરૂર છે. જો આ શરતો થોડા છે, તો તમે કોઈપણ ફોર્મ્યુલા વગર ઉમેરી શકો છો. પરંતુ જો ત્યાં ઘણું છે, અથવા ઘણું છે... ઉમેરો હેરાન કરે છે.) આ કિસ્સામાં, સૂત્ર બચાવમાં આવે છે.

રકમ માટેનું સૂત્ર સરળ છે:

ચાલો આકૃતિ કરીએ કે ફોર્મ્યુલામાં કયા પ્રકારનાં અક્ષરો શામેલ છે. આનાથી ઘણી બધી બાબતો સાફ થઈ જશે.

એસ એન - અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો. વધારાનું પરિણામ દરેક વ્યક્તિસભ્યો, સાથે પ્રથમદ્વારા છેલ્લુંઆ અગત્યનું છે. તેઓ બરાબર ઉમેરે છે બધાસળંગ સભ્યો, અવગણ્યા અથવા છોડ્યા વિના. અને, ચોક્કસપણે, થી શરૂ થાય છે પ્રથમત્રીજા અને આઠમા પદોનો સરવાળો અથવા પાંચમાથી વીસમા પદનો સરવાળો શોધવા જેવી સમસ્યાઓમાં - સીધી અરજીસૂત્રો નિરાશ કરશે.)

a 1 - પ્રથમપ્રગતિના સભ્ય. અહીં બધું સ્પષ્ટ છે, તે સરળ છે પ્રથમપંક્તિ નંબર.

એક એન- છેલ્લુંપ્રગતિના સભ્ય. છેલ્લો નંબરપંક્તિ બહુ જાણીતું નામ નથી, પરંતુ જ્યારે રકમ પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે ખૂબ જ યોગ્ય છે. પછી તમે તમારા માટે જોશો.

n - છેલ્લા સભ્યની સંખ્યા. તે સમજવું અગત્યનું છે કે સૂત્રમાં આ સંખ્યા ઉમેરાયેલ શરતોની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે.

ચાલો ખ્યાલ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છેલ્લુંસભ્ય એક એન. મુશ્કેલ પ્રશ્ન: કયો સભ્ય કરશે છેલ્લુંજો આપવામાં આવે અનંતઅંકગણિત પ્રગતિ?)

આત્મવિશ્વાસપૂર્વક જવાબ આપવા માટે, તમારે અંકગણિતની પ્રગતિનો પ્રાથમિક અર્થ સમજવાની જરૂર છે અને... કાર્યને ધ્યાનથી વાંચો!)

અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો શોધવાના કાર્યમાં, છેલ્લો શબ્દ હંમેશા દેખાય છે (સીધી કે પરોક્ષ રીતે), જે મર્યાદિત હોવું જોઈએ.નહિંતર, અંતિમ, ચોક્કસ રકમ ખાલી અસ્તિત્વમાં નથી.ઉકેલ માટે, તે કોઈ વાંધો નથી કે શું પ્રગતિ આપવામાં આવે છે: મર્યાદિત અથવા અનંત. તે કેવી રીતે આપવામાં આવે છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી: સંખ્યાઓની શ્રેણી, અથવા nમી શબ્દ માટેનું સૂત્ર.

સૌથી અગત્યની બાબત એ સમજવાની છે કે સૂત્ર પ્રગતિના પ્રથમ પદથી સંખ્યા સાથેના પદ સુધી કાર્ય કરે છે nવાસ્તવમાં, સૂત્રનું પૂરું નામ આના જેવું દેખાય છે: અંકગણિતની પ્રગતિની પ્રથમ n શરતોનો સરવાળો.આ પ્રથમ સભ્યોની સંખ્યા, એટલે કે. n, ફક્ત કાર્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. એક કાર્યમાં, આ બધી મૂલ્યવાન માહિતી ઘણીવાર એન્ક્રિપ્ટેડ હોય છે, હા... પરંતુ વાંધો નહીં, નીચેના ઉદાહરણોમાં આપણે આ રહસ્યો જાહેર કરીએ છીએ.)

અંકગણિત પ્રગતિના સરવાળા પરના કાર્યોના ઉદાહરણો.

સૌ પ્રથમ, ઉપયોગી માહિતી:

અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળા સાથે સંકળાયેલા કાર્યોમાં મુખ્ય મુશ્કેલી છે સાચી વ્યાખ્યાસૂત્રના ઘટકો.

કાર્ય લેખકો આ તત્વોને અમર્યાદ કલ્પના સાથે એન્ક્રિપ્ટ કરે છે.) અહીં મુખ્ય વસ્તુ ડરવાની નથી. તત્વોના સારને સમજવું, તે ફક્ત તેમને સમજવા માટે પૂરતું છે. ચાલો કેટલાક ઉદાહરણોને વિગતવાર જોઈએ. ચાલો વાસ્તવિક GIA પર આધારિત કાર્ય સાથે પ્રારંભ કરીએ.

1. અંકગણિત પ્રગતિ શરત દ્વારા આપવામાં આવે છે: a n = 2n-3.5. તેના પ્રથમ 10 પદોનો સરવાળો શોધો.

સારી નોકરી. સરળ.) ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને રકમ નક્કી કરવા માટે, આપણે શું જાણવાની જરૂર છે? પ્રથમ સભ્ય a 1, છેલ્લી મુદત એક એન, હા છેલ્લા સભ્યની સંખ્યા n

હું છેલ્લા સભ્યનો નંબર ક્યાંથી મેળવી શકું? n? હા, ત્યાં જ, શરતે! તે કહે છે: સરવાળો શોધો પ્રથમ 10 સભ્યો.સારું, તે કયા નંબર સાથે હશે? છેલ્લુંદસમો સભ્ય?) તમે તેના પર વિશ્વાસ કરશો નહીં, તેનો નંબર દસમો છે!) તેથી, તેના બદલે એક એનઆપણે ફોર્મ્યુલામાં બદલીશું a 10, અને તેના બદલે n- દસ. હું પુનરાવર્તન કરું છું, છેલ્લા સભ્યની સંખ્યા સભ્યોની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે.

તે નક્કી કરવાનું બાકી છે a 1અને a 10. આ સરળતાથી nth શબ્દ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે, જે સમસ્યા નિવેદનમાં આપવામાં આવ્યું છે. આ કેવી રીતે કરવું તે ખબર નથી? અગાઉના પાઠમાં હાજરી આપો, આ વિના કોઈ રસ્તો નથી.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10=2·10 - 3.5 =16.5

એસ એન = એસ 10.

અમે અંકગણિત પ્રગતિના સરવાળા માટે સૂત્રના તમામ ઘટકોનો અર્થ શોધી કાઢ્યો છે. જે બાકી છે તે તેમને બદલવા અને ગણતરી કરવાનું છે:

બસ. જવાબ: 75.

GIA પર આધારિત અન્ય કાર્ય. થોડી વધુ જટિલ:

2. અંકગણિત પ્રગતિ (a n) જોતાં, જેનો તફાવત 3.7 છે; a 1 =2.3. તેના પ્રથમ 15 પદોનો સરવાળો શોધો.

અમે તરત જ સરવાળો સૂત્ર લખીએ છીએ:

આ સૂત્ર આપણને કોઈપણ પદની સંખ્યા દ્વારા તેની કિંમત શોધવાની મંજૂરી આપે છે. અમે એક સરળ અવેજી શોધીએ છીએ:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

તે બધા તત્વોને અંકગણિત પ્રગતિના સરવાળા માટે સૂત્રમાં બદલવાનું અને જવાબની ગણતરી કરવાનું બાકી છે:

જવાબ: 423.

માર્ગ દ્વારા, જો તેના બદલે સરવાળા સૂત્રમાં એક એનઅમે ફક્ત nમા શબ્દ માટે સૂત્રને બદલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

ચાલો સમાન લાવીએ, આપણને મળે છે નવું સૂત્રઅંકગણિત પ્રગતિના શબ્દોનો સરવાળો:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, તે અહીં જરૂરી નથી nમી મુદત એક એન. કેટલીક સમસ્યાઓમાં આ સૂત્ર ખૂબ મદદ કરે છે, હા... તમે આ સૂત્ર યાદ રાખી શકો છો. માં શક્ય છે યોગ્ય ક્ષણતેને પ્રદર્શિત કરવું સરળ છે, જેમ કે અહીં. છેવટે, તમારે હંમેશા સરવાળા માટેનું સૂત્ર અને nમી પદ માટેનું સૂત્ર યાદ રાખવાની જરૂર છે.)

હવે ટૂંકા એન્ક્રિપ્શનના રૂપમાં કાર્ય):

3. તમામ ધનનો સરવાળો શોધો ડબલ ડિજિટ નંબરો, ત્રણનો ગુણાંક.

વાહ! ન તો તમારો પહેલો સભ્ય, ન તમારો છેલ્લો, ન તો પ્રગતિ જ... કેવી રીતે જીવવું!?

તમારે તમારા માથા સાથે વિચારવું પડશે અને અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળાના તમામ ઘટકોને સ્થિતિમાંથી બહાર કાઢવા પડશે. આપણે જાણીએ છીએ કે બે-અંકની સંખ્યાઓ શું છે. તેમાં બે સંખ્યાઓ હોય છે.) બે-અંકની સંખ્યા કઈ હશે પ્રથમ? 10, સંભવતઃ.) એ છેલ્લુંબે આંકડાનો નંબર? 99, અલબત્ત! ત્રણ અંકો તેને અનુસરશે...

ત્રણના ગુણાકાર... હં... આ એવી સંખ્યાઓ છે જે ત્રણ વડે ભાગી શકાય છે, અહીં! દસ એ ત્રણ વડે વિભાજ્ય નથી, 11 એ વિભાજ્ય નથી... 12... વિભાજ્ય છે! તેથી, કંઈક ઉભરી રહ્યું છે. તમે પહેલાથી જ સમસ્યાની શરતો અનુસાર શ્રેણી લખી શકો છો:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

શું આ શ્રેણી અંકગણિતની પ્રગતિ હશે? ચોક્કસ! દરેક શબ્દ પાછલા શબ્દથી સખત રીતે ત્રણથી અલગ પડે છે. જો તમે શબ્દમાં 2 અથવા 4 ઉમેરો છો, તો કહો, પરિણામ, એટલે કે. નવી સંખ્યા હવે 3 વડે વિભાજ્ય નથી. તમે અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત તરત જ નક્કી કરી શકો છો: d = 3.તે કામમાં આવશે!)

તેથી, અમે કેટલાક પ્રગતિ પરિમાણો સુરક્ષિત રીતે લખી શકીએ છીએ:

સંખ્યા શું હશે? nછેલ્લા સભ્ય? કોઈપણ જે વિચારે છે કે 99 જીવલેણ ભૂલ છે... નંબરો હંમેશા એક પંક્તિમાં જાય છે, પરંતુ અમારા સભ્યો ત્રણથી ઉપર જાય છે. તેઓ મેળ ખાતા નથી.

અહીં બે ઉકેલો છે. એક રસ્તો સુપર મહેનતુ લોકો માટે છે. તમે પ્રગતિ, સંખ્યાઓની સમગ્ર શ્રેણી લખી શકો છો અને તમારી આંગળી વડે સભ્યોની સંખ્યા ગણી શકો છો.) બીજી રીત વિચારશીલ લોકો માટે છે. તમારે nમી ટર્મ માટે ફોર્મ્યુલા યાદ રાખવાની જરૂર છે. જો આપણે આપણી સમસ્યા માટે સૂત્ર લાગુ કરીએ, તો આપણને ખબર પડે છે કે 99 એ પ્રગતિનો ત્રીસમો શબ્દ છે. તે. n = 30.

ચાલો અંકગણિત પ્રગતિના સરવાળા માટે સૂત્ર જોઈએ:

અમે જોઈએ છીએ અને આનંદ કરીએ છીએ.) અમે રકમની ગણતરી કરવા માટે જરૂરી બધું જ સમસ્યા નિવેદનમાંથી બહાર કાઢ્યું છે:

a 1= 12.

એ 30= 99.

એસ એન = એસ 30.

જે બાકી છે તે પ્રાથમિક અંકગણિત છે. અમે સંખ્યાઓને સૂત્રમાં બદલીએ છીએ અને ગણતરી કરીએ છીએ:

જવાબ: 1665

લોકપ્રિય પઝલનો બીજો પ્રકાર:

4. અંકગણિત પ્રગતિ આપેલ:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

વીસમાથી ચોત્રીસ સુધીના પદોનો સરવાળો શોધો.

અમે રકમ માટે સૂત્ર જોઈએ છીએ અને... અમે અસ્વસ્થ થઈ જઈએ છીએ.) સૂત્ર, ચાલો હું તમને યાદ કરાવું, રકમની ગણતરી કરે છે પ્રથમ થીસભ્ય અને સમસ્યામાં તમારે સરવાળાની ગણતરી કરવાની જરૂર છે વીસમી થી...ફોર્મ્યુલા કામ કરશે નહીં.

તમે, અલબત્ત, શ્રેણીમાં સમગ્ર પ્રગતિ લખી શકો છો અને 20 થી 34 સુધીના શબ્દો ઉમેરી શકો છો. પરંતુ... તે કોઈક રીતે મૂર્ખ છે અને ઘણો સમય લે છે, ખરું ને?)

ત્યાં વધુ છે ભવ્ય ઉકેલ. ચાલો આપણી શ્રેણીને બે ભાગમાં વહેંચીએ. પ્રથમ ભાગ હશે પ્રથમ ટર્મથી ઓગણીસમી સુધી.બીજો ભાગ - વીસ થી ચોત્રીસ સુધી.તે સ્પષ્ટ છે કે જો આપણે પ્રથમ ભાગની શરતોના સરવાળાની ગણતરી કરીએ એસ 1-19, ચાલો તેને બીજા ભાગની શરતોના સરવાળા સાથે ઉમેરીએ એસ 20-34, આપણે પ્રથમ પદથી ચોત્રીસમા સુધીની પ્રગતિનો સરવાળો મેળવીએ છીએ એસ 1-34. આની જેમ:

એસ 1-19 + એસ 20-34 = એસ 1-34

આના પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સરવાળો શોધો એસ 20-34સરળ બાદબાકી દ્વારા કરી શકાય છે

એસ 20-34 = એસ 1-34 - એસ 1-19

જમણી બાજુની બંને રકમ ગણવામાં આવે છે પ્રથમ થીસભ્ય, એટલે કે તેમને તદ્દન લાગુ પડે છે પ્રમાણભૂત સૂત્રરકમ ચાલો શરૂ કરીએ?

અમે પ્રોબ્લેમ સ્ટેટમેન્ટમાંથી પ્રોગ્રેસન પેરામીટર્સ કાઢીએ છીએ:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

પ્રથમ 19 અને પ્રથમ 34 પદોના સરવાળાની ગણતરી કરવા માટે, અમને 19મી અને 34મી શરતોની જરૂર પડશે. અમે સમસ્યા 2 ની જેમ nth શબ્દ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેમની ગણતરી કરીએ છીએ:

એ 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

a 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

કંઈ બાકી નથી. 34 પદોના સરવાળામાંથી 19 પદોનો સરવાળો બાદ કરો:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

જવાબ: 262.5

એક મહત્વપૂર્ણ નોંધ! આ સમસ્યાને હલ કરવા માટે એક ખૂબ જ ઉપયોગી યુક્તિ છે. સીધી ગણતરીને બદલે તમને શું જોઈએ છે (S 20-34),અમે ગણ્યા કંઈક કે જેની જરૂર જણાતી નથી - S 1-19.અને પછી તેઓએ નક્કી કર્યું એસ 20-34, સંપૂર્ણ પરિણામમાંથી બિનજરૂરી કાઢી નાખવું. આ પ્રકારની "તમારા કાન સાથેની અસ્વસ્થતા" ઘણીવાર તમને દુષ્ટ સમસ્યાઓમાં બચાવે છે.)

આ પાઠમાં, અમે એવી સમસ્યાઓ પર ધ્યાન આપ્યું કે જેના માટે અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળાનો અર્થ સમજવા માટે તે પૂરતું છે. સારું, તમારે કેટલાક સૂત્રો જાણવાની જરૂર છે.)

વ્યવહારુ સલાહ:

અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળા સાથે સંકળાયેલી કોઈપણ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, હું તરત જ આ વિષયમાંથી બે મુખ્ય સૂત્રો લખવાની ભલામણ કરું છું.

nમી ટર્મ માટે ફોર્મ્યુલા:

આ સૂત્રો તમને તરત જ કહેશે કે સમસ્યાને ઉકેલવા માટે શું જોવું જોઈએ અને કઈ દિશામાં વિચારવું જોઈએ. મદદ કરે છે.

અને હવે સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે કાર્યો.

5. ત્રણ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી તમામ બે-અંકની સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો.

સરસ?) સમસ્યા 4ની નોંધમાં સંકેત છુપાયેલ છે. સારું, સમસ્યા 3 મદદ કરશે.

6. અંકગણિતની પ્રગતિ શરત દ્વારા આપવામાં આવે છે: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. તેના પ્રથમ 24 પદોનો સરવાળો શોધો.

અસામાન્ય?) આ એક આવર્તક સૂત્ર છે. તમે તેના વિશે પાછલા પાઠમાં વાંચી શકો છો. લિંકને અવગણશો નહીં, આવી સમસ્યાઓ ઘણીવાર સ્ટેટ એકેડેમી ઓફ સાયન્સમાં જોવા મળે છે.

7. વાસ્યાએ રજા માટે પૈસા બચાવ્યા. 4550 રુબેલ્સ જેટલું! અને મેં મારી પ્રિય વ્યક્તિને (મારી જાતને) થોડા દિવસોની ખુશી આપવાનું નક્કી કર્યું). તમારી જાતને કંઈપણ નકાર્યા વિના સુંદર રીતે જીવો. પ્રથમ દિવસે 500 રુબેલ્સ ખર્ચો, અને દરેક અનુગામી દિવસે પાછલા એક કરતા 50 રુબેલ્સ વધુ ખર્ચો! જ્યાં સુધી પૈસા પૂરા ન થાય. વાસ્યાને કેટલા દિવસોની ખુશી હતી?

શું તે મુશ્કેલ છે?) સમસ્યા 2 માંથી વધારાનું સૂત્ર મદદ કરશે.

જવાબો (અવ્યવસ્થિતમાં): 7, 3240, 6.

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.

અંકગણિત પ્રગતિ પર સમસ્યાઓ પ્રાચીન સમયમાં પહેલેથી જ અસ્તિત્વમાં છે. તેઓ દેખાયા અને ઉકેલની માંગ કરી કારણ કે તેમની પાસે વ્યવહારિક જરૂરિયાત હતી.

તેથી, એક પપાયરીમાં પ્રાચીન ઇજિપ્તકર્યા ગાણિતિક સામગ્રી, - રિન્ડ પેપિરસ (19મી સદી બીસી) - નીચેનું કાર્ય સમાવે છે: દસ લોકોમાં બ્રેડના દસ માપને વહેંચો, જો કે તે દરેક વચ્ચેનો તફાવત માપનો આઠમો ભાગ હોય."

અને પ્રાચીન ગ્રીકોના ગાણિતિક કાર્યોમાં અંકગણિતની પ્રગતિ સંબંધિત ભવ્ય પ્રમેય છે. આમ, એલેક્ઝાન્ડ્રિયાના હાઇપ્સિકલ્સ (2જી સદી, જે ઘણી બધી હતી રસપ્રદ કાર્યોઅને જેમણે યુક્લિડના તત્વોમાં ચૌદમું પુસ્તક ઉમેર્યું, તેણે વિચાર ઘડ્યો: “એક અંકગણિત પ્રગતિમાં, જેમાં સમ સંખ્યાશરતો, 2જા અર્ધની શરતોનો સરવાળો 1/2ના વર્ગ દ્વારા 1 લીની શરતોના સરવાળો કરતાં વધુ છે.

ક્રમ એક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ક્રમની સંખ્યાઓને તેના સભ્યો કહેવામાં આવે છે અને સામાન્ય રીતે સૂચકાંકો સાથેના અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે જે આ સભ્યનો સીરીયલ નંબર દર્શાવે છે (a1, a2, a3 ... વાંચો: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd” અને તેથી વધુ).

ક્રમ અનંત અથવા મર્યાદિત હોઈ શકે છે.

અંકગણિત પ્રગતિ શું છે? તેના દ્વારા અમારો મતલબ એ જ નંબર d સાથે અગાઉના શબ્દ (n) ઉમેરીને મેળવેલો છે, જે પ્રગતિનો તફાવત છે.

જો ડી<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, પછી આ પ્રગતિને વધતી ગણવામાં આવે છે.

અંકગણિત પ્રગતિને મર્યાદિત કહેવામાં આવે છે જો તેની માત્ર પ્રથમ કેટલીક શરતો ધ્યાનમાં લેવામાં આવે. ખૂબ જ મોટી માત્રામાંસભ્યો પહેલેથી જ અનંત પ્રગતિ છે.

કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

an =kn+b, જ્યારે b અને k અમુક સંખ્યાઓ છે.

વિરુદ્ધ નિવેદન એકદમ સાચું છે: જો સમાન સૂત્ર દ્વારા ક્રમ આપવામાં આવે છે, તો તે બરાબર એક અંકગણિત પ્રગતિ છે જે ગુણધર્મો ધરાવે છે:

1. પ્રગતિની દરેક મુદત એ પાછલી મુદત અને ત્યારપછીના એકનો અંકગણિત સરેરાશ છે.
2. વાર્તાલાપ: જો, 2જીથી શરૂ કરીને, દરેક શબ્દ એ પાછલા પદનો અંકગણિત સરેરાશ છે અને પછીના શબ્દ, એટલે કે. જો શરત પૂરી થાય છે, તો આ ક્રમ એક અંકગણિત પ્રગતિ છે. આ સમાનતા પણ પ્રગતિની નિશાની છે, તેથી જ તેને સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે લાક્ષણિક મિલકતપ્રગતિ
   એ જ રીતે, આ ગુણધર્મને પ્રતિબિંબિત કરતું પ્રમેય સાચું છે: ક્રમ એ અંકગણિતની પ્રગતિ માત્ર ત્યારે જ છે જો આ સમાનતા 2જીથી શરૂ થતા ક્રમની કોઈપણ શરતો માટે સાચી હોય.

અંકગણિત પ્રગતિની કોઈપણ ચાર સંખ્યાઓ માટે લાક્ષણિક ગુણધર્મ an + am = ak + al સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, જો n + m = k + l (m, n, k એ પ્રગતિ સંખ્યાઓ છે).

અંકગણિત પ્રગતિમાં, કોઈપણ જરૂરી (Nth) શબ્દનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે નીચેનું સૂત્ર:

ઉદાહરણ તરીકે: અંકગણિતની પ્રગતિમાં પ્રથમ પદ (a1) આપવામાં આવે છે અને તે ત્રણની બરાબર છે, અને તફાવત (d) ચાર બરાબર છે. તમારે આ પ્રગતિની ચાલીસમી મુદત શોધવાની જરૂર છે. a45 = 1+4(45-1)=177

ફોર્મ્યુલા an = ak + d(n - k) તમને તેના kth પદોમાંથી કોઈપણ દ્વારા અંકગણિત પ્રગતિની nમી અવધિ નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે, જો કે તે જાણીતું હોય.

અંકગણિતની પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો (એટલે ​​કે 1લી n શરતો મર્યાદિત પ્રગતિનીચે પ્રમાણે ગણતરી કરવામાં આવે છે:

Sn = (a1+an) n/2.

જો 1 લી શબ્દ પણ જાણીતો છે, તો પછી ગણતરી માટે બીજું સૂત્ર અનુકૂળ છે:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n પદો ધરાવતી અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો નીચે પ્રમાણે ગણવામાં આવે છે:

ગણતરીઓ માટેના સૂત્રોની પસંદગી સમસ્યાઓની શરતો અને પ્રારંભિક ડેટા પર આધારિત છે.

કોઈપણ સંખ્યાઓની કુદરતી શ્રેણી, જેમ કે 1,2,3,...,n,...- સૌથી સરળ ઉદાહરણઅંકગણિત પ્રગતિ.

અંકગણિત પ્રગતિ ઉપરાંત, એક ભૌમિતિક પ્રગતિ પણ છે, જે તેના પોતાના ગુણધર્મો અને લાક્ષણિકતાઓ ધરાવે છે.