nમું મૂળ શું છે? ચોરસ મૂળ

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે એકત્રિત કરી શકીએ છીએ વિવિધ માહિતી, તમારું નામ, ફોન નંબર, સરનામું સહિત ઇમેઇલવગેરે

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

અમારા દ્વારા એકત્રિત વ્યક્તિગત માહિતીઅમને તમારો સંપર્ક કરવા અને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ વિશે તમને જાણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અમે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ આંતરિક હેતુઓ માટે પણ કરી શકીએ છીએ જેમ કે ઑડિટિંગ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ અભ્યાસોઅમે જે સેવાઓ પ્રદાન કરીએ છીએ તેમાં સુધારો કરવા અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે.
જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહી અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે સરકારી સંસ્થાઓરશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશ પર - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરો. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

આ લેખમાં આપણે પરિચય કરીશું સંખ્યાના મૂળનો ખ્યાલ. આપણે ક્રમશઃ આગળ વધીશું: આપણે વર્ગમૂળથી શરૂઆત કરીશું, ત્યાંથી આપણે ઘનમૂળના વર્ણન તરફ આગળ વધીશું, જે પછી આપણે nમા મૂળને વ્યાખ્યાયિત કરીને મૂળના ખ્યાલને સામાન્ય બનાવીશું. તે જ સમયે, અમે વ્યાખ્યાઓ, સંકેતો રજૂ કરીશું, મૂળના ઉદાહરણો આપીશું અને જરૂરી સ્પષ્ટતા અને ટિપ્પણીઓ આપીશું.

વર્ગમૂળ, અંકગણિત વર્ગમૂળ

સંખ્યાના મૂળ અને ખાસ કરીને વર્ગમૂળની વ્યાખ્યા સમજવા માટે, તમારી પાસે હોવું જરૂરી છે. આ બિંદુએ આપણે ઘણીવાર સંખ્યાની બીજી શક્તિનો સામનો કરીશું - સંખ્યાનો વર્ગ.

સાથે શરૂઆત કરીએ વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાઓ.

વ્યાખ્યા

a નું વર્ગમૂળએક સંખ્યા છે જેનો વર્ગ a બરાબર છે.

નેતૃત્વ કરવું ઉદાહરણો ચોરસ મૂળ , ઘણી સંખ્યાઓ લો, ઉદાહરણ તરીકે, 5, −0.3, 0.3, 0, અને તેનો વર્ગ કરો, આપણને અનુક્રમે 25, 0.09, 0.09 અને 0 નંબરો મળે છે (5 2 =5·5=25, (−0.3) 2 =(−0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 અને 0 2 =0·0=0 ). પછી, ઉપર આપેલ વ્યાખ્યા પ્રમાણે, સંખ્યા 5 એ સંખ્યા 25નું વર્ગમૂળ છે, સંખ્યાઓ −0.3 અને 0.3 એ 0.09નું વર્ગમૂળ છે, અને 0 એ શૂન્યનું વર્ગમૂળ છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે કોઈપણ સંખ્યા માટે a અસ્તિત્વમાં નથી જેનો વર્ગ a બરાબર છે. જેમ કે, કોઈપણ ઋણ સંખ્યા માટે a ત્યાં નથી વાસ્તવિક સંખ્યા b, જેનો ચોરસ a બરાબર હશે. હકીકતમાં, સમાનતા a=b 2 કોઈપણ નકારાત્મક a માટે અશક્ય છે, કારણ કે b 2 છે બિન-નકારાત્મક સંખ્યાકોઈપણ b માટે. આમ, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર નકારાત્મક સંખ્યાનું કોઈ વર્ગમૂળ નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર નકારાત્મક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત થતું નથી અને તેનો કોઈ અર્થ નથી.

આ એક તાર્કિક પ્રશ્ન તરફ દોરી જાય છે: "શું કોઈ બિન-નકારાત્મક a માટે a નું વર્ગમૂળ છે"? જવાબ હા છે. આ હકીકતનું સમર્થન ગણી શકાય રચનાત્મક માર્ગ, વર્ગમૂળની કિંમત શોધવા માટે વપરાય છે.

પછી આગળનો તાર્કિક પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: "આપેલ બિન-નકારાત્મક સંખ્યાના તમામ વર્ગમૂળની સંખ્યા a - એક, બે, ત્રણ અથવા તેથી વધુ"? અહીં જવાબ છે: જો a શૂન્ય છે, તો શૂન્યનું એકમાત્ર વર્ગમૂળ શૂન્ય છે; જો એ અમુક છે હકારાત્મક સંખ્યા, પછી સંખ્યા a ના વર્ગમૂળની સંખ્યા બે છે, અને મૂળ છે. ચાલો આને યોગ્ય ઠેરવીએ.

ચાલો કેસ a=0 થી શરુ કરીએ. પ્રથમ, ચાલો બતાવીએ કે શૂન્ય ખરેખર શૂન્યનું વર્ગમૂળ છે. આ સ્પષ્ટ સમાનતા 0 2 =0·0=0 અને વર્ગમૂળની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે.

હવે સાબિત કરીએ કે 0 એ શૂન્યનું એક માત્ર વર્ગમૂળ છે. ચાલો વિપરીત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. ધારો કે અમુક બિનશૂન્ય સંખ્યા b છે જે શૂન્યનું વર્ગમૂળ છે. પછી શરત b 2 =0 સંતુષ્ટ થવી જોઈએ, જે અશક્ય છે, કારણ કે કોઈપણ બિન-શૂન્ય b માટે સમીકરણ b 2 નું મૂલ્ય હકારાત્મક છે. અમે એક વિરોધાભાસ પર પહોંચ્યા છીએ. આ સાબિત કરે છે કે 0 એ શૂન્યનું એકમાત્ર વર્ગમૂળ છે.

ચાલો એવા કિસ્સાઓ તરફ આગળ વધીએ કે જ્યાં a એ ધન સંખ્યા છે. આપણે ઉપર કહ્યું છે કે કોઈપણ બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ હંમેશા હોય છે, a નું વર્ગમૂળ નંબર b હોઈ દો. ચાલો કહીએ કે એક સંખ્યા c છે, જે a નું વર્ગમૂળ પણ છે. પછી, વર્ગમૂળની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, સમાનતા b 2 =a અને c 2 =a સાચી છે, જેમાંથી તે b 2 −c 2 =a−a=0 ને અનુસરે છે, પરંતુ ત્યારથી b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , પછી (b−c)·(b+c)=0 . પરિણામી સમાનતા માન્ય છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે કામગીરીના ગુણધર્મોત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે b−c=0 અથવા b+c=0. આમ, સંખ્યાઓ b અને c સમાન અથવા વિરુદ્ધ છે.

જો આપણે માની લઈએ કે ત્યાં એક સંખ્યા d છે, જે a સંખ્યાનું બીજું વર્ગમૂળ છે, તો પહેલાથી આપેલા સમાન તર્ક દ્વારા, તે સાબિત થાય છે કે d એ સંખ્યા b અથવા સંખ્યા c સમાન છે. તેથી, ધન સંખ્યાના વર્ગમૂળની સંખ્યા બે છે, અને વર્ગમૂળ વિરોધી સંખ્યાઓ છે.

ચોરસ મૂળ સાથે કામ કરવાની સરળતા માટે નકારાત્મક મૂળહકારાત્મક થી "અલગ કરે છે". આ હેતુ માટે, તે રજૂ કરવામાં આવે છે અંકગણિત વર્ગમૂળની વ્યાખ્યા.

વ્યાખ્યા

બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાનું અંકગણિત વર્ગમૂળ aબિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે જેનો વર્ગ a બરાબર છે.

a ના અંકગણિત વર્ગમૂળ માટે સંકેત છે. ચિહ્નને અંકગણિત વર્ગમૂળ ચિહ્ન કહેવામાં આવે છે. તેને આમૂલ ચિહ્ન પણ કહેવામાં આવે છે. તેથી, તમે કેટલીકવાર "રુટ" અને "આમૂલ" બંને સાંભળી શકો છો, જેનો અર્થ એ જ પદાર્થ છે.

અંકગણિત વર્ગમૂળ ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યા કહેવાય છે આમૂલ સંખ્યા, અને મૂળ ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિ છે આમૂલ અભિવ્યક્તિ, જ્યારે શબ્દ " આમૂલ સંખ્યા"ને ઘણીવાર "આમૂલ અભિવ્યક્તિ" દ્વારા બદલવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નોટેશનમાં નંબર 151 એ રેડિકલ નંબર છે અને નોટેશનમાં a એ રેડિકલ એક્સપ્રેશન છે.

વાંચતી વખતે, "અંકગણિત" શબ્દને ઘણીવાર છોડી દેવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, એન્ટ્રી "સાત પોઈન્ટ ઓગણત્રીસનું વર્ગમૂળ" તરીકે વાંચવામાં આવે છે. "અંકગણિત" શબ્દનો ઉપયોગ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે તેઓ તેના પર ભાર મૂકવા માંગતા હોય અમે વાત કરી રહ્યા છીએખાસ કરીને સંખ્યાના હકારાત્મક વર્ગમૂળ વિશે.

રજૂ કરાયેલ નોટેશનના પ્રકાશમાં, તે અંકગણિત વર્ગમૂળની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે જે કોઈપણ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા માટે a.

ધન સંખ્યા a ના વર્ગમૂળ અંકગણિત વર્ગમૂળ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે અને . ઉદાહરણ તરીકે, 13 ના વર્ગમૂળ છે અને . શૂન્યનું અંકગણિત વર્ગમૂળ શૂન્ય બરાબર, એટલે કે . ઋણ સંખ્યાઓ a માટે, જ્યાં સુધી આપણે અભ્યાસ નહીં કરીએ ત્યાં સુધી અમે સંકેત સાથે અર્થ જોડીશું નહીં જટિલ સંખ્યાઓ . ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિઓ અને અર્થહીન છે.

વર્ગમૂળની વ્યાખ્યાના આધારે, વર્ગમૂળના ગુણધર્મો સાબિત થાય છે, જેનો વ્યવહારમાં વારંવાર ઉપયોગ થાય છે.

આ ફકરાના નિષ્કર્ષમાં, અમે નોંધીએ છીએ કે સંખ્યા a ના વર્ગમૂળ એ x ચલ x ના સંદર્ભમાં ફોર્મ x 2 =a ના ઉકેલો છે.

સંખ્યાનું ઘનમૂળ

ઘનમૂળની વ્યાખ્યાનંબર a એ વર્ગમૂળની વ્યાખ્યાની જેમ જ આપવામાં આવે છે. માત્ર તે સંખ્યાના સમઘન પર આધારિત છે, ચોરસ નહીં.

વ્યાખ્યા

a નું ઘનમૂળએક સંખ્યા છે જેનું ઘન a બરાબર છે.

ચાલો આપીએ ઉદાહરણો ઘન મૂળ . આ કરવા માટે, ઘણી સંખ્યાઓ લો, ઉદાહરણ તરીકે, 7, 0, −2/3, અને તેમને ક્યુબ કરો: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . પછી, ઘનમૂળની વ્યાખ્યાના આધારે, આપણે કહી શકીએ કે નંબર 7 એ 343નું ઘનમૂળ છે, 0 એ શૂન્યનું ઘનમૂળ છે, અને −2/3 એ −8/27નું ઘનમૂળ છે.

તે બતાવી શકાય છે કે સંખ્યાનું ઘનમૂળ, વર્ગમૂળથી વિપરીત, હંમેશા અસ્તિત્વમાં છે, માત્ર બિન-નકારાત્મક a માટે જ નહીં, પરંતુ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા a માટે પણ. આ કરવા માટે, તમે તે જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો જેનો અમે વર્ગમૂળનો અભ્યાસ કરતી વખતે ઉલ્લેખ કર્યો છે.

વધુમાં, આપેલ સંખ્યા aનું માત્ર એક જ ઘનમૂળ છે. ચાલો છેલ્લું નિવેદન સાબિત કરીએ. આ કરવા માટે, ત્રણ કેસોને અલગથી ધ્યાનમાં લો: a એ સકારાત્મક સંખ્યા છે, a=0 અને a એ નકારાત્મક સંખ્યા છે.

તે બતાવવાનું સરળ છે કે જો a ધન હોય, તો a નું ઘનમૂળ ન તો ઋણ સંખ્યા હોઈ શકે કે ન તો શૂન્ય. ખરેખર, b એ a નું ઘનમૂળ છે, પછી વ્યાખ્યા દ્વારા આપણે સમાનતા b 3 =a લખી શકીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે આ સમાનતા નકારાત્મક b અને b=0 માટે સાચી હોઈ શકતી નથી, કારણ કે આ કિસ્સાઓમાં b 3 = b·b·b અનુક્રમે નકારાત્મક સંખ્યા અથવા શૂન્ય હશે. તેથી ધન સંખ્યા a નું ઘનમૂળ એ ધન સંખ્યા છે.

હવે ધારો કે સંખ્યા b ઉપરાંત a સંખ્યાનું બીજું ઘનમૂળ છે, ચાલો તેને c સૂચવીએ. પછી c 3 =a. તેથી, b 3 −c 3 =a−a=0, પરંતુ b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(આ સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્ર છે સમઘનનો તફાવત), ક્યાંથી (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. પરિણામી સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે b−c=0 અથવા b 2 +b·c+c 2 =0. પ્રથમ સમાનતામાંથી આપણી પાસે b=c છે, અને બીજી સમાનતા પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે તેની ડાબી બાજુ કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યાઓ b અને c માટે ત્રણ હકારાત્મક શબ્દો b 2, b·c અને c 2 ના સરવાળા તરીકે ધન સંખ્યા છે. આ ધન સંખ્યા a ના ઘનમૂળની વિશિષ્ટતા સાબિત કરે છે.

જ્યારે a=0, સંખ્યા aનું ઘનમૂળ માત્ર શૂન્ય સંખ્યા છે. ખરેખર, જો આપણે ધારીએ કે ત્યાં એક સંખ્યા b છે, જે શૂન્યનું બિન-શૂન્ય ઘનમૂળ છે, તો સમાનતા b 3 =0 હોવી જોઈએ, જે b=0 હોય ત્યારે જ શક્ય છે.

નકારાત્મક a માટે, હકારાત્મક a માટેના કેસ જેવી દલીલો આપી શકાય છે. પ્રથમ, આપણે બતાવીએ છીએ કે ઋણ સંખ્યાનું ઘનમૂળ સકારાત્મક સંખ્યા અથવા શૂન્ય સમાન હોઈ શકતું નથી. બીજું, આપણે ધારીએ છીએ કે નકારાત્મક સંખ્યાનું બીજું ઘનમૂળ છે અને બતાવીએ છીએ કે તે આવશ્યકપણે પ્રથમ સાથે એકરુપ હશે.

તેથી, આપેલ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા aનું ઘનમૂળ હંમેશા હોય છે અને એક અનન્ય હોય છે.

ચાલો આપીએ અંકગણિત ક્યુબ રુટની વ્યાખ્યા.

વ્યાખ્યા

બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાનું અંકગણિત ઘનમૂળ aબિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે જેનું ઘન a બરાબર છે.

બિન-નકારાત્મક સંખ્યા a ના અંકગણિત ઘનમૂળ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, ચિહ્નને અંકગણિત ઘનમૂળનું ચિહ્ન કહેવામાં આવે છે, આ સંકેતમાં નંબર 3 કહેવામાં આવે છે રુટ ઇન્ડેક્સ. મૂળ ચિન્હ હેઠળનો નંબર છે આમૂલ સંખ્યા, રુટ ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિ છે આમૂલ અભિવ્યક્તિ.

જો કે અંકગણિત ક્યુબ રુટ માત્ર બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ a માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, તે સંકેતોનો ઉપયોગ કરવા માટે પણ અનુકૂળ છે જેમાં અંકગણિત ઘનમૂળની નિશાની હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યાઓ જોવા મળે છે. અમે તેમને નીચે પ્રમાણે સમજીશું: , જ્યાં a એ ધન સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, .

આપણે મૂળના સામાન્ય લેખના ગુણધર્મોમાં ઘનમૂળના ગુણધર્મો વિશે વાત કરીશું.

ક્યુબ રુટના મૂલ્યની ગણતરી કરવી એ ક્યુબ રુટ કાઢવા કહેવાય છે;

આ બિંદુને સમાપ્ત કરવા માટે, ચાલો કહીએ કે સંખ્યા aનું ઘનમૂળ એ x 3 =a ફોર્મનું સોલ્યુશન છે.

nમું મૂળ, ડિગ્રી n નું અંકગણિત મૂળ

ચાલો સંખ્યાના મૂળના ખ્યાલને સામાન્ય બનાવીએ - અમે પરિચય કરીએ nth મૂળની વ્યાખ્યા n માટે.

વ્યાખ્યા

a નું nમું મૂળએવી સંખ્યા છે જેની nમી ઘાત a ની બરાબર છે.

થી આ વ્યાખ્યાતે સ્પષ્ટ છે કે નંબર a નું પ્રથમ ડિગ્રી રુટ એ પોતે જ નંબર a છે, કારણ કે ડિગ્રી c નો અભ્યાસ કરતી વખતે કુદરતી સૂચકઅમે 1 =a સ્વીકાર્યું.

ઉપર આપણે n=2 અને n=3 - વર્ગમૂળ અને ઘનમૂળ માટે nમા મૂળના વિશેષ કિસ્સાઓ જોયા. એટલે કે, વર્ગમૂળ એ બીજી ડિગ્રીનું મૂળ છે, અને ઘનમૂળ એ ત્રીજા ડિગ્રીનું મૂળ છે. n = 4, 5, 6, ... માટે nમી ડિગ્રીના મૂળનો અભ્યાસ કરવા માટે, તેમને બે જૂથોમાં વિભાજિત કરવું અનુકૂળ છે: પ્રથમ જૂથ - સમ ડિગ્રીના મૂળ (એટલે કે, n = 4, 6, 8 માટે) , ...), બીજો જૂથ - મૂળ વિષમ ડિગ્રી (એટલે કે, n=5, 7, 9, ... સાથે). આ એ હકીકતને કારણે છે કે સમ શક્તિઓના મૂળ વર્ગમૂળ જેવા હોય છે, અને વિષમ શક્તિના મૂળ ઘનમૂળ જેવા હોય છે. ચાલો તેમની સાથે એક પછી એક વ્યવહાર કરીએ.

ચાલો મૂળથી શરૂઆત કરીએ, જેની શક્તિઓ છે સમ સંખ્યાઓ 4, 6, 8, ... આપણે કહ્યું તેમ, તેઓ સંખ્યા a ના વર્ગમૂળ સમાન છે. એટલે કે, સંખ્યાની કોઈપણ સમાન ડિગ્રીનું મૂળ માત્ર બિન-નકારાત્મક a માટે અસ્તિત્વમાં છે. તદુપરાંત, જો a=0 હોય, તો a નું મૂળ અનન્ય છે અને શૂન્યની બરાબર છે, અને જો a>0, તો પછી સંખ્યા a ના સમ ડિગ્રીના બે મૂળ છે, અને તે વિરોધી સંખ્યાઓ છે.

ચાલો છેલ્લા વિધાનને સાબિત કરીએ. ચાલો b એ સમ ડિગ્રીનું મૂળ હોઈએ (આપણે તેને 2 m તરીકે દર્શાવીએ છીએ, જ્યાં m અમુક છે કુદરતી સંખ્યા) નંબર a થી . ધારો કે ત્યાં સંખ્યા c છે - સંખ્યા a થી ડિગ્રી 2·m નું બીજું મૂળ. પછી b 2·m −c 2·m =a−a=0 . પરંતુ આપણે b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) સ્વરૂપ જાણીએ છીએ. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), પછી (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. આ સમાનતામાંથી તે અનુસરે છે કે b−c=0, અથવા b+c=0, અથવા b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. પ્રથમ બે સમાનતાઓનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાઓ b અને c સમાન છે અથવા b અને c વિરુદ્ધ છે. અને છેલ્લી સમાનતા ફક્ત b=c=0 માટે જ માન્ય છે, કારણ કે તેની ડાબી બાજુએ એક અભિવ્યક્તિ છે જે બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે કોઈપણ b અને c માટે બિન-નકારાત્મક છે.

વિષમ n માટે nમી ડિગ્રીના મૂળની વાત કરીએ તો, તે ઘનમૂળ સમાન છે. એટલે કે, કોઈપણ મૂળ વિચિત્ર ડિગ્રીસંખ્યામાંથી a કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા a માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે, અને આપેલ સંખ્યા a માટે તે અનન્ય છે.

સંખ્યા aના વિષમ ડિગ્રી 2·m+1ના મૂળની વિશિષ્ટતા એ a ના ઘનમૂળની વિશિષ્ટતાના પુરાવા સાથે સાદ્રશ્ય દ્વારા સાબિત થાય છે. માત્ર અહીં સમાનતાને બદલે a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = ફોર્મની સમાનતા વપરાય છે (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). છેલ્લા કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). ઉદાહરણ તરીકે, m=2 સાથે આપણી પાસે છે b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). જ્યારે a અને b બંને સકારાત્મક અથવા બંને ઋણ હોય, ત્યારે તેમનો ગુણાંક ધન સંખ્યા હોય છે, તો કૌંસમાં જ b 2 +c 2 +b·c અભિવ્યક્તિ ઉચ્ચ ડિગ્રીનેસ્ટિંગ, ધન સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે ધન છે. હવે, નેસ્ટિંગની અગાઉની ડિગ્રીના કૌંસમાંના અભિવ્યક્તિઓ પર ક્રમિક રીતે આગળ વધીએ છીએ, અમને ખાતરી છે કે તેઓ પણ સકારાત્મક સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે સકારાત્મક છે. પરિણામે, આપણે મેળવીએ છીએ કે સમાનતા b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે b−c=0, એટલે કે જ્યારે b સંખ્યા c ની બરાબર હોય.

આ nth મૂળના સંકેતને સમજવાનો સમય છે. આ હેતુ માટે આપવામાં આવે છે nth ડિગ્રીના અંકગણિત મૂળની વ્યાખ્યા.

વ્યાખ્યા

બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાની nમી ડિગ્રીનું અંકગણિત મૂળ aબિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે જેની nમી ઘાત a ની બરાબર છે.

રુટ ડિગ્રી nવાસ્તવિક સંખ્યામાંથી a, ક્યાં n- કુદરતી સંખ્યા, આવી વાસ્તવિક સંખ્યા કહેવાય છે x, nજેની મી ડિગ્રી બરાબર છે a.

રુટ ડિગ્રી nવચ્ચેથી aપ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યા અનુસાર.

મૂળ શોધવી n- વચ્ચેથી મી ડિગ્રી aમૂળ નિષ્કર્ષણ કહેવાય છે. નંબર એરેડિકલ નંબર (અભિવ્યક્તિ) કહેવાય છે, n- રુટ સૂચક. વિષમ માટે nએક મૂળ છે n-કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે મી પાવર a. જ્યારે પણ nએક મૂળ છે nમાત્ર બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે જ પાવર a. મૂળને અસંદિગ્ધ કરવા n- વચ્ચેથી મી ડિગ્રી a, એક અંકગણિત મૂળનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે n- વચ્ચેથી મી ડિગ્રી a.

ડિગ્રી N ના અંકગણિત મૂળનો ખ્યાલ

જો અને n- કુદરતી સંખ્યા, વધુ 1 , પછી ત્યાં છે, અને માત્ર એક, બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા એક્સ, જેમ કે સમાનતા સંતુષ્ટ છે. આ નંબર એક્સઅંકગણિત મૂળ કહેવાય છે nબિન-ઋણાત્મક સંખ્યાની મી ઘાત એઅને નિયુક્ત થયેલ છે. નંબર એરેડિકલ નંબર કહેવાય છે, n- રુટ સૂચક.

તેથી, વ્યાખ્યા અનુસાર, સંકેત , જ્યાં , નો અર્થ થાય છે, પ્રથમ, તે અને, બીજું, તે, એટલે કે. .

ડિગ્રીનો ખ્યાલ c તર્કસંગત સૂચક

કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી: ચાલો એવાસ્તવિક સંખ્યા છે, અને n- એક કરતાં મોટી કુદરતી સંખ્યા, nસંખ્યાની -મી શક્તિ એકામ પર કૉલ કરો nપરિબળો, જેમાંથી દરેક સમાન છે એ, એટલે કે . નંબર એ- ડિગ્રીનો આધાર, n- ઘાતાંક. શૂન્ય ઘાતાંક સાથેની શક્તિ: વ્યાખ્યા દ્વારા, જો , તો . સંખ્યાની શૂન્ય શક્તિ 0 અર્થ નથી. નકારાત્મક પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી: વ્યાખ્યા દ્વારા ધારવામાં આવે છે જો અને nપછી કુદરતી સંખ્યા છે. ડીગ્રી સી અપૂર્ણાંક સૂચક: વ્યાખ્યા દ્વારા માનવામાં આવે છે જો અને n- કુદરતી સંખ્યા, mપછી પૂર્ણાંક છે.

મૂળ સાથે કામગીરી.

નીચેના તમામ સૂત્રોમાં, પ્રતીકનો અર્થ અંકગણિત મૂળ (આમૂલ અભિવ્યક્તિ હકારાત્મક છે).

1. અનેક પરિબળોના ઉત્પાદનનું મૂળ ઉત્પાદન સમાનઆ પરિબળોના મૂળ:

2. વલણનું મૂળ ગુણોત્તર સમાનડિવિડન્ડ અને વિભાજકના મૂળ:

3. જ્યારે રુટને પાવરમાં વધારતા હોય, ત્યારે તે આ પાવરમાં રેડિકલ નંબર વધારવા માટે પૂરતું છે:

4. જો તમે રૂટની ડિગ્રી n વખત વધારશો અને તે જ સમયે આમૂલ સંખ્યાને nમી ઘાતમાં વધારશો, તો રુટનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં:

5. જો તમે રુટની ડિગ્રીને n ગણો ઘટાડી દો અને સાથે સાથે આમૂલ સંખ્યાના nમા મૂળને બહાર કાઢો, તો રુટનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં:

ડિગ્રીની વિભાવનાને વિસ્તૃત કરવી. અત્યાર સુધી આપણે માત્ર કુદરતી ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીઓ ગણી છે; પરંતુ સત્તાઓ અને મૂળ સાથેની કામગીરી પણ નકારાત્મક, શૂન્ય અને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક તરફ દોરી શકે છે. આ તમામ ઘાતાંકને વધારાની વ્યાખ્યાની જરૂર છે.

નકારાત્મક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી. ઋણ (પૂર્ણાંક) ઘાતાંક સાથેની ચોક્કસ સંખ્યાની ઘાતને સમાન સંખ્યાની ઘાત સાથે સમાન ઘાત સાથે ભાગ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સંપૂર્ણ મૂલ્ય નકારાત્મક સૂચક:

હવે સૂત્ર a m: a n = a m - n નો ઉપયોગ માત્ર n કરતાં મોટા m માટે જ નહીં, પણ n કરતાં ઓછા m માટે પણ થઈ શકે છે.

ઉદાહરણ a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

જો આપણે ફોર્મ્યુલા a m: a n = a m - n ને m = n માટે માન્ય રાખવા માંગતા હોય, તો આપણને ડિગ્રી શૂન્યની વ્યાખ્યાની જરૂર છે.

શૂન્ય અનુક્રમણિકા સાથેની ડિગ્રી. ઘાતાંક શૂન્ય સાથેની કોઈપણ બિન-શૂન્ય સંખ્યાની શક્તિ 1 છે.

ઉદાહરણો. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી. વાસ્તવિક સંખ્યા a ને m/n સુધી વધારવા માટે, તમારે આ સંખ્યા a ની mth ઘાતનું nth રુટ કાઢવાની જરૂર છે:

અભિવ્યક્તિઓ વિશે કે જેનો કોઈ અર્થ નથી. આવા અનેક અભિવ્યક્તિઓ છે.

કેસ 1.

જ્યાં ≠ 0 અસ્તિત્વમાં નથી.

વાસ્તવમાં, જો આપણે ધારીએ કે x એ ચોક્કસ સંખ્યા છે, તો પછી વિભાજન ક્રિયાની વ્યાખ્યા અનુસાર આપણી પાસે છે: a = 0 x, એટલે કે. a = 0, જે શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે: a ≠ 0

કેસ 2.

કોઈપણ નંબર.

વાસ્તવમાં, જો આપણે ધારીએ કે આ અભિવ્યક્તિ ચોક્કસ સંખ્યા x ની બરાબર છે, તો પછી વિભાજન ક્રિયાની વ્યાખ્યા મુજબ આપણી પાસે છે: 0 = 0 x. પરંતુ આ સમાનતા કોઈપણ સંખ્યા x માટે ધરાવે છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ખરેખર,

ચાલો ત્રણ મુખ્ય કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

1) x = 0 - આ મૂલ્ય આ સમીકરણને સંતોષતું નથી

2) x > 0 માટે આપણને મળે છે: x / x = 1, એટલે કે. 1 = 1, જેનો અર્થ છે કે x એ કોઈપણ સંખ્યા છે; પરંતુ ધ્યાનમાં લેતા કે અમારા કિસ્સામાં x > 0, જવાબ છે x > 0;

3) x પર< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

આ કિસ્સામાં કોઈ ઉકેલ નથી. આમ x > 0.

વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ 2: ડિગ્રી n > 1 ના મૂળના ગુણધર્મો

વ્યાખ્યાન: ડિગ્રી n > 1નું મૂળ અને તેના ગુણધર્મો

રુટ

ધારો કે તમારી પાસે ફોર્મનું સમીકરણ છે:

નિર્ણય દ્વારા આપેલ સમીકરણ x 1 = 2 અને x 2 = (-2) હશે. બંને ઉકેલો જવાબ તરીકે યોગ્ય છે, કારણ કે સંખ્યાઓ સાથે સમાન મોડ્યુલોજ્યારે સમાન શક્તિમાં ઉછેરવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ સમાન પરિણામ આપે છે.

આ એક સરળ ઉદાહરણ હતું, જો કે, આપણે શું કરી શકીએ જો, ઉદાહરણ તરીકે,

ચાલો ફંક્શનનો આલેખ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ y=x 2 . તેનો ગ્રાફ પેરાબોલા છે:

ગ્રાફ પર તમારે એવા બિંદુઓ શોધવાની જરૂર છે જે મૂલ્ય y = 3 ને અનુરૂપ છે. આ બિંદુઓ છે:

આનો અર્થ એ છે કે આ મૂલ્યને પૂર્ણાંક કહી શકાય નહીં, પરંતુ વર્ગમૂળ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

કોઈપણ મૂળ છે અતાર્કિક સંખ્યા. TO અતાર્કિક સંખ્યાઓમૂળ, બિન-સામયિક અનંત અપૂર્ણાંકોનો સમાવેશ થાય છે.

ચોરસ મૂળબિન-નકારાત્મક સંખ્યા "a" છે, જેની આમૂલ અભિવ્યક્તિ બરાબર છે આપેલ નંબર"a" ચોરસ.

ઉદાહરણ તરીકે,

એટલે કે, પરિણામ સ્વરૂપે આપણને જ મળશે હકારાત્મક મૂલ્ય. જો કે, ઉકેલ તરીકે ચતુર્ભુજ સમીકરણપ્રકારની

ઉકેલ x 1 = 4, x 2 = (-4) છે.

વર્ગમૂળના ગુણધર્મો

1. x ગમે તે મૂલ્ય લે, આ અભિવ્યક્તિકોઈપણ કિસ્સામાં સાચું:

2. વર્ગમૂળ ધરાવતી સંખ્યાઓની સરખામણી. આ સંખ્યાઓની સરખામણી કરવા માટે, તમારે રૂટ ચિહ્ન હેઠળ એક અને બીજો નંબર બંને દાખલ કરવાની જરૂર છે. જેની આમૂલ અભિવ્યક્તિ વધારે છે તે સંખ્યા વધુ હશે.

રુટ ચિહ્ન હેઠળ નંબર 2 દાખલ કરો

હવે ચાલો રુટ ચિહ્ન હેઠળ નંબર 4 મૂકીએ. આના પરિણામે આપણને મળે છે

અને માત્ર હવે બે પરિણામી અભિવ્યક્તિઓની તુલના કરી શકાય છે:

3. રુટની નીચેથી ગુણકને દૂર કરવું.

જો આમૂલ અભિવ્યક્તિને બે પરિબળોમાં વિઘટિત કરી શકાય છે, જેમાંથી એકને મૂળ ચિહ્ન હેઠળથી બહાર લઈ શકાય છે, તો આ નિયમનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.

4. ત્યાં એક મિલકત છે જે આની વિરુદ્ધ છે - રુટ હેઠળ ગુણકની રજૂઆત. અમે દેખીતી રીતે બીજી મિલકતમાં આ મિલકતનો ઉપયોગ કર્યો.

વિષય પર 11મા ધોરણ માટે પાઠની સ્ક્રિપ્ટ:

"રુટ nમી ડિગ્રીવાસ્તવિક સંખ્યામાંથી. »

પાઠનો ઉદ્દેશ્ય:વિદ્યાર્થીઓમાં મૂળની સર્વગ્રાહી સમજની રચના n-મી ડિગ્રી અને અંકગણિત મૂળ nth ડિગ્રી, કોમ્પ્યુટેશનલ કુશળતાની રચના, સભાન અને તર્કસંગત ઉપયોગહલ કરતી વખતે મૂળના ગુણધર્મો વિવિધ કાર્યોએક આમૂલ સમાવે છે. વિષયના પ્રશ્નો અંગે વિદ્યાર્થીઓની સમજણનું સ્તર તપાસો.

વિષય:વિષય પર માસ્ટરિંગ સામગ્રી માટે અર્થપૂર્ણ અને સંસ્થાકીય પરિસ્થિતિઓ બનાવો "સંખ્યાત્મક અને શાબ્દિક અભિવ્યક્તિઓ» ધારણા, સમજણ અને પ્રાથમિક યાદના સ્તરે; વાસ્તવિક સંખ્યાના nમા મૂળની ગણતરી કરતી વખતે આ માહિતીનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો;

મેટા-વિષય:કમ્પ્યુટિંગ કુશળતાના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપવું; વિશ્લેષણ, સરખામણી, સામાન્યીકરણ, તારણો કાઢવાની ક્ષમતા;

વ્યક્તિગત:પોતાનો દૃષ્ટિકોણ વ્યક્ત કરવાની ક્ષમતા કેળવો, અન્યના જવાબો સાંભળો, સંવાદમાં ભાગ લો અને સકારાત્મક સહકારની ક્ષમતા વિકસાવો.

આયોજિત પરિણામ.

વિષય: પ્રક્રિયામાં સક્ષમ બનો વાસ્તવિક પરિસ્થિતિમૂળની ગણતરી કરતી વખતે અને સમીકરણો ઉકેલતી વખતે વાસ્તવિક સંખ્યાના nમા મૂળના ગુણધર્મો લાગુ કરો.

વ્યક્તિગત: ગણતરીમાં સચેતતા અને સચોટતા વિકસાવવા, પોતાની જાત પ્રત્યે અને પોતાના કામ પ્રત્યે માગણીયુક્ત વલણ અને પરસ્પર સહાયતાની ભાવના કેળવવી.

પાઠનો પ્રકાર: અભ્યાસ અને શરૂઆતમાં નવા જ્ઞાનને એકીકૃત કરવાના પાઠ

શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓ માટે પ્રેરણા:

પૂર્વીય શાણપણ કહે છે: "તમે ઘોડાને પાણી તરફ દોરી શકો છો, પરંતુ તમે તેને પીવા માટે દબાણ કરી શકતા નથી." અને જો તે પોતે વધુ શીખવાનો પ્રયાસ ન કરે અને તેના માનસિક વિકાસ પર કામ કરવાની ઇચ્છા ન હોય તો તેને સારી રીતે અભ્યાસ કરવા દબાણ કરવું અશક્ય છે. છેવટે, જ્ઞાન એ માત્ર ત્યારે જ જ્ઞાન છે જ્યારે તે વ્યક્તિના વિચારોના પ્રયત્નો દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે, અને માત્ર સ્મૃતિ દ્વારા નહીં.

અમારો પાઠ સૂત્ર હેઠળ યોજવામાં આવશે: "જો આપણે તેના માટે પ્રયત્ન કરીશું તો અમે કોઈપણ શિખરને જીતીશું." પાઠ દરમિયાન, તમારે અને મારી પાસે ઘણા શિખરોને પાર કરવા માટે સમય હોવો જોઈએ, અને તમારામાંના દરેકે આ શિખરો પર વિજય મેળવવા માટે તમારા તમામ પ્રયત્નો કરવા જોઈએ.

"આજે આપણી પાસે એક પાઠ છે જેમાં આપણે એક નવા ખ્યાલથી પરિચિત થવું જોઈએ: "Nth રુટ" અને આ ખ્યાલને પરિવર્તનમાં કેવી રીતે લાગુ કરવો તે શીખવું. વિવિધ અભિવ્યક્તિઓ.

તમારા ધ્યેય પર આધારિત છે વિવિધ સ્વરૂપોહાલના જ્ઞાનને સક્રિય કરવા, સામગ્રીના અભ્યાસમાં યોગદાન આપવા અને સારા ગ્રેડ મેળવવા માટે કામ કરો"
અમે 8મા ધોરણમાં વાસ્તવિક સંખ્યાના વર્ગમૂળનો અભ્યાસ કર્યો. વર્ગમૂળ ફોર્મના કાર્ય સાથે સંબંધિત છે y=x 2. મિત્રો, શું તમને યાદ છે કે આપણે વર્ગમૂળની ગણતરી કેવી રીતે કરી અને તેમાં કયા ગુણધર્મો છે?
એ) વ્યક્તિગત સર્વે:

આ કેવા પ્રકારની અભિવ્યક્તિ છે

જેને વર્ગમૂળ કહેવાય છે

અંકગણિત વર્ગમૂળ શું કહેવાય છે

વર્ગમૂળના ગુણધર્મોની યાદી બનાવો

b) જોડીમાં કામ કરો: ગણતરી કરો.

2. જ્ઞાનને અપડેટ કરવું અને સમસ્યાની પરિસ્થિતિ ઊભી કરવી:સમીકરણ x 4 =1 ઉકેલો. આપણે તેને કેવી રીતે હલ કરી શકીએ? (વિશ્લેષણાત્મક અને ગ્રાફિકલ). ચાલો તેને ગ્રાફિકલી હલ કરીએ. આ કરવા માટે, એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આપણે ફંક્શન y = x 4 સીધી રેખા y = 1 (ફિગ. 164 a) નો ગ્રાફ બનાવીશું. તેઓ બે બિંદુઓ પર છેદે છે: A (-1;1) અને B(1;1). પોઈન્ટ A અને B ના એબ્સીસાસ, એટલે કે. x 1 = -1,

x 2 = 1 એ સમીકરણ x 4 = 1 ના મૂળ છે.
બરાબર એ જ રીતે તર્ક કરતાં, આપણે સમીકરણ x 4 =16 ના મૂળ શોધીએ છીએ: હવે ચાલો સમીકરણ x 4 =5 હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ; ભૌમિતિક ચિત્ર ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 164 બી. તે સ્પષ્ટ છે કે સમીકરણમાં બે મૂળ x 1 અને x 2 છે, અને આ સંખ્યાઓ, અગાઉના બે કેસોની જેમ, પરસ્પર વિરોધી છે. પરંતુ પ્રથમ બે સમીકરણો માટે મૂળ મુશ્કેલી વિના મળી આવ્યા હતા (તેઓ ગ્રાફનો ઉપયોગ કર્યા વિના શોધી શકાય છે), પરંતુ સમીકરણ x 4 = 5 સાથે સમસ્યાઓ છે: ચિત્રમાંથી આપણે મૂળના મૂલ્યો સૂચવી શકતા નથી, પરંતુ આપણે માત્ર એ જ સ્થાપિત કરી શકે છે કે એક રુટ ડાબી બિંદુ -1 પર સ્થિત છે, અને બીજું બિંદુ 1 ની જમણી બાજુએ છે.

x 2 = - (વાંચો: “પાંચનું ચોથું મૂળ”).

અમે સમીકરણ x 4 = a વિશે વાત કરી, જ્યાં a 0. આપણે સમીકરણ x 4 = a વિશે સમાન રીતે વાત કરી શકીએ, જ્યાં a 0, અને n એ કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x 5 = 1 ને ગ્રાફિકલી હલ કરવાથી, આપણે x = 1 (ફિગ. 165) શોધીએ છીએ; સમીકરણ x 5 "= 7 ને ઉકેલતા, અમે સ્થાપિત કરીએ છીએ કે સમીકરણમાં એક મૂળ x 1 છે, જે x અક્ષ પર બિંદુ 1 ની જમણી બાજુએ સ્થિત છે (ફિગ. 165 જુઓ). સંખ્યા x 1 માટે, અમે રજૂ કરીએ છીએ નોટેશન

વ્યાખ્યા 1. રુટ nthબિન-ઋણાત્મક સંખ્યાની શક્તિઓ a (n = 2, 3,4, 5,...) એ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા છે જે, જ્યારે ઘાત n સુધી વધારીને, સંખ્યા a માં પરિણમે છે.

આ સંખ્યા સૂચવવામાં આવે છે, સંખ્યા aને આમૂલ સંખ્યા કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા n એ મૂળનો ઘાતાંક છે.
જો n=2 હોય, તો તેઓ સામાન્ય રીતે "સેકન્ડ રુટ" કહેતા નથી, પરંતુ "ચોરસ મૂળ" કહે છે, આ કિસ્સામાં તેઓ આ એક નથી લખતા ખાસ કેસ, જેનો તમે તમારા 8મા ધોરણના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં ખાસ અભ્યાસ કર્યો હતો.

જો n = 3, તો પછી "ત્રીજા મૂળ" ને બદલે તેઓ વારંવાર "ક્યુબ રુટ" કહે છે. ઘનમૂળ સાથે તમારી પ્રથમ ઓળખાણ પણ 8મા ધોરણના બીજગણિત કોર્સમાં થઈ હતી. અમે 9મા ધોરણના બીજગણિતમાં ઘનમૂળનો ઉપયોગ કર્યો.

તેથી, જો a ≥0, n= 2,3,4,5,…, તો 1) ≥ 0; 2) () n = a.

સામાન્ય રીતે, =b અને b n =a એ બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ a અને b વચ્ચે સમાન સંબંધ છે, પરંતુ માત્ર બીજી જ વધુ વર્ણવેલ છે. સરળ ભાષામાં(સરળ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરે છે) પહેલા કરતા.

બિન-નકારાત્મક સંખ્યાના મૂળ શોધવાની કામગીરીને સામાન્ય રીતે રુટ નિષ્કર્ષણ કહેવામાં આવે છે. આ ઑપરેશન એ યોગ્ય પાવર વધારવાનું રિવર્સ છે. સરખામણી કરો:

મહેરબાની કરીને ફરીથી નોંધ કરો: કોષ્ટકમાં ફક્ત હકારાત્મક સંખ્યાઓ જ દેખાય છે, કારણ કે આ વ્યાખ્યા 1 માં નિર્ધારિત છે. અને જો કે, ઉદાહરણ તરીકે, (-6) 6 = 36 એ સાચી સમાનતા છે, વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરીને તેમાંથી સંકેત પર જાઓ, એટલે કે. લખો કે તે અશક્ય છે. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, ધન સંખ્યાનો અર્થ થાય છે = 6 (-6 નહીં). તે જ રીતે, જો કે 2 4 =16, t (-2) 4 =16, મૂળના ચિહ્નો તરફ આગળ વધતા, આપણે = 2 (અને તે જ સમયે ≠-2) લખવું જોઈએ.

કેટલીકવાર અભિવ્યક્તિને આમૂલ કહેવામાં આવે છે (માંથી લેટિન શબ્દ gadix - "રુટ"). રશિયનમાં, આમૂલ શબ્દનો ઉપયોગ ઘણી વાર થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, "આમૂલ ફેરફારો" - આનો અર્થ "આમૂલ ફેરફારો" થાય છે. માર્ગ દ્વારા, રુટનું ખૂબ જ હોદ્દો ગેડિક્સ શબ્દની યાદ અપાવે છે: પ્રતીક એ શૈલીયુક્ત અક્ષર r છે.

રુટ કાઢવાનું કાર્ય પણ નકારાત્મક આમૂલ સંખ્યા માટે નક્કી કરવામાં આવે છે, પરંતુ માત્ર એક વિચિત્ર મૂળ ઘાતાંકના કિસ્સામાં. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમાનતા (-2) 5 = -32 ને સમકક્ષ સ્વરૂપમાં =-2 તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે. આ કિસ્સામાં તેનો ઉપયોગ થાય છે નીચેની વ્યાખ્યા.

વ્યાખ્યા 2.ઋણ સંખ્યા a (n = 3.5,...) નું વિષમ મૂળ n એ ઋણ સંખ્યા છે જેને જ્યારે n ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે, ત્યારે સંખ્યા a માં પરિણમે છે.

આ સંખ્યા, જેમ કે વ્યાખ્યા 1 માં, દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે, સંખ્યા a એ આમૂલ સંખ્યા છે, અને સંખ્યા n એ મૂળનો ઘાતાંક છે.
તેથી, જો a , n=,5,7,…, તો: 1) 0; 2) () n = a.

આમ, એક સમાન મૂળનો અર્થ માત્ર બિન-નકારાત્મક આમૂલ અભિવ્યક્તિ માટે છે (એટલે કે, વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે); એક વિચિત્ર રુટ કોઈપણ આમૂલ અભિવ્યક્તિ માટે અર્થપૂર્ણ છે.

5. જ્ઞાનનું પ્રાથમિક એકત્રીકરણ:

1. ગણતરી કરો: નંબર 33.5; 33.6; 33.74 33.8 મૌખિક રીતે a); b) ; વી) ; જી).

ડી) અગાઉના ઉદાહરણોથી વિપરીત, અમે સૂચવી શકતા નથી ચોક્કસ મૂલ્યસંખ્યા તે માત્ર સ્પષ્ટ છે કે તે 2 કરતાં વધારે છે, પરંતુ 3 કરતાં ઓછું છે, કારણ કે 2 4 = 16 (આ 17 કરતાં ઓછું છે), અને 3 4 = 81 (આ 17 કરતાં વધુ છે). અમે નોંધીએ છીએ કે 24 એ 34 કરતા 17 ની ઘણી નજીક છે, તેથી અંદાજિત સમાનતા ચિહ્નનો ઉપયોગ કરવાનું કારણ છે:
2. નીચેના સમીકરણોના અર્થો શોધો.

ઉદાહરણની બાજુમાં અનુરૂપ અક્ષર મૂકો.

મહાન વૈજ્ઞાનિક વિશે થોડી માહિતી. રેને ડેસકાર્ટેસ (1596-1650) ફ્રેન્ચ ઉમરાવ, ગણિતશાસ્ત્રી, ફિલસૂફ, ફિઝિયોલોજિસ્ટ, વિચારક. રેને ડેસકાર્ટેસે પાયો નાખ્યો વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ, દાખલ કર્યો પત્ર હોદ્દો x 2 , y 3 . બધા જાણે છે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ, કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરે છે ચલ કદ.

3 . સમીકરણો ઉકેલો: a) = -2; b) = 1; c) = -4

ઉકેલ: a) જો = -2, તો y = -8. વાસ્તવમાં બંને ભાગો આપેલ સમીકરણઆપણે ક્યુબ કરવું જોઈએ. આપણને મળે છે: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) રિઝનિંગ ઉદાહરણ તરીકે a), અમે સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોથી ઘાત સુધી વધારીએ છીએ. આપણને મળે છે: x=1.

c) તેને ચોથા ઘાત સુધી વધારવાની જરૂર નથી; આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી. શા માટે? કારણ કે, વ્યાખ્યા 1 મુજબ, એક સમાન મૂળ એ બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે.
તમારા ધ્યાન પર કેટલાક કાર્યો ઓફર કરવામાં આવે છે. જ્યારે તમે આ કાર્યો પૂર્ણ કરશો, ત્યારે તમે મહાન ગણિતશાસ્ત્રીનું નામ અને અટક શીખી શકશો. આ વૈજ્ઞાનિક 1637 માં મૂળ ચિહ્ન રજૂ કરનાર સૌપ્રથમ હતા.

6. ચાલો થોડો આરામ કરીએ.

વર્ગ તેના હાથ ઉભા કરે છે - આ "એક" છે.

માથું વળ્યું - તે "બે" હતું.

હાથ નીચે, આગળ જુઓ - આ "ત્રણ" છે.

હાથ બાજુઓ તરફ પહોળા કરીને "ચાર" તરફ વળ્યા

તેમને તમારા હાથમાં બળથી દબાવવું એ "ઉચ્ચ પાંચ" છે.

બધા લોકોએ બેસવાની જરૂર છે - તે "છ" છે.

7. સ્વતંત્ર કાર્ય:

વિકલ્પ: વિકલ્પ 2:

b) 3-. b)12 -6.

2. સમીકરણ ઉકેલો: a) x 4 = -16; b) 0.02x 6 -1.28=0; a) x 8 = -3; b)0.3x 9 – 2.4=0;

c) = -2; c)= 2